2012年陕西专升本高数真题+解答

2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题）

高等数学

注意事项：

全卷共10页，满分150分。考试时间150分钟。其中试题3页，用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上，答在试卷上的答案无效。

一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选好的答案填在答题纸上题号所在的位置上。

1. 0x =是函数11()12

x

f x =

+的 【 B 】

A. 可去间断点

B. 跳跃间断点

C. 振荡间断点

D. 连续点 2．设函数0()(1)x

f x t dt =-?, 则()f x 有 【 D 】

A. 极大值

12 B. 极大值12- C. 极小值12 D. 极小值12

- 3. 设函数)(x f 的导函数为sin x , 则)(x f 有一个原函数为 【 A 】 A. 1sin x - B. 1sin x + C. 1cos x - D. 1cos x +

4. 不定积分2

(1)x

xe dx x =+? 【 A 】

A. 1x e C x ++

B. 1x e C x -++

C. 2(1)x e C x ++

D. 2

(1)

x

e C x -++ 5. 无穷级数1

51

(1)n p n n +∞

=-∑ 【 B 】

A. 当15p >

时, 为条件收敛 B. 当1

5p >时, 为绝对收敛 C. 当105p <≤时, 为绝对收敛 D. 当1

05

p <≤时, 为发散的

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题 纸上题号所在的位置。

6. 设函数22,3

()1,

3x x x f x x x ?++<=?-≥?, 则((1))f f =

3-.

7. 极限520

1

sin

lim

sin x x x x

→=0.

8. 已知0a >，当0x →时, 1ax e ax --与1cos x -是等价无穷小, 则常数

a =1.

9. 32

1()x d f t dt dx

-=?233(2)x f x -.

10. 微分方程0y y ''+=的通解为y =12cos sin y C x C x

=+.

三、计算题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分. 计算题要有计算 过程.

11．求极限2

20

ln(1sin )lim

1

x x x e →+-.

解：2

2220

0ln(1sin )sin lim

lim 11

x x x x x

x

e →→+==- 12．设参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-??=-?

确定了函数()y y x =，求22d y

dx .

解：因为sin sin (1cos )1cos dy

dy a t t

dt dx dx a t t dt

===

-- (4分) 所以 22222

1cos (1cos )sin 11

()(1cos )(1cos )(1cos )d y d dy t t t dx dx dt dx t a t a t dt

---=?=?=--- (8分) 13.

求函数()(f x x =+.

解：132()(10)(5)3f x x x -'=+?-= (3分)

当1x <-时，()0f x '>; 当15x -<<时，()0f x '<;当5x >时, ()0f x '>. 所以

()f x 的单调增区间为(,1],[5,)-∞-+∞;单调减区间为[1,5]-; (6分)

()f x 在1x =-处取得极大值23

(1)96f -=?, 在5x =处取得极小值(5)0f = (8分)

14. 求不定积分2

3

2

(ln )1x x x dx x +

+?. 解：2

3

2

(ln )1x x x dx x

++? 4

211ln (1)41xdx dx x =

+-+?? (2分) 4311

ln arctan 44x x x dx x x =-+-? (6分)

4411

ln arctan 416

x x x x x C =-+-+ (8分)

15. 设函数((),)z f xy xy ?=, 其中f 具有二阶连续偏导数, ?二阶可导, 求

z x ??和2z

x y

???. 解：

12()z

f xy y f y x

??'=??+?? (4分) 211121(())()(()()z

f xy x f x xy y f xy xy xy x y

?????'''''=?+?+?+??

21222(())f xy x f x y f ?'+?+?+ (8分)

16. 求空间曲线2

1z x xyz ?=?=?

在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程.

解：曲线方程x t =，3

1y t

=

，2

z t =，1t =对应点为(1,1,1) (2分) 因为 1dx dt =；43dy dt t -=；2dz t dt

= 所以 1|1t dx dt ==；1|3t dy dt ==-；1|2t dz

dt == (4分)

所求切线方程为

111

132

x y z ---==- (6分) 法平面方程为 (1)3(1)2(1)

x y z ---+-= 即 320x y z -+= (8分)

17. 计算二重积分D

I =, 其中积分区域22:9D x y +≤.

解：法一

223

3

D

I d r rdr πθ==?

? (4分)

253

33

300322|8r dr r ππ==?=? (8分)

法二：1

2

3

3

20

44D

D I d r rdr π

θ===??

8330

3272|84

r π=?=18. 计算对坐标的曲线积分232

()(2)L

x xy dx y xy dy -+-?

, 其中L 是四个顶点分别为(0,0), (2,0), (2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界.

解：设23(,)P x y x xy =-，2(,)2Q x y y xy =-，L 所围区域为D ，且

D ：02x ≤≤，02y ≤≤

由格林公式，得

232

()(2)()L

D

Q P

x xy dx y xy dy dxdy x y

??-+-=-????? (4分) 2

220

(23)dx y xy dy =-+?? (6分)

2

2

23

20

()|(48)8y xy dx x dx =-+=-+=?? (8分)

19. 将函数2()4x

f x x +=

+展开为麦克劳林级数. 解：22

()144x f x x x

+==-++ (2分) 011111()1224

4

14

n

n x x

x ∞==-?=---

<+∑ (6分) 111(1)4224

n n n n x x +∞=-=+

20. 求微分方程256x y y y xe '''-+=的通解. 解：原微分方程所对应齐次方程为

560y y y '''-+=，

它的特征方程为

2560r r -+=

特征根为 12r =，23r =.于是所给方程对应的齐次方程的通解为

2312()x x Y x C e C e =+ (3分) 设非齐次方程的特解为 *2()x y x ax b e =+ (5分) 代入方程，得

22ax a b x -+-=

解得 1

2

a =-，1

b =-

所求特解为

*21

(1)2

x y x x e =-- (6分)

从而所求非齐次方程的通解为

2322121

()(2)2

x x x y x C e C e x x e =+-+ (8分)

四、证明题和应用题：本大题共2个小题, 每小题10分, 共20分。计算题要有计算过程, 证明题要有证明过程。

21. 设函数()f x 在[,]a b 上的连续函数, 且()0f x >

1

()()()

x x a

b

F x f t dt dt f t =

+?

?

, 求证: ① ()2F x '≥;

② 方程()0F x =在(,)a b 内仅有一个实根.

证明: ① 21

()()22

()F x f x f x '=+

=+≥ (5分) ② 因为()F x 在[,]a b 上是单调增加函数, 所以方程()0F x =在(,)a b 内最多只有一个根. 又 1

()0()

a b

F a dt f t =

, ()()0b a F b f t dt =>? (8分)

根据零点定理, 方程()0F x =在(,)a b 内至少有一个根.

综合以上可知, 方程()0F x =在(,)a b 内仅有一个实根. (10分)

22. 求抛物线243y x x =-+-及其在点(0,3)-和(3,0)处的切线所围成的图形的面积.

解：因为 24y x '=-+ (2分) 所以曲线在(0,3)-处切线方程为

34(0)y x +=- 即

43y x =-

曲线在(3,0)处切线方程为

02(3)y x -=--

即

26y x =-+ (5分)

因为两切线交点为3

(,3)2

(6分)

所以，所求面积为

33

2

2230

2

[(43)(43)][(26)(43)]S x x x dx x x x dx =---+-+-+--+-?? (8分)

333

2230

2

(43)(26)(43)x dx x dx x x dx =-+-+--+-???

3

223233

20

30

2

19(23)|(6)|(23)|34x x x x x x x =-+----= (10分)