九年级数学同步拔高班第七讲《图形运动产生的面积问题》讲义

第七讲 图形运动产生的面积问题（讲义）

一、 知识点睛

1. 研究________图形．

2. 分析运动状态：

①由_____________确定t 的范围；

②对t 分段，根据运动趋势画图，找________________，通常是_____________相交时的特殊位置． 3. 分段_________，选择适当方法表达面积．

二、精讲精练

1. 已知，等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线

段MN 在△ABC 的边AB 上，沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作AB 边的垂线，与△ABC 的其他边交于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t 秒． （1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积．

（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．

A B C M N Q

P

A B

C

C

B

A

C

B

A

C

B

A

2. 如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝32， CD ＝2，

高CE ＝22，对角线AC 、BD 交于点H ．平行于线段BD 的两条直线MN 、RQ 同时从点A 出发，沿AC 方向向点C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于M 、N 和R 、Q ，分别交对角线AC 于F 、G ，当直线RQ 到达点C 时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD 被直线MN 扫过的面积为1S ，被直线RQ 扫过的面积为2S ，若直线MN 平移的速度为1单位/秒，直线RQ 平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x 秒．

（1）填空：∠AHB ＝____________；AC ＝_____________； （2）若213S S ，求x ．

H

D

C

B

A

A B C

D

H H D

C

B

A A

B C D

M N R Q

F G H

E

3. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC =8cm ，BC =6cm ，点P 、Q

同时从点C 出发，以1cm/s 的速度分别沿CA 、CB 匀速运动，当点Q 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．过点P 作AC 的垂线l 交AB 于点R ，连接PQ 、RQ ，并作△PQR 关于直线l 对称的图形，得到△PQ'R ．设点Q 的运动时间为t （s ），△PQ'R 与△P AR 重叠部分的面积为S （cm 2）． （1）t 为何值时，点Q' 恰好落在AB 上？

（2）求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围． （3）S 能否为9

8

？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．

C

B

A

C

B

A

A

B

C

P

R

Q Q'

l

4. 如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =2cm ，AC =4cm ，动点P

从点A 出发，沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动，动点Q 从点B 同时出发，沿BA 方向以1cm/s 的速度向点A 运动．当点P 到达点B 时，P ，Q 两点同时停止运动．以AP 为边向上作正方形APDE ，过点Q 作QF ∥BC ，交AC 于点F ．设点P 的运动时间为t s ，正方形APDE 和梯形BCFQ 重叠部分的面积为S cm 2．

（1）当t =_____s 时，点P 与点Q 重合； （2）当t =_____s 时，点D 在QF 上；

（3）当点P 在Q ，B 两点之间（不包括Q ，B 两点）时， 求S 与t 之间的函数关系式．

A

B

C

A

B

C

D E F

P

Q

A

B

C

A

B

C

A

C

A B C

5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，1）、D （-2，0），

作直线AD 并以线段AD 为一边向上作正方形ABCD ． （1）填空：点B 的坐标为________，点C 的坐标为_________． （2）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线DA 向上平移，直至正方形的顶点C 落在y 轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为S ，求S 关于平移时间t （秒）的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围．

A

B

C

D

O

x

y

A

B

C

D

O

x

y

A

B

C

D

O

x

y A

B

C

D

O

x

y A

B

C

D

O

x

y

6. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：y =1

2

x 与直

线l 2：y =-x +6相交于点M ，直线l 2与x 轴相交于点N ．

（1）求M ，N 的坐标．

（2）已知矩形ABCD 中，AB =1，BC =2，边AB 在x 轴上，矩形ABCD 沿x 轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD 与△OMN 重叠部分的面积为S ，移动的时间为t （从点B 与点O 重合时开始计时，到点A 与点N 重合时计时结束）．求S 与自变量t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围．

A

B C D

N

M

O

x

y

y

x

O

M

N

D C B A

三、回顾与思考

____________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________

y

x

O

M

N

D C B A

y

x

O

M

N

D C B A

y

x

O

M

N

D C B

A