高中数学选修1-1课时作业16：1.1.2 四种命题

1.1.2 四种命题
学业达标
一、选择题
1.命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()
A.原命题、否命题
B.原命题、逆命题
C.原命题、逆否命题
D.逆命题、否命题
2.有下列四个命题：
(1)“若x2＋y2＝0，则xy＝0”的否命题；
(2)“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
3.下列说法中错误的个数是()
①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”；
②命题“若x＞1，则x－1＞0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”；
③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”；
④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”.
A.1
B.2
C.3
D.4
4.已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为()
A.3
B.2
C.1
D.0
5.在下列四个命题中，真命题是()
A.“x＝3时，x2＋2x－3＝0”的否命题
B.“若b＝3，则b2＝9”的逆命题
C.若ac>bc，则a>b
D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
二、填空题
6.“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________.
7.下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②正方形的四条边相等；
③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________.(填序号)
8.给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“△ABC中，若AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则3
a>
3
b>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题.
其中，真命题的序号为________.
三、解答题
9.写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.
10.已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”.
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论.
能力提升
1.原命题为“若a n＋a n＋1
2<a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命
题真假性的判断依次如下，正确的是()
A.真，真，真
B.假，假，真
C.真，真，假
D.假，假，假
2.下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若x＝1，则x2＝1”的逆命题；④若m＞2，则x2－2x＋m＞0.其中真命题的个数为() A.0 B.1
C.2
D.3
3.已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________.
4.已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.
——★参考答案★——
学业达标
一、选择题
1.[[答案]] C
[[解析]]因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题.
2.[[答案]] A
[[解析]]
3.[[
[[解析]]①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”.
4.[[答案]] B
[[解析]]易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题.故选B.
5.[[答案]] D
[[解析]]A中命题的否命题为“x≠3时，x2＋2x－3≠0”，是假命题；B中命题的逆命题为“若b2＝9，则b＝3”，是假命题；C中当c<0时，为假命题；D中原命题与逆否命题等价，都是真命题.故选D.
二、填空题
6.[[答案]]若x，y不全为零，则xy≠0
7.[[答案]]②和③①和③①和②
8.[[答案]]①②③
[[解析]]①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；
②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；
③因为命题“若a>b>0，则3
a>
3
b>0”是真命题，故其逆否命题是真命题；
④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集是R，则m>1，假命题. 所以应填①②③.
三、解答题
9.解：逆命题：已知a ，b ∈R ，若a >b ，则a 2>b 2；
否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≤b 2，则a ≤b ；
逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a ≤b ，则a 2≤b 2.
原命题是假命题.
逆否命题也是假命题.
逆命题是假命题.
否命题也是假命题.
10.解：(1)命题p 的否命题为“若ac ＜0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”.
(2)命题p 的否命题是真命题.
证明如下：
∵ac ＜0，
∴－ac ＞0⇒Δ＝b 2－4ac ＞0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根.
∴该命题是真命题.
能力提升
1.[[答案]] A
[[解析]] a n ＋a n ＋12
<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列. 原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.
2.[[答案]] B
[[解析]] 命题①的逆否命题是“若x ≠0，或y ≠0，则x ＋y ≠0”，为假命题；
命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；
命题③的逆命题是“若x 2＝1，则x ＝1”，为假命题；
命题④为真命题，当m ＞2时，方程x 2－2x ＋m ＝0的判别式Δ＜0，可得不等式：x 2－2x ＋m >0的解集为R .
3.[[答案]] [1,2]
[[解析]] 由已知得，若1＜x ＜2成立，则m －1＜x ＜m ＋1也成立.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －1≤1，m ＋1≥2， ∴1≤m ≤2.
4.解：假设三个方程均无实根，则有
⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝(4a )2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2＝－(3a －1)(a ＋1)<0，
Δ3＝4a (a ＋2)<0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a >13或a <－1，－2<a <0.
∴使三个方程均无实数根的a 为：－32
<a <－1. ∴使三个方程至少有一个方程有实数根的实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤－32，或a ≥－1.。