第六单元商的变化规律 (P88例9)
商的变化规律
• 1、两个数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大 100倍，积（ A ）
• A、扩大100倍 B、缩小100倍 C、不变 • 2、 24×6=144，当因数6扩大10倍，另一个因数
不变，积是（ A ）。 • A、1440 B、14400 C、144 • 3、两个数相乘，一个因数不变，另一个因数除以
• A、被除数缩小10倍
B、除数扩大10倍
• C、被除数和除数都扩大10倍
• D、除数不变被除数扩大10倍或被除数不变除数缩小10倍
通过今天的学习， 你有哪些收获？
快告诉大家吧！
• 作业P89 • 4、6
谢谢
3，积（ B ）。 • A、也乘3 B、也除以3 C、不变
积的变化规律
• 两数相乘，一个因数不变，另一个因 数乘几或除以几（0除外），积也乘（ 或除以）几。
P86例8
2 100 200÷ 20 ＝ 10
40
5
16
2
160 ÷8 ＝ 20
320
40
被
除
除
数
数
扩
不
大
变
返回
商 缩 小
被
除
除
数
数
不
扩
变
• 3、810÷5=（810×2）÷（5×2）。（√ ）
四、选择
• 1、被除数扩大3倍，除数（ B ），商不变。 • A、增加3倍 B、扩大3倍 C、加上3
• 2、2100÷700﹦3，根据商不变规律，下面算式正确的是 （C ）
• A、210÷7﹦3 B、2100÷7﹦3 C、21÷7﹦3
• 3、在56÷7=8里，要使商变为80，那么（ D ）。
商 扩 大
大
《商的变化规律》
旅行预订
旅行者可以通过比较不同旅行 社或在线预订平台的报价，来 选择价格更合理的旅游产品。 这同样需要使用商的变化规律 来比较不同报价之间的差异。
商业中的应用
01
市场调研
商家在进行市场调研时，需要了解竞争对手的产品价格、促销策略和
市场占有率等信息。这需要使用商的变化规律来分析竞争对手的商业
策略。
02
要点二
详细描述
单项式乘以单项式，把他们的系数相乘作为积的系数， 相同字母的幂分别相乘后作为积中的相应项，其余字母 连同他的指数不变，作为积的因式。例如，$(2x^2) \cdot (3x^3)$等于$6x^5$。
除法运算律
总结词
一个数除以一个不为0的数等于这个数乘以 这个数的倒数。
详细描述
在进行除法运算时，一个数除以一个不为0 的数等于这个数乘以这个数的倒数。例如，
性质
小数商具有连续性和无限性，即两个整数相除得到的小数商是一个无限循环或不循环小数。此外，小数商还具 有传递性和封闭性，即任何两个整数的小数商都只有一个确定的值，并且如果a除以b得到的小数商是c，那么 b除以a得到的小数商就是c的倒数。
02
商的性质
传递性
定义
如果a·b=c·d，那么a:d=b:c，称为商的传递性。
扩大或缩小不同倍数
总结词
当两个数扩大或缩小的倍数不同时，商会发生变化。
详细描述
例如，当90除以10得到9，而9扩大20倍得到180，这时 商变为18，这表明当两个数扩大或缩小的倍数不同时， 商会发生变化。
零除法法则
总结词
零除法法则是指当被除数为零时，商也为零。
详细描述
例如，当90除以0得到0，这表明当被除数为零时，商 也为零。
商的变化规律PPT
被除数乘10，除数除以100，商 会怎样？
二、合作探究，尝试发现
任务一：除数不变，被除数乘或除以几，商会怎 样？
规律一: 除数不变，被除数乘（或除以）几，
商也乘（或除以）几。
被除数 除数 商
×2 不变 ×2 ×3 不变 ×3 ×4 不变 ×4 ×5 不变 ×5 ×6 不变 ×6 ×10 不变 ×10 ×100 不变 ×100
被除数
÷2 ÷3 ÷4 ÷5 ÷6 ÷10 ÷100
6300÷700＝ 9 8100÷300＝27
3200÷400＝8
• 1、一道除法算式的商是12，被除数不 变，除数乘4后，现在商是（ 3 ）。
• 2、一道除法算式中，商是7，被除数 和除数同时乘5，现在商是（7 ）。
• 3、一道除法算式中，被除数除以10， 要使商不变，除数（ 也要除以10 ）。
72÷9＝ 8
36÷3＝ 12
80÷4＝20
720÷90＝8
360÷30＝12
800÷40＝ 20
7200÷900＝ 8 3600÷300＝12 8000÷400＝20
四、巩固练习，牢记规律
1、很快说出下面各题的得数。
120÷30＝ 4
560÷80＝7
480÷40＝ 12
360÷90＝ 4
2、下面的题你会做吗？
规律三: 被除数和除数都乘一个相同的数，商（不变 ）； 被除数和除数都除以一个相同的数，商（不变 ）。
被除数 除数 商
三、总结结论，深化理解
规律一: 除数不变，被除数乘（或除以）几， 商也乘（或除以）几。
规律二: 被除数不变，除数乘（或除以）几， 商反而除以（或乘）几。
规律三: 被除数和除数都乘一个相同的数，商（不变 ）； 被除数和除数都除以一个相同的数，商（不变 ）。
四年级上册数学教案：第6单元 商的变化规律-人教版
四年级上册数学教案：第6单元商的变化规律-人教版一、教学目标1. 让学生理解商的变化规律，能够根据乘除法之间的关系，判断商的变化趋势。
2. 培养学生的观察、分析、概括能力，提高数学思维水平。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学素养。
二、教学内容1. 商的变化规律的概念2. 商的变化规律的应用3. 商的变化规律在实际问题中的运用三、教学重点与难点1. 教学重点：商的变化规律的概念及应用。
2. 教学难点：理解并运用商的变化规律解决实际问题。
四、教学过程1. 导入新课通过生活中的实例，引导学生观察、思考商的变化规律。
2. 探究新知（1）商的变化规律的概念通过具体的例子，让学生发现商的变化规律，并用自己的语言进行描述。
（2）商的变化规律的应用给出一些算式，让学生根据商的变化规律，判断商的大小关系。
（3）商的变化规律在实际问题中的运用结合实际情境，让学生运用商的变化规律解决问题。
3. 巩固练习设计一些练习题，让学生运用商的变化规律进行计算，巩固所学知识。
4. 总结提升通过本节课的学习，让学生总结商的变化规律，并能够运用到实际生活中。
五、作业布置1. 完成课后练习题，巩固商的变化规律。
2. 观察生活中的实例，运用商的变化规律解决问题，并记录下来。
六、板书设计1. 板书课题：商的变化规律2. 板书内容：（1）商的变化规律的概念（2）商的变化规律的应用（3）商的变化规律在实际问题中的运用七、课后反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
注：本教案为四年级上册数学第6单元《商的变化规律》的人教版教案，教学内容及要求仅供参考。
在实际教学中，教师可根据学生的实际情况进行调整。
需要重点关注的细节是“探究新知”部分，特别是商的变化规律的概念和应用。
这部分内容是本节课的核心，对于学生理解和掌握商的变化规律至关重要。
在“探究新知”部分，教师应详细补充和说明商的变化规律的概念和应用，以便学生能够深入理解并能够灵活运用。
人教版小学四年级数学上册常见错题集：第6单元.除数是两位数的除法
人教版小学四年级数学上册常见错题集：第6单元除数是两位数的除法重点：①．试商（及试商中的调商）②．商的变化规律：分析：试商的确是本单元的重点，甚至是唯一重点，那是是在学习本单元之处，但是，当试商阶段结束后，试商就无法出题了，因为都会了，没啥考头了。
从单元学习结束后看，商的变化规律就成了考试中真正的重点了，很容易出题，且有出题价值，出题形式也多，也实用。
商的变化规律中尤其是第三条a、“被除数和除数同时同乘几或同除几则商不变。
”更重要，即“被除数↑↓÷除数↑↓＝商”。
b、更重要的是它可以把复杂难算的除法运算式子变成简单、易算的式子，比如：课本P88例9的（1）、（2）题。
700÷25＝（700×4）÷（25×4）＝2800÷100＝28÷1＝28180÷36＝（180÷9）÷（36÷9）＝20÷4＝5；或者，180÷36＝（180÷18）÷（36÷18）＝10÷2＝5；c、甚至包含带余数的关系，即“被除数↑↓÷除数↑↓＝商＋余数↑↓”，比如课本P88例10的题。
难点：试商（及试商中的调商）知识点分析：①．本单元是在三年级下册第2单元“除数是一位数的除法”、四年级的上册第4单元“三位数乘两位数”的基础上进行教学的。
本单元是小学阶段整数除法学习的最后阶段，也是系统整理整数除法计算方法的过程，是对整数除法的一次扩展、总结，对提升学生的计算技能具有重要的意义。
②．可操作的除数是两位数的除法的试商的方法：a、四舍五入；b、同头无除商9、8、（7）；c、折半估商5（4）；d、除数是25的试商；e、口诀试商；f、高位试、低位调；g、差数试商等。
③．a、四舍五入法——试商的最基本方法——实质——把除数由非整十数变成整十数，即“整十数化”。
数学商的变化规律
总结词
详细描述
总结词
详细描述
总结词
详细描述
商随被除数变化规律
当被除数为0时，商为0。
当被除数为0时，商为0。这是因为任何非零数除以0都是未定义的，而0除以任何非零数都是0。
当被除数为正数时，商为正数。
当被除数为正数时，商为正数。这是因为正数的倒数还是正数，所以正被除数与正除数的商仍然是正数。
当被除数为负数时，商为负数。
当一个数被另一个数除时，如果将除数乘以一个正数，商就会变小；如果乘以一个负数，商就会变大。这是因为乘法会使被除数变大或变小，从而影响商的结果。
乘法对除法的影响
总结词
除法会使乘法的结果变小
详细描述
当两个数相乘时，如果将其中一个因数除以一个正数，积就会变小；如果除以一个负数，积就会变大。这是因为除法会使因数变小或变大，从而影响积的结果。
商的变化规律主要包括：被除数不变，除数扩大或缩小若干倍，商缩小或扩大相同的倍数；除数不变，被除数扩大或缩小若干倍，商扩大或缩小相同的倍数。
商的变化规律是数学运算中的基本规律，对于解决实际问题、简化计算过程以及提高计算效率具有重要意义。
商的变化规律概述
掌握商的变化规律有助于在数学运算中快速准确地得出结果，提高计算效率。
深入研究数学本质
商的变化规律是数学运算中的基本规律，深入研究其数学本质有助于推动数学学科的发展。
创新教学方法
针对不同年龄段和知识背景的学生，创新教学方法，使商的变化规律的教学更加生动有趣、易于理解。
感谢您的观看
THANKS
商的加法性质
如果两个数的商是a/b，那么在保持被除数不变的情况下，除数乘以d，新的商为a/(b*d)。
商的乘法性质
当被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数时，商不变。
商的变化规律及应用
商的变化规律及应用《商的变化规律》教学设计【教学内容】教科书第87-88页的例8、例9、例10，以及相应的“做一做”，练习十七的第1-3题。
【教学目标】知识与技能：探索并发现商的变化规律，并且知道这个规律在计算和解决实际问题中的具体应用。
过程与方法：在探索规律的活动中，经历观察、比较、综合、归纳等思维活动，获得一些探索的经验，发展思维能力。
情感、态度与价值观：在学习活动中感受数学内在的规律与联系，体会发现的乐趣，进一步产生对数学的好奇心和兴趣。
【教学重难点】重点：通过计算引导学生总结商的变化规律难点：理解和应用商的变化规律【教学准备】ppt。
【教学过程】一、故事导入教师讲述悟空分桃的故事。
花果上有许多小猴子，其中有一只叫小黄，特别爱吃桃子，一次孙悟空分桃子，分给小黄6个桃子，要他平均3天吃完。
可小黄觉得分到的桃子太少了，就对孙悟空说：“大王，你分给我的桃子太少了，能不能多给一些？”孙悟空想：小黄真贪吃，我得治治他。
孙悟空眼睛一转说：“好吧！那我就给你12个桃子，但要分6天吃完，你同意吗？”小黄还觉得太少，又说“再多点，再多点。
”孙悟空马上说：“那就给你36只桃子，但要分18天吃完，怎么样？”小黄一听能拿到这么多的桃子，便高高兴兴地走了。
这时孙悟空却哈哈大笑。
说一说，孙悟空为什么哈哈大笑？今天我们研究了商的变化规律就会明白孙悟空哈哈大笑的原因了板书：商的变化规律及应用。
二、合作探究（一）商的变化规律。
1先口算，再观察算式，你发现了什么，小组内交流。
16 =160 ÷ 8 =320 =（1）这组题目中，什么数发生了变化？什么数没有发生变化？从上往下看，被除数和商的变化有什么特点？（2）小组讨论汇报）（3）小结：除数不变，被除数乘几，商也乘几。
（4）口答：除数不变，被除数扩大倍，商是如何变化的？除数不变，被除数乘以8，商是如何变化的？学生口答。
2、先口算，再观察算式，你发现了什么，小组内交流。
商的变化规律
商的变化规律嘿，咱们今天来好好聊聊“商的变化规律”这个有趣的事儿！还记得我之前教过的一个班，有个叫小明的孩子。
那时候我们刚开始接触商的变化规律，这孩子一脸迷茫，小眼睛里充满了困惑。
咱们先来说说什么是商的变化规律。
简单来讲，就是被除数和除数的变化会引起商的相应变化。
比如说，被除数扩大或缩小几倍，除数不变，商就跟着扩大或缩小相同的倍数；被除数不变，除数扩大或缩小几倍，商反而缩小或扩大相同的倍数。
就拿个具体的例子来说吧。
假设咱们有 60 ÷ 20 ＝ 3 这个式子。
如果被除数 60 扩大 2 倍变成 120，除数 20 不变，商就从 3 变成 6 啦，是不是很神奇？再比如说，如果被除数不变还是 60，除数 20 扩大 2 倍变成 40，那商就从 3 变成 15 咯。
回到小明身上，刚开始他怎么都理解不了。
我就给他举了个生活中的例子。
我说：“小明啊，你想想，假如你有 10 个苹果要分给 2 个小朋友，那每人能分到 5 个。
可要是小朋友的数量不变，苹果变成 20 个，那每人不就能分到10 个啦。
但要是苹果还是10 个，小朋友变成4 个，那每人是不是就只能分到 25 个啦？”小明听完，眼睛突然亮了起来，好像一下子就开窍了。
在实际的数学计算中，掌握商的变化规律那可是大有用处。
比如说，当我们计算 900 ÷ 25 时，如果直接算可能有点麻烦。
但我们知道 25×4＝ 100，那我们可以把被除数和除数同时乘以 4，式子就变成 3600 ÷100 ＝ 36，这样一下子就简单多了。
还有啊，在解决一些应用题的时候，商的变化规律也能帮我们快速找到解题的思路。
比如有一道题说：工厂原来生产一个零件需要 8 小时，技术改进后，生产时间缩短为 4 小时。
原来一个月（按 30 天计算）能生产 360 个零件，现在能生产多少个？这时候就得用到商的变化规律啦。
原来一天工作的时间是 8×30 ＝ 240 小时，现在一天工作 4×30＝ 120 小时，时间缩短了一半，那生产的零件数量就会翻倍，所以现在能生产 360×2 ＝ 720 个零件。
《商的变化规律》
当被除数增大，除数不变时，商也相应增大；当被除数减小，除数不变时，商也相 应减小。同样地，当除数增大，被除数不变时，商减小；当除数减小，被除数不变 时，商增大。
商的极限变化规律
总结词
商的极限变化规律是指当被除数或除数无限增大或减小时，商的极 限值也会发生变化。
详细描述
当被除数或除数无限增大时，商的极限值趋于正无穷；当被除数或 除数无限减小时，商的极限值趋于负无穷。
商的除法规则
总结词
商的除法规则是指在进行商的运算时， 一个商除以另一个商等于被除数除以 第二个商的被除数，再乘以第二个商。
详细描述
设 a/b 和 c/d 是两个商，则 (a/b) / (c/d) = (a/c) * (d/b)，其中 a, b, c, d 是整数，b, d 不为零。
商的幂运算规则
商的取值范围
商可以是整数、小数或分数，取决于被除数和除数的取值。
商的分类
整数商
当除数为非零整数时，商为整数。
小数商
当除数为小数或分数时，商为小数。
分数商
当被除数或除数为分数时，商为分数。
商的性质
80%
商的运算性质
商具有运算性质，如加法结合律、乘法交 换律等。
100%
商的运算律
商的运算律包括分配律、交换律和结合律。
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商的应用场景
商在数学中的应用
代数运算
商是数学中基本的代数运算之一， 用于解决各种数学问题，如解方程、 化简表达式等。
几何图形
商的概念在几何学中有广泛应用， 如计算面积、体积、角度等。
函数与极限
商在函数和极限理论中起到关键作 用，用于研究函数的连续性和可导 性。
商在物理中的应用
人教版四年级数学上学期第六单元 笔算除法——用商的变化规律简便计算
用商的变化规律简便计算
根据360÷30=12，直接写出下面各题的商。 720÷30＝ 24 180÷15＝ 12 60÷5＝ 12
（1）780÷30＝___2_6___
应用商的变化规律不仅可以使口 算简便，还可以使笔算简便。
【课本P88页 例9】
我这样做。
26
30 7 8 0
小东
60
600÷40 =15
540÷20 =27
15
27
40 6 0 0 4
20 20
20 5 4 0 4
14 14
0
0
840÷50＝_1_6_…__…__40
【课本P88页 例9】
被除数和除数的末尾同时 去掉几个0，写余数时就要
补上几个0。 余40。
16
验 16
50 8 4 0 算 × 5 0
5
800
正
19
50 9 8 0 5 48 45
3
（2）120÷15＝___8____ 【课本P88页 例9】
120÷15
＝（120×4）÷（15×4）
＝ 480÷60 ＝8
“凑整法”，将除数 转化为整十数。
被除数和除数都 乘4，商不变。
（2）120÷15＝___8____ 【课本P88页 例9】
120÷15
34
＋ 40
确
30
840
4
余4。
女谁孩说说得对对。？验你证能：验16×证5一0+下40=吗84？0，840等
于被除数，余数是40正确；16×50+4=804，
804不等于被除数，余数是4不正确。
【课本P88页 “做一做” 第1题】
670÷30 =22……10 22
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15分
1.完成课本88页做一做第2题。（独立完成，全班交流）
2.在○里填上适当的运算符号，在□里填上适当的数。（独立完成，全班交流）450÷90=（450○□）÷（90÷10）
700÷25=（700○□）÷（25×4）
540÷60=（□÷）÷（□÷□）
900÷50=（900×□）÷（□×2）
3.计算下列各题（独立完成，全班交流）
560÷20 850÷50
4.全课小结（略）
小学四年级数学上册教案
学习内容：课本88页例9利用商的变化规律进行除法简算（商没有余数）。
学习目标：1.我要学会利用商的变化规律进行除法简算。
2.我会利用商的变化规律采用“凑整”的方法将除数转化成整十数进行简便计算。
学习重、难点：利用商的变化规律采用“凑整”的方法将除数转化成整十数进行简便计算。
环节
1.我会笔算
二、自学课本88例9（2）120÷15=
1.我会笔算
2.我还会利用商不变的规律，我是这样做的：120÷15
=（120×□）÷（15×□）
=（）÷（）
=（）
二、四人小组讨论交流，组代表展示汇报，补充质疑。
三、就例题引导学生进行总结：
在除法中，我们可以用商不变的规律把被除数和除数同时乘一个不为0的数，使除数变成整十、整百数，然后用口算除法求出商。
教学操作流程
分
1.口算下列各题39÷13 72÷12
390÷130 720÷120
（指名口答，互相补充，了解学生已有知识经验。）
2．提示课题：利用商的变化规律进行除法简算（板书课题）
3．看这个课题，你想学会什么知识？（根据学生的回答，板书学习目标）
快
乐
探
究
20分
一、自学课本88例9（1）780÷30=