【典型题】高三数学上期中试题及答案
山东省济南市2022-2023学年高三上学期期中数学试题(含答案解析)
山东省济南市2022-2023学年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．ABC 中，内角,,A B C c ，且6,4b c ==，点BC =（）．20-B ．-10D ．设方程e e 0x x ++=和ln 的根分别为p 和q ，函数()f x =）．(42033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题．方程3sin2cos22x x +=上有解，则解可能为（）三、填空题四、双空题五、解答题参考答案：8．B【分析】方法一：先利用方程的根与图象的交点的关系，推得e p q +=-，由此得到()()4341e 3g x x x x =--≥与4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而解出.【详解】方法一：由e x x +综上可得：2a ≤时，()f x 有一个零点，2a >时，()f x 有三个零点.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了恒成立问题和不等式证明问题，同时考查了数形结合思想，计算量较大，属于难题.本题的关键点有：（1）分类讨论解决函数问题时要找到讨论点；（2）用函数不等式证明数列不等式时，注意取值和相消法的应用；（3）在讨论零点问题时注意零点存在性定理的应用以及参数的替换.。
数学丨黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷及答案
哈师大附中2024—2025学年度高三上学期期中考试数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷(选择题,共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x==-，则A B = （）A ．()13，B．3⎡-⎣C．⎡⎤⎣⎦D．(⎤⎦2．复数2025z=2025i -在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数()2cos f x x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A.2πB .2C.6π+ D.13π+4．已知a 是单位向量，则“||||1a b b +-= 是“a b∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()()e 1x a xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．[)2,-+∞C ．(],0-∞D ．(],2-∞-6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则1236SS S =+（）A.43B.8C.9D.167.菱形ABCD 边长为2，P 为平面ABCD 内一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为()A.0B.2- C.2D.4-8.已知函数()f x 为偶函数，且满足(13)(13)f x f x -=+，当(0,1)x ∈，()31xf x =-，则323(log )f 的值为（）A.31B.5932C.4932D.21132二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数()2sin(1)3f x x πωω=+≤的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．1ω=B ．函数的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()y f x =向左平移3π个单位长度，得到函数()2cos(6g x x π=+D ．若方程(2)f x m =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，则m的取值范围是2⎤⎦10．设正实数,m n 满足1m n +=，则（）A ．1m nm+的最小值为3B+C的最小值为12D ．33m n +的最小值为1411.已知函数1()(0)xf x x x =>,则下列说法中正确的是（）A.方程1()(f x f x=有一个解B.若()()g x f x m =-有两个零点，则10em e<<C.若21()(log ())2a h x x f x =-存在极小值和极大值，则(1,e)a ∈D.若()0f xb -=有两个不同零点，2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，则2ln b c <<第Ⅱ卷(非选择题,共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为π36的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为π81的圆锥，则该圆锥的高度为.13．已知某种科技产品的利润率为P ，预计5年内与时间(t 月)满足函数关系式(t P ab =其中a b 、为非零常数).若经过12个月，利润率为10%，经过24个月，利润率为20%，那么当利润率达到50%以上，至少需要经过________________个月(用整数作答，参考数据：lg 20.3010)≈14.已知b 为单位向量，,a c 满足42a b c b ⋅=-= ，则12a c -的最小值为四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题13分）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边，且22()b a a c c -=-(1)求角B .(2)若b =△ABC 周长的最大值.16.（本小题15分）已知数列{}n a 满足*3212122,N 22n n a a a n a n -++++=∈ (1)求{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数依次构成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．17．（本小题15分）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()π26cos()x xf x x x =∈+R ．(1)求()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调递增区间；(2)在锐角ABC ∆中，已知()32f A =-,2133AD AB AC =+，cos B =，求tan BAD ∠18.（本小题17分）已知数列}{n a 满足111,,333,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数（*∈N n ）.(1)记232-=n n a b （*∈N n ），证明：数列}{n b 为等比数列，并求}{n b 的通项公式；(2)求数列}{n a 的前n 2项和n S 2；(3)设12121--=+n n n b b c （*∈N n ），且数列}{n c 的前n 项和为n T ，求证：1133ln --<-n n n n T （*∈N n ）.19.（本小题17分）已知函数ln ()sin ,(0,)x a f x e x x -=-∈+∞.(1)当a e =时，求()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥恒成立，求a 的范围；(3)若()f x 在(0,)π内有两个不同零点12,x x ，求证：122x x ππ<+<2024—2025学年度上学期高三学年期中考试数学答案一、单选题1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.B7.D8.C二、多选题9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题12.213.4014.1四、解答题15.（1）22()b a a c c -=-即222b a c ac =+-∵2222cos b a c ac B =+-∴1cos 2B =，又(0,)B π∈∴3B π=（2）由sin sin a c AC =可得，2sin a A =，2sin c C=2sin 2sin l a b c A C =++=+∵2+3A C π=∴23C Ap =-∴22sin 2sin()3l a b c A A π=++=+-3sin A A =)6A π=+∵203A π<<∴l的最大值为16.(1)321212222nn na a a a -++++= 当2n ≥时，312122)2222(1n n a a a n a --++++=- 两式相减，得122nn a -=，即2n n a =.又当1n =时，12a =符合题意，所以2n n a =.(2)由（1）得2n n a =，所以11222111n n nn n n b b d n n n ++--===+++，则112nn n d +=，所以()123111123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12341111112341222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：()()112111111111113342211112222222212n n n nn n n T n n ++++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅++⋅⋅⋅+-+=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以332n nn T +=-．17.（1）221()2sin cos()2sin 2sin (cos sin )2sin 226f x x x x x x x xπ=+-=--23323sin sin 2(1cos 2)sin(2)22232x x x x x π=---+-，由22,32x k k πππ+=+∈Z ，得,12x k k ππ=+∈Z ，所以()f x 的对称轴为ππ()122kx k =+∈Z .由222,232k x k k πππππ-+<+<+∈Z ，[]0,x π∈，所以单调递增区间为701212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，（2）由（1）知，33())322f A A π=+-=-，则πsin(2)03A +=，由02A π<<，得ππ4π2333A <+<，则π23A π+=，解得π3A =，因为ABC V中，cos B =，则B 为锐角，所以sin 3B ===，因为π3A =，πA B C ++=，所以2π3C B =-，所以2π2π2π11sin sin sin cos cos sin 333232326C B B B ⎛⎫=-=-=⨯+⨯=+⎪⎝⎭，设BADθ∠=，则π3 CADθ∠=-，在ABD△和ACD中，由正弦定理得sin sinBD ADBθ==πsinsin3CD ADCθ=⎛⎫-⎪⎝⎭因为2CD BD=(π3sin3θθ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，(1cos sin3sin22θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sinθθ=+，所以tan tanBADθ∠==18.（1）证明：2123123)1231(231212221-+=-++=-=++++nanaabnnnnnnnnbaanna31)23(312131212)6(31222=-=-=-+-=，又212313123121=-+=-=aab，所以，数列}{nb为以21为首项，31为公比的等比数列.（2）由（1）可知13121-⎪⎭⎫⎝⎛=nnb，又232-=nnab，23312112+⎪⎭⎫⎝⎛=∴-nna.设nnaaaP242++=，则nnPnnn233143432331131121+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=，设1231-++=nnaaaQ ，1231122-+=-naann，2312)121(31nQnnQPnnn+=-+⋅+=∴，233nPQnn-=∴，故21223631334nnnPQPSnnnnn-+⎪⎭⎫⎝⎛-=-=+=-.（3）nnnnnnnc321132113331311311-<--=--=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=-，n n n n n n n T 311311()313131(22+-=--=+++-<∴ ，所以欲证1133ln --<-n n n n T ，只需证)311ln(313ln 133ln 31n n n n n n --=--=-<，即证n n 31311ln(-<-.设)0,1(),1ln()(-∈+-=x x x x f ，01)(<+='∴x xx f ，故)(x f 在)0,1(-上单调递减，0)0()(=>f x f ，)0,1(-∈∴x 时，)1ln(x x +>.)0,31[31-∈-n ，n n 31311ln(-<-∴得证.19.1) =s =K1−sins 0=−1,n =K1−coss n 0=−1−1∴−−1=−1−12）3−2+ln 1+≥0.令=s 3−2+ln 1+≥0(1)t >-令=3−2+ln 1+,n =32−2+1r1=33+2−2r1r1，当≥0,'≥0∴在0,+∞单调递增，当()32322(0,1),ln 1(1)0t t t t t t t t t t ∈+++<++=++<∴≥0解集为≥0∴≥0>0,sins1≥sin=ℎ. ℎ' = cosKsin =, ∴ 在 单调递增, (4,54)单调递减,当>54时,ℎ<154∴ℎ=224∴1≥224,0<≤243）ℎ=sin ∴sin=1有两个根1,2。
2022-2023学年北京海淀区高三(上)期中数学试题及答案
2022北京海淀高三（上）期中数 学2022．11一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则UA =（ ）（A ）(0,2][3,)+∞（B ）(0,2)(3,)+∞（C ）(,2][3,)−∞+∞（D ）(,2)(3,)−∞+∞（2）在同一个坐标系中，函数log a y x =与(0x y a a =>且1)a ≠的图象可能是（ ）（3）已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则⋅=a b （ ）A ．4B ．C ．4−D ．−（4）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（ ）（A ）2（B ）2−（C ）4（D ）4−（5）已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是（ ）（A ）||a b >（B ）||a b >（C ）2a ab >（D ）2ab b >（6）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称．若3sin 5α=，则cos β=（ ）（A ）45−（B ）45 （C ）35−（D ）35（7）已知函数()f x ．甲同学将()f x 的图象向上平移1个单位长度，得到图象1C ；乙同学将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到图象2C ．若1C 与2C 恰好重合，则下列给出的()f x 中符合题意的是（ ）（A ）12()log f x x =（B ）2()log f x x =（C ）()2xf x =（D ）1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（8）已知函数()e e (0)x x f x a b ab −=+≠，则"0a b +="是"()f x 为奇函数"的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）若P 是ABC ∆内部或边上的一个动点，且AP xAB y AC =+，则xy 的最大值是（ ） （A ）14（B ）12（C ）1 （D ）2（10）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过n 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于99100，则n 的最小值为（ ） （参考数据：1g20.301,1g30.477≈≈） （A ）9（B ）10（C ）11（D ）12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． （11）若复数12i z =−，则z =____． （12）函数1()ln 1f x x x =+−的定义域是____． （13）已知向量(1,1)=a ，(,2)x tx =+b ．若存在实数x ，使得a 与b 的方向相同，则t 的一个取值为____． （14）若函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭和22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+−+的图象的对称中心完全重合，则ω=____；π6g ⎛⎫= ⎪⎝⎭____．（15）已知函数21,1,(),1.x ax x f x ax x ⎧−++≤=⎨>⎩（1）当1a =时，()f x 的极值点个数为____；（2）若()f x 恰有两个极值点，则a 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． （16）（本小题13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为(1,2,)n S n =，且23a =，525S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等比数列{}n b 的首项为1，公比为q ，在下列三个条件中选择一个，使得{}n b 的每一项都是{}n a 中的项．若*(),k m b a k m =∈N ，求m ．（用含k 的式子表示）条件①：1q =−； 条件②：2q =； 条件③：3q =． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分．（17）（本小题14分）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =+−． （Ⅰ）求π4f ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期；（Ⅲ）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．（18）（本小题14分）已知函值321()3f x x x =−．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在区间(1,]m −上的取值范围是4,03⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围．（19）（本小题14分）某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距12km 的观测站A 和B ，观测人员分别在,A B 处观测该动物种群，如图，某一时刻，该动物种群出现在点C 处，观测人员从两个观测站分别测得30BAC ∠=︒，60ABC =︒，经过一段时间后，该动物种群出现在点D 处，观测人员从两个观测站分别测得75BAD ∠=︒45ABD ∠=︒．（注：点,,,A B C D 在同一平面内）（Ⅰ）求ABD ∆的面积； （Ⅱ）求点,C D 之问的距离．（20）（本小题15分）已知函数s (n)iexx a f x −=．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =时，证明：函数()2y f x =−在区间(0,π)上有且仅有一个零点； （Ⅲ）若对任意[0,π]x ∈，不等式()2cos f x x ≥−恒成立，求a 的取值范围．（21）（本小题15分）对于一个m 行n 列的数表(2,3)m n A m n ⨯≥≥，用,i j a 表示数表中第i 行第j 列的数，{},0,1i j a ∈(1,2,,;i m =1,2,,)j n =．对于给定的正整数t ，若数表m n A ⨯满足以下两个条件，则称数表 m n A ⨯具有性质()p t ：①1,1j a =，,0(1,2,,)m j a j n ==；②,11,1,21,2,1,(1,2,,1)i i i i i n i n a a a a a a t i m +++−+−++−==−．（Ⅰ）以下给出数表1和数表2．（ⅰ）数表1是否具有性质(2)p ？说明理由；（ⅱ）是否存在正整数t ，使得数表2具有性质()p t ？若存在，直接写出t 的值，若不存在，说明理由； （Ⅱ）是否存在数表2023m A ⨯具有性质(6)p ？若存在，求出m 的最小值，若不存在，说明理由； （Ⅲ）给定偶数(3)n n >，对每一个{}2,3,,1t n ∈−，将集合{m n m A ⨯具有性质}()p t 中的最小元素记为()f t ．求()f t 的最大值．海淀区2022—2023学年第一学期期中练习高三数学参考答案一、选择题二、填空题（11 （12）(0,1)(1,)+∞ （13）答案不唯一，小于1的实数均可（14）2；1−或1 （15）2；(0,2)三、解答题（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为253,25a S ==, 所以113,54525.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =−. （Ⅱ）选择条件③.因为11,3b q ==， 所以13n n b −=. 因为m k a b =, 即1213k m −−= .得1312k m −+=.因为*k ∈N ,13k −为奇数，131k −+为偶数，所以*m ∈N .可得1312k m −+=.（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）2()2sin()cos()2cos ()14444f ππππ−=−−+−−22(2(1222=⋅+− 1=−.（Ⅱ）()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+.所以()f x 的最小正周期为22T π==π. （Ⅲ）因为0,2x π≤≤所以52,444x πππ≤+≤当242x ππ+=，即8x π=时，()f x 取得最大值，所以()f x 在区间[0,]2π上的最大值为()8f π=；当5244x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值， 所以()f x 在区间[0,]2π上的最小值为()12f π=−.（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R .2'()2f x x x =−，令'()0f x =，120,2x x ==.由表可得，()f x 的单调递增区间为(,0),(2,)−∞+∞；单调递减区间为(0,2). （Ⅱ）由函数解析式及（Ⅰ）可知44(1),(0)0,(2),(3)033f f f f −=−==−=.①当(1,2)m ∈−时，4(1,],()3x m f x ∀∈−≠−，不符合题意；②当[2,3]m ∈时，()f x 在区间[1,]m −上的取值范围是4[,0]3−，符合题意；③当3m >时，由()f x 在区间(2,)+∞上单调递增可知()(3)0f m f >=，不符合题意. 综合上述，[2,3]m ∈（19）（本小题14分） 解：（Ⅰ）在ABD △中，75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒,所以60ADB ∠=︒.由正弦定理：sin sin AD AB ABD ADB =∠∠，得sin 45sin 60AD AB=︒︒，所以，sin4512sin60AD AB︒=⋅==︒(km).1sin sin75sin(4530))2BAD∠=︒=︒+︒=+=,所以ABD△的面积为11sin123622ABDS AB AD BAD=⋅⋅∠=⨯⨯=+△(2km).（Ⅱ）由30BAC∠=︒，60ABC∠=︒, 得45CAD∠=︒,AC=在ACD△中由余弦定理，得2222cos363166260 CD AC AD AC AD CAD=+−⋅⋅∠=⨯+⨯−⨯=.所以，CD=(km).即点C, D之间的距离为km.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）当2a=时，()e2sinxf x x=−，则(0)1f=.'()e2cosxf x x=−，则'(0)1f=−.曲线()f x在(0,(0))f处的切线方程为1y x=−+.（Ⅱ）当1a=时，记()()2e sin2xg x f x x=−=−−，则'()e cosxg x x=−.当(0,x∈π)时，0e e1,cos1x x>=<,所以'()'(0)0g x g>=.所以()g x在(0,)π上单调递增.因为(0)10,()e20g gπ=−<π=−>,所以函数()2y f x=−在区间(0,π)上有且仅有一个零点.（Ⅲ）设()()cos2h x f x x=+−e sin cos2x a x x=−+−.则'()e cos sinxh x a x x=−−.设()e cos sinxs x a x x=−−.则'()e cos sinxs x x a x=−+.因为当[0,]x ∈π时，0e e 1,cos 1,sin 0x x x ≥=, 所以当0a ≥时，[0,]x ∈π时，'()0s x ≥， 所以'()h x 在区间[0,]π上单调递增()*.（1）当1a >时，'(0)10h a =−<，'()e 0h a ππ=+>, 且'()h x 在区间[0,]π上单调递增， 所以存在唯一0(0,)x ∈π，使得0'()0h x =. 当0(0,)x x ∈时，'()0h x <， 所以()h x 在区间0(0,)x 上单调递减. 可得0()(0)0h x h <=，所以与题意不符.（2）当1a =时,()e sin cos 2x h x x x =−+−. '()e cos sin x h x x x =−−由()*可知：'()h x 在区间[0,]π上单调递增, 所以当[0,]x ∈π时，'()'(0)0h x h ≥=. 所以()h x 在区间[0,]π上单调递增. 所以()(0)0h x h =区间[0,]π上恒成立. 符合题意. （3）当1a <时,()e sin cos 2e sin cos 2x x h x a x x x x =−+−>−+−.由（2）可知，此时()0h x >在区间[0,]π上恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是(,1]−∞. （21）（本小题15分） 解：（Ⅰ）（ⅰ）数表1不具有性质(2)p .理由：2,13,12,23,22,33,3||||||12a a a a a a −+−+−=≠.（ⅱ）存在. 3t =时，数表2具有性质()p t .（Ⅱ）不存在数表2023m A ⨯具有性质(6)p .假设存在m 使得数表2023m A ⨯具有性质(6)p ，则,11,1,21,2,1,||||||6(1,2,,1)i i i i i n i n a a a a a a i m +++−+−++−==−.即在这两行中，有6列的数不同，设其中有k 列是第i 行的数为1，第1i +行的数为0，则有6k −列是第i 行的数为0，第1i +行的数为1.所以，从第i 行到第1i +行，一共增加了62k −个1，1的个数的奇偶性不变. ……7分 所以，任意两行中，1的个数的奇偶性相同.与数表2023m A ⨯第一行有2023个1，最后一行有0个1矛盾. 所以，不存在具有性质(6)p 的数表2023m A ⨯.（Ⅲ）()f t 的最大值的为1n +.定义1m −行n 列的数表(1)m n B −⨯： 其第i 行第j 列为,,1,||1,2,,1(1,2,,)i j i j i j b a a i m j n +=−=−=，.则,{0,1}i j b ∈，且,0i j b =表示,1,,i j i j a a +两数相同，,1i j b =表示,1,,i j i j a a +两数不同. 因为数表m n A ⨯的第1行确定，所以给定数表(1)m n B −⨯后，数表m n A ⨯唯一确定. ①先证()1f t n ≤+.我们按照如下方式，构造数表n n B ⨯：对于第21s −行和第2s 行，1,2,,2n s =， 令21,2121,21,0s s s s b b −−−==，2,212,20,1s s s s b b −==，且在这两行其余的2n −列中，任选相同的1t −列都为1，其他列都为0. 于是可得到具有性质()p t 的数表(1)n n A +⨯如下：第1列第2列第3列第4列第n -1列第n 列第1行 第3行 第5行 … 第n +1行 即对于每个{2,3,,1}t n ∈−，当1m n =+时，都存在数表m n A ⨯具有性质()p t .所以()1f t n ≤+.②再证1t n =−时，()1f t n ≥+. 记,1,2,...(1,2,,)i i i i n S a a a i m =+++=.因为1t n =−是奇数，所以i S 与+1i S 的奇偶性不相同(1,2,,1i m =−).因为10m S n S ==，， 所以m 是奇数.我们考虑(1)m n B −⨯的第i 行和1i +行，因为1t n =−，所以这两行中都有1n −列为1，1列为0. 若这两行相同，则数表m n A ⨯的第i 行和第2i +行相同，2i i S S +=.若这两行不同，设其分别在第,p q 列为0()p q ≠，则数表m n A ⨯的第i 行和第2i +行只在第,p q 列上不同，其他列都相同，2||2i i S S +−≤. 因为1,0m S n S ==，其中n 是偶数. 所以1224311||||22m m m m m m n S S S S S S S S −−−−=−=−+−++−≤⨯. 所以1m n ≥+，即(1)1f n n −≥+. 结合①，(1)1f n n −=+.综上所述，()f t 的最大值的为1n +.。
福建省三明第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(解析)
三明一中2024-2025学年上学期半期考高三数学试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数3i 1i z =++在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则化简z ，再写出其对应的点即得.【详解】3i 1iz =++()()()()31i 331i i 1i i 1i 1i 222-=+=+-=-+-，故其在复平面对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限.故选：D.2. 设,a b 均为单位向量，则“a b a b -=+ ”是“a b ⊥”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量的运算法则和公式22a a = 进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由a b a b -=+ ，则22a b a b -=+ ，即222222a b a b a b a b +-⋅=++⋅，可得0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立；反之：由a b ⊥ ，则0a b ⋅=，可得2222()a b a b a b -=-=+ 且2222()a b a b a b +=+=+ ，所以a b a b -=+，即必要性成立，综上可得，a b a b -=+ 是a b ⊥的充分必要条件.故选：C.3. 已知数列{}n a 满足()111n n a a +-=，若11a =-，则10a =（ ）A. 2 B. ―2C. 1- D.12【答案】C 【解析】【分析】根据递推式求出2a ,3a ,4a 的值,可以发现数列为周期数列,从而推出10a 的值.【详解】因为111n n a a +=-,11a =-,所以212a =,32a =,41a =-,所以数列{}n a 的周期为3,所以101a =-．故选:C ．4. 已知实数1a >，0b >，满足3a b +=，则211a b+-的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】实数1a >，0b >，由3a b +=，得(1)2a b -+=，因此211211211[(1)]()(3)(3121212b a a b a b a b a b -+=-++=++≥+---，当且仅当211-=-b a a b，即14a -==-所以211a b +-.故选：B5. 中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中1320cm O O =，122cm O O =，16cm AB =，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：π3≈，铜的密度为8.963g /cm ）（ ）A. 1kgB. 2kgC. 3kgD. 0.5kg【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥的体积公式，结合质量公式求解即可.【详解】由题意可得惊鸟铃的体积约为长()22311π820π818128cm 33⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以该惊鸟铃的质量约为()1288.961146.88g 1⨯=≈（kg ）．故选：A ．6. 已知函数()()sin 10f x x ωω=+>在区间()0,π上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（ ）A. 711,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 711,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C. [)3,5D. (]3,5【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的性质结合整体思想计算即可.【详解】因为0πx <<，所以0πx <ω<ω，令()sin 10f x x ω=+=，则方程sin 1x ω=-有2个根，所以711πππ22ω<≤，解得71122ω<≤，则ω的取值范围是711,22⎛⎤ ⎥⎝⎦．故选：B7. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b +-==sin 21cos 2CC+，则角A 的大小为（ ）A.π12B.5π12C.7π12D.3π4【答案】B 【解析】【分析】借助余弦定理计算可得π6B =，4BC π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入计算即可得角A 的大小.【详解】因为222a c b +-=，由余弦定理得2cos ac B =，所以cos B =(0,π)B ∈，所以π6B =，2sin 22sin cos sin 1cos 22cos cos C C C CCC C ===+，所以cos cos sin sin C A C C A C +=-，)sin cos A C C C +=-，又πA C B +=-4B C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以π4B C =-或π4B C π+-=（舍），所以56412C πππ=+=，所以5561212A B C πππ=π--=π--=.故选：B.8. 已知函数()()()e ln 0xf x a ax a a a =--+>，若存在x 使得关于x 的不等式()0f x <成立，则实数a 的取值范围（ ）A. ()20,eB.()e0,e C.()2e ,+∞ D.()ee ,+∞【答案】C 【解析】【分析】将不等式变形为()ln eln 1ln 1x ax a x x -+-<-+-，构造函数()ln g x x x =+，分析可知该函数为增函数，可得出()ln ln 1a x x >--，求出函数()()ln 1h x x x =--的最小值，可得出关于实数a 的不等式，即可得出实数a 的取值范围.【详解】因为0a >，由0ax a ->可得1x >，即函数()f x 的定义域为()1,+∞，()()e ln ln 10xf x a a a x a =---+<可得()e ln ln 11x a x a-<--，即()ln eln 1ln 1x ax a x x -+-<-+-，构造函数()ln g x x x =+，其中0x >，则()110g x x'=+>，故函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以，()()ln e 1x agg x -<-，可得ln e1x ax -<-，则()ln ln 1x a x -<-，即()ln ln 1a x x >--，其中1x >，令()()ln 1h x x x =--，其中1x >，则()12111x h x x x -'=-=--，当12x <<时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减，当2x >时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增，所以，()()min ln 22a h x h >==，解得2e a >.故选：C.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为()ln eln 1ln 1x ax a x x -+-<-+-，结合不等式的结果构造函数()ln g x x x =+，转化为函数()g x 的单调性以及参变量分离法求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是（ ）A. 若//a b ，//b c，则//a cB. 若ABC V 是锐角三角形，则sin cos A B>C. 若点G 为ABC V 的重心，则0GA GB GC ++=D. 命题：x ∀∈R ，21x >-的否定是：x ∃∈R ，21x ≤-．【答案】BCD 【解析】【分析】若0b =可判断A ；根据正弦函数单调性和诱导公式可判断B ；由重心的向量表示可判断C ；由全称命题的否定可判断D.【详解】对于A ，若0b = ，则,a c不一定平行，故A 不正确；对于B ，若ABC V 是锐角三角形，则可得π2A B +>且π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2A B π>-，且0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性，可得πsin sin 2A B ⎛⎫>-⎪⎝⎭，所以sin cos A B >，所以B 正确；对于C ，分别取BC ，AC ，AB 中点D ，,E F ，则2GB GC GD +=，G 为ABC V 的重心，2GD AG ∴=，20GA GB GC GA GD ∴++=+=，故C 正确；对于D ，根据全称命题的否定可得：x ∀∈R ，21x >-的否定是：x ∃∈R ，21x ≤-，故D 正确.故选：BCD.10. 已知数列{}n a 的前n 项和为2113622n S n n =-+，则下列说法正确的是（ ）A. 7n a n =- B.23344556111145a a a a a a a a +++=C. 使0n S >的最小正整数n 为13 D.nS n的最小值为3-【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，根据n S 与n a 关系，求出通项n a 判断；对B ，利用裂项求和得解可判断；对C ，令0n S >求得答案；对D ，求出nS n，利用对勾函数单调性求最值.【详解】对于A ，由2113622n S n n =-+，当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，()()221113113611672222n n n a S S n n n n n -⎛⎫=-=-+----+=- ⎪⎝⎭，0,17,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩，故A 错误；对于B ，因为()()111118787n na a n n n n -==-----，2n ≥，所以23344556111111111111411453423255a a a a a a a a +++=-+-+-+-=-=，故B 正确；对于C ，由0n S >，即21136022n n -+>，解得12n >，故C 正确；对于D ，101S =，2n ≥时，1613112132222n S n n n n n ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因为函数12y x x =+在(0,上单调递减，在()∞+上单调递增，∴当3n =或4时，n Sn取得最小值为3-，故D 正确．故选：BCD.11. 已知函数()ln 1x xf x x -=+，则下列结论中正确的是（ ）A. 函数()f x 有两个零点B. ()13f x <恒成立C. 若方程()2k f x x x =+有两个不等实根，则k 的范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 直线14y x =-与函数()f x 图象有两个交点【答案】BCD 【解析】【分析】分01x <<和1x >两种情况探讨()f x 的符号，判断A 的真假；转化为研究函数()11ln 33g x x x x =++的最小值问题，判断B 的真假；把方程()2k f x x x=+有两个不等实根，为2ln k x x =-有两个根的问题，构造函数()2ln m x x x =-，分析函数()m x 的图象和性质，可得k 的取值范围，判断C 的真假；直线14y x =-与函数()f x 图象有两个交点转化为11ln 044x x --=有两解，分析函数()11ln 44n x x x =--的零点个数，可判断D 的真假.【详解】对A ：当01x <<时，()0f x >；当1x >时，()0f x <；1x =时，()0f x =，所以函数()f x 只有1个零点.A 错误；对B ：欲证()13f x <，须证ln 113x x x -<+⇔11ln 033x x x ++>在()0,∞+上恒成立.设()11ln 33h x x x x =++，则()4ln 3h x x '=+，由()0h x '>⇒43e x ->；由()0h x '<⇒430e x -<<.所以()h x 在430,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在43e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.所以()h x 的最小值为443343111e e 33e h --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为433e <，所以43e 0h -⎛⎫> ⎪⎝⎭.故B 正确；对C ：()2k f x x x=+⇒()1ln 1x x k x x x =++-⇒2ln k x x =-.设()2ln m x x x =-，0x >则()()2ln 2ln 1m x x x x x x '=--=-+，0x >.由()0m x '>⇒120e x -<<；由()0m x '<⇒12e x ->.所以()m x 120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.所以()m x 的最大值为：121e 2em -⎛⎫= ⎪⎝⎭，又当120,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x >.如图所示：所以2ln k x x =-有两个解时，10,2e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故C 正确；对D ：问题转化为方程：ln 114x x x x -=-+有两解，即11ln 044x x --=有两解.设()11ln 44n x x x =--，0x >，所以()11444xn x x x-'=-=.由()0n x '>⇒04x <<；由()0n x '<⇒4x >.所以()n x 在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减.所以()n x 的最大值为()54ln 44n =-.因为82256=，53243=，所以85523e >>⇒454e >⇒544e >⇒5ln 44>在所以()54ln404n =->.且当0x >且0x →时，()0n x <；x →+∞时，()0n x <.所以函数()11ln 44n x x x =--的图象如下：所以11ln 044x x --=有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第二部分（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. =______.【答案】12##0.5【解析】【分析】利用二倍角公式结合诱导公式化简，即可求得答案.sin50sin 40cos40sin 40cos10cos10===sin 80cos1012cos102cos102=== .故答案为：1213. 已知集合2{|290}A x x x a =-+-=，2{|4100}B x ax x a =-+=≠，，若集合A ，B 中至少有一个非空集合，实数a 的取值范围_______.【答案】{8a a ≥或4a ≤且}0a ≠【解析】【分析】先考虑A ，B 为空集得出a 的范围，再利用补集思想求得结果.【详解】对于集合A ，由()Δ4490a =--<，解得8a <;对于集合B ，由1640a ∆=-<，解得4a >.因为A,B 两个集合中至少有一个集合不为空集,所以a 的取值范围是{8a a ≥或4a ≤，且}0a ≠故答案为：{8a a ≥或4a ≤且}0a ≠14. 在四面体V ABC -中，VA VB ==3VC =，4CA CB ==，VC 的中点为P ，AB 的中点为Q ，则PQ 的取值范围为______.【答案】43⎛ ⎝【解析】【分析】设出线段AB 的长度，然后利用勾股定理表示出QV 和QC ，进而利用2221)4||QP QP QV QC ==(+ 表示出线段PQ 的长度，然后转化为函数求最值即可，但是要注意确定解析式中自变量的取值范围.【详解】如图所示，连接VQ 和CQ，根据VA VB ==4CA CB ==可知，VQ AB ⊥和CQ AB ⊥.不妨设2AB x =，则根据勾股定理可知VQ =，CQ =，其中根据三角形中三边的长度关系可知，0280233x x <<⎧⎪<<⎪>-<，解得2287036x <<.因为12QP QV QC =(+) ，所以22222222113123944442||||||||||||||||||QV QC QP QV QC QV QC QV QC x QV QC +-=(+)=(++⋅⋅)=(-)⋅.因2287036x <<，所以2163994||QP <<，即43QP <<.为。
江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题(含答案解析)
江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题（1）若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向,OA OB 修建两条观赏通道不计），使PS OA ⊥，PT OB ⊥，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS PT +最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由.21．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，32,sin 2B a b +=(1)求sin A ；(2)如图，点M 为边AC 上一点，π,2MB MC ABM =∠=，求ABC 22．已知二次函数()y f x =的图象与直线y =-6只有一个交点，满足(2)f x -是偶函数．()()f x g x x=（1）求二次函数()y f x =的解析式；（2）若对任意2[1,2],[4,4],()x t g x m tm ∈∈-≥-+恒成立，求实数m （3）若函数2(||3)11||3y g x k x =++⋅-+恰好三个零点，求k 的值及该函数的零点．参考答案：【详解】由余弦定理得2222BC AB BC AB =+-正确；0=.5，则()1,2AD AB AC =+∴ 正确；由图知函数()f x 有2个零点，故函数()f x 没有最值，故C 选项正确；函数()f x 在()0,1上单调递减，在由于方程()()21f x mf x --=令()t f x =则210t mt --=有因为2m 40∆=+>恒成立，设210t mt --=两个不等的实根为当13n =时，0x =；当24n =时，1;7x k =±∴=，函数的零点为0,1±。
2023届河北省唐山一中高三上学期期中数学试题及答案
唐山一中2022—2023 学年度第一学期期中考试高三年级 数学试卷说明：1.考试时间 120分钟，满分 150分。
2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上。
卷Ⅰ（选择题 共60分）一．单项单选题（本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{|12}A x x =-< ，{|}B x x a =<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是（）A ．{|2}a a <B ．{|2}a a >-C ．{|1}a a >-D ．{|12}a a -< 2．()12i 34i z +=-，则=z （）A ．2B CD ．33．已知a ，b 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题错误的是（）A ．若,//αγβα⊥，则βγ⊥B ．若//,//,a αββγα⊥，则a γ⊥C ．若,,//a b a b αγβγ== ，则//αβD ．若,,αγβγαβ⊥⊥= b ，则b γ⊥4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则6=a （）A ．103B ．107C ．109D ．1055．若,x R k Z ∈∈，则“||4x k ππ-<”是“|tan |1x <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知()cos()f x x =+ωϕ（其中0>ω，ππ22ϕ-<<）的部分图象如图所示，下列四个结论：（1）函数()f x 的单调递增区间为ππ2π,2π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z（2）函数()f x 的单调递减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z（3）函数()f x 的最小正周期为π（4）函数()f x 在区间[,]-ππ上有5个零点．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知0.30.22,3a b ==，若()2log c a b =+，则a b c ､､大小关系为（）A ．c b a>>B ．c a b>>C ．a b c>>D ．b a c>>8．在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC 的面积为S ，则24Sa bc+的最大值为（）A B C D ．18二．不定项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9．如图所示，在四棱锥E ABCD -中，CDE △是边长为2的正三角形，点N 为正方形ABCD 的中心，M 为线段DE 的中点，BC DE ⊥则下列结论正确的是（）A ．直线BM 与EN 是异面直线B ．线段BM 与EN 的长度不相等C ．直线DE ⊥平面ACMD ．直线EA 与平面ABCD 10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题中正确的有（）A ．若cos cos cos a b cA B C==，则△ABC 一定是等边三角形B ．若cos cos a A b B =，则△ABC 一定是等腰三角形C ．A B >是sin sin A B >成立的充要条件D ．若2220a b c +->，则△ABC 一定是锐角三角形11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列命题正确的是（）A ．若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -仍为等差数列B ．若{}n a 为等比数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -仍为等比数列C ．若{}n a 为等差数列，则{}n aa （a 为正常数）为等比数列D ．若{}n a 为等比数列，则{}lg n a 为等差数列12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ，()(),f x g x ''分别为()(),f x g x 的导函数，()()5f x g x '+=，()()225f x g x '--+=，若()g x 为奇函数，则下列等式一定成立的是（）A ．()25f -=B ．()()4g x g x +=.C ．()()8g x g x -'='D ．()()8f x f x +'='卷Ⅱ（非选择题共90分）三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．平面向量a 与b 的夹角为60︒，(3,4),||1== a b ，则|2|a b +=_____________．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111012S S S >>，则满足0n S >的正整数n 的最大值为____15．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，4PA =，AB BC AC ===M 为AC 的中点，球O 为三棱锥P ABM -的外接球，D 是球O 上任一点，则三棱锥-D PAC 体积的最大值为____________．16．已知函数()ln 1f x b x =--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题10分）已知等比数列{}n a 的公比>1q ，满足：2346=13,=3S a a .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1,=+,n n n a n b b n n -⎧⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .18.（本题12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠BAD ＝3π，AB ＝1，CD ＝3，M 为PC上一点，且MC ＝2PM.（1）证明：BM //平面PAD ；（2）若AD ＝2，PD ＝3，求点D 到平面PBC 的距离.19.（本题12分）在斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰直角三角形，AB AC =，侧面11BB C C 为菱形，且160B BC ∠=︒，点E 为棱1A A 的中点，1EB EC =，平面1B CE ⊥平面11BB C C ．(1)证明：平面11BB C C ⊥平面ABC ；(2)求平面1AB C 与平面1B CE 的夹角的余弦值．20．（本题12分）如图，矩形纸片ABCD 的长AB为3，将矩形ABCD 沿折痕,EF GH 翻折，使得,A B 两点均落于DC 边上的点P，若EG EPG ∠θ==.(1)当sin2sin θθ=-时，求矩形的宽AD 的长度；(2)当0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求矩形的宽AD 的最大值.21．（本题12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，5212S S =+；数列{}n b 的前n 项和n T ，且11b =，数列{}n b 的11n n b T +=+，()*n ∈N ．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n c 满足：()()112141n n n n n n n a a c a a b -++=-+，当2n ≥时，求证：12212n c c c ++⋅⋅⋅+<．22．（本题12分）已知()()1ln af x a x x x=-++(1)若0a <，讨论函数()f x 的单调性；(2)()()ln a g x f x x x =+-有两个不同的零点1x ，()2120x x x <<，若12202x x g λλ+⎛⎫'> ⎪+⎝⎭恒成立，求λ的范围．高三数学期中考试参考答案：1-8CCCBCBAA 9-12BD AC AC ACD13-162129e 17.（1）法一：因为{}n a 是公比1q >的等比数列，所以由3246=13=3S a a ⎧⎨⎩，得()12323511++=13=3a a a a q a q ⎧⎪⎨⎪⎩，即()2111++=13=3a q q a q ⎧⎪⎨⎪⎩，两式相除得21133q q q ++=，整理得231030q q -+=，即()()3130q q --=，解得3q =或13q =，又1q >，所以3q =，故131a q ==，所以1113n n n a a q --==，（2）当n 为奇数时，13n n n b a -==，当n 为偶数时，213n n n b b n n --=+=+，所以12342122n n n b b b b S b b -=++++++ ()()1321242n n b b b b b b -=+++++++ ()()222022023332n n n --=++++++++++ ()()022********n n -=+++++++ ()()22132+2=2+132nn n --⨯91(1)4nn n -=++.18.（1）过点M 作ME //CD ，交PD 于点E ，连接AE .因为AB //CD ，故AB //EM .又因为MC ＝2PM ，CD ＝3，且△PEM ∽△PDC ，故13EM PM DC PC ==，解得EM ＝1.由已知AB ＝1，得EM =AB ，故四边形ABME 为平行四边形，因此BM //AE ，又AE ⊂平面PAD ，BM ⊄平面PAD ，所以BM //平面PAD.（2）连接BD ，由已知AD ＝2，AB ＝1，∠BAD ＝3π，可得DB 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos ∠BAD ＝3，即DB 因为DB 2＋AB 2＝AD 2，故△ABD 为直角三角形，且∠ABD ＝2π.因为AB ∥CD ，故∠BDC ＝∠ABD ＝2π.因为DC ＝3，故BC =.由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥DB ，PD ⊥DC ，故PB =，PC =，则BC ＝PB ，故△PBC 为等腰三角形，其面积为S △PBC ＝12·PC 12=×2.设点D 到平面PBC 的距离为h ，则三V 三棱锥D －PBC ＝13·S △而直角三角形BDC 的面积为S△BDC ＝12·DC ·DB ＝12三棱锥P －BDC 的体积为V 三棱锥P －BDC ＝13·S △·PD ＝13因为V 三棱锥D －PBC ＝V 三棱锥P －BDC ，即2h ＝2，故h ＝5.所以点D 到平面PBC 的距离为5.19解：（1）分别取BC ，1B C 的中点O 和F ，连接OA ，OF ，EF ，1B O ，如下图：因为O ，F 分别是BC ，1B C 的中点，所以1FO BB ，且112FO BB =，因为点E 为棱1A A 的中点，所以1AE BB ，且112AE BB =，所以FO AE ，且FO AE =，所以四边形AOFE 是平行四边形，所以EF AO ∥．因为1EB EC =，F 是1B C 的中点，所以1EF B C ⊥，又因为平面1B CE ⊥平面11BB C C ，且平面1B CE 平面111BB C C B C =，所以EF ⊥平面11BB C C ，所以AO ⊥平面11BB C C ，因为AO ⊂平面ABC ，所以平面11BB C C ⊥平面ABC ．（2）因为侧面11BB C C 为菱形，且160B BC ∠=︒，所以1BB C △为正三角形，所以1B O BC ⊥，由（1）知平面11BB C C ⊥平面ABC ，平面11BB C C 平面ABC BC =，所以1B O ⊥平面ABC ，又由AB AC =，故OA ，OC ，1OB 两两垂直，设2AB =，则1AA BC ==，以O 为坐标原点，OA →，OC →，1OB →分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系如下：则)A，()C，(1B，,22E ⎭，所以(1B C →=，2CE →=⎭，()AC →=，设平面1B CE 的法向量为()111,,m x y z →=，则1111110022m B C m CE y z ⎧⋅=⎪⎨⋅+=⎪⎩，令11z =，则1y =10x =，从而()m →=．设平面1AB C 的法向量为()222,,n x y z →=，则122220,0,n B C n AC ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩令2y =21z =，2x =从而)n →=，设平面1AB C 与平面1B CE 的夹角为θ，则||2cos =|cos<,|7||||m n m n m n θ→→→→→→⋅>==⋅，所以平面1AB C 与平面1B CE的夹角的余弦值为7．20（1）依题意,在△EPG 中,EG =,3PE PG +=,EPG ∠θ=,AD 的长度即为△EPG 的边EG 上的高,当sin2sin θθ=-时，2sin cos sin θθθ=-,所以12cos ,(0,),23πθθπθ=-∈∴=EG = ,,PE AE x PG BG y ====x y ∴+，①由余弦定理得,2222cos EG PE PG PE PG θ=+-⋅得,221272x y xy ⎛⎫+-⋅-= ⎪⎝⎭，227x y xy ∴++=,②21212,sin 232PEG xy S xy AD AD π-⇒=∴=⋅=⋅⇒ ①②.（2）在PEG △中，,,3PE AE x PG BG y x y ====+=，①222cos 7x y xy θ+-=，②()2121cos 2,1cos xy xy θθ-⇒+=∴=+①②22sincostan11222sin 2212cos 12PEG S xy AD AD θθθθθ==⋅⇒==+-max 0,0,0tan 1,()2242AD πθπθθ<≤∴<≤<∴=21（1）解：因为11a =，由5212S S =+，得34512a a a ++=，所以4312a =，即44a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，所以41141a a d -==-，所以()()11111n a a n d n n =+-=+-⨯=．由11n n b T +=+，()*n ∈N ，得11n n b T -=+，()2n ≥，两式相减得()11n n n n n b b T T b +--=-=，即()122n n b b n +=≥，又2111112b T b b =+=+=，所以数列{}n b 是以1为首项、2为公比的等比数列，则11122n n n b b --=⋅=；（2）由（1）知：()()()()()()1111221114112n n n n n n n n n a a n n c a a b n n --+++++=-=-⋅++⋅，()()11111212n n n n n -+⎡⎤=-⋅+⎢⎥⋅+⋅⎣⎦，∴21232122334111111122222323242n n T c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=+-+++-⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22121111112221222122n n n n n n ++⎛⎫-+=-< ⎪ ⎪⋅+⋅+⋅⎝⎭．22解1)()f x 定义域为()0,∞+()()()()()222211111x a x a x a x a f x a x x x x +--+-'=-+-==ⅰ）01a <-<即10a -<<时，()01f x a x '<⇒-<<，()00f x x a '>⇒<<-或1x >ⅱ）1a -=即1a =-时，()0,x ∈+∞，()0f x '≥恒成立ⅲ）1a ->即1a <-，()01f x x a '<⇒<<-，()001f x x '>⇒<<或x a>-综上：10a -<<时，(),1x a ∈-，()f x 单调递减；()0,a -、()1,+∞，()f x 单调递增1a =-时，()0,x ∈+∞，()f x 单调递增1a <-时，()1,x a ∈-，()f x 单调递减；()0,1、(),a -+∞，()f x 单调递增(2)()ln g x a x x =+，由题1122ln 0ln 0a x x a x x +=⎧⎨+=⎩，120x x <<则()1221ln ln a x x x x -=-，设()120,1x t x =∈∴212112ln ln ln x x x xa x x t --==-()1a g x x'=+∴122112122221122ln 2x x x x g ax x t x x λλλλλλ+-++⎛⎫'=+=⋅+ ⎪+++⎝⎭()()()21102ln t t tλλ+-=+>+恒成立()0,1t ∈，∴ln 0t <∴()()21ln 02t t t λλ+-+<+恒成立设()()()21ln 2t h t tt λλ+-=++，∴()0h t <恒成立()()()()()()()()22222224122241222t t t t h t t t t t t t λλλλλλλ⎛⎫-- ⎪++-+⎝⎭'=-==+++ⅰ）24λ≥时，204t λ-<，∴()0h t '>，∴()h t 在()0,1上单调递增∴()()10h t h <=恒成立，∴(][),22,λ∈-∞-+∞ 合题ⅱ）24λ<，20,4t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0h t '>，∴()h t 在20,4λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '<，∴()h t 在2,14λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减∴2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()10h t h >=，不满足()0h t <恒成立综上：(][),22,λ∈-∞-+∞。
2023-2024学年北京西城区八中高三(上)期中数学试题及答案
2023-2024学年度第一学期期中练习题年级：高三科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{|5}A x N x =∈≤与集合{|(2)0}B x x x =->，则A B =()A ．{2,3,4}B ．{3,4,5}C ．[2,5)D ．(2,5]2.复数2i12iz -=+的虚部为()A ．1B ．1-C ．iD ．i-3.下列函数中最小值为4的是()A.224y x x =++ B.4|sin ||sin |y x x =+C.222xxy -=+ D.4ln ln y x x=+4.在空间中，若,,a b c 是三条直线，,αβ是两个平面，下列判断正确的是()A ．若a 的方向向量与α的法向量垂直，则//a α；B ．若//a α，βα⊥，则a β⊥；C ．若αβ⊥，c αβ= ，a c ⊥，则a α⊥；D ．若,αβ相交但不垂直，c α⊂，则在β内一定存在直线l ，满足l c ⊥.5.“0x >”是“+sin 0x x >”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知向量a，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,a a b <+> =()A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19357.如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A .若函数x y a =(0a >且1a ≠)及log b y x =（0b >且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则,a b 满足()A.1a b << B.1b a << C.1b a >> D.1a b >>8.在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =()A ．31010B.1010C.1010-D .31010-9.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.则哪种方案能通过考试的概率更大()A ．方案一B ．方案二C ．相等D ．无法比较10.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,AD B C 上的动点，设1,AE x B F y ==.若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是()A.[0,1]B.13[,]22C.[1,2]D.3[,2]2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=.若12l l ⊥，则实数a =.12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________．13.函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移________个单位长度得到.14.已知直线:330l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若||23AB =，则||CD =______.ABCD1D 1A 1B 1C E F15.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P.（1）下列函数中具有性质P 的有.①()2f x x =-+②()sin f x x =([0,2])x π∈③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞④()ln(1)f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.(本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求角A 的值，进而再求()f B 的取值范围.17.（本小题满分14分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，按照[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分组，并整理得到如下频率分布直方图：图1：甲大学图2：乙大学根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级:学习时间t (分钟/天)20t <2050t ≤<50t ≥等级一般爱好痴迷（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从这两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X 甲与X 乙的大小，及方差2S 甲与2S 乙的大小．(只需写出结论)18.（本小题满分14分）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图五面体ABCDEF ，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，其中EF ∥AD ∥BC ，4AD =，2EF BC AB ===，ED =M为AD 中点，平面BCEF 与平面ADEF 交于EF .再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF 能够确定，然后解答下列各题：（Ⅰ）求证：BM ∥平面CDE ；（Ⅱ）求二面角B AE F --的余弦值.（Ⅲ）在线段AE 上是否存在点Q ，使得MQ 与平面ABE 所成的角的正弦值为77，若存在，求出AQ AE 的值，若不存在，请说明理由.条件①：平面CDE ⊥平面ABCD ；条件②：平面ADEF ⊥平面ABCD ；条件③：EC =.19.（本小题满分15分）已知椭圆22220:1()x y W a ba b +=>>的焦距为4，短轴长为2，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）设,,A B C 是椭圆W 上的三个点，判断四边形OABC 能否为矩形？并说明理由．20.（本小题满分15分）已知函数212)(1()e 2x f x ax x -=-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程；（Ⅱ）若函数()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 存在最小值，直接写出a 的取值范围．21.（本小题满分14分）设数阵111202122,a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中11122122,,,{1,2,,6}a a a a ∈⋅⋅⋅，设12{,,,}{1,2,,6},l S e e e =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅其中*12, 6.l e e e l N l <<⋅⋅⋅<∈≤且定义变换k ϕ为“对于数列的每一行，若其中有k 或k -，则将这一行中每个数都乘以-1，若其中没有k 且没有k -，则这一行中所有数均保持不变”12(,,,).l k e e e =⋅⋅⋅0()s A ϕ表示“将0A 经过1e ϕ变换得到1A ，再将1A 经过2e ϕ变换得到2A ，⋅⋅⋅，以此类推，最后将1l A -经过le ϕ变换得到l A ”，记数阵l A 中四个数的和为0()s T A .（Ⅰ）若011A ⎛= ⎝25⎫⎪⎭，写出0A 经过2ϕ变换后得到的数阵1A ；（Ⅱ）若013A ⎛=⎝36⎫⎪⎭，{1,3},S =求0()s T A 的值；（Ⅲ）对任意确定的一个矩阵0A ，证明：0()s T A 的所有可能取值的和不超过4-.2023-2024学年度第一学期期中练习题答案年级：高三科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）BBCDCDACAC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.-3或012.21n n +13.23π14.415.①②④；(,](0,)e -∞-+∞ 三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+11=sin 2cos 222x x +2=sin(2)24x π+.由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ），解得88k x k 3πππ-≤≤π+.所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）.……………6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos 2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos 2cos sin A A A =-.即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=；当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=.则3+4B C =π.则304B <<π.又2444B ππ7π<+<，所以1sin(214B π-≤+≤.由2())24f B B π=+，则()f B 的取值范围是2222⎡-⎢⎥⎣⎦，.………………13分17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65.………3分（Ⅱ）甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102⨯⨯=人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106⨯⨯=人，所以，随机变量ξ的取值为0,1,2=ξ.所以，(0)==P ξ022628C C 1528C =，(1)==P ξ112628C C 123287C==，(2)==P ξ202628C C 128C =.所以ξ的分布列为ξ012P152837128ξ的数学期望为15311()012287282=⨯+⨯+⨯=E ξ.……………11分（Ⅲ）X <甲X 乙;22ss >甲乙……………13分（Ⅰ） 等腰梯形ABCD M 是AD 中点MD BC ∴=MD BC∴∥∴平行四边形BCDM BM CD ∴∥BM ∉ 平面CDE CD ∈平面CDE BM ∴∥平面CDE .（Ⅱ）选②和选③，过程仅在建系之前有区别.选②：取BC 中点为N ，EF 中点为P ，连接MP 和MN平面ADEF ⊥平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD = PM AD ⊥PM ∈ 平面ADEF PM ∴⊥平面ABCD MN AD ⊥ ，如图建系选③：取MD 中点Q ，连接CQ 和EQ EC = 3EQ=CQ =∴EQ CQ⊥∴二面角2E AD C π--=∴平面ADEF ⊥平面ABCD 取BC 中点为N ，EF 中点为P ，连接MP 和MN平面ADEF ⊥平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD = PM AD ⊥PM ∈ 平面ADEF PM ∴⊥平面ABCD MN AD ⊥ ，如图建系(0,2,0)A-1,0)B-C (0,2,0)D (0,1,3)E (0,1,3)F -(0,0,0)M (1,0)BA =- (0,3,3)AE = 设平面BAE 的一个法向量(,,)n x y z =00n BA n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0330y y z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩令x =，则3y =-，3z =，则3,3)n =- 易知(1,0,0)m =-是平面AEF的一个法向量cos ,||||7m n m n m n ⋅<>==-经检验，B AE F --为钝角，所以二面角B AE F --的余弦值为77-（Ⅲ）设,[0,1]AQAEλλ=∈，(0,3,3)AQ AE λλλ== ，(0,32,3)MQ MA AQ λλ=+=- ||7|cos ,|7||||MQ n MQ n MQ n ⋅<>==⋅解得153λ±=,均不满足题意，故不存在点Q .解：（Ⅰ）由题意，椭圆W 的方程为2215x y +=.（Ⅱ）设:AC y kx m =+,1122(,),,(),C x A x y y AC 中点00(,)M x y ,33(,)B x y ，2222255(15)10550x y k x kmx m y kx m⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，222(10)4(15)(55)0km k m ∆=-+->，1221015km x x k +=-+,21225515m x x k-=+.(1)由条件OA OC ⊥，得12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理得221212(1)()0k x x km x x m ++++=，将(1)式代入得2222(1)(55)(10)(15)0k m km km m k +-+-++=即22655m k =+(2)又20125215x x km x k +==-+,00215m y kx m k =+=+且M 同时也是OB 的中点,所以30302,2x x y y ==因为B 在椭圆上,所以223355x y +=，即02024205x y +=，222254()20(51515km m k k -+=++，所以22451m k =+(3)由(2)(3)解得2272,5k m ==，验证知222(10)4(15)(55)1200km k m ∆=-+-=>，所以四边形OABC 可以为矩形.20.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）111(0)e 22f e-=⋅=，∴切点为1(0,2e ，又21221()e ]2(1)[22(e 1)x x f x ax x x ax a a --+-'==+-，∴(0)0f '=，∴切线方程为102y e-=.（Ⅱ）定义域为R ，21()2(1)e x f x x ax a -'=+-1当0a =时，21()2e x f x x -'=-，令0()f x '>得0x <，∴()f x 增区间为(,0)-∞；令0()f x '<得0x >，∴()f x 增区间为(0,)+∞；∴()f x 在0x =取极大值，合题意.2当0a <时，由21()2(1)e 0x f x x ax a -'=-=+可得1210,0ax x a-==<，x 1(,)aa --∞1a a-1(,0)a a -0(0,)+∞()f x '-0+0-()f x 减极小值增极大值减∴()f x 在0x =处取得极大值，∴0a <合题意.3当0a >时，由21()2(1)e 0x f x x ax a -'=-=+可得1210,a x x a-==(i)当10aa-<即1a >时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x 1(,)aa --∞1a a-1(,0)a a -0(0,)+∞()f x '+0-0+()f x 增极大值减极小值增∴()f x 在0x =处取得极小值，不合题意.(ii)当10aa-=即1a =时,()0f x '≥在R 上恒成立，∴()f x 在R 上增，无极大值点.北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题答案第6页，共6页(iii)当10a a->即01a <<时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x(,0)-∞01(0,)a a -1a a -1(,)a a -+∞()f x '+0-0+()f x 增极大值减极小值增∴()f x 在0x =处取得极大值，∴01a <<合题意.综上可得：a 的取值范围是(,1)-∞（Ⅲ）1(0,]221.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）经过2f 变换111A æ-ç=ççè25ö-÷÷÷÷ø（Ⅱ）013A æç=ççè36ö÷÷÷÷ø经过1j 变换得到113A æ-ç=ççè36ö-÷÷÷÷ø经过3j 变换得到313A æç=ççè36ö÷÷÷÷-ø，所以0()13(3+S T A =++-）（-6)= -5（Ⅲ）因为集合S 共有含空集在内的子集64个，令00()A A f j =,对于第一行11a 和12a ①若1112a a =，则含11a 的子集有32个，这32个l A 中第一行为11a -，12a -；不含有11a 的子集有32个，这32个l A 中第一行为11a ，12a ，所有l A 中第一行的和为0。
2023-2024学年山东省聊城市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省聊城市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ={x|0＜x ＜5}，B ={x|x+1x−4≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣1，4]B ．[﹣1，5）C ．（0，4]D ．（0，4）2．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点P （﹣1，2），则cos （π﹣α）＝（ ）A ．√55B ．2√55C ．−√55D ．−2√553．设复数z 满足2z +z =3+i ，则z i=（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i4．定义在R 上的函数f （x ），满足f （x ）＝f （﹣x ），且在（﹣∞，0]为增函数，则（ ） A ．f(cos2023π)＜f(log120232022)＜f(212023)B ．f(212023)＜f(cos2023π)＜f(log 120232022) C ．f(212023)＜f(log 120232022)＜f(cos2023π)D ．f(log 120232022)＜f(cos2023π)＜f(212023)5．已知命题p ：∃x ∈[1，4]，log 12x ＜2x +a ，则p 为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．a ＞﹣1B ．a ＞﹣11C ．a ＜﹣1D ．a ＜﹣116．函数f(x)=sin(2x +π6)向右平移m （m ＞0）个单位后，所得函数g （x ）是偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．−π6B ．π6C ．π3D ．2π37．已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，则3x +9y 的最小值为（ ） A ．2√3B ．3√2C ．3√3D ．2√28．已知0＜α＜π2，2sin β﹣cos α＝1，sinα+2cosβ=√3，则cos(α+π3)=（ ） A ．14B ．−14C ．13D ．−13二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省德州市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题(含答案解析)
山东省德州市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________x．B．．D ．．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长都为30DAB =︒，则1AC 的长为（）A ．53+B ．5-C ．53+D ．5．若π5sin α⎛⎫-=，则5πsin 2α⎛⎫+的值为（A ．3872πcmB ．872π4C ．3432πcm 2D ．432πcm 8．函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数[],a b 上是单调递增函数，且()f x 在[],a b 上的值域为[ka 二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题(1)求S 关于x 的函数关系式；(1)求证：⊥AE 平面ABCD ；(2)求平面PBA 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．22．已知函数()()2e lnf x ax x =-有两个极值点对数的底数．(1)求实数a 的取值范围；(2)若()1212eln e 2ln ln ln x x x x λ≥⋅+-恒成立，求λ的取值范围．参考答案：故选：C.5．D【分析】根据诱导公式可得cos 【详解】由π5sin 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得即π5cos 65α⎛⎫+=-⎪⎝⎭所以5ππsin 2=sin 263αα⎛⎫⎛++ ⎪ ⎝⎭⎝故选:D 6．C【分析】根据给定条件，求出数列【详解】依题意，52n a n =-，显然数列因此22805805(n S n n n n +++==取等号，【详解】如图，作出函数()y f x =的图象，对于选项A ：令()10f x x --=，可得()1f x x =+，则函数()1y f x x =--的零点个数即为()y f x =与1y x =+的交点个数；由图象可知()y f x =与1y x =+有三个交点，即函数()1y f x x =--有三个零点，故A 正确；对于选项B ：令()0=-=y f x t ，可得()f x t =，则函数()y f x t =-的零点个数即为()y f x =与y t =的交点个数；若函数()y f x t =-有两个零点，由图象可知{}(]03,7t ∈ ，故B 正确；对于选项C ：若关于x 的方程()f x t =有四个不等实根，则()y f x =与y t =有四个交点，不妨设1234x x x x <<<，由图象可得：(]1,3t ∈，且12342,6+=-+=x x x x ，所以12344x x x x +++=，故C 错误；对于选项D ：因为()()2320f x f x -+=，解得()1f x =或()2f x =，结合图象可知：()1f x =有三个根，()2f x =有四个根，所以关于x 的方程()()2320f x f x -+=有7个不等实数根，故D 正确；故选：ABD.11．BD【分析】根据等比数列基本量的计算可得2q =，11a =，进而根据求和公式即可判断AB,根据等差等比数列的定义即可求解CD.，因为方程()2f x x =恰好只有一个实数根，即结合图象可得0m <或11m e=+，故结合图象可得021a <<，即102a <<，故60,0,P ⎛⎫60,,0A ⎛⎫-6,B ⎛-由图可知，当02a <<时，直线y a =与函数()2eln x g x x=的图象有两个交点，且当10x x <<或2x x >时，()ln 2e 0x f x a x '=-⋅>；【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.。
高三上学期期中数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(1) = 3$，$f(2) = 8$，$f(3) = 15$，则$a + b + c$的值为：A. 6B. 7C. 8D. 92. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，公差$d = 2$，则$a_{10} + a_{20} + a_{30}$的值为：A. 120B. 150C. 180D. 2103. 已知复数$z = 2 + 3i$，则$|z|^2$的值为：A. 13B. 14C. 15D. 164. 若直线$y = kx + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k$的取值范围为：A. $(-1, 1)$B. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$C. $(-\infty, 1] \cup [1, +\infty)$D. $[-1, 1]$5. 若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = 1$，公比$q = -2$，则$a_3 \cdot a_5\cdot a_7$的值为：A. -8B. -16C. 8D. 166. 若不等式组$\begin{cases} x + y \geq 1 \\ x - y \leq 1 \end{cases}$的解集在坐标系中对应的图形为：A. 一个正方形B. 一个矩形C. 一个三角形D. 一个平行四边形7. 函数$f(x) = x^3 - 3x$在区间$[0, 3]$上的最大值和最小值分别为：A. $-2, -3$B. $-3, -2$C. $2, -3$D. $3, -2$8. 已知椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$b^2$的值为：A. 4B. 3C. 2D. 19. 若函数$g(x) = \log_2(x + 1) - \log_2(x - 1)$的定义域为$[1, 3]$，则$g(x)$在定义域内的最大值为：A. 1B. 0C. -1D. 无最大值10. 若直线$y = kx + 1$与直线$y = -\frac{1}{k}x + 1$的交点在第一象限，则$k$的取值范围为：A. $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$B. $(-\infty, 0) \cup (0,1)$ C. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ D. $(-1, 0) \cup (0, 1)$二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 4n^2 - 3n$，则$a_1$的值为______。
2023—2024学年北京市海淀区高三上学期期中练习数学试题(含答案)
a
2
2 cos
2
2 sin 2 可看作是点 Q
2 cos, 2 sin 到点 R a, 2 的距离，即可
求解. 【详解】以 M 为圆心，以 MA, MC 为 x, y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于 AB AC 2, 所以 BC 2 2, BM CM 2 ，
(1)求 A, B 两点之间的距离；
(2)判断直线 CD 与直线 AB 是否垂直，并说明理由．
20．已知函数
f x
x a ，且 f 1 1 , f 4 2 ．
x2 b
4
19
(1)求 a,b 的值；
(2)求 f x 的单调区间；
(3)设实数 m 满足：存在 k R ，使直线 y kx m 是曲线 y f x 的切线，且 kx m f x 对
A． 9 4
B．3
6．设
a
log4 6,b
log23, c
3 2
，则（
）
A． a b c
B． c b a
C．9 C． b a c
D．36 D． b c a
7．“ sin tan 0”是“ 为第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
x 0, 恒成立，求 m 的最大值．
21．设无穷数列an 的前 n 项和为 Sn ,in 为单调递增的无穷正整数数列，记 An Sin1 Sin ，
n 1, 2, ，定义 Ω j N* Sk S j 0, k j 1, j 2, ．
(1)若 an n, in n2 n 1, 2, ，写出 A1, A2 的值；
因为 y log2 x 是增函数， 6 8 9 ，
上海市2023-2024学年高三上学期期中考试 数学含解析
2023学年第一学期期中教学评估高三数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）1.已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B ⋃=______.2.若1i 1i ()z -=+，则||z =__________．3.已知平面向量a ，b 的夹角为π4，若1,2a a b =-= ，则b 的值为____________.4.若α是第三象限角，且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，则tan α等于_____.5.已知向量()()()1,0,1,1,1,2a b c ===-，且c a b λμ=+，则λμ+=__________.6.在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为15s ，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_________，________等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.7.若直线()1y k x =-与曲线e xy =相切，则k 的值为___________.8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34114,14S a a =-=，则5a=__________.9.设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B两点，若AB =，则直线l 的方程为___________.10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O的表面上，若12π3AB AC AA BAC ∠====，则球O 的体积为__________.11.已知曲线C：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.12.已知函数ln xf x x （）=，若关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=，有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______．二．选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）13.已知23,38xy==，则（）A.32x >B.32y <C.3xy =D.x y +>14.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：上市时间x 天41036市场价y 元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系（）A.y ax b =+B.2y ax bx c =++C.log b y a x=⋅ D.x y k a =⋅；15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]12，上是减函数，令12121ln2log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则()()()f a f b f c ，，的大小关系为（）A.()()()f b f c f a <<B.()()()f a f c f b <<C.()()()f c f b f a << D.()()()f c f a f b <<16.如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，4=AD ，90ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（）A.PB 与CD 所成的角是30B.平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是63C.PB 与平面PCD 所成的角的正弦值是36D.M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 距离最大值为433三．简答题（共78分，14+14+14+18+18）17.在数列{}n a 中，4m a =，32m a +=-，其中m 为给定的正整数，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，1m =，求13a ；（2）若{}n a 为等差数列，是否存在正整数m ，使得130S =？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.18.如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA ＝PB ＝PC ，且M ，N 分别为线段AB ，PC 的中点．（1）若点K 是线段PM 的中点，求证：直线//NK 平面ABC ；（2）求证：平面P C M ⊥平面ABC ．19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=-.（1）求C 的大小；（2）若CD 平分ACB ∠交AB 于D 且3CD =ABC 面积的最小值.20.在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ，M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B （i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于D ，G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值．21.已知函数()e 1xf x x =-，()()lng x a x x =+．（1）若2a =，证明：()42g x x ≤-；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求正实数a 的值；（3）证明：()2e 2ln 2sin xxx x x >++．2023学年第一学期期中教学评估高三数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）1.已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B ⋃=______.【答案】{}04x x ≤<【解析】【分析】对集合(){}40B x x x =-<解一元二次不等式，取并集即可.【详解】∵(){}{}4004B x x x x x =-<=<<，∴{}04A B x x ⋃=≤<.2.若1i 1i ()z -=+，则||z =__________．【答案】1【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数z ，再求出其模.【详解】因为1i 1i ()z -=+，所以()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2z ++++====--+，所以||1z =.故答案为：13.已知平面向量a ，b 的夹角为π4，若1,2a a b =-= ，则b 的值为____________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律，代入计算，即可得到结果.【详解】由2a b -=r r ()2210a b-= ，222π44441cos 104a ab b b b -⋅+=-⨯⨯⋅+= ，(260,0b b b b --=-=，解得b =故答案为：4.若α是第三象限角，且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，则tan α等于_____.【答案】512【解析】【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出sin α，再利用平方关系求出cos α，进而求出tan α.【详解】 ()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，∴()5sin sin 13αββα+-==-⎡⎤⎣⎦，α是第三象限角，∴12cos 13α==-，∴sin 5tan cos 12ααα==.故答案为：512.5.已知向量()()()1,0,1,1,1,2a b c ===- ，且c a b λμ=+，则λμ+=__________.【答案】1-【解析】【分析】先求得c a b λμ=+的坐标，再利用向量相等求解.【详解】解：因为()()1,0,1,1a b==，所以()c a b λμλμμ=+=+，，又因为()1,2c =-，所以1,2,λμμ+=-⎧⎨=⎩解得3,1λλμ=-∴+=-．故答案为：1-6.在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为15s ，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_________，________等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.【答案】①.车长②.车速【解析】【分析】由题意求出一辆车通过该路段所需时间表达式，看表达式主要与哪些量有关即可.【详解】设式子路口的宽度、车长、车速为m,m,m /s d l v ，则若车辆在15s 内能够通过该式子路段，需要满足215d lt v+=≤，因此在该段时间内，车辆通过的数量可能会受到车长、车速等因素的影响.故答案为：车长，车速.7.若直线()1y k x =-与曲线e x y =相切，则k 的值为___________.【答案】2e 【解析】【分析】设切点为()00,x y ，利用导数的几何意义结合条件即得.【详解】设切点为()00,x y ，则00e xy =，()001y k x =-，e x y '= ，0e x k ∴=，()000e e 1x x x ∴=-，所以02x =，2e k =.故答案为：2e .8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34114,14S a a =-=，则5a =__________.【答案】32【解析】【分析】利用等比数列通项公式11n n a a q -=⋅将4114a a -=化简，再利用等比数列前n 项和的性质将3S 化为123a a a ++，两式联立解方程即可.【详解】设该数列的公比为q ，则()()()()23123132411111411114S a a a a q q a a a q a q q q ⎧=++=++=⎪⎨-=-=++-=⎪⎩，解得12,2q a ==，则45132a a q =⋅=.故答案为：32.9.设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B两点，若AB =，则直线l 的方程为___________.【答案】0x =或34120x y +-=【解析】【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，求出A ，B两点的坐标，再判断AB =是否成立，当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，弦和半径的关系列方程可求出k ，从而可求出直线方程【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，由2202220x x y x y =⎧⎨+---=⎩，得01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或01x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，此时AB =.当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，因为圆222220x y x y +---=的圆心(1,1)C ，半径2r =，所以圆心C 到直线l的距离d ==.因为2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222341k k ++=+，解得34k =-，所以直线l 的方程为334y x =-+，即34120x y +-=.综上，直线l 的方程为0x =或34120x y +-=.故答案为：0x =或34120x y +-=10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O的表面上，若12π3AB AC AA BAC ∠====，则球O 的体积为__________.【答案】3【解析】【分析】根据正余弦定理可得ABC 的外接圆半径，然后根据球的性质结合条件可得球的半径，再利用球的体积公式即得.【详解】因为2π3AB AC BAC ∠===，所以2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠133232⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即3BC =，所以ABC 的外接圆半径为12sin BCr BAC∠=⋅=，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA =，设球O 的半径为R ，则R ==因此球O 的体积为34205ππ33V R ==．故答案为：205π3.11.已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.【答案】[2,3]【解析】【详解】故答案为[2,3].12.已知函数ln xf x x（）=，若关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=，有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______．【答案】(,1e)-∞-【解析】【分析】首先利用导函数求f x （）的单调性，作出函数的大致图象，将方程解得问题转换成交点问题即可求解出答案．【详解】解：因为()ln x f x x=，则'2ln 1()(ln )x f x x -=，当01x <<或1e x <<时，()0f x '<，当e x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1和(1,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，且当0x →时，()0f x →，(e)e f =，故f x （）的大致图像如图所示：关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=等价于[()1()1]0f x f x a ][++-=，即()1f x =-或()1f x a =-，由图可得，方程()1f x =-有且仅有一解，则()1f x a =-有两解，所以1e a ->，解得1a e <-，故答案为：(,1e)-∞-二．选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）13.已知23,38x y ==，则（）A.32x >B.32y <C.3xy = D.x y +>【答案】ACD 【解析】【分析】根据指数与对数的互化，求出,x y ，再根据指数的运算，结合换底公式与基本不等式逐个选项判断即可.【详解】由题意，23log 3,log 8x y ==.对A ，222233log 32log 33log 9log 822x >⇔>⇔>⇔>，成立，故A 正确；对B ，333333log 82log 83log 64log 2722y <⇔<⇔<⇔<，不成立，故B 错误；对C ，232lg 3lg8lg8log 3log 8log 83lg 2lg 3lg 2xy ⨯=⨯====，成立，故C 正确；对D ，因为3xy =，故x y +≥=，当且仅当x y ==x y ≠，故x y +>，成立，故D 正确；故选：ACD14.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：上市时间x 天41036市场价y 元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系（）A.y ax b =+B.2y ax bx c =++C.log b y a x =⋅D.x y k a =⋅；【答案】B 【解析】【分析】由题意观察出y 随x 的变化趋势，对比函数单调性即可得解.【详解】∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而三个函数中y ax b =+、log b y a x =、x y k a =⋅显然都是单调函数，不满足题意，∴选择2y ax bx c =++．故选：B.15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]12，上是减函数，令12121ln2log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则()()()f a f b f c ，，的大小关系为（）A.()()()f b f c f a <<B.()()()f a f c f b <<C.()()()f c f b f a <<D.()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】【分析】由已知得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，这样得出函数在[1,2]上是减函数，再由奇函数得出在[1,1]-上是增函数，利用奇函数得(0)0f =，从而得出(2)0(0)f ==，确定,,a b c 的值或范围后利用单调性可比较大小．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数且满足()()2f x f x +=-，(2)()()f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，()f x 在[1,2]上是减函数，则在[0,1]上是增函数，又()f x 是奇函数，所以()f x 在[1,0]-上是增函数，所以()f x 在[1,1]-上是增函数，()f x 在[1,3]上是减函数，结合奇函数得(0)0f =，所以(2)0f =，121(24b -==，12log 21c ==-，ln 2(0,1)a =∈，所以(1)(0)(ln 2)f f f -<<，即()()()f c f b f a <<，故选：C ．16.如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，4=AD ，90ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（）A.PB 与CD 所成的角是30B.平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是63C.PB 与平面PCD 所成的角的正弦值是36D.M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 距离最大值为433【答案】C 【解析】【分析】根据题设建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线线角、线面角、面面角以及点到面的距离问题.【详解】 90ABC ∠= ，//AD BC ，∴AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，∴以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,2)P ，∴(2,0,2)BP =- ，(2,2,0)CD =-，(2,2,2)PC =- ，对于A ， 41cos ,22222BP CD BP CD BP CD ⋅===⨯，且0,180BP CD ≤≤，∴,60BP CD =，∴PB 与CD 所成的角是60 ，故A 错误；对于B ，设平面PCD 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111112220,220,n PC x y z n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令11x =，则11y =，12z =，所以1(1,1,2)n = ，显然平面PAB 的法向量为(0,1,0)m =，∴111cos ,6m n m n m n ⋅===，∴平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是66，故B 错误.对于C，111sin ,6BP n BP n BP n ⋅==，故C 正确；对于D ， M 是线段PC 上动点，∴设()()2,2,201PM PC λλλλλ==-≤≤，N 为AD 中点，∴()0,2,0N ，()2,2,0BN =-，∴()22,2,22BM BP PM λλλ=+=-+-，当1λ=时，M 位于C 点，此时点P 到平面BMN 距离为2PA =,当1λ≠时，设平面BMN 的法向量为()2222,,n x y z =，则()()2222222222220,220,n BM x y z n BN x y λλλ⎧⋅=-+++-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令21x =，则21y =，2121z λλ-=-，所以212(1,1,)1n λλ-=- ，∴点P 到平面BMN距离22BP n d n ⋅==，当143λ=，即34λ=时，2min 1123863λλ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，此时maxd==2>，∴点P到平面BMN，故D错误.故选：C.三．简答题（共78分，14+14+14+18+18）17.在数列{}n a中，4ma=，32ma+=-，其中m为给定的正整数，{}n a的前n项和为n S.（1）若{}n a为等比数列，1m=，求13a；（2）若{}n a为等差数列，是否存在正整数m，使得130S=？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）14（2）存在，5m=【解析】【分析】(1)利用等比数列任意两项之间的关系求出公比，结合等比数列的通项公式即可得出结果.(2)利用等差数列任意两项之间的关系求出公差，进而求出首项，结合等差数列的求和公式即可.【小问1详解】由题意，14a=，42a=-，设等比数列的公比为q，则34112aqa==-.故41213111424a a q⎛⎫=⋅=⨯-=⎪⎝⎭.【小问2详解】设等差数列{}n a的公差为d，由题意，323m ma ad+-==-.由()11ma a m d=+-可知122a m=+.由()1311312131321002S a d m⨯=+=⨯-=，解得5m=.存在正整数5m=，使得130S=18.如图，三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC，且M，N分别为线段AB，PC的中点．（1）若点K 是线段PM 的中点，求证：直线//NK 平面ABC ；（2）求证：平面P C M ⊥平面ABC ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意利用中位线定理知//NK CM ，利用线面平行的判定定理即可证明//NK 平面ABC ．（2）由PA ，PB ，PC 两两垂直，可证PC ⊥平面PAB ，进而可得PC AB ⊥，再证明AB ⊥平面PCM ,根据面面垂直判定定理即可证明平面PCM ⊥平面ABC ．【小问1详解】因为N 为线段PC 的中点，点K 是线段PM 的中点，所以由中位线定理知//NK CM ，又CM 在平面ABC 内，且NK 在平面ABC 外，因此根据线面平行判定定理得直线//NK 平面ABC ，得证．【小问2详解】因为PA ，PB ，PC 两两垂直，所以PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，,,PA PB P PA PB =⊂ 平面PAB ，所以PC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，所以PC AB ⊥，又PA ＝PB ，且M 为线段AB 的中点，所以PM AB ⊥，结合,,PM PC P PM PC =⊂ 平面PCM ,所以AB ⊥平面PCM ,因为AB ⊂平面ABC ，所以平面PCM ⊥平面ABC ，得证．.19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=-.（1）求C 的大小；（2）若CD 平分ACB ∠交AB 于D且CD =ABC 面积的最小值.【答案】（1）π3C =；（2【解析】【分析】（1）结合三角形的内角和定理、诱导公式化简已知条件，由此求得C .（2）根据已知条件求得a b =或a b ab +=，结合基本不等式求得三角形ABC 面积的最小值.【小问1详解】依题意，sin(2)sin sin A B B A +=-，则()sin()sin sin A B A C A A ++=+-，故()sin(π)sin sin A C C A A +-=+-，则()sin()sin sin C A C A A -=+-，sin cos cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C A A -=+-，2cos sin sin C A A =，由于0,πA C <<，所以sin 0A >，所以1cos 2C =，则C 为锐角，且π3C =.【小问2详解】依题意CD 平分ACB ∠，在三角形ACD 中，由正弦定理得3πsin sin 6AD A =，在三角形BCD中，由正弦定理得πsin sin 6BD B =，所以sin sin AD A BD B ⋅=⋅，由正弦定理得AD bBD a=.在三角形ACD 中，由余弦定理得222π3cos336AD b b b =+-⋅=-+，在三角形BCD 中，由余弦定理得222π3cos336BD a a a =+-⋅=-+，所以2222223333AD b b b BD a a a -+==-+，整理得()()0a b ab a b +--=，所以a b =或a b ab +=.当a b =时，三角形ABC 是等边三角形，CD AB ⊥，1AD BD ==，2AB AC BC ===，所以1π22sin 23ABC S =⨯⨯⨯=当a b ab +=时，2,4ab a b ab =+≥≥，当且仅当2a b ==时等号成立，所以三角形113sin 4222ABC S ab C =≥⨯⨯= .综上所述，三角形ABC20.在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ，M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B （i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于D ，G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值．【答案】（1）22143x y +=（2）28849【解析】【分析】（1）设动圆P 的半径为R ，圆心为(,)x y ，根据题意列出1271||,||22PC R PC R =-=+，即可得12||||4PC PC +=，结合椭圆定义即可求得答案；（2）（i ）设直线AB 的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，进而利用BM 方程，求出N 点坐标，结合根与系数关系式化简，可得结论；（ii ）求出弦长||AB 和||DG ，结合题意可求出四边形ADBG 面积的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值.【小问1详解】设动圆P 的半径为R ，圆心为(,)x y ，22145:204C x y x ++-=即22149:(1)4C x y ++=，2223:204C x y x +-+=，即2221:(1)4C x y -+=，而动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，故1271||,||22PC R PC R =-=+，则1212||||4||2PC PC C C +=>=，故动圆P 的圆心的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b +=>>，则23,,24222,a c a b ∴====，故轨迹E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】（i ）由题意知AB 斜率存在，设其方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则()11,M x y -，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=，由于直线AB 过椭圆焦点，则必有0∆>，则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，直线BM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，可得()()()()2211212211112112121222N k x x x x x x x x x x y x x y y k x x x x ---+-=+=+=++-+-22222241282434348243k k k k k k -⨯-++==-+，即N 为一个定点(4,0)；（ii ）()222212112||1|14AB k x x k x x x x =+-=++-()22222222121841214.434343k k k k k k k +⎛⎫-=+-⨯ ⎪+++⎝⎭1,DGAB DG k k ⊥∴=- ，同理可得()22121||34k DG k +=+，AB DG ⊥ ，则()()222212112111||||224334ABDGk k SAB DG k k ++=⨯=⨯++四边形22222222272(1)72(1)2884334(43)(34)49()2k k k k k k ++=≥=+++++，当且仅当224334k k +=+，即1k =±时等号成立，即四边形ADBG 的面积的最小值为28849.21.已知函数()e 1xf x x =-，()()lng x a x x =+．（1）若2a =，证明：()42g x x ≤-；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求正实数a 的值；（3）证明：()2e 2ln 2sin x x x x x >++．【答案】（1）证明详见解析（2）1a =（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）将()42g x x ≤-转化为ln 10x x -+≤，然后利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.（2）利用换元法，将不等式()()f x g x ≥恒成立，转化为10t e at --≥恒成立，利用构造函数法，结合导数求得正实数a 的值.（3）结合（1）（2），将所要证明的不等式转化为证明222sin x x x -+>，结合二次函数的性质证得不等式成立.【小问1详解】2a =时，()42ln 10g x x x x ≤-⇔-+≤，设()ln 1t x x x =-+，11()1(0)x t x x x x'-=-=>，所以()t x 在区间()()()'0,1,0,t x t x >递增；在区间()()()'1,,0,t x t x +∞<递减.所以()()10t x t ≤=，即ln 10x x -+≤，所以2a =时，()42g x x ≤-.【小问2详解】依题意，ln e 1(ln )e (ln )10x x x x a x x a x x +-≥+⇔-+-≥，令ln t x x =+，ln y x x =+在()0,∞+上递增，且R t ∈，所以10t e at --≥对任意R t ∈恒成立.设()()()'e 10,e t t h t at a h t a =-->=-，所以函数()h t 在区间()()()',ln ,0,a h t h t -∞<递减；在区间()()()'ln ,,0,a h t h t +∞>递增.所以()()min ln ln 1h t h a a a a ==--，所以ln 10--≥a a a ，111ln 1,ln 1a a a a a+≥≥-，由（1）知ln 10x x -+≤，即ln 1≤-x x ，即11ln1a a≤-，所以11ln 1a a =-，当且仅当11a =，即1a =时成立.【小问3详解】由（2）得，当1a =时，()e (ln )1x f x x x x =-+≥对任意0x >恒成立.所以()0,x ∀∈+∞，e ln 1x x x x ≥++，则()22e ln 0x x x x x x x ≥++>，要证明()()2e 2ln 2sin 0x x x x x x >++>，只需证明2ln (2)ln 2sin (0)x x x x x x x x ++>++>，即证22ln 2sin (0)x x x x x +>+>，由（1）知()ln 10x x x ≤->，所以只需证()22(1)2sin 0xx x x x +>-+>，即证()222sin 0x x x x -+>>，①当1x >时，()221222sin x x x x x -+=-+>≥，不等式成立.②当01x <≤时，221772()244x x x -+=-+≥，π72sin 2sin12sin34x ≤<=<，不等式成立.所以()222sin 0x x x x -+>>成立，所以()()2e 2ln 2sin 0xx x x x x >++>成立.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可对不等式进行转化，然后利用构造函数法，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.。
2022-2023学年第一学期期中考试高三数学试卷及答案
2022-2023学年第一学期期中考试高三数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）班级姓名座号一、单项选择题（每小题有且只有一个正确选项，把正确选项填涂在答题卡相应位置上.每小题5分，共40分）1．已知集合{(2)0}A xx x =->∣，{12}B x x =-<<∣，则(∁R A)∪B =（）A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．(1,)-+∞D ．(,2)-∞2．在数列{}n a 中，12n n a a +=-，且21a =，则n a =（）A ．22n -B ．2(2)n --C ．12n -D ．1(2)n --3．已知在矩形ABCD 中，13AE AB = ，线段,AC BD 交于点O ，则EO =（）A ．1126AB AD + B ．1163AB AD +C ．1136AB AD +D ．1162AB AD+ 4．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1sin ,2sin 3A bB ==，则=a （）A ．23B ．32C ．6D ．165．设ln 2a =，122b =，133c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b <<D ．c a b<<6．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．19-C ．3D ．197．若0a >，0b >，且a b ab +=，则2a b +的最小值为（）A ．3+B ．2+C ．6D ．3-8．函数()()1sin π1f x x x =+-，则()=y f x 的图象在()24-，内的零点之和为（）A ．2B ．4C ．6D ．8二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）9．如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b = ，那么下列结论中正确的是（）A ．aB ．a b ⋅=C ．bb a⊥-)(D ．//a b10．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若3232a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（）A ．2q =B ．数列{}n S 是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列11．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，π2ϕ≤），()11π12f x f ⎛≥⎫ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 的最小正周期为π，则（）A ．()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()f x 的图象向左平移5π6个单位长度后得到的函数图象关于y 轴对称D ．()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增12．已知正实数,,a b c 满足2240a ab b c -+-=，当cab取最小值时，下列说法正确的是（）A ．4a b=B ．26c b =C ．a b c +-的最大值为34D ．a b c +-的最大值为38三、填空题（每题5分，共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上）1355cos 1212ππ-=______14．已知向量a ，b 夹角为45︒，且1= a ，2a b += ；则b = ______．15．写出一个满足函数()+1221,>=+2,x x ag x x x x a ≤⎧-⎨-⎩在(),-∞+∞上单调递增的a 值_____________.16．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，5S ，{}750S ∈-，，则n S 的最小值为__________．四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.）17．在△ABC 中，b =，6a =.(1)若π6A =，求c 的值;(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积.cos B C =；②cos sin B C =；③2B C =.18．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，满足113a =，且*131(N )n n S S n +=+∈．(1)求数列{}n a 通项公式；(2)求n S .19．已知函数()=f x a b ⋅，其中()=2cos ,a x x -，=(cos ,1)b x，x R ∈．(1)求函数=()y f x 的单调递减区间．(2)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()=1f A -，a =(3,sin )m B与=(2,sin )n C共线，求边长b 和c 的值．20．已知公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，4a 是2a 和8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值.21．已知集合{}2=5+40M x x x -≤，函数()228f x x ax =-+．(1)求关于x 的不等式()28f x a ≥+的解集；(2)若命题“存在0∈x M ，使得()00f x ≤”为假命题，求实数a 的取值范围．22．设函数22()(1488)f x x m mn x m =+-++，其中1m >，n *∈N ．(1)若()f x 为偶函数，求n 的值；(2)若对于每个n *∈N ，()f x 存在零点，求m 的取值范围．2022-2023学年第一学期期中考试高三数学参考答案及评分标准1．B 2．B∵122,1n n a a a +=-=，∴112a =-，12n na a +=-．{}n a 是公比为2-的等比数列，∴121(2)(2)2n n n a --=-⨯-=-．故选：B ．3．D依题意得，结合图形有：()212111323262EO EB BO AB BD AB AD AB AB BD =+=+=+-=+ .故选：D4．A 由正弦定理sin sin a bA B =，整理得sin 122sin 33b A a B ==⨯=故选：A ．5．Aln 2a =，而0ln 21<<，所以01a <<；又 121628b ==，131639c ==∴令16()f x x =，而函数()f x 在(0,)+∞上递增∴1b c << ∴a b c<<故选：A 6．D225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D 7．A因为0a >，0b >，且a b ab +=，所以111a b+=，所以()11222333a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当2a bb a=时，取等号，所以2a b +的最小值为3+，故选：A.8．B由()()1sin π01f x x x =+=-可得()1sin π1x x =--，则函数()sin πy x =与函数11y x =--的图象在()24-，内交点的横坐标即为函数()=y f x 的零点，又函数()sin πy x =与函数11y x =--的图象都关于点()1,0对称，作出函数()sin πy x =与函数11y x =--的大致图象，由图象可知()=y f x 在()24-，内有四个零点，则零点之和为4．故选：B.9．AC由平面向量(2,0)a =，(1,1)b = 知：在A 中，2= a A 正确；在B 中，2a b ×=，故B 错误；在C 中，(1,1)a b -=-，∴()110a b b -⋅=-= ，∴()-⊥a b b r r r ，故C 正确；在D 中，∵2011≠，∴a 与b不平行，故D 错误.故选：A C .10．AC∵在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，3232a a =，2312a a +=，解得24a =，38a =，∴2q =，或者28a =，34a =，∴12q =，不符合题意，舍去，故A 正确，21422a a q ===，则()12122212n n n S +-==--，2112222n n n n S S +++-==≠-常数，∴数列{}n S 不是等比数列，故B 不正确；()8821251012S -==-，故C 正确；∵2n n a =，∴lg lg 2n a n =，2lg 2lg 2lg 2-=，∴数列{}lg n a 不是公差为2的等差数列，故D 错误，故选：AC 11．ABD ∵πT =，∴22T πω==．依题意得()min 11π11πsin 1126f x f ϕ⎛⎫⎛⎫==+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()11ππ2π62k k ϕ+=-∈Z ，且π2ϕ≤，∴π3ϕ=-，即()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则A 正确；令()π2π3x k k -=∈Z ，即()ππ26k x k Z =+∈，当0k =时，对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭，则B 正确；将()f x 的图象向左平移5π6个单位长度后得到的函数()4πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象不关于y 轴对称，则C 错误；∵π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππ2,333x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则D 正确．故选：ABD.12．BD对于A ，由2240a ab b c -+-=，则41c a b ab b a =+-1≥-=3，当且仅当2a b =时，等号成立，故A 错误，对于B ，当c ab 取最小值时，=3=2cab a b⎧⎪⎨⎪⎩，则26c b =，故B 正确；对于C 、D ，222133********a b c b b b b b b ⎛⎫+-=+-=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12a =，14b =，38c =，等号成立，故()max 38a b c +-=，故C 错误，D 正确.故选：BD.1355cos 1212ππ-5152cos 12212ππ⎫=-⎪⎪⎭552sin cos sin cos 126612ππππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭52sin 2sin 1264πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.14∵12a a b =+=，∴2(2)a b + =2244a a b b +⋅+=10，代入数据可得2||b =10，化简可得2||b +6=0，，或﹣（负数舍去）15．因为()+1221,>=+2,x x a g x x x x a ≤⎧-⎨-⎩，当>x a 时()+1=21x g x -在定义域上单调递增，当x a ≤时()()22=+2=1+1g x x x x ---，画出+1=21x y -，2=+2y x x -的图象如下所示：要使函数()g x 在(),+-∞∞上单调递增，由图可知当1a ≤时均可满足函数()g x 在(),+-∞∞上单调递增；故答案为：1（答案不唯一）16．6-1（）当40a =时，4707S a ==，所以55S =-，又535S a =，所以31a =-，所以，4310a a d -==>，故4n a n =-，令0n a ≥，则4n ≤，所以n S 的最小值为46S =-．2（）当45a =-，74735S a ==-，不合题意．综上所述：40a =，55S =-，70S =，n S 的最小值为6-．故答案为：6-．17．（1）由题意得2222cos a b c bc A =+-，即2223633c c c =+-，得6c =，-------4（2）选条件①，由正弦定理得sin B C =，-----5cos B C =，化简得sin 2sin 2B C =，-----6而B C >，则22πB C +=，π2B C +=，---8故π2A =，由勾股定理得222a b c =+，解得3,c b ==------912ABC S bc == -------10选条件②，cos sin B C =，而B C >，则π2B C +=，------7故π2A =，由勾股定理得222a b c =+，解得3,c b ==------912ABC S bc == ------10选条件③，由正弦定理得sin B C =，而2B C =，则sin 2sin cos B C C =，得cos C =，(0,π)C ∈，-----7故π6C =，π3B =，π2A =，由勾股定理得222a b c =+，解得3,c b ==----912ABC S bc == -----1018．（1）解：因为*131(N )n n S S n +=+∈①所以当2n ≥时，得*131(N )n n S S n -=+∈②------2则①-②得：1133n n n n S S S S +---=-----3即13n n a a +=，即113n na a +=-------4又当1n =时，2131S S =+，所以1213()1a a a +=+，其中113a =所以219a =，则2113a a =-------6故数列{}n a 是以113a =为首项，13为公比的等比数列-----7所以13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.------8（2）解：由（1）可得111111333122313n n n S ⎛⎫-⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭==-⨯ ⎪⎝⎭-.---------1219．（1）2()==2cos f x a b x x ⋅- -------1=cos2+1x x -=2cos(2+)+13x π，-----------3由题意有()22++2Z 3k x k k ππ≤≤ππ∈，-----4解得++63k x k ππ-π≤≤π()Z k ∈------5所以单调递减区间为()+,+Z 63k k k ππ-ππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦；-------6（2）()=2cos(2+)+1=13f A A π-，-------77cos(2+)=1,0<<,<2+<3333A A A ππππ-π∴ ，-------82+=,=33A A πππ∴，---------9(3,sin )m B = 与向量(2,sin )n C = 共线，33sin =2sin ,3=2,=2C B c b b c ∴∴，--------1022227=7=+2cos =,=2,=334a b c bc c c b π-∴.--------1220．（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为4a 是2a 和8a 的等比中项，则()()()2242811137a a a a d a d a d =⋅⇒+=++且11a =-----3则1d =或0d =（舍）-----4则()()11111n a a n d n n =+-=+-⨯=，即通项公式n a n =-------6（2）因为k a 与1k a +（1k =，2，…）之间插入2k ，所以在数列{}n b 中有10项来自{}n a ，10项来自{}2n ，所以()1020212110102101212T -+=⨯+=-------------1221．（1）因为()2=2+8f x x ax -，且()2+8f x a ≥，所以222+8+8x ax a -≥即()()2+0x a x a -≥，--------2因为()()2+=0x a x a -的实数根为1x a =或2=2a x -，当=0a 时，此时120x x ==，所以不等式的解集为R ；---------3当>0a 时，此时>2a a -，所以不等式的解集为{2a x x ≤-或}x a ≥；-------4当a<0时，此时<2a a -，所以不等式的解集为{x x a ≤或2a x ≥-⎫⎬⎭；-------5综上所述，当=0a 时，不等式的解集为R ；当>0a 时，不等式的解集为{2a x x ≤-或}x a ≥；当a<0时，不等式的解集为{x x a ≤或2a x ≥-⎫⎬⎭；----------6（2）因为{}{}2=5+40=14M x x x x x ≤≤≤-，-----------7所以命题“存在[]01,4x ∈，使得2002+80x ax -≤”的否定为命题“任意[]1,4x ∈，使得22+8>0x ax -”是真命题，---------8所以可整理成[]8<2+,1,4a x x x∈，令()[]8=2+,1,4h x x x x∈，则()min <a h x ，--------9因为()8=2+h x x x ≥，当且仅当82x x =即=2x 时，取等号，----------11则<8a ，故实数a 的取值范围{}<8a a ---------1222．（1）()f x 为偶函数，14880m mn ∴-+=，-------1714n m∴=+．-----------21m > ，101m∴<<，77111444m ∴<+<，--------3即71144n <<．又*n ∈N ，2n ∴=．-----------5（2）由题意，得22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥．-----6当2n =时，32(2)0m ∆=-≥，2m ∴≤，又1m >，12m ∴<≤．-------7当2n ≠时，223m n ≤-或12m n ≥-．-------8①当223m n ≤-时，1m > ，n ∴只能取2，舍去--------9②当12m n ≥-时，1m > ，---------10∴从3n =开始讨论：令1()2g n n =-，由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g >==-．综上所述，m 的取值范围是(1,2]------------12。
2023-2024学年江苏省无锡市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省无锡市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．若全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3}，B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{3}B ．{1}C ．{5}D ．{1，3}2．已知复数z ＝2﹣i ，则z （z +i ）的虚部为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．6D ．23．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n ＝P 0（1+k ）n （k ＞﹣1），其中P n 为预测期人口数，P 0为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有﹣1＜k ＜0，那么在这期间人口数（ ） A ．呈上升趋势 B ．呈下降趋势 C ．摆动变化D ．不变4．已知sin （θ−π3）=−13，则cos （θ+7π6）＝（ ） A ．13B ．−13C ．2√23D ．−2√235．当x ＝2时，函数f （x ）＝x 3+bx 2﹣12x 取得极值，则f （x ）在区间[﹣4，4]上的最大值为（ ） A ．8B ．12C ．16D ．326．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin 后物体的温度θ（单位：℃），可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60℃的物体，放在15℃的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42℃．则k 的值为（精确到0.01）（ ）（参考数据：ln 3≈1.0986，ln 5≈1.6094） A ．0.51B ．0.28C ．0.17D ．0.077．记函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，−π2＜φ＜π2）的最小正周期为T ，且f （T ）=√32．将y ＝f （x ）的图象向右平移π6个单位，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．58．设函数f （x ）＝x +lnx ，g （x ）＝xlnx ﹣1，h （x ）＝1−1x +x2+x 23在（0，+∞）上的零点分别为a ，b ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．平面向量a →，b →是夹角为60°的单位向量，向量c →的模为2√3，则|a →+b →+c →|的值有可能为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．610．已知a ＞0，b ＞0，1a+3b=1，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值为12B ．a +b 的最小值为4√3C ．a 2+b 2的最小值为24D ．1a−1+3b−3的最小值为211．已知函数f （x ）＝sin x +1|sinx|，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的最小值为0C ．y ＝f （x ）的图象关于点（π，1）对称D ．y ＝f （x ）的图象关于直线x =π2对称12．已知函数f （x ）定义域为R ，满足f （x +1）=12f （x ），当x ∈（0，1]时，f （x ）＝﹣4x （x ﹣1）．则下列结论正确的是（ ） A ．f （−32）＝4B ．方程f （x ）=13x 共有三个不同实根 C ．∑ 2n i=1f （i 2）＝2−22nD ．使不等式f （x ）≥38成立的x 的最大值是74三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣1）＜0}，非空集合B ＝{x |m ＜x ＜1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 ．14．曲线y =sinxx 在点M （﹣π，0）处的切线方程为 ．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝﹣2，S m +1＝0，S m +2＝3，则正整数m ＝ ． 16．圆O 1与圆O 2半径分别为1和2，两圆外切于点P ，点A ，B 分别为圆O 1，O 2上的动点，∠APB ＝120°，则PA →•PB →的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B +b cos A =c2cosC ． （1）求C ；（2）若c ＝6，AB 边上的高等于2√3，求△ABC 的周长．18．（12分）在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点P 在线段DE 上运动．（1）当P 为DE 中点时，设AP →=λAB →+μAD →（λ，μ∈R ），求λ+μ的值； （2）若∠BAD ＝60°，求AP →•AF →的取值范围．19．（12分）S n 是等差数列{a n }的前n 项和，数列{b n }满足b n ＝n ﹣（﹣1）n S n ，a 1+b 1＝3，a 2﹣b 2＝5． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ． ①求T 10；②若集合A ＝{n |n ≤100且T n ≤100，n ∈N *}，求集合A 中所有元素的和． 20．（12分）设函数f （x ）＝log 2（1x +a ）（a ∈R ），（1）当a ＝2时，求不等式f （x ）＜2的解集；（2）当a ＞0时，若对任意t ∈[12，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．21．（12分）各项均为正数的数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，且（S n +1+1）a n ＝（S n +1）a n +1对一切n ∈N *都成立．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）在a k 和a k +1之间插入k 个数，使这k +2个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为c k ，其中k ＝1，2，…，n ．求数列{c n }的前n 项和． 22．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx −12ax 2﹣x （a ∈R ） （1）当a ＝1时，求证：函数f （x ）为减函数；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且lnx 1+λlnx 2＞1+λ恒成立，求正实数λ的取值范围．2023-2024学年江苏省无锡市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．若全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，4}，则A∩（∁U B）＝（）A．{3}B．{1}C．{5}D．{1，3}解：∵U＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，3，4}．∴∁U B＝{1，5}∴A∩（∁U B）＝{1}．故选：B．2．已知复数z＝2﹣i，则z（z+i）的虚部为（）A．﹣2B．﹣1C．6D．2解：复数z＝2﹣i，则z=2+i，z（z+i）＝（2﹣i）（2+2i）＝6+2i，虚部为2．故选：D．3．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n＝P0（1+k）n（k＞﹣1），其中P n为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有﹣1＜k＜0，那么在这期间人口数（）A．呈上升趋势B．呈下降趋势C．摆动变化D．不变解：P n+1﹣P n＝P0（1+k）n+1﹣P0（1+k）n＝P0（1+k）n（1+k﹣1）＝P0（1+k）n•k，∵﹣1＜k＜0，∴0＜1+k＜1．∴（1+k）n＞0．又∵P0＞0，k＜0，∴P0（1+k）n•k＜0．即P n+1﹣P n＜0，∴P n+1＜P n．故选：B．解法二：由题意，k为预测期内年增长率，如果在某一时期有﹣1＜k＜0，即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势， 故选：B ．4．已知sin （θ−π3）=−13，则cos （θ+7π6）＝（ ） A ．13B ．−13C ．2√23D ．−2√23解：因为sin （θ−π3）=−13，则cos （θ+7π6）＝﹣cos （θ+π6）＝sin （θ−π3）=−13． 故选：B ．5．当x ＝2时，函数f （x ）＝x 3+bx 2﹣12x 取得极值，则f （x ）在区间[﹣4，4]上的最大值为（ ） A ．8B ．12C ．16D ．32解：因为f ′（x ）＝3x 2+2bx ﹣12， 又f （x ）在x ＝2处取得极值， 所以f ′（2）＝0， 所以3×22+2b ×2﹣12＝0， 所以b ＝0，所以f （x ）＝x 3﹣12x ， 所以f ′（x ）＝3x 2﹣12， 令f ′（x ）＝0，得x ＝±2，所以在（﹣∞，﹣2）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 在（﹣2，2）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 在（2，+∞）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以f （x ）在x ＝2处取得极小值，符合题意，所以在（﹣4，﹣2）上f （x ）单调递增，在（﹣2，2）上f （x ）单调递减，在（2，4）上f （x ）单调递增，由f （﹣2）＝（﹣2）3﹣12×（﹣2）＝16，f （4）＝43﹣12×4＝16， 所以f （x ）在[﹣4，4]上的最大值为16． 故选：C ．6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin 后物体的温度θ（单位：℃），可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60℃的物体，放在15℃的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42℃．则k 的值为（精确到0.01）（ ）（参考数据：ln 3≈1.0986，ln 5≈1.6094） A ．0.51B ．0.28C ．0.17D ．0.07解：由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，把θ1＝60，θ0＝15，t ＝3，θ＝42代入公式， 得42＝15+（60﹣15）e ﹣3k，化简得e﹣3k=35，所以﹣3k ＝ln 3﹣ln 5＝1.099﹣1.609， 解得k ＝0.17． 故选：C ．7．记函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，−π2＜φ＜π2）的最小正周期为T ，且f （T ）=√32．将y ＝f （x ）的图象向右平移π6个单位，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5解：函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，−π2＜φ＜π2）的最小正周期为T ，且f （T ）=√32，所以f （2πω）＝sin （2π+φ）＝sin φ=√32，所以φ=π3，所以f （x ）＝sin （ωx +π3）的图象向右平移π6个单位后得到f （x ）＝sin （ωx −π6ω+π3），因为所得函数的图象关于y 轴对称， 所以−π6ω+π3=k π+π2，k ∈Z ， 所以可得ω＝﹣6k ﹣1，k ∈Z ， 因为ω＞0，所以ω的最小值为5． 故选：D ．8．设函数f （x ）＝x +lnx ，g （x ）＝xlnx ﹣1，h （x ）＝1−1x +x2+x 23在（0，+∞）上的零点分别为a ，b ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c解：因为f （x ）＝x +lnx 的定义域为（0，+∞），所以f ′(x)=1+1x ＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增， 又因为f （12）=12−ln 2＜0，f （1）＝1＞0，所以存在a ∈(12，1)，使得f （a ）＝0，所以a ∈(12，1)， 因为g （x ）＝xlnx ﹣1，g '（x ）＝lnx +1，当0＜x ＜1e时，g '（x ）＜0，则g （x ）在（0，1e）上单调递减，当x ＞1e 时，g '（x ）＞0，则g （x ）在 (0，1e) 上单调递增， 又因为 g （1）＝﹣1＜0，g （2）＝2ln 2﹣1＞0， 所以b ∈（1，2），ℎ′(x)=2x 3+12+1x2＞0，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，又h （12）＜0，h （1）＞0，所以存在c ∈(12，1)，使得h （c ）＝0， 所以b 最大， 因为58=11.6=√2.56√e，所以ln 58＞ln√e=−12，f （ln 58）＝ln 58+58＞−12+ln 58＞0，所以12＜a ＜18，因为h （58）＝1−85+516+25643＜0，所以58＜c ＜1，所以a ＜c ＜b ． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．平面向量a →，b →是夹角为60°的单位向量，向量c →的模为2√3，则|a →+b →+c →|的值有可能为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：由题意，向量a →，b →是夹角为60°的单位向量，|c →|=2√3，故可设a →=(1，0)，B(12，√32)，C(2√3cosθ，2√3sinθ)，θ∈[0，2π），则a →+b →+c →=(32+2√3cosθ，√32+2√3sinθ)，所以|a →+b →+c →|=√(32+2√3cosθ)2+(32+2√3sinθ)2=√15+12sin(θ+π3)∈[√3，3√3]， 故选：ABC ．10．已知a ＞0，b ＞0，1a +3b=1，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值为12B ．a +b 的最小值为4√3C ．a 2+b 2的最小值为24D ．1a−1+3b−3的最小值为2解：对于A ，因为a ＞0，b ＞0，所以1=1a +3b ≥2√3ab， 当且仅当b ＝3a 且1a +3b =1，即a ＝2，b ＝6时取等号，所以ab ≥12，A 正确；对于B ，a +b ＝（a +b ）(1a+3b)=4+b a+3a b ≥4+2√b a ⋅3a b=4+2√3，所以a +b 的最小值不是4√3，故B 错误；对于C ，将1a +3b =1两边平方，得1a 2+6ab +9b 2=1，所以a 2+b 2＝（a 2+b 2）(1a 2+6ab +9b2)=10+b2a 2+9a 2b2+6(b a +ab )， 而b 2a 2+9a 2b 2≥2√b 2a 2⋅9a 2b 2=6，6(b a +a b )≥6×2√b a ⋅ab =12，且两不等式的等号不能同时取得，所以a 2+b 2＞10+6+12＝28，即a 2+b 2的最小值不可能是24，故C 错误； 对于D ，1a−1+3b−3=1bb−3−1+3b−3=b−33+3b−3≥2√b−33⋅3b−3=2，当且仅当b−33=3b−3=1，即b ＝6，a ＝2时等号成立，故1a−1+3b−3的最小值为2，D 选项正确．故选：AD ．11．已知函数f （x ）＝sin x +1|sinx|，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的最小值为0C ．y ＝f （x ）的图象关于点（π，1）对称D ．y ＝f （x ）的图象关于直线x =π2对称 解：因为f(x +π)=sin(x +π)+1|sin(x+π)|=−sinx +1|sinx|≠f(x)， 所以π不是f （x ）的周期，A 错误；对于B，由sin x≥﹣1，1|sinx|≥1，得sinx+1|sinx|≥0，当sin x＝﹣1时取“＝”，故f（x）的最小值为0，B正确；对于C，f（2π﹣x）＝sin（2π﹣x）+1|sin(2π−x)|=−sin x+1|sinx|，可得f（2π﹣x）+f（x）=2|sinx|≠2，故f（x）的图象不关于点（π，1）对称，C错误；对于D，f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+1|sin(π−x)|=sin x+1|sinx|=f（x），可知f（x）的图象关于直线x=π2对称，故D正确．故选：BD．12．已知函数f（x）定义域为R，满足f（x+1）=12f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣4x（x﹣1）．则下列结论正确的是（）A．f（−32）＝4B．方程f（x）=13x共有三个不同实根C．∑2n i=1f（i2）＝2−22nD．使不等式f（x）≥38成立的x的最大值是74解：x∈（0，1]时，f（x）＝﹣4x（x﹣1），当x∈（1，2]时，f(x)=12f(x−1)=−2(x−1)(x−2)，…，x∈（k，k+1]时，f（x）＝﹣22﹣k（x﹣k）（x﹣k﹣1），∴k取﹣2时，f(−32)=−16(−32+2)(−32+1)=4，A正确．作出f（x）大致图象如下，联立{y=13xy=−2(x−1)(x−2)，解得x=32或43，y ＝f （x ）与y =13x 共四个交点，B 错．对于 C ，k为奇数时，f(k 2)=(12)k−12，k 为偶数时，f(k2)=0，∴∑ 2n i=1f(i2)=f(12)+f(32)+⋯+f(2n−12)=1+12+(12)2+⋯+(12)n−1=1−(12)n1−12=2−22n ，C 正确． 对于D ，当x ∈（1，2）时，令f(x)=−2(x −1)(x −2)=38⇒x =54或x =74，结合图象知x max =74，D正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣1）＜0}，非空集合B ＝{x |m ＜x ＜1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 （﹣1，1） ． 解：A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，非空集合B ＝{x |m ＜x ＜1}， ∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件， ∴B ⫋A ， ∴﹣1＜m ＜1，∴m 的取值范围为：（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）．14．曲线y =sinxx 在点M （﹣π，0）处的切线方程为 x ﹣πy +π＝0 ． 解：曲线y =sinxx 的导数为y ′=xcosx−sinxx 2， 可得曲线在点M （﹣π，0）处的切线斜率为k =−πcos(−π)−sin(−π)(−π)2=1π，即有曲线在点M （﹣π，0）处的切线方程为y =1π（x +π），即为x ﹣πy +π＝0． 故答案为：x ﹣πy +π＝0．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝﹣2，S m +1＝0，S m +2＝3，则正整数m ＝ 4 ．解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则{Sn n }为等差数列，故S m m+S m+2m+2=2S m+1m+1，即−2m+3m+2=0，解得m ＝4．故答案为：4．16．圆O 1与圆O 2半径分别为1和2，两圆外切于点P ，点A ，B 分别为圆O 1，O 2上的动点，∠APB ＝120°，则PA →•PB →的最小值为 ﹣3 ．解：设∠APO 1＝θ，则∠AO 1P ＝π﹣2θ，因为∠APB =2π3，∠BO 2P =π3−θ，θ∈[0，π3]，过O 1作O 1D ⊥AP ，所以|P A |＝2cos θ，同理|PB|=4cos(π3−θ)， 所以PA →⋅PB →=|PA →|⋅|PB →|cos120°=8cosθ⋅cos(π3−θ)⋅(−12) =−4cosθ⋅(12sinθ−√32cosθ)=sin2θ+2√3cos 2θ=sin2θ+2√3⋅1+cos2θ2=−2[sin(2θ+π6)+12]≤−3， 所以(PA →⋅PB →)min =−3． 故答案为：﹣3．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B +b cos A =c2cosC ． （1）求C ；（2）若c ＝6，AB 边上的高等于2√3，求△ABC 的周长．解：（1）因为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B +b cos A =c2cosC， 所以由正弦定理可得：2cos C （sin A cos B +sin B cos A ）＝sin C ， 整理得：2cos C sin （A +B ）＝2cos C sin C ＝sin C ， 因为C 为三角形内角，sin C ≠0， 所以cos C =12， 又0＜C ＜π， 所以C =π3；（2）因为c ＝6，AB 边上的高等于2√3，所以S △ABC =12×6×2√3=12ab sin C =√34ab ， 解得ab ＝24，又由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，可得36＝a 2+b 2﹣ab ＝（a +b ）2﹣3ab ＝（a +b ）2﹣72， 所以可得a +b ＝6√3，所以△ABC 的周长a +b +c ＝6√3+6．18．（12分）在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点P 在线段DE 上运动．（1）当P 为DE 中点时，设AP →=λAB →+μAD →（λ，μ∈R ），求λ+μ的值； （2）若∠BAD ＝60°，求AP →•AF →的取值范围．解：（1 ）由题意，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，当P 为DE 中点时，AP →=AD →+DP →=AD →+12DE →=AD →+12(DC →+CE →) =AD →+12AB →−14AD →=12AB →+34AD →=λAB →+μAD →， 所以λ=12，μ=34， 所以λ+μ=54；（2）因为点P 在线段DE 上运动，设DP →=λDE →，λ∈[0，1]，则AP →=AD →+λDE →=AD →+λ(DC →+CE →)=AD →+λAB →−12λAD →=λAB →+(1−λ2)AD →，AF →=AD →+DF →=AD →+12DC →=12AB →+AD →，∴AP →⋅AF →=[λAB →+(1−λ2)AD →](12AB →+AD →) =λ2AB →2+2−λ2AD →2+2+3λ4AB →⋅AD → =λ2×4+2−λ2×1+2+3λ4×2×1×cos60°=9λ+64， 又λ∈[0，1]，所以AP →⋅AF →=9λ+64∈[32，154]．19．（12分）S n 是等差数列{a n }的前n 项和，数列{b n }满足b n ＝n ﹣（﹣1）n S n ，a 1+b 1＝3，a 2﹣b 2＝5． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ．①求T 10；②若集合A ＝{n |n ≤100且T n ≤100，n ∈N *}，求集合A 中所有元素的和． 解：（1）b 1＝1+a 1，b 2＝2﹣（a 1+a 2）， 结合a 1+b 1＝3，a 2﹣b 2＝5，∴{a 1=1b 1=2，∴{a 2+b 2=1a 2−b 2=5⇒{a 2=3b 2=−2， a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，S n =n 2， ∴b n =n −(−1)n ⋅n 2． （2）①T 10=(1+10)×102−(−12+22−32+42+⋯+102)=55﹣（1+2++10）＝0， ②事实上n 为偶数时，T n ＝（1+2+⋯+n ）﹣（﹣1+22﹣32+...+n 2） ＝（1+2+...+n ）﹣（1+2+...+n ）＝0，均满足T n ≤100， n 为奇数时，T n =(1+n)n2−(−12+22−32+...+(n −1)2−n 2) =n(n+1)2−(1+2+...+n −1)+n 2=n 2+n ， 当T n ≤100时，n 2+n ≤100，∴n ≤9，n ＝1，3，5，7，9， ∴A 中所有元素的和为（2+4+...+100）+（1+3+5+7+9）=102×502+25=2575． 20．（12分）设函数f （x ）＝log 2（1x +a ）（a ∈R ），（1）当a ＝2时，求不等式f （x ）＜2的解集；（2）当a ＞0时，若对任意t ∈[12，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．解：（1）当a ＝2时，不等式f （x ）＜2化为：log 2（1x +2）＜2，∴0＜1x +2＜4，解得x ∈（﹣∞，−12）∪（12，+∞），经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（﹣∞，−12）∪（12，+∞）．（2）a ＞0，对任意t ∈[12，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上单调递减，∴log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1， ∴(1+ta)(t+1)t[1+a(t+1)]≤2，化为：a ≥1−tt 2+t=g （t ），t ∈[12，1]，g ′（t ）=t 2−2t−1(t 2+t)2=(t−1)2−2(t 2+t)2≤(12−1)2−2(14+12)2＜0，∴g （t ）在t ∈[12，1]上单调递减，∴t =12时，g （t ）取得最大值，g （12）=23． ∴a ≥23．∴a 的取值范围是[23，+∞）．21．（12分）各项均为正数的数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，且（S n +1+1）a n ＝（S n +1）a n +1对一切n ∈N *都成立．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）在a k 和a k +1之间插入k 个数，使这k +2个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为c k ，其中k ＝1，2，…，n ．求数列{c n }的前n 项和．解：（1）由a 1＝1，a n ＞0，（S n +1+1）a n ＝（S n +1）a n +1对一切n ∈N *都成立， 可得S n+1+1a n+1=S n +1a n=S n−1+1a n−1=...=S 1+1a 1=1+11=2， 即1+S n ＝2a n ，当n ≥2时，1+S n ﹣1＝2a n ﹣1，上面两式相减a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣2a n ﹣1，即a n ＝2a n ﹣1， 数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 则a n ＝2n ﹣1；（2）在a k 和a k +1之间插入k 个数，使这k +2个数组成等差数列， 则c k =12（k +2）（2k ﹣1+2k ）﹣（2k ﹣1+2k ）=3k2•2k ﹣1，设数列{c n }的前n 项和为T n ，则T n =32（1•20+2•21+3•22+...+n •2n ﹣1），2T n =32（1•2+2•22+3•23+...+n •2n ），上面两式相减可得﹣T n =32（1+21+22+...+2n ﹣1﹣n •2n ）=32（1−2n1−2−n •2n ），化为T n =32[1+（n ﹣1）•2n ]．22．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx −12ax 2﹣x （a ∈R ） （1）当a ＝1时，求证：函数f （x ）为减函数；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且lnx 1+λlnx 2＞1+λ恒成立，求正实数λ的取值范围．解：（1）证明：当a ＝1时，f(x)=xlnx −12x 2−x ，则f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝lnx +1﹣x ﹣1＝lnx ﹣x ， 设u （x ）＝lnx ﹣x ，则u ′(x)=1x −1=1−xx， 当0＜x ＜1时，u ′（x ）＞0，u （x ）＝lnx ﹣x 单调递增； 当x ＞1时，u ′（x ）＜0，u （x ）＝lnx ﹣x 单调递减，故u （x ）≤u （1）＝﹣1，故f ′（x ）≤﹣1，故f （x ）为减函数；（2）由题意，得f ′（x ）＝lnx +1﹣ax ﹣1＝lnx ﹣ax 有两个不同正实数根x 1＜x 2（x 1＜x 2）， 所以{lnx 1−ax 1=0lnx 2−ax 2=0，所以a =lnx 1−lnx 2x 1−x 2=ln x1x 2x 1−x 2．1+λ＜lnx 1+λlnx 2=ax 1+aλx 2=(x 1+λx 2)ln x1x 2x 1−x 2=x 1x 2+λx 1x 2−1ln x1x 2， 令x 1x 2=t ∈(0，1)，则1+λ＜t+λt−1lnt ，即lnt −(1+λ)(t−1)t+λ＜0在t ∈（0，1）恒成立， 令ℎ(t)=lnt −(1+λ)(t−1)t+λ，t ∈(0，1)，则ℎ′(t)=1t −(λ+1)2(t+λ)2=(t−1)(t−λ2)t(t+λ)2， 若λ≥1，当t ∈（0，1）时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增， 所以h （t ）＜h （1）＝0恒成立；若0＜λ＜1，当t ∈（λ2，1）时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减， 所以h （t ）＞h （1）＝0，不符合题意， 综上，正实数λ的取值范围是[1，+∞）．。
2022-2023学年北京朝阳区高三(上)期中数学试题及答案
2022北京朝阳高三（上）期中数 学2022.11（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数i (2i)z =−，则||z =（A ）3（B ）5（C ）3（D ）5（2）已知集合={0,1,2}A ，{|03}B x x =∈<<N ，则AB =（A ）{0,1}（B ）{1,2}（C ）{0,1,2} （D ）{0,1,2,3}（3）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（A ）2log y x =（B ）2x y −=（C ）1y x =+（D ）3y x =（4）“0a b >>”是“33a b >”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知球O 的半径为2, 球心到平面α的距离为3, 则球O 被平面α截得的截面面积为（A ）π （B ）3π （C ）3π （D ）23π（6） 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，其终边过点(4,3)P ，则πtan()4α+的值为（A ）7−（B ）17− （C ）1（D ）7（7）已知()f x 为定义在R 上的函数，(2)2f =，且2()(2)g x f x x =+为奇函数，则(2)f −=（A ）4− （B ）2− （C ）0 （D ）2（8）如图，在四棱锥P ABCD −中，1AB AD ==，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（A ）116 （B ）136 （C ）113（D ）133（9）已知ABC △是边长为2的等边三角形，点D 在线段AB 上， 2AD DB =，点E 在线段CD 上，且CAE△与CDB △的面积相等，则AE BC ⋅的值为DBPCA第（8）题（A ）23−（B ）13−（C ）13（D ）23（10）现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数2e ()(0,e 2.71828)e x xa bf x ab +=≠=来表示．下列结论正确的是 （A ）若0ab >，则函数()f x 为奇函数 （B ）若0ab >，则函数()f x 有最小值（C ）若0ab <，则函数()f x 为增函数 （D ）若0ab <，则函数()f x 存在零点第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。
【典型题】高三数学上期中试题(附答案)
【典型题】高三数学上期中试题(附答案)一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40362．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形3．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9004．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ）A ．5B ．25C D ．6．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-7．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．()3,-+∞B ．()-+∞C ．[)3,-+∞D ．)⎡-+∞⎣8．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．1252439．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13710．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A ．3B ．13+C ．12+D ．411．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．212．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． 14．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________． 15．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________． 16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．17．定义11222n n n a a a H n-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________． 18．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．19．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．20．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______. 三、解答题21．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，()2cos cos 0C a B b A c ++=.（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若22a b ==，，求()sin 2B C -的值.22．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝5AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度． 23．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：（2）若5a =2b =．求ABC V 的面积．24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若6512n n S a n >--，求n 的取值范围； （3）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3asinB bcosA =． （1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为235a =，，求ABC ∆的周长．26．已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{12n n b a +}为等差数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．D 解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.3．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 4．A解析：A 【解析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 6．D解析：D 【解析】 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.7．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q 当2x =时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值22,22m -∴≥-，m 的取值范围是)22,⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.8．A解析：A 【解析】解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)n ＋1－nn＝·n，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.解法二 ＝＝，令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.9．B解析：B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.10．A解析：A 【解析】 【分析】将函数()y f x =的解析式配凑为()()1222f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值.【详解】当2x >时，20x ->，则()()()11122222222f x x x x x x x =+=-++≥-⋅+--- 4=， 当且仅当()1222x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示：当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时，z 取得最小值，而点A 的坐标为（1，2a -），所以221a -=，解得12a =，故选B. 【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.12．A解析：A 【解析】 【分析】分析题意，取3x y +倒数进而求3x y+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。
【好题】高三数学上期中试卷(及答案)
【好题】高三数学上期中试卷(及答案)一、选择题1．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．12．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．83．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值314．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．215．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形6．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B．()-+∞C ．[)3,-+∞D．)⎡-+∞⎣7．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．58．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ）A ．20202019B．20191010C．20171010D．403720209．若x，y满足2040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x=-的最大值为（）．A．8-B．4-C．1D．210．已知数列{}n a中，3=2a，7=1a．若数列1{}na为等差数列，则9=a( )A．12B．54C．45D．45-11．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是（）A．()8,10B．()22,10C．()22,10D．()10,812．已知a＞0，x，y满足约束条件1{3(3)xx yy a x≥+≤≥-,若z=2x+y的最小值为1，则a= A．B．C．1 D．2二、填空题13．已知等差数列{}n a的公差为2，前n项和为n S，且1S，2S，4S成等比数列.令114(1)nnn nnba a-+=-，则数列{}nb的前100的项和为______．14．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．15．如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m.16．设数列{}n a中，112,1n na a a n+==++，则通项na=___________．17．设0x>，则231x xx+++的最小值为______.18．对一切实数x，不等式2||10x a x++≥恒成立，则实数a的取值范围是_______19．若等比数列{}n a的各项均为正数，且510119122a a a a e+=，则1220ln ln lna a a+++L等于__________．20．在锐角ΔABC中,内角,,A B C的对边分别为,,a b c,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．已知函数()3sin cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围． 22．已知数列{}n a 是等差数列，111038,160,37n n a a a a a a +>⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，L ，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列，求12n n S b b b =+++L .23．如图，在平面四边形ABCD 中，42AB =，22BC =，4AC =.（1）求cos BAC ∠；（2）若45D ∠=︒，90BAD ∠=︒，求CD .24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．25．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos a C c A a +=． （1）求证：A B =； （2）若6A π=，ABC V 3，求ABC V 的周长．26．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =． （1）求2sincos 22B CA ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.2．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可．【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．3．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*21log N 2n n a n n +=∈+， ∴12322223log log log 3142n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++222312log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪++⎝⎭， 又因为21215log 6232232n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.4．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．5．A解析：A 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2cos22A b c c+=，所以1cosA 22b cc ++=,() ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.6．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q 当2x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值22,22m -∴≥-，m 的取值范围是)22,⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.7．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
新高考高三上学期期中考试数学试题（附参考答案及评分标准）
新⾼考⾼三上学期期中考试数学试题（附参考答案及评分标准）⾼三数学试题第4页（共5页）⾼三数学试题第5页（共5页）1 C⾼三上学期期中考试（三⾓函数、平⾯向量、数列）数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，将第Ⅰ卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束,将答题卡交回. 考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1．答卷前，考⽣务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．第Ⅰ卷每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊；如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案标号. 答案不能答在试题卷上.3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题⽬指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤涂改液、胶带纸、修正带. 不按以上要求作答的答案⽆效.第Ⅰ卷（选择题共52分）⼀、选择题：(本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的)1. 已知向量(1,3),(,1)a b m =-=，若向量,a b 夹⾓为3π，则m = A ．3B C ．0D ． 2. 如图所⽰，在正⽅形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则BF =A ．B ．2141AB AD -+C ．12AB AD +D ．3142AB AD +3. 在平⾯直⾓坐标系中，⾓α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点34(,)55P ，则sin 2α= A.2425 B ．65 C. 35-D 4. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有⾦箠，长六尺，斩本⼀尺，重五⽄，斩末⼀尺，重⼆⽄，箠重⼏何？”意思是：“现有⼀根⾦杖，长6尺，⼀头粗，⼀头细，在最粗的⼀端截下1尺，重5⽄；在最细的⼀端截下1尺，重2⽄；问⾦杖重多少⽄？” (设该⾦杖由粗到细是均匀变化的)A ．21B ．18C ．15D ．12 5. 已知4sin cos ,(,)342ππθθθ+=∈，则sin cosθθ-= AB ．C ．13D ．13-6. 在ABC △中，60A =?∠，1AB =，2AC =．若3BD DC =，,AE AC AB R λλ=-∈，且1AD AE ?=，则λ的值为 A ．213 B ．1 C ．311 D ．8137. 对于任意向量,a b ，下列关系中恒成⽴的是A ．||||||a b a b ?B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()()||||a b a b a b -+=-D ．22()(||||)a b a b +=+A ．32 B ．94- C ．52- D ．3- 9. 22cos ()sin ()44x x ππ++-=A ．1B ．1sin 2x -C ．1cos2x -D ．1-10. 已知,αβ为锐⾓，4tan 3α=，cos()5αβ+=-，则tan β=⾼三数学试题第4页（共5页）⾼三数学试题第5页（共5页）2 A ．2BC ．23D ．79⼆、多项选择题：本⼤题共3⼩题，每⼩题4分，共12分。
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【典型题】高三数学上期中试题及答案一、选择题1．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） A．3B．3C．3D．3-2．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或73．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-34．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．95．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．56．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．1252437．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=)222S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒8．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ）A ．3B ．13+C ．12+D ．49．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --< D ．log log c b a a <10．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．1492411．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．212．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 14．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 15．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．16．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，AB AD ⊥，AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．17．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________.18．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．19．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______. 20．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题21．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．22．在等比数列{}n a 中,()*10a n N >∈,且328aa -=,又15,a a 的等比中项为16.（1）求数列{}n a 的通项公式:（2）设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得1231111nk S S S S ++++<L 对任意*n N ∈恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由.23．已知函数()sin 2(0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．24．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n n a S S -（*n N ∈，且2n ≥） （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：当2n ≥时，12311113232n a a a na ++++<L 25．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*n S n N∈，{}nb 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.26．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ）≥2143a a ⨯=43，即4a +13a ≤-43故1212a x x x x ++的最大值为43-． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.2．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.3．D解析：D 【解析】作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6{x y x y +=-=得A(3,3)，∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：b zy x a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．4．D解析：D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ，可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6121212673a a a a a ==L ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.5．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
【详解】不等式组表示的平面区域如图，由36020x y x y --=⎧⎨-+=⎩得点B 坐标为B （4,6）.由图可知当直线z ax by =+经过点B （4,6）时，Z 取最大值。
因为目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，所以4612,a b +=即236,a b +=所以2312316616625()(23)(13)(132)6666a b a b a b a b a b b a b a +=++=++≥+⨯=。
当且仅当66236a bb a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即65a b ==时，上式取“=”号。
所以当65a b ==时，23a b +取最小值256。
故选A 。
【点睛】利用基本不等式2a b ab +≥可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。
当a b ，都取正值时，（1）若和+a b 取定值，则积ab 有最大值；（2）若积ab 取定值时，则和 +a b 有最小值。
6．A解析：A 【解析】解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)n ＋1－nn＝·n，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.解法二 ＝＝，令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.7．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)2223S b a c =+-，得13sin 2cos 2ab C ab C =, 整理得tan 3C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．8．A解析：A 【解析】 【分析】将函数()y f x =的解析式配凑为()()1222f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值. 【详解】当2x >时，20x ->，则()()1122222f x x x x x =+=-++≥-- 4=， 当且仅当()1222x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.9．D解析：D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误 对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．10．D解析：D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =, 故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示：当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时，z 取得最小值，而点A 的坐标为（1，2a -），所以221a -=，解得12a =，故选B. 【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.12．A解析：A 【解析】 【分析】分析题意，取3x y +倒数进而求3x y+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。