2014-2015学年华师大版九年级数学上册课后练习-相似三角形的应用2
华东师大版 初三数学23章 相似三角形典型例题(含答案)-学习文档
初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。
2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍：1. 比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例1. （1）在比例尺是1：8000000的《中国行政区》地图上，量得A 、B 两城市的距离是7.5厘米，那么A 、B 两城市的实际距离是__________千米。
相似三角形的判定课件(华师大版九年级上)
相似三角形对应边的比值称为相 似比。
相似三角形的性质
对应角相等
相似三角形对应的角相等，即$angle A_1 = angle A_2, angle B_1 = angle B_2, angle C_1 = angle C_2$ 。
对应边成比例
周长和面积比值相等
相似三角形的周长和面积的比值相等 ，即$frac{P_1}{P_2} = left(frac{a_1}{a_2}right)^2$。
04 相似三角形与全等三角形的关系
CHAPTER
全等三角形与相似三角形的联系
01
全等三角形是相似三角形的一种 特殊情况，即当两个相似比为1时 ，它们就是全等三角形。
02
全等三角形一定是相似三角形， 但相似三角形不一定是全等三角 形。
全等三角形与相似三角形的区别
全等三角形的对应边和对应角都相等，而相似三角形的对 应角相等，对应边成比例。
角边判定定理
如果两个三角形有一个对 应的角相等，并且这个角 所对的两边成比例，则这 两个三角形相似。
02 相似三角形的判定方法
CHAPTER
角角判定法
总结词
通过比较两个三角形的对应角是否相 等来判断三角形是否相似。
详细描述
如果两个三角形的两个对应角相等， 则这两个三角形相似。这是相似三角 形的一种基本判定方法。
CHAPTER
基础练习题
基础判定定理的直接应用
这类题目主要考察学生对相似三角形判 定定理的基本理解和应用能力，难度较 低。
VS
简单的角度和边长关系
这类题目会涉及到一些简单的角度和边长 的关系，需要学生根据这些条件判断两个 三角形是否相似。
提高练习题
综合应用判定定理
华师大版初中数学九年级上册23.3.1《相似三角形教案(含答案)
华师大版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！华师大初中数学和你一起共同进步学业有成！相似三角形1.相似三角形【知识与技能】1.知道相似三角形的概念；2.能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角；3.会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长；4.掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似”来判断两个三角形相似.【过程与方法】在探索活动中，发展发现问题、解决问题的意识和合作交流的习惯.【情感态度】培养学生严谨的数学思维习惯.【教学重点】掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.【教学难点】熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数.一、情境导入，初步认识复习：什么是相似形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？二、思考探究，获取新知1.相似三角形的有关概念：由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似.三角形是最简单的多边形.由此可以说什么样的两个三角形相似？如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠A=A ′,∠B=∠B ′,∠C=∠C ′，C A AC C B BC B A AB ''=''=''，那么△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′.“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两个三角形相似就读作“△ABC 相似于△A ′B ′C ′”.由于∠A=∠A ′,∠B=∠B ′,∠C=∠C ′，所以A 与A ′是对应顶点，B 与B ′是对应顶点，C 与C ′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边.如果记C A AC C B BC B A AB ''=''=''=k ，那么这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比.相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系.如△ABC ∽△A ′B ′C ′，它的相似比为k ，即指B A AB ''=k ，那么△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比应是BA AB ''，就不是k 了，应为多少呢？同学们想一想. 如果△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比k=1，你会发现什么呢？C A AC C B BC B A AB ''=''=''=1，所以可得AB=A ′B ′,BC=B ′C ′,AC=A ′C ′，因此这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例.试问：①全等的两个三角形一定相似吗？②相似的两个三角形会全等吗？2.△ABC 中，D 是AB 上任意一点，过D 作DE ∥BC,交AC 边于E ，那么△ADE 与△ABC 是否相似？【分析】判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得BC DE AC AE =，通过度量发现ABAD BC DE =，所以可以判断出△ADE 与△ABC 相似.思考 （1）你能否通过演绎推理证明你的猜想？（2）若是DE ∥BC,DE 与BA 、CA 延长线交于E 、D ，那么△ADE 与△ABC 还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式.【归纳结论】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.例1 如图，在△ABC 中，点D 是边AB 的三等分点，DE ∥BC ，DE=5，求BC 的长.解：∵DE ∥BC,∴△ADE ∽△ABC ，∴DEBC=ADAB=13，∴BC=3DE=15.三、运用新知，深化理解1.如图所示，DE ∥BC.（1）如果AD=2,DB=3，求DE ∶BC 的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长.2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,点E 是边AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，BE 的延长线交CD 的延长线于点G.（1）求证：BCAE GB GE ; （2）若GE=2,BF=3，求线段EF 的长.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
初中数学华东师大九年级上册(2023年新编)第23章 图形的相似《相似三角形的应用》教案
《相似三角形的应用》教案【教学目标】1、认识现实生活中物体的相似，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.2、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，培养分析问题、解决问题的能力．【教学过程】一、自主学习 感受新知1、说一说相似三角形的判定方法有哪些，相似三角形的性质有哪些？2、大家都知道矗立在城中的科技大楼是我们这里比较高的楼，那么科技大楼有多高呢？我们如何用一些简单的方法去测量出科技大楼的高度呢？二、自主交流 探究新知导入新课：阅读课本73页例6完成下列任务：例6中当金字塔的高度不能直接测量时，本题中构造了_______和_______相似，且_______、________、_________是已知或能测量的.说一说测量金字塔高度的方案并加以证明.学法指导：同一时刻太阳光是平行直线，从而得到角相等，得到相似三角形.例7中河的宽度也是无法直接测量的，本题中构造了_________和________相似，且_______、__________、__________是已知或能测量的.说一说测量河的宽度的方案并加以证明.以上两例题向我们提供了利用相似三角形进行测量的方法.相似三角形的知识在实际应用中非常广泛，主要是运用相似三角形的有关性质来测量计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度，解题时应先分析问题中哪些是相似图形，哪些是相等的角，哪些是成比例线段，已知的是哪些条件，要求的是什么，然后利用所学的相似三角形的知识把已知与未知联系起来，建立数学模型并解决.常见的相似模型有：阅读例，并说明它是如何利用相似三角形的性质来证明线段成比例的？学法指导：要将乘积式变为比例式.现在同学们应该知道该怎么样去计算科技大楼的高度了吧？方法归纳：测高的方法：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决.测距的方法：测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解课堂练习:课本75页1，2题三、自主应用 巩固新知1、某一时刻树的影长为8米，同一时刻身高为米的人的影长为3米，则树高为 .2、如图，某测量人员与标杆顶端F 、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面米，标杆FC =米，且B C =1米，CD =5米，求电视塔的高度ED .3、如图，路灯距地面8米，身高米的小明从距离灯的底部(点O )20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度( )A ．增大米B ．减小米C ．增大米D ．减小米4、如上图(右)马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB 的高度为米．(1)若吊环高度为2米，支点A 为跷跷板PQ 的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？(2)若吊环高度为米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A 移到跷跷板PQ 的什么位置时，狮子刚C BAF C D A B C A D E B AEE好能将公鸡送到吊环上？四、堂清任务(中考链接)小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度：如图，在地面上方一面镜子，(镜子的高度不计)，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B ，他请同学协助量了镜子与教学楼的距离EA =21米，以及他与镜子的距离CE =米，已知他的眼睛距离地面的高度DC =米，请你帮助小强计算出教学楼的高度.(根据光的反射定律：反射角等于入射角)C D FE A B。
新华东师大版九年级数学上册：23.3.4《相似三角形的应用2》学案含答案
相似三角形的应用 (2)【学习目标】学会把一已知线段几均分，灵巧运用相似三角形知识解决几何问题.【基础知识演练】1. 相似三角形的知识不仅在实践中有着广泛的应用，还可用来解决好多风趣的数学识题. 如把线段 AB五均分（如图）就可以用相似三角形的知识来解决. 方法是：（ 1）过线段AB 的一端点A 任意画一射线；（ 2）在 AP上挨次截取五段相等的线段AA l、 AA2、AA3、AA4、AA5. （ 3）连接 A5B.（ 4）分别过A4、 A3、 A3、 A l点画 BA5的平行线，这些平行线与线段AB 交于点 F 、 E、 D、C，这样就把线段AB五均分 . 请模拟这类方法把线段AB 七均分 .BA2.如图， DE与△ ABC的边 AB，AC分别订交于 D， E两点，且 DE∥ BC．若 DE＝2㎝， BC＝3㎝， EC＝2㎝，求 AC的长．33.如图，△ABC中，∠B=900，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，而且 C′D∥ BC，求 CD的长 .4.如图，在△ ABC中，AB＝14cm，AD 5，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12cm，求△ADE的面积BD9和周长 .5．如图，用三个全等的菱形ABGH、 BCFG、 CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE 与BG、 CF分别交于P、 Q，若 AB=6，求线段 BP的长 .【思想技术整合】6.如图，设 M， N 分别是直角梯形 ABCD两腰 AD， CB的中点， DE上 AB 于点 E，将△ ADE沿DE翻折， M与 N 恰好重合，则AE： BE等于（）A．2:1B．1:2C．3:2D．2:37.如图，王华夜晚由路灯 A 下的 B 处走到Ｃ处时，测得影子 CD的长为１米，连续往前走３米到达Ｅ处时，测得影子EF的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯 A 的高度 AB 等于（）Ａ．4.5 米Ｂ．6米Ｃ．7.2米Ｄ．8米8.如图，将△ ADE绕正方形 ABCD的极点 A 顺时针旋转90°得△ ABF，连接 EF交 AB 于 H，则以下结论错误的选项是（）A. AE⊥AFB.EF∶A F=2 ∶1C.AF2=FH· FED.FB∶ FC=HB∶ EC9.如图，在梯形ABCD中， AD∥ BC， AC、 BD交于 O点， AD∶ BC＝ 3∶ 5，则 AO∶ OC＝，S AOD∶S BOC＝，S AOD∶S AOB＝.10.在△ ABC中， AB＝ 8cm， BC＝ 16 cm ，点 P 从 A 点开始沿 AB 边向点 B 以 2 cm／秒的速度挪动，点Q从 B 点开始沿BC边向点 C 以 4 cm／秒的速度挪动，假如P、 Q分别从 A、 B 两点同时出发，经过几秒以后，△PBQ与△ ABC相似？这样的三角形有几个.【发散创新试试】11.如图，在平面直角坐标中，四边形 OABC是等腰梯形， BC∥ OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点 P为 x 轴上的—个动点，点P 不与点 0、点 A 重合．连接CP，过点 P 作 PD交 AB于点 D．(1)求点 B 的坐标；(2)当点 P 运动什么地点时，△ OCP为等腰三角形，求这时点 P 的坐标；(3)当点 P 运动什么地点时，使得∠ CPD=∠ OAB，且BD=5，求这时点 P 的坐标 . AB 8【回顾领会联想】12.相似三角形在解题中起着举足轻重的作用：如证两角相等、计算角的大小、证线段成比例、求线段长度、等积线段、求函数分析式等，解题时要仔细审题，分析、采纳合适的方法. 你能总结出解决问题的要点吗？参照答案1.略2. 23.404. △ ADE的面积为75972． BP=2 6. A cm，周长为 15 cm. 57. B 8. C 9.3∶ 5， 9∶25， 3∶5 10. 2秒或0. 8秒，这样的三角形有两个11.（ 1）过 C 作 CD⊥ OA于 A， BE⊥ OA于 E，则△ OCD≌△ ABE，四边形 CDEB为矩形 . ∴OD=AE， CD=BE.∵OC=AB=4，∠ COA=60°. ∴ CD=2 3， OD=2.∴CB=DE=3，∴ OE=OD+DE=5.∵BE=CD=2 3，∴ B（ 5，2 3） .（2）∵∠ COA=60°，△ OCP为等腰三角形，∴△ OCP是等边三角形 . ∴OP=OC=4∴.P（ 4，0） .即 P 运动到（ 4， 0）时，△ OCP为等腰三角形，（3）∵∠ CPD=∠ OAB=∠COP=60°，∴∠ OPC+∠DPA=120°.又∵∠ PDA+∠DPA=120°，∴∠OPC=∠PDA.∵∠ OCP=∠A=60°，∴△ COP∽△ PAD.∴OP OC.AD AP∵ BD 5，AB=4，∴ BD=5. ∴AD=3. 即AB822∴7OP OP2 6 .得 OP=1或 6.∴ P 点坐标为（ 1，0）或（ 6， 0） .OP4. 37 OP2。
24.3相似三角形的应用2(课件)(华师大版九年级上册)
相似三角形的应用2
等分线段
同学们看课本第82页,告诉我们应用一组等距离 的平行线可以把一线段五等分,你能把一线段三 等分或六等分吗?试试看
如果手头上没有这样等距离的平行线怎么 办呢?
C
A
D
E
F
B
把线段AB五等分 画法:
A1 A2
A3
A4
1.过线段AB的一端点A任意画一射线;
A5 P
2.在AP上依次截取五段相等的线段AA1、A1A2、 A2A3、A3A4、A4A5。 3.连结A5B； 4.分别过A4、A3、A2、A1点画BA5的平行线，这些 平行线与线段AB交于点F、E、D、C，这样就 把线段AB五等分。
为什么这样就五等分了呢？能否用相似三角 形性质说明理由。 因为A1C∥A5B， 因此∠AA1C=∠AA5B， 而∠A=∠A 所以△AA1C∽△AA5B， 则AA1/ AA5=AC/AB，而AA1/AA5=1/5 所以AC/AB=1/5，即AC=1/5AB。 同样道理：AD=2/5AB
练习
把线段AB七等分
把线段AB分成4：3的两部分
如图，在离某建筑物4米处有一棵树， 在某时刻，1.2m长的竹竿竖直地面， 影长为2m，此时，树的影子照射地 面，还有一部分影子在建筑物的墙上， 墙上的影长为2m，那么这棵树高约 多少米？
A A/ B/ C/ B
D C
课堂小结
应用相似三角形的知识，可以用于测量物
分别为35cm 和14cm。 1. 它们的周长差60cm，求这两个三角形的 周长。 2. 它们的面积差588cm2，求这两个三角形的 面积。 3.要做两个相似的三角形的框架，其中一个三角 形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形 框架有一边长为2，另两边的木料应多长可以使 它们相似？
《相似三角形的应用》说课稿-九年级上册数学华师大版
《相似三角形的应用》说课一、教材分析：本节课主要建立相似三角形的数学模型应用相似三角形的判定与性质等知识去解决某些简单的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度）二、学情分析：学生已经学过了相似三角形的概念、判定及性质，在此基础上通过本课的学习将对前面所学知识进行全面应用。
九年级学生在思维上已具备了初步的应用数学的意识。
在心理特点上则更依赖于直观形象的认识。
三、教学目标：1．进一步巩固相似三角形的判定与性质．2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度等的一些实际问题．3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．四、教学重难点：重点：引导学生根据题意构建出相似三角形模型，从而可以把实际问题转化为纯数学问题来解决难点：通过审题、思考后，如何在实际问题中抽象出相似三角形的模型。
五、教学策略与教学关键：针对以上教学难点、重点的分析，本节课将应用启发式教学与探究式教学相结合来展开分解难点、突出重点。
始终体现以学生自主学习及合作交流为主的新课程理念，从学生的经验、生活实际出发，创设情景，引导学生去发现、分析、解决问题。
在实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段成比例来求解。
六、教学设计说明：1．主线：授人于鱼-----授人于渔-----悟其渔识。
“渔识”主要靠“悟”而不是“授”。
既有自发的悟，又可有意识地进行悟。
学生自发的悟，可能要多花时间，多走弯路。
我们在授人以鱼、授人以渔时，要有意识地分阶段引导学生去悟。
例如本课设计中，第一境界是通过两个小型实际问题直接给学生两个基本的相似三角形模型（授人于鱼）。
第二境界是引导学生去探索如何自主的抽象出相似三角形的模型，寻找解决的策略（授人于渔）。
第三境界是给学生一个具体的情景，发散思维，大胆的去设计方案，在这过程中渗透转化、建模的数学思想，使学生从中感悟到将来遇到新问题可采取的方法——构造数学模型，进而逐步形成自己的见识。
相似三角形的应用--华师大版-(
B
D
C E
解： 因为 ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°， 所以 △ABD∽△ECD，
AB BD 那么 EC DC
BD EC 120 50 解得AB 100(米 ) DC 60
O
O′
A
A′
B′
B
解：由于太阳光是平行光线，因此
∠OAB＝∠O′A′B′．
又因为 ∠ABO＝∠A′B′O′＝90°．
所以 △OAB∽△O′A′B′，
OB∶O′B′＝AB∶A′B′，
AB OB 274 1 OB 137(米 ) A B 2
即该金字塔高为137米．
练习
解：
答： 两岸间的大致距离为100米．
练习
2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点 C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到 一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?
A B
D
E
C
解： 因为 ∠ACB＝∠DCE
A
B
,
D E
∠CAB＝∠CDE=90°,
作业:
； / 齐鲁制药
vgd58wjw
么啊？”我一边扒着米饭，不加思索地问道。“只是姐姐有事要做，要赶紧把碗筷送回去。”仁轩说罢，像是一个说错话的小 孩，马上把头低了下去。我听罢，更不好意思再慢悠悠地吃了，连忙三下五除二地把饭菜消灭干净，再整整齐齐摆好餐具端回 给仁轩手上，并说着些感谢他姐姐为我做饭菜等等的客气话。仁轩端回餐具，起身正准备离开，突然转身向我问道：“哥哥， 你叫什么名字啊？”我又这么一惊，又很不好意思地意识到，直到现在我还是个别人仁家一家子都不认识的陌生人。等等，现 在还不能透漏我身份证上的名字吧，虽说不知道这是一个怎样的世界，但是假如我说出我的姓名而影响了我所处的那个世界的 历史的话，我还是不要让自己的真名流传开为好。急中生智是很强大的，我又一次不假思索地答道：“我叫莲，姓氏就不方便 透露了。”其实我取这个名字，是出于穿越前我正在追的一部漫画，当中的男主角被人叫做莲先生，长得可真帅气真高大啊。 “好的，我会替莲哥哥把你刚才感谢姐姐的话说给姐姐听的。”说罢，仁轩就转身走开了。这仁轩真是个讨人喜欢的孩子啊！ 心里又开始感叹万分。吃饱了没事做，而且头昏了这么久，现在也全无睡意，倒不如去庭院散散步，反正这仁家也就这三人， 也不怕遇到什么其他人，除了仁老夫人外，因为我真不敢直接和这么封建得如此有代表性的人物谈话。夜幕也终于降临了，但 是风还是不减；月亮恰被云层遮住，虽已看不见柳叶，但是还是能听到清脆的拂叶之声。院子里已经变得漆黑黑的，也许古时 的夜才算是真正的黑夜，是少了繁华都市的霓虹灯的缘故吧。正当我在无限遐想的时候，发现有一身影匆匆掠过，并消失于院 子门外。我又是一惊，但是却下意识知道了这个人是谁了。更往深一层想去，感觉到情况大为不妙，这搞不好会出人命。于是， 我也急急忙忙地跟了上去。这陌生城市的大街小巷可真难辨认，尤其是没有现代路灯的指引，只靠偶尔会出现的月光的牵引来 行进，这可真苦了我。还好，月亮在与云朵淘气了一番之后，还是乖乖地露出脸来。这月光真突出一个亮，想必也是这只有月 光的缘故吧！跟着黑影在小巷里兜兜转转，接着又在没有一个人儿的大街上你走我跟的，最后是来到了湖边。这下我就完全知 道是什么事了。此时，那个黑影站在月光下，呆了良久；我就在一旁躲着，也跟着躲了很久。不出所料，那个黑影纵身一跃， 跳进湖里去了。黑影开始挣扎，偶尔发出几声响，呼吸声越来越急促，最后动作慢慢的缓了下来。月亮见证着这一切，那是月 亮千万年来，已经司空见惯的场景了。13小我重生|暑假还要在某公司进行无薪实习，可真够苦逼的。每天都要做一些琐碎的 小事，然后就浑浑噩噩的度过了这么一个白
华师大版数学九年级上册《相似三角形的性质》说课稿2
华师大版数学九年级上册《相似三角形的性质》说课稿2一. 教材分析华师大版数学九年级上册《相似三角形的性质》是本册教材中的一个重要内容，它是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的内角和定理等知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是相似三角形的性质，包括相似三角形的定义、性质定理及其应用。
这部分内容在高考中占有重要地位，对于学生来说，理解和掌握相似三角形的性质对于解决实际问题和提高数学素养具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于三角形的基本概念和性质有一定的了解。
但是，学生在学习过程中，对于一些抽象的概念和定理的理解还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我将以学生为主体，注重启发式教学，引导学生通过观察、思考、探究，自主地得出相似三角形的性质，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握相似三角形的定义及其性质，能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似三角形的定义及其性质。
2.教学难点：相似三角形的性质定理的证明和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、小组合作学习法、案例教学法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本概念和性质，引导学生思考：如果两个三角形的形状完全相同，那么它们之间的关系是什么？2.自主探究：让学生分组进行自主探究，观察和分析相似三角形的性质，引导学生发现相似三角形的性质定理。
3.性质定理的证明：引导学生通过逻辑推理和几何画图，证明相似三角形的性质定理。
4.性质定理的应用：通过实例分析，让学生学会运用相似三角形的性质定理解决实际问题。
华师大版-数学-九上-23.3.2 相似三角形的判定2 教案
23.3.2相似三角形的判定2教学目标：（一）教学知识点1．掌握三角形相似的判定方法2.3．2．会用相似三角形的判定方法2.3来判断、证明及计算．（二）能力训练要求1．通过自己动手并总结推出相似三角形的判定方法2.3，培养学生的动手操作能力，总结概括能力．2．利用相似三角形的判定方法进行判断，训练学生的灵活运用能力．（三）情感与价值观要求1．通过探索相似三角形的判定方法，体现数学活动充满着探索性和创造性．2．通过对判定方法的探索，发展学生思维的灵活性，进一步培养逻辑推理能力，领会分类思想．教学重点：相似三角形判定方法2.3的推导过程，掌握判定方法2.3并能灵活运用．教学难点：判定方法的推导及运用教学方法：探索——总结——运用法Ⅰ．创设问题情境，引入新课师：现在我们已经有两种方法可以判定两个三角形相似，一种是定义，一种是预备定理，除此之外，是否还有其他的办法来判定两个三角形相似？这一问题就是本节课我们需要研究的问题．Ⅱ．讲授新课师：下面我们只从边的方面去考虑．我们在学习全等三角形的判定方法中，也有只用边来进行判断的，即SSS公理．大家能不能用类比的方法，猜想只用边来判定三角形相似的方法呢？生：三边对应成比例的两个三角形相似．师：下面我们就来验证一下．1．相似三角形的判定方法2．师：前面两种判定方法我们都是只从角或只从边的方面去考虑的，下面我们要从两方面来考虑．还是要类比全等三角形的判定方法，在全等的判定方法中有ASA，SAS，AAS，其中ASA.AAS我们就不用考虑了，因为我们已经有判定方法2，下面来验证SAS，大家还是先猜想，然后再验证．生：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．师：好，下面我们还是由大家自己推导吧．请看投影片师：请大家按照上面的步骤进行，同时还要采取不同的组取不同的k值法．生：按照要求作出的△ABC与△A′B′C′中，有∠B=∠B′，∠C=∠C′，因此根据判定方法1可知，△ABC∽△A′B′C′．师：大家同意吗？生：同意．师：好，我们又探索出一个相似三角形的判定方法，即两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．2．相似三角形的判定方法3：三边对应成比例的两个三角形相似．投影片师：大家可以按照上面的步骤进行，这里的k由自己定，为了节约时间，请大家一个组取一个相同的k值，不同的组取不同的k值，好吗？生：好．师：经过大家的亲身参与体会，你们得出的结论是什么呢？生：结论为∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′△ABC∽△A′B′C′,理由是：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′B A AB ''=C B BC ''=A C CA '' 根据相似三角形的定义可知：△ABC ∽△A ′B ′C ′．师：其他组的同学的结论相同吗？生：相同．师：经过大家的探讨，我们又掌握了一种相似三角形的判定方法，即三边对应成比例的两个三角形相似．3．想一想师：下面验证SSA ，即两边对应成比例，其中一边的对角对应相等，这两个三角形相似吗？在全等三角形的判定中SSA 就不成立．大家还可以仿照上面的验证过程来进行推导，下面是小明和小颖分别画出的一个满足条件的三角形，由此你能得到什么结论？生：从上面的图中可以得出结论：有两边对应成比例，其中一边的对角相等的三角形不相似．4．做一做师：在这两节课中我们已经学完了一般相似三角形的判定方法，下面请大家总结一下有几种方法．5．议一议如图，△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？你有哪些判断方法？生：【答案】△ABC ∽△A ′B ′C ′．判断方法有．1．两角对应相等的两个三角形相似．2．两边对应成比例且夹角相等．3．定义法．Ⅲ．课堂练习依据下列各组条件，判定△ABC 与△A ′B ′C ′是不是相似，并说明为什么．（1）∠A =120°,AB =7 cm,AC =14 cm,∠A ′=120°,A ′B ′=3 cm,A ′C ′=6 cm,（2）AB =4 cm,BC =6 cm,AC =8 cm,A ′B ′=12 cm,B ′C ′=18 cm,A ′C ′=24 cm ．【答案】（1）∵C A AC B A AB ''='',37=37614= ∴C A AC B A AB ''='' 又∵∠A =∠A ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似）（2）∵B A AB ''=124=31，C B BC ''=186=31,C A AC ''=248=31 ∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC '' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（三边对应成比例，两三角形相似）Ⅳ．课时小结本节课主要探讨了相似三角形的两种判定方法，即三边对应成比例与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．培养了大家的探索精神，同时让学生懂得了数学活动充满着探索与创新，学习的目的是能运用学过的知识去解决问题，在这里就是能利用判定方法进行有关证明．。
华师大版数学九年级上册《相似三角形的应用》教学设计
华师大版数学九年级上册《相似三角形的应用》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级上册《相似三角形的应用》是本册教材中的重要内容，旨在让学生掌握相似三角形的性质及应用。
本节课通过生活中的实例，引导学生探索相似三角形的性质，培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。
教材内容安排合理，由浅入深，符合学生的认知规律。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的有关知识，对三角形有了一定的认识。
但学生在学习过程中，可能对相似三角形的性质及应用理解不深，尤其是对实际问题中的相似三角形识别和运用。
因此，在教学过程中，要关注学生的认知基础，注重引导学生主动探究，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法。
2.能运用相似三角形的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的性质及应用。
2.难点：相似三角形的判定方法及在实际问题中的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.小组合作学习：培养学生团队合作精神，提高学生的交流表达能力。
3.实践操作法：让学生动手操作，提高学生的动手能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图片，用于导入和新课呈现。
2.准备相似三角形的相关习题，用于巩固和拓展。
3.准备黑板和粉笔，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的实例，如建筑物的图片，让学生观察并提问：“这些建筑物之间有什么共同的特点？”引导学生发现建筑物之间的相似性，从而引入相似三角形的概念。
2.呈现（10分钟）展示相似三角形的性质和判定方法，引导学生观察和思考，让学生通过小组合作学习，探讨相似三角形的性质和判定方法。
3.操练（10分钟）让学生动手操作，解决一些与相似三角形有关的问题。
如：已知两个三角形的两边对应成比例，求证这两个三角形相似。
华师大版九年级数学上册同步练习- 相似三角形的应用
相似三角形应用一、基础练习1．如图1,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距离1.6m,梯上点D距墙1.4m,•BD•长0.55m,则梯子的长为_______m．（1）（2）（3）2．•要做甲、•乙两个形状相似的三角形框架,•已知三角形框架甲的三边分别为50cm,60cm,80cm,三角形框架乙的一边长为20cm．那么,•符合条件的三角形框架乙共有_____种,这种框架乙的其余两边分别为________．3．在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,•现将它折叠,•使点B•与点C•重合,•则折痕长是______．4．如图2,矩形ABCD,AD=a,AB=b,要使BC边上至少存在一点P,使△ABP,•△DPA,•△PCD两两相似,则a,b 间的关系一定满足（）A．a≥12b B．a≥b C．a≥32b D．a≥2b5．如图3,已知三角形铁皮ABC的边BC=acm,BC边上的高AM=hcm•要剪出一个正方形铁片DEFG,使D、E在BC上,G、F分别在AB、AC上,则正方形DEFG的边长=_______．6．如图4,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时,•长臂端点升高______m（杆的宽度忽略不计）．（4）（5）（6）7．如图5,设在小孔口前24cm处有一枝长21cm的蜡烛AB,AB经小孔O形成的像A•′B′恰好浇在距小孔后面16cm处的屏幕上,则像A′B′的长是______cm．8．如图6所示,一张矩形纸片ABCD, AD=9,AB=12,将纸片折叠,使A、C两点重合,•折线MN=________．9．如图7所示,ABCD为正方形,A、E、F、G在同一条直线上,并且AE=5cm,EF=3cm,•那么FG=_______cm．（7）（8）10．如图8,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,DE为Rt△CDB的斜边BC上的高,若BE=6,CE=4,则AD=_______．。
华师大版数学九上24.3《相似三角形》word教案2
27.2.1 相似三角形的判定（一）一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．2．难点：三角形相似的预备定理的应用．三、课堂引入1．复习引入（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比．反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且AC CA C B BC B A AB ''=''=''． （3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？2．教材P42的思考，并引导学生探索与证明．3．【归纳】三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．四、例题讲解例1（补充）如图△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA ．（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD 、DC 的长．分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD 与DC 的长．解：略（AD=3，DC=5）例2（补充）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，再由相似三角形的性质，有AC AE AB AD =，又由AD=EC 可求出AD 的长，再根据ABAD BC DE =求出DE 的长． 解：略（310DE =）． 五、课堂练习1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）A ．两个直角三角形B ．两个钝角三角形C ．两个等腰三角形D ．两个等边三角形2．（选择）如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形一共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE:EA=2:3，EF=4，求CD 的长． （CD= 10）六、作业1．如图，△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ，写出对应边的比例式．2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，写出对应边的比例式．3．如图，DE ∥BC ，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC 的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长．。
华师大版-数学-九年级上册- 相似三角形的应用 拔高练习2
23.3.4 相似三角形的应用(2)●拓展提高1．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CE⊥AB，垂足为E，BG⊥AP，垂足为G，求证：CE2=PE·DE．2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BG⊥AC交CD于点E，垂足是G，求证：BC2=CE•CD．3．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系式时，△ACP∽△PDB；(2)当△PDB∽△ACP时，试求么APB的度数．4．如图，P是□ABCD的边DC延长线上一点，AP分别交BD、BC于M、N，求证：(1)AM2=MN·MP：（2）22 MP DM MN BM=．5. 如图，△ABC中，∠B=900，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，求CD的长.6. 如图，在△ABC中，AB＝14cm，95=BDAD，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12cm，求△ADE的面积和周长.7.如图，ABC△在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使(23)(62)A C，，，，并求出B点坐标；（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC△放大，画出放大后的图形A B C'''△；（3）计算A B C'''△的面积S．ABC●体验中考1、(2009年潍坊)已知ABC △，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．（1）求AE AC的值； （2）若AB a FB EC ==，，求AC 的长．2、（2009年湖北十堰市）如图①，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F .(1) 求证：DE －BF = EF ．(2) 当点G 为BC 边中点时, 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．(3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．参考答案拓展提高：1．点拨：证Rt △ACE ∽Rt △CBE ，得CE 2=AE ·BE ．∠ABG=∠APE=90°－∠PAE ，∴Rt △APE ∽Rt △DBE ．∴AE PE DE BE=．∴AE ·BE=PE ·DE ．∴CE 2=PE ·DE ． 2．点拨：△BCG ∽△ACB ，∴BC 2=CG ·CA ．Rt △CGE ∽Rt △CDA ，∴CE ·CD=CG ·CA ．∴BC 2 =CE ·CD ．3．(1)CD 2=，AC ·DB (2) ∠APB=120°4．(1)点拨：由△PMB ∽△AMB 得DM PM BM AM=．∴2222DM PM BM AM =．∴222DM PM MP BM MN MP MN ==，即证． 5. 4096.△ADE 的面积为775cm 2，周长为15 cm. 7.（1）画出原点O ，x 轴、y 轴．(21)B ，，（2）画出图形A B C '''△．（3）148162S =⨯⨯=． 体验中考：1、（1）过点F 作FM AC ∥，交BC 于点M ．F 为AB 的中点M ∴为BC 的中点，12FM AC =． 由FM AC ∥，得CED MFD ∠=∠，ECD FMD FMD ECD ∠=∠∴，△∽△23DC EC DM FM ∴== 22113323EC FM AC AC ∴==⨯= 1233AC AC AE AC EC AC AC AC --∴=== （2）1122AB a FB AB a =∴==， 又12FB EC EC a =∴=， 13332EC AC AC EC a =∴==，． 2、 (1) 证明:∵ 四边形ABCD 是正方形, BF ⊥AG , DE ⊥AG∴ DA =AB ， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90° ∴ ∠BAF = ∠ADE∴ △ABF ≌ △DAE∴ BF = AE , AF = DE∴ DE －BF = AF －AE = EF（2）EF = 2FG理由如下：∵ AB ⊥BC , BF ⊥AG , AB =2 BG∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG∴2===FGBF BF AF BF AB ∴ AF = 2BF , BF = 2 FG由(1)知, AE = BF ，∴ EF = BF = 2 FG(3) 如图DE + BF = EF。
2014-2015学年华师大版九年级数学下册课后练习：相似三角形有关的综合问题2+课后练习二及详解
学科：数学专题：相似三角形有关的综合问题 2金题精讲题一：题面：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，并且经过（2，5）和（5，12）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是线段BC上一点（不与点B、C重合），若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标．满分冲刺题一：题面：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，BC=10，高AG=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．F是腰AB上的一点，且EF⊥AB，连接DE、DF．（1）求证：△BEF∽△BAG；（2）当点E在线段BC上运动时，设BE=x．△DEF的面积为y．①请你求出y和x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②求当x为何值时，y有最大（小）值．题二：题面：如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线22=3y x bx c 经过点B ，且顶点在直线5=2x 上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO 沿x 轴向右平移得到△DCE ，点A 、B 、O 的对应点分别是D 、C 、E ，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连结BD ，已知在对称轴上存在一点P 使得△PBD 的周长最小，求出P 点的坐标；（4）在（2）、（3）条件下，若点M 是线段OB 上的一个动点（点M 与点O 、B 不重合），过点M 作MN ∥BD 交x 轴于点N ，连结PM 、PN ，设OM 的长为t ，△PMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M 点的坐标；若不存在，说明理由．课后练习详解金题精讲题一：答案：（1）y =-x 2+2x +3；（2）(34，94)或（1，2）．详解：（1）由题意，得12b a ，4a -2b +c ＝-5，25a +5b +c =-12.，解这个方程组，得a =-1，b =2，c =3.，∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3．（2）令y =0，得x 2+2x +3=0．解这个方程，得x 1=-1，x 2=3．∴A （-1，0），B （3，0）．令x =0，得y =3．∴C （0，3）．∴AB =4，OB =OC =3，∠OBC =45°．∴BC =22223332OB OC ．过点D 作DE ⊥x 轴于点E ．∵∠OBC =45°，∴BE =DE ．要使△BOD ∽△BAC 或△BDO ∽△BAC ，已有∠ABC =∠OBD ，则只需BD BO BC BA 或BD BO BA BC 成立．若BDBO BC BA成立，则有BD =924BO BC BA ．在Rt △BDE 中，由勾股定理，得BE 2+DE 2=2BE 2=BD 2=(924BO BC BA)2．∴BE =DE =94．。
华师大版-数学-九年级上册- 相似三角形的判定 综合练习2
23.3.2相似三角形的判定（2）【知能点分类训练】 知能点1 边角边识别法1．下列图形不一定相似的是（ ）．A ．有一个角是120°的两个等腰三角形;B ．有一个角是60°的两个等腰三角形C ．两个等腰直角三角形;D ．有一个角是45°的两个等腰三角形2．如图1，已知△ABC ，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点．AD=3cm ，AB=8cm ，AC=10cm ．若△ADE ∽△ABC ，则AE 的值为（ ）． A ．1541215125...41554512cm B cm cm C cm cm D cm 或或(1) (2) (3) 3．满足下列条件的各对三角形中相似的两个三角形有（ ）．①∠A=60°，AB=5cm ，AC=10cm ；∠A ′=60°，A ′B ′=3cm ，A ′C ′=10cm ②∠A=45°，AB=4cm ，BC=6cm ；∠D=45°，DE=2cm ，DF=3cm ③∠C=∠E=30°，AB=8cm ， BC=4cm ；DF=6cm ，FE=3cm ④∠A=∠A ′，且AB ·A ′B ′=AC ·A ′B ′4．如图2,点D 为△ABC 的AB 边一点（AB>AC ）,下列条件不一定能保证△ACD ∽△ABC 的是（ ）．A ．∠ADC=∠ACB B ．∠ACD=∠BC ．.DC ADAD ACD BC ACAC AB== 5．如图3，若AC 2=CD ·CB ，则△_______∽△_______，∠ADC=________．(4) (5) (6) (7)6．如图4，△ABC中，CD⊥AB于D，AD=8，CD=6，则当BD=______时，△ADC∽△CDB，∠ACB=_______°．7．如图5，已知AC与BD相交于点O，且AO：OC=BO：OD=2：3，AB=5，则CD=______．8．如图6，等腰三角形ABC中，∠A=36°，若BC2=CD·CA，则∠DBC=_____°，图中有_____个等腰三角形．9．如图7，为测得一养鱼池的两端A，B间的距离，可在平地上取一直接到达A和B的点O，连接AO，BO并分别延长到C，D，使OC=12OA，OD=12OB，如果量得CD=30m，那么池塘宽AB=________．【综合应用提高】10．如图，四边形ABCD中，M是AC上一点，若∠ADM=∠BDC，AD BDDM CD．（1）写出图中相似三角形（写两对），对其中的一对加以说明．（2）写出与∠DAB相等的角．11．如图，已知△ABC中，AC=10，AB=16，问在AB边上是否存在这样的点P，使△APC∽△ACB，若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．12．如图，是利用木杆撬石头的示意图．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起12cm，已知杠杆的动力臂OA与阻力臂OB之比为5：1，求要使这块石头滚动，至少要将杠杆A端下压多少厘米．13．如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，且BD=a，BC=b，当AC与a，b满足什么关系时，△ACB ∽△CBD？14．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB=1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B两村供水．若铺设水管的工程费用为每千米1. 8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．【开放探索创新】15．已知：如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE，请认真研究图形与所给条件，然后回答：图中是否存在相似的三角形？若存在，请加以说明；若不存在，请说明理由．【中考真题实战】16．（烟台）如图，□ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF ∽△CDE，则BF的长是（）．A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.817．（丽水）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AD=1，BD=4，则CD等于（）． A．2 B．4 C．2 D．318．（潍坊）如图，正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，AF与DE相交于点O，则AODO等于（）．A．13B．255C．23D．1219．（南昌）已知△ABC，△DCE，△EFG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=3，BC=1，连接BF，分别交AC，DC，DE于P，Q，R．（1）求证：△BFG ∽△FEG，并求出BF的长．（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答．参考答案1．D 点拨：若45°角在一个三角形中做顶角，在另一个三角形中做底角，则这两个三角形形状不同．2．C 点拨：两个三角形有公共角，只须满足两边对应成比例，则对应边有两种可能． 3．A 点拨：（2），（3）不满足位置关系． 4．C 点拨：不能满足位置关系． 5．△ACD ∽△BCA ∠BAC 6．9290° 7．7.5 点拨：由题意△AOB ∽△COD ，∴23AB CD =． 8．36° 3个 9．60m10．（1）△ADM ∽△BDC △ADB ∽△MDC ，说明△ADB ∽△MDC ． ∵∠ADM=∠BDC ，∴∠ADO=∠CDM ，AD BD AD DMDM CD BD CD==,即 ∴△ADB ∽△CDM ． （2）∠DMC11．存在，若使△APC ∽△ACB ，则应满足：10025164AP AC AP AC AB =∴==,． 12．15OB OA =，∴12cm ×5=60cm ，至少要将杠杆A 端下压60cm ． 13．若使△ACB ∽△CBD ，∴22AC BC BC b AC BC BD BD a=∴==,． 14．作A 关于直线L 的对称点A ′，连接A ′B 到L 交于点C ，则C 点为水厂所在地． 如图，过B 作BD ⊥L 于D ．则△AEC ∽△BDC ，∴AE ECBD CD=， ∴EC ≈0.5km ， ∴AC+BC=3.7km ，∴总费用为3.7×1.8=6.66万元． 15．存在，△ACD ∽△ECA ， 设AB=a ，则2=a ，CE=2a ，22.AE CDCE ACAC CDCE AC∴===∴=又∵∠ACE=∠ECA，∴△ACD∽△ECA．16．D17．A 点拨：利用△ADC∽△CDB．18．D 点拨：利用△AOE∽△DOA．19．（1）∵△ABC≌△DCE≌△FEG，∴EG=1，BG=3．∴3EG FGFG BG==．又∵∠G=∠G，∴△FEG∽△BFG，∴BF=BG=3．（2）△BPC∽△BFG或△BCP为等腰三角形或△BPC∽△ABC等（答案不唯一）。
华师大版九年级数学上册同步练习附答案23.3.4 相似三角形的应用
23.3.4 相似三角形的应用一、选择题1．小虎的身高为1.6米，他的影长为2米，同一时刻他测得电线杆的影长为18米，则此电线杆的高度为（）A．20米B．14.4米C．16.4米D．15.4米2．为了测量一条小河的宽度，小明所在小组同学决定选取河对岸岸边某处为A点，在同侧岸边选取B，C，E三点，使B，C，E在同一直线上，且AB与BE垂直．再过点E作DE⊥BE交AC的延长线于点D，并测得BC=15m，CE=3m，DE=5.4m，则河的宽度AB约为（）A．21m B．24m C．27mD．8.6m3．如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC=30°，窗户的高在教室地面上的影长MN=2米，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米（点M、N、C在同一直线上），则窗户的高AB为（）A．米B．3米C．2米D．1.5米4．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是（）A．h2=2h1B．h2=1.5h1C．h2=h1D．h2=h1 5．一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张二、填空题6．已知有两堵墙AB，CD，AB墙高2米，两墙之间的距离BD为8米，小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外，将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为______．7．如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB=20米，镜子与小华的距离ED=2米时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A．已知小华的眼睛距地面的高度CD=1.5米，则铁塔AB的高度是______米．8．如图，一条河的两岸有一段平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为______米．9．如图，测量小玻璃管管径的量具ABC，AB的长为5mm，AC被分为50等份．如果玻璃管的管径DE正好对着量具上30等份处（DE∥AB），那么小玻璃管的管径DE=______mm．10．如图，已知零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC：OA=1：2，量得CD=10mm，则零件的厚度x=______mm．11．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______m．三、解答题12．如图，铁道口的栏杆的短臂长1.25米，长臂长5.5米，当短臂端点下降0.85米时，长臂端点升高多少米？13．如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的像，像的长度为2cm，OA=60cm，OB=15cm，求火焰的长度AC．14．如图，一油桶高1m，桶内有油，一根木棒长1.2m，从桶盖的小口处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长为0.48m，求桶内油面的高度．15．如图是一个常见铁夹的剖面图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA，垂足为D，DA=15mm，DO=24mm，DC=10mm，且铁夹的剖面图是轴对称图形，求A，B两点间的距离．四、综合运用题16．如图，A，B两个村子在一条河的同侧，A，B两村到河岸的距离分别为AC=1km，BD=3km，其中CD=3km．现在要在河岸CD上建一个水厂，向A，B两个村庄输送自来水，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设的水管总长度最小？17．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园，小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG ＝1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．答案一、1．B 2．C 3．C 4．C 5．C二、6．7.5m 7．15 8．22.5 9．3 10．2.5 11．4 三、12．3.74米 13． 8cm 14．0.4米 15． 30mm四、综合运用题16．17. 解：由题意得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF，∴△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH.∴AB ED ＝BC DC ， AB GF ＝BF FH. 则AB 1.5＝BC 2，AB 1.65＝BC ＋182.5.解得AB ＝99.。
华师大版数学九年级上册相似三角形的判定 课后练习二及详解
人非圣贤，孰能无过？过而能改，善莫大焉。
《左传》江缘学校陈思梅学科：数学专题：相似三角形的判定重难点易错点解析题一：题面：如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）．A．4对 B．5对 C．6对 D．7对金题精讲题一：题面：如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为．题二：题面：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，以AB为直径作圆O恰好与CD相切于E，连AC、BD相交于F，连EF．（1）求证：AB2=4AD•BC；（2）求证：EF∥BC．满分冲刺题一：题面：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，F是AD上一点，CF⊥EF于点F交AB于点E，12DCCF．求AE的长．题二：题面：如图，在正方形ABCD中，F是CD上一点，AE⊥AF，点E在CB的延长线上，EF交AB于点G．求证：DF•FC=BG•EC．题三：题面：如图，已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，P 为BC 上的一点，问题：添加一个条件，使得△ABP 与以E 、C 、P 为顶点的三角形相似，共有几种添加方法？课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：B ．详解：根据平行四边形的性质，平行的性质和相似三角形的判定可得：△AGE ∽△ABC ，△BGE ∽△BAF ，△AEF ∽△CEB ，△ACB ∽△CAD ，△AGE ∽△CDA ，5对．故选B ．金题精讲题一：答案：3.2．详解：∵∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ACD ．∴AD AC AC AB =． 又∵AB =5，AC =4，∴445AD =，解得AD =3.2．题二：答案：AB 2=4AD •BC ；EF ∥BC ．详解：证明：（1）作DH ⊥BC 于H ，如图，∵梯形ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∴四边形ABHD为矩形，∴DH=AB，AD=BH，∴CH=CB AD，∵以AB为直径作圆O恰好与CD相切于E，∴DA、CB都是⊙O的切线，∴DE=DA，CE=CB，∴DC=DA+CB，在Rt△DHC中DH2=DC2CH2，∴AB2=(AD+BC)2(BC AD)2，∴AB2=4AD•BC；（2）∵AD∥C，∴△FDA∽△FBC，∴AD DFBC FB=，而DE=AD，EC=BC，∴DE DFEC FB=，∴EF∥BC．满分冲刺题一：答案：5232-．详解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A =∠D =90°，DC =AB =4， ∵CF ⊥EF ，∴∠EFC =90°． ∴∠AFE +∠DFC =90°，∵∠AEF +∠AFE =9°，∴∠AEF =∠DFC ，∴△AEF ∽△DFC ．∴AE AF DF DC =， ∵12DCCF =，DC =4，∴∠DFC =30°，∴443tan30tan30DCFD ===︒︒，∴1043AF =-，∴5232AF FDAE CD -==．题二：答案：DF •FC =BG •EC ．详解：∵∠EAB +∠BAF =90°，∠DAF +∠BAF =90°，∴∠BAE =∠DAF ，∴tan ∠BAE =tan ∠DAF ，∵AB =AD ，∴DF =BE ，又∵AB ∥CD ，∴BE BG EC FC=， ∴BE •FC =BG •EC ，∴DF •FC =BG •EC ．题三：答案：只有一种方法在BC 上的一点使得BP =43．详解：如图设BP =x ，若△ABP ∽△ECP ，得ABEC BP CP=， 即212x x =-，解得x =43． 若△PBA ∽△ECP ，得BPEC BA CP=， 即122x x =-，化简得x 22x +2=0，此方程无解，故不存在综上，只有一种方法在BC 上的一点使得BP =43．（或延长AB 至M ，使BM =BA ，连接EM ，交BC 与点P ，则P 就是符合条件的点）【素材积累】指豁出性命，进行激烈的搏斗。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学科：数学
专题：相似三角形的应用重难点易错点解析
题一：
题面：如图，在△ABC中，EF∥BC，
1
2
AE
EB
，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）
A．9 B．10 C．12 D．13
金题精讲
题面：如图所示，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切
半圆于E，交AB的延长线于点F，BF=4．求证：△EFO∽△AFD，并求FE
FA
的值．
满分冲刺
题一：
题面：小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，请你求旗杆AB的高度．
题二： 题面：如图，在平面直角坐标系中，以原点为中心，将△ABO 扩大到原来的2倍，得到△A ′B ′O .若点A 的坐标是（1，2），则点A ′的坐标是（ ）
A.(2，4)
B.(1-，2-)
C.(2-，4-)
D.(2-，1-)
题三： 题面：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，正方形DEFC 内接于三角形，AC =1，BC =2，则AF ：FC 等于 ．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：A ． 详解：∵
12AE EB =，∴11123
AE AE AB AE EB ===++． 又∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ．∴2S 11()S 39AEF ABC ∆∆==．∴9S △AEF =S △ABC ． 又∵S 四边形BCFE =8，∴9(S △ABC ﹣8)=S △ABC ，解得S △ABC =9．故选A ．
金题精讲 答案：1FE =．
满分冲刺
题一：
答案：4.2米．
0.9米．
题二：
答案：C．
详解：根据以原点O为中心，将△ABO扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以－2，即可得出点A′的坐标：
∵点A的坐标是（1，2），∴点A′的坐标是（－2，－4），故选C．
题三：
答案：
1
AF
=．
A C
-x。