2013届人教A版文科数学课时试题及解析(18)同角三角函数的基本关系式与诱导公式

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4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)

4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)知识归纳1、同角三角函数的基本关系式（1）平方关系（2）商数关系（3）倒数关系）记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限（其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指的变化（2）利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意角的三角函数→正角的三角函数→00360 的角的三角函数→锐角三角函数 3、平方关系 s is α商数关系 t a nαc o t α倒数关系 s e c α 4、sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者之间的关系()2sin cos 12sin cos αααα+=+()2sin cos 12sin cos αααα-=- ()()22sin cos sin cos 2αααα++-=()()22sin cos sin cos 4sin cos αααααα+--=5、同角三角函数关系式和诱导公式的应用主要包括三类题型：求值、化简、证明典型例题例1、（1）已知()cot 2πα-=，求3sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值（2）已知()cot 0m m α=≠，求cos α例2、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：()4sin 2cos 15cos 3sin αααα-+ ()2s i n c o s αα ()()23sin cos αα+例3、已知()()()()()3sin cos 2tan 2cot sin f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1）化简()f α（2）若α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值（3）若313πα=-，求()f α的值例4、（1）求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅（2）已知()()sin 2cos 2αππα-=- 求证：()()()()sin 5cos 233cos sin 5παπαπαα-+-=----例5、已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈求（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值（2）m 的值（3）方程的两根及此时θ的值堂清练习1、19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（）A 、12B 、12- C2D、2-2、如果A 为锐角，()1sin 2A π+=-，那么()cos A π-=（）A 、12- B 、12C、2-D23、已知a =200sin ，则160tan 等于A、- B、C、a-D、a4cos sin 1+=-，则θ是（）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角5、若022x π≤≤cos 2x =成立的x 的取值范围是（）A 、0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B 、3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6、405cot 300tan +的值为＿＿＿＿。

高考数学(人教a版,理科)题库：同角三角函数的基本关系与诱导公式(含答案)

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1． cos ⎝⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12，故选C. 答案 C 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )．A ．－43B.54C ．－34D.45解析由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.答案 D3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )．A ．－34B.34C ．－43D.43解析由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得tan α＋1tan α－1＝12，所以tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.答案 B4．已知f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 30°)的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D.32解析 ∵f (cos x )＝cos 3x ，∴f (sin 30°)＝f (cos 60°)＝cos 180°＝－1.答案 C5．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )．A．1＋ 5 B．1－ 5C．1± 5 D．－1－ 5解析由题意知：sin θ＋cos θ＝－m2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m24＝1＋m2，解得：m＝1±5，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－ 5.答案 B6．若S n＝sin π7＋sin2π7＋…＋sinnπ7(n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是()．A．16 B．72 C．86 D．100解析由sin π7＝－sin8π7，sin2π7＝－sin9π7，…，sin6π7＝－sin13π7，sin7π7＝sin 14π7＝0，所以S13＝S14＝0.同理S27＝S28＝S41＝S42＝S55＝S56＝S69＝S70＝S83＝S84＝S97＝S98＝0，共14个，所以在S1，S2，…，S100中，其余各项均大于0，个数是100－14＝86(个)．故选C.答案 C二、填空题7．已知cosα＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.解析由α是第二象限的角，得sinα＝1－cos2α＝1213，tanα＝sinαcosα＝－125，则tan(2π－α)＝－tanα＝125.答案12 58．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 解析原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α 1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0. 答案 09．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．解析依题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，因此有sin α＋cos α＝72，所以cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 答案－14210． f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β均为非零实数)，若f (2 012)＝6，则f (2 013)＝________.解析 f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4＝a sin α＋b cos β＋4＝6，∴a sin α＋b cos β＝2，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝2. 答案 2 三、解答题 11．已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值．解析由已知得1＋tan α1－tan α＝3＋22，∴tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22.∴cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π) ＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α ＝1＋22＋11＋12＝4＋23. 12．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解法一由sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，得tan α＝2.(1)原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45³2＋2＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85.法二由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β.①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件． 14．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．解 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.。

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知,，则角的终边在第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】B【解析】由题意，确定的象限，然后取得结果 .由，得在第二、四象限，由，得在第二、三象限,所以在第二象限.，故选B【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算3.已知，且为第三象限角，（1）求的值；（2）求的值。

【答案】（1）（2）【解析】（1）由，再结合第三象限，余弦值为负，算出结果（2）先化简上式，根据，再结合（1）算出结果。

试题解析：（1）且（2分）为第三象限角（4分）（2）==（7分）=（8分）【考点】同角三角函数基本关系的运用以及三角函数的化简.4.已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】要，即，因此角是第二或第三象限角，故选择B.【考点】同角三角函数基本关系及三角函数值的符号确定.5.已知．【答案】.【解析】对式子两边平方，得，从而.【考点】同角三角函数基本关系（平方关系），注意通过平方可与联系.6.已知是第三象限角，且.（1）求的值;（2）求的值【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)先求，再求，进而求；（2）联立方程组，解得，进而求所求值.规律总结：涉及“”的“知一求二”问题，要利用以下关系式：；.注意点：由的值，求的值，要注意结合角的范围确定符号．试题解析：，是第三象限角，由得．【考点】同角三角函数基本关系式.7.设函数（1）求；（2）若，且，求的值．（3）画出函数在区间上的图像（完成列表并作图）。

（1）列表（2）描点，连线【答案】（1）2；（2）；（3）见解析【解析】（1）由正弦函数周期公式得，=，即可求得；（2）将代入的解析式，得到关于的方程，结合诱导公式即可求出，再利用平方关系结合的范围，求出，再利用商关系求出；（3）先由为0和算出分别等于，，在（，）分别令取，0，，求出相应的值和值，在给定的坐标系中描出点，再用平滑的曲线连起来，就得到所要作的图像．试题解析：（1），2分（2）由（1）知由得：， 4分∵∴ 6分∴． 8分（其他写法参照给分）（3）由（1）知，于是有（1）列表11分（2）描点，连线函数 14分【考点】正弦函数周期公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；五点法作图8.已知且是第四象限角，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵=，∴，又∵是第四象限角，∴==，故选A．由诱导公式知，=，∴，由是第四象限角知，，结合同角三角函数基本关系中的平方关系得==．【考点】诱导公式；同角三角函数基本关系式；三角函数在各象限的符号9.已知，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函数的基本关系：，，结合条件，可得，再由可知，从而；（2）由（1）可知，可将欲求值的表达式化为与只有关的，根据齐次的数学思想，可分子分母同时除以，从而可得：.试题解析：（1）∵，，∴， 2分又∵，∴， 4分∴； 6分（2） 9分12分.【考点】同角三角函数基本关系.10.已知为锐角,则 .【答案】.【解析】∵为锐角，，∴，，∴.【考点】1.同角三角函数基本关系；2.两角和的正切公式.11.已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数，∴【考点】同角三角函数关系，消参数12.已知的值为（）A．－2B．2C．D．－【答案】D【解析】由原式可得，解得.【考点】同角三角函数间的基本关系.13.已知，则的值为 .【答案】【解析】,即，又，故.【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式.14.已知：，其中，则=【答案】【解析】因为，所以，又因，所以，.【考点】诱导公式.15.已知角的终边过点.（1）求的值；（2）若为第三象限角，且，求的值.【答案】；【解析】（1）由角的终边过点求出，利用诱导公式化简即可；（2）由为第三象限角，，可求出，结合（1）求出，利用展开式即可（1）因为的终边过点，所以，而；（2）因为为第三象限角，且，，故【考点】三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数16.已知是第四象限的角，则= .【答案】【解析】是第四象限的角，则，而.【考点】二倍角公式、同角三角函数的基本关系.17.已知（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即①由即②所以①+②可得即即，选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式.18.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)根据诱导公式进行化简;(2)首先化简，根据第三象限角，同角基本关系式求,确定的值.试题解析：解：（1）；. （6）（2），又是第三象限角,，.. (6)【考点】1.诱导公式；2同角基本关系式.19.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．20.函数在区间上的最大值为，则实数的值为( )A．或B．C．D．或【答案】A【解析】因为，令，故，当时，在单调递减所以，此时，符合要求；当时，在单调递增，在单调递减故，解得舍去当时，在单调递增所以，解得，符合要求；综上可知或，故选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.二次函数的最值问题；3.分类讨论的思想.21.已知函数(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）先利用诱导公式，二倍角公式，化一公式将此函数化简为的形式，利用周期公式，求周期，用x的范围求出整体角的范围，结合三角函数图像求其最值。

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，又为第二象限角，，则．故选A．【考点】三角函数的平方公式．2.己知a为锐角，且，，则sina的值是( ). A．B．C．D．【答案】C.【解析】根据诱导公式，已知条件的两个式子可化为如下关系：，解得，又本题要求的是，因此由前述可知有，解得（a为锐角）.【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系.3.已知，则的值为．【答案】-11【解析】【考点】弦化切4.求的值域.【解析】可利用同角三角函数的基本关系式将函数化为利用换元法令原函数变为一元二次函数，可用一元二次函数求值域的方法解，注意的取值范围.解：原函数可化为令可得则【考点】同角三角函数的基本关系式,一元二次函数求值域.5.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据诱导公式，将中的三角函数都转化为的三角函数，即可得到；（2）由，可得，又由条件是第三象限角及（1）中得到的的表达式，即可得到．（1）；（2）由得，，因为是第三象限角，所以，∴．【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数基本关系．6.已知 .【答案】【解析】∵，∴,∴原式=.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系.7.已知，则tanα的值是（）A．±B．C．D．无法确定【答案】B【解析】∵，∴，即．【考点】同角三角函数的基本关系．8.( )A．B．C．D．【答案】D【解析】．【考点】同角三角函数基本关系．9.已知，则 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由【考点】同角三角函数基本关系10. sin的值是（）A．B．－C．D．－【答案】B【解析】.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.11.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由条件，得，整理得：，即①，代入中，得，整理得：，即，解得（舍）或，把，代入①，得，所以，故选A．【考点】同角三角函数基本关系．12.若，的化简结果为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，=.【考点】同角的基本关系.13.已知（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，可得＝−2，α为钝角且cosα＜0．再由sin2α+cos2α=1，求得cosα的值．（2）原式=，把tanα=-2代入运算求得结果．试题解析：解：（1）因为，所以cosa=(2)原式＝【考点】1.同角三角函数间的基本关系；2.三角函数的化简求值．14.若，则计算所得的结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据诱导公式化简，原式=，再将代入即得答案为A.【考点】诱导公式.15.已知=，则的值等于( )A．B．－C．D．±【答案】Ａ【解析】诱导公式，注意，，所以选Ａ【考点】诱导公式16.已知，则的值是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由与可得，而，选C.【考点】同角三角函数的基本关系式.17.已知为第三象限角，.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）应用三角诱导公式进行化简即可得出答案；（2）根据同角三角函数的基本关系式求出，由求出，最后由正切的二倍角公式可计算得结果.试题解析：（1） 6分（结果为酌情给3分）（2）由，得. 又已知为第三象限角所以，所以 8分所以 10分故 12分.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式；3.二倍角公式.18.已知tanα，是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两实根，且3π＜α＜π，求cos(3π+α)-sin(π+α)的值.【解析】关于方程两根的问题可用韦达定理解决，，从而求出k =±2，再根据角的范围可知为正，从而求得。

专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式(精讲)(解析版)

专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式【考纲要求】1. 理解同角三角函数的基本关系.2. 掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.【知识清单】知识点1．同角三角函数的基本关系式 1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2.对同角三角函数基本关系式的理解注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立． 3．常用的等价变形sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝±1－cos 2α，cos α＝±1－sin 2α；tan α＝sin αcos α⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.知识点2．三角函数诱导公式六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”知识点3．特殊角的三角函数值（熟记）【考点梳理】考点一同角三角函数的基本关系式【典例1】（2020·嘉兴市第五高级中学高二期中）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5cosα3，则sinα=________，tanα= ________.【答案】23【解析】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5cosα3，22sin cos1αα+=所以2sin3α=，2sintancosααα===故答案为：23.【典例2】（2020·金华市江南中学高一月考）已知sin cossin cosx xx x+-=2，则tan x=____，sin x cos x=____.【答案】3310【解析】将sin cos sin cos x x x x +-=2左端分子分母同除以cos x ，得tan 12tan 1x x +=-，解得tan 3x =， 2222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 13110x x x x x x x x ====+++. 故答案为：3；310【规律方法】1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法” (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意()222124sin cos sin cos sin cos tanπθθθθθθ=+=+-=等；(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 2. 利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．（1）若已知tan α＝m ，求形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α(或a sin 2α＋b cos 2αc sin 2α＋d cos 2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或cos 2α)转化为tan α的代数式，再求值，如果先求出sin α和cos α的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．（2）形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α通常把分母看作1，然后用sin 2α＋cos 2α代换，分子、分母同除以cos 2α再求解．【变式探究】1.（2020·上海高一课时练习）若α是第三象限角，1sin 3α=-，则cos α=_________；tan α=________.【答案】4【解析】因为α是第三象限角，则cos 0α<，所以cos α===，1sin tan cos 4ααα-===.故答案为：42.（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知tan 3α=，则3sin cos 5cos sin αααα-=-（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】由已知3sin cos 3tan 133145cos sin 5tan 53αααααα--⨯-===---．故选：B ．【总结提升】在使用开平方关系sin α＝±1－cos 2α和cos α＝±1－sin 2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．考点二 sin α±cos α与sin αcos α的关系及应用【典例3】（2019·四川石室中学高考模拟（理））已知α为第二象限角，且1sin cos 5αα+=，则cos sin αα-=（）A ．75B ．75-C ．75±D ．2525【答案】B 【解析】∵1sin cos 5αα+=，平方得11+2sin cos 25αα=， ∴2cos αsin α＝﹣2425∴22449cos sin 1-2sin cos 12525αααα-==+=（），∵α为第二象限角， ∴7cos sin -5αα-= 故选：B ．【典例4】（2020·永州市第四中学高一月考）已知22sin 2sin cos 01tan 2k αααπαα+⎛⎫=<< ⎪+⎝⎭.试用k 表示sin cos αα-的值.【答案】详见解析【解析】()22sin sin cos 2sin 2sin cos sin 1tan 1cos ααααααααα++=++()2sin cos sin cos sin cos αααααα+=+2sin cos k αα==，()222sin cos sin cos 2sin cos αααααα-=+-12sin cos αα=-1k =-,当04πα<<时，sin cos αα<，此时sin cos αα-= 当42ππα≤<时，sin cos αα≥，此时sin cos αα-=【规律方法】和积转换法:利用()()22212,()2sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ±=±++-=的关系进行变形、转化.【变式探究】1. （2019·山东高三期末（理））已知sinα+cosα=15，α∈(0,π)，则tanα=（） A ．−34 B ．−43 C ．−34或−43 D ．34或43 【答案】B 【解析】由题意知， sinα+cosα=15,α∈(0,π)，① ∴(sinα+cosα)2=125，即1+2sinα⋅cosα=125， ∴2sinα⋅cosα=−2425<0，∴α为钝角，，∴sinα>0,cosα<0，∴sinα−cosα>0 ∴(sinα−cosα)2=1−2sinα⋅cosα=4925， ∴sinα−cosα=75，②由①②解得sinα=45,cosα=−35，∴tanα=45−35=−43，故选B.2. （2019·上海高考模拟）设a>0且a≠1，若log a(sinx−cosx)=0，则sin8x+cos8x=______．【答案】1【解析】设a>0且a≠1，若log a(sinx−cosx)=0，所以：sinx−cosx=a0=1，∴(sinx−cosx)2=1,又(sinx)2+(cosx)2=1，∴sinx⋅cosx=0，∴(sinx+cosx)2=1，又sin8x+cos8x=(sin4x−cos4x)2+2sin4x⋅cos4x=[(sin2x+cos2x)(sin2x−cos2x)]2+2sin4x⋅cos4x=[(sinx+cosx)(sinx−cosx)]2−0=(sinx+cosx)2(sinx−cosx)2=1，故答案为：1．【总结提升】1.对于三角函数式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之间的关系，可以通过(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ进行转化．2.若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，cosθ的值，从而求出其余的三角函数值．考点三利用诱导公式化简求值【典例5】（2019·北京高考真题（文））如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ【答案】B 【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OPOB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选：B .【典例6】（2017·全国高考真题（文））函数f (x )=15sin(x +π3)+cos(x −π6)的最大值为（）A ．65B ．1C ．35D ．15 【答案】A 【解析】由诱导公式可得cos (x −π6)=cos [π2−(x +π3)]=sin (x +π3)，则f (x )=15sin (x +π3)+sin (x +π3)=65sin (x +π3), 函数f (x )的最大值为65. 所以选A. 【规律方法】1.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.2.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.3.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. 【变式探究】1.（2020·永州市第四中学高一月考）已知α是第四象限角，3sin cos tan()22()tan()sin()f ππααπααπαπα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---. （1）化简()f α.（2）若33cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值. 【答案】（1）cos α-；（2）45- 【解析】（1）3sin()cos()tan()22()tan()sin()f ππααπααπαπα-+-=---． sin()sin (tan )2tan sin πααααα---=- cos sin tan tan sin ααααα=-cos α=-．（2）因为3cos()2πα- 3cos()2πα=- 3sin 5α=-=，所以3sin 5α=-．因为α是第四象限角，所以4cos 5α=，所以4()cos 5f αα=-=-．2.化简[][]sin()cos (1),sin (1)cos()k k k Z k k παπαπαπα---∈+++【答案】当2,k n n Z =∈时，原式1=-；当21,k n n Z =+∈时，原式1=. 【解析】（1）当2,k n n Z =∈时，原式sin()cos()sin (cos )1sin()cos sin cos απαααπαααα-----===-+-；（2）当21,k n n Z =+∈时，原式sin()cos()sin cos 1sin cos sin cos παααααααα--===.【总结提升】用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π6+θ,π3+θ与2π3-θ,π4+θ与3π4-θ等.考点四同角三角函数基本关系式、诱导公式的综合应用【典例7】（2020·山东诸城�高一期中）已知3sin 5α=-，且α是第________象限角.从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：（1）求cos ,tan αα的值；（2）化简求值：3sin()cos()sin 2cos(2020)tan(2020)πααπαπαπα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）1625【解析】（1）因为3sin 5α=-，所以α为第三象限或第四象限角；若选③，4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==；若选④，4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα====-；（2）原式sin cos (cos )cos tan()ααααα-=-sin cos tan ααα-=-sin cos sin cos αααα=2cos α=2315⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1625=. 【典例8】设tan(α＋8π7)＝m ，求证：sin (15π7＋α)＋3cos (α－13π7)sin (20π7－α)－cos (α＋22π7)＝m ＋3m ＋1．【答案】见解析【解析】证法一：左边＝sin[π＋(87π＋α)]＋3cos[(α＋8π7－3π)]sin[4π－(α＋87π)]－cos[2π＋(α＋8π7)]＝－sin (α＋8π7)－3cos (α＋8π7)－sin (α＋8π7)－cos (α＋8π7)＝tan (α＋8π7)＋3tan (α＋8π7)＋1＝m ＋3m ＋1＝右边．∴等式成立．证法二：由tan(α＋8π7)＝m ，得tan(α＋π7)＝m ．左边＝sin[2π＋(π7＋α)]＋3cos[2π－(π7＋α)]sin[2π＋π－(π7＋α)]－cos[2π＋π＋(π7＋α)]＝sin (π7＋α)＋3cos (π7＋α)sin[π－(π7＋α)]－cos[π＋(π7＋α)]＝sin (π7＋α)＋3cos (π7＋α)sin (π7＋α)＋cos (π7＋α)＝tan (π7＋α)＋3tan (π7＋α)＋1＝m ＋3m ＋1＝右边， ∴等式成立．【规律方法】(1)三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．(2)证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．【变式探究】1. （2020·武威第六中学高一期末）已知α是第三象限角，()sin()cos(2)tan()tan()sin()f παπααπααπα----=---. (1)化简()f α；(2)若31cos()25απ-=，求()f α的值；【答案】（1）cos α-（2）【解析】第一问利用()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=---- (cos )(sin )(tan )(tan )sin cos αααααα--=-=- 第二问∵31cos()25πα-=∴1sin 5α-=从而1sin 5α=-，从而得到三角函数值．解：（1）()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=---- (cos )(sin )(tan )(tan )sin cos αααααα--=-=-（2）∵31cos()25πα-= ∴1sin 5α-=从而1sin 5α=- 又α为第三象限角∴即()f α的值为 2.（2020·四川省绵阳江油中学高三开学考试（文））已知2sin ()cos(2)tan()(),sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=+⋅-+ （1）化简()f α；（2）若1(),8f α=且,42ππα<<求cos sin αα-的值；（3）求满足1()4f α≥的α的取值集合.【答案】（1）()sin cos f ααα=；（2）（3）5,1212k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【解析】（1）2sin cos tan ()sin cos (sin )(tan )f αααααααα⋅⋅==--；（2）由（1）可得1()sin cos 8f ααα==，则23(cos sin )12sin cos 4αααα-=-=， ,sin cos 42ππααα<<∴>，即cos sin 0αα-<cos sin αα∴-=；（3）由题意得11()sin cos sin 224f αααα==≥，1sin 22α∴≥， 5222,66k k k Z πππαπ∴+≤≤+∈，即5,1212k k k Z πππαπ+≤≤+∈，所以α的取值集合为5,1212k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【总结提升】三角函数式化简的方法和技巧：(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．。

【高考调研】高考数学总复习 4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式配套课件理新人教A版

(2)sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx 之间的关系为 (sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx， (sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx， (sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2. 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，可求其余两个代数式的值．
第 2 课时同角三角函数的基本关系式及诱导公式
2013•考纲下载
1．借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式：sin2α ＋cos2α＝1，csionsαα＝tanα，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法．
2．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切)，经历并体验用诱导公式求三角函数值，感受诱导公式的变化规律．
思考题 4 已知 tanα＝2，求sinαc＋ os2cαosα2的值．
【解析】方法一原式可化为sin2α＋cocos2sα2α－＋si2ns2iαnαcosα 分子、分母同除以 cos2α tan2α1＋－2tatann2αα＋1＝－3.
方法二原式可化为 csoinsα2α＋－csoisnα2α2＝cosα－sisninαα＋ccoossαα＋2 sinα ＝scionsαα＋－csoinsαα＝t1a－nαt＋an1α＝－3. 【答案】－3
tanα －tanα
1．(课本习题改编)sin2 490°＝________；
cos(－335π)＝________.
答案
－12
1 2
2．若 tanα＝2，则2sisninαα＋－2ccoossαα的值为
A．0
3 B.4
C．1
5 D.4
答案 B 解析 2sisniαnα＋－2ccoossαα＝2ttaannαα＋－21＝42－＋12＝34.

人教A版文科数学课时试题及解析(18)同角三角函数的基本关系式与诱导公式

高考数学课时作业(十八) [第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．cos(－2040°)＝( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝( ) A ．－1213 B.1213 C ．±1213 D.5123.1－2sin (π＋2)cos (π＋2)等于( )A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±(sin2－cos2)D ．sin2＋cos24．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝( ) A.53 B ．－134 C.135 D.134能力提升5．已知sin θ－cos θ＝13，则sin2θ的值为( ) A ．－23 B.23 C ．－89 D.896.⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin xC ．cos x D.1tan x7．若tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则sin x ＝( ) A.－1±52 B.3＋12C.5－12D.3－128．已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13 9．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 10．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x sin x －1的值是________． 11．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α－32πcos(π－α)tan (π＋α)＝________.12．(13分)已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫－α＋32πcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－313π，求f (α)的值．难点突破13．(6分)(1)已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2x cos 2x －sin2x＝( ) A.195 B ．－195 C.113 D ．－113(6分)(2)在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°课时作业(十八)【基础热身】1．B [解析] cos(－2040°)＝cos2040°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12. 2．A [解析] 由cos(α－π)＝－513得，cos α＝513，而α为第四象限角， ∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213. 3．A [解析] 1－2sin(π＋2)cos(π＋2)＝sin 22＋cos 22－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2，又∵sin2－cos2>0，故选A.4．D [解析] ∵tan α＝2，∴2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝32tan α＋12tan α＝3＋14＝134，选择D.【能力提升】5．D [解析] 将sin θ－cos θ＝13两边平方得：1－2sin θcos θ＝19，sin2θ＝2sin θcos θ＝89. 6．D [解析] ⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x. 7．C [解析] ∵tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，∴tan x ＝cos x ， ∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝－1±52.∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ＝5－12.故选 C.8．C [解析] 因为sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0,1)，平方可得sin θcos θ＝a 2－12<0，因为－π2<θ<π2，故－π2<θ<0，且cos θ>－sin θ， ∴|cos θ|>|sin θ|，∴|tan θ|<1，－1<tan θ<0，满足题意的值为－13. 9．－55 [解析] ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15.又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 10.12 [解析] 1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x＝－1， ∴cos x sin x －1＝12. 11．－1225 [解析] 因为sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，所以sin α＝－35. 因为α是第三象限角，所以cos α＝－45，tan α＝34. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－32πcos(π－α)tan(π＋α)，＝cos α·(－cos α)·tan α＝－cos α·sin α＝－1225. 12．[解答] (1)f (α)＝sin αcos α(－sin α)sin α·sin α＝－cos α. (2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265， ∴f (α)＝265. (3)∵－313π＝－6×2π＋53π， ∴f ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋53π ＝－cos 53π＝－cos π3＝－12. 【难点突破】13．(1)B (2)A [解析] (1)f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∵f ′(x )＝2f (x )， ∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，∴tan x ＝3，∴1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x＝－195.故选B. (2)两式平方再相加得sin(A ＋B )＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sin A ＝6－4cos B >2，∴sin A >23>12， ∴A >30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°，故选A.。

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算2.已知，则( )A. B． C D．【答案】B【解析】.【考点】同角三角函数的基本关系.3.化简的结果 .【答案】【解析】,当为奇数时，，原式；当为偶数时，，原式；综上原式【考点】三角函数化简.4.已知,且∥.求值：（1）;（2）.【答案】(1);(2) .【解析】解题思路：（1）由得出关于的关系，利用求得；（2）利用,分子、父母同除以，得到的式子，再代入求值.规律总结：平面向量与三角函数结合是命题热点，主要借助平面向量平行、垂直的条件推得关于的关系式，然后利用三角函数的有关公式或性质进行变换.试题解析：(1),,.(2).【考点】平面向量平行的判定、同角三角函数基本关系式.5.已知且是第四象限角，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵=，∴，又∵是第四象限角，∴==，故选A．由诱导公式知，=，∴，由是第四象限角知，，结合同角三角函数基本关系中的平方关系得==．【考点】诱导公式；同角三角函数基本关系式；三角函数在各象限的符号6.若则．【答案】【解析】由故【考点】同角三角函数基本关系式7.已知，则的值为．【答案】-11【解析】【考点】弦化切8.化简：.【答案】【解析】此类化简题的关键在于诱导公式的使用，要能够理解诱导公式口决“奇变偶不变，符号看象限”的意义，奇偶指的是的倍数如，中是的偶数倍，4倍，中是的奇数倍，11倍；符号看象限，指的是使用诱导公式时，将看成锐角时的所在的象限，不管题中的范围,如中，为锐角时，为第四象限角，则符号为负，故可知.当然也可用诱导公式层层推进.本题由诱导公式易化简.解：原式=.【考点】诱导公式.9.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∴．【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数基本关系．10.的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,故选C.【考点】诱导公式11.已知是第二象限角,（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由是第二象限角，则．【考点】同角三角函数的基本关系式，三角函数的符号．12.的化简结果是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是第二限角，则，所以==．【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式．13.已知角的终边过点.（1）求的值；（2）若为第三象限角，且，求的值.【答案】；【解析】（1）由角的终边过点求出，利用诱导公式化简即可；（2）由为第三象限角，，可求出，结合（1）求出，利用展开式即可（1）因为的终边过点，所以，而；（2）因为为第三象限角，且，，故【考点】三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数14.已知sinθ＝，sin2θ＜0，则tanθ等于 ( )A．－B．C．－或D．【答案】A【解析】由题意，∵sinθ=，sin2θ＜0，∴cosθ＜0∴cosθ＝−＝−∴tanθ＝＝−，故选A．【考点】同角三角函数间的基本关系．15.已知是第二象限角,（）A．B．C．D．-【答案】D【解析】∵是第二象限角，∴，故选D．【考点】同角三角函数基本关系．16.知为锐角，且2，=1，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】诱导公式化简为，解得：,得,故选C.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式.17.化简：.【答案】.【解析】本小题主要考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系式及辅助角公式，属于容易题.根据诱导公式及同角三角函数的商数关系：进行展开运算得到，再运用辅助角公式（其中）或运用两角和差公式进行化简即可.试题解析： 4分8分10分.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式；3.辅助角公式（两角和差公式）；4.三角恒等变换.18.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】法一：由，而，故，；法二：.【考点】同角三角函数的基本关系式.19.已知向量与，其中.（1）问向量能平行吗？请说明理由；（2）若，求和的值；（3）在（2）的条件下，若，求的值.【答案】（1）不能平行；（2），；（3）.【解析】（1）先假设，列方程得，然后利用正弦的二倍角公式化简得，再判断此方程是否有解，若有解，可判断、可能平行；若无解，则可判断、不可能平行；（2）将向量的垂直问题转化为向量的数量积问题，得到，联立方程，并结合，即可求出；（3）先由同角三角函数的基本关系式计算出，然后再根据两角和的余弦公式展开计算得的值，最后结合的取值范围确定的值即可.试题解析：解：（1）向量不能平行若平行，需，即，而则向量不能平行 4分（2）因为，所以 5分即又 6分，即，又 8分（3）由（2）知，得 9分则 11分又，则 12分.【考点】1.向量平行、垂直的判定与应用；2.同角三角函数的基本关系式；3.两角和与差的三角函数.20.函数的值域是__ ____．【答案】【解析】正切函数在是单调递增的，所以在处取得最小值，在处取得最大值.【考点】正切函数图像及性质.21.的值为________.【答案】【解析】，故.【考点】1.诱导公式；2.三角恒等变换.22.已知，求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】(1)利用，对原式分子分母同除以得关于的解析式，代入就可求出代数式的值，(2) 利用分母，将原式化为关于二次齐次式，再利用，对原式分子分母同除以得关于的解析式，代入就可求出代数式的值，本题主要考查利用＂弦化切＂方法求值.本题也可从出发得代入（１）立得，但代入（２）后只得到，还需结合得出，才可最终求值.试题解析：（1）原式（2）原式12分【考点】同角三角函数关系，弦化切.23.已知，则________________；【答案】．【解析】利用公式，把平方得，从而，由于，则，这类问题中确定它们的正负是我们解题时要特别注意的，于是．【考点】同角三角函数关系（平方关系）．24.函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则___ ．【答案】【解析】的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，所以，，即，故。

人教A版高考总复习文科数学精品课件第4章三角函数、解三角形第2节同角三角函数基本关系式及诱导公式

cos
≠
π
π + ,
2
∈ 可以实现角 α 的弦切互化.
2.“1”的灵活代换:1=cos α+sin α=(sin α+cos α) -2sin αcos
2
2
2
3.关于sin α,cos α的齐次式,往往化为关于tan α的式子.
π
α=tan4 .
对点训练 3 已知直线 2x-y+1=0 的倾斜角为
例
tan
3.已知
=-1,求下列各式的值:
tan -1
sin -3cos
(1) sin +cos ;
(2)sin2α+sin αcos α+2.
解:由已知得 tan
sin -3cos
(1) sin +cos
=
1
α=2.
tan -3
5
=- .
tan +1 3
si n 2 +sin cos
=
sin
cos
+
cos
sin
=
1
=2.
sin cos
1
α=2,
)
本课结束
3π
sin ( -)+cos ( +)
2
2
(
A.-3
5
B.
3
C.3
D.5
=
)
答案:(1)A (2)C
解析:(1)由题意|OP|=1,sin α=cos 1 180°=cos(360°×3+100°)
=cos 100°=sin(-10°),cos α=sin 1 180°=sin(360°×3+100°)

2013届高考数学(人教A一轮复习课件3.2同角三角函数的基本关系与诱导公式

sin－α－cosα 解析：原式＝ π＋α sinπ－α cos 2 2 sinαcosα ＝＝－1. －sinαcosα
答案：－1
考点探究讲练互动
考点突破考点1 利用诱导公式化简与求值
例1 (1)化简：
3π tanπ－αcos2π－αsin－α＋ 2 ； cos－α－πsin－π－α (2)求值：sin690°sin150° · ＋cos930°cos(－ · 870° )＋tan120°tan1050° · .
【题后感悟】
(1)化简是一种不指定答案的
恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数
尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求
出值． (2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角)＝
2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α (1＋ 3π π 1＋sin2α＋cos 2 ＋α －sin22＋α
【题后感悟】对于 sinxcosx，sinx＋cosx，
sinx－cosx 借助平方关系可互相表示，也可知一求二，如令 sinx＋cosx＝t，则 sinxcosx t2－1 ＝，(sinα－cosα)2＝2－t2 等． 2
备选例题（教师用书独具）
例
已知 sinθ，cosθ 是关于 x 的方程 x2
失误防范
1．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号(如例1)，特别是在具体题目中出现类似 kπ±α(k∈Z)的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定三角函数值的正负． 2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号(如例3(3))．
考点3
sinα±cosα与sinαcosα的关系
例3 已知在△ABC 中，sinA＋cosA＝ 1. 5 (1)求 sinAcosA 的值； (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求 tanA 的值．

高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题

高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.已知，，则_____________.【答案】【解析】因为α是锐角所以sin(π－α)＝sinα＝【考点】同角三角函数关系，诱导公式.2.若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得：同正或同负，即可排除A和B，又由，故.【考点】同角三角函数的关系，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．3.已知sin(π－α)＝log8【答案】＝－，【解析】sin(π－α)＝sin α＝log8又α ∈，得cos α＝＝，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.4.已知2sinαtanα＝3，则cosα的值是()A．－7B．－C．D．【答案】D【解析】由已知得2sin2α＝3cosα，∴2cos2α＋3cosα－2＝0，(cosα＋2)(2cosα－1)＝0∴cosα＝，选D．5.已知sin(－x)＝，则cos(π－x)＝()A．B．C．－D．－【答案】C【解析】cos(π－x)＝cos[＋(－x)]＝－sin(－x)＝－，故选C．6.方程两根，且，则；【答案】【解析】由已知可得，，因为，所以，所以或.但由于，所以，。

由，则同号；由，则都小于0。

所以，所以【考点】两角和差公式以及正切函数的性质.7.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.8.若，则 .【答案】【解析】．【考点】诱导公式．9.已知tan ＝，tan ＝，则tan(α＋β)＝________．【答案】1【解析】tan(α＋β)＝tan[(α－)＋(＋β)]＝＝110.若sinα＝，α∈，则cos＝__________．【答案】－【解析】由α∈，sinα＝，得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得cos＝cosαcos－sinαsin＝－(cosα－sinα)＝－11.函数y＝cos的单调递增区间是________．【答案】(k∈Z)【解析】－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所求单调递增区间是(k∈Z)．12.设f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导数,若f(x)=2f′(x),则=_________.【答案】【解析】由f'(x)=cosx-sinx,∴sinx+cosx=2(cosx-sinx),∴3sinx=cosx,∴tanx=,所求式子化简得,=tan2x+tanx=+=.13.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.14.已知sin ＝，则sin＝________.【答案】±【解析】由sin ＝，得cos ＝±，所以sin＝cos＝±.15.若tan θ＋＝4，则sin 2θ的值 ()．A．B．C．D．【答案】D【解析】由tan θ＋＝4，得＝4，∴4sin θcos θ＝1，则sin 2θ＝.16.已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f()．A．a＋b＝0B．a－b＝0C．a＋b＝1D．a－b＝1【答案】C【解析】f(x)＝，∴a＝＋，b＝＋＝－，因此a＋b＝1.17.已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】【解析】.又因为，所以为三象限的角，.选B.【考点】三角函数的基本计算.18.已知0<α<，β为f(x)＝cos的最小正周期，a＝，b＝(cos α，2)，且a·b＝m，求的值．2cos2α＋sin 2α＋βcosα－sin α【答案】4＋2m【解析】因为β为f(x)＝cos的最小正周期，故β＝π.因为a·b＝m，又a·b＝cos α·－2，故cos α·＝2＋m.由于0＜α＜，所以＝＝＝2cos α·＝2cos α·tan＝2(2＋m)＝4＋2m.19.在中，BC=，AC=2，的面积为4，则AB的长为 .【答案】或【解析】由已知，∴，故，在中，当，当时，4，当时.【考点】1、三角形的面积；2、同角三角函数基本关系式；3、余弦定理.20.在中，角A，B，C所对的边分别为（Ⅰ）叙述并证明正弦定理；（Ⅱ）设，，求的值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .【解析】(Ⅰ)正弦定理：，利用三角形的外接圆证明正弦定理. 设的外接圆的半径为，连接并延长交圆于点，则，直径所对的圆周角，在直角三角形中，，从而得到，同理可证，，则正弦定理得证；(Ⅱ)先由正弦定理将化为①，再依据和差化积公式，同角三角函数间的关系，特殊角的三角函数值将①式化简，得到，则，再由二倍角公式求解.试题解析：(Ⅰ) 正弦定理：.证明：设的外接圆的半径为，连接并延长交圆于点，如图所示：则，，在中，，即，则有，同理可得，，所以.(Ⅱ)∵，由正弦定理得，，，，，，解得，，∴.【考点】1.正弦定理；2.解三角形；3.同角三角函数间的关系；4.和差化积公式；5.二倍角公式21.已知函数，.（1）求的值；（2）设、，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接计算的值；（2）先由已知条件计算、的值，然后利用同角三角函数的基本关系求出、的值，最后利用两角和的余弦公式计算出的值.试题解析：（1），所以；（2），，、，所以，，所以.【考点】1.同角三角函数的基本关系；2.两角和的余弦公式22.已知5cos（45°+x）=3，则sin2x=．【答案】【解析】由已知可得（cosx－sinx）=，即cosx－sinx=，两边平方得1-2cosxsinx=，sin2x=.【考点】1.两角和差公式；2.同角的基本关系式；23.已知函数的最大值是1，其图像经过点。

高二数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析

高二数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由可知，因此，，由和角公式可知，故答案为D。

【考点】同角三角函数的关系与和角公式2.的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】由诱导公式得，故选B．【考点】诱导公式．3.已知，则= ．【答案】【解析】由已知得到:,所以．【考点】同角三角函数间的基本关系．4.设向量,若,则等于___________【答案】【解析】∵，∴，∴，∴＝＝＝．【考点】1、同角三角函数基本关系；2、两角和与差的正切函数；3、平面向量数量积的运算．5.已知，，分别是的三个内角，，所对的边，且．(1)求角的值；(2)若，的面积，求的值．【答案】(1) ；(2) .【解析】(1)由可得: ,所以有根据余弦定理的推论即可求,进一步可求角的值.(2)根据三角形的面积公式,其中的都已知,易求试题解析：解：(1)∵∴ 4分∴ 6分(2)由及，得10分解得 12分【考点】1、余弦定理；2、三角形的面积公式；3、同角三角函数的基本关系.6.设,不等式对恒成立,则的取值范围为____________.【答案】【解析】由题意可得,即,解得或,故正确答案为.【考点】1.不等式;2.三角函数.7.在中，若，则的外接圆半径是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为正弦定理内容可以计算出外接圆的半径.，由正弦定理知故选D.考点: 同角的三角函数关系正弦定理8.在中，若，则的外接圆半径是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为正弦定理内容可以计算出外接圆的半径.，由正弦定理知故选D.考点: 同角的三角函数关系、正弦定理9.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，.（1）求cosC；（2）若【答案】（I）（II）【解析】（I）利用同角三角函数的基本关系式，再由可得（II）先由向量的数量积得的关系，再根据余弦定理求试题解析：（I）（II）【考点】1、同角三角函数的基本关系式；2、向量的数量积；3、余弦定理.10.计算的值等于．【答案】【解析】根据题意，由于,故可知答案为。

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析

高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)利用诱导公式进行化简即可；（2）先用诱导公式得出，再利用同角三角函数基本关系式及角所在象限求出，进而求出.规律总结：涉及三角函数的化简与求值问题，往往要利用三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的三角公式以及二倍角公式，进行恒等变形；一定要注意灵活选用公式.试题解析：（I）原式=；（II）由得，即，因为是第三象限角，所以，所以 .【考点】1.诱导公式；2.三角函数基本关系式.2.已知，则 .【答案】3【解析】因为，所以，在所求式子的分子分母同时除以得：，故应填入：３．【考点】同角三角函数的关系．3.的值为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】诱导公式.4.设函数（1）求；（2）若，且，求的值．（3）画出函数在区间上的图像（完成列表并作图）。

（1）列表（2）描点，连线【答案】（1）2；（2）；（3）见解析【解析】（1）由正弦函数周期公式得，=，即可求得；（2）将代入的解析式，得到关于的方程，结合诱导公式即可求出，再利用平方关系结合的范围，求出，再利用商关系求出；（3）先由为0和算出分别等于，，在（，）分别令取，0，，求出相应的值和值，在给定的坐标系中描出点，再用平滑的曲线连起来，就得到所要作的图像．试题解析：（1），2分（2）由（1）知由得：， 4分∵∴ 6分∴． 8分（其他写法参照给分）（3）由（1）知，于是有（1）列表（2）描点，连线函数 14分【考点】正弦函数周期公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；五点法作图5.计算的值为 ()．A．－B．C．D．－【答案】C【解析】.【考点】诱导公式.6.已知,且∥.求值：（1）;（2）.【答案】(1);(2) .【解析】解题思路：（1）由得出关于的关系，利用求得；（2）利用,分子、父母同除以，得到的式子，再代入求值.规律总结：平面向量与三角函数结合是命题热点，主要借助平面向量平行、垂直的条件推得关于的关系式，然后利用三角函数的有关公式或性质进行变换.试题解析：(1),,.(2).【考点】平面向量平行的判定、同角三角函数基本关系式.7.已知，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函数的基本关系：，，结合条件，可得，再由可知，从而；（2）由（1）可知，可将欲求值的表达式化为与只有关的，根据齐次的数学思想，可分子分母同时除以，从而可得：.试题解析：（1）∵，，∴， 2分又∵，∴， 4分∴； 6分（2） 9分12分.【考点】同角三角函数基本关系.8.的化简结果是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是第二限角，则，所以==．【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式．9.已知，且，则＝________．【答案】【解析】∵，∴，∴＝．∵，∴，，∴＝．【考点】同角三角形的基本关系．10.已知，则()A．B．C．D．或【答案】A【解析】由可得即，也就是，因为，所以，且，所以，联立方程，解得，所以，故选A．【考点】同角三角函数的基本关系式．11.都是锐角，且，，求的值．【答案】．【解析】由都是锐角，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．试题解析：都是锐角，且，，．＝＝＝．【考点】1、同角三角函数间的基本关系；2、两角和与差的余弦函数．12.已知，则等于 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】法一：由可得即，所以，又因为，从而可得到，所以，所以；法二：因为将代入即可得到，故选D.【考点】同角三角函数的基本关系式.13.知为锐角，且2，=1，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】诱导公式化简为，解得：,得,故选C.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式.14.已知（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即①由即②所以①+②可得即即，选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式.15.已知，且，求sinx、cosx、tanx的值【答案】，，【解析】由求的值，然后解方程组得和。

同角三角函数的基本关系与诱导公式(教师版含答案)

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式【2013年高考会这样考】考查利用诱导公式与同角三角函数关系化简三角函数式及求三角函数值．【复习指导】本节复习时应紧扣住三角函数的定义，理解同角三角函数关系式和诱导公式；观察分析这些公式特征，掌握记忆诀窍；通过基本题型，掌握解题规律．基础梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α， tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α. 公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin_α.诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝…. 三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )． A ．±12 B.12 C.32D ．±32解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12， ∴sin α＝－12.∴cos α＝±1－sin 2α＝±32. 答案 D2．(2011·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 2 011°＝360°×5＋(180°＋31°)，∴sin 2 011°＝sin[360°×5＋(180°＋31°)]＝－sin 31°＜0， cos 2 011°＝cos[360°×5＋(180°＋31°)]＝－cos 31°＜0， ∴点A 位于第三象限．答案 C3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )． A.43 B.34 C ．±43D ．±34解析 ∵α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝35，∴tan α＝sin αcos α＝34. 答案 B4．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是( )．A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.22解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝－sin 17π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝－sin π4＝－22.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝22＋22＝ 2. 答案 A5．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.解析由题意知cos α＜0，又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12.∴cos α＝－255. 答案－255考向一利用诱导公式化简、求值【例1】►已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan (π＋α)，求f⎝ ⎛⎭⎪⎫31π3. [审题视点] 先化简f (α)，再代入求解．解 f (α)＝sin αcos αcos αtan α＝cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫31π3＝cos 313 π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝cos π3＝12.(1)化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．(2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了． (3)化简前，注意分析角的结构特点，选择恰当的公式和化简顺序．【训练1】已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．解析原式＝(－sin α)sin α(－sin α)cos α＝tan α，根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34.答案－34考向二同角三角函数关系的应用【例2】►(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α. [审题视点] (1)同除cos α；(2)利用1＝sin 2α＋cos 2α，把整式变为分式，再同除cos 2α. 解 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.(1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．【训练2】 (2011·潍坊质检)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5.则sin 2α－sin αcos α＝________.解析依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.答案 25考向三三角恒等式的证明【例3】►求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ.[审题视点] 证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有： ①从一边开始证明等于另一边，即化简左边，使左边＝右边； ②证明左、右等于同一个式子；③变更论证，即通过化除为乘、左右相减等转化成与原结论等价的式子．证明左边＝sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin θcos θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos θsin θ＝sin θ＋sin 2 θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋cos 2θsin θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋sin 2θcos θ ＝sin 2 θ＋cos 2θsin θ＋cos 2θ＋sin 2 θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边．证明三角恒等式离不开三角函数的变换，在变换过程中，把正切函数化成正弦或余弦函数，减少函数种类，往往有利于发现等式两边的关系或使式子简化．要细心观察等式两边的差异，灵活运用学过的知识，使证明简便．【训练3】已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴α＝2k π＋π2－β，∴tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0，∴tan(2α＋β)＋tan β＝0得证.考向四三角形中的诱导公式【例4】►在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．[审题视点] 要求三角形的内角，需求得某一内角的某一三角函数值，故结合条件sin A ＋cos A ＝2知先求角A ，进而求其他角．解由已知可得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝2，因为0＜A ＜π，所以A ＝π4.由已知可得3cos A ＝2cos B ，把A ＝π4代入可得cos B ＝32，又0＜B ＜π，从而B ＝π6，所以C ＝π－π4－π6＝7π12.在△ABC 中常用到以下结论：sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cos C 2， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2. 【训练4】若将例4的已知条件“sin A ＋cos A ＝2”改为“sin(2π－A )＝－2sin(π－B )”其余条件不变，求△ABC 的三个内角．解由条件得：－sin A ＝－2sin B ，即sin A ＝2sin B ， 3cos A ＝2cos B ，平方相加得：sin 2 A ＋3cos 2 A ＝2⇒2cos 2 A ＝1，cos A ＝±22.若cos A ＝－22，则cos B ＝－32，A ，B 均为钝角不可能．故cos A ＝22，cos B ＝32，故A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.阅卷报告3——忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件. 【示例】►若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．错因产生了增解725.实录由题意知：sin θ＋cos θ＝15，∴()sin θ＋cos θ2＝125，∴sin 2θ＝－2425，∵θ∈(0，π)， ∴2θ∈(0,2π)，∴cos 2θ＝±1－2sin 2 2θ＝±725. 正解由题意知：sin θ＋cos θ＝15. ∴(sin θ＋cos θ)2＝125. ∴sin 2θ＝－2425.即2sin θcos θ＝－2425＜0，则sin θ与cos θ异号，又sin θ＋cos θ＝15＞0， ∴π2＜θ＜3π4，∴π＜2θ＜3π2. 故cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725. 【试一试】已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ. [尝试解答] ∵sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)． ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169.∴sin θcos θ＝－60 169.由根与系数的关系知sin θ，cos θ是方程x2－713x－60169＝0的两根，∴x1＝1213，x2＝－513，又sin θcos θ＝－60169＜0，∴sin θ＞0，cos θ＜0，∴sin θ＝1213，cos θ＝－513.∴tan θ＝sin θcos θ＝－125.。

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式(含答案)

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点要点1 同角三角函数的基本关系式 1. 同角三角函数的基本关系（1）平方关系：22sin cos 1αα+=；（2）商数关系：()sin tan cos 0cos αααα=≠． 2. 同角三角函数的基本关系常见的变形（1）sin α=cos α= （2）sin tan cos ααα=⋅ ；()sin cos tan 0tan αααα=≠； 3.“sin +cos αα，sin cos αα，sin cos αα-”之间关系的应用（1）2(sin cos )12sin cos αααα±=±；（2）22(sin +cos )(sin cos )s n =i cos 4αααααα+- 4.齐次化切222222sin tan sin sin cos tan 1αααααα==++；22222cos 1cos sin cos tan 1ααααα==++； 2222sin cos 2tan sin 2sin cos 1tan ααααααα==++；222222cos sin 1tan cos 2sin +cos 1tan ααααααα--==+．要点2 诱导公式诱导公式的记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．重点突破考点1 同角三角函数基本关系式同角三角函数基本关系的应用技巧(1)切化弦：利用公式()sin tan cos 0cos αααα=≠实现角α的切化弦． (2)和(差)积转换：利用2(sin cos )12sin cos αααα±=±和22(sin +cos )(sin cos )s n =i cos 4αααααα+-进行变形、转化．(3)“1”的变换：()22222211sin cos cos tan 1sin 1tan αααααα⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭. 考向1“知一求二”问题（已知正弦、余弦、正切中的一个，求另外两个）示例1：（2015•福建卷）若5sin 13α=-，则α为第四象限角，则tan α的值等于 A ．125B ．125-C ．512D ．512-示例2：（2011•大纲卷）已知3π(π,)2α∈，tan 2α=，则cos α= ．示例3：（2021•全国卷甲）若π(0,)2α∈，cos tan 22sin ααα=-，则tan α=A B C D对点训练1. （2013•大纲卷）若α为第二象限角，5sin 13α=，则cos α= A ．1213-B ．513-C ．513D ．12132.（2012•大纲卷）已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin2α= A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24253.（2010•大纲卷Ⅱ）已知α是第二象限的角，1tan 2α=-，则cos α= ．4.（2011•重庆卷）若3cos 5α=-，且3π(π,)2α∈，则tan α= ．5.（2017•全国卷Ⅰ）已知π(0,)2α∈，tan 2α=，则πcos()4α-= ．考向2 齐次化切示例1：已知tan 2θ=，则sin cos sin cos αααα+-的值为．示例2：（2016•全国卷Ⅲ）若1tan 3θ=，则cos2θ=A ．45-B ．15-C ．15D ．45示例3：（2021•新高考卷Ⅰ）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+A ．65-B ．25-C ．25D ．65对点训练1.（2011•福建卷）若π(0,)2α∈，且21sin cos24αα+=，则tan α的值等于( )A B C D 2.（2020•浙江卷）已知tan 2θ=，则cos2θ= ，πtan()4θ-= ．3.（2015•四川卷）已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是．考向3 sin cos αα±与sin cos αα关系的应用示例1：（2012•辽宁卷）已知sin cos αα-=(0,π)α∈，则sin2α=A ．1-B ．CD ．1示例2：已知sin cos (0,π)x x x +=∈，则tan x =A ．BC ．．对点训练1.（2017•全国卷Ⅲ）已知4sin cos 3αα-=，则sin2α=A ．79-B ．29-C ．29D ．792.已知sin cos θθ+=1tan =tan θθ+ . 3.已知7sin cos 5αα+=，sin cos αα>，则 tan =θ . 考点2 诱导公式的应用通法：应用诱导公式的一般思路 (1)化大角为小角，化负角为正角；(2)角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．示例1：（2019•全国卷Ⅰ）tan255︒= A．2--B．2-+C．2D．2+示例2：（2013•广东卷）已知5π1sin()25α+=，cos α= A ．B ．C ．D ．对点训练1.（2016•四川卷）sin750︒= ．2.已知角α终边上一点(4,3)P -，则πcos sin(π)211π9πcos sin 22αααα⎛⎫+⋅-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________．25-15-1525第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式考点1 同角三角函数基本关系式考向1“知一求二”问题（已知正弦、余弦、正切中的一个，求另外两个）示例1：【解析】5sin 13α=-，则α为第四象限角，12cos 13α，sin 5tan cos 12ααα==-．故选：D ．示例2：【解析】∵3π(π,)2a ∈，cos 0α∴<，又∵sin tan 2cos ααα==，∴sin 2cos αα= ，带入22sin cos 1αα+=得cos α=故答案为：示例3：【解析】由cos tan 22sin ααα=-，得sin 2cos cos22sin αααα=-，即22sin cos cos 122sin sin ααααα=--， ∵π(0,)2α∈，cos 0α∴≠，则22sin (2sin )12sin ααα-=-，解得1sin 4α=，则cos α==，1sin tan cos ααα∴===．故选：A ．对点训练 1.【解析】α为第二象限角，且5sin 13α=，12cos 13α∴==-．故选：A ．2.【解析】因为α为第二象限角，3sin 5α=，所以4cos 5α=-．所以3424sin 22sin cos 25525ααα==-⨯⨯=-．故选：A ．3.【解析】1sin tan 2cos ααα=-=，2sin cos αα∴=-又22sin cos 1αα+=，α是第二象限的角∴cos α=故答案为： 4.【解析】因为3π(π,)2α∈，3cos 5α=-，所以4sin 5α=-，所以445tan 335α-==-故答案为：435.【解析】π(0,)2α∈，tan 2α=，sin 2cos αα∴=，22sin cos 1αα+=，解得sin α，cos α=， πππcos()cos cos sin sin444ααα∴-=+考向2 齐次化切示例1：【解析】sin cos tan 121=3sin cos tan 121αααααα+++==---示例2：【解析】∵1tan 3θ=，22222222cos sin cos sin cos21sin co 1s 1tan tan θθθθθθθθθ---∴===++14915191==+-．故选：D ．示例3：【解析】由题意可得：22sin (1sin 2)sin (sin cos 2sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθθθ+++=++2sin (sin cos )sin (sin cos )sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan sin cos 1tan θθθθθθθθ++==++422145-==+．故选：C ．对点训练1.【解析】由22cos2cos sin ααα=-，得到221sin cos2cos 4ααα+==，则22222cos 11cos =sin +cos tan 14ααααα==+，又∵π(0,)2α∈，故tan α=．故选：D ．2.【解析】tan 2θ=，则2222221143cos21145cos sin tan cos sin tan θθθθθθθ---====-+++． tan tan2114tan()412131tan tan 4πθπθπθ---===+⨯+．故答案为：35-；13．3.【解析】sin 2cos 0αα+=，即sin 2cos αα=-，tan 2α∴=-，则原式22sin cos 1cos ααα-=2222sin cos cos sin cos ααααα-=+ 22tan 151141tan αα--===-++，故答案为：1-考向3 sin cos αα±与sin cos αα关系的应用示例1：【解析】∵sin cos αα-两边同时平方可得，2(sin cos )2αα-=，12sin cos 2αα∴-=，sin 21α∴=-．故选：A ．示例2：【解析】∵sin cos (0,π)x x x +∈，∴12sin cos 1x x +=，∴sin cos 0x x =<，∴sin 0x >，cos 0x <，即sin cos 0x x ->，∴sin cos x x -=，与sin cos x x +联立解得1sin 2x x ==-，则sin tan cos x x x==.故选：D ．对点训练1.【解析】∵4sin cos 3αα-=， 216(sin cos )12sin cos 1sin 29ααααα∴-=-=-=，7sin 29α∴=-，故选：A ．2.【解析】∵sin cos θθ+21(sin cos )12sin cos 2θθθθ+=+=，∴1sin cos 4θθ=-， ∴1sin cos 1tan 4tan cos sin cos sin θθθθθθθθ+=+==-.故答案为：4-3.【解析】7sin cos 5αα+=，4912sin cos 25αα∴+=，即242sin cos 25αα=，又∵sin cos αα>，∴sin cos 0x x ->∴1sin cos 5x x -=，与7sin cos 5αα+=联立得：sin ,cos 4355x x ==，则sin 4tan cos 3x x x ==.故答案为：43考点2 诱导公式的应用示例1：【解析】tan 255tan(18075)tan75︒=︒+︒=︒1tan 45tan 30tan(4530)1tan 45tan 30+︒+︒=︒+︒==-︒︒2=+故选：D ．示例2：【解析】5ππsin()sin(2π)22αα+=++ π1sin()cos 25αα=+==．故选：．对点训练1.【解析】1sin 750sin(236030)sin302︒=⨯︒+︒=︒=，故答案为：12． 2.【解析】原式(sin )sin tan (sin )cos ααααα-==-，由三角函数的定义得3tan 4α=-.故答案为：34-．C。

高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析

高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.设，向量，若，则______.【答案】【解析】因为，所以，即，所以；因为，所以，故，所以，故答案为.【考点】共线定理；三角恒等变换.2.已知cos＝，且|φ|<，则tan φ＝______.【答案】【解析】cos＝sin φ＝，又|φ|<，则cos φ＝，所以tan φ＝.3.化简＋＝________.【解析】原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.4.在△ABC中， sin(－A)＝3sin(π－A)，且cosA＝－cos(π－B)，则C等于() A． B． C． D．【答案】C【解析】sin(－A)＝3sin(π－A)，∵cosA＝3sinA，即tanA＝，∴A＝．cosA＝－cos(π－B)，∵cosA＝cosB，即＝cosB，∴cosB＝．∵B＝，∴C＝π－－＝．故选C．5.已知△ABC中，cos(－A)＋cos(π＋A)＝－．(1)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(2)求tanA的值．【答案】（1）△ABC是钝角三角形（2）－【解析】解：(1)由已知得，－sinA－cosA＝－．∴sinA＋cosA＝．①①式平方得，1＋2sinAcosA＝，∴sinAcosA＝－<0，又∵0<A<π，∴sinA>0，cosA<0．∴A为钝角，故△ABC是钝角三角形．(2)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1＋＝．又∵sinA>0，cosA<0，∴sinA－cosA>0，∴sinA－cosA＝，又由已知得sinA＋cosA＝，故sinA＝，cosA＝－，∴tanA＝＝－．6.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．7.已知，则______．【答案】-6【解析】原式.【考点】三角函数的求值.8.若，则 .【答案】【解析】．【考点】诱导公式．9.已知为锐角，且，则的值( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由正切的诱导公式得，故，由公式得，，因为为锐角，所以，故选B【考点】诱导公式正弦余弦正切之间的关系10. sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________．【答案】2【解析】原式＝(－sinα)2－(－cosα)cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.11.已知a∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝( )A．B．C．－D．－【答案】C【解析】把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝，即3cos2α＋4sin αcos α＝，所以＝，所以＝，即3tan2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－，所以tan 2α＝＝－12.已知求：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用两角和与差的余弦公式将已知式展开化简，即可求得的值，再利用平方关系求的值，最后将拆成，利用两角和与差的正弦公式求得的值；（2）利用平方关系，由（1）中的值，可先求出的值，再利用商关系将中的正切化为正余弦，将，的值，代将入即可求得的值．试题解析：（1） 2分即，注意到，故，从而 5分． 7分（2）． 12分（或者，，=，，==）．【考点】1．三角恒等变换；2．两角和与差的三角函数公式；3．三角函数基本关系式．13.已知cos(-α)=,则sin(α-)等于()A．B．-C．D．-【答案】B【解析】∵sin(α-)=-sin(-α)=-sin(+-α)=-cos(-α),而cos(-α)=,∴-cos(-α)=-,故sin(α-)=-.14.已知cosα=-,角α是第二象限角,则tan(2π-α)等于()A．B．-C．D．-【答案】C【解析】∵cosα=-,角α是第二象限角,故sinα=,∴tanα=-,而tan(2π-α)=-tanα=.15.若角α的终边落在直线x+y=0上,则+的值等于()A．-2B．2C．-2或2D．0【答案】D【解析】原式=+,由题意知角α的终边在第二、四象限,sinα与cosα的符号相反,所以原式=0.16.在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知，sin A＝－cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式－cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－，tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，所以角A＝.17.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(，)，a·b＝，则cos＝________.【答案】【解析】因为a·b＝cos x＋sin x＝2cos＝，所以cos＝.18.当x∈时，函数y＝sin x＋cos x的值域为________．【答案】(1,2]【解析】因为y＝2sin，x∈⇒x＋∈⇒sin∈⇒y∈(1,2]，所以值域为(1,2]．19.若sin ＝，则cos ＝________.【答案】【解析】由诱导公式可得cos ＝sin ＝，所以cos ＝2cos2－1＝－1＝－.20.在△ABC中，A，B，C为内角，且sin A cos A＝sin B cos B，则△ABC是()．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】由sin A cos A＝sin B cos B得sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰或直角三角形．21.若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝和sin ＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－.22.已知tan θ＝3，则sin 2θ＋2sin θcos θ－cos2θ＝________.【答案】【解析】sin 2θ＋2sin θcos θ－cos 2θ＝＝＝＝＝.23.已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．【答案】－【解析】∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝，∴2cos θsin θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝，又θ∈，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－.24.已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由易得，代入式子中可约去为求出其值；（2）先求出，再对两边平方化简可得关于和的关系式，联立正弦余弦的平方关系解方程组可得和的值，代入的展开式，就可求出其值.试题解析：⑴由可知，，所以， 2分所以． 6分（2）由可得，，即，① 10分又，且②，由①②可解得，， 12分所以． 14分【考点】向量的数量积、模的计算，同角三角函数的关系、两角和与差的正弦.25.已知，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】由，所以，又因为，故，，解得，．【考点】同角三角函数关系，三角恒等变化．26.已知为第二象限角，且，则的值是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为为第二象限角，，所以，所以.【考点】同角三角函数间的基本关系27.已知，则_____________.【答案】【解析】由题意，.【考点】三角函数诱导公式28.的三个内角所对的边分别为，（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，由正弦定理得,即,又，所以，，故选A.【考点】正弦定理，两角和与差的三角函数.29.的三个内角所对的边分别为，（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，由正弦定理得,即,又，所以，，故选A.【考点】正弦定理，两角和与差的三角函数.30.已知为锐角，且，函数，数列{}的首项.（1）求函数的表达式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】本题是三角函数和数列的一道综合题，考查二倍角公式、特殊角函数值以及等比数列的通项公式和错位相减法求和等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查计算能力.第一问，因为表达式中有，而已知，正好符合二倍角公式，所以先利用这个公式求出，由于为锐角，而，所以，将角代入中，可以求出；第二问，先利用构造法构造一个等比数列，利用等比数列的通项公式，求出，再求，要求，先把分开用2部分表示，一部分符合错位相减法，另一部分是等差数列，最后把这2部分的和加在一起即可.试题解析：⑴又∵为锐角,∴∴ 5分（2）∵，∴∵∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列。

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课时作业(十八) [第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．cos(－2040°)＝( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝( ) A ．－1213 B.1213 C ．±1213 D.5123.1－2sin (π＋2)cos (π＋2)等于( )A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±(sin2－cos2)D ．sin2＋cos24．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝( ) A.53 B ．－134 C.135 D.134能力提升5．已知sin θ－cos θ＝13，则sin2θ的值为( ) A ．－23 B.23 C ．－89 D.896.⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin xC ．cos x D.1tan x7．若tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则sin x ＝( ) A.－1±52 B.3＋12C.5－12D.3－128．已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13 9．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 10．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x sin x －1的值是________． 11．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α－32πcos(π－α)tan(π＋α)＝________.12．(13分)已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫－α＋32πcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－313π，求f (α)的值．难点突破13．(6分)(1)已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2x cos 2x －sin2x＝( ) A.195 B ．－195 C.113 D ．－113(6分)(2)在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°课时作业(十八)【基础热身】1．B [解析] cos(－2040°)＝cos2040°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12. 2．A [解析] 由cos(α－π)＝－513得，cos α＝513，而α为第四象限角， ∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213. 3．A [解析] 1－2sin(π＋2)cos(π＋2)＝sin 22＋cos 22－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2，又∵sin2－cos2>0，故选A.4．D [解析] ∵tan α＝2，∴2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝32tan α＋12tan α＝3＋14＝134，选择D.【能力提升】5．D [解析] 将sin θ－cos θ＝13两边平方得：1－2sin θcos θ＝19，sin2θ＝2sin θcos θ＝89. 6．D [解析] ⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x. 7．C [解析] ∵tan x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，∴tan x ＝cos x ， ∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝－1±52.∵－1≤sin x ≤1，∴sin x ＝5－12.故选 C.8．C [解析] 因为sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0,1)，平方可得sin θcos θ＝a 2－12<0，因为－π2<θ<π2，故－π2<θ<0，且cos θ>－sin θ， ∴|cos θ|>|sin θ|，∴|tan θ|<1，－1<tan θ<0，满足题意的值为－13. 9．－55 [解析] ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15.又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 10.12 [解析] 1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x＝－1， ∴cos x sin x －1＝12. 11．－1225 [解析] 因为sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，所以sin α＝－35. 因为α是第三象限角，所以cos α＝－45，tan α＝34. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－32πcos(π－α)tan(π＋α)，＝cos α·(－cos α)·tan α＝－cos α·sin α＝－1225. 12．[解答] (1)f (α)＝sin αcos α(－sin α)sin α·sin α＝－cos α. (2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265， ∴f (α)＝265. (3)∵－313π＝－6×2π＋53π， ∴f ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋53π ＝－cos 53π＝－cos π3＝－12. 【难点突破】13．(1)B (2)A [解析] (1)f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∵f ′(x )＝2f (x )， ∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，∴tan x ＝3，∴1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x＝－195.故选B. (2)两式平方再相加得sin(A ＋B )＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sin A ＝6－4cos B >2，∴sin A >23>12， ∴A >30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°，故选A.。

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