条件概率教学设计

8.2.2 条件概率

一、教学目标

（一）知识目标

在具体情境中，了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，并能运用条件概率公式解决有关的简单概率问题.

（二）情感目标 创设教学情境，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质．

（三）能力目标

在知识的教学过程中，培养学生从特殊到一般的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力，渗透归纳、转化的数学思想方法．

二、教学重点

条件概率的概念，条件概率公式的简单应用.

三、教学难点

正确理解条件概率公式，并能灵活运用条件概率公式解决简单实际问题.

四、教学过程

（一）引入课题

[教师] （配合多媒体演示）

问题1：掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率. [学生] （回答）

6

1 [教师] （引导学生一起分析）本次试验的全集Ω＝｛1,2,3,4,5,6｝，设B ＝｛掷出点数为3｝，则B 的基本事件数为1. 6

1

)(＝中的元素数中的元素数Ω=

∴B B P

[教师] （配合多媒体演示）

问题2：掷一个骰子，已知掷出了奇数，求这个奇数是3的概率. [学生] （回答）

3

1 [教师] （引导学生一起分析）已知掷出了奇数后，试验的可能结果只有3个，它们是1,3,5. 本次试验的全集改变为A ＝｛1,3,5｝，这时相对于问题1，试验的条件已经改变. 设B ＝｛掷出的点数为3｝，则B ＝｛3｝，这时全集A 所含基本事件数为3，B 所含基本事件数为1，则P （已知掷出奇数的条件下，掷出3）＝

3

1

A ＝中的元素数中的元素数

B .

[教师] （针对问题2再次设问）问题2与问题1都是求掷出奇数3的概率，为什么结果不一样？

[学生] 这两个问题的提法是不一样的，问题1是在原有条件（即掷出点数1,2,3,4,5,6的一切可能情形）下求得的；而问题2是一种新的提法，即在原有条件下还另外增加了一个附加条件（已知掷出点数为奇数）下求得的，显然这种带附加条件的概率不同于P(A)也不同P(A ∩B).

[教师] （归纳小结，引出条件概率的概念）问题2虽然也是讨论事件B （掷出点数3）的概率，但是却以已知事件A （掷出奇数为前提的，这样的概率称为A 发生条件下的事件B 发生的条件概率.

（板书课题——条件概率） （二）传授新知 1．形成概念

[教师] 在引入课题的基础上引出下列概念：

（多媒体演示）设A 、B 是事件，用P(B|A)表示已知A 发生的条件下B 发生的条件概

率，简称为条件概率.

2．归纳公式 引例1：（多媒体演示）某校高中三个年段各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率.

[学生] （口答）设A ＝｛只有一名女生获得冠军｝，B ＝｛高一女生获得冠军｝

依题意知 已知A 发生的条件下，A 成为试验的全集，B 是A 的子集，A 所含元素数为3，B 所含元素数为1，则3

1

A )|(＝中元素数中元素数

B A B P =

[教师] （问）P(A)为多少？P(A ∩B)为多少？P(A),P(A ∩B),P(B|A)之间有何关系？

[学生] （口答）61)(,2163)(===

B A P A P I Θ )

()

()|(A P B A P A B P I =∴

[教师] 这个式子的含义是明确的. 由此，便将P(B|A)表示成P(A ∩B)与P(A)之比，这为我们在原样本空间Ω下完成条件概率P(B|A)的计算提供了方便. 那么是否其它情况下条件概率仍有上述的计算公式呢？我们再看一个例子：

（多媒体演示）引例2：在一副扑克的52张（去掉两张王牌后）中任取1张，已知抽到草花的条件下，求抽到的是草花5的概率.

[学生] （口答）设A ＝｛抽到草花｝，B ＝｛抽到草花5｝，依题意知 已知A 发生的条件下A 成为试验的全集，A 中的元素发生的可能性相同，B 是A 的子集.

∵一副扑克中草花有13张 ∴A 所含元素数为13，B 所含元素数为1.

则13

1

A )|(＝中元素数中元素数

B A B P =

.

[教师] 本例中P(A)为多少？P(A ∩B)为多少？P(B|A)与P(A)、P(A ∩B)是否仍有上例的关系？

[学生] 由于5213)(=

A P ，52

1

)(=B A P I 所以也有)()()|(A P B A P A B P I =.

[教师] 综合引例1与引例2我们可由特殊到一般地归纳出下列的条件概率的计算公式： （多媒体演示）条件概率公式：若P(A)>0则)

()()|(A P B A P A B P I =

.

注：（1）其中P(A)>0是在概率的非负性的基础上，要求P(A)≠0,以保证)

()

(A P B A P I 有

意义；

（2）类似地，若P(B)>0则)

()

()|(A P B A P A B P I =

；

（3）公式的变形可得（概率的乘法公式）：若P(A)>0,则P(A ∩B)＝P(A) P(B|A). （三）讲解例题

1．条件概率计算公式的应用

例1．由人口统计资料发现，某城市居民从出生算起活到70岁以上的概率为0.7，活到80岁以上的概率是0.4，若已知某人现在70岁，试问他能活到80岁的概率是多少？

解析：设A ＝｛活到70岁以上｝，B ＝｛活到80岁以上｝，则P(A)=0.7 P(B)=0.4

又∵B ⊂A ∴P(A ∩B)= P(B)=0.4 ∴)()()|(A P B A P A B P I =

57.07

.04

.0≈=.

[教师] 在求条件概率时，要求知道两事件之积(A ∩B)的概率，这概率或者题设已经给

出，或者隐含在其他条件中，需要对所给条件进行分析才能得到.

2．上述例题是通过条件概率公式来计算条件概率，但有时候根据问题的特点可以直接得到结果.如下面的例2就是这样一个典型例子.