2018届高三第二次阶段性测试(二)

绝密★启用前2018届高三第二次阶段性测试(二)数 学 试命题人:试卷总分：150分 考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 参考公式：如果事件A 、BP （A +B ）=P （A ）+P （B S =4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中RP （A ·B ）=P （A ）·P （B 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，V =34πR 3那么n 次独立重复试验中恰好发生k其中R 表示球的半径P n (k )= C kn P k (1－P ) n－k第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将密封线内的内容填写完整.2.每小题选出答案后，用钢笔或圆珠笔将答案填写在第Ⅱ卷卷头处.3.本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)数学归纳法5集合1. (理)如果命题P (n )对n =k 成立，则对n =k +2也成立，又若P （n )对n =2成立，则下列结论正确的是A.P （n ）对所有自然数n 成立B.P （n ）对所有正偶数n 成立C.P （n ）对所有正奇数n 成立D.P （n )对所有大于1的自然数n 成立 (文) 设全集为R ，若集合}50|{},1|{<≤=≥=x x N x x M ，则N R M ð等于( ) A ．}5|{≥x x B ．}10|{<≤x x C ．}5|>x x D ．}51|{<≤x x 2. 已知a ＜0，b ＜-1，则下列不等式成立的是（ ） A ．a ＞ba ＞2ba B ．2ba ＞ba ＞aC ．ba ＞2ba ＞a D ．ba ＞a ＞2ba3. (理) 复数2121,1,2z z z i z i z ⋅=-=+=则在复平面内的对应点位于( ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(文)已知p:不等式|x|+|x-1|＞m 的解集为R ：q:f(x)=-(5-2m)x 是减函数，则p 是q 的 ( )A ．充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.如图，||1O A=，||O B=，||2O C =，∠AOB=∠BOC=30，用O A ，O B 表示O C ，则O C 等于( )A.-2O A +2O BB. 2O A -2O BC. -2O A -2O BD.以上都不对5. （理）已知1413)(+-=xx x f ，则下列结论正确的是（ ）A. )(limx f x -∞→=1 B )(limx f x +∞→=0 C )(lim x f x ∞→=0 D )(lim 0x f x →=1(文）阅读所用时间的数据。

结果用右侧的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的 课外阅读时间为( )A ．0.6hB ．0.9hC ．1.0hD ．1.5h6. 已知关于x的方程02sin2c os c os 22=+⋅-B A x x 的两根之和等于两根之积的一半，则ΔABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形第4题图7. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->|22|330x x x x x 的解集是（ ）A.｛x ｜0＜x ＜2}B.｛x ｜0＜x ＜2.5}C.｛x ｜0＜x ＜6}D.｛x ｜0＜x ＜3}8. 已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x x =，那么在区间[]1,3-内，关于x 的方程()()1R 1f x kx k k k =++∈≠-且的有四个根,则k 的取值范围是( ) A.(1,0)- B.1(,0)2-C.1(,0)3-D. 1(,0)-9. )(x f '是)(x f 的导函数，)(x f '的图象如图所示，则)(x f 的图象只可能是（ ）10. 函数112y x =--的图象沿向量a 平移可得函数1y x=的图象，则a 为A ．(2,1)B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(2,1)-11. 已知函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，()(||)g x f x =-，若(lg )(1)g x g >，则x 的取值范围是 A.1(,10)10B.(0,10)C.(10,)+∞D.1(0,)(10,)10+∞12.设2s in 1s in 2s in 222n nn a =++⋅⋅⋅+,则对任意正整数,()m n m n >,都成立的不等式是( )A ．||2n m m n a a ⋅-<B ．||2n m m n a a -->C ．1||2n m na a -<D ．1||2n m na a ->绝密★启用前2018届高三第二次阶段性测试(二)数 学 试 卷第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试题卷中.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 3.本卷共10小题，共90分.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13. 已知)0,4(,25242sin παα-∈-=，则ααcos sin += .14. 如图，一条螺旋线是用以下方法画成：ΔABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1，A 1A 2，A 2A 3分别以A 、B 、C 为圆心，AC 、BA 1、CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A 为圆心AA 3为半径画弧…，这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度=n l ． (用π表示即可)15.已知A、3)B ,(0,1)C 向量()||||O A O B C P O A O B λ=+，则点(,)P x y 的轨迹方程为 ． 16. 设函数()y f x =可能具备如下性质:①f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2) ； ② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2) ； ③1212()()f x f x x x --＜0； ④1212()()()22x x f x f x f ++<，试写出两个不同类型．．．．．．的函数各满足其中三个性质．．．．的函数分别是___ ____ .A3A 2A 1CAB第14题图三、解答题(本大题共6小题, 共74分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12二次函数f （x ）满足(1)()2,f x f x x +-=且f （0）=1. (Ⅰ)求f （x ）的解析式;(Ⅱ)在区间[]1,1-上,y = f （x ）的图象恒在y =2x +m 的图象上方,试确定实数m 的范围.18.（本小题满分12校明星篮球队就要组建了,需要在各班选拔预备队员, 规定投篮成绩A 级的可作为入围选手. 选拔过程中每人最多投篮5次，若投中3次则确定为B 级, 若投中4次以上则可确定为A 级, 已知高三 (1)班阿明每次投篮投中的概率是12．（I ）求阿明投篮4次才被确定为B 级的概率；（II ）(理)设阿明投篮投中的次数为ξ，求他入围的数学期望E ξ． （II ）(文)若连续两次投篮不中则停止投篮, 求阿明不能入围的概率.19.（本小题满分12分）已知α为钝角，β锐角，且31sin =α，41cos =β.（Ⅰ）求βα2cos 2cos +的值; （Ⅱ）求)2sin(βα+的值.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且.2cos cos ca b CB +-=（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4,13=+=c a b ，求△ABC 的面积.21.（本小题满分12已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -= (Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；(Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-；(Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.设函数244)(+=xxx f 上两点111(,)P x y ，222(,)P x y 若121()2O P O P O P =+,且P 点横坐标为12.(Ⅰ)求证P 点纵坐标为定值,并求出这个定值;(Ⅱ)若*1()()nn i i S f n N n==∈∑,求n S ;(Ⅲ)(理)记n T 为数列1111()()66n n S S +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪--⎩⎭的前n 项和,若21()6n n T k S +<-对一切*n N ∈都成立,求实数k 的取值范围.(Ⅲ) (文) 记n T 为数列1111()()66n n S S +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪--⎩⎭的前n 项和,若kT n >4对一切*n N ∈都成立,求实数k 的取值范围.绝密★启用前2007届高三新思维第二次阶段性测试(二)数学参考答案与解析1．(理)B 解析: 如果命题P (n )对n =k 成立，则对n =k +2也成立, P （n ）对所有正偶数n 成立 . 则故应选B.(文)B 解析: 由题意得{})(,1M C N x x M C R R ⋂<=则{}10<≤=x x ,故选B.评析：本题考查了数学归纳法的前提条件的命题判断,要注意对自然数n 的正确分析. 2. C 解析:本题采用取特殊值法，验证关系，一般对于不等式型关系式，指数型，对数型字母不等关系式，采用特殊值法处理比较方便.由题意，不妨设2,1-=-=b a ，逐一验证只有C ：a ba b a >>2成立，故选C3. (理)D 解析: ∵i i i z z z -=-+=⋅=3)1)(2(21 , ∴ 21z z z ⋅=在复平面内的的对应点位于第四象限,故选D .(文)A 解析: 因为不等式m x x >-+1的解集为R ,所以解集：1<m ,()()xmx f 25--=是减函数,所以125>-m ,得2<m .即:1,: 2.p x q m <<所以p 是q 的充分非必要条件. 故选A. 4. A 解析：设O C x O A y O B =+ ,则31()2122O A O C O A x O A y O B x y ⋅=⋅+=+=⨯=,3()3322O B O C O B x O A y O B x y ⋅=⋅+=+== .解之得2,2x y =-= , ∴22O C O A O B =-+ ,故选A .评析：此题考察平面向量的线性表示, 平面向量的数量积公式, 算两次法则的应用.5. (理)B 解析:由极限的运算知:11413lim-=+--∞→xx x , 041141)43(lim1413lim=+-=+-∞→∞→xxxx x x xy xA(-1,1)32 1 0 -1 -2 C01413lim=+-→xx x , 综上知0)(lim=+∞→x f x 正确,故选B.(文) B 解析: 由题意结合条形图分析知50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为:9.0504550255.1101105.02005==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯, 故选B. 6. C 解析: 由题意得:2sin221cos cos 2C B A ⋅⋅=2cos 1cos cos CB A -=⋅⇒)cos(1cos cos 2B A B A ++=⋅⇒B A B A B A sin sin cos cos 1cos cos 2⋅-⋅+=⋅⇒1sin sin cos cos =⋅+⋅⇒B A B A 1)cos(=-⇒B A B A B A =⇒=-⇒0所以ABC ∆一定是等腰三角形,故选C. 7. C 解法一：当x ≥2时，原不等式化为2233+->+-x x xx ，去分母得（x +2）（3－x ）＞（x +3）（x －2）， 即－x 2＋x ＋6＞x 2＋x －6，2x 2－12＜0，66<<-x ．注意x ≥2，得2≤x ＜6；当0＜x ＜2时，原不等式化为xx xx +->+-2233，去分母得－x 2＋x ＋6＞－x 2－x ＋6即2x ＞0 注意0＜x ＜2，得0＜x ＜2．综上得0＜x ＜6，所以选C.解法二：特殊值法.取x =2，适合不等式，排除A ；取x =2.5，不适合不等式，排除D ；再取x =6，不适合不等式，所以排除B ；选C. 8. C 解析: 1y kx k =++过定点A(－1,1)， 结合()y f x = 的图象（连续），当(,)A B A C k k k ∈时， B(2,0), C(1,1) 即得1(,0)3k ∈-时方程()fx kx k =++在区间[]1,3-有四个实数根，故选C.评析:本题考查函数与方程思想及数形结合思想解决问题, 属中档题.9. D 解析: 由()f x '的图象可得, (,)x a b ∈,()0f x '> , 所以函数()f x 在区间(,)x a b ∈上为增函数, 又由()0f x '=的两个根为,a b , 可得,x a x b ==为函数()f x 的可能极值点, 结合单调性可知x a =应为极小值点, 函数()f x 在x a =两边应左减右增,x b =应为极大值点, 函数()f x 在x b =两边应左增右减, 故应图象D .10. D 解析: 本题考查了函数图象的平移及向量的平移公式的掌握. 函数112y x =--的图象向左平移2个单位可得函数11y x=-,再向上平移1个单位可得可得函数1y x=的图象,其平移向量a =(-2,1), 故应选D.11. A 解析:本题考查了抽象函数的性质,及函数不等式的求解.由函数()(||)g x f x =-为偶函数,可将不等式(lg )(1)g x g >转化为(|lg |)(1)g x g >, 又由函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，得函数()(||)g x f x =-在[0,)+∞上是减函数， ∴|lg |1x >,解得1(,10)10x ∈. 12. C 解析: 12s in (1)s in (2)s in ||||222n m n n mn n m a a ++++-=++⋅⋅⋅+12s in (1)s in (2)s in ||||||222n n mn n m ++++≤++⋅⋅⋅+1112111111122||||||12222212n m n n mnm++++-<++⋅⋅⋅+==--12n<. 故应选C .13.15解析:51cos sin ,2512sin 1)cos (sin 2±=+=+=+ααααα51cos sin ,0cos sin ),0,4(=+∴>+∴-∈ααααπα .14. 2(3)n n π+ 解析: =n l πππ)3(2)31(332)3321(322n nn n n +=+⋅=++++ ．15. 10x y -+= 解析: 设||||O A O B O M O A O B =+, 则点M 的轨迹为∠AOB 的平分线, 即直线y x = , 其斜率1k =, 由于向量()||||O A O B A P O A O B λ=+,可得点P 的轨迹为过点(0,1)C 且斜率1k =的直线 , 其方程为 10x y -+= .评析：此题利用向量的坐标运算考察轨迹方程的求解. 16. 如0.5lo g y x =, 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭解析:函数0.5()lo g f x x =等对数函数型具有②③④性质;函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭等指数函数型具有①③④性质.评析：检测考生对抽象函数性质的具体化能力，此题是一个开放题.属难题. 17. 解： (Ⅰ)设f （x ）=ax 2+bx+c ，由f （0）=1得c=1，故f （x ）=ax 2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax 2+bx+1)=2x. 即2ax+a+b=2x,所以221,01a a ab b ==⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩,∴f(x)=x 2-x+1. ……………6分 (Ⅱ)由题意得x 2-x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立.即x 2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立. 设g(x)= x 2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=32,所以g(x) 在[-1,1]上递减.故只需g(1)>0,即12-3×1+1-m>0,解得m<-1. ……………12分 18. 解析：（I ）求阿明投篮4次才被确定为B 级，即前3次中恰有2次投中且第4次必投中，其概率为P ＝2231113()22216C ⋅⋅⋅=． ２分（II ）(理)依题意，当ξ＝4时，表示5次中仅有4次投中，其概率为：445115(4)()2232P C ξ==⋅⋅=；当ξ＝5时，表示5次中5次均投中，其概率为：55511(5)()232P C ξ==⋅=；数学期望E (4)ξ≥＝4×532＋5×132＝2532． 10分(Ⅱ) (文) 若连续两次投篮不中则停止投篮,阿明不能入围,该事件可以分为下列几类: ①5次投中3次，有24C 种可能投球方式, 其概率为：25413(3)()28P C =⋅=;②投中2次，其分别有“中中否否”、“中否中否否”、“否中中否否”、“否中否中否”4类投球方式，其概率为：45115(2)()3()2232P =+⋅=;③投中1次，其分别有“中否否”、“否中否否”2类投球方式，其概率为：34113(1)()()2216P =+=;④投中0次，其仅有“否否”一种投球方式, 其概率为：211(1)()24P ==，∴353125(3)(2)(1)(0)83216432P P P P P =+++=+++=．答：（I ）阿明投篮4次才被确定为B 级的概率为316；（II ）(理) 阿明入围的数学期望为2532．(文) 阿明不能入围的概率为2532. 12分评析: 本题以考生喜闻乐见的体育运动为背景的一道概率应用题，考察考生分析问题解决问题的能力.19. 解析: （Ⅰ）βα2cos 2cos +=1cos2sin 2122-+-βα=9121612⋅-⋅=727-（Ⅱ）由题设条件得 322cos -=α，415sin =β则βαβαβαsin 2cos cos 2sin )2sin(+=+=βαβααsin )sin 21(cos cos sin 22-+=415)9121(41)322(312⋅-+⋅-⋅⋅=3624157- .评析:本题考查三角公式的运用利用二面角正,余弦公式和两角和差公式进行化简求值,注意角的范围确定三角函数值的正负运用等. 20. 解法一：由正弦定理RCc Bb Aa 2sin sin sin ===得.sin 2,sin 2,sin 2C R c B R b A R a ===将上式代入已知.sin sin 2sin cos cos 2cos cos CA B CB ca b CB +-=+-=得即.0sin cos cos sin cos sin 2=++B C B C B A.0)sin(cos sin 2=++C B B A∵A+B+C=π，.0sin cos sin 2.sin )sin(=+∴=+∴A B A A C BBB A .21cos ,0sin -=∴≠为三角形的内角，π32=∴B .解法二：由余弦定理得bcacbC acbcaB 2cos ,2cos222222-+=-+=，将上式代入.2222cos cos222222ca b cb a ab acbc a ca b CB+-=-+⨯-++-=得整理得.222ac bc a -=-+Bacac acbcaB ∴-=-=-+=∴.2122cos 222为三角形的内角，π32=∴B . 6分（Ⅱ）将π32,4,13==+=B c a b代入余弦定理B ac cabcos 2222-+=得.3).211(21613,cos 22)(22=∴--=∴--+=ac ac B ac ac c a b.343sin 21==∴∆B ac S ABC12分21.证明:（Ⅰ）不妨设12x x >，由[]2121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅-可知12()()0f x f x ->，()f x ∴是R 上的增函数,∴不存在00b a ≠，使得0()0f b = 又[]2212121212()()()()()x x x x f x f x x x λ-≤-⋅-≤-,1λ∴≤（Ⅱ）要证：222000()(1)()b a a a λ-≤--即证：2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦(*) 不妨设0a a >，由[]2121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅-得00()()()f a f a a a λ-≥-，即0()()f a a a λ≥-，则2002()()2()f a a a a a λ-≥- （1）由1212()()f x f x x x -≤-得00()()f a f a a a -≤-,即0()f a a a ≤-，则22200()()2()a a f a a a λλ⎡⎤-+≤-⎣⎦（2） 由（1）（2）可得2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦222000()(1)()b a a a λ∴-≤--（Ⅲ）220[()]()f a a a ≤-, 22220(1)[()](1)()f a a a λλ∴-≤--220[()]()f b b a ≤-,又由（2）中结论222000()(1)()b a a a λ-≤--222[()](1)[()]f b f a λ∴≤-22. 解析：（Ⅰ）设P 点的纵坐标为P y ，因为121()2O P O P O P =+，所以P 是1P 2P 的中点，即12122x x +=，121x x +=，因为12y y +=12124414242x x x x +=++，所以1.2P y =4分（Ⅱ）由（1）知，当121x x +=时，12y y +=1，又因为1i n i n n-+=，所以1221()()()()()n n n n S f f f f f n nn n n--=+++++， 即1122112[()()][()()][()()]2()n n n n n S f f f f f f f nnn nnnn ---=+++++++，所以126n n S =+; 8分(Ⅲ) (理)因为114114()11(1)1()()66n n n n nn S S +==-++--，所以11111114(1...)223341n T nn =-+-+-+-+41nn =+, 10分因为21262n n S ++-=，要使21()6n n T k S +<-对一切*n N ∈都成立,即求288(1)(2)32nnk n n n n >=++++823n n =++恒成立，令8()23g n n n =++，即求8()23g n nn =++的最大值，易知8()23g x x x=++在)+∞上单调递增，在(0,上单调递减，并且当4(1)(2)3g g ==，所以实数k 的取值范围为4.3k >14分(Ⅲ) (文) 因为114114()11(1)1()()66n n n n nn S S +==-++--，所以11111114(1...)223341n T nn =-+-+-+-+41n n =+, 10分要kT n >4,即k>1+n1对*n N ∈恒成立2≥∴k . 14分评析:本题主要考查向量、函数、数列、不等式的相关知识和计算能力. 函数与数列结合是高考命题的热点.本题考查了数列通项公式以及和的求法，函数的单调性以及存在性问题.。