运筹学第3章

二、举例
例 1 运输问题供需平衡表和运价表如下，求最优调 运方案。
销地 产地 A1 A2 A3
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
供应量 7 4 9
需求量
3
6
5
6
20
1. 找出初始调运方案
（1） 最小元素法
销 产 A1 1 A2 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4 10 产量 7 8 4
1．运输问题有有限最优解
若令变量
xij ai b j Q , i 1,2,, m; j 1,2,, n
（1）
其中
Q
ai
i 1
m

bj
j 1
n
则(1)就是运输问题的一个可行解；另一方面，运输问题的
目标函数有下界，目标函数值不会趋于-∞，由此可知，运输问
题必存在有限最优解。
2.运输问题约束条件的系数矩阵
4
2
3
3
7 4
1
10 5 9
A3 销量 3
6
6 5
3
6
该方案总运费： Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
（2） 西北角法 优先满足运输表中西北角(即左上角)上空格的供销需求
销地 产地 B1 3 A1 B2 11 B3 3 B4 10 7 产量
2
3
1
4
9 2 8
4
A2 7 A3 销量
-1
-7
0
4.表上作业法计算中的问题
(1)若运输问题的某一基可行解有几个非基变量的 检验数均为负，在继续进行迭代时，取它们中的 任一变量为换入变量均可使目标函数值得到改善，
但通常取ij中最小者对应的变量为换入变量。
(2)有无穷多最优解。最终解中有非基变量检验数 为零时，以此非基变量为换入变量，可求得另一 基最优解。基最优解的任一凸组合都是最优解。
产量区 化肥厂 A1 4 A2 B1 5 B2 8 B3 7 B4 3 产量 7 7 8 4 2 9 3 3 3
4
9 10
3
6
8
2 0
6 6
A3 需求量
3
课堂作业
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 4 2 8 8 B2 12 10 5 14 B3 4 3 11 12 B4 11 9 6 14 产量 16 10 22 48
j 1 i 1
Ai的产品全 部供应出去 Bj的需求全 部得到满足
x
j 1
n
ij
ai
i 1,2,, m
a b
i 1 i j1
m
n
j
x
i 1
m
ij
bj
j 1,2,, n
xij 0
i 1,2,, m; j 1,2,, n
二、运输问题数学模型的特点
一、计算步骤：
(1)按某种规则(最小元素法、西北角法)找出一个初始解（ 初始调运方案）。即在(m×n)产销平衡表上给出m+n-1个数 字格。 (2)对现行解作最优性判别，即求检验数(闭回路法)。如 是最优解，则停止计算，否则转到下一步。 (3)对方案进行改善，找出新的调运方案(表上闭回路法调 整) 。 (4) 重复(2)、(3)，直到求得最优调运方案。
B2
… … …
Bn
供应量
A1 A2
c11
c21
c12
c22
c1n
c2n
a1
a2

Am 需求量

cm1 b1

cm2 b2 … …

cmn bn
m i 1

am
a
i
bj
j 1
n
如何建立供需搭配，使总的运输费用最小？
产销平衡运输问题的数学模型：
设从Ai到Bj的物资运量为xij ，
n m
min z cij xij
入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时
就出现了退化。在运输问题中，退化解是时常发生的。 为了使表上作业法的迭代工作进行下去，退化时应在 同时划去的一行或一列中的某个格中填入数字0，表示 这个格中的变量是取值为0的变量，使迭代过程中基可 行解的分量恰好为（m+n-1）个。
例2 某地区有三个化肥厂和四个产粮区。单位运价、供 应量、需求量如表所示。确定最小运费方案。
-2
1 8
检验数 ij cij (u i v j )
(空格中数字为ui+vj )
检 验 数 表
B1 3 A1 A2 7 A3 vj
B2 11
B3 3
B4 10
ui
1
1
2
9 2 8
2
1
4 10
-1
5
1
-3
10
0 7
12
1 8Biblioteka 24=-1＜0，当前方案 不是最优方案。
3.闭回路调整法改进方案 xpq为换入变量 min( ij < 0 ) pq i ,j 从(p,q)空格开始画闭回路，其它转角点都是填 有运量的方格，并从(p,q)空格为第一个奇数顶点， 开始给闭回路上的点按顺时针或逆时针依次编号。运 输量最小的偶数格为换出变量,最小运量为调整量。
求解，即先找出它的某一个基可行解，再进行解的最优性
检验，若它不是最优解，就进行迭代调整，以得到一个新 的更好的解，继续检验和调整改进，直至得到最优解为止。
为了保证运输问题的每步得到的解xij都是基可行解，要求: (1) 解X必须满足模型中的所有约束条件；
(2) 基变量对应的约束方程组的系数列向量线性无关；
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 B2 B3 4(3)… ┇ 1(4)… 6 6 5 B4 …3(2) ┇ …(1) 3 6 产量 7 4 9
3 3
=min{1，3}=1
新的调运方案为：
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 3 3
B2
B3 5
B4 2 1 3 6
产量 7 4 9
6 6
第三章
运输问题

运输问题及其数学模型 用表上作业法求解运输问题 运输问题的进一步讨论
第一节 运输问题及其数学模型
某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由 4个销售点（销地）出售，各工厂的产量，各销地的销量以及各 工厂到各销地的单位运价示于下表中，要求研究产品如何调运 才能使总运费最小？
一、运输问题的一般数学模型
●有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资 ●令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各 销地的销量，ai=bj 称为产销平衡
●设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，cij表示对应的
单位运费。
供需平衡表
产地 销地
B1
cm1
B2 c12 x12 c22 x22 ┇
cm2
… … … ┇
Bn c1n x1n c2n x2n ┇ cmn
产量 a1
a2 ┇
Am 销量
xm1 b1
xm2 b1
… …
xmn bn
am
第三章
运输问题

运输问题及其数学模型 用表上作业法求解运输问题 运输问题的进一步讨论
第二节 用表上作业法求解运输问题
若由方程组解的某组解满足的所有约束条件，即对所有 i 和 j 均有 ij cij (u i v j ) 0 即这组对偶变量（位势）对偶可行， 这时得到的解
X ( X B , X N ) T ( xi1 j1 xis js 0,0, 0) T s m n 1
(3) 解中非零变量的个数不能大于(ｍ+ｎ-1)个，原因是运输 问题中虽有(m+ｎ)个约束条件，但由于总产量等于总销量， 故只有(ｍ+ｎ-1)个结构约束条件是线性独立的； (4) 为使迭代顺利进行，基变量的个数在迭代过程中保持为 (ｍ+ｎ-1)个。
平衡表、运价表合二为一
销 产 A1 B1 c11 x11 c21 A2 ┇ x21 ┇
ij cij zij ciij YPij
cij (u1 , u2 ,, um , v1 , y2 ,, yn ) Pij cij (ui v j )
设已得到运输问题的的一个基可行解，其基变量是：
xi1 j1 , xi2 j2 ,, xis js
s m n 1
系数列向量的结构 Aij (0, ,0,1,0, ,0,1,0, ,0)T 产销平衡问题的所有约束条件都是等式约束。 各产地产量之和等于各销地销量之和。
3.运输问题的解
根据运输问题的数学模型求出的运输问题的解 X=(xij)， 代表着一个运输方案，其中每一个变量xij的值表示由Ai 调运数量为xij的物品给Bj。 运输问题是一种线性规划问题，可设想用迭代法进行
x11 x12 x1n x21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x22 x2n xm1 xm2 xmn 11 1 1
m行
n行
第i个
第m j个
由于基变量的检验数等于 0，故对这组基变量可写出方程组
ui1 v j1 ci1 j1 ui2 v j2 ci2 j2 u v c js is j s is
这是 m n 1方程。方程组中含有全部 m n 个变量。由于变量数比方 程数多一个，故解不唯一。方程组的解称为位势。 在求解方程组时，为了计算简便，常任一指定某一位势等于一个较 小的整数或 0，通常令为 0。