材料力学 第七章 应力状态及强度理论
材料力学 第7章 应力状态分析与强度理论
T [ ] Wp
（切应力强度条件）
（扭转） max
max [ ]
第7章 应力状态分析与强度理论
7-5 强度理论
max
max [ ] 满足 max [ ]
是否强度就没有问题了？
max
第7章 应力状态分析与强度理论
7-5 强度理论
强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概
1 e 1 e 1' e 1" e 1''' [ 1 ( 2 3 )] E 1 ' " ' e 2 e 2 e 2 e 2'' [ 2 ( 3 1 )] ②主应变与主应力关系： E 1 ' " ''' e 3 e 3 e 3 e 3 E [ 3 ( 1 2 )]
③平行1斜截面上应力由2、3作出应力圆上的点确定；
④由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。 2.三向应力状态下的最大剪应力
材料力学7-应力状态和强度理论x
Beijing Jiaotong University<br>Institute of Engineering Mechanics<br>Beijing Jiaotong University<br>Institute of Engineering Mechanics<br>应力状态和强度理论<br>1. 一点的应力状态<br>北京交通大学工程力学研究所<br>汪越胜<br>Wang Yue-Sheng<br>北京交通大学工程力学研究所<br>汪越胜<br>Wang Yue-Sheng<br>应力状态<br>1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics Institute<br>Beijing Jiaotong University<br>应力状态<br>1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics Institute<br>Beijing Jiaotong University<br>拉、压杆件截面上的应力: 拉、压杆件截面上的应力:<br>拉、压杆件上一点的应力: 拉、压杆件上一点的应力:<br>A<br>FN<br>σβ<br>F σ= N A<br>北京交通大学工程力学研究所<br>σ θ = σ cos 2θ<br>τ θ = σ sin ( 2θ )<br>汪越胜 Wang Yue-Sheng<br>σ<br>单元体<br>σ<br>σ<br>2<br>σ σα<br>σα τα τβ σβ<br>1 2<br>σ α = σ cos α<br>1 τ α = σ sin ( 2α ) 2<br>汪越胜 Wang Yue-Sheng<br>北京交通大学工程力学研究所<br>应力状态<br>1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics Institute<br>Beijing Jiaotong University<br>应力状态<br>1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics Institute<br>Beijing Jiaotong University<br>构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称为 该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面 上的应力表示。 根据平衡方程<br>∑F<br>n<br>=0<br>∑F<br>t<br>=0<br>单元体如何取？<br>σ θ dA − (σ x dAcosθ )cosθ = 0 τ θ dA − (σ x dAcosθ )sinθ = 0<br>σ θ = σ x cos θ<br>2<br>北京交通大学工程力学研究所<br>1 τ θ = σ x sin (2θ ) 2<br>汪越胜 Wang Yue-Sheng<br>在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面 构成的边长无穷小的六面体，每对相互平行面上 的性质相同的应力大小相等。<br>北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng<br>1<br><br>
孙训方材料力学07应力状态强度理论
z a b
FS S a 64.6MPa I zd
a点的单元体如图所示
* za
yx x
a
x
xy
38
270
材 料 力 学
应力状态和强度理论
(3) 做应力圆
x =122.7MPa， xy =64.6MPa
由 x ， xy 定出 D 点
y=0， xy =-64.6MPa
(122.7 , 64.6) D A2 B O
2 xy DA tan(2 0 ) CA x y 2 xy
2
B1 B 20 D
C
A
y
D′
A1
x
1
2 0 arctan( 2 xy )
tan2 0
x y
x y
0 确定后—1 对应的主平面方位即确定
材 料 力 学
应力状态和强度理论
a
dA
材料力学应力状态和强度理论
1、轴向拉压
F
F
横截面
2、扭转
Me
Me
τ
τ
横截面
3、弯曲
n
n
τ
F
τ
受力构件内应力特征： （1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的； （2）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是不同的； （3）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况一般是不同的。
单元体特征 （1）单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布； （2）任意一对平行平面上的应力相等。
α 0 22.50 1 150MPa
3 27MPa
σx τx
τy
σ3
σx
τx
τy
σ1 α0
yb 150mm
b
MC Iz
yb
136.5MPa
b 点的单元体如图所示。
b 0
x 136.5MPa
b
120
9 z
b
270
D2 (0,0)
D1(136.5,0)
x 136.5MPa
b
σ1
B 点的三个主应力为
x
y
2
sin 2
x
cos 2
2、主平面的位置
设主平面的方位角为 0 ，令切应力等于零
x
2
y
sin
2
0
x
cos
材料力学第七章应力状态和强度理论
τxy=40MPa
§7-3 三向应力状态
2 1
3
max 1 3
2
习题
7-4b； 7-5a
习题要求 1）要抄题，画原图；
2）用铅笔、直尺作图
§7-4 广义胡克定律
单向应力状态胡克定律
x
横向变形
x
E
y
x
x
y x
习题
7-1； 3b
习题要求 1）要抄题，画原图；
2）用铅笔、直尺作图
3.二向应力状态图解法－应力圆
y
x
yx xy x
x y
2
x y
2
cos 2 xy sin 2
y´ 2 2 x´ x y 1 2 2 2 x 2 2 x y 4 xy xy
2 4
C
C
C
CF
C
P FsC 50 KN 2 3 MC y 25 10 150 10 3 12 IZ 200 6003 10 12
b
1.04 MPa（压应力）
S *Z 50 103 150 200 225 10 9 12 sC IZ b 200 6003 10 9 200 10 3
材料力学7-第七章应力状态分析强度理论汇总
第七章 应力状态分析 强度理论
§ 7.1 应力状态概述
、工程实例
1. 压缩破坏
2. 弯曲拉伸破坏
3. 弯曲剪切破坏
4. 铸铁扭转破坏
5. 低碳钢扭转破坏
、应力状态的概念
1. 点的应力状态
过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。
2. 一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体 （单元
体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上 的应力可描述一点应力状态。
3. 求一点应力状态
（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡 （2）单元体任意部分平衡
（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力， 即点在任意方位的应力。 三、应力状态的分类
1. 单元体：微小正六面体
2. 主平面和主应力： 主平面：无切应力的平面 主应力：作用在主平面上的正应力
3. 三种应力状态
单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如 A 、E 点 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如 B 、D 点 三向应力状态：三个主应力都不等于零
斜向主 拉应力
垂直裂缝 斜裂缝
四、应力状态分析的方法
1. 解析法
2. 图解法
7.2 应力状态分析的解析法
、解析法
q
图示单元体，已知应力分量x y 、xy 和yx 。
y y
（一）任意截面上的正应力和切应力：
利用截面法，考虑楔体 bef 部分的平衡。设 ef 面的面积为 dA ， F n 0 dA ( xy dA cos )sin ( x dA cos )cos ( yx dA sin )cos ( y dAsin )sin 0 F t 0
dA ( xy dA cos )cos ( x dAcos )sin ( y dA sin )cos ( yx dAsin )sin 0
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
7.1 一点的应力状态的概念
3/95
7.1 一点的应力状态的概念
问题的提出 低碳钢和铸铁的拉伸试验
问题：塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
4/95
7.1 一点的应力状态的概念
问题的提出 低碳钢和铸铁的扭转试验
问题：为什么脆性材料扭转时沿45º 螺旋面断开？
5/95
7.1 一点的应力状态的概念 应力的点的概念
sx s y
2
s x s y 2 t xy 2
D(sx,txy) C
A1
s3 ?
0 A2 D'(sy,tyx)
s
s3 0
29/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆求主单元体（主应力的大小和方位）
t
s2 s1
s3
t
s1
t
s3 s2
n
0
s y dA sin a cosa t yxdA sin asina 0
dA
a
sx txy
sa a ta
t
sy tyx
n 根据切应力互等, txy和tyx在数值上相等，化简得 x
sa
ta
sx s y
2
s x s y
2
cos2a t xy sin2a
s x s y
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
y σ30° x 30 10 20 (b)
n 30° x
面应力状态单元体， 面应力状态单元体，试 求与x轴成30° 求与 轴成30°角的斜截 轴成30 面上的应力。 面上的应力。
30°
30° τ30°
(a)
单位：MPa
解：由图可知： 由图可知：
σ x = 30 MPa ,
σ y = 20 MPa,
τ x = 30 MPa
y σy τyz τzy σz z τyx τxy σx τzx τxz x σx τx τy σy τx τy σx x y σy
空间应力状态
平面应力状态
每个微面上的应力可以分解为1个正应力和 个剪应力 每个微面上的应力可以分解为 个正应力和2个剪应力。 个正应力和 个剪应力。
可以证明，对弹性体内的任何一点， 可以证明，对弹性体内的任何一点，总能找到三对互相垂直 的面，在这些面上只有正应力，而切应力等于零，这样的面称为 的面，在这些面上只有正应力，而切应力等于零， 应力主平面(简称主平面) 主平面上的正应力称为主应力。 应力主平面(简称主平面)，主平面上的正应力称为主应力。 主平面 主应力
b
oc =
σx +σ y
2 σ x −σ y 2 2 ac = ab 2 = ( ) +τ x 2
三、应力圆的应用
1. 求任意斜截面(图a)上的应力（点面对应、转向相同、二 求任意斜截面( )上的应力（点面对应、转向相同、 倍角对应）。 倍角对应）。
材料力学第七章 应力状态
yx
y
xy a 0
max
总结： 任一斜截面上的应力：
a
x
y
2
x
y
2
cos 2a
xy
sin 2a
a
x
2
y
sin
2a
xy
cos
2a
主应力的大小：
max x y
min
2
x
2
y
2
2 xy
将 max、 min、0 按代数值排序，得 1、 2、 3 1 2 3
0
a x cos2 a y sin2 a 2 xy sina cosa
a ( x y )sina cosa xy (cos2 a sin2 a )
一）任一斜截面上的应力
a x cos2 a y sin2 a 2 xy sina cosa
a
( x
y )sina
cosa
min
x
2
yx
2 xy
xy
2 2
y
2
2xy
2
2
xy
cos 2a0
x y
(4)
x y 2 2 xy 2
tan 2a 0
2 xy x
y
(3)
x y 2 2 xy 2
2a0
x y
2 xy
材料力学 应力状态分析 强度理论
S
F a
1
z
2 3 Mz
T Wt
x
Fa
T
(+) (−)
τ=
σ = Mz Wz
3
τ= T Wt
M
Fl
σ =−
5
Mz Wz
目录
§7—1 应力状态的概念
σz
z
τ zy τ yz
τ zx
x
σx
σ3
σy
τ xz
σ2
τ xyτ yx
y
σ1
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
6
单元体上没有切应力的面称为主平面； 单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 主平面 称为主应力， 表示， 称为主应力，分别用 σ1,σ2 ,σ3 表示，并且 主应力 该单元体称为主单元体。 该单元体称为主单元体。 主单元体
单位：MPa
23
二向应力状态分析——图解法 §7-3 二向应力状态分析 图解法
解：(一)使用解析法求解 一 使用解析法求解
σ x = 80MPa,
σ y = −40MPa
τ x = −60MPa, α = 30° σ x +σ y σ x −σ y σα = + cos 2α − τ x sin 2α
§7—1 应力状态的概念
空间（三向）应力状态： 空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态： 平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态： 单向应力状态：两个主应力为零
材料力学7—应力分析与强度理论
1
2 0
3
tan2 0
2 xy
x y
2
0 45
max min
x y 2 xy 2
x y tan21 0 1 0 2 xy
0 1
4
, 即极值剪应力面与主平 面成 45
例7-2 分析受扭构件的破坏规律。
Ｍ
yx
C
解：确定危险点并画其原
C
xy
始单元体
x y 0
xy
T Wt
y o x
xy yx
求极值应力
x y 2 2 max x y （ ） xy 2 2 min
P A
A
A
A
A
A
A
A
A
截取单元体的原则是：三对平行平面上的应 力应该是给定的或经过分析后可以求得的，而构 件在各种基本变形时横截面上的应力分布及计算 前面已学过，故单元体的三对平行平面中通常总 有一对平行平面是构件的横截面。
四、应力的标注及正负： 普遍状态下，描述一点处的应 力状态需要九个应力分量。即：
x
2
sin 60 xy cos60
xy 3 x 80MP a 4 2
解得： x 80 160 3 172.4MPa xy 80 40 3 10.7MPa 3
第七章 应力状态和强度理论
2
s3
ABCD
s1
5)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时， 通常是横截面上的最大切应力使圆轴沿横截面剪断； 6)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破 坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。
二、平面应力分析的图解 法—应力圆
1.理论依据：
应力分析和强度理论
s x s y s x s y cos 2a t xy sin2a s x' 2 2 s x s y t sin2a t xy cos 2a x'y ' 2
④由s'、s"、0按代数值大小排序得出：s1≥s2≥s3 ⑤判断s'、s"作用方位(与两个a0如何对应) txy 箭头指向第几象限 (一、四)，则s'(较大主应 力)在第几象限，即先判断 s'大致方位，再判断其与 算得的a0 相对应，还是与 a0+90o相对应。 ⑥ s' s" s x s y s a s a90o
s sy s x' x 2
2
t 2 'y ' x
sx sy 2
2
t2y x
2
②以s、t为坐标轴，则任意a斜截面上的应力sx‘、tx’y‘为： 以 [(s x s y ) / 2 , 0]为圆心，以 [(s x s y ) / 2]2 t 2 为半径的圆。 xy 2.应力圆的绘制： ①定坐标及比例尺； ②取x面，定出D( s x ,t x y )点；取y面，定出D‘( s y ,t yx )点； ③连DD'交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；
第七章_应力状态和强度理论
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第七章 应力状态和强度理论
7-3 横截面上 A
F =
σ α截面上 ασ
τασ
σ
σαα2sin 22cos 22=
+
=
，
强度条件 ][4
3
2sin 2][)2cos 1(2σατσασαα≤=≤+=A F A F ，
等价于 ][2sin 342)2cos 1(2max σαασ≤⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⋅+=A F A F e ，
由
0=α
σd d e
，并比较︒=0α或︒60的e σ，得使e σ最小的角度︒=60α 7-7 内力 m kN M ⋅-=2.7，kN F s 10-=
应力 MPa I My
z 55.10==σ，MPa b
I S F z z s 88.0*-==τ 主应力 MPa 62.102222
1=+⎪⎭
⎫
⎝⎛+=τσσ
σ，
MPa 073.02222
3-=+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=τσσ
σ
主平面方位 ︒=⇒=-=
74.4167.022tan 00ασ
τ
α
7-8(d) MPa MPa x y x 50200-=-==τσσ，， ︒=45α截面上：
MPa
MPa
x y
x y
y
102cos 2sin 2
402sin 2cos 2
2=+-
==--
=
αταστατασσσαα
主应力：
MPa x y y
41222
2
1=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=τσσσ， MPa x y y
612222
3-=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=τσσσ
主平面方位：︒=⇒=--=
34.39522tan 00ασταy
x
7-15(a) MPa z 50=σ——为主应力，另两个主应力由下列应力决定 MPa MPa MPa x y x 403070-===τσσ，，
第七章应力状态及强度理论
xy yx
z
x
六、原始单元体（已知单元体）： 例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。
P
y B C z
A
P sx
sx
A
P
sx B sx
Mx
zx
xz
yx C xy
七、主单元体、主面、主应力： 主单元体(Principal bidy)：
y
60 0.6
60 40
代入 sa 表达式可知
a0 15.5,
a0 15.5 90 105.5
主应力 s 1 方向：a 0 15.5
主应力 s 3 方向：a0 105 .5
（3）主应力单元体：
sy xy
a sx
s3 s1
15.5
例2 分析受扭构件的破坏规律。
C
y Ox
M
xy yx
-40.3
例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)
解：主应力坐标系如图
在坐标系内画出点
A(95,25 3)
25 3
s2
45 B 95
A
150° a0 25 3
s1
B(45,25 3)
AB的垂直平分线与
sa 轴的交点C便是
圆心，以C为圆心， 以AC为半径画 圆——应力圆
材料力学第七章应力状态和强度理论
当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应 力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨触点 处就处于空间应力状态(图a)。
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材料力学 (b)
第七章 应力状态和强度理论
空间应力状态最一般 的表现形式如图b所示；
正应力x，y，z的下角
标表示其作用面，切应力
xy，xz，yx，yz，zx，zy
2 0
ar
c
tan
x
2 x
y
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材料力学
第七章 应力状态和强度理论
讨论: 1. 表达图示各单元体 斜截面上应力随角变化的应
力圆是怎样的？这三个单元体所表示的都是平面应力状态 吗？
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材料力学
第七章 应力状态和强度理论
§7-3 空间应力状态的概念
元体上相应两个面之间夹角的两倍，这反映了前述，计 算公式中以2 为参变量这个前提。
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材料力学
第七章 应力状态和强度理论
利用应力圆求 斜截面(图a)上的应力，时，只
需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半
径 C D1按方位角的转向转动2角，得到半径 C E ，那 么圆周上E点的坐标便代表了单元体斜截面上的应力。
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材料力学07应力应变分析强理论
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3、单元体法
P
（1）单元体截取方法: 围绕 (a)
该点取出一个单元体。
A
例如 右图所示矩形截面悬 臂梁内A点的应力状态
(b) a
σ
b
(c)
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d σ
A
c
2
7—1 应力状态的概念
3
第3页/共75页
7—1 应力状态的概念
l
S平面 y
SF
a
1
T
4
z
x
2
3 Mz
Fa T
根据剪应力互等定理，
在数值上有
τ xy τ yx τ yz τ zy τ zx τ xz
因而独立的应力分量是6个
σx σy
σz
y
σy
上面
τ yx
τ τ yz
xy
τ zy τ xz
τ zx
右侧面
σx
σz
x
o
z
前面
τ τ xy
yz
τ zx
26
第26页/共75页
2、 应力状态的分类 空间应力状态 : 1 ,2 ,3均不等于零 平面应力状态 : 1 ,2 ,3中有一个等于零. 单向应力状态 : 1 ,2 ,3中只有一个不等于零
σ2 σ1
σ3
36
O
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0
o 0 0 90
两个主平面相互垂直， 因此，主应力也一定互 相垂直。
正应力极值所在平面（主平面）也可由下式计算：
cos 2 0
1 1 tg 2 0
2
2 4 x y x 2
x y
sin 2 0 tg 2 0 cos 2 0
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
主应力采用符号：
1 , 2 , 3
并且规定
1 2 3
5、按主应力分类应力状态 （1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零 （2）平面应力状态：若三个主应力中有两个不为零 .
（3）空间应力状态：三个主应力都不等于零
7-2 平面应力状态
有一对面没有应力（假设前、后一对面没有），将单元体用平 面图形表示
基准面：x面，y面
基准面上应力：
x面： x， x
y面： y， y
计算时规定：
正应力以拉应力为正，压应力为负
切应力以使单元体顺时针转动为正。逆时针转动为负。 图中应力正负？
一、斜截面上的应力
在单元体中截取一个斜面，斜面角度 逆时针转过的角度为正。反之为负
从x轴开始
取三角形单元建立静力平衡方程
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 10 30 10 30 cos 60 20 sin 60 2 2 2.32MPa
x y
2 10 30 sin 60 20 cos 60 2 1.33MPa
sin 2 x cos 2
二、 最大正应力和最大剪应力
1、最大正应力
令
当
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
f ( )
d 0 d
x y sin 2 x cos 2 0 2
x y
2 4 x y x 2
2 x
cos 2 0
将
1 1 tg 2 2 0
2 4 x y x 2
x y
sin 2 0 tg 2 0 cos 2 0
2 4 x y x 2
2 x
2、研究应力状态的方法—单元体 围绕某点截取的无限小的 正六面体
dV dxdydz
当单元体边长趋于零， 单元体趋于一个点，因 此当说某“点”的应力 状态，是指单元体的应 力状态
轴向拉伸时的单元体
纯扭转时的单元体
弯曲时的单元体
弯曲与扭转组合变形时的单元体
3、应力状态的分类 一般情况下，每个基本微分面上 有三个应力分量：1 个正应力和 2 个剪应力
由切应力互等定理
x y
2 2
和三角关系式
x y
x y
cos 2 x sin 2
x y
2
sin 2 x cos 2
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
x y
2
满足上式时，正应力取极值，比较切应力公式
可见在
sin 2 x cos 2
0
的截面上，正应力具有极值（最大或者最小）
因此，正应力极值（最大或最小）就是主应力
由
x y sin 2 x cos 2 0 2
2 x tg2 0 x y
代入
x y
2
x y
2
cos 2 x sin 2
2
max x y x y 2 x 2 2 min
2
sin 2 x cos 2
只要已知基准面上的应力 由上式可以求出任意斜面
x , y , x ( y )
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的应力
也就是说，通过某点所有截面上的应力都可求。即知道一 点处的“应力状态”
例7-1 应力。
一单元体如图所示，试求在 = 30的斜截面上的
x 10MPa, y 30MPa , x 20MPa, y 20MPa, 30
取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
假设： 1、相互平行的微面上，应力相等 2、同一面上的应力均匀
单向应力状态 三对面上，只有一对面上有，另两对面 上没有应力
平面应力状态
三对面上，有两对面上有
，另一对面上没有应力
空间应力状态：三对面上都有应力
平面应力状态和空间应力状态统称为 复杂应力状态
4、主平面和主应力
剪应力为零（ = 0）的平面叫作主平面 主平面上的正应力叫作主应力 可以证明，弹性体内任意一点一定存在 三对主平面和三个主应力，且相互垂直
第七章
应力状态与强度理论
7-1 何谓应力状态 1、什么是应力状态 同一点处，不同方向斜截面上 应力也不一样， 同一点处，不同方向斜截 面上应力的集合，称为该 点的应力状态 一点处所有斜截面上的应力情况 研究应力状态：
cos2
sin 2
1 2
最大、最小正应力、切应力