2018版高考数学二轮复习大题规范练8“20题、21题”24分练理

大题规范练(八) “20题、21题”24分练

(时间：30分钟 分值：24分)

解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，32在椭圆C 上，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，P 两点，与x 轴，y 轴分别相交于点N 和M ，且|PM |＝|MN |，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆C 于点B ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为A 1，B 1.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)是否存在直线l ，使得点N 平分线段A 1B 1？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

【导学号：07804240】

[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

b ＝3

c 1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2 解得⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝3a 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23

＝1. (2)存在这样的直线l .

∵y ＝kx ＋m ，∴M (0，m )，N ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－m k ，0， ∵|PM |＝|MN |， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m k ，2m ，则Q ⎝ ⎛⎭

⎪⎫m k

，－2m ， ∴直线QM 的方程为y ＝－3kx ＋m . 设A (x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2

－3)＝0， ∴x 1＋m k ＝－8km 3＋4k 2，∴x 1＝－3m 1＋4k 2 k 3＋4k 2

， 设B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3kx ＋m x 24＋y 23＝1，得(3＋36k 2)x 2－24kmx ＋4(m 2

－3)＝0.

∴x 2＋m k ＝8km 1＋12k 2

， ∴x 2＝－m 1＋4k 2 k 1＋12k 2

， ∵点N 平分线段A 1B 1，

∴x 1＋x 2＝－2m k

， ∴－3m 1＋4k 2 k 3＋4k 2 －m 1＋4k 2 k 1＋12k 2 ＝－2m k

， ∴k ＝±12

， ∴P (±2m,2m )，

∴4m 24＋4m 23

＝1， 解得m ＝±

217， ∵|m |＝217

＜b ＝3， ∴直线l 的方程为y ＝±12x ±217

. 21．已知函数f (x )＝e x －1－x －ax 2

.

(1)当a ＝0时，求证：f (x )≥0；

(2)当x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围；

(3)若x ＞0，证明(e x －1)ln(x ＋1)＞x 2.

[解] (1)当a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.

当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.

故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (0)＝0，∴f (x )≥0.

(2)f ′(x )＝e x －1－2ax ，令h (x )＝e x －1－2ax ，则h ′(x )＝e x

－2a .

①当2a ≤1时，在[0，＋∞)上，h ′(x )≥0，h (x )单调递增，h (x )≥h (0)，即f ′(x )≥f ′(0)＝0，

∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，

∴f (x )≥f (0)＝0，

∴当a ≤12

时满足条件． ②当2a ＞1时，令h ′(x )＝0，解得x ＝ln 2a ，在[0，ln 2a )上， h ′(x )＜0，h (x )单调递减，∴当x ∈(0，ln 2a )时，有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜f ′(0)

＝0，

∴f (x )在区间(0，ln 2a )上为减函数，∴f (x )＜f (0)＝0，不合题意． 综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.

(3)证明：由(2)得，当a ＝12，x ＞0时，e x ＞1＋x ＋x 22，即e x －1＞x ＋x

22，

欲证不等式(e x －1)ln(x ＋1)＞x 2，只需证ln(x ＋1)＞2x

x ＋2.

设F (x )＝ln(x ＋1)－2x

x ＋2，

则F ′(x )＝1x ＋1－4

x ＋2 2

＝x 2

x ＋1 x ＋2 2.

∵当x ＞0时，F ′(x )＞0恒成立，

且F (0)＝0，

∴F (x )＞0恒成立．

∴原不等式得证．