活用“系”方程解题更简洁

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如何进行简单的数学方程组的解法

如何进行简单的数学方程组的解法在解决数学问题时，经常会遇到需要求解数学方程组的情况。

数学方程组是由多个方程组成，并且这些方程之间存在一定的关系。

本文将介绍一种简单的数学方程组的解法，让读者能够更好地应对这类问题。

一、概述数学方程组的解法有很多种，其中，较为简单和常用的方法是代入法和消元法。

代入法是逐步将一个未知数的值代入其他方程，最终得出该未知数的解。

消元法则是通过一系列加减乘除等运算，将方程组转化为更简单的形式，从而求解未知数的值。

二、代入法解数学方程组代入法是一种直接的解题方法，它通过将一个未知数的值代入其他方程，逐步缩小未知数的范围，最终得出全部未知数的解。

以下为解决数学方程组的代入法步骤：1. 选择一个方程，将其中的一个未知数表示为其他未知数的函数，例如，假设方程1为x+y=5，我们可以将y表示为y=5-x；2. 将含有未知数的函数代入其他方程中的相应位置；3. 通过代入后得到的新方程，求解未知数；4. 将求得的未知数的值代入原方程组中，验证是否满足所有方程；5. 若验证通过，则得到数学方程组的解。

三、消元法解数学方程组1. 消元法的基本思路是通过一系列加减乘除等运算，将方程组中一个未知数的系数变为0，从而消去该未知数。

以下为消元法解数学方程组的步骤：2. 检查方程组中的方程，选择一个或多个合适的方程；3. 通过加减乘除变换使得其中一个未知数的系数相等或相差一个常数；4. 将所得到的新方程进行加减运算，消去一个未知数；5. 重复上述过程，逐步将方程组简化为只有一个未知数的方程；6. 解出最后一个未知数；7. 将求得的未知数的值代入原方程组中，验证是否满足所有方程；8. 若验证通过，则得到数学方程组的解。

四、示例假设我们有以下数学方程组：方程1：2x + 3y = 7方程2：4x + 5y = 11下面分别使用代入法和消元法来解决这个方程组。

代入法解题步骤如下：1. 选择方程1，将未知数x表示为x = (7 - 3y) / 2；2. 将x的表达式代入方程2中，得到4((7 - 3y) / 2) + 5y = 11；3. 化简上式，得到(28 - 12y) / 2 + 5y = 11；4. 消去分数，得到28 - 12y + 10y = 22；5. 合并同类项，得到-2y = -6；6. 解得y = 3；7. 将y的值代入方程1中，得到2x + 3(3) = 7；8. 化简上式，得到2x + 9 = 7；9. 合并同类项，得到2x = -2；10. 解得x = -1；11. 验证结果，代入原方程组：2(-1) + 3(3) = 7 和 4(-1) + 5(3) = 11；12. 方程组的解为x = -1，y = 3。

活用分类讨论思想解决方程问题

为何值时，方程有实根？分析
解
由于二次项系数ｍ一４中含有参数ｍ，因此应根
数火可二。１ — 必是数，一的系知：｝：４一２－＿整即应
是整数．因此ａ一１能整除２只，即ａ一１＝± ，２１ ± ．所以ａ＝
鼓励的话语，个微妙的评价和情感动员，将使学生激发一都
热情，奋精神．振中学生天性活泼好动，引导得当也将是数学
态度对待学生，努力实现与学生的平等对话．力改变一要努言堂式教学，课堂在教师与学生的积极互动中创造出新的让智慧．生不因教师的威严束缚，害怕老师．老师平等对学不与
话，生的学习兴趣就会增大，师也能真正了解学生．到学老做
学习的动力．以往在教学中我们太注重数学自身的逻辑性和严谨性，分追求数学知识体系的形式化．制了学生生动过限活泼思想的形成，学生感到学数学枯燥无味，至于对数使以
４１０）２０１
依靠个人力量较难完成的问题进行合作学习．应该根据学还生的年龄特点，择学生感兴趣、选探究欲望强烈的内容，题问
呈现的方式尽可能趣味化、学化．科

巧用曲线系方程妙解题

巧用曲线系方程妙解题
曲线系方程是数学中一种重要的工具，它能够帮助我们解决各种问题。

有些问题可以通过曲线系方程解决：
1、找出直线上的某一点：两个直线的交点可以通过解曲线系方程确定。

例如，两个直线y=2x-3和y=x+1，它们的交点可以解出x=2，y=3；
2、求偏移量：如果两个直线具有某种特定的相对位置关系，可以计算它们的偏移量。

例如，两个直线y=3x+9和y=x+1的偏移量可以通过解出x=-8，y=-5得出；
3、求抛物线的焦点：若要求抛物线的焦点，则可以通过求解相应的曲线系方程而得出，如y=x^2的焦点可以通过解出x=0，y=0的方程而确定；
4、求圆的方程：要得到圆的方程，只需要给出它的半径和圆心，然后通过曲线系方程可以得到它的方程，如圆心为(2,3)，半径为5的圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=25。

由此可见，曲线系方程可以为我们解决上述类似的问题，它的作用是十分巧妙的。

活用曲线系方程巧解解析几何题

例４．求过直线２ｘ＋ｙ＋４＝０和网＋＋２ｘ＋４ｙ＋ｌ：０的
交点，Ⅱ 过原点的同 ‘程。
解：设所求网的方程为：
ｘ。４－
ｙ＋２ｘ一４ｙ＋１４－Ｚ（２ｘ＋Ｙ４－４）＝０·
一程为专＋＝
即！＋：１
３６１６
四、双曲线系方程
１．共焦点的双曲线系方程南＋ｙ２＿ｌ或妄＋≥ －１
‘ 程为
２＋２ｙ一１１＝０，两直线
的父，点是１１ｔ１）
，
当网
积
最：一１１，所以Ｉ＾ｉ积最小
的同的方程是４ｘ＋４ｙ一２２ｘ一２２ｙ＋２１＝０
三、椭圆系方程１．共焦点的椭网系方程：
．．
· ．
·
Ｌ与直线
厶：３ｘ＋ｙ－１：０平行’．．．半ｊ：竿ｌ ≠型≠。
— Ｉ
Ｔｌ
解得：．所以直线Ｌ的方程为：１５ｘ＋５ｙ＋１６＝０．
即ｘ。＋Ｙ＋２（１＋ｘ＋（一４）ｙ＋（１＋４柚＝０，因为过原点，
所以ｌ＋４ｋ＝０，得：一１
。
故所求网的方程为：ｘ２＋ｙ２４．；ｘ一ｙ－Ｄ。
—
—
一
经验父流
】ｌ蠕Ａ聃Ａ◇ 一臻
蓿缀氡辑
文／吴永芳
选用恰当方法，简化解题过程，是顺利解答平解析几何
问题火键所在。灵活运用曲线系的方法，能非常简便地解答很
多解析几何问题。
２．过两相交网交点的冈系的方程两已知网Ｃ，：ｆｌｘ，Ｙ）＝ｏ和Ｃ：ｆ１（ｘ，Ｙ）＝０的市Ｈ交，则过同Ｃ和Ｃ的交点的网系的方程是ｆ１ｘ，Ｙ）＋（ｘ，Ｙ）＝０（ ≠一１），不包含网Ｃ：ｆ１（ｘ，ｙ）＝Ｏ．若一１时，变为直线ｆｊ（ｘ，ｙ）＋Ｘｆｄｘ，Ｙ）＝０．

活用数学方法妙解物理问题

活用数学方法妙解物理问题担山中学黄自华数学和物理是紧密联系的，数学是学习物理的基础和工具，解决物理问题的方法和手段，它能最简洁、最准确地表达物理概念与物理规律。

所以，运用数学方法，妙解物理问题是物理学习目标之一，依据物理规律，用数学变换的方法，可以化难为易，迅速准确，巧妙实用。

下面列举几例，共同探讨。

一、巧用一次函数，妙解物理题例1 某刻度均匀的温度计，在实际温度是10℃时，它的示数是8℃，在通常情况下的沸点水时，读数是89℃，若它的示数是35℃时，真实温度为多少？解析温度计的刻度均匀，其温度变化与液柱高度变化成正比，因此，温度计指示值t′与实际温度t应满足一次函数t′=kt+b。

把t1=10℃，t2=100℃, t1′=8℃，t2′=89℃代入函数式可得：解得k=0.9，b= -1。

∴t′=0.9t－1 将t3′=35℃代入上式得35=0.9t3－1 得t3=40℃，即示数为35℃时，真实温度为40℃。

二、巧用方程组，妙解物理题例2 一块重8 N 的石块，用弹簧秤挂起石块浸没在某种液体中，弹簧秤读数为4.8 N ，浸没在水中，弹簧秤示数为4 N ，求石块的体积和液体的密度。

解析本题中有两种不同的情况，一次是在某种液体中，另一次是在水中均处于静止状态，处于平衡，合力为0。

在液体中，对于石块 G=F 浮液＋F 拉液 ① 在水中，对于石块 G= F 浮水＋F 拉水 ②将两式展开这两个方程组在只有两个未知量ρ液和V 石，可以通过方程组容易解出。

三、巧用不等式，妙解物理题例3 已知ρ铁=7.8×103kg/m 3，一个质量为2.5kg 的空心铁球浸没在水中，通过计算回答铁球不下沉的条件是什么？解析设该空心铁球的空心部分体积为V 空，空心球中铁的体积为V 铁，据题意有：V 铁=水铁p m =33/108.75.2mkg kg =3.025×10-4m 3球的总体积V=V 空＋V 铁，球浸没于水中受到浮力F 浮=ρ水gv=ρ水g(V 空+V 铁)，据物体浮沉条件，要使球不下沉，即满足： F 浮≥G 球，即 ρ水g(V 空＋V 铁) ≥m 铁gV 空≥水铁p m －V 铁=33/100.15.2m kg kg ⨯－3.025×10-4m 3=2.18×10-3 m 3当满足V 空≥2.18×10-3m 3时，铁球不下沉，解决此题关键是巧用不等式F 浮≥G 球这一重要关系。

活用方程解决四类问题

一
、
销售问题
例１某个体商店第一天以每件１元的价格购进某种商品１件．０５
第二天又以每件１２元的价格购进同种商品３５件．后以相同的价格卖然
ｍ．果商店销售这些商品时．少要获得１％的利润．么这种商品每如至０那
的利润，问：几折ｍ售？试应
二、段计费问题分
例２某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过１０ｍ，则每立方米按１２元收费：超过ｌ．．０若０ｍ，则超过部分每立方米按．２元收费．果某户居民上月所交水费的平均水价为每立方米１６元．如．那
、
三… ％１０
…
一
：
垦堡兰乏
一 … 一…… … ，
点拨：题属于销售类型的问题．这类题的思考方法是熟悉各基本解本量间的关系．懂题意．出所需的表达式．渎列
拓展练习１：种商品的价格是按获利２％计算出来的，因库存某５后积和急需收回资金．定降价出售．果保证每件商品仍能获得１％决如０
件的最低销售价是多少元・
蕊
根据题意，没每件商品销售价为元，总销售额可则

活用直线系方程速解直线问题

活用直线系方程速解直线问题作者：徐宇清来源：《新高考·高一数学》2012年第07期学习始于问题.我们先看两个问题:问题1 已知直线l 1的方程为 x－ 2y+ 2=0，直线l 2的方程为2x－y－2=0．求过直线l 1和直线l 2交点P及原点的直线l的方程．通常的解法是先求出直线l 1和l 2的交点P的坐标，再利用原点坐标即可求出直线l的方程．下面让我们再来看另一种“神奇”的解法．将直线l 1的方程加上直线l 2的方程，即(x－2y+2)+(2x－y－2)=0 ①，化简得x－y=0 ②．观察上述过程中的方程①可知新方程是一个二元一次方程，故方程①表示的图形为直线．如果将点P的坐标代入方程①必定满足，从而方程①表示的直线必定过直线l 1和l 2的交点P．再观察方程②，发现常数项正好抵消，方程不含常数项，说明直线必定过原点．通过上面分析，我们能确定所求直线l的方程必是 x－y=0．也许大家会觉得这是巧合，具有偶然性．但偶然之中必定蕴涵必然．如果将题目中的直线l 2的方程改为2x－y－1=0．即题目变为问题2 已知直线l 1的方程为 x－ 2y+ 2=0，直线l 2的方程为2x－y－1=0．求过直线l 1和直线l 2交点P及原点的直线l的方程．相信不少同学能类比上面的解题思路，得到如下解题过程：将直线l 1的方程加上两倍直线l 2的方程，即 (x－2y+2)+2(2x－y－1)=0，化简得5x－4y=0．此方程所表示的直线必定过直线l 1和l 2的交点P及原点，故所求直线l的方程为 5x－4y=0．相信大家看完问题2后，必定对我们所说的偶然之中蕴涵的必然产生了兴趣，就让我们一起展开思考，逐步解开其中的谜团，找出偶然中的必然．从上述两个问题中，我们以问题1为例，可以提炼出新方程的共同形式： (x－2y+2)+λ(2x－y－2)=0，（其中λ∈R，λ为参数）．下面我们研究这个二元一次方程表示的直线有何特征．（1）给定λ的一个值，方程表示一条确定的直线，λ不同，方程表示不同的直线；（2）若设直线l 1和l 2的交点P的坐标为(x 0, y 0)，将P(x 0, y 0)代入方程有 (x 0－ 2y 0+2)+λ(2x 0－y 0－2)=0，这说明直线经过l 1和l 2的交点P；（3）方程(x－ 2y+ 2)+λ(2x－y－2)=0整理可得(2λ+1)x－(λ+2)y+(2－2λ)=0．当 λ= －2时，该方程表示过交点P，且倾斜角为90 ° 的直线；当λ≠－2时，该方程表示的直线的斜率 k= 2λ+1λ+2=2(λ+2)－3λ+2=2－3λ+2，可得k∈(－∞, 2)∪(2, +∞)，即方程不能表示过交点P且斜率为2的直线，也就是直线l 2：2x－y－2=0．综上分析可知方程(x－ 2y+ 2)+λ(2x－y－2)=0 （λ∈R，λ为参数）表示除了l 2以外的过交点P的所有直线．我们称这个方程为过直线l 1和l 2的交点P的直线系方程．一般地，两条直线 l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0 相交，则方程（λ∈R，λ为参数）表示除了l 2以(A 1x+B 1y+C 1)＋λ(A 2x+B 2y+ C 2)= 0外的经过两直线交点的所有直线．称这个方程为过直线l 1和l 2交点的直线系方程．在遇到求经过两直线交点的未知直线方程时，可先设出直线系方程，再利用剩下的另一个条件待定出方程里的参数λ，从而得到所求直线方程．这样就能免去解方程组的痛苦，减少解题过程的运算量．下面让我们通过具体的例题来加深理解直线系方程的应用．例1求过直线 l 1：x+2y+1=0与直线l 2：2x－y+1=0 的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．解设所求直线方程为： x+2y+1+λ(2x－y+1)=0 （λ∈R，λ为参数），当直线过原点时，代入O(0, 0)，有 1+ λ= 0，得 λ= －1，此时所求直线方程为：x－ 3y= 0；当所求直线不过原点时，由 2λ+1λ－2=－1，得λ=13，此时所求直线方程为：5x+5y+4=0. 综上所述，所求直线方程为： x－3y=0或5x+5y+4=0.变题1已知直线l 1的方程为 x－2y+2=0，直线l 2的方程为2x－y－2=0．求过直线l 1和直线l 2交点及N(4， 5)的直线l的方程．解设所求直线方程为 (x－2y+ 2)+ λ(2x－y－2)=0，将N(4， 5)代入方程可得λ=4．整理得直线l的方程为3x－2y－2=0．变题2已知直线l 1的方程为 x－2y+2=0，直线l 2的方程为2x－y－2=0．求过直线l 1和直线l 2交点且斜率为75的直线l的方程．解设所求直线方程为 (x－2y+2)+λ(2x－y－2)=0，由2λ+1λ+2=75，可得λ=3．整理得直线l的方程为 7x－5y－4=0．通过上述3题，可以总结如下：在求解直线方程时，若题中含有“过已知两直线交点”这个条件，则可以通过设出过两直线交点的直线系方程把此条件先用掉．这实际上是数学中的一种“设而不求”的思想．由于过程中并未真正求出交点坐标，从而减少了计算量，简化了解题过程．在遇到求经过两直线交点的未知直线方程时，可设出过两直线交点的直线系方程，只要解出一个参数即可得直线方程．反之，若给出的直线方程中含有一个参数，如何去理解这条直线呢？例如直线l的方程为 (λ+3)x－2(λ－1)y+3λ－7=0 （λ∈R，λ为参数）．大家知道确定直线方程需由两个已知条件求出确定直线方程的两个参数．通过观察，上面方程中含有一个参数，这说明确定直线的两个条件中尚有一个不确定，但同时也说明有一个条件已经确定．通过把方程整理成 3x+2y－7－λ(x－2y+3)=0 （λ∈R，λ为参数）可以发现，当3x+2y－7=0， x －2y+3=0 时，即当x=1， y=2时，无论λ取何值方程总有解x=1， y=2，也即直线l恒过定点P(1, 2)．上述过程实际上是将毫无规律的直线系方程按参数λ整理成过两直线交点的直线系方程，化复杂为简单，找出直线方程中隐藏的定点条件．下面我们通过例题来巩固这种理解直线系方程的方法．例2已知直线 l：mx+y－m－1=0 (m是参数，m∈R)．求证：直线l过定点，并求出该定点坐标．分析通常可采用取特殊值法．取 m=0，可得y=1，再取m=1，可得x+y－2=0，由y=1 x+y－2=0解得x=1 y=1，将(1， 1)代入方程mx+y－m－1=0检验，满足条件，从而可得直线l过定点(1， 1)．采用这种方法证明最后的代入检验不能少，如果我们采用上面将直线方程整理成过两直线交点的直线系方程的方法，则可避免最后的代入检验，过程如下．证明直线方程可化为: (x－1)m+y－ 1= 0，因为m∈R，由x－1=0， y－1=0解得x=1，y=1，即直线l过定点(1， 1)．变题已知 3a+2b=1，求证：直线 ax+ by+2(x－y)－1=0 恒过定点，并求出该定点坐标．略解将 b=12(1－3a)代入方程ax+by+2(x－y)－1=0整理可得直线过定点1, 23．通过上述两题，想必大家对如何去理解直线系方程有了深刻的认识．在此基础上，我们进一步研究，看看这种理解直线系方程的方法在实际解决直线问题中的应用．例3若直线 y=kx+2k+1与直线 y= －x+4 交点在第四象限，则实数k的取值范围为．分析本题若按常规方法，应先联立两直线方程，解出交点的横、纵坐标，再根据交点在第四象限，通过解分式不等式组得到k的取值范围．这种解法过程复杂，运算量大，极易算错．若能利用直线系方程的知识看出直线 y=kx+2k+1 过定点，运用数形结合，则可大大简化解题过程．解直线方程 y=kx+2k+1整理可得y=k(x+2)+1，恒过定点P(－2， 1)，斜率为k．观察图1，其中k PA =0－14－(－2)=－16， k PB =－1．由图1可知，当直线介于PA和PB之间时，与直线 y=－x+4的交点在第四象限，此时直线的斜率k应满足k∈－1， -16．变题若直线 ax+(1－2a)y+1－ a= 0不通过第一象限，则实数a的取值范围是．略解直线方程 ax+(1－2a)y+1－ a= 0过定点P(－1， -1)．结合图象可知a2a－1≤0或2a－1=0，解得0≤a≤12．例4求证：无论λ为何值，直线 l：(2+λ)x－(1+λ)y－2(3+2λ)=0 与点Q(－2, 2)的距离d都小于42．分析常规方法运用点到直线距离公式，距离d可整理成关于λ的函数，但由于函数表达式非常复杂，很难求出d的范围．若能利用直线系方程得出直线所过的定点，结合图形，则能使此题巧妙获解．解直线方程(2+λ)x－(1+λ)y－2(3+2λ)=0可整理为 (2x－y－6)+λ(x－y－4)=0，由 2x－y－6=0， x－y－4=0得x=2， y=－2.即直线l过定点P(2， -2)．由图2可知点Q到直线的最大距离为 P Q=42，即d≤42．此时的直线l过点P且垂直于PQ，其方程为x－y－4=0．由直线系的知识知：方程(2x－y－6)+λ(x－y－4)=0无论λ取何值都不能表示直线x－y－4=0，故d通过上述三题大家一定对直线系方程的认识更加深入，对于它在解决直线问题中的应用有了自己的领悟．下面我们再给出一个题目，希望大家在看解答之前能挑战自己，运用你对直线系知识的了解独立解决．例5已知直线 l 1：ax－2y－2a+4=0， l 2：2x+a 2y－2a 2－4=0，其中0分析此题表面上看很难下手，不知道如何去作l 1， l 2两条直线，从而无法选择计算四边形面积的方法．如果大家仔细观察题中给出的两直线方程，能发现l 1， l 2都是过同一定点的直线，再结合图形，一个看似毫无头绪的问题立刻柳暗花明，迎刃而解．解直线 l 1：ax－2y－2a+4=0方程可整理为a(x－2)+(4－2y)=0，从而l 1过定点P(2, 2)，且其斜率k 1=a2∈(0， 1)；同理l 2也过定点P(2, 2)且其斜率k 2=－2a 2∈－∞， -12．结合斜率的范围作出两直线图象（图3），图3可得l 1与y轴正半轴相交于A(0, 2－a)， l 2与x轴正半轴相交于B(a 2+2, 0)， l 1，l 2与两坐标轴围成的四边形为OBPA．连OP，△AOP +S △B OP则有 S OBP Q =S=12O A•x p+12OB•y p=a 2－a+4=a－12 2+154(a∈(0, 2)).当且仅当 a=12 时，四边形OBPA面积最小，最小值为154．。

例说活用方程根定义优化解题

＋
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麟致掌大世界．。。。
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…
竟三煎墨鱼烈学…堡壹虽
对于某些有关一元二次方程的问题，能灵活地若运用方程根的定义，可获得比较简捷的解法．则例１已知 Ⅱ ｂ是方程＋（一）＋１＝０的两、ｍ２根，（＋ｍ求１ａ＋ｃ）１＋＋ｂ）值．ｔ（ｍ６的解：‘ 、是方程＋（一２＋１＝ ‘０ｂ．ｍ）０的两根，由方程根的定义可得ｒ上＋（一）ｍ２ｏ＋１０６＝，。＋（２ｂ＋１０，，ｎ一）＝
他关系．正解因为。ｂ根据两直线平行， ∥ ，内错角相等，可
得１＿；因为１＝０，以／２＝０．＝Ｚ２又５。所＿５。
图２
错解分析
本题错解主要是
霉
。。一。一。一 ≥Ｑ一二
．
．
＋
＝
￣（）（）￣ｎ６２／＋＝／＋＋
＝
４（ｉ６ａａ＋ｍ）＋ｂ４（一）ｎ＝ａＣ＋ｂ—：万＝厄３＝
４ｎｃ
（上接２２页）
混淆了平行线的判定和性质，运用时要注意，定是在判不知道两直线平行，据某些条件来判定两条直线平根

活学活用的例子

活学活用的例子活学活用是一种教育理念，这种理念强调，学习者应该不仅要能熟练运用知识，而且要能灵活运用知识。

它要求学生将知识从书本中转化为实际技能，从而能够在解决实际问题、分析实际问题上获得更好的成果。

本文将以具体例子阐述“活学活用”所指的知识运用技巧。

首先，让我们来看看活学活用可以如何运用于做题解决实际问题的场景。

假设，一位学生要解决数学问题a+b = c，其中a, b, c 均为未知数。

如果他只是按照原来的方法，也就是把a, b的值带入方程，然后求解得出c的值，则这样解题是比较耗时费力的。

但如果他采用活学活用思想，他就会发现，如果他把问题变形，也就是把同等的另一个问题a-b=c转换为a+b=c，那么他就可以省去解题繁琐的部分，直接从a-b=c中求出c的值，然后将其带入到原来的方程中，即可求出a+b=c的值。

再比如，一位学生要解决一种古老的函数问题，这种函数的表达式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c均为未知数。

如果他只用正常的函数求解方法，那么他可能要花很多时间才能求解出正确的结果。

但如果他采用活学活用思想，他可以把这个问题转换为x^2 + mx + n的形式，其中m和n均为未知数，而将a、b、c改为常数。

此时，我们就可以用比较简单的函数求解方法来求解m和n 的值，然后将它们代入到原方程中，即可得到a、b、c的值。

此外，活学活用也可以用于其他方面的学习。

比如，学习者学习英语时，可以利用活学活用的思想，将英语单词和句子变形，从而熟悉更多的词汇和句型。

也可以将一本英文小说中的某一个句子，换种语序或者表达方式，来加深理解。

另外，学习者还可以采取“联想法”，利用英语单词的谐音或者意思，记忆英语单词，从而更加灵活地运用英语。

以上就是活学活用可以如何用于解决实际问题和学习情境的几个例子。

可以看出，活学活用的思想是非常重要的，它不仅可以让学习者的知识更加全面，而且可以节省学习者解决问题的大量时间。

简单而实用的解方程技巧

简单而实用的解方程技巧解方程是数学中的一项重要内容，也是学习数学的基础。

在解方程的过程中，有许多简单而实用的技巧可以帮助我们更快地找到答案。

本文将介绍一些常见的解方程技巧，希望对大家有所帮助。

一、移项法移项法是解一元一次方程的常用技巧。

当方程中含有未知数的项和常数项时，我们可以通过移动这些项的位置来简化方程的形式，从而更容易求解。

例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以通过将3移动到等号右边，得到2x = 7 - 3，进而得到2x = 4。

这样，我们就将方程简化为了一个更容易求解的形式。

二、消元法消元法是解一元二次方程的常用技巧。

当方程中含有两个未知数的项时，我们可以通过消去其中一个未知数的项，从而将方程转化为一元一次方程，进而求解。

例如，对于方程2x + 3y = 10和3x - 2y = 4，我们可以通过消去y的项，得到2(3x - 2y) + 3y = 10，进而得到6x - 4y + 3y = 10，化简为6x - y = 10。

这样，我们就将方程转化为了一元一次方程，进而可以继续求解。

三、配方法配方法是解二次方程的常用技巧。

当方程中含有二次项时，我们可以通过配方的方式将方程转化为一个完全平方的形式，从而更容易求解。

例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + 2)(x + 3) = 0。

这样，我们就将方程转化为了两个一次方程的乘积等于零的形式，进而可以得到x + 2 = 0或者x + 3 = 0，从而求得方程的解。

四、因式分解法因式分解法是解高次方程的常用技巧。

当方程中含有高次项时，我们可以通过因式分解的方式将方程转化为多个一次方程的乘积等于零的形式，从而求解方程。

例如，对于方程x^3 - 8 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0。

这样，我们就将方程转化为了两个一次方程和一个二次方程的乘积等于零的形式，进而可以得到x - 2 = 0或者x^2 + 2x + 4 = 0，从而求得方程的解。

解方程的简易方法

解方程的简易方法方程是数学中常见的问题，解方程是数学学习的重要内容之一。

在解方程的过程中，我们常常需要运用一些方法和技巧来简化问题，提高解题效率。

本文将介绍一些解方程的简易方法，帮助读者更好地理解和掌握解方程的技巧。

一、一元一次方程的解法一元一次方程是最简单的方程形式，一般可以表示为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。

解一元一次方程的常用方法有两种：平移法和消元法。

平移法是一种将已知数和未知数分别移到方程的两侧，使方程变为等价方程的方法。

例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以通过平移法将3移到方程的右侧，得到2x = 7 - 3，进而得到x = 2。

消元法是一种通过消去方程中的某个变量，使方程变为只含有一个未知数的方程的方法。

例如，对于方程3x + 2y = 8和2x - y = 4，我们可以通过消元法将y消去，得到3x + 2(2x - 4) = 8，进而得到x = 2，再将x的值代入其中一个方程，计算出y的值。

二、一元二次方程的解法一元二次方程是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，x 为未知数。

解一元二次方程的常用方法有因式分解法和求根公式法。

因式分解法是一种通过将方程进行因式分解，找到方程的根的方法。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，进而得到x = 2或x = 3。

求根公式法是一种通过求解一元二次方程的根的公式来解方程的方法。

一元二次方程的根可以通过公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a来求得。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以通过求根公式得到x = (5 ± √(25 - 24)) / 2 = 2或x = 3。

三、一元高次方程的解法一元高次方程是一种形如ax^n + bx^(n-1) + ... + cx + d = 0的方程，其中a、b、c、d为已知数，x为未知数，n为大于1的整数。

巧用二次曲线系方程，妙解解析几何题

知识导航已知f1(x，y)=0和f2(x，y)=0为经过不共线的四点的两条二次曲线，则f1(x，y)+λf2(x，y)=0(λ为参数）表示的是经过这四点的所有二次曲线，这个方程称为过这四点的二次曲线系方程.在解答解析几何问题时，灵活运用二次曲线系方程来表示含有公共交点的二次曲线，可以快速解答四点共圆问题、定值问题、定点问题.例1.如图1，已知F为椭圆C:x2+y22=1在y轴正半轴的焦点，过点F且斜率为-2的直线与C交于A，B两点，点P满足 OP+ OA+ OB=0 ．(1)证明：点P在椭圆C上；(2)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A,B,P,Q在同一个圆上．解：（1）略；(2)由(1)知直线PQ的方程为2x-y=0，直线AB的方程为2x+y-1=0，设过A，B，P，Q四点的曲线系为2x2+y2-2+λ(2x-y)(2x+y-1)=0，整理得：(2+2λ)x2+(1-λ)y2-2λx+λy-2=0，当2+2λ=1-λ，即λ=-13时，它表示圆，也即过A，B，P，Q四点的圆，所以A，B，P，Q在同一个圆上．我们知道二次曲线(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0可以表示两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，则(2x-y)(2x+y-1)=0可表示AB、PQ两条直线.由题意可知，若A，B，P，Q在同一个圆上，则x2+y22=1、(2x-y)(2x+y-1)=0为已知的两条二次曲线，由此可建立曲线系方程.由于圆的x2与y2的系数相同，所以2+2λ=1-λ，求出λ的值，即可证明结论成立.例2.如图2，椭圆上的两顶点为A(-1,0)，B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，且与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.当点P异于A，B两点时，求证：OP∙OQ为定值．解：设直线CD的方程为kx-y+1=0，则P(-1k，0)，设直线AC的方程为y-k1(x+1)=0①，直线BDy-k2(x-1)=0②，联立①②，解方程组得Q(k1+k2k2-k1，2k1k2k2-k1)，则OP∙OQ=k1+k2k(k1-k2)，设过A，B，C，D四点的二次曲线系方程为[y-k1(x+1)]∙[y-k2(x-1)]+λy(kx-y+1)=0③，当-k1-k2+λk=0，-k1+k2+λ=0时，③表示的是椭圆x2+y22=1，解得k1+k2k=k1-k2，所以OP∙OQ=k1+k2k(k1-k2)=1为定值．由题知，A、B、C、D四点均在椭圆上，于是可以将直线AC与BD、AB与CD的方程相乘，构成两个二次曲线方程，然后引入参数，设出二次曲线系方程，再将其系数与椭圆方程对比，建立方程组，即可证明OP∙OQ为定值.例3.如图3，已知椭圆x24+y23=1的左右顶点分别是A，B，点P，Q是椭圆上的点，且满足k AP=2k BQ，求证：直线PQ过定点．解：已知点A(-2,0),B(2,0),可设直线PA 的方程l1:y-2t(x+2)=0,直线BQ 的方程l2:y-t(x-2)=0，则y轴l3：y=0，直线PQ的方程l4：y-(kx+m)=0设过A，P，B，Q四点的曲线系方程为[y-2t(x+2)]∙[y-t(x-2)]+λy[y-(kx+m)]=0（*），将其对比椭圆的系数知，当-t-2t-λk=0，2t-4t+λm=0时，（*）表示的是椭圆x24+y23=1，而{3t=-λk,2t=-λm,解得m=23k，所以直线PQ过定点(-23,0)．这里为了证明直线PQ过定点，首先设出直线PA、PQ的方程，然后求得y轴与直线QB的方程，通过引入参数，构建出二次曲线系方程，再对比椭圆的系数，求得参数的值，就能找出定点，证明结论.虽然运用二次曲线系方程解答解析几何问题的思路较为奇特，但是运用该方法解题可以避开解析几何中的繁琐运算，比用常规方法解题要简便很多.（作者单位：江西省南昌市铁路第一中学）图1图2图3yx。

简单的数学方程式解答

简单的数学方程式解答数学方程式在我们的日常生活中起着重要的作用，它们用于解决各种问题，并在科学、工程、经济等领域发挥着关键作用。

通过解答数学方程式，我们可以找到未知的变量值，从而使问题得以解决。

在本文中，我们将重点讨论一些简单的数学方程式及其解答方法。

第一类方程式：线性方程式线性方程式是最简单的方程式之一，形式为ax + b = 0，其中a和b是已知常数，x是未知数。

要解答线性方程式，我们可以使用以下步骤：步骤一：将方程式转化为标准形式，即将常数项移到等号的另一侧，得到ax = -b。

步骤二：将方程式两边都除以a，得到x = -b/a，这就是线性方程式的解。

举例来说，考虑方程式2x + 3 = 0，我们可以按照上述步骤进行解答。

首先将常数项移动，变为2x = -3，然后除以2，得到x = -3/2。

因此，方程式2x + 3 = 0的解为x = -3/2。

第二类方程式：二次方程式二次方程式是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的方程式，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。

要解答二次方程式，我们可以使用以下步骤：步骤一：使用求根公式，即x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

步骤二：计算方程式右侧的值，并求出平方根。

举例来说，考虑方程式x^2 + 3x - 4 = 0，我们可以按照上述步骤进行解答。

首先计算b^2 - 4ac，即3^2 - 4(1)(-4)，得到25。

然后，我们可以求出平方根，得到5。

将这些值代入求根公式中，我们可以计算出x的值。

因此，方程式x^2 + 3x - 4 = 0的解为x = (-3 ± 5)/(2*1)，即x = 1或x = -4。

第三类方程式：一次方程组一次方程组是由多个线性方程式组成的方程组，形式为：a1x + b1y + c1 = 0a2x + b2y + c2 = 0要解答一次方程组，我们可以使用以下步骤：步骤一：通过消元法或代入法，将方程组化简为含有一个未知数的方程式。

大学数学解方程10种方法,解方程其实很简单(经典集锦)

大学数学解方程10种方法,解方程其实很简单(经典集锦)解方程是大学数学中常见的问题之一，本文介绍了解方程的十种方法，帮助读者掌握解方程的技巧，从而简化解题过程。

1. 代入法代入法是解方程最基本的方法之一。

通过将已知的数字代入方程中，求解未知数的值。

2. 消元法消元法是解方程的常用方法之一。

通过逐步消去方程中的未知数，求解出唯一的解。

3. 相等法相等法是解方程的简单方法之一。

通过将等式两边的式子进行相等关系的变形，得到解的方法。

4. 分式法分式法是解方程时经常使用的方法。

将方程中的未知数表示为分数形式，进而求解出未知数的值。

5. 变量代换法变量代换法是解复杂方程的常用方法之一。

通过引入新的未知数，将原方程转化为形式更简单的方程，从而求解出未知数的值。

6. 因式分解法因式分解法是解多项式方程的常用方法之一。

通过将多项式进行因式分解，找到方程的根。

7. 开平方法开平方法是解方程中出现平方根的常用方法之一。

通过开平方运算，求解方程。

8. 最大公因数法最大公因数法是解含有最大公因数的方程的有效方法。

通过求解方程中各项的最大公因数，得到解的方法。

9. 倒代入法倒代入法是解方程组的常见方法之一。

通过将已解得的某个未知数代入另一个方程中，求解另一个未知数的值。

10. 矩阵法矩阵法是解线性方程组的有效方法之一。

通过将方程组的系数矩阵进行运算，求解出未知数的值。

解方程其实并不复杂，只需要掌握合适的方法和技巧，便能轻松解决问题。

希望本文介绍的十种方法能对读者在解方程中提供一些帮助。

简单的代数方程式求解

简单的代数方程式求解代数方程式是数学中常见的问题之一，它涉及到未知数和已知数之间的关系。

在解代数方程时，我们需要运用各种方法和技巧，以求得方程中未知数的值。

本文将介绍一些简单的代数方程式解法，以帮助读者更好地理解和应用代数方程式。

一、一元一次方程的解法1. 变换形式法：当方程形式为ax+b=c时，我们可以通过变换形式将方程化简为x=d 的形式，其中d=c-b/a。

这样一来，我们就求得了方程的解。

2. 消元法：当方程形式为ax+b=c时，我们可以通过等式两边同时减去b，得到ax=c-b。

接下来，可以将等式两边同时除以a，求得x的值。

二、一元二次方程的解法1. 公式法：对于形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程，我们可以根据求根公式来求解。

根据求根公式，方程的解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

我们可以根据这个公式计算出方程的解。

2. 因式分解法：有时候，一元二次方程可以通过因式分解的方法来求解。

我们可以将方程进行因式分解，然后令每个因式等于零，求得方程的解。

三、线性方程组的解法1. 代入法：对于形如a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的线性方程组，我们可以通过代入法来求解。

具体步骤如下：首先，将其中一个方程化简为x的表达式，然后将该表达式代入到另一个方程中，求解得到y的值，再将y的值代入到第一个方程中，求解得到x的值。

2. 消元法：对于形如a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的线性方程组，我们可以通过消元法来求解。

具体步骤如下：首先，通过适当的倍乘方程，使得两个方程中的系数相等，然后将两个方程相减，消去一个未知数，求解得到另一个未知数的值，再将该值代入到任一个方程中，求解得到另一个未知数的值。

综上所述，代数方程式求解涵盖了一元一次方程、一元二次方程以及线性方程组的解法。

通过不同的方法和技巧，我们能够找到方程中未知数的值，从而解决实际问题。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的解法，并运用数学知识和思维方式来解决代数方程式问题。

备战高考数学复习知识点讲解课件62---活用直线系方程

2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
类型二平行直线系方程已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1与x轴、y轴围成面积为8
的三角形，求直线l1的方程．【解】设直线 l1 的方程为 x－3y＋c＝0(c≠6)，则令 y＝0，得 x＝－c；令 x＝0，得 y＝3c，依照题意有12×|－c|×3c＝8，解得 c＝±4 3.所以 l1 的方程是 x－3y±4 3＝0.
类型三垂直直线系方程求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
【解】因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－ 2y＋c＝0，又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.
直线系方程的常见类型 (1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)； (2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； (3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； (4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．
已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程．【解】方法一：设存在直线 l：xa＋by＝1，则 a＋b＝1 和－ba＝34组成的方程组2＝0.
方法二：根据平行直线系方程可设直线 l 为 3x－4y＋c＝0(c≠7)，则直线 l 在两坐标轴上截距分别对应的是－3c，4c，由－3c＋4c＝1，知 c＝－12.故直线 l 的方程为 3x－4y－12＝0.

小学数学解方程10种方法,解方程其实很简单(经典集锦)

小学解方程10种方法汇总一、未知数加减乘除1.形如x+a=b或x-a=b的方程。

(遇加同减，遇减同加)例1 x+7=19 遇加同减解：x+7-7=19-7 两边同时减去7X=12例2 x－6=19 遇减同加解：x-6+6=19+6 两边同时加上6x=252.利用等式解形如ax=b或x÷a=b(a不等于0)的方程。

（遇乘同除，遇除同乘）例1 7x=63 遇乘同除解：7x÷7=63÷7两边同时除以7x=9例2 x ÷7=9 遇除同乘解：x÷7×7=9×7两边同时乘以7x=633.利用等式解形如ax+b=c、ax-b=c或x÷a+b=c、x÷a-b=c(a不等于0)的方程。

（混合运算，先加减再乘除：能计算的要先计算）例1 2x+5=29 有乘法和加法，先算加法，遇加同减解：2x+5-5=29-5 两边同时减去52x=24 遇乘同除2x÷2=24÷2两边同时除以2x=12例2 5x-6=24 有乘法和减法，先算减法，遇减同加解： 5x-6+6=24+6 两边同时加上65x=30 遇乘同除5x÷5=30÷5两边同时除以5x=6例3 x÷7+3=10 有除法和加法，先算加法，遇加同减解：x÷7+3-3=10-3 两边同时减去3x÷7=7 遇除同乘x÷7×7=7×7两边同时乘以7x=49例4 x÷10-6=9 有除法和减法，先算减法，遇减同加x÷10-6+6=9+6 两边同时加上6x÷10=15遇除同乘x÷10×10=15×10两边同时乘以10x=150二、未知数被加上或被减去；4.未知数被加上a+x=b，a+bx=c（解法同上）5.形如b-x=c、b-ax=c的方程。

初中数学解方程10种方法,解方程其实很简单(经典集锦)

初中数学解方程10种方法,解方程其实很简单(经典集锦)初中数学中，解方程是一个常见的问题。

虽然解方程可能看起来复杂，但实际上，有许多简单易懂的方法可以解决。

本文将介绍10种常用的解方程方法，帮助初中学生更好地掌握解方程的技巧。

1. 去括号法当方程中有括号时，应先通过分配律将括号内的值与括号外的值相乘，再进行求解。

2. 合并同类项法当方程中有相同的变量项时，可以将它们合并为一个项，从而简化方程。

3. 移项法当方程中的未知数出现在等式两侧时，可以通过移项将其集中到一侧，使得方程更易求解。

4. 消元法当方程含有两个变量时，可以通过消去其中一个变量，从而将方程转化为只含一个变量的形式，进而求解。

5. 代入法当方程中含有一个变量的值时，可以将这个值代入方程中，将方程转化为只含一个变量的形式，然后求解。

6. 图像法对于一些简单的方程，可以通过绘制它们的图像来找到解的位置，并推测解的值。

7. 平方根法对于含有平方项的方程，可以通过开方运算从而求解方程。

8. 因式分解法当方程可以进行因式分解时，可以通过将方程因式分解为两个或多个因子的乘积的形式，从而得到解的值。

9. 完全平方式对于完全平方式的方程，可以通过将其变形为一个完全平方的形式，从而求解方程。

10. 倒代换法对于一些复杂的方程，可以通过引入一个新的变量，从而简化方程，然后求解。

以上是初中数学解方程的10种常用方法，它们可以帮助初中学生更好地掌握解方程的技巧。

解方程并不是一个复杂的问题，只要掌握了这些方法，就能轻松应对各种解方程题目。

希望本文对初中学生们有所帮助！。

初三数学下册综合算式专项练习题方程运算解题技巧

初三数学下册综合算式专项练习题方程运算解题技巧方程运算是初三数学中一个重要的部分，也是综合算式专项练习中的一个考点。

在解题过程中，需要掌握一些技巧和方法，以便更加高效地解决问题。

本文将介绍一些解题技巧，帮助同学们在综合算式专项练习中更加灵活地运用方程运算。

一、一次方程的解法一次方程是最基础的方程形式，可以通过消元、代入等方法来求解。

在解题过程中，可以采用以下步骤：1. 整理方程：将方程化为标准形式，将未知数系数为1的情况进行整理。

2. 消元求解：根据题目给定的条件和方程的性质，采用加减消元、乘除消元等方法来逐步简化方程，最终求得未知数的值。

3. 检验答案：将求得的未知数代入原方程中进行验证，确保解是正确的。

二、二次方程的解法二次方程是一次方程的升级版，解题过程相对复杂一些。

常用的解法有以下几种：1. 因式分解法：将二次方程进行因式分解，得到两个因式相等的等式，然后分别令每个因式为0，解得未知数的值。

2. 完全平方公式法：根据二次方程的标准形式，利用完全平方公式求解未知数的值。

3. 配方法：通过将二次方程转化为完全平方形式，再进行配方法，化简成一次方程或者因式分解形式。

4. 求根公式法：利用二次根式的求根公式求解二次方程的根。

三、联立方程的解法联立方程是含有两个或多个未知数的方程组，解题过程需要求解多个方程，找到未知数的值。

常用的解法有以下几种：1. 消元法：通过加减、乘除等运算，消去一个或多个未知数，得到涉及一个未知数的一次方程，然后利用一次方程的解法来求解。

2. 代入法：将一个方程的已知值代入另一个方程中，从而将未知数的个数减少，最终得到未知数的值。

3. 相加相减法：将两个方程加减得到一个新的方程，消去一个未知数，然后代入另一个方程中求解。

4. 公式法：通过将联立方程组转化为二次方程的形式，然后利用求根公式或其他方法求解未知数。

综合运用这些解题技巧，同学们在初三数学下册综合算式专项练习中可以更加灵活地应用方程运算，解决各种与方程相关的问题。