77lei3方向导数与梯度

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方向导数和梯度

方向导数和梯度
本节的研究目的
研究标量场的变化率。最大变化率？
本节的研究内容
一、方向导数二、梯度
一、方向导数
1. 方向导数的定义
l
P
P0
l
u lim u lim u(P) u(P0 )
l l PP0 P0
P P0
l
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
一、方向导数
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
u u cos u cos u cos
l x
y
z
函数 u(P) 从给定点出发有无穷多个变化方向，其中哪个方向的变化率最大？
最大变化率是多少？
一、方向导数
u u cos u cos u cos
l x
y
z
令：
g
u x
ex
u y
ey
u z
ez
el
ex
cos
ey
cos
ez
cos
u l
g
el
g el cos(g, el ) g cos(g, el )
cos(g, el ) 1
u g 方向导数取得最大值
l
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
1. 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐导数；
3. 梯度的方向为该点方向导数最大的方向；
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
4. 梯度描述标量场中任一点函数值在该点附近增减性质的量，沿着梯度的方向，函数值增加或减小得最快；

线代方向导数与梯度

y + ∆y) − f ( x, y) ∂f = lim . ρ ∂l ρ→0
依定义，依定义，函数 f ( x, y)在点P沿着x轴正向e1 = {1, 0}、
y轴正向 e2 = {0, 1} 的方向导数分别为 f x , f y ；
轴负向、沿着x轴负向、y轴负向的方向数 − f x , − f y. 导是
θ 其中 = ( grad f ( x, y), e )
∂f 有最大值. 当 cos(grad f ( x, y), e ) = 1 时，有最大值. ∂l
结论
函数在某点的梯度是这样一个向量，函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．模为方向导数的最大值．梯度的模为
上的单位向量，设e = cosϕi + sinϕ j 是方向 l 上的单位向量，
由方向导数公式知
∂f ∂f ∂f ∂f ∂f cosϕ + sinϕ = { , }⋅ {cosϕ,sinϕ} = ∂l ∂x ∂y ∂x ∂y
= grad f ( x, y) ⋅ e = | grad f ( x, y) | cosθ ,
解
这里方向l 即为PQ = {1, − 1},
故x轴到方向l 的转角ϕ = − π . 4
z = 1; 由 ∂ = e2y (1,0) ∂x (1,0)
∂z 2xe2 y = 2, = (1,0) ∂y (1,0)
y
o
P
ϕ x
Q
方向导数 ∂z = 1⋅ cos(− π ) + 2⋅ sin(− π ) = − 2 . ∂l 4 4 2
定义设函数z = f ( x, y)在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P( x, y) ∈ D，都连续偏导数， ∂f ∂f j，向称函可定出一个向量 i + 这量为 ∂x ∂y 梯度，数z = f ( x, y)在点P( x, y)的梯度，记为

方向导数与梯度的关系与计算公式

方向导数与梯度的关系与计算公式方向导数（Directional Derivative）是多元函数在某个给定点上沿指定方向的变化率。

它在物理学、工程学和优化问题中具有重要的应用。

在求解方向导数时，我们常常会遇到梯度（Gradient）的概念。

本文将介绍方向导数与梯度之间的关系，并探讨它们的计算公式。

一、方向导数的定义在多元函数中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个单位向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数Duf(x₀, y₀, z₀)表示函数f(x, y, z)在P点上沿u方向的变化率。

方向导数用符号∇f(x₀, y₀, z₀)·u表示。

二、梯度的定义梯度是一个向量，它在多元函数的每个点上都有定义。

对于二元函数f(x, y)，梯度∇f(x, y)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。

梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y) = (fx, fy)，其中fx和fy分别表示f对x和y的偏导数。

对于三元函数f(x, y, z)，梯度∇f(x, y, z)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。

梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y, z) = (fx, fy, fz)，其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。

三、方向导数与梯度的关系在函数f(x, y, z)的某一点P(x₀, y₀, z₀)处，方向导数和梯度的关系可以表示为：Duf(x₀, y₀, z₀) = ∇f(x₀, y₀, z₀)·u即，方向导数等于梯度与单位向量u的内积。

四、方向导数的计算公式在笛卡尔坐标系中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个非零向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数可以通过以下公式计算：Duf(x₀, y₀, z₀) = fx(x₀, y₀, z₀)a + fy(x₀, y₀, z₀)b + fz(x₀, y₀, z₀)c其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。

方向导数及梯度参考资料

1.3 标量场的梯度（Gradient of a Scalar Field
标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。 ? 如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
? 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
4/8/2020
26
§1.4 矢量的通量和散度
? 引入哈密顿算符 ? （矢性微分算符）
直角坐标内，
? ?e ? ?e ? ? ? e x ?x y ?y z ?z
则有: div ? ? ?
A
A
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27
§1.4 矢量的通量和散度
b.圆柱坐标
? ?A?
1?
? ??
(?A ? ) ?
1
?A? (
?r ?l
M
?
?r
? e?l
r 的梯度为
grad r
? ? r ? 1 (xe? ? ye? ? ze? )
rx
y
z
点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, r ? x2 ? y2 ? z2 ? 2
所以r在M点处的梯度为
gradr ? ? r ?
1 e?x ? 2
1 2
e?z
4/8/2020
14
而所以
RR
(2) ? ( 1 ) ? ? R ? ? e?R
R
R3
R2
(3) ? f (R) ? ?? ' f (R)
说明：
?? ?e? ?e ??e
?
' ? ?x?
x
e
??y?
y

方向导数与梯度

f l
(x0, y0)
=|gradf(x0, y0)|cos(gradf(x0, y0),^el). , .
函数在一点的梯度是这样一个向量, 函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.
(x0, y0)
= fx(x0, y0)cosα+ f y(x0, y0)cosβ . >>>
函数f(x, 在点沿方向l 在点P 的方向导数: 函数 , y)在点 0沿方向 (el=(cosα, cosβ))的方向导数: 的方向导数
f l
(x0, y0)
= fx(x0, y0)cosα+ f y(x0, y0)cosβ .
第六节方向导数与梯度
一、方向导数二、梯度三、总结
一、方向导数
设函数z= , 在点在点P 的某一邻域U(P0)内有定义, 内有定义, 设函数 =f(x, y)在点 0(x0, y0)的某一邻域的某一邻域内有定义 l是xOy平面上以 0(x0, y0)为始点的一条射线, 与l同方向的单平面上以P 为始点的一条射线, 是平面上以为始点的一条射线同方向的单位向量为el=(cosα, cosβ). 位向量为 . 方向导数
1 n= ( fx(x0, y0), f y(x0, y0)) . 2 2 fx (x0, y0)+ f y (x0, y0)
提示: 等值线f(x, = 是曲面是曲面z= , 被平面所截得的曲线被平面z= 提示: 等值线 , y)=c是曲面 =f(x, y)被平面 =c所截得的曲线
z = f (x, y) z =c

方向导数梯度计算

方向导数梯度计算
方向导数是一个向量在某一特定方向上的变化率，而梯度则是
一个标量函数在给定点上的最大方向导数所构成的向量。

方向导数
可以用梯度来计算，具体计算方法如下：
设函数为f(x, y)，点P(x0, y0)为给定点，方向向量为u=(a, b)，则点P沿方向u的方向导数为Duf(x0, y0) = ∇f(x0, y0)·u = afx(x0, y0) + bfy(x0, y0)，其中∇f(x0, y0)为函数f在点P
的梯度向量，fx为f对x的偏导数，fy为f对y的偏导数。

梯度向量的计算公式为∇f(x, y) = (fx, fy)，其中fx为f对
x的偏导数，fy为f对y的偏导数。

梯度向量的方向即为函数在该
点上的最大增加方向，而梯度的模即为函数在该点上的最大增加率。

从几何意义上来看，方向导数可以理解为函数在某一点上沿着
某一特定方向的斜率，而梯度则可以理解为函数在某一点上的最大
增加率所对应的方向。

总结来说，方向导数和梯度都是描述函数在某一点上的变化率
的概念，而梯度可以用来计算方向导数，是方向导数的一种重要工
具。

在实际应用中，方向导数和梯度在优化问题、物理场问题等方面都有重要的作用。

方向导数与梯度

方向导数与梯度在多变量微积分和优化理论中，方向导数和梯度是两个重要的概念。

它们提供了函数在某一点处关于不同方向的信息，以及函数在该点处的变化率和方向。

理解这两个概念对于解决各种实际问题，如最优控制、机器学习、图像处理等都至关重要。

方向导数是函数在某一点处沿特定方向的变化率。

给定一个函数f(x)在点x0，对于任意的方向v = (h1, h2,..., hn)，方向导数Df(x0)v 是f(x)在x0处沿v方向的变化率。

具体地，Df(x0)v = lim(h->0) [f(x0 + hv) - f(x0)] / h。

方向导数的重要性在于它提供了函数在某一点处对不同方向的敏感度。

例如，如果你在山峰上沿着不同的方向行走，方向导数可以告诉你哪个方向更容易攀登，哪个方向更困难。

梯度是函数在某一点处所有方向导数的向量。

给定一个函数f(x)在点x0，梯度gradf(x0)是一个向量，其方向是f(x)在x0处增加最快的方向，而其大小是f(x)在该方向的导数。

具体地，gradf(x0) = (f'(x01), f'(x02),..., f'(xn))。

梯度是一个非常重要的概念，因为它提供了函数在某一点处的最大变化率方向。

在很多实际问题中，找到这个最大变化率方向往往能够指引我们找到最优解。

例如，如果你在山峰上寻找攀登最快的方式，梯度可以告诉你应该沿着哪个方向前进。

梯度是方向导数的最大值。

换句话说，对于任意给定的方向v，方向导数Df(x0)v都不超过梯度的长度。

这是因为梯度是所有方向导数向量的范数，即||gradf(x0)|| = max{Df(x0)v : ||v|| = 1}。

这个性质表明，梯度不仅提供了函数在某一点处的最大变化率方向，还给出了沿这个方向的导数（即变化率）。

这使得梯度在优化问题中具有特别的重要性，因为它可以用来找到使函数值下降最快的方向。

方向导数和梯度是多变量微积分和优化理论中的重要概念。

方向导数和梯度的关系公式

方向导数和梯度的关系公式方向导数和梯度是微积分中的重要概念，它们在多元函数的研究中起着重要作用。

方向导数描述了函数在某一给定方向上的变化率，而梯度则是方向导数的一种特殊情况。

本文将探讨方向导数和梯度之间的关系，并阐述它们的定义、性质和应用。

让我们来定义方向导数。

对于一个多元函数f(x, y, z)，在某一点P(x0, y0, z0)处，沿着一个与坐标轴夹角为θ的方向v=(cosθ, sinθ)的方向导数表示函数在该方向上的变化率。

方向导数的计算公式为：Dvf(x0, y0, z0) = ∇f(x0, y0, z0)·v其中，∇f(x0, y0, z0)是函数f在点P的梯度。

梯度是一个向量，其分量为函数在各个方向上的偏导数。

梯度的计算公式为：∇f(x0, y0, z0) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)可以看出，梯度是一个向量，方向导数是梯度与方向向量的点积。

因此，方向导数可以通过计算梯度和方向向量的点积来求得。

方向导数具有以下性质：1. 方向导数的值与方向向量的长度无关，只与方向向量的方向有关。

这意味着方向导数可以通过单位向量来表示。

2. 方向导数的最大值和最小值分别是函数在某一点上沿着梯度方向和负梯度方向的方向导数。

当方向向量与梯度方向相同时，方向导数达到最大值；当方向向量与负梯度方向相同时，方向导数达到最小值。

3. 方向导数为0的点是函数的临界点，即梯度为0的点。

梯度是方向导数的一种特殊情况。

当方向向量与梯度方向相同时，方向导数达到最大值，即梯度的模长为方向导数的最大值。

因此，梯度可以看作是方向导数的最大值和方向。

梯度在数学中具有重要的应用。

在优化问题中，梯度可以帮助我们找到函数的最大值或最小值。

当函数的梯度为0时，函数达到极值点。

因此，我们可以通过求解梯度为0的方程组来求解极值问题。

梯度还可以用于描述函数在空间中的变化趋势。

当梯度的模长越大时，函数在该点的变化趋势越明显；当梯度的模长趋近于0时，函数在该点的变化趋势越平缓。

《方向导数与梯度》课件

方向导数在优化中的应用
总结词
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题，以及用于梯度下降法和牛顿法的实现。
详细描述
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题。在无约束优化问题中，方向导数可以用于梯度下降法和牛顿法的实现，通过不断沿着负梯度方向搜索，找到函数的极小值点。在约束优化问题中，方向导数可以用于确定搜索方向和步
长，以避免进入不可行区域或避免目标函数的增加。
02
梯度
定义与性质
01
基本概念
02 梯度是标量场中某一点的方向导数最大的。
04
梯度的大小表示函数在该点的斜率，方向表示函数在该点的增长方向。
计算方法
计算步骤
计算函数在这一点沿各个方向的变化量。
确定函数在某一点的值。
计算方法
总结词
计算方向导数需要用到偏导数和方向余弦，常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。
详细描述
计算方向导数需要用到函数的偏导数和方向余弦。首先求出函数的偏导数，然后根据方向余弦计算出方向导数。常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。解析法适用于数学函数，数值法适用于复杂函数，图解法适用于直观理解。
05
实际应用案例
在机器学习中的应用
机器学习算法优化
方向导数和梯度在机器学习中用于优化算法，例如梯度下降法。通过计算梯度，可以找到函数值下降最快的方向，从而更新模型的参数，使模型在训练数据上的表现更好。
方向导数和梯度的计算对于深度学习尤为重要，因为深度学习模型通常具有大量的参数，需要使用梯度下降等优化算法进行训练。
在机器学习中的应用
01
特征选择与降维
02

方向导数与梯度黑塞矩阵与泰勒公式_图文

定理10.4.1的逆命题不成立.
f (x, y)在原点沿任意方向的方向导数存在, 但不可微.
三元函数
在点
沿方向 u (方向角
为
)的方向导数定义为
方向导数的性质
例1. 求函数
解：
的方向导数.
又的方向余弦为
故
在点沿方向
例2. 设是曲面指向外侧的法向量, 求函数方向的方向导数.
解: 方向余弦为
记号 (设下面涉及的偏导数连续): •
•
表示
• 一般地,
表示
定理10.4.4 到 n + 1 阶连续偏导数 , 一点, 则有
的某一邻域内有直为此邻域内任
①
其中
②
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格朗日型余项 .
证: 令则利用多元复合函数求导法则可得:
一般地, 由的麦克劳林公式, 得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
设 f (x) 是 n 元可微函数, 等值面
结论:
与等值面在点x0 处的切平面垂直，所以
是等值面S在点x0 处的一个法线方向向量.
对于 n = 2 的情形:
是函数 f (x, y)过点(x0, y0)的等值线
在点(x0, y0)处的一个法线方向向量. 在该点处, 它与等值线的切线垂直.
等值线 n=2
10.4.2 方向导数与梯度的性质及应用
1. 函数的最速上升方向与最速下降方向
定义10.4.1 设 f (x) 是上的连续函数，
d 是 n 维非零向量，如果存在
，使得对于一切
，恒有
则称 d 为函数 f 在 x0 处的上升方向; 如果对于恒有

3 方向导数与梯度

想一想，为什么？
即使 l 的方向与 x 轴， y 轴的正方向一致时，方向导数与偏导数的概念也是不同的.
怎样计算方向导数？
X

X0
0 l

l

X x, y, z x x0 cos X X0 y y0 cos Y Y0
z z0 cos Z Z0
o
f ( x , y ) c1x
例 3 设 f x , y , z xy 2 yz 3 , 求 f 在点 p0 2, 1,1 处的梯度及它的模.
解由于 f x p0 1, f y p0 3, f z p0 3, 所以
grad f p0 1, 3, 3 ,
x 0
A

x
x x
C
f x
z
R 中
3
z f x
f P f P0 lim P P0 PP0
f x 沿 l 方向的方向导数
0
.
O
0 l
P
.
l
P0 y
x
一、方向导数的定义
U P0 R 内有定义， l 为从点 P0 出发的射线，
3
当 l 的方向为 x 轴的负方向时，则有
P0
f x
P0
利用直线方程可将方向导数的定义表示为:
f X 0 te f X 0 u lim l t 0 t
x x 0 y y0 z z 0 射线 l 的方程为 t cos cos cos
f l P0 f x P0 cos f y P0 cos f z P0 cos

方向导数与梯度

i =1 n
i =1 n
i =1
进一步可计算得： A = f aa = 2∑ xi2 > 0, B = f ab = 2∑ xi , C = f bb 2n ，
f (a + h, y + k ) − f (a, b) = Φ (1) − Φ (0)
3．Taylor 定理
定理 17.9 设 f ( x, y ) 在 P0 ( x0 , y 0 ) 的邻域 U ( P0 ) 内有 n + 1 阶连续偏导，则 ∀P( x0 + h, y 0 + k ) ∈ U ( P0 ), ∃θ ∈ (0,1) ，使得
取得极大值，当 H f ( P0 ) 是不定矩阵时， f ( x, y ) 在 P0 ( x0 , y 0 ) 不取得极值。证明
f ( x, y ) − f ( x 0 , y 0 ) =
1 (∆x, ∆y ) H f ( P0 )(∆x, ∆y ) T + o(∆x 2 + ∆y 2 ) 2
注：若 P0 ( x0 , y 0 ) 是 f ( x, y ) 的稳定点，则定理 17.11 又可表述为比较实用的形式：记 A = f xx ( x0 , y 0 ), B = f xy ( x0 , y 0 ) = f yx ( x 0 , y 0 ), C = f yy ( x0 , y 0 )
{ f x ( P0 ), f y ( P0 ), f z ( P0 )} 为函数 f ( x, y, z ) 在点 P0 ( x0 , y 0 , z 0 ) 的梯度，记作 gradf = { f x ( P0 ), f y ( P0 ), f z ( P0 )}
作业：2，3，6，

高数讲义第七节方向导数与梯度

故
对于三元函数 u = f ( x , y , z ) ,它在点
处沿方向
的方向导数定义为
如果 u = f ( x , y , z ) 在点
处可微，则
例3 设是曲面
在点
处的指向外侧的法向量，求函数在此处沿方向的方向导数.
解：令则曲面上任意一点 P ( x , y , z ) 处的法向量可取为
（2）等值线与梯度等值线在点 P ( x , y ) 处的一个法向量可取为
梯度与等值线的关系：
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点
，都可定义一个向量(梯度)
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.
一、问题的提出
考虑二元函数 z = f ( x , y ) 的偏导数
仅反映函数在水平方向（横轴方向）上的变化率。同理，偏导数仅反映函数在垂直平方向上的变化率。在实际问题中，还需要考虑函数在斜方向上的变化率问题，如冷热空气的流动，温度场的变化等。
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,4)，(5,4)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(4,3)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
解由梯度计算公式得故
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为
解故
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为解
例5：设在 xo y 平面上，各点的温度与点的位置关系为
解（3）沿梯度方向温度变化率最大，最大值为