新课 分式方程与实际问题教案

答案：甲、乙种粽子的单价分别是 3、2.5 元，甲、乙两种粽子各购买 100 个、160 个
解析：因为购甲粽子比购乙粽子少用 100 元，则把 700 元分成购甲粽子 300 元，购乙粽子 400 元两部分，然后根据甲乙两种粽子的个数和是 260,列出分式方程。
解：设乙种粽子的单价是 x 元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x 元，
1 x
=
2 x −2
,约分化整式方程为 x-2=2x ,故选 A。
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【例题 2】
【题干】 关于 x 的分式方程
的解为正数，则字母 a 的取值范围为
(
)
A．a≥-1
B．a>-1
C．a≤-1
D．a <-1
【答案】B 【解析】解分式方程，字母 a 看成已知数，相当于用含 a 的式子表示 x，再根据 x 的限制条 件解出 a 的范围。解：方程两边同时乘以所有分母的最简公分母得 2x-a=x+1 ,然后解整式 方程得 x=1+a, 因为 x 是正数，即 x> 0,所以 1+a> 0，解得 a> −1。故选 B。
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二、知识讲解
考点 1 分式方程概念以及解法 1、定义：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的解法： 去分母 转化 （1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程 －－－－－→ 整式方程. （2）解分式方程的一般方法和步骤： ①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是 等式的基本性质 ②解这个整式方程； ③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于 0 的解是原方程的解， 使最简公分母等于 0 的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。 注意：① 去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项； ② 解分式方程必须要验根，千万不要忘了 解分式方程的步骤 ： (1) 能化简的先化简； (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程； (4)验根．
教学重点
1、会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增 根. 2、利用分式方程组解决实际问题
教学难点
1、会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增 根. 2、列分式方程表示实际问题中Байду номын сангаас等量关系.
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教学过程
一、 复习预习
分式的定义：如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子叫做分式 我们已经学习过一元一次方程、二元一次方程，这些呢都是整式方程，今天我们学习另外一 种方程------分式方程，即由分式构成的方程。
1 3
约分得
x+1=3
解得
x=2
检验：将 x=2 代入最简公分母(x-1)(x+1)=（2-1）× （2+1）=3≠0，
所以 x=2 是原方程的根。故选 C。
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3、货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶 20 千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程正确的 是（ ）
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分式方程与实际问题
适用学科 适用区域 知识点
数学 全国 分式方程的定义 分式方程的解 解分式方程 分式方程的增根 根据实际问题列分式方程 分式方程的应用
适用年级
课时时长（分钟）
初中二年级 90
教学目标
1、了解分式方程的概念, 和产生增根的原因. 2、掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检 验一个数是不是原方程的增根 3、会分析题意找出等量关系. 4、会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题
3000……………（4 分）
解得，m
9.5……………（2 分）
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2、 某市从今年 1 月 1 日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨 25%．小颖 家去年 12 月份的燃气费是 96 元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5 月份的用气量比去年 12 月份少 10m³，5 月份的燃气费是 90 元．求该市今年居民用气 的价格
-(1+25%)x = 10
90
解这个方程，得 x＝2.4． 经检验，x＝2.4 是所列方程的根． 2.4×(1+25%)＝3 (元)． 所以，该市今年居民用气的价格为 3 元/ m³．
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3、某超市用 3000 元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨 9000 元资金购
进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了 20%，购进干果数量是第一次的 2 倍还 多 300 千克，如果超市按每千克 9 元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的 600 千克 按售价的 8 折售完．（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）超市销售这种干 果共盈利多少元？
1 2 1
解析：先用含 a 的式子把方程的解表示出来，即 ax+1=2-x ，x=
1
a+1
, 又因为方程的解
是正数，所以 x> 0,即a+1 > 0，所以 a > −1；又因为是分式方程，所以 x-2≠ 0，x≠ 2
1 a+1
所以
≠ 2，解得 a≠ − 2
1
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3、端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用 700 元购进甲、乙两种粽子 260 个，其中 甲粽子比乙种粽子少用 100 元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高 20%，乙种粽子的单 价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？
打折前买的笔的总数+10=打九折后买的笔的总数
解：(1)设笔打折前售价为
，则打折后售价为
，由题意得：
解得
，经检验，
是原方程的根。
答：打折前每只笔的售价是 4 元。
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四、课堂运用
【基础】 1、 解分式方程：
2 3 6 2 x 1 x 1 x 1
答案：无解
,
解析：解分式方程，去分母，等式两边分别乘 x2-1 得 2(x-1)+3(x+1)=6 去括号 得 系数化为 1 得 5x=5 x=1
3、科学记数法：把一个数表示成的形式 a× 10n（其中1 ≤a< 10，n 是整数）的记数方法 叫做科学记数法． (1) 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数时，应当表示为 a×10n 的形式,其中 1≤︱a︱＜ 10, n 为原整数部分的位数减 1； (2) 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数时,则可表示为 a×10－n 的形式，其中 n 为原数 第 1 个不为 0 的数字前面所有 0 的个数(包括小数点前面的那个 0)，1≤︱a︱＜10.
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考点 2 含有字母的分式方程的解法： 在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式 方程的解法，也是去分母， 解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母 表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的 限制条件。计算结果是用已知数表示 未知数，不要混淆。
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易错点 解完分式方程不检验， 结果有可能解出的根可能使是原分式方程无解， 所以解方式 方程一定要检验根的情况。
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三、 例题精析
【例题 1】
【题干】将分式方程 =
去分母后得到的整式方程，正确的是（
）
A． x﹣2=2x
B． x2﹣2x=2x
C． x﹣2=x
D． x=2x﹣4
【答案】A 【解析】解整式方程首先要去分母，去分母要等式两边分别乘以它们的最简公分母 x(x-2), 即 x x−2
+16
经检验：x=91 是分式方程的解．
答：特快列车的平均速度为 91km/h．
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【例题 4】
【题干】某校九年级准备购买一批笔奖励优秀学生，在购买时发现，每只笔可以打九折，
用 360 元钱购买的笔，打折后购买的数量比打折前多 10 支。求打折前每支笔的售价是多少 元？
【答案】4
【解析】审题找等量关系，即
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【例题 3】
【题干】2014 年 12 月 26 日，西南真正意义上的第一条高铁﹣贵阳至广州高速铁路将开
始试运行，从贵阳到广州，乘特快列车的行程约为 1800km，高铁开通后，高铁列车的行 驶约为 860km，运行时间比特快列车所用的时间减少了 16h．若高铁列车的平均速度是特 快列车平均速度的 2.5 倍，求特快列车的平均速度．
据题意分别把甲、乙队单独完成需要的时间用代数式表示出来，解设列方程：
解：(1)设乙工程队平均每天铺 x m2
……………（2 分）
解得 x=150……………（2 分）
经检验，x=150 是原方程的解. ……………（2 分）
甲完成该工程需 15 天，乙完成该工程需 20 天.
(2)150m+(150+200)(14-m)
A．
B．
C．
D．
答案：C
解析：先分析题意用含 x 的式子列出货车和小车的速度，即货车的速度为 x 千米/时，则货 车行驶 25 千米所用的时表示为 x 。 小车的速度为（x+20）千米/时，则小车行驶的时间 为
35 x+20 25
，因为它们所用时间相等，即有 25 35 = x x + 20
故选 C。
【答案】91km/h
【解析】1 审题；2 找等量关系，找两个等量关系； 3 设合适的量为未知数 x；4 列分式
方程；5 解方程；6 根据方式方程和实际问题检验；7 作答。此题建立等量的依据是特快列 车的运行总时间+16=高铁运行的总时间。
解：设特快列车的平均速度为 xkm/h，由题意得：