函数例讲
EXCEL人事管理常用16个函数及案例精讲
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01、函数解析
常用函数（三） 文本函数TEXT
方法： 在 目 标 单 元 格 中 输 入 公 式 ： =TEXT(E3,"aaaa") 、 =TEXT(E3,"aaa")。
解读： 代码“aaaa”代表长星期，“aaa”代表短星期。
01、函数解析
常用函数（四） 间隔函数 DATEDIF
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公式： DATEDIF（Start_Date,End_Date,Unit） Start_Date：为一个日期，它代表时间段内的第一 个日期或起始日期； End_Date：为一个日期，它代表时间段内的最后 一个日期或结束日期； Unit：为所需信息的返回类型。
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01、函数解析
常用函数（七） 横向查找函数 VLOOKUP
=vlookup （查找依据，查找范围，查找值在查找范围的 列数，精确匹配或模糊匹配）
01、函数解析
常用函数（八） 替代函数 REPLACE
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方法： （一）Replace函数 表达式：REPLACE(Old_Text, Start_Num, Num_Chars, New_Text) 中文表达式：Replace(源文本, 替换开始位置，替换 字符数，替换字符) （二）ReplaceB函数 表达式：REPLACEB(Old_Text, Start_Num, Num_Bytes, New_Text) 中文表达式：ReplaceB(源文本, 替换开始位置，替换 字节数，替换字符)
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2016 OFFICE
HR管理EXCEL常用函数公式大全（16个）
高效办公系列课程精讲讲义
主讲：宿学彬
时间：2020.03.28
函数单调性与奇偶性典型例题讲解
∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜1 }．
变式：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x>0 时，f(x)>1， 且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1； (2)证明：对任意的 x∈R，恒有 f(x)>0； (3)证明：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)·f(2x－x2)>1，求 x 的取值范围．
设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]．若当 x∈[0，5]时，f(x) 的图象如图 2－2－5 所示，则不等式 f(x)＜0 的解集是 ________．
图 2－2－5
解：注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思 想方法画全函数 f(x)在[－5，5]上的图象(如图)，数形结 合，得 f(x)＜0 的解集为{x|－2＜x＜0 或 2＜x≤5}．
变式：已知 f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当 x ＞0 时，f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．
解：①当 x＜0 时，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝－x3－x＋1.
∴f(x)＝x－3＋x3x－＋x1＋，1，
已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数，且对于任意的 x， y∈R，有 f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)． (1)求 f(0)，f(1)的值； (2)判断函数 f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
解：(1)在 f(xy)＝xf(y)＋yf(x)中， 令 x＝y＝0，得 f(0)＝0＋0＝0，即 f(0)＝0. 令 x＝y＝1，得 f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)， ∴f(1)＝0；
Excel函数大全【实例讲解】(1)
函函 数 大 全链接函数基本知识函数索引日期与时间函数数学与三角函数逻辑函数查找与引用函数数据库函数文本函数统计函数财务函数工程函数信息函数定义返回从开始日期算起的数月之前或之后的序列号.返回指定月份数之前或之后的某月份的最后的日期序列号.返回自开始日期算起相隔指定天数之前或之后(不包括周末和专门指定的假日)的日期的序列号.计算除了周六、日和休息日之外的工作天数计算期间内的年数、月数、天数按一年360天计算两个日期之间的天数计算指定期间占一年的比率计算从1月1日算起的第几个星期从年、月、日来计算日期从表示日期的文本来计算序列号值从时、分、秒来计算出时间的序列号值从表示时间的文本来计算序列号值计算当前的日期计算当前的日期和时间和星期从日期中提取出"年"从日期中提取出"月"从日期中提取出"日"计算出与日期相对应的星期从时间中提取出"时"从时间中提取出"分"从时间中计算出"分"求和计算对满足条件的单元格的数值求和计算满足条件的单元格人个数计算积先计算多个数组的元素之间的乘积再求和计算平方和计算两个数组中对应元素的平方之和计算两个数组中对应元素的平方差之和计算两个数组中对应元素的差的平方之和计算各种总计值将数值向下舍入为最接近的整数根据指定的位数位置向下舍入计算根据指定的位数位置向下舍入根据指定的位数位置向上舍入根据指定的位数位置四舍五入向下舍入为指定的倍数向上舍入为指定的倍数舍入指定值的倍数向上舍入最接近的偶数向上舍入最接近的奇数计算出商的整数部分计算余数倍数计算最大公约数计算最小公倍数计算绝对值计算正负符号计算阶乘计算双阶倍乘返回从给定元素数目的集合中选取若干元素的排列数计算组合数或二项系数计算多项系数计算幂级数计算平方根计算圆周率的倍数的平方根计算幂乘计算自然对数e的幂乘计算以指定的数值为底的对数计算常用对数计算自然对数计算圆周率的近似值将角度转换为弧度将弧度转换为度计算正弦值计算余弦值计算正切值计算反正弦值计算反余弦值计算反正切值计算x-y坐标的反正切值计算双曲正弦值计算双曲余弦值计算比曲正切值计算双曲反正弦值计算双曲反余弦值计算比曲反正切值值计算矩阵行列式的值计算矩阵的逆矩阵计算两数组矩阵的乘积产生大于或等于0且小于1的随机数产生指定数值之间的随机数根据条件满足与否返回不同的值检测所有的条件是否为真检测任意一项条件是否为真对表示条件的参数的逻辑值求反表示总是为真表示总是为假按照垂直方向搜索区域按照水平方向搜索区域(向量形式)搜索单行或单列(数组形式)搜索区域或查找对应值返回搜索值的相对位置计算指定位置的单元格引用(单元格引用方式)返回行和列交差位置的单元格引用(数组形式)返回行和列交叉位置的值间接引用单元格的内容从参数表中选择特定的值位置返回单元格引用或单元格的位置返回序列号返回行序号计算列数返回引用或数组的行数计算指定区域的区域个数行和列的转置创建超链接从支持COM自动化的程序中获取实时的数据将全角字符(双字节字符)转换成半角字符(单字节字符)将半角字符转换成全角字符将所有英文字母转换成大写字母将所有英文字母转换成寂写字母将英文单词的开头字母转换成大写字母将表示数值的文本转换成数值统计文本字符串中字符数目(计算文本的长度)计算文本的字节数将多个字符文本或单元格中的数据连接在一起，显示在一个单元格中从一个文本字符串的第一个字符开始，截取指定数目的字符从一个文本字符串的最后一个字符开始，截取指定数目的字符从一个文本字符串的指定位置开始，截取指定数目的字符根据指定的位置和字节提取字符检索字符位置(区分大小写)检索字节位置(区分大小写)检索字符位置(不区分大小写)检索字节位置(不区分大小写)替换检索的文本替换指定字符数的文本替换指定字节数的文本删除多余的空格字符删除非打印字符返回字符代码返回与字符代码相对的字符给数值添加_符号和千位分隔符给数值附加上美元符号和千位分隔符将数值转换成泰语的货币格式的文本给数值附加千位分隔符和小数分隔符将数值转换成自由的显示格式文本将数值转换成罗马数字检查两文本是否完全相同根据指定次数重复文本只在参数为文本时返回将数值转换成汉字的文本计算日期和数值的个数计算数据的个数计算空白单元格的个数计算数值数据的平均值计算所有数据的平均值剔除异常数据后计算平均值计算几何平均值计算调和平均值计算数据群的为数计算数据群的众数计算数值的最大值计算所有数据的最大值计算数值的最小值计算所有数据的最小值计算从大到小顺序下某一位置的数值计算从小开始指定位置的数值计算位置(排位)计算区间里所含数值的个数计算百分位数计算四分位数计算使用百分率的位置通过数值计算无偏方差通过所有数据计算无偏方差通过数值计算方差通过所有数据计算方差通过数值推测数据集的标准偏差通过数值推测数据集的标准偏差通过数值计算标准偏差通过数值计算标准偏差计算平均偏差计算变动计算标准化变量计算峰度计算偏斜度使用回归曲线进行预测使用重回归分析进行预测计算回归斜线的斜率计算回归斜线的计算截距通过重回归分析计算系数和常数项计算回归曲线的标准误差计算回归曲线的的适合度使用指数回归曲线进行预测计算指数回归曲线的系数和底数计算相关系数计算相关系数计算协方差计算数据集对应的置信区间计算下限值到上限值概率计算二项分布的概率和累积概率计算累积二项概率在基准值以下时的最大值计算负二项分布的概率计算超几何分布的概率计算POISSON分布的概率计算正态分布的概率和累积概率计算累积正态分布的反函数计算标准正态分布的累积概率计算标准正态分布的累积概率的反函数计算对数正态分布的累积概率计算对数正态分布的累积概率反函数计算卡方分布的上侧概率计算卡方分布的上侧概率的反函数进行卡方检验计算t分布的概率计算t分布的反函数进行t检验检验正态数据集的平均值计算F公布的概率计算F公布的反函数进行t检验进行FISHER变换计算FISHER变换的反函数计算指数分布函数的值计算伽玛公布函数的值计算伽玛公布函数的反函数计算伽玛函数的自然对数计算Beta分布的累积函数的值计算Beta分布的累积函数的反函数计算韦伯分布的值计算贷款的还款额和分期储蓄的存款额计算贷款偿还额的本金相应部分计算贷款偿还额的本金相应部分的累计计算贷款偿还额的利息相应部分计算贷款偿还额的利息相应部分的累计计算本金均分偿还时的利息计算当前价格计算将来的价格计算利率变动存款的将来价格计算贷款的偿还时间和分期储蓄的存款时间计算贷款或分期储蓄的利率计算实际年利率计算名目年利率计算定期现金流量的净现值由不定期的现金流量计算净现值由定期的现金流量计算内部利益率由不定期的现金流量计算内部利益率由定期现金流量计算内部利益率函数计算定期付息证券的利率计算定期付息证券的当前价格计算定期付息证券的利息计算之前的付息日计算最近的付息日到成交日的天数计算成交日到下一付息日的天数计算定期成交日到期日的付息次数。
高中数学-函数的单调性典例精讲
高中数学-函数的单调性典例精讲【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y ＝|x 2＋2x －3|(2)y (3)y ＝＝xx x x x 2221123-----+||解 (1)令f(x)＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图像翻到x 轴就得到y ＝|x 2＋2x －3|的图像，如图2．3－1所示．由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1](2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解 当x －1≥0且x －1≠1时，得x ≥1且x ≠2，则函数y ＝－x ． 当x －1＜0且x －1≠－1时，得x ＜1且x ≠0时，则函数y ＝x －2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞)(3)解：由－x 2－2x ＋3≥0，得－3≤x ≤1．令u ＝＝g(x)＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4．在x ∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是．而＝在≥上是增函数．y u 0u∴函数y 的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．【例2】函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤．a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a aa--⎧⎨⎪⎩⎪ 若a ＜0时，无解．∴a 的取值范围是0≤a ≤1．【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)(2)f(2)f(15)与解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)(2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15时为减函数．∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)【例4】判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)axx 21- 解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2．∵－＝∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 10012121221a x x x x x x x x x x x x ()()()()()()()()12211222121212211222111111+---+--- 当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数． 当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 02112221212121212221221212121222证法一 又∵x 1－x 2＜0，∴f(x 2)＜f(x 1) 故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法二()x x x x (x x )x x x x 0x x 0x 0x 0x x x x x x 012122212222122122112121222∵＋＋＝＋＋，这里＋与不会同时为，否则若＋＝且＝，则＝这与＜矛盾，∴＋＋＞．12341212得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法三()t x x x x x 4x 3x 00x 0x 0t x 03x 0t 0x x x x 0f(x )f(x )f(x)(22121212121212221222121221令＝＋＋，其判别式Δ＝－＝－≤，若Δ＝时，则＝，那么≠，∴＝＞，若Δ＝－＜，则＞，即＋＋＞，从而＜，∴在－∞，＋∞上是减函数．)【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1x解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x 1、x 2，且x 1＜x 2．∵－＝－，又－＜，f(x )f(x )(x x )x x x x 012121112x x 221∴当0＜x 1＜x 2≤1或－1≤x 1＜x 2＜0时，有x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x 1＜x 2或x 1＜x 2≤－1时，有x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x ＞0时，f(x)min ＝f(1)＝2，当x ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出＝＋的图像如图．－．y x 2321x说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小． 2°注意对参数的讨论(如例4)．3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)4°例6是分层讨论，要逐步培养．。
函数的极值典例精讲
函数的极值典例精讲例1：求函数()xf x xe -=的极值.解：()()'1x x xf x e xe x e ---=-=-令()'0fx >解得：1x <()f x ∴的单调区间为：x (),1-∞1()1,+∞'()f x +-()f x 极大值()f x ∴的极大值为()11f e=，无极小值（1）求极值时由于要判定是否为极值点以及极大值或极小值，所以可考虑求函数的单调区间，进而在表格中加入一列极值点，根据单调性即可进行判断（2）在格式上有两点要求：第一推荐用表格的形式将单调区间与极值点清晰地表示出来，第二在求极值点时如果只有一个极大（或极小）值点，则需说明另一类极值点不存在例2：求函数1)1()(32+-=x x f 的极值。
解：()()2'2312fx x x =-⋅，令()'0f x >解得：0x >()f x ∴的单调区间为：x (),0-∞0()0,+∞'()f x -+()f x 极小值()f x ∴的极小值为()00f =，无极大值本题若使用()'0fx =解极值点，则1x =±也满足()'0f x =，但由于函数通过这两个点时单调性没有发生变化，故1x =±均不是极值点。
对比两个方法可以体会到求极值点归根结底还是要分析函数的单调区间例3：求函数()f x =在R 上的极值思路：利用()'f x 求出()f x 的单调区间，进而判断极值情况解：()'fx =令()'0fx >解得：()()2,02,x ∈-+∞ ()f x ∴的极小值为()()220f f -==，极大值为()0f ==例4：若函数()322f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，则a b +=_________思路：()'232f x x ax b =++，依题意可得：()()2'11101320f a b a f a b ⎧=+++=⎪⎨=++=⎪⎩，可解得：411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，但是当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2'236331f x x x x =-+=-所以尽管()'10f =但1x =不是极值点，所以舍去。
二次函数解题实例讲解
二次函数解题实例讲解一、引言二次函数是高中数学中常见的一种函数，也是解决实际问题的有力工具。
本文将通过几个实例来详细讲解二次函数的解题方法和技巧。
二、实例一：求解二次函数的零点假设有一个二次函数y = ax^2 + bx + c，求解它的零点。
解题步骤：1. 根据函数的定义，令y = 0，得到ax^2 + bx + c = 0。
2. 判断方程的判别式，如果判别式大于0，则方程有两个不相等的实数解；如果判别式等于0，则方程有一个实数解；如果判别式小于0，则方程无实数解。
3. 根据判别式的情况，使用求根公式进行求解：- 如果判别式大于0，两个实数解为：x = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2a 和x = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a。
- 如果判别式等于0，一个实数解为：x = -b / 2a。
- 如果判别式小于0，无实数解。
三、实例二：二次函数的图像与解析式的关系已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点P(1, 2)和点Q(2, 5)，求解二次函数的解析式。
解题步骤：1. 由已知条件得到两个方程：- a + b + c = 2 （1）- 4a + 2b + c = 5 （2）2. 解方程组（1）和（2），求解出a、b、c的值。
3. 将求得的a、b、c的值代入二次函数的解析式，得到二次函数的解析式。
四、实例三：最值问题已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像在区间[1, 3]上是上凸函数，求解a的取值范围，并确定此时函数的最小值。
解题步骤：1. 对函数求导数，得到一次函数y' = 2ax + b。
2. 由已知条件可知二次函数的一次导数在[1, 3]区间上是单调递增的，即2a > 0。
3. 根据二次函数的几何性质，确定当a > 0 时，函数在[1, 3]区间上是上凸函数。
4. 根据二次函数的对称轴的性质，当a > 0 时，函数的对称轴在x = -b / (2a) 的右侧。
基本初等函数讲义超级全
一、一次函数 一次函数k ;b 符号图象性质y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小二、二次函数1二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠2求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时;宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大小值有关时;常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点;且横线坐标已知时;选用两根式求()f x 更方便． 3二次函数图象的性质图像定义域 对称轴顶点坐标 值域单调区间,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递减,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递增 ,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递增,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线;对称轴方程为,2bx a =-顶点坐标是24(,)24b ac b a a-- ②当0a >时;抛物线开口向上;函数在(,]2b a -∞-上递减;在[,)2b a -+∞上递增;当2bx a =-时;2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时;抛物线开口向下;函数在(,]2ba -∞-上递增;在[,)2b a -+∞上递减;当2b x a=-时;2max 4()4ac b f x a -=．三、幂函数 1幂函数的定义一般地;函数y x α=叫做幂函数;其中x 为自变量;α是常数． 2幂函数的图象过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义;并且图象都通过点(1,1)． 四、指数函数1根式的概念：如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>;且n N +∈;那么x 叫做a 的n 次方根．2分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m naa a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m m m nn n a a m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 3运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 4指数函数 函数名称 指数函数定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象定义域 值域过定点 图象过定点(0,1);即当0x =时;1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况xa y =xy(0,1)O1y =x a y =xy(0,1)O1y =a 变化对图象的影响在第一象限内;a 越大图象越高；在第二象限内;a 越大图象越低．五、对数函数 1对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且;则x 叫做以a 为底N 的对数;记作log ax N =;其中a 叫做底数;N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x ax N a N a a N =⇔=>≠>．2几个重要的对数恒等式log 10a=;log 1aa =;logb aa b =．3常用对数与自然对数 常用对数：lg N ;即10logN ；自然对数：ln N ;即log eN 其中 2.71828e =…．4对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>;那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-=③数乘：log log ()n aan M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈⑥换底公式：log log (0,1)log b a bNN b b a=>≠且 5对数函数函数名称 对数函数定义函数log (0ay x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象定义域 值域过定点 图象过定点(1,0);即当1x =时;0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况a 变化对 图象的影响在第一象限内;a 越大图象越靠低；在第四象限内;a 越大图象越靠高．6反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ;值域为C ;从式子()y f x =中解出x ;得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值;通过式子()x y ϕ=;x 在A 中都有唯一确定的值和它对应;那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数;函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数;记作1()x fy -=;习惯上改写成1()y f x -=．7反函数的求法①确定反函数的定义域;即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x fy -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=;并注明反函数的定义域．xyO(1,0)1x =log ay x=xyO(1,0)1x =log ay x=8反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上;则'(,)P b a 在反函数1()y fx -=的图象上．④一般地;函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 例题一、求二次函数的解析式例1.抛物线244y x x =--的顶点坐标是A ．2;0B ．2;-2C ．2;-8D ．-2;-8例2．已知抛物线的顶点为1;2;且通过1;10;则这条抛物线的表达式为A ．()2312y x =--B ．()2312y x =-+ C. ()2312y x =+- D.()2312y x =-+-例3.抛物线y=的顶点在第三象限;试确定m 的取值范围是A ．m ＜－1或m ＞2B ．m ＜0或m ＞－1C ．－1＜m ＜0D ．m ＜－1例4.已知二次函数()f x 同时满足条件：1()()11f x f x +=-；2()f x 的最大值为15；3()0f x =的两根立方和等于17求()f x 的解析式 二、二次函数在特定区间上的最值问题例5. 当22x -≤≤时;求函数223y x x =--的最大值和最小值． 例6．当0x ≥时;求函数(2)y x x =--的取值范围．例7．当1t x t ≤≤+时;求函数21522y x x =--的最小值其中t 为常数．--222x mx m -++三、幂函数例8.下列函数在(),0-∞上为减函数的是Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -= 例9.下列幂函数中定义域为{}0x x >的是Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x-= Ｄ．32y x-=例10.讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性;并画出图象的示意图．例10．已知函数y ＝42215x x －－．1求函数的定义域、值域； 2判断函数的奇偶性； 3求函数的单调区间． 四、指数函数的运算例11.计算122(2)-⎡⎤-⎣⎦的结果是A 、2B 、12C 、—2D 、—12例12.等于 A 、 B 、C 、 D 、例13.若53,83==b a ;则b a 233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的性质例14.{|2},{|1}x M y y P y y x ====-;则M∩PA.{|1}y y > B. {|1}y y ≥ C. {|0}y y > D. {|0}y y ≥44366399a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16a 8a 4a 2a例15.求下列函数的定义域与值域：1442x y -=2||2()3x y =例16.函数()2301x y a a a -=+>≠且的图像必经过点A ．0;1B ．1;1C ．2;3D ．2;4例17求函数y=2121x x -+的定义域和值域;并讨论函数的单调性、奇偶性.五、对数函数的运算例18.已知32a =;那么33log 82log 6-用a 表示是A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、23a a -例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+;则N M的值为A 、41B 、4C 、1D 、4或1例20.已知732log [log (log )]0x =;那么12x-等于A 、13B 、123C 、122D 、133例21.2log 13a <;则a 的取值范围是 A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭五、对数函数的性质例22.下列函数中;在()0,2上为增函数的是 A 、12log (1)y x =+B 、22log1y x =-C 、21log y x=D 、212log (45)y x x =-+例23.函数2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图像关于A 、x 轴对称B 、y 轴对称C 、原点对称D 、直线y x =对称例23.求证函数()2()lg 1f x x x =+-是奇、偶函数..课下作业1.已知二次函数y=ax2+bx+c;如果a>b>c;且a+b+c=0;则它的图象可能是图所示的2.对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是A ．抛物线的形状相同B ．抛物线的顶点相同C ．抛物线对称轴相同D ．抛物线的开口方向相反3. 二次函数y=图像的顶点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 如图所示;满足a ＞0;b ＜0的函数y=的图像是5．如果抛物线y=的顶点在x 轴上;那么c 的值为A ．0B ．6C ．3D ．96.一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是7.在下列图象中;二次函数y=ax2＋bx ＋c 与函数y=a bx 的图象可能是8．若函数fx ＝a －1x 2＋a 2－1x ＋1是偶函数;则在区间0;＋∞上fx 是A ．减函数B ．增函数C ．常函数D ．可能是减函数;也可能是常函数9．已知函数y ＝x2－2x ＋3在闭区间0;m 上有最大值3;最小值2;则m 的取值范围是22(2)x -22(2)x -221x x --+2ax bx +26x x c ++A ．1;＋∞B ．0;2C ．1;2D ．－∞;2 10、使x2＞x3成立的x 的取值范围是A 、x ＜1且x≠0B 、0＜x ＜1C 、x ＞1D 、x ＜111、若四个幂函数y ＝a x ;y ＝b x ;y ＝c x ;y ＝d x 在同一坐标系中的图象如右图;则a 、b 、c 、d 的大小关系是 A 、d ＞c ＞b ＞a B 、a ＞b ＞c ＞d C 、d ＞c ＞a ＞b D 、a ＞b ＞d ＞c12．若幂函数()1m f x x -=在0;+∞上是减函数;则A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不能确定13．若点(),A a b 在幂函数()n y x n Q =∈的图象上;那么下列结论中不能成立的是A ．00a b >⎧⎨>⎩ B ．00a b >⎧⎨<⎩Ｃ．00a b <⎧⎨<⎩ D ．00a b <⎧⎨>⎩14．若函数fx ＝log 12x 2－6x ＋5在a ;＋∞上是减函数;则a 的取值范围是A ．－∞;1B ．3;＋∞C ．－∞;3D ．5;＋∞ 15、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈;则S T 是A 、∅B 、TC 、SD 、有限集16、函数22log (1)y x x =+≥的值域为A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞17、设1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭;则A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >>18、在(2)log (5)a b a -=-中;实数a 的取值范围是A 、52a a ><或B 、2335a a <<<<或C 、25a <<D 、34a <<19、计算lg52lg2)lg5()lg2(22•++等于A 、0B 、1C 、2D 、320、已知3log 2a =;那么33log 82log 6-用a 表示是A 、52a -B 、2a -C 、23(1)a a -+D 、231a a --21、已知幂函数fx 过点2;22;则f4的值为 A 、12B 、 1C 、2D 、8二、填空题1.抛物线y ＝8x 2－m －1x ＋m －7的顶点在x 轴上;则m ＝________.2.函数23-=x y 的定义域为___________. 3.设()()12m f x m x +=-;如果()f x 是正比例函数;则m=____ ;如果()f x 是反比例函数;则m=______;如果fx 是幂函数;则m=____． 4.若14(1)x --有意义;则x ∈___________．5.当35x y <时;2225309y xy x -+=___________．6.若25525x x y ⋅=;则y 的最小值为___________．7、若2log 2,log 3,m n a am n a +===.. 8、函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是..9、2lg 25lg 2lg 50(lg 2)++=..10.不等式1622<-+x x 的解集是__________________________. 11.不等式282133x x --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是__________________________. 12.若103,104x y ==;则10x y -=__________________________. 13、已知函数3x log x (x 0)1f (x),f[f ()]2(x 0)9>⎧=⎨≤⎩，则，的值为 14、函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定点三、简答题1.求下列各式中的x 的值2、已知幂函数fx ＝23221++-p p x p∈Z 在0;＋∞上是增函数;且在其定义域内是偶函数;求p 的值;并写出相应的函数fx 、 3.已知函数222(3)lg 6x f x x -=-;1求()f x 的定义域；2判断()f x 的奇偶性.. 4.设a R ∈;22()()21x x a a f x x R ⋅+-=∈+;试确定a 的值;使()f x 为奇函数.. 5. 已知函数x 121f (x)log [()1]2=-;1求fx 的定义域； 2讨论函数fx 的增减性..。
函数的性质例题讲解
函数的性质的应用举例一、知识点回顾1. 定义法判断和证明函数的单调性用定义法判断函数单调性的一般步骤:取值、作差、变形、判号、定论. （1）取值 设21,x x 是给定区间上的任意两个值,且21x x <; （2）作差 计算()()21x f x f -;（3）变形 对()()21x f x f -进行有利于判断符号的变形,如因式分解、配方、通分、有理化等;（4）判号 即判断()()21x f x f -的符号,当符号不确定时,需要进行分类讨论; （5）定论 根据函数单调性的定义得出结论,即确定函数在给定区间上的单调性. 在以上步骤中,作差是基础,变形是关键,判号是目的. 2. 抽象函数的单调性抽象函数是指没有给出具体解析式的函数. 判断抽象函数单调性的方法:（1）凑 凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值 给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. 注意①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ,判断符号时要变形为:()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ,判断符号时要变形为:()()()112112x f xx x f x f x f -⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=- 或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f .3. 函数奇偶性的判定判断函数奇偶性的方法有三种:定义法、图象法和性质法. 用定义法判断函数的奇偶性（1）求 求函数的定义域,若定义域关于原点对称,则进行第（2）步;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.（2）判 求出)(x f -,然后根据)(x f -与)(x f 的关系,确定函数的奇偶性;①若)()(x f x f =-,或0)()(=--x f x f ,或1)()(=-x f x f （0)(≠x f ）,则函数)(x f 是偶函数;②若)()(x f x f -=-,或0)()(=+-x f x f ,或1)()(-=-x f x f （0)(≠x f ）,则函数)(x f 是奇函数;③若)()(x f x f ±≠-,则函数)(x f 是非奇非偶函数.说明: 若要说明一个函数不是偶函数（或奇函数）,只需在函数定义域内找到一个数a ,有)()(a f a f ≠-（或)()(a f a f -≠-）即可.(见后面的相关例题)图象法判断函数的奇偶性对于容易画出图象的函数,若函数的图象关于y 轴对称,则它是偶函数;若函数的图象关于原点对称,则它是奇函数. 性质法判断函数的奇偶性两个在公共定义域上具有奇偶性的函数,它们的和与积所构成的函数的奇偶性为: 奇+奇=奇; 偶+偶=偶;（一奇一偶的和的单调性不能确定） 奇⨯奇=偶; 偶⨯偶=偶; 奇⨯偶=奇. 二、函数性质的应用举例例1. 已知函数x q px x f 32)(2-+=是奇函数,且35)2(-=f .（1）求函数)(x f 的解析式;（2）判断)(x f 在区间()1,0上的单调性,并用定义证明.解:（1）∵35)2(-=f ,∴35624-=-+q p ,整理得:24512=+q p . ∵函数)(x f 是奇函数,∴()()x f x f -=-∴qx px x q px -+=++323222,∴q x x q -=+33,解之得:0=q .把0=q 代入24512=+q p ,解得2=p .∴函数)(x f 的解析式为()xx x x x f 32232222+-=-+=; （2）)(x f 在区间()1,0上为增函数,理由如下: 任取∈21,x x ()1,0,且21x x <,则有()()()()21212122212121312322322x x x x x x x x x x x f x f --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-=- ∵∈21,x x ()1,0,且21x x <,∴0,01,0212121>>-<-x x x x x x ∴()()021<-x f x f ,∴()()21x f x f < ∴)(x f 在区间()1,0上为增函数.例2. 定义在[]2,2-上的偶函数)(x g ,当x ≥0时,)(x g 单调递减,若()()m g m g <-1,求m 的取值范围.解:∵)(x g 是定义在[]2,2-上的偶函数,()()x g x g =. ∵()()m g m g <-1,∴()()m g m g <-1 ∵当x ≥0时,)(x g 单调递减,∴m m >-1由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-≤-≤-mm m m 122212,解之得:1-≤21<m .∴m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1.例3. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,()a x a x x f ++-=4)(2. （1）求实数a 的值及)(x f 的解析式; （2）求使得6)(+=x x f 成立的x 的值.解:（1）∵)(x f 是定义在R 上的奇函数,∴0)0(=f ∵当x ≥0时,()a x a x x f ++-=4)(2 ∴0)0(==a f ,∴x x x f 4)(2-=. 当0<x 时,0>-x ,则有()()x f x x x f -=+=-42,∴x x x f 4)(2--=∴0=a ,)(x f 的解析式为⎩⎨⎧<--≥-0,40,422x x x x x x ;（2）∵6)(+=x x f∴当x ≥0时,642+=-x x x ,解之得:1,621-==x x （不合题意,舍去）; 当0<x 时,642+=--x x x ,解之得:3,221-=-=x x . 综上所述,使得6)(+=x x f 成立的x 的值为6或2-或3-. 例4. 若定义在R 上的函数)(x f 对任意的∈21,x x R ,都有:()()()12121-+=+x f x f x x f 成立,且当0>x 时,1)(>x f .（1）求证:()1-=x f y 为奇函数; （2）求证:)(x f 是R 上的增函数; （3）若5)4(=f ,解不等式()323<-m f .（1）证明:令021==x x ,则有1)0()0()0(-+=f f f ,∴1)0(=f . 设1)()(-=x f x F ,则0111)0()0(=-=-=f F .令x x x x -==21,,则有()1)()()0(--+=-=x f x f x x f f ∴)(1)()0(1)(x f x f f x f -=-=--即())(1)()(11)()(x F x f x f x f x F -=--=-=--=- ∵)(x F 的定义域为R ,关于原点对称,)()(x F x F -=- ∴函数)(x F ,即()1-=x f y 为奇函数;（2）证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则012>-x x ∵当0>x 时,1)(>x f ,∴()112>-x x f∴()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=-()0112>--=x x f∴()()21x f x f < ∴)(x f 是R 上的增函数;（3）解:∵5)4(=f ,∴51)2(21)2()2()22()4(=-=-+=+=f f f f f ,∴3)2(=f . ∵()323<-m f ,∴())2(23f m f <- ∵)(x f 是R 上的增函数 ∴223<-m ,解之得:34<m . ∴不等式()323<-m f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-34,.例5. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f 是奇函数.（1）求实数m 的值;（2）若函数)(x f 在区间[]2,1--a 上单调递增,求实数a 的取值范围. 解:（1）∵函数)(x f 是奇函数,∴()()x f x f -=-当0<x 时,0>-x ,则有:()()mx x x f x x x f --=-=--=-222 ∴2=m ;（2）由（1）可知:()()⎪⎩⎪⎨⎧<-+=+=>+--=+-=0,1120,00,112)(2222x x x x x x x x x x f .∴当0>x 时,)(x f 的单调递增区间为(]1,0; 当0=x 时,0)(=x f ;当0<x 时,)(x f 的单调递增区间为[)0,1-.综上所述,函数)(x f 在R 上的单调递增区间为[]1,1-. ∵函数)(x f 在区间[]2,1--a 上单调递增∴⎩⎨⎧≤-->-1212a a ,解之得:a <1≤3. ∴实数a 的取值范围是(]3,1.下面的这道题目,综合性较强.例 6. 已知函数)(x f y =的定义域为[]1,1-,且)()(x f x f -=-,1)1(=f ,当[]1,1,-∈b a ,且0≠+b a 时,0)()(>++ba b f a f 恒成立.（1）判断)(x f 在[]1,1-上的单调性;（2）解不等式⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+1121x f x f ; （3）若12)(2+-<am m x f ,对所有[]1,1-∈x ,[]1,1-∈a 恒成立,求m 的取值范围. 解:（1）∵当[]1,1,-∈b a ,且0≠+b a 时,0)()(>++ba b f a f 恒成立∴[]1,1-∈-b ,0)()()(>-+-+b a b f a f∵)()(x f x f -=-,∴0)()(>--ba b f a f∴当b a >时,)()(b f a f >;当b a <时,)()(b f a f <. ∴)(x f 在[]1,1-上为单调增函数.（2）∵)(x f 在[]1,1-上为单调增函数,⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+1121x f x f ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x ,解之得:23-≤1-<x .∴所求不等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,23;（3）∵)(x f 在[]1,1-上为单调增函数,且1)1(=f ∴1)1()(max ==f x f∵12)(2+-<am m x f 在[]1,1-∈x 上恒成立 ∴12)(2max +-<am m x f ,∴1212+-<am m ∴022>-am m ,设2222)(m am am m a g +-=-= ∵022>-am m 在[]1,1-∈a 上恒成立,∴0)(min >a g 当0=m 时,00>显然不成立,舍去; 当0>m 时,)(a g 在[]1,1-∈a 为减函数 ∴2min 2)1()(m m g a g +-== ∴022>+-m m ,解之得:2>m ; 当0<m 时,)(a g 在[]1,1-∈a 为增函数 ∴2min 2)1()(m m g a g +=-= ∴022>+m m ,解之得:2-<m .综上所述,m 的取值范围是()()+∞-∞-,22, .。
《高等数学》函数考点精讲与例题解析
《高等数学》函数考点精讲与例题解析 第一部分 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节 函 数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。
【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。
二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。
例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。
（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。
（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。
【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。
如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。
三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。
【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。
特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。
EXCEL人事管理常用16个函数及案例精讲
EXCEL人事管理常用16个函数及案例精讲人事管理是组织中至关重要的部门之一，可以通过使用Excel函数来简化人事管理的工作流程。
下面是人事管理常用的16个Excel函数及其案例精讲。
1.VLOOKUP函数（垂直查找）案例：在人事名单中查找一些员工的信息。
=VLOOKUP(查找的值，数据区域，列索引号，是否精确匹配)2.HLOOKUP函数（水平查找）案例：查找一些职位所在的部门。
=HLOOKUP(查找的值，数据区域，行索引号，是否精确匹配)3.IF函数（条件判断）案例：根据员工的工龄给予不同的奖金。
=IF(条件，值1，值2)4.SUM函数（求和）案例：计算员工的总工资。
=SUM(数据区域)5.COUNT函数（计数）案例：统计部门的员工人数。
=COUNT(数据区域)6.AVERAGE函数（求平均值）案例：计算员工的平均工资。
=AVERAGE(数据区域)7.MAX函数（最大值）案例：找出公司中的最高工资。
=MAX(数据区域)8.MIN函数（最小值）案例：找出公司中的最低工资。
=MIN(数据区域)9.CONCATENATE函数（合并文本）案例：合并员工的姓氏和名字。
=CONCATENATE(文本1，文本2)10.TEXT函数（文本格式化）案例：将日期格式化为特定的显示格式。
=TEXT(日期，"格式")11.TRIM函数（去除文本中的空格）案例：去除员工名字中的空格。
=TRIM(文本)12.LEN函数（计算文本长度）案例：计算员工名字的长度。
=LEN(文本)13.LEFT函数（提取左侧字符）案例：提取员工名字的姓氏。
=LEFT(文本14.RIGHT函数（提取右侧字符）案例：提取员工名字的名字。
=RIGHT(文本，数字)15.MID函数（提取中间字符）案例：提取员工名字的中间字符。
=MID(文本，起始位置，长度)16.PROPER函数（将文本首字母大写）案例：将员工名字的首字母大写。
=PROPER(文本)以上是人事管理常用的16个Excel函数及其案例精讲，通过运用这些函数，人事管理人员可以更高效地处理和分析大量的人事数据。
函数的单调区间典例精讲
函数的单调区间典例精讲例1：下列函数中，在()0,+∞上为增函数的是（）A.()sin 2f x x= B.()xf x xe= C.()3f x x x =- D.()ln f x x x=-+思路：本题只需分析各个函数在()0,+∞上的单调性即可。
A 选项()sin 2f x x =通过其图像可知显然在()0,+∞不单调；B 选项()()'1x x x fx e xe x e =+=+，当()0,x ∈+∞时，()'0f x >，所以()f x 在()0,+∞单调递增；C 选项()23331=333f x x x x ⎛⎫⎛=--+ ⎪⎝⎭⎝⎭‘可得()f x 在3⎛ ⎝⎭单调递减，在,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；D 选项()'111x f x x x -=-+=，可得()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减。
综上，B 符合条件答案：B例2：函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（）A.()0,+∞ B.(),0-∞ C.()2,+∞ D.(),2-∞-思路：先分析()f x 的定义域：()()240,22,x x ->⇒∈-∞-+∞ ，再观察解析式可得()f x 可视为函数212log ,4y t t x ==-的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点，可分别分析两个函数的单调性，对于12log y t =而言，y 对t 是减函数。
所以如要求得增区间，则24t x =-中t 对x 也应为减函数。
结合定义域可得()f x 的单调增区间为(),2-∞-答案：D例3：求函数()()32333xf x x x x e-=+--的单调区间（2009宁夏，21题（1））思路：第一步：先确定定义域，()f x 定义域为R ，第二步：求导：()()'232()363333xxf x x x ex x x e --=+--+--()()()3933x x x x e x x x e --=--=--+,第三步：令'()0f x >,即()()330xx x x e---+>第四步：处理恒正恒负的因式，可得()()330x x x -+<第五步：求解()()3,03,x ∈-+∞ ,列出表格x (),3-∞-()3,0-()0,3()3,+∞'()f x -+-+()f x 减增减增例4：求函数()()ln ln 2f x x x x =+-+的单调区间解：定义域()0,2x ∈()()()()(()2'221121=2222x x x x x x x f x x x x x x x x x -+-++--=++==----()0,2x ∈ 20,0x x ∴-<+∴令导数()'0f x >解得：0xx -<⇒<（通过定义域大大化简解不等式的过程）∴例5：求函数()2f x =的单调区间解：()()122'32112ln ln ln 4ln 122x x xx x x f x x x -⋅-==令()'0fx >，即解不等式()ln ln 40x x -<，解得40ln 41x x e <<⇒<<()f x ∴的单调区间为x ()0,1()41,e ()4,e +∞()'f x -+-()f x ↘↗↘例6：求函数()1ln f x x x =--的单调区间思路：函数还有绝对值，从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值，在求导进行单调性分析解：()1ln ,11ln ,01x x x f x x x x -->⎧=⎨--<<⎩，当()0,1x ∈时，()1ln f x x x =--为减函数当()1,x ∈+∞时，()'111x f x x x-=-=1x > ()'0f x ∴>()f x ∴在()1,+∞单调递增综上所述：()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增（1）对于含绝对值的函数，可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可去掉绝对值，从而将函数转变为一个分段函数。
含参数函数的单调区间典例精讲
含参数函数的单调区间典例精讲例1：已知函数()1ln xf x x ax-=+，求()f x 的单调区间解：定义域()0,x ∈+∞()111ln f x x a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()'22111ax f x ax x ax -∴=-+=令()'0fx >，所解不等式为10ax a->当0a >时，即解不等式110ax x a->⇒>()f x ∴的单调区间为：x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()'f x -+()f x 减增当0a <时，10,0ax a -<<()'0f x ∴>恒成立()f x ∴为增函数:例2：已知函数()32331f x ax x a=-+-（1）若()f x 的图像在1x =-处的切线与直线113y x =-+垂直，求实数a 的值（2）求函数()f x 的单调区间解：（1）由切线与113y x =-+垂直可得：()'13f -=()'236f x ax x=-()'13631f a a ∴-=+=⇒=-（2）思路：导函数()'236fx ax x =-，令()'0f x >解单调增区间，得到含参不等式。
分类讨论时注意a 扮演两个角色：一个是影响最高次项的符号，一个是影响方程的根()'236f x ax x =-令()'0f x >即2360ax x ->()320x ax ∴->①0a >1220,x x a==21x x ∴>（将a 的范围分类后，要善于把每一类的范围作为已知条使用件，在本题中使用0a>的条件使得12,x x 大小能够确定下来，避免了进一步的分类）()f x ∴的单调区间为：x (),0-∞20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()'f x +-+()f x 增减增②0a <21x x ∴<()f x ∴的单调区间为：x2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2,0a ⎛⎫⎪⎝⎭()0,+∞()'f x +-+()f x 增减增例3：已知函数()22ln f x x ax =-，求()f x 的单调区间解：定义域：()0,x ∈+∞()2'2222ax f x ax x x-=-=，令()'0f x >，可得：2220ax ->即21ax <当0a >时，21x x a a ⎛<⇒∈ ⎝⎭()f x ∴的单调区间为：当0a =时，()2ln f x x =为增函数当0a <时，()2'22220ax f x ax x x-=-=>恒成立()f x ∴为增函数例4：讨论函数()()21ln 1f x a x ax =+++的单调区间解：()2'1212a ax a f x ax x x+++=+=令()'0f x >即()2221021ax a ax a ++>⇒>-+（注意定义域为()0,+∞，所以导函数分母恒正，去掉后简化所解不等式）①0a >时212a x a+>-（求解x 需要除以2a 后开方，进而两个地方均需要分类讨论，先从2a 的符号入手）1002a a a+>∴-< ()'0f x ∴>恒成立，()f x 在()0,+∞单调递增②0a =函数()ln 1f x x =+为增函数③0a <时212a x a+<-（下一步为开方出解集，按12a a+-的符号进行再分类）当102a a+-≤即1a ≤-时，()'0f x ≤恒成立，()f x 在()0,+∞单调递减当102a a +->即10a -<<时，解得：0x <<()f x ∴的单调区间为：本题定义域为()0,+∞，故对单调区间既有促进作用又有制约作用：促进作用体现在对所解不等式的简化，请大家养成一个良好习惯，当已知变量范围时，一边关注范围一边解不等式。
函数值域的求法典例精讲
函数值域的求法典例精讲1、换元法：例1：函数()2f x x =-的值域是（）A.[)0,+∞ B.17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。
解：()f x 的定义域为[)1,+∞令t =0t ∴≥，则21x t =+()2211521248y t t t ⎛⎫∴=+-=-+⎪⎝⎭[)0,t ∈+∞ ()f x ∴的值域为15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例2（1）函数113x y -=的值域为（）A.()0,+∞ B.()()0,11,+∞ C.{}|1x x ≠ D.()1,+∞（2）函数()[]1428,2,2xx f x x +=--∈-的值域为__________（3）函数1ln 1x x e y e +=-的值域为__________思路：（1）本题可视为()3f x y =的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令11t x =-，则()(),00,t ∈-∞+∞ ，所以可得()()30,11,ty =∈+∞ （2）如前文所说，()()214282228xx x x f x +=--=-⋅-，将2x视为一个整体令2x t =，则可将其转化为二次函数求得值域解：()()214282228xx xx f x +=--=-⋅-令2xt =[]2,2x ∈- 1,44t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦()222819y t t t =--=--()f x ∴的值域为[]9,0-（3）所求函数为()ln f x ⎡⎤⎣⎦的形式，所以求得11x x e e +-的范围，再取对数即可。
对11x x e e +-进行变形可得：12111x x xe e e +=+--，从而将1x e -视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围解：定义域：()100,xe x ->⇒∈+∞12111x x xe e e +=+-- 令1xt e =-()0,t ∴∈+∞()211,t ∴+∈+∞()1ln 0,1x x e y e +∴=∈+∞-答案：（1）B（2）[]9,0-（3）()0,+∞例3：已知函数()[]23log ,1,4f x x x =+∈，则()()()22g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦的值域为（）A.[]18,2-- B.[]11,6-- C.[]18,6- D.[]11,2--思路：依题意可知()()()22222223log 3log log 4log 6g x x x x x =+-+=---，所以可将2log x 视为一个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注意的是()g x 的定义域，由已知()f x 的定义域为[]1,4，则()()()22g x f xf x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为：21414x x ⎧≤≤⎨≤≤⎩，解得：[]1,2x ∈，而不是[]1,4解：()()22223log 3log g x x x =+-+()222232log log 6log 9x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()222log 4log 6x x =---()f x 的定义域为[]1,4，且()()()22g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦21414x x ⎧≤≤∴⎨≤≤⎩，解得：[]1,2x ∈令2log t x =，则[]0,1t ∈()224622y t t t ∴=---=-+-[]11,6y ∴∈--，即()g x 的值域为[]11,6--答案：B 2、数形结合例4：（1）设函数()y f x =定义域为R ，对给定正数M ，定义函数()()()(),,M f x f x M f x M f x M≤⎧⎪=⎨>⎪⎩则称函数()M f x 为()f x 的“孪生函数”，若给定函数()22,20,121,0x x x f x M x ⎧--≤≤⎪==⎨->⎪⎩，则()M y f x =的值域为（）A.[]2,1- B.[]1,2- C.(],2-∞ D.(],1-∞-（2）定义{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，设(){}2min 23,1,53f x x x x =++-，则()f x 的最大值是__________思路：（1）根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以y M =为分界线，()f x 图像在y M =下方的图像不变，在M 上方的图像则变为y M =，通过作图即可得到()M f x 的值域为[]2,1-（2）本题若利用{}min ,,a b c 的定义将()f x 转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则()f x为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得()f x 的最大值点为21y x =+与53y x =-在第一象限的交点，即211253x y x y y x=⎧=+⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩，所以()max 2f x =答案：（1）A（2）2例5：已知函数()()()()222222,228f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+，设()()(){}()()(){}12max ,,min ,H x f x g x H x f x g x ==，（其中{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值）记()1H x 的值域为A ，()2H x 的值域为B ，则A B = ______________思路：由()()12,H x H x 的定义可想到其图像特点，即若将()(),f x g x 的图像作在同一坐标系中，那么()1H x 为()(),f x g x 图像中位于上方的部分，而()2H x 为()(),f x g x 图像中位于下方的部分。
高中数学三角函数的应用举例讲解
高中数学三角函数的应用举例讲解在高中数学学习中，三角函数是一个重要的知识点，也是一个较为复杂的内容。
它不仅在数学中有广泛的应用，还与许多实际问题密切相关。
本文将通过几个具体的例子，来讲解三角函数的应用，并重点突出解题技巧和使用指导。
例一：角度的度数转化在解决实际问题时，有时我们需要将弧度制的角度转化为度数制。
例如，一辆车以每小时60公里的速度行驶，求其每分钟的速度。
这个问题涉及到角速度的概念，而角速度的单位通常是弧度/秒。
因此，我们需要将每小时60公里转化为弧度/秒。
解题思路：1. 首先，将速度单位转化为弧度/小时。
由于1小时等于60分钟，而一圈的周长是2π，所以速度转化为弧度/小时的公式是：60公里/小时 × 1000米/公里 × 1小时/60分钟 × 1圈/2π千米。
2. 接下来，将弧度/小时转化为弧度/秒。
由于1小时等于3600秒，所以速度转化为弧度/秒的公式是：弧度/小时 × 1小时/3600秒。
通过以上步骤，我们可以得到每分钟的速度，从而解决了这个问题。
例二：三角函数的几何应用三角函数在几何中的应用非常广泛，例如求解三角形的面积、边长等问题。
下面以求解三角形面积为例进行讲解。
问题描述：已知一个三角形的两边长分别为a和b，夹角为θ，求解该三角形的面积。
解题思路：1. 首先，根据三角形面积的公式S=1/2absinθ，我们可以得到三角形的面积公式。
2. 其次，根据已知条件，将a、b和θ代入公式中，即可求得三角形的面积。
通过以上步骤，我们可以解决这个问题，并得到三角形的面积。
例三：三角函数在物理中的应用三角函数在物理中的应用也非常广泛，例如在运动学中的速度、加速度等问题中，常常会涉及到三角函数的运算。
问题描述：一个物体以初速度v0沿着直线做匀速直线运动，经过时间t后，它的速度变为v，求解物体的加速度。
解题思路：1. 首先，根据匀速直线运动的公式v=v0+at，我们可以得到物体的速度公式。
高一例题讲解函数教案
高一例题讲解函数教案函数是高中数学中的重要知识点，也是学生们比较容易混淆的概念之一。
为了帮助学生更好地理解和掌握函数的相关知识，本文将以高一例题为例，讲解函数的相关概念和解题方法。
首先，我们来看一个典型的高一函数例题：已知函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 1，求解f(g(x))和g(f(x))。
针对这个例题，我们可以按照以下步骤进行解题：1. 首先，我们需要明确函数的复合运算。
对于函数f(g(x))，我们需要先计算g(x)，然后将g(x)的结果代入函数f(x)中，即f(g(x)) = f(g(x)) = f(x^2 - 1) = 2(x^2 - 1) + 3 = 2x^2 - 2+ 3 = 2x^2 + 1。
2. 接下来，我们计算g(f(x))。
同样地，我们需要先计算f(x)，然后将f(x)的结果代入函数g(x)中，即g(f(x)) = g(f(x)) =g(2x + 3) = (2x + 3)^2 - 1 = 4x^2 + 12x + 9 - 1 = 4x^2 +12x + 8。
通过以上步骤，我们成功求解出了f(g(x))和g(f(x))的值。
这个例题展示了函数的复合运算，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入，通过这种方式来求解复合函数的值。
接下来，我们来讲解一些函数的基本概念和性质，以便帮助学生更好地理解函数的相关知识。
首先，函数的定义：函数是一个或多个自变量（通常用x表示）的表达式，它们的值与因变量（通常用y表示）的值有对应关系。
在函数中，自变量的值称为定义域，因变量的值称为值域。
函数通常用f(x)或者y来表示，其中f表示函数名称，x表示自变量，y表示因变量。
其次，函数的图像：函数的图像是函数在坐标系中的几何表现，它反映了自变量和因变量之间的对应关系。
通过函数的图像，我们可以直观地了解函数的增减性、奇偶性、周期性等性质。
再次，函数的性质：函数有很多重要的性质，比如奇偶性、周期性、单调性、最值等。
(经济中常用的函数)精讲
R(400) 200 400 80000 元 R(600) 180 600 10000 118000 元
12
2.供给函数
供给函数，记为 S S ( p)． 供给函数为价格 p 的单调增加函数．
线性供给函数为 S c dp (c 0, d 0) ． 使某种商品的市场需求量与供给量相等 的价格 p0，称为均衡价格．
19500(元)
例1 当鸡蛋收购价为每 kg 4.5元时，某 收购站每月能收购5 000 kg ．若收购价每 kg 提高0.1元，则收购量可增加400 kg ，求鸡蛋 的线性供给函数．
解 设鸡蛋的线性供给函数为 S c dp ， 由题意有 5 000 c 4.5d， 5 400 c 4.6d． 解得 d 4 000 ， c 13 000 ，所求供给函数为 S 13 000 4 000 p ．
例8
某产品日产量不超过1000件，已知产
品的固定成本为500(元)，每生产 x 件产品
1 2 的生产成本为 x 100 x ，每件售价为 6 1 400 x ，求利润函数以及销售400件时的 3
利润。
解
由题设成本函数
1 2 C C ( x) x 100 x 500 6
收入函数
10
例6 某产品每台售价200元，当年产量500台 以内时，可以全部售出；当年产量超过500台 时，经广告宣传后又可再多卖200台，这时需 要支付每台20元的广告费。生产再多，本年 就卖不出去了。试建立销售总收入 R 关于产 量 q 的收入函数。并求当产量为400台、600 台时的收入为多少元？
11
R R(Q) PQ QP ．(Q)
9
函数典型例题选讲
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
y
（3）在抛物线上是否还存在
A (0,2)
点P（点B除外），使△ACP B
仍然是以AC为直角边的等腰
O
直角三角形？若存在，求所
C(-1,0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
有点P的坐标；若不存在，请
说明理由．
y
A (0,2)
B
O
C(-1,0)
函数部分 典型例题选讲
1 如图，反比例函数
y
8
x的图象过矩形OABC
的顶点B，OA、0C分别在x轴、y轴的正半
轴上，OA：OC=2：1．
（1）设矩形OABC的对角线交于点E，求出 E点的坐标；
（2）若直线 y 2x m平分矩形OABC面
积，求m的值．
1在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三 角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上 ，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所
S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值 范围.
y
5
A
4
B
3
2
C
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
y
5
4A B
3
2
E' C
F
1
E GK P J D H
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1
y
-2
y
5
A
4
B
E'
F
3
2
C
M
G
1
E
-5 -4 -3 -2 -1
函数的零点与解析问题及例题分析
函数的零点与解析问题及例题分析1. 函数的零点函数的零点指的是函数取值为零的点，即满足$f(x) = 0$的$x$值。
求函数的零点是许多数学问题中的基本任务。
求函数的零点方法很多，常见的包括二分法、牛顿法、割线法等。
下面以二分法为例来说明求函数零点的过程。
例题1：：已知函数$f(x) = \sin(x)$，求$f(x)$的零点。
解析过程如下：1. 首先确定一个区间$[a, b]$，使得$f(a)$和$f(b)$异号。
2. 将区间中点记作$c$，计算$f(c)$的值。
3. 如果$f(c)$为零，则$c$是$f(x)$的零点；否则，根据$f(c)$和$f(a)$（或$f(b)$）的符号确定新的区间。
4. 重复步骤2和3，直到找到一个足够接近零点的解。
2. 解析问题解析问题是指在数学运算中的一些特殊情况，如分母为零、根号内为负数等。
解析问题的存在可能导致函数无法取值或无法计算。
解析问题的判定和处理与具体的数学表达式有关。
以下是一些常见的例子：- 分母为零：当函数中出现分母为零的情况时，其解析问题是分母为零的$x$值，并且在该点处函数无法取值。
- 根号内为负数：当函数中出现根号内为负数的情况时，其解析问题是根号内为负数的$x$值，并且在该点处函数无法计算。
解析问题在数学问题的解决中需要注意，可以通过数值计算的方法来规避这些问题。
3. 例题分析例题2：：已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$，求$f(x)$的定义域。
解析过程如下：由于分母为$x^2 - 4$，我们需要排除使分母为零的情况。
即解方程$x^2 - 4 = 0$，求得$x = \pm 2$。
因此，函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$。
以上是关于函数的零点与解析问题的简要分析和例题讲解。
希望对您有所帮助！。
基本初等函数讲义(全)
基本初等函数讲义(全)一、一次函数一次函数可以表示为y=kx+b（k不等于0），其中k表示斜率，b表示截距。
当k大于0时，函数图像随着x的增大而增大，当k小于0时，函数图像随着x的增大而减小。
当b大于0时，函数图像在y轴上方，当b小于0时，函数图像在y轴下方。
当b等于0时，函数图像经过原点。
二、二次函数1）二次函数有三种解析式形式：一般式、顶点式和两根式。
一般式为f(x)=ax^2+bx+c（a不等于0），顶点式为f(x)=a(x-h)^2+k（a不等于0），两根式为f(x)=a(x-x1)(x-x2)（a不等于0）。
2）求二次函数解析式的方法有三种情况：已知三个点坐标时，宜用一般式；已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式；若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便。
3）二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。
-Δ/4a)。
当a大于0时，抛物线开口向上，函数在(-∞。
-b/2a)上递增，在[-b/2a。
+∞)上递减，最小值为f(-b/2a)；当a小于0时，抛物线开口向下，函数在(-∞。
-b/2a]上递增，在[-b/2a。
+∞)上递减，最大值为f(-b/2a)。
三、幂函数1）幂函数可以表示为y=x^α，其中x为自变量，α是常数。
2）所有的幂函数在(0.+∞)都有定义，并且图像都通过点(1,1)。
四、指数函数1）根式的概念是指，如果xn=a，a属于实数，x属于实数，n大于1，且n属于正整数，那么x叫做a的n次方根。
2）正数的正分数指数幂的意义是，a的n次方根的正分数指数幂等于a的n次方。
正数的负分数指数幂没有意义。
非奇非偶函数指的是在定义域为(0.+∞)上的减函数。
对于loga x，当x>1时，函数值递增；当x<1时，函数值递减；当x=1时，函数值为0.在第一象限内，a越大，函数图像越靠低；在第四象限内，a越大，函数图像越靠高。
二次函数举例
二次函数举例
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲二次函数！啥是二次函数呀？就好比是生活中的一条奇妙曲线。
你看啊，就说投篮吧！当我们把篮球往篮筐扔出去的时候，那篮球飞行的轨迹不就像是一个二次函数嘛。
它先上升，然后到了一个最高点，再落下来。
就像抛物线一样，多有意思！
还有啊，公园里的喷泉！那水喷出来，往上冲，然后再落下来，不也是个二次函数的样子嘛！你说神奇不神奇？
我记得有一次，我和小伙伴们在院子里玩弹弓。
我把石子射出去，看着它飞的轨迹，我突然就想到，这可不就是二次函数嘛。
当时我就喊小伙伴们：“嘿，你们看，这像不像我们学的二次函数啊！”他们都觉得很惊奇，纷纷开始观察起来。
咱再来说说二次函数的图像，那可是有各种各样的形状呢！有时候它开口向上，就像一个人笑着张开嘴巴；有时候它开口向下，又感觉像是很沮丧的样子。
这像不像我们的心情呀，有时开心有时难过。
而且哦，通过二次函数，我们可以解决好多实际问题呢！比如怎么让喷泉喷得更高呀，怎么计算投篮的最佳角度啊。
哎呀，二次函数可真是太有用啦！
在我看来，二次函数就像是一个隐藏在数学世界里的小宝藏，等待着我们去发现和挖掘。
它既有趣又实用，能让我们看到生活中那些奇妙的曲线背后的秘密。
大家可千万别小瞧了它呀！。
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函数例讲
（陶平生）
1、求函数()f x =的最小值．
2、若实数,x y 满足2225x y +=，求函数(,)f x y 的最大值．
3、设k 为正整数，如果**:f N N →为严格递增函数，且对每个*n N ∈，都有： (())f f n kn =，求证：对每个*n N ∈，都有：
21()12
k k n f n n k +≤≤+． 4、设:f R R →，满足：对任何,x y R ∈，都有：
()()(23)3()3()6f x f y f xy f x y f x x =+++-+．
求()f x 的表达式．
5、f 是一个定义在平面上的实值函数，使得对于平面上的任一个正方形ABCD ，均有()()()()0f A f B f C f D +++=．
问是否对于平面上的任一点P ，都有()0f P =？
6、设(),,f x y z =λ，使得对于任何满足4x y z ++=的正数,,x y z ，都有(),,f x y z λ>．
7、设正数,,,,,a b c x y z 满足;;cy bz a az cx b bx ay c +=+=+=，
求函数222
(,,)111x y z f x y z x y z
=+++++的最小值．
8、对于函数(),f x y ，如果存在函数 ()()()(),,,a x b y c x d y ，使 ()()()()(),f x y a x b y c x d y =+，则称(),f x y 为p -函数. 试确定：
()1.1xy +是否为p -函数？ ()222.1x y xy ++是否为p -函数？
9、证明：满足不等式122001012200
x x x +++>--- 的实数x 的集合E 可以表为一些互不相交的开区间之并，试求出这些区间长度的总和．
10、2011个实数122011, ,,x x x 满足方程组 2011
11
, 1,2,,2011.
21k
k x n n k n ===++∑ 试计算 2011
121
k k x k =+∑的值.
11、设实数a ≥b ≥c ≥d ＞0，求函数
)1)(1)(1)(1(),,,(a d b
d c a
c b d
b a c
d c b a f ++++++++=的最小值.
12、已知函数(
)f x =+()0x ,∈+∞．
()1．当8a =时，求()f x 的单调区间；
()2．对任意正数a ，证明：()12f x <<．。