传递函数

2.3.6 典型环节及其传递函数
比例环节传递函数
输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。 输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。即 则传递函数为
y(t) = K (t) ， x
G(s) =
Y(s) = K ，式中 式中K——放大系数 放大系数 X(s)
惯性环节(非周期环节 惯性环节 非周期环节) 非周期环节
Y(s)=0的根称为零点。 的根称为零点。 的根称为零点 X(s)=0的根称为极点。 的根称为极点。 的根称为极点 零点和极点的数值取决于系统的参数。 零点和极点的数值取决于系统的参数。
G(s)的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性
2.3.5 传递函数的特点
传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。 传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。
2.3.2 传递函数的概念
在零初始条件下，线性定常系统输出象函数Y(s)和输入象函数 在零初始条件下，线性定常系统输出象函数 和输入象函数X(s)之比，称为系统的传 之比， 和输入象函数 之比 递函数， 表示。 递函数，用G(s)表示。即 表示
d2 y(t) dy(t) m 2 +f +ky(t) = x(t) dt dt
2 ωn Y(s) 1 k G(s) = = 2 = 2 2 2 X(s) k s +2 ns +ωn T s +2 Ts +1 ξω ξ
则传递函数为
式中ω
k = n m
—— 无阻尼固有频率； ξ = 无阻尼固有频率；
f 1 —— 阻尼比； 阻尼比； 2 m k
dy(t) T + y(t) = Kx(t) dt
X(s) Ts +1
2.3.6 典型环节及其传递函数
微分环节
输出正比于输入的微分的环节。 输出正比于输入的微分的环节。即 y(t) =T dx(t) ， 则传递函数为
dt
G(s) =
Y(s) =Ts ， T——时间常数 时间常数 X(s)
积分环节
输出正比于输入的积分的环节。 输出正比于输入的积分的环节。即 则传递函数为
如当输入是单位脉冲函数时，输入的象函数为 ，其输出象函数与传递函数相同。 如当输入是单位脉冲函数时，输入的象函数为1，其输出象函数与传递函数相同。
令传递函数中的s=jω，则系统可在频域内分析。 ，则系统可在频域内分析。 令传递函数中的
2.3.6 典型环节及其传递函数
典型环节
比例环节 微分环节 一阶微分环节 二阶微分环节 积分环节 惯性环节 振荡环节 延时环节
传递函数只适用于线性定常系统。 传递函数只适用于线性定常系统。 传递函数中各项系数值和相应的微分方程中各项系数对应相等， 传递函数中各项系数值和相应的微分方程中各项系数对应相等，完全取决于 系统的结构参数。 系统的结构参数。 传递函数原则上不反映系统在非零初始条件下的全部运动规律。 传递函数原则上不反映系统在非零初始条件下的全部运动规律。 传递函数只适用于单输入单输出系统的描述， 传递函数只适用于单输入单输出系统的描述，也无法反映系统内部的中间变 量的变化情况。 量的变化情况。 当两个元件串联时，若两者之间存在负载效应， 当两个元件串联时，若两者之间存在负载效应，则必须将它们归并在一起求 传递函数，如果彼此没有负载效应，则可以分别求出传递函数，然后相乘。 传递函数，如果彼此没有负载效应，则可以分别求出传递函数，然后相乘。 当系统输入典型信号时，其输出与传递函数有一定的对应关系。 当系统输入典型信号时，其输出与传递函数有一定的对应关系。
2.3 传递函数
概述 传递函数的概念 传递函数的基本思想 特征方程、 特征方程、零点和极点 传递函数的特点 典型环节及其传递函数
2.3.1 概述
在控制系统中，直接求解系统微分方程是研究分析系统的基本方法， 在控制系统中，直接求解系统微分方程是研究分析系统的基本方法，但是求 解过程比较繁琐，难以直接以微分方程本身来研究和判断系统的动态性能。 解过程比较繁琐，难以直接以微分方程本身来研究和判断系统的动态性能。 解决办法
传递函数表达了系统内在的固有特性，而与输入量或者驱动函数无关。 传递函数表达了系统内在的固有特性，而与输入量或者驱动函数无关。 传递函数可以是有量纲的，也可是是无量纲的，视系统的输入量、 传递函数可以是有量纲的，也可是是无量纲的，视系统的输入量、输出量而 定，它包含着联系输入量与输出量所需要的量纲。 它包含着联系输入量与输出量所需要的量纲。 传递函数不表明系统的物理特性和物理结构，物理性质不相同的系统， 传递函数不表明系统的物理特性和物理结构，物理性质不相同的系统，有可 能具有相同的传递函数，即只要它们的动态特性相同， 能具有相同的传递函数，即只要它们的动态特性相同，就可用同一传递函数 表示。 表示。
描述该环节的输出、 描述该环节的输出、输入之间的微分方程具有如下形式
2
d2x(t) dx(t) y(t) =T +2 T ξ + x(t) 2 dt dt Y(s) 则传递函数为 G s) = 时间常数 ( =T2s2 +2 Ts +1，T——时间常数 ξ X(s)
2.3.6 典型环节及其传递函数
2.3.3 传递函数的基本思想
传递函数的基本思想是通过系统的输入量和输出量之间的关系来描述系统的 固有特性，即以系统的外部特性来揭示系统的内部特性。 固有特性，即以系统的外部特性来揭示系统的内部特性。
传递函数是在拉氏变换的基础上，通过系统本身的参数描述使线性定常系统输入 传递函数是在拉氏变换的基础上， 量和输出量建立了联系。 量和输出量建立了联系。
2.3.4 特征方程、零点和极点 特征方程、
系统的传递函数为
+1 Y(s) bmsm +bm−1sm−1 +… b s +b 0 G(s) = = X(s) ansn +an−1sn−1 +… a s +a0 + 1
特征方程
X(s)=0称为特征方程。 称为特征方程。 称为特征方程
零点、 零点、极点
延时环节
该环节的输出滞后输入时间τ后不失真地复现输入， 该环节的输出滞后输入时间 后不失真地复现输入，其数学描述式为 后不失真地复现输入
y(t) = x(t −τ)
其传递函数为
G(s) =
Y(s) = e−τs X(s)
y(t) =T∫ x(t)dt ，
G(s) =
Y(s) T 时间常数 = ， T——时间常数 X(s) s
2.3.6 典型环节及其传递函数
振荡环节
振荡环节包含两种形式的储能元件，并且所储存的能量能够相互转换， 振荡环节包含两种形式的储能元件，并且所储存的能量能够相互转换，使得该环 节的输出，带有振荡的性质。 节的输出，带有振荡的性质。振荡环节的输出和输入之间的关系由下列微分方程 描述。 描述。
在这类环节中，总含有储能元件，以致对于突变形式输入来说， 在这类环节中，总含有储能元件，以致对于突变形式输入来说，输出不能立即复 使它的输出量落后于输入量。 现，使它的输出量落后于输入量。其运动微分方程为
式中K——放大系数，T——时间常数 放大系数， 则传递函数为 G s) = Y(s) = K ，式中 放大系数 时间常数 (
Y(s) G(s) = X(s)
线性定常系统的微分方程为
dn y(t) dn−1y(t) dy(t) dmx(t) dm−1x(t) dx(t) an +an−1 +… a + 1 +a0 y(t) =bm +b −1 +… b +1 +b x(t) m 0 n n− 1 m m− 1 dt dt dt dt dt dt
对于线性定常系统，采用传递函数来分析系统。 对于线性定常系统，采用传递函数来分析系统。 传递函数是一种常用的数学模型，是建立在拉氏变换的基础上的， 传递函数是一种常用的数学模型，是建立在拉氏变换的基础上的，可以间接地分 析系统结构和参数与系统性能的关系， 析系统结构和参数与系统性能的关系，并且可以根据传递函数在复平面上的形状 直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。所以， 直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。所以，用传递函数描述系 统可以免去求解微分方程的麻烦。 统可以免去求解微分方程的麻烦。
T=
1
ωn
——时间常数。 时间常数。 时间常数
2.3.6 典型环节及其传递函数
一阶微分环节
描述该环节的输出、 描述该环节的输出、输入之间的微分方程具有如下形式
y(t) =Tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则传递函数为 G s) = (
Y(s) 时间常数 =Ts +1 ，T——时间常数 X(s)
dx(t) + x(t) dt
二阶微分环节
则根据传递函数的定义，在零初始条件下， 则根据传递函数的定义，在零初始条件下，系统的传递函数为
Y(s) bmsm +bm−1sm−1 +… b s +b +1 0 G(s) = = X(s) ansn +an−1sn−1 +… a s +a0 + 1
上式正好和象函数的有理代数分式吻合。 上式正好和象函数的有理代数分式吻合。 传递函数分母多项式中s的最高幂数代表了系统的阶数。 的最高幂为 的最高幂为n， 传递函数分母多项式中 的最高幂数代表了系统的阶数。如s的最高幂为 ，则该系统为 的最高幂数代表了系统的阶数 n阶系统。 阶系统。 阶系统
传递函数的概念和基本思想在控制理论中具有特别重要的意义。 传递函数的概念和基本思想在控制理论中具有特别重要的意义。
当系统内部结构不清楚，或者根本无法弄清它的内部结构时， 当系统内部结构不清楚，或者根本无法弄清它的内部结构时，借助系统的输入来 看输出，也可以研究系统的功能和固有特性。 看输出，也可以研究系统的功能和固有特性。