7.3.1整式乘法-单项式的乘法
上海七年级数学秋季 第4讲：整式的乘法
七年级数学04整式的乘法内容分析：本节课能够需要同学理解整式乘法的法则，能够熟练地进行单项式，多项式之间的乘法计算．通过与有理数乘法的分配律进行类比，加深对这些法则的理解．重点是熟练掌握单项式、多项式之间的乘法法则以及推导，并能够灵活应用．难点是分清单项式与单项式相乘中，幂的运算法则，单项式与多项式相乘时结果的符号的确定。
知识结构：模块一：单项式与单项式相乘知识精讲：1、单项式与单项式相乘的运算法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．2、单项式与单项式相乘的运算步骤（1）系数相乘的结果作为积的因数；（2）相同字母运用同底数幂的乘法法则计算；（3）把只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式．3、单项式与单项式相乘，积还是单项式．例题解析：【例1】计算：232(3)x x ⋅-的结果是（）．A .56x -B .56x C .62x -D .62x 【答案】【解析】【例2】()22123_________6xyz xy z xyz ⎛⎫-⋅-⋅= ⎪⎝⎭．【答案】【解析】【例3】计算：（1）()()523x xy x y -⋅⋅；（2）()2231(2)64p q pq pq ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭；（3）()()()3323222a b b a ab ⎡⎤-⋅-⋅-⋅⎣⎦．【答案】【解析】【例4】先化简，后求值：23332223141644x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0.4x =， 2.5y =-．【答案】【解析】【例5】若230x y <，化简：()75122xy x y -⋅--．【答案】【解析】模块二：单项式与多项式相乘知识精讲：1、单项式与多项式相乘法则用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相乘．2、单项式与多项式相乘的注意事项：（1）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同（2）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号的确定：同号相乘得正，异号相乘得负．例题解析：【例6】下列计算中，正确的是（）．A .()23236x x y x xy x-=-+B .232(283)4166m m m m m m-+-=-+-C .()2276176y x x x y xy y-+-=--+D .22(1)n n n a a a a -=-【答案】【解析】【例7】解方程：2(1)(25)12x x x x ---=，x 的值是（）．A ．2B ．1C ．4D ．0【答案】【解析】【例8】计算：（1）212516362x x x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）321123123a a a a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【答案】【解析】【例9】要使()()2356ax x x ++-的展开式中不含4x 项，则_____a =．【答案】【解析】【例10】设P 是一个多项式，且22453232P x y x y x ÷=-+，求P ．【答案】【解析】【例11】已知单项式M N 、满足222(3)6x M x x y N +=+，求M N 、．【答案】【解析】【例12】已知210a a --=，求代数式322016a a -+的值．【答案】【解析】【例13】已知()()2()56m x x n x m x x -⋅-++=+-对于任意数x 都成立，求(1)(1)m n n m -++的值．【答案】【解析】【例14】已知20a b +=，求332()48a ab a b b +++-的值．【答案】【解析】模块三：多项式与多项式相乘知识精讲：1、多项式与多项式相乘法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．例题解析：【例15】关于x 的二次三项式()()7x m x -+中的常数项为14，则m 的值是（）．A .2B .2-C .7D .7-【答案】【解析】【例16】()()2345_______n n n n x y x y -+=．【答案】【解析】【例17】多项式321x x -+与2357x x +-的乘积中含3x 的系数是（）．A .13-B .13C .11-D .11【答案】【解析】【例18】若()()275x x x Ax B +-=++，则_____A =，_____B =．【答案】【解析】【例19】已知()()2283x px x x q ++-+的展开式中不含23x x 、项，则_____p =，_____q =．【答案】【解析】【例20】先化简，再求值：232(1)(2)3(2)(3)x x x x x -+--++-，其中2016x =．【答案】【解析】【例21】解方程：()()()()()()221111432x x x x x x x x +++---+=+-．【答案】【解析】【例22】已知a b m 、、均是整数，且()2(12x a x b x mx ++=++），求m 的所有可能值．【答案】【解析】【例23】如果p q a 、、均为整数，p q >且()()28x p x q x ax ++=--，求所有可能的a 值及对应的p q 、的值．【答案】【解析】【例24】阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若123456789123456786x =⨯，123456788123456787y =⨯，试比较x y 、的大小．设123456788a =，那么()21(2)2x a a a a =+-=--，2(1)y a a a a =-=-．因为()()22220x y a a a a -=----=-<，所以x y <．看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧！若20072007200720112007200820072010x =⨯-⨯，2007200820072012y =⨯-2007200920072011⨯，试比较x y 、的大小．【答案】【解析】随堂检测：【习题1】下列式子计算结果是256x x --的是（）．A .()()61x x -+B ．()()23x x -+C .()()61x x +-D .()()23x x +-【答案】【解析】【习题2】()222212________2x y xy ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【答案】【解析】【习题3】一个三项式与一个二项式相乘，在合并同类项之前，积的项数是（）．A ．五项B ．六项C ．三项D ．四项【答案】【解析】【习题4】若212n n ++=，则()()56_______n n -+=．【答案】【解析】【习题5】若()()2242y my y y n ++-+的乘积中不含2y 和3y 项，则____m =，____n =．【答案】【解析】【习题6】计算：（1）()222114323ab ab ab b ⎛⎫-⋅-⋅ ⎪⎝⎭；（2）()()2221121(36)3x x x x x x x --++-+；（3）()()()()3223334x y x y x y x y ++--+．【答案】【解析】【习题7】先化简，再求值：()()33242212312a ab a b a b ab ⎛⎫-⋅--+- ⎪⎝⎭，其中1a =-，2b =．【答案】【解析】【习题8】试证明代数式()()()233263516x x x x x ++-+++的值与x 的值无关．【答案】【解析】【习题9】计算：32003200220032004-⨯⨯．【答案】【解析】【习题10】已知()()2246x ay x by x xy y ++=--，求代数式()32a b ab +-的值．【答案】【解析】【习题11】一个长方形的长增加4厘米，宽减少1厘米。
整式的乘法(基础)知识讲解
整式的乘法(基础）【学习目标】1。
会进行单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.【要点梳理】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘,把它们的系数，相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：(1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用。
（2)单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加"进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3)运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成。
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则。
要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++。
要点诠释：(1)单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式,项数与原多项式的项数相同。
（3)计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号,同时还要注意单项式的符号。
(4）对混合运算,应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并,从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即()()a b m n am an bm bn ++=+++。
要点诠释：多项式与多项式相乘,仍得多项式。
在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积。
多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并。
七年级数学整式的乘除
06 练习题与自测
基础知识巩固练习
整式的乘法运算
通过练习不同类型的整式乘法，如单项式乘单项式、单项 式乘多项式、多项式乘多项式等，巩固乘法分配律和结合 律的应用。
整式的除法运算
通过练习整式的除法，如单项式除以单项式、多项式除以 单项式等，掌握除法的基本法则和运算技巧。
幂的运算性质
通过练习幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、除法以 及零指数幂和负整数指数幂的运算，加深对幂运算性质的 理解。
负数底数幂运算注意事项
负数底数定义
负数底数幂表示的是负数的乘方运算，如(-2)^3表示-2的三次方。
运算规则
负数底数幂的运算需遵循乘方运算的基本法则，同时需注意负数的 奇次幂和偶次幂的结果符号不同。
注意事项
在计算过程中，需特别注意底数为负数的情况，避免出现计算错误 或遗漏。
复杂根式化简技巧
根式化简基本方法
将多项式拆分为多个单项 式的和或差。
分别相除
将拆分后的每个单项式分 别除以给定的单项式。
合并同类项
将除法运算后的结果进行 合并同类项。
带余除法及应用
带余除法定理
对于多项式f(x)和g(x)，存在唯一的多项式q(x)和r(x)，使得f(x) = g(x)q(x) + r(x)，其中r(x)的次数小于g(x)的次数。
。
求解方程或表达式
利用数学运算和推理，求解出 未知量的值。
检验答案
将求解出的未知量值代入题目 条件进行检验，确保答案正确
。
计算题步骤规范及优化
明确计算目标
确定需要计算的目标和所需使 用的数学公式或方法。
列出计算步骤
按照数学运算的优先级和顺序 ，逐步列出计算步骤。
沪教版七年级上册 整式乘法-带答案
3.多项式与多项式相乘法则的推导
教学难点：
1.分清单项式与单项式相乘中，幂的运算法则
2.单项式与多项式相乘时结果的符号的确定
3.多项式与多项式相乘的应用
考点及考试要求：
1. 单项式与单项式相乘的法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算
2. 单项式与多项式相乘的法则及推导
2、已知：多项式 与3x+1的积中含 项的系数为10，且积中不含x项，求a、b的值。
a=3，b=-1
自我测试
一、选择题：
1、下列说法中，不正确的是（ D ）
A.单项式乘以单项式，其结果一定仍是单项式
B.两个单项式相乘，积的系数是这两个单项式系数的积
C.两个单项式相乘，每一个因式所含字母都在结果里出现
方法提炼
1、展开式中不含某一项，说明该项的系数为0
2、整式的乘法会联合同类项出考题，所以要熟练掌握理解定义
3、运用整式乘法的运算规律，可以简化运算
巩固练习
一、填空题：
1、 .2
2、
3、 =
4、 。
5、若 ，则A=__________。
二、选择题：
1、若多项式 ，则a、b的值为（ D ）
A.a=2，b=3 B. a=2，b=-3 C. a=-2，b= -3 D. 都不对
（1）原式= （2）原式= （3）原式=
2、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
分析：观察原式和计算结果，会发现积的最高次项和常数项恰好分别是两个因式的最高次项的乘积和两个常数项的乘积，比较两个代数式的同次项的方法，特别是比较其最高次项和常数项的方法，在考试中经常用到。
解：（1）原式= （2）原式=
整式的乘除知识点归纳
整 式 的 乘 除知识点归纳：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x5、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：532)()()(b a b a b a +=+∙+6、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m m n a a a )()(==如：23326)4()4(4== 已知：23a =，326b =，求3102a b +的值；7、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙-8、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。
整式的乘除
第一章：整式的乘除单项式式多项式同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法多项式除以单项式 一、单项式1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4、单独一个数或一个字母也是单项式。
5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。
6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7、单独的一个非零常数的次数是0。
8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9、单项式的系数包括它前面的符号。
10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。
12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式1、几个单项式的和叫做多项式。
2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式1、单项式和多项式统称为整式。
2、单项式或多项式都是整式。
3、整式不一定是单项式。
4、整式不一定是多项式。
5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。
2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。
3、几个整式相加减的一般步骤：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
（2）按去括号法则去括号。
（3）合并同类项。
4、代数式求值的一般步骤：（1）代数式化简。
（2）代入计算（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。
第4讲整式的乘法(3个知识点+3种题型+过关检测)(教师版) 24-25学年七年级数学上册(沪教版)
第04讲 整式的乘法（3个知识点+3种题型+过关检测）知识点1：单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.【要点归纳】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.知识点2：单项式与整式相乘单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.【要点归纳】（1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.知识点3：整式与整式相乘整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.【要点归纳】整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积.整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.题型一：单项式乘单项式（共9小题）1．（2022秋•嘉定区校级期末）计算221(6)3a b ab ×-= 332a b - ．【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算．【解答】解：221(6)3a b ab ×-221(6)())3a ab b =-´××××332a b =-，故答案为：332a b -．【点评】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．2．（2023秋•静安区校级月考）计算，结果用科学记数法表示：53(310)(510)-´´´= 91.510-´ ．【分析】运用整式乘法的运算法则和科学记数法知识进行运算．【解答】解：53(310)(510)-´´´53[(3)5](1010)=-´´´81510=-´91.510=-´故答案为：91.510-´．【点评】此题考查了整式乘法和科学记数法的混合运算能力，关键是能准确确定运算方法，并能进行正确的计算．3．（2023秋•闵行区校级月考）674(310)(510)(410)´´´= 18610´ ．【分析】根据单项式乘单项式法则计算后利用科学记数法表示出结果即可．【解答】解：原式1735410=´´´176010=´18610=´，故答案为：18610´．【点评】本题考查单项式乘单项式及科学记数法表示较大的数，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．4．（2022秋•杨浦区期中）计算：32347(2)()x x x x x -×-×+-．【分析】直接利用积的乘方运算法则、单项式乘单项式分别化简，进而合并同类项得出答案．【解答】解：原式6774x x x x =×--7774x x x =--72x =．【点评】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（2023秋•闵行区期中）计算：522312()(2)()2x x x x ×---×-．【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．【解答】解：原式526128()2x x x x =×-×7724x x =-72x =-．【点评】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．（2023秋•奉贤区期中）计算：37423256(2)5()x x x x x ×-×--．【分析】先根据同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方进行化简，再运用同类项法则进行合并，即可作答．【解答】解：原式3742325685x x x ++´´=+-101010685x x x =+-109x =．【点评】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．7．（2023秋•奉贤区期中）计算：423223()()(3)2a a a a a a -×---××．【分析】根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则、合并同类项法则计算即可．【解答】解：原式4266()92a a a a =×---66692a a a =---612a =-．【点评】本题考查的是单项式乘单项式、积的乘方、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．8．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：2232(3)(2)a b ab ab ×-+．【分析】利用单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则进行运算即可．【解答】解：2232(3)(2)a b ab ab ×-+333368a b a b =-+332a b =．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．9．（2023秋•闵行区校级期中）计算：37423253(2)3()x x x x x ×-×--．【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，进行计算即可求解．【解答】解：37423253(2)3()x x x x x ×-×--1046103(8)3x x x x =-´--101010383x x x =+-108x =．【点评】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方运算法则是解题的关键．题型二：单项式乘整式（共11小题）10．（2023秋•奉贤区期中）计算：23(2)x x x ---= 32336x x x -++ ．【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出答案．【解答】解：23(2)x x x ---23(3)(3)2x x x x x =-×--×--´32336x x x =-++．故答案为：32336x x x -++．【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．11．（2023秋•松江区期末）计算：2(23)x y -= 46x xy - ．【分析】根据单项式乘多项式的法则计算即可．【解答】解：2(23)46x y x xy -=-，故答案为：46x xy -．【点评】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．12．（2023秋•浦东新区期中）计算：21(1)(3)3x x x +-×-= 3233x x x --+ ．【分析】直接利用单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算得出答案．【解答】解：原式3233x x x =--+．故答案为：3233x x x --+．【点评】此题主要考查了单项式与多项式相乘的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．13．（2023秋•奉贤区期中）计算：223(2)a a ab b -×-+．【分析】利用单项式乘多项式法则计算即可得到结果．【解答】解：原式322336a a b ab =-+-．【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2023秋•宝山区校级月考）计算：32212(2)(3)23x x x x --+×-．【分析】先计算积的乘法，再利用单项式乘以多项式的乘法法则计算即可．【解答】解：32212(2)(3)23x x x x --+×-32212(2923x x x x =--+×33292(2)23x x x =--+6539932x x x =-+-．【点评】本题考查单项式的乘法，熟练掌握积的乘方和单项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键．15．（2023秋•青浦区校级期中）计算：2221(23)52x x x xy y xy --++．【分析】根据单项式乘多项式的计算方法进行计算即可．【解答】解：原式2222212352x x x y xy xy =-+-+222322x x y xy =-++．【点评】本题考查单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的计算方法以及合并同类项法则是正确解答的前提．16．（2023秋•浦东新区期中）计算：23[2(2)2(2)]2x x x y y x y x -+--+．【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项，进而得出答案．【解答】解：原式2223(2442)2x x xy xy y x =-+-++222324422x x xy xy y x =--+-+232x y =-．【点评】此题主要考查了单项式乘多项式运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．17．（2023秋•松江区月考）计算：32222442(3)()3()(3)3xy x y x x y xy x ×-+-×--．【分析】先根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可．【解答】解：32222442(3)()3()(3)3xy x y x x y xy x ×-+-×--33244544227()333x y x y x x y x y xy =×-+×++54545441833x y x y x y xy =-+++544143x y xy =-+．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘[()m n mn a a =，m ，n 为正整数]．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘[()n n n ab a b =，n 为正整数]．18．（2023秋•松江区月考）计算：2432216(2)()32xy y xy xy -+-．【分析】先算单项式乘多项式，积的乘方，再合并同类项即可．【解答】解：2432216(2)()32xy y xy xy -+-3262611244xy x y x y =-+32615124xy x y =-．【点评】本题主要考查单项式乘多项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．19．（2023秋•闵行区校级月考）计算：229(2)()x x xy y xy --+-．【分析】先计算单项式乘单项式，再根据单项式乘多项式运算法则进行运算即可．【解答】解：229(2)()x x xy y xy --+-2229(2)x y x xy y =---+432231899x y x y x y =+-．【点评】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握幂的运算是关键．20．（2022秋•青浦区期中）试用整式的运算说明：当10y z +=时，我们计算xy xz ´可以将十位数字与十位数字加一相乘的结果顺次写在千位和百位，将两个数个位数字的乘积顺次写在十位和个位，如果乘积不足两位数可以用0补齐十位．（例：计算3139´时，可以口算3412´=，199´=，则最终结果为1209)【分析】根据10,10xy x y xz x z =+=+，转换成多项式乘以多项式计算说明即可．【解答】解：因为10xy x y =+，10xz x z =+，10y z +=，所以(10)(10)xy xz x y x z ´=++，22100100101010x x xy xy y y =+-++-100(1)(10)100(1)x x y y x x yz =++-=++．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握两位数的表示法，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．题型三：整式乘整式（共10小题）21．（2023秋•静安区校级月考）如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(23)a b +，宽为()a b +的大长方形，则需要C 类卡片( )A ．2张B ．3张C ．4张D ．5张【分析】由22(23)()253a b a b a ab b ++=++，得A 类卡片的面积为2a ，B 类卡片的面积为2b ，C 类卡片的面积为ab ，因此需要A 类卡片2张，B 类卡片3张，C 类卡片5张．【解答】解：长为(23)a b +，宽为()a b +的大长方形的面积为：22(23)()253a b a b a ab b ++=++，A Q 类卡片的面积为2a ，B 类卡片的面积为2b ，C 类卡片的面积为ab ，\需要A 类卡片2张，B 类卡片3张，C 类卡片5张．故选：D ．【点评】本题考查了多项式乘法，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．22．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(3)a b +，宽为(2)a b +的大长方形，则需要A 类、B 类和C 类卡片的张数分别为( )A ．2，5，3B ．3，7，2C ．2，3，7D ．2，5，7【分析】根据多项式乘多项式的运算法则可求出长方形的面积．【解答】解：长方形的面积为22(3)(2)273a b a b a ab b ++=++，A Q 类卡片的面积为2a ，B 类卡片的面积为2b ，C 类卡片的面积为ab ，\需要A 类卡片2张，B 类卡片3张，C 类卡片7张．故选：C ．【点评】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是正确求出长方形的面积，本题属于基础题型．23．（2023秋•浦东新区期末）若2(2)(3)x x x px q +-=++，则p 的值为( )A ．5-B ．1-C ．5D ．1【分析】先根据多项式乘多项式法则，计算出(2)(3)x x +-的结果，然后求出p 的值即可．【解答】解：(2)(3)x x +-Q 2326x x x =-+-26x x =--，2(2)(3)x x x px q +-=++，1p \=-，故选：B ．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．24．（2023秋•浦东新区期末）计算：(21)(32)x x -+= 262x x +- ．【分析】直接利用多项式乘法运算法则去括号， 进而合并同类项得出即可 ．【解答】解： 原式22643262x x x x x =+--=+-．故答案为：262x x +-．【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式， 正确掌握运算法则是解题关键 ．25．（2023秋•普陀区校级期末）计算：1(3)(912)2x x +-= 2921362x x +- ．【分析】根据多项式乘多项式运算法则，准确计算．【解答】解：1(3)(912)2x x +-1(912)3(912)2x x x =-+-29627362x x x =-+-2921362x x =+-．故答案为：2921362x x +-．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是关键．26．（2023秋•崇明区期末）计算：(32)(2)a b a b +-= 22344a ab b -- ．【分析】利用多项式乘多项式的乘法展开计算，进一步合并即可．【解答】解：原式223624a ab ab b =-+-22344a ab b =--．故答案为：22344a ab b --．【点评】此题考查多项式乘多项式，掌握计算方法是解决问题的关键．27．（2023秋•青浦区期末）如图，现有边长为a 的正方形A 、边长为b 的正方形B 和长为2b 宽为a 的长方形C 的三类纸片（其中)a b >．用这三类纸片拼一个长为26a b +、宽为3a b +的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要C 类纸片 10 张．【分析】根据长方形的面积=长´宽，求出长为26a b +、宽为3a b +的长方形的面积是多少，判断出需要C 类卡片多少张即可．【解答】解：长为26a b +、宽为3a b +的长方形的面积为：22(26)(3)6206a b a b a ab b ++=++，Q 正方形A 的面积为2a ，正方形B 的面积为2b ，长方形C 的面积为2ab ，\需要A 类卡片6张，B 类卡片6张，C 类卡片10张，故答案为：10．【点评】本题考查了多项式乘以多项式的运算方法，解题关键是熟练掌握运算法则．28．（2022秋•青浦区期中）已知222(2)(235)x ax bx x x -++-+的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为 2- ．【分析】利用多项式乘多项式法则将原式展开，根据题意展开式中不含三次项和四次项，可得220a -=，3320a b -++=，求解即可得a ，b 的值，然后代入求值可确定展开式中二次项和一次项的系数，求和即可得答案．【解答】解：222(2)(235)x ax bx x x -++-+4324323222352352354610x x x ax ax ax bx bx bx x x =-+-+-+-++-+432(22)(332)(5534)(56)10a x a b x a b x b x =-+-+++--++-+，根据题意，展开式中不含三次项和四次项，220a \-=，3320a b -++=，解得1a =，0b =，55345513044a b \--+=-´-´+=，565066b -=´-=-，即展开式中二次项系数为4，一次项的系数为6-，\展开式中二次项和一次项的系数之和为4(6)2+-=-．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式运算、多项式相关概念、代数式求值等知识，熟练掌握多项式乘多项式运算法则，正确展开原式是解题关键．29．（2022秋•青浦区期中）计算：232(1)(1)n n n n x x x x ++-+．【分析】根据多项式乘以多项式的法则，即可得出结论．【解答】解：232(1)(1)n n n n x x x x ++-+54243321n n n n n n n n x x x x x x x x =-++-++-+51n n x x =++．【点评】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确运用同底数幂的乘法是解题的关键．30．（2022秋•长宁区校级月考）计算：(2)(31)3(1)(25)x x x x -+-+-．【分析】根据整式的混合运算法则先算乘法，然后计算加减即可求解．【解答】解：(2)(31)3(1)(25)x x x x -+-+-223623(2525)x x x x x x =+----+-223526915x x x x =---++23413x x =-++．【点评】此题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则和顺序．一．选择题（共5小题）1．（2022秋•浦东新区校级期中）下列运算中，正确的是( )A ．236()x x -=B ．236236m m m ×=C ．333()xy x y -=-D ．22244(3)6a b a b =【分析】根据单项式乘单项式以及幂的乘方与积的乘方法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A 、236()x x -=-，故本选项错误，不符合题意；B 、235236m m m ×=，故本选项错误，不符合题意；C 、333()xy x y -=-，故本选项正确，符合题意；D 、22244(3)9a b a b =，故本选项错误，不符合题意；故选：C ．【点评】此题考查了单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握单项式乘单项式以及幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．2．（2023秋•浦东新区校级期末）53(410)(2510)´´´的计算结果是( )A ．810010´B ．17110´C ．10110´D ．1510010´【分析】运用单项式乘单项式和科学记数法知识进行求解、辨别．【解答】解：53(410)(2510)´´´53(425)(1010)=´´´810010=´10110=´，故选：C ．【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．3．（2023秋•松江区月考）2123(2)(0.5)()4m n n m x y x y x y --×-×的结果是( )A ．2122m n x y +-B ．22234m n x y -C ．21234m nx y +D ．212234m n x y ++【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．【解答】解：2123(2)(0.5)()4m n n m x y x y x y --×-×21232(0.5)4m m n n x y ++-++=-´-´212234m n x y ++=．故选：D ．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．4．（2023秋•闵行区校级月考）若m 、n 为整数，且2()()12x m x n x ax ++=++，则a 不可能是( )A ．7B ．6C ．13-D ．8-【分析】根据12mn =，m 、n 为整数，可得m 、n 有6组值，分别计算即可得出a 的值，从而作出判断．【解答】解：2()()12x m x n x ax ++=++Q ，22()12x m n x mn x ax \+++=++，即12mn =，m Q 、n 为整数，12112(1)(12)26(2)(6)34(3)(4)=´=-´-=´=-´-=´=-´-，1m \=，12n =或1m =-，12n =-或2m =，6n =或2m =-，6n =-或3m =，4n =或3m =-，4n =-，13m n \+=或13m n +=-或8m n +=或8m n +=-或7m n +=或7m n +=-，即a 的值为13±，8±，7±，不可能为6，故选：B ．【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，注意不要漏解．5．（2023秋•静安区校级月考）若单项式8a x y -和214b x y 的积为562x y -，则ab 的值为( )A ．2B ．30C ．15-D ．15【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a ，b 即可，【解答】解：2215618224a b a b x y x y x y x y ++-´=-=-，25a \+=，16b +=，解得3a =，5b =，3515ab \=´=，故选：D ．【点评】此题考查了单项式乘单项式，关键是求得a ，b 的值．二．填空题（共8小题）6．（2023秋•宝山区期末）计算：223a a ×= 36a ．【分析】先把系数相乘，然后利用同底数幂的乘法计算．【解答】解：原式36a =．故答案为：36a ．【点评】本题考查了单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是关键．7．（2023秋•普陀区校级期末）计算：38321()711a a ×-= 11911a - ．【分析】根据单项式乘单项式运算法则，准确计算．【解答】解：3838113213219()71171111a a a a a ×-=-´×=-．故答案为：11911a -．【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式运算法则是关键．8．（2023秋•普陀区期末）计算：(5)(2)x y x y -+= 22295x xy y -- ．【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，根据多项式乘多项式的法则计算即可．【解答】解：(5)(2)x y x y -+222105x xy xy y =+--22295x xy y =--．故答案为：22295x xy y --．【点评】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟记法则，运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．9．（2023秋•静安区校级月考）若22(8)(3)x ax x x b ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，a b += 4 ．【分析】由多项式乘以多项式进行化简，然后结合不含2x 和3x 项，求出3a =，1b =，即可求出答案．【解答】解：22(8)(3)x ax x x b ++-+432322338248x x bx ax ax abx x x b=-++-++-+432(3)(38)(24)8x a x b a x ab x b =+-+-++-+，Q 其结果中不含2x 和3x 项，30a \-=，380b a -+=，解得：3a =，1b =，314a b \+=+=．故答案为：4．【点评】本题考查了多项式乘以多项式、代数式求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．10．（2022春•冷水滩区校级期中）若二项式3x a +与2x +相乘，化简后结果中不出现一次项，则a 的值是 6- ．【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不出现一次项确定出a 的值即可．【解答】解：根据题意得：2(3)(2)3(6)2x a x x a x a ++=+++，由结果中不出现一次项，得到60a +=，解得：6a =-，故答案为：6-．【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（2022秋•杨浦区期末）已知：3a b +=，23ab =，化简(1)(1)a b --的结果是 43- ．【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：3a b +=Q ，23ab =，\原式24()13133ab a b =-++=-+=-．故答案为：43-．【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2022秋•浦东新区校级期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为(2)a b +，宽为(3)a b +的矩形．则需要A 类卡片 2 张，B 类卡片 张，C 类卡片 张．【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量．【解答】解：长为2a b +，宽为(3)a b +的矩形面积为：22(2)(3)273a b a b a ab b ++=++，A Q 类卡片的面积为2a ，B 类卡片的面积为2b ，C 类卡片的面积为ab ，\需要A 类卡片2张，B 类卡片3张，C 类卡片7张．故答案为：2；3；7．【点评】本题考查了多项式与多项式的乘法运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．13．（2022秋•长宁区校级期中）若p 、q 、r 均为整数(0)p q >>，且2()()15x p x q x rx ++=--，则r 的值为 2或2-或14或14- ．【分析】将()()x p x q ++展开，根据结果得到p q r +=-，15pq =-，再结合p ，q 的范围求出具体值，代入计算可得r 值．【解答】解：22()()()15x p x q x p q x pq x rx ++=+++=--，则p q r +=-，15pq =-，p Q 、q 、r 均为整数(0)p q >>，5p \=，3q =-或3p =，5q =-，15p =，1q =-或，1p =，15q =-，()2r p q \=-+=±或()14r p q =-+=±，故答案为：2或2-或14或14-．【点评】本题考查了多项式乘法，解题的关键是根据要求求出具体的p ，q 值．三．解答题（共8小题）14．（2023秋•松江区月考）计算：242345(2)x x x ×+-．【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可．【解答】解：242345(2)x x x ×+-66208x x =-612x =．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即()(m n mn a a m =，n 是正整数）．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()(n n n ab a b n =是正整数）．15．（2023秋•闵行区校级月考）计算：（1）(32)(76)m n m n +-；（2）2323()()()[()]b a a b b a a b ---+-．【分析】（1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可；（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘分别计算即可．【解答】解：（1）(32)(76)m n m n +-2221181412m mn mn n =-+-2221412m mn n =--；（2）2323()()()[()]b a a b b a a b ---+-236()()()()b a b a b a a b =---+-66()()b a a b =-+-66()()a b a b =-+-62()a b =-．【点评】本题考查了多项式乘多项式，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．（2023秋•松江区月考）计算：2(35)(23)(41)x x x x ---+．【分析】先算单项式乘多项式，多项式乘多项式，再合并同类项即可．【解答】解：2(35)(23)(41)x x x x ---+2261082123x x x x x =---++223x =-+．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．17．（2023秋•松江区月考）若22(3)(3)x nx x x m -+++的展开式中不含2x 和3x 项，求m 、n 的值．【分析】求多项式乘多项式的展开式为43232233393x x mx nx nx mnx x x m ++---+++，根据题意可得30n -=，330m n -+=，计算求解即可．【解答】解：22(3)(3)x nx x x m -+++43232233393x x mx nx nx mnx x x m=++---+++432(3)(33)93x n x m n x mnx x m =+-+-+-++，Q 展开式中不含2x 和3x 项，30n \-=，330m n -+=，解得：6m =，3n =．【点评】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算．18．（2023秋•武侯区校级期末）若2228()(3)3x px x x q ++-+的展开式中不含2x 和3x 的项．（1）求p ，q 的值；（2）求代数式23120142016(2)(3)p q pq p q --++的值．【分析】（1）把首先利用多项式乘多项式法则进而得出原式的展开式的2x 项和3x 项，进而组成方程组得出p ，q 的值；（2）把p ，q 的值代入代数式即可求得答案．【解答】解：（1）2228(3)3x px x x q ++-+Q 4323222828332833x x qx px px pqx x x q =-++-++-+4322828(3)(3)(28)33x p x q p x pq x q =+-++-++-+，\原式的展开式的2x 项和3x 项分别是28(33q p -+，3(3)p x -+，依据题意得：2830330q p p ì-+=ïíï-+=î，解得：313p q =ìïí=-ïî．故p 的值是3，q 的值是13-；（2）23120142016(2)(3)p q pq p q --++23120142016111[23()][33(3()333-=-´´-+´´-+´-31216(3)(3-=+-+-1121639=-+72159=．【点评】此题主要考查了多项式乘多项式，正确展开多项式是解题关键．19．（2024•灞桥区校级开学）如图，某校园内有一块长为(2)a b m +，宽为(2)a b m -的长方形空地()a b >．为美化环境，计划在这块空地上修建一个长为(2)a b m -，宽为bm 的长方形花圆，并将花圆四周余下的空地修建成通道，请用含有a 、b 的代数式表示通道的面积．【分析】先根据通道的面积=长方形空地的面积-长方形花园的面积列出算式，然后根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可．【解答】解：根据题意得，通道的面积为(2)(2)(2)a b a b a b b+---2224(2)a b ab b =---22242a b ab b =--+22(42)a ab m =-．【点评】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，解题的关键是理解题意，列出算式．20．（2023秋•静安区校级月考）探究应用：（1）计算：2(1)(1)x x x -++= 31x - ；22(2)(42)x y x xy y -++= ．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a 、b 的等式表示该公式为： ．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．A ．2(2)(24)m m m +++B ．22(2)(22)m n m mn n -++C ．2(3)(93)n n n -++D ．22()(2)m n m mn n -++（4）设9101A =-，利用上述规律，说明A 能被37整除．【分析】（1）用多项式乘以多项式的法则计算即可；（2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可；（3）判断各选项是否符合公式的特点；（4）公式的逆用，求得A 中有37的因数即可．【解答】解：（1）2(1)(1)x x x -++3221x x x x x =++---31x =-；22(2)(42)x y x xy y -++32222384242x x y xy x y xy y =++---338x y =-；故答案为：31x -；338x y -；（2）从第（1）问发现的规律是：2233()()a b a ab b a b -++=-，故答案为：2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）A ．第一个多项式不是减法，不符合题意；B ．最后一项应该是24n ，不符合题意；C ．符合题意；D ．第二个多项式的第二项应该为mn ，不符合题意．故选：C ．（4）9101A =-33(10)1=-3632(101)(10101)=-++9991001001=´333371001001=´´´´，A \能被37整除．【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，考查学生的计算能力，能对公式进行逆用是解题的关键．21．（2023秋•右玉县期末）综合与实践如图1，长方形的两边长分别为1m +，7m +；如图2．长方形的两边长分别为2m +，4m +．（其中m 为正整数）E ．（1）图1中长方形的面积1S = 287m m ++ ；图2中长方形的面积2S = ；比较1S 2S （选填“<”、“ =”或“>” )；（2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．①求正方形的边长；（用含m 的代数式表示）②试探究：该正方形的面积S 与图1中长方形的面积1S 的差（即1)S S -是一个常数，并求出这个常数．【分析】（1）根据长方形的面积=长´宽，求出图1和图2中长方形的面积，再求出它们的面积差，通过比较，求出答案即可；（2）①先求出图1中长方形的周长，然后根据正方形的周长与图1中的长方形周长相等，求出正方形周长，从而求出正方形边长即可；②由①中所求正方形的边长，从而求出正方形的面积，再求出该正方形的面积S 与图1中长方形的面积1S 的差即可．【解答】解：（1）由题意可知：1(1)(7)S m m =++277m m m =+++287m m =++，2(2)(4)S m m =++2428m m m =+++268m m =++，12S S \-22(87)(68)m m m m =++-++228768m m m m =++---21m =-，m Q 为正整数，m \最小为1，210m \->，12S S \>，故答案为：287m m ++，268m m ++，>；（2）①图1中长方形的周长为：2(71)m m +++2(28)m =+416m =+，Q 正方形的周长与图1中的长方形周长相等，\正方形的周长为416m +，\正方形的边长为1(416)44m m +=+；②Q 正方形的面积2(4)S m =+，1S S \-22(4)(87)m m m =+-++2281687m m m m =++---2288167m m m m =-+-+-9=，\该正方形的面积S 与图1中长方形的面积1S 的差（即1)S S -是一个常数，这个常数为9．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、长方形和正方形的面积公式与周长公式．。
北师大版七年级下册数学《整式的乘法》整式的运算说课教学课件复习提高
例3 已知 xa＝2，xb＝3， 求xa+b的值.
解：∵ xa＝2，xb＝3
xa+b=xa·xb
∴ xa+b＝ xa·xb＝2×3 ＝ 6．
变式：已知 xa+b ＝6， xb＝3，求 xa 的值. 延伸：已知 xa＝2，xb＝3， 求x2a+3b的值.
解：∵ xa＝2，xb＝3 ∴ x2a+3b＝ x2a·x3b ＝(xa )2 ·(xb)3 ＝22×33 ＝ 108．
x2a+3b＝ x2a·x3b (xa )2 (xb)3
拓展：已知am ＝2，bm ＝5，求 ( a3b2)m的值．
解：∵ am ＝2，bm ＝5， ∴ (a3b2)m ＝a3m ·b2m ＝ (am)3 ·(bm)2 ＝23×52 ＝200
( a3b2)m =a3mb2m
a3m＝(am)3 b2m＝ (bm)2
学法指导
1. 在进行整式运算时，首先要正确把握运算 顺序．在每一步的运算中，要看清运算类 型，正确运用运算性质和法则．计算过程 中，要时刻注意符号;
2. 乘法公式是本节的重点和难点，是计算和 化简求值的重要工具，对公式及其之间的 关系要清晰理解;
3. 各种运算性质和法则要能从正反两方面来 理解，会灵活运用;
教学重难点
重点
准确熟练地运用整式的乘法运算法 则进行计算．
难点
准确熟练地运用整式的乘法运算法 则进行计算．
ac5 bc2的乘积是多少？
ac5 bc2
a bc5 c2
abc52 abc7
知识要点
单项式与单项式相乘，把他们 的系数、相同字母分别相乘，对于 只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式。
《整式的乘法》整式的乘除
02
按照多项式的项数，逐项进行除法运算。
合并同类项
03
将除法运算后得到的商中的同类项合并，化简为最简结果。
注意事项和易错点提示
注意运算顺序
注意符号处理
在进行整式除法运算时，要遵循先乘 除后加减的原则，确保运算顺序正确 。
在确定商的符号以及合并同类项时， 要特别注意符号的处理，避免符号错 误导致结果错误。
指数相减
$x^{(3-1)} = x^2$, $y^{(2-1)} = y$
具体操作步骤演示
结果
$2x^2y$
示例2
计算 $-15a^4b^3c \div 30a^2b^2$
系数相除
$-15 \div 30 = -\frac{1}{2}$
具体操作步骤演示
指数相减
$a^{(4-2)} = a^2$, $b^{(3-2)} = b$, $c$ 保持不变
结果
$-\frac{1}{2}a^2bc$
注意事项和易错点提示
注意系数的正负号
在进行系数除法时，要确保正负 号处理正确。
确保底数相同
只有当底数相同时，才能进行指数 相减操作。
指数相减而非相加
在单项式除法中，指数是相减而非 相加，要注意区分。
06
多项式除以单项式方法论述
多项式除以单项式原则
系数相除
04
整式除法基本概念及运算规则
整式除法定义及性质介绍
定义
整式除法是指一个整式被另一个整式除的运算，结果仍为整式。
性质
整式除法满足除法的基本性质，如“除数不能为0”，“被除数等于商乘以除数 加余数”等。
除法运算步骤梳理
确定商的符号
01
根据被除数、除数的符号确定商的符号。
初一下册数学知识点：整式的运算知识点总结
初一下册数学知识点：整式的运算知识点总结整式的运算是初一下学期学习的第一章内容，主要讲解了整式的概念、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、整式的乘除法、平方差公式、完全平方公式等。
通过对本篇知识点的学习，相信同学们对整式的运算有了更深的把握，同时也为今后学习数学打下扎实的基础!初一下册数学知识点：整式的运算第四章整式的运算一、整式单项式和多项式统称整式。
a)由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
b)单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数，系数为1或-1。
c)一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数(注意：常数项的单项式次数为0)a)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
其中，不含字母的项叫做常数项。
一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.b)单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数。
多项式的每一项都是单项式，一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。
多项式中每一项都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数，一个多项式的次数只有一个，它是所含各项的次数中最高的那一项次数.a)整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式.b)括号前面是-号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要相乘。
二、同底数幂的乘法(m，n都是整数)是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要注意以下几点：a)法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式;b) 指数是1时，不要误以为没有指数;c)不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加;而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加;d)当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为 (其中m、n、p均为整数);e)公式还可以逆用： (m、n均为整数)a)幂的乘方法则： (m，n都是整数数)是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。
整式及其加减的运算的知识结构
《整式及其加减的运算》知识结构一、整式1、单项式：只含有数字与字母的乘积的代数式叫做单项式．注意：①定义中的“积”是对数与字母而言的，只能是乘法或乘方运算，而不能是加、减、除等其他运算. 如22+ab ，32y x -，m n 2等都不是单项式.②单独的一个数或一个字母也是单项式.（1） 单项数的次数：一个单项数中，所有字母的指数的和叫做这个单项数的次数．注意：①计算单项数的次数时，不要漏掉字母的指数为1的指数. 如单项数532bc a 的次数是字母c b a 、、的指数和，即9513=++，而不是字母c a 、的指数和853=+②切勿加上系数中的指数. 如单项数4233y x -的次数是6，而不是9.（2） 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．注意：①单项式的系数包括其前面的符号；②只含有字母因数的单项式，其的系数是1或 1-.也就是说，系数是1或 1-时，常省略不写.2、多项式：几个单项式的和叫做多项式.其含义有：①必须由单项式组成；②体现和的运算法则．（1）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.注意：不要与单项式的次数混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和，如多项式12324++y x 的次数是4，而不是624=+．（2）多项式的项：是指在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．其中不含字母的项叫做常数项．注意： 多项式的项包括它前面的性质符号.3、整式：单项式与多项式统称为整式.注意：分母中含有字母的代数式是分式二、幂的运算性质对于幂的运算性质，（一）、要弄清运算性质的由来，（二）、要熟悉推导过程，明确各个性质的条件和结论；（三）、要学会公式的逆运用。
性 质条件 结 论 说明 n m n m a a a +=⋅ 幂的乘法，底数相同，指数为正整数 底数不变，指数相加 由乘法运算降为加法运算（指数相加）()m n n m a a = 幂的乘方，指数为正整数 底数不变，指数相乘 由乘方运算降为乘法 运算（指数相乘） ()n n n b a ab = 积的乘方，指数为正整数 分别乘方， 将幂相乘 由乘方运算降为乘法运算（幂相乘）nmnm aaa-=÷幂的除法底数相同，指数为正整数，且nm>底数不变，指数相减由除法运算降为减法运算（指数相减）01a=（0a≠）a-n=na1( a≠0,n为正整数）任何非零数的0次幂都等于零任何不为零的-n（n为正整数）次幂等于这个数n次幂的倒数在学习和运用这些性质时，一要注意符号问题，二要与整式的有关概念及整式的加碱运算相联系，三要注意各个性质的逆向运用及综合运用。
七年级下册整式的乘除
七年级下册整式的乘除一、整式乘除的意义和基本概念在七年级下册的数学课程中，我们将会学习一项重要的内容——整式的乘除。
整式的乘除是数学基本技能的重要组成部分，它不仅在日常生活和实际应用中有着广泛的应用，而且对于培养我们的逻辑思维和抽象思维能力也具有关键作用。
我们来理解一下什么是整式。
整式是包含加、减、乘、除四种运算的代数式，它不同于我们过去学习的算术式，例如：2x + 3y就不能简单地通过加减得到结果，而是需要我们进行进一步的运算。
二、整式乘除的规则和方法整式的乘除是按照特定的规则进行的。
乘法满足交换律、结合律和分配律，例如，(ab)c=ab(c)，(ab)c=a(bc)，(a+b)c=ac+bc等。
这些规则可以帮助我们进行大规模的运算，简化复杂的问题。
而除法则有一些不同。
在整式除法中，我们通常通过乘以一个数的倒数来将除法问题转化为乘法问题。
例如，如果我们要计算a除以b，我们可以乘以b的倒数1/b，这样就可以转化为乘法问题a×(1/b)。
三、整式乘除的应用整式的乘除不仅在数学中有着广泛的应用，在我们的日常生活中也有着广泛的应用。
例如，在解决物理问题、化学问题以及工程问题时，我们都需要使用到整式的乘除。
通过这些应用，我们可以看到数学在我们生活中的重要性，以及我们学习数学的意义。
四、结语七年级下册的整式乘除是一项非常重要的数学技能。
我们需要理解其基本概念和规则，掌握其方法，才能有效地应用到实际生活和各种问题中。
通过学习整式的乘除，我们也可以进一步培养我们的逻辑思维和抽象思维能力。
因此，我们应该认真对待这一部分的学习，打好数学基础。
七年级上册整式乘除试卷及答案一、填空题（每题2分，共20分）1、单项式相乘，把他们的_________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的_________，再把所得的积_________。
《整式的乘法》第一课时教案
《整式的乘法》第一课时教案------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx【精品文档】整式的乘法——单项式乘以单项式 潘光松 一.三维目标 1.知识与技能目标：掌握单项式与单项式相乘的法则. 2.过程与方法目标：理解单项式的乘法运算的算理，体会乘法的交换律、结合律的作用，发展有条理的思考及语言表达能力. 3.情感态度与价值观：通过学生板算、讨论、争论等方法培养学生归纳、概括能力，以及运算能力。
二.教学重点：单项式与单项式相乘的法则。
三.教学难点：对单项式的乘法运算的算理的理解。
四.教学用具：多媒体课件五.教学方法：问题探究、讨论、练习 六.教学过程：师生活动设计意图 （一）复习导入利用以前所学知识计算下列式子： （1） （2） （3）（4）复习回顾导入新课，让学生回顾所学知识，为本节课的学习做好铺垫.（二）新知探究问题：光的速度约为 ，太阳光照射到 地球上需要的时间大约是 ，你知道地球到太阳 的距离约是多少吗？由简入难引出单项式乘以单项式的探究过5102（）（）；--⨯⨯23101010；⨯⨯53b b ； ⋅232ab （-） .5310km s ⨯52310510（）（）⨯⨯⨯2510s⨯(1)根据物理所学知识，列出式子，如何进行运算?(2)若把上式中的3和5分别改成a和b，再把10改成c，又如何计算?（3）计算4a2x5 ·(-3a3bx)让学生召开讨论研究所提的问题.引出课题并板书方法提示:利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质，来计算这个单项式乘以单项式问题.4a2x5 ·(-3a3bx) (利用乘法交换律、结合律将系数与系数、=[4×(-3)](a2·a3)· b·(x5·x) 相同字母分别结合，有理数的乘法= -12a5bx6．同底数幂的乘法，字母b 只在一个单项式中出现，这个字母及其指数不变) 程，让学生通过观察、讨论阐述出单项式乘以单项式的法则。
整式的乘法和因式分解
整式的乘法注意：单项式的乘法的关键是通过乘法的交换律和结合律，把它转化为幂的运算．单项式与多项式的乘法可以采用我们已经熟悉的有理数运算中乘法分配律的应用类比理解，并且指导运算．多项式与多项式的乘法，先将一个多项式的每项分别与另外一个多项式的每项相乘，再把所得的积相加，运算中利用单项式与单项式的乘法和合并同类项．运算时需要按照一定的顺序进行，防止漏项和符号出错．1.单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数.2.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式.多项式中每个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫多项式的次数.3.整式的概念：单项式和多项式统称整式.注意：凡是分母含有字母的代数式都不是整式，也不是单项式和多项式.4.单项式与单项式相乘的法则：把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式.注意：（1）①积的系数等于各因式系数的积；②相同字母相乘是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”计算；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，要注意不要丢掉这个因式；④单项式乘以单项式的结果仍是单项式；⑤单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.（2）单项式乘法中，若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行.例1.计算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）例2.计算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（n是正整数）例3.先化简，后求值：，其中.例4.已知，求的值.5.单项式与多项式相乘的法则：使用单项式乘以多项式的每项，再把所得的积相加.注意：（1）法则中“每项”是指含有性质符号的项；（2）单项式乘以多项式，它的积仍为多项式，项数与原多项式（没有同类项）的项数相同，不要漏乘项；（3）乘积中符号的确定与括号法则基本一致，括号前的单项式系数为正数，去括号后多项式各项的符号都不变，否则都改变；（4）对混合运算应该注意运算顺序，并且有同类项时，必须合并同类项，从而得到最简结果；（5）由法则可以看出：单项式与多项式相乘就是根据乘法分配律把问题转化为单项式的乘法，它的思路是例5.计算:（1）（2）（3）（4）例6.计算：（1）（2）例7.解方程：（1）（2）例8.先化简，后求值：，其中.例9.化简：．（n是正整数）6.多项式与多项式相乘的法则：使用多项式的每项分别乘以多项式的每项，再把所得的积相加.例10.计算：(1) (2)(3) （4）(5) (6)例11.计算：(1) (2)(3) (4)例12.计算：（1）（2）例13.计算：（1）（2）例14.先化简，后求值:(1) ,其中(2) ,其中例15.按如图的程序计算：若开始输入n值为，则最后输出结果是__________.例16.已知：二次三项式和的乘积中不含项和项．求p,q的值．例17.计算：（1）（2）（3）（4）例18.解答题：（1）已知代数式与的值相等，求x．（2）解不等式．（3）已知：．求m、n的值．因式分解1．分解因式的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做分解因式．2．因式分解的基本方法有：(1) 提取公因式法；(2) 公式法；(3) 分组分解法；(4) 十字相乘法．例1.单项式与的公因式为___________.例2.若4x2+2(m+1)x+25是完全平方式，则m的值等于___________.例3.若x2+x+m=(x-n)2，则m+n=_________.例4.在多项式m2+n2，-a3+b3，x4+4y2，-4s2+9t2中，可以使用平方差公式分解因式的有___________.例5.若x2-mx-28=(x+4)(x-7)，则m=___________.例6.若的值为0，则的值为___________.例7.若，则___________.例8.方程的解为___________.例9.若=，则=___________.例10.因式分解：（1）=___________.（2）=___________.（3）=___________.（4）=___________.（5）=___________.（6）=___________.（7）m2+5n-mn-5m=___________.（8）bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=___________.课堂反思1.幂的运算是初中代数运算的重点和必考点，但是它的内容简单，只需要深刻地记忆幂的运算的相关性质，并且适量地解决经典题型，要求学生熟练掌握.2.整式的乘法属于基本内容，只要熟练地掌握运算法则并且能够准确地解题即可.3.因式分解是初中代数运算的重点和必考点，要求学生熟练掌握，需要灵活地运用因式分解的各种方法准确地解题.课后训练1.下列4个算式：(1) (2)(3) (4)其中,计算错误的有 ( )A.4个B.3个C.2个D.1个2.你认为下列各式正确的是 ( )A． B．C．D．3.下列运算正确的是 ( )A．3a+2b=5ab B．a3a2=a5 C．a8÷a2=a4D．（－2a2）3=－a64.下列计算正确的是 ( )A．x4·x4=x16 B．(a3)2·a4=a9 C．(ab2)3÷(－ab)2=－ab4 D．(a6)2÷(a4)3=1 5．计算：的结果是 ( )A．B． C． D．6．下列运算中，结果是的是 ( )A． B．C． D．7.已知是大于1的自然数,则等于 ( )A. B. C. D.8.已知a=，b=，c=，那么a、b、c 的大小关系是（）A. a＞b＞cB. b＞c＞aC. a＜b＜cD. c＞a＞b9.的计算结果是 ( )A. B．C． D.10.下列计算中正确的是 ( )A.B．C.D．11.三个连续偶数，中间一个为k，则这三个数的积为 ( )A. B. C. D.12.使的积中不含和的项，则p、q的值分别为 ( )A． B．C． D.13.计算：的结果是 ( )A． B．C. D．14.若，，则的值为 ( )A． B． C．D．15.若，则________．(使用幂的形式表示）16.计算：；的结果是．17.已知，，则．18.如果等式，则的值为．11.因式分解：（1）______________.（2）______________. （3）______________.（4）=______________.（5）______________.（6）______________.（7）______________.（8）______________.（9）______________.12.计算：()15×(315)3（2）(m (1)为偶数,)（3）（4）（5）（n是正整数）（5）（6）（6）（7）（8）（9）（10）（10）（11）（12）13.解方程：．14.求证：代数式的值与x的值无关．15.若，解关于的方程．16.若.17.已知（1）求的值；（2）求的值.18.求使得成立的所有的值.19.若a、b、c都是正数，且a2=2，b3=3，c4=4，比较a、b、c的大小.20.已知，求代数式[－3.5（x+y）]3·（x－y）·[－2（x+y）（x－y）]2的值.21.已知a2+a=－1，求a2005+a3006+a4007的值.22.一长方体的高是厘米，底面积是平方厘米，则它的体积是_______立方厘米．23.一种细菌的半径是厘米，用科学计数法表示为分米24.︱x︱＝(x－1)0，则x = .25.汛期来临前，滨海区决定实施“海堤加固”工程.某工程队承包了该项目，计划每天加固60米.在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风”袭击滨海区，于是工程队改变计划，每天加固的海堤长度是原计划的1.5倍，这样赶在“台风”来临前完成加固任务.设滨海区要加固的海堤长为a米，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了天.（使用含有a的代数式表示）26.阅读下列一段话，并且解决后面的问题.观察下面一列数：1，2，4，8，…我们发现，这列数从第二项起，每一项与它前一项的比值都是2.我们把这样的一列数叫做等比数列，这个共同的比值叫做等比数列的公比.（1）等比数列5，―15，45，…的第4项是；（2）如果一列数a1,a2,a3,…是等比数列，且公比是q,那么根据上述规定有所以则a n= .(用a1与q的代数式表示)（3）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项和第4项.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
七(下)第1章整式的乘除(全章复习与巩固)知识讲解与专项讲练
2023七（下）第1章整式的乘除知识讲解与专项讲练2023.06.12~6.15【学习目标】1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
【知识要点】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n (m 、n 为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(a m )n ＝a mn ＝a nm ＝(a n )m (m 、n 为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(ab )n ＝a n b n ，(a x b y )n ＝a nx b ny (n 、x 、y 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m 、n 为正整数，并且m ＞n ).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即：任何不等于零的数的零次方等于1.6.负整数次幂：p p a a 1=-(a ≠0，p 为正整数），a n 与a －n 互为倒数，n m m n pp a b b a ,a b b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---即：任何一个不等于零的数的－p (p 是正整数)次幂，等于这个数的p 次幂的倒数.特别说明：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘除1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.特别说明：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、整式的乘除➽➼幂的运算✭✭幂的逆运算1．计算：（1）()3201113823π-⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()2331233282a a a a -⋅-÷举一反三：【变式1】计算：101|2|(2023667)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭（2）()()223234(6)x y xy ⋅-÷【变式2】计算：(1)22012()272--+-(2)2642135(2)5x x x x x⋅--+÷(1)253()()[()]a b b a a b -⋅-÷--；(2)先化简，再求值：426223225(3)()(2)a a a a a ⎡⎤⋅-÷÷-⎣⎦，其中5a =-．2．（2022春·福建泉州·八年级福建省永春第三中学校联考期中）阅读：已知正整数a 、b 、c ，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂b a 和b c ，当a c >时，则有b b a c >，根据上述材料，回答下列问题(1)比较大小：205______204（填写>、<或=）(2)比较332与223的大小（写出具体过程）(3)已知23a =，86b =求()322a b +的值【答案】(1)>(2)332223<，见分析(3)972【分析】（1）根据同指数，不同底数的两个幂b a 和b c ，当a c >时，则有b b a c >，即可进行解答；（2）将根据幂的乘方的逆运算，将332与223转化为同指数的幂，再比较大小即可；（3）根据同底数幂乘法的逆运算，将()322a b +转化为()3222a b ⨯，再根据积的乘方的逆运算，整理为含有2a 和8b 的性质，进行计算即可．（1）解：∵54>，∴202054>，故答案为：>．（2）∵()1133311228==，()1122211339==，89<，∴332223<．（3）原式()3222a b =⨯()()33222a b =⨯()()32322ba =⨯()2338b =⨯3236=⨯=972．【点拨】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算法则和逆运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则及其逆运算法则．举一反三：【变式1】已知，若实数a 、b 、c 满足等式54a =，56b =，59c =．(1)求25a b +的值；(2)求25b c -的值；(3)求出a 、b 、c 之间的数量关系．【变式2】（2022春·全国·八年级专题练习）按要求解答下列各小题．(1)已知1012m =，103n =，求10m n -的值；(2)如果33a b +=，求327a b ⨯的值；(3)已知682162m m ⨯÷=，求m 的值．类型二、整式的乘除➽➼整式的乘法3．计算：(1)()()()2332ab a a b --- ；(2)()()221a a -+；(3)()()212x x +-．【答案】(1)446a b -(2)3222a a --(3)2232x x --【分析】（1）按照单项式乘以单项式的法则进行运算即可；（2）按照单项式乘以多项式的法则进行运算即可；（3）按照多项式乘以多项式的法则进行运算即可；（1）解：()()()2332ab a a b --- ()2236a b a b =- 44a b =-．（2）()()221a a -+3222a a =--；（3）()()212x x +-2242x x x =-+-2232x x =--．【点拨】本题考查的是单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握“整式的乘法运算的运算法则”是解本题的关键．举一反三：【变式1】计算：(1)()()202024311202323π-⎛⎫-+-+-- ⎪⎝⎭（2）()()()222x y x y x x y -++--【变式2】（2022春·河南周口·七年级校联考期中）如图，把8张长为a ，宽为b 的小长方形纸片摆放在一个大长方形纸盒内，空白部分分别用A ，B 表示，两个摆放小纸片的长方形（阴影）公共的部分边长为m ，（用a ，b ，m 分别表示周长和面积）(1)填空：①空白部分A 的周长A P =__________，面积A S =_____________，②空白部分B 的周长B P =______________，面积B S =________________；(2)若5a b =，求A B P P -，A B S S -的代数式．类型三、整式的乘除➽➼平方差公式✭✭完全平方公式4．（2022春·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）化简下列多项式：(1)()()()214121x x x +---；（2）()()223223a b a b +--+.【答案】(1)72x -(2)2244129a b b -+-【分析】（1）先计算乘法，再合并同类项，即可求解；（2）利用平方差公式计算，即可求解．（1）解：()()()214121x x x +---22441441x x x x x =-+--+-72x =-（2）解：()()223223a b a b +--+()()223223a b a b =+---⎡⎤⎣⎦()()22223a b =--2244129a b b =-+-【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，灵活利用乘法公式计算是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022春·重庆·八年级重庆市育才中学校考阶段练习）计算：(1)()()()y x y x y x y +--+;(2)()()224x x x ++-【变式2】运用公式进行简便计算：(1)210.210.2 2.4 1.44-⨯+；(2)2222111111112342022⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．5．（2022春·四川内江·八年级校考阶段练习）（1）已知实数x ，y 满足2296x y -=，8x y -=，求x y +的值．（2）已知实数a 、b 满足()23a b +=，()227a b -=，求22a b ab ++的值．【答案】（1）12x y +=；（2）229a b ab ++=．【分析】（1）利用平方差公式，化简求解即可；（2）利用完全平方公式进行化简，分别求得22a b +和ab 的值，即可求解．解：（1）∵2296x y -=，∴()()96x y x y +-=，∵8x y -=，∴12x y +=；（2）∵()23a b +=，()227a b -=，∴2223a ab b ++=，22227a ab b -+=，∴222a 2b 30+=，424ab =-，∴22a b 15+=，6ab =-，∴()221569a b ab ++=+-=．【点拨】此题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．举一反三：【变式1】已知5a b +=，3ab =．求下列各式的值：(1)22a b +；(2)()2a b -；(3)()()()()1111a b a b ++--．【变式2】已知：221x x +=，将()()()()2(1)3331x x x x x --+----先化简，再求它的值．类型四、整式的乘除➽➼整体的除法6．（2022春·八年级课时练习）计算下列各题：(1)()()322432714x y xy x y ⋅-÷；(2)()()222x y x y y x ⎡⎤+-+÷．【变式1】先化简，再求值：()()()21242x y x y x y y ⎡⎤+--+÷⎣⎦，其中1x =，2y =．【变式2】已知24750a a -+=，求代数式()2232(21)a a a a -÷--的值．类型五、整式的乘除➽➼图形问题7．（2021春·陕西延安·八年级陕西延安中学校考阶段练习）如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形．(1)若图1中的阴影部分面积为22a b -；则图2中的阴影部分面积为_________．（用含字母a ，b 的式子且不同于图1的方式表示）(2)由（1）你可以得到乘法公式____________．(3)根据你所得到的乘法公式解决下面的问题：计算：①10397⨯；②()()22a b c a b c +---．【变式1】图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b 的形状拼成一个正方形．(1)你认为图b 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？(2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．方法1：方法2：(3)观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：()()22,,m n m n mn+-(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若75a b ab +==，，则2()a b -=．（请直接写出计算结果）【变式2】（2022春·八年级课时练习）如图，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a b >），把余下的部分剪拼成一个矩形．(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：_________A ．()2222a ab b a b -+=-B ．()()22a b a b a b -=+-C ．()2a ab a a b +=+D ．()222a b a b -=-(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：3a b -=，2221a b -=，求a b +的值；②计算：22222111111111123420202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【中考真题专练】【1】（2022·江苏常州）计算：(1)201(3)3---+π；(2)2(1)(1)(1)+--+x x x ．【2】（2022·广西·统考）先化简，再求值()()()22x y x y xy xy x +-+-÷，其中11,2x y ==．【3】（2022·河北·统考）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，()()22212110++-=为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m ，n ，请论证“发现”中的结论正确．a+，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵【4】（2022·浙江金华）如图1，将长为23爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．(2)当3a=时，该小正方形的面积是多少？2023七（下）第1章整式的乘除知识讲解与专项讲练2023.06.12~6.15【学习目标】1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
《整式的乘法-单项式乘以单项式》教案
《整式的乘法-单项式乘以单项式》教案第一章：教学目标1.1 知识与技能1. 理解单项式乘以单项式的概念。
2. 掌握单项式乘以单项式的运算法则。
3. 能够正确进行单项式乘以单项式的计算。
1.2 过程与方法1. 通过实例观察，引导学生发现单项式乘以单项式的规律。
2. 利用图形和模型，帮助学生直观地理解单项式乘以单项式的过程。
3. 运用合作学习，让学生在讨论和交流中掌握单项式乘以单项式的计算方法。
1.3 情感态度与价值观1. 培养学生的数学思维能力，提高学生对数学的兴趣。
2. 培养学生的团队合作意识，提高学生的沟通能力。
3. 培养学生的自主学习能力，提高学生的学习自信心。
第二章：教学内容2.1 教材分析本章以教材《数学》中有关单项式乘以单项式的内容为依据，通过实例和练习，引导学生掌握单项式乘以单项式的运算法则和计算方法。
2.2 学情分析学生在学习本章之前已经掌握了单项式的定义和运算规律，具备了一定的数学基础。
但单项式乘以单项式的计算方法较为抽象，需要通过实例和练习来加深理解。
2.3 教学目标1. 理解单项式乘以单项式的概念。
2. 掌握单项式乘以单项式的运算法则。
3. 能够正确进行单项式乘以单项式的计算。
第三章：教学重点与难点3.1 教学重点1. 单项式乘以单项式的运算法则。
2. 单项式乘以单项式的计算方法。
3.2 教学难点1. 单项式乘以单项式的计算方法的理解和运用。
2. 单项式乘以单项式在实际问题中的应用。
第四章：教学方法与手段4.1 教学方法1. 讲授法：讲解单项式乘以单项式的概念和运算法则。
2. 实践法：让学生通过实例和练习来掌握单项式乘以单项式的计算方法。
3. 合作学习法：组织学生进行小组讨论和交流，共同解决问题。
4.2 教学手段1. 利用多媒体课件，直观地展示单项式乘以单项式的过程。
2. 使用图形和模型，帮助学生形象地理解单项式乘以单项式的概念。
3. 提供练习题，让学生通过实际操作来巩固所学知识。
《整式的乘法》整式的乘除
汇报人： 2023-11-28
contents
目录
• 整式乘除法的定义与规则 • 整式乘法的运算方法 • 整式除法的运算方法 • 整式乘除法的实际应用 • 整式乘除法在数学中的重要性 • 整式乘法的技巧和注意事项
01
整式乘除法的定义与规则
整式的乘法定义
整式乘法的定义
整式乘法是将几个整式相乘，所得的 积叫做整式的乘积。
整式乘法的运算顺序
在进行整式乘法时，应先进行单项式 的乘法运算，再合并同类项。
整式的乘法规则
同底数幂相乘
同底数幂相乘，底数不变，指 数相加。
幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相 乘。
积的乘方
积的乘方，等于把积的每一个 因式分别乘方，再把所得的幂 相乘。
单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘，就是根 据分配律用单项式去乘多项式 的每一项，再把所得的积相加
单项式与多项式的乘法运算
要点一
总结词
要点二
详细描述
逐项处理，将单项式与多项式的每一项分别相乘，再合并 同类项。
单项式与多项式的乘法运算，需要把单项式与多项式的每 一项分别相乘，并且把所得的积相加。具体地，对于多项 式的每一项，将其系数和字母部分分别与单项式的系数和 字母部分相乘，然后合并同类项得到结果多项式的每一项 。特别地，当多项式中有一项与单项式完全相同时，则结 果多项式中该项的系数为单项式的系数乘以多项式中该项 的系数。
03
整式除法的运算方法
单项式与单项式的除法运算
总结词
简单、易于操作
详细描述
单项式与单项式的除法运算相对简单，只需将被除数除以除数，得到商即可。例 如，$10/3 = 3.33\ldots$。
中学2017-2018学年第一学期八年级数学教案.整式的乘法-单项式与单项式相乘
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与单项式相乘相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，让学生用代数表达式的形式表示长方形的面积和体积。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《整式的乘法-单项式与单项式相乘》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算两个数量相乘的情况？”（如：购物时计算单价和数量的乘积）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索单项式相乘的奥秘。
在实践活动和小组讨论环节，学生们表现得相当积极，能够主动参与到讨论和实验操作中。这让我感到很欣慰，因为他们能够将所学的知识应用到实际中去。不过，我也注意到有些学生在讨论中较为沉默，可能是因为他们对问题还不够理解或者缺乏自信。针对这一问题，我会在以后的课堂中更加关注这些学生，鼓励他们多发表自己的观点，提高他们的自信心。
2.数学建模：培养学生运用单项式乘法解决实际问题的能力，提高数学建模素养，使学生在实际问题中找到数学模型，并用所学知识解决。
3.数学运算：加强学生对单项式乘法运算的熟练程度，提高数学运算的速度和准确性。
4.数据分析：通过解决实际问题，让学生学会分析数据，培养数据分析素养，从而更好地理解数学知识在实际生活中的应用。
（2）单项式乘法的运算法则：学生要熟练掌握单项式相乘的运算法则，包括系数相乘、相同字母相乘及不同字母相乘等。
整式乘法
整式乘法什么叫整式乘法一、单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘的法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. 在学习与运用该法则时,需要注意以下几点: ⒈对于三个或三个以上的单项式相乘,该法则同样适用; ⒉单项式与单项式相乘时,要先把各个单项式的系数相乘,作为积的系数,并注意系数的符号; ⒊相同字母相乘,按照同底数幂的乘法性质即底数不变,指数相加进行; ⒋对于只在一个单项式里含有的字母,一定要把它连同指数写在积中,作为积的一个因式,切记不要漏掉; ⒌幂的底数既可以是一个字母,也可以是一个单项式或多项式; ⒍单项式与单项式相乘的结果仍然是一个单项式.二、单项式与多项式相乘例如：(n－2004)2+(2005－n)2=2求(n－2004)(2005－n)解：令a=n-2004b=n-2005则a-b=1a2+b2=2(a-b)2=2则a2-4ab+b2=0即ab=(a2+b2)/4=2/4=1/2即(n-2004)(2005-n)=-ab=-1/2整式乘法定义1.单项式和单项式相乘把它们的（系数），（相同字母的幂）分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则（连同它的指数作为积的一个因式）。
2.单项式乘多项式就是（用单项式去乘多项式的每一项），再把（所得的积相加）。
3.多项式和多项式相乘，先用（一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项），再把所得的（积相加）。
例如：1.已知（x+y)的二次方=1，（x-y)的二次方=49，求x 的二次方+y 的二次方与xy 的值。
2.已知a+b=3,ab=2,求a 的二次方+b 的二次方的值。
3.已知a-b=1,a 的二次方+b 的二次方=25，求ab 的值。
1. (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 1 (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 49方程一加方程二，得：2(x^2 + y^2) = 50x 的二次方+y 的二次方 = 25 方程一减方程二，得：4xy = -48 xy = -12的二次方+b 的二次方 = (a+b)^2 - 2ab = 3^2 - 2*2 = 5 的二次方+b 的二次方 - (a-b)^2) / 2 = (25 - 1)/2 = 12 答案：一、选择题1．C ；2．C ；3．C ；4．C ；5．C ；6．A ；7．C ；8．B ；9．B ；10．C ；11．B ；12．C 。
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卫生间 卧室 厨房
4x
客厅
4y
回顾交流：
本节课我们学习了那些内容？ 如何进行单项式与单项式乘法运算？
作业：
（1）P77 练习1、2
（2）课堂反馈P34
例1计算：
1、
1 (2 xy ) ( xy) 3
2
2、
(2a b ) (3a)
2 3
3、
(4 10 ) (5 10 )
5 4
练一练： 1、计算：
①
2
(5 x ) (2 x y )
3 2
② (3ab) (4b )
③ (2 x y ) (4 xy )
2 3 2
4 10 9 次计算， 2、一种电子计算机每秒可做
3 2 ( mx ) ( x) 米 4
结果可以表达得更简单些吗？
（2）类似地，3a2b 2ab3 和 (xyz) y2z可 以 表达得更简单些吗？为什么？
单项式与单项式相乘
如何进行单项式与单项式相乘的 运算？
单项式相乘，先把它们 的系数相乘，作为积的系数； 再把相同字母的幂相乘所得 的积，分别作为积的因式， 并把只在一个单项式里出现 的字母的幂也作为积的因式。
y
n 1
京京用两张同样大小的纸，精心 制作了两幅画，如下图所示，第 一幅画大小与纸的大小相同，第 二幅画的画面在纸的上、下各留 1 x 米的空白 有 8
x 米
面 积 是 多 少 呢？ 1x 8
1 x 8 mx米
（1）对于上面的问题小明得到如下的结果：
第一幅画的画面面积是 x (mx ) 米2 第二幅画的画面面积是
指出下列公式的名称
a a a
m n
m n
m n
同底数幂的乘法
幂的乘方 积的乘方
(a ) a n n n (ab) a b
mn
3 2 3 3 1、 ( ) ( ) 5 5
2、
( a b)
2
3
3、
( y ) y
做一做
a b
6 3
它工作10分钟可做多少次运算？
例2 计算:
(1)2xy (-2x2yz) (-3xz2)
(2)2x6y2 x3y+(-25x8y2)(-xy)
动脑筋：
住房的结构如图示， 房子的主人打算把卧室 以外的部分全都铺上地 x 砖，至少需要多少平方 米的地砖？如果某种地 2x 砖的价格是a元/平方米， 那么购买所需地砖至少 需要多少元？