空间点线面位置关系

方法1判定或证明线面垂直的方法
（1）利用线面垂直的判定定理：a⊥b,a⊥c,b∩c=M,b⊂α,c⊂α⇒a⊥α
（2）利用平行线垂直于平面的传递性:a//b,a⊥α⇒b⊥α
（3）利用面面垂直的性质定理α⊥β,α∩β=l,a⊥l,a⊂β⇒a⊥α
（4）利用面面平行的性质α//β,a⊥β⇒a⊥α
（5）利用面面垂直的性质α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ
(1)DE//平面AA'C'C;
（2）BC'⊥AB'.
例2如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
(1)证明：PB//平面AEC;
（2）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD= ，
求三棱锥E-ACD的体积.
直线、平面垂直的判定与性质
【知识清单】
一、线面垂直的判定和性质
平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3，BC=5.
（1）求证：AA1⊥平面ABC;
（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；
（3）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求BD/BC1的值。
3.两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例；
4.同一条直线与两个平行平面所成角相等。
平行问题的转化：线线平行 线面平行 面面平行 线面平行
方法1 证明线面平行的方法
（1）利用线面平行的定义（一般用于反证法）；
（2）利用线面平行的判定定理；（3）利用面面平行的性质.
方法2 平面与平面平行的判定方法
AB和A 的中点.
求证：（1）E、C、 F、四点共面；
（2）CE, F,DA三线共点.
方法2 异面直线所成角的求解方法
1、平移直线（线段）法（定义法）：
（1）常用平移方法：①利用已有的平行线平移；②利用特殊点（端点或中点）做平行线平移；
（2）求异面直线所成角的一般步骤：平移→证明→求解→取值
2、向量法（基底法、坐标法）:
方法2判定或证明面面垂直的方法
（1）利用面面垂直的定义（做两平面的二面角的平面角，计算其为90°）
（2）利用面面垂直的判定定理
例1 如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为
正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角
C-BE-F都是60°.
(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC
性质：a//α,a⊂β,α∩β=b⇒a//b（条件）
二、平面与平面平行的判定和性质
判定：①α∩β=∅∅∅⇒α//β
②a//β,b//β ③
a⊂α,b⊂α⇒α//β
a∩b=P
④a⊥α,a⊥β⇒α//β⑤
性质：①
②③
注：1.夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等；
2.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；
(2)求二面角E-BC-A的余弦值.
例2 如图，三棱柱ABC- 中，侧面B AB⊥ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
证明：（1）AC=A
（2）若AC⊥A
空间角与距离、空间向量及其应用
一、空间向量
1.空间向量的有关定理
（1）共线向量定理：a//b⇔存在唯一实数λ，使得a=λb。
（2）四点共面的充要条件：①P在平面ABC上⇒存在有序数对（x，y），使得 =x +y 成立；②对空间任意一点O，有 =x ,若x+y+z=1，则P、A、B、C四点共面，反之亦成立.
（2）多线共点：先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点.证明一条直线过一点的方法是证明该点是以该直线为交线的两个平面的公共点；
（3）点线共面：①纳入平面法：先确定一个平面，再证点、线在该平面内；②辅助平面法：先证一些点、线确定平面α，再证其余点、线确定的平面β，最后证明平面α，β重合.
例1如图所示，正方体ABCD- 中，E、F分别是
例1如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，
点E,F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E,F的平面α与
此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
（1）在图中画出这个正方形；
（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值。
例2如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，
【突破方法】
方法1求解直线与平面所成角的方法
（1）定义法：①确定垂足，引垂线，作出所求角；②证明该角为所求角；③构造角所在的三角形，解三角形
（2）公式法：sin θ=h/l
（3）向量法：sin θ=∣cos<a,b>∣=
方法2求解二面角的方法
（1）定义法（2）垂面法（3）三垂线定理（4）射影面积公式（5）向量法
1.线面垂直的判定和性质
判定：①②
性质：① ②
2.常用结论：
（1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
（2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。
3.直线与平面所成的角
最小角定理
二、面面垂直的判定和性质
1.面面垂直的判定和性质
判定：①∠AOB是二面角α-l-β的平面角， ②
且∠AOB=90°，则α⊥β
3、证明两直线为异面直线的方法
1定义法（不好操作）；②反证法（先假设两条直线共面，经过推导得出矛盾）；③利用结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线。
4、异面直线所成的角
1范围：(0, ];②求解方法：平移法
【突破方法】
方法1 证明点共线、线共点、点线共面的方法
（1）点共线：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上；
二、空间向量的应用
平面法向量的求法：建系→待定系数法.
三、空间角与距离
1.空间角包括线线角，线面角，二面角，注意取值范围
2.线面角涉及斜线的射影，找出平面的垂线是关键，步骤：
（向量法）①找出斜线的方向向量a和平面的一个法向量b
②计算线面角的向量公式
Sin θ=∣cos<a,b>∣=
3.空间距离
点面距离、线面距离、面面距离、异面直线距离、两点间距离
建系→确定方向向量→异面直线所成角α满足：cos α=
例2直三棱柱ABC- 中，∠BCA= ，M,N分别是 ， 的中点，
BC=CA=C ,则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A.1/10 B.2/5 C. /10 D. /2
直线、平面平行的判定与性质
【知识清单】
一、直线与平面平行的判定与性质
判定：①a∩α=∅⇒a//α；②a//b，a⊄α，b⊂α⇒a//α(结论)
性质：①②
2.二面角
（1）我们用二面角的平面角来刻画二面角的大小
（2）二面角的取值范围：[0，π]
（3）找二面角的平面角的方法：①定义法：过棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，则两射线的夹角即为二面角的平面角；②垂面法：作与棱垂直的平面，则该平面与两个半平面的交线构成的角即为二面角的平面角。
【突破方法】
（1）利用面面平行的判定定理；
（2）利用面面平行的判定定理的推论；
（3）证明两个平面都垂直于同一条直线；
（4）证明两个平面同时平行于第三个平面。
方法3平行关系的综合应用
线线平行 找过直线的平面 线面平行
线线平行
例1 如图，在直三棱锥ABC-A'B'C'中,已知AC⊥BC,BC=CC',
设AB'的中点为D,B'C∩BC'=E.求证:
空间点、线、面的位置关系
【知识清单】
一、平面的基本性质
二、空间点、线、面的位置关系
1、空间两直线的位置关系
位置关系
共面情况
公共点个数
相交
同在一个平面内
有且只有一个
平行
同在一个平面内
零个
异面
不同在任何一个平面内
零个
2、异面直线
1异面直线既不平行也不相交；
2异面直线不具有传递性；
3不能理解为“不在同一平面内的两条直线为异面直线”