14.2(2)空间直线与直线的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
题型讲练 题型一 空间中两直线的位置关系 例1 若 a 和 b 是异面直线，b 和 c 是异面直线，则 a 和 c 的位 置关系是( ) A．a∥c B．a 和 c 异面 C．a 和 c 相交 D．a 和 c 平行、相交或异面 【分析】 利用长方体模型进行判定．
【解析】
如图，在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，令 A′D′ 所在直线为 a，AB 所在直线为 b，由题意，a 和 b 是异面直 线，b 和 c 是异面直线．若令 B′C′所在直线为 c，则 a 和 c 平行．若令 C′C 所在直线为 c，则 a 和 c 异面．若令 D′D 所在直线为 c，则 a 和 c 相交．故选 D. 【答案】 D
又 E1N∥CD，且 E1N＝CD， ∴四边形 E1NDC 为平行四边形， ∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1. ∴∠EA1F 与∠E1CF1 的两边分别对应平行． 即 A1E∥CE1，A1F∥CF1， ∴∠EA1F＝∠E1CF1.
【小结】 (1)证明空间两条直线平行的方法有两个：一 是利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线，平行四边形性 质，平行线分线段成比例定理等)证明；二是利用公理 4，就 是需要找到第三条直线 c，设 a∥c，b∥c，由公理 4 得到 a∥ b. (2)证明角的相等问题，等角定理及其推论是较常用的方 法．另外，通过证明三角形的相似或全等也可以完成角的相 等的证明．
方法二：在其中一条直线上任取一点(如在 b 上任取一 点)O，过 O 作另一条直线的平行线(如过 O 作 a′∥a)，则两 条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如 b 与 a′所成的角)，然后通过解三角形等方法求角(如图)．
值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因 此平移时要求选择恰当的位置.
空间中直线与直线的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系[新知初探]1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法：2．空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点[点睛](1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．3．平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．a∥b b∥c⇒a∥c.(2)符号表述：}4．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．5．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.[点睛](1)异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．(2)公理4也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：选D空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．3．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对解析：选B由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故∠PQR＝30°或150°.两直线位置关系的判定[典例]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．[解析](1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．[答案](1)平行(2)异面(3)相交(4)异面(1)判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．(2)判定两条直线是异面直线的方法①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[活学活用]1．在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF() A．平行B．异面C．相交D．以上均有可能解析：选B假设BE与CF是共面直线，设此平面为α，则E，F，B，C∈α，所以BF，CE⊂α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，与ABCD为空间四边形矛盾，所以BE与CF是异面直线，故选B.2．若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．异面或相交解析：选D由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交．平行公理与等角定理的应用[典例]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[证明](1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，这是两种情况都有可能．[活学活用]如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明：(1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，MN＝12AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.异面直线所成角[典例] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，1111的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．[解] 法一：如图1所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.图1法二：如图2所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE綊12DB1，于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．连接HF，设AA1＝1，则EF＝22，HE＝32，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF，∴HF2＝HI2＋IF2＝5 4，∴HF2＝EF2＋HE2，∴∠HEF＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.图2法三：如图3，连接A1C1，分别取AA1，CC1的中点M，N，连接MN. ∵E，F分别是A1B1，B1C1的中点，∴EF∥A1C1，又MN∥A1C1，∴MN∥EF.连接DM，B1N，MB1，DN，则B1N綊DM，∴四边形DMB1N为平行四边形，∴MN与DB1必相交，设交点为P，则∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k>0)，则MP＝22k，DM＝52k，DP＝32k，∴DM2＝DP2＋MP2，∴∠DPM＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.法四：如图4，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，易得B1Q∥EF，∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k>0)，则B1D＝3k，DQ＝5k，B1Q＝2k，∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.[活学活用]如图所示，点A是△BCD所在平面外一点，AD＝BC，E，F分别是AB，CD的中点，当EF＝22AD时，求异面直线AD和BC所成的角．解：如图所示，设G为AC的中点，连接EG，FG. ∵E，F，G分别为AB，CD，AC的中点．∴EG∥BC，且EG＝12BC；FG∥AD，且FG＝12AD.又AD＝BC，∴EG＝FG＝12AD.∴EG与GF所成的锐角(或直角)即为AD与BC所成的角．在△EFG中，∵EG＝FG＝12AD，又EF＝22AD，∴EG2＋FG2＝EF2，即EG⊥FG.∴∠EGF＝90°.故AD与BC所成角为90°.层级一学业水平达标1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直解析：选D因为a⊥b，b∥c，则a⊥c，故选D.2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析：选C如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是() A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选C如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.4．已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．5．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是()A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的一个图是________(填序号)．解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．答案：③8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．解析：如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a，则A1M＝32a，ME＝54a，A1E＝414a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°. 答案：90°9.如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1(平行公理)．∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF.∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．10.如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝12CD，GF＝12AB.∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF.∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.层级二应试能力达标1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选A如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D交于点F，由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交，故选A.2．在三棱锥A-BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH 是( )A ．菱形B ．矩形C ．梯形D ．正方形解析：选B 如图，在△ABD 中，点H ，E 分别为边AD ，AB 的中点，所以HE 綊12BD ，同理GF 綊12BD ，所以HE 綊GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又AC ⊥BD ，所以HG ⊥HE ，所以四边形EFGH 是矩形，故选B.3．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与BC 1所成的角的大小是( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．105°解析：选C 设BB 1＝1，如图，延长CC 1至C 2，使C 1C 2＝CC 1＝1，连接B 1C 2，则B 1C 2∥BC 1，所以∠AB 1C 2为AB 1与BC 1所成的角(或其补角)．连接AC 2，因为AB 1＝3，B 1C 2＝3，AC 2＝6，所以AC 22＝AB 21＋B 1C 22，则∠AB 1C 2＝90°.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是( )A ．0°<θ<60°B ．0°≤θ<60°C ．0°≤θ≤60°D ．0°<θ≤60°解析：选D 如图，连接CD 1，AC ，因为CD 1∥BA 1，所以CP 与BA 1所成的角就是CP 与CD 1所成的角，即θ＝∠D 1CP .当点P 从D 1向A 运动时，∠D 1CP 从0°增大到60°，但当点P 与D 1重合时，CP ∥BA 1，与CP 与BA 1为异面直线矛盾，所以异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.5.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，则异面直线EF 与B 1D 1所成的角为__________．解析：连接BC 1，AD 1，AB 1，则EF 为△BCC 1的中位线，∴EF ∥BC 1.又∵AB 綊CD 綊C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1为平行四边形．∴BC 1∥AD 1.∴EF ∥AD 1.∴∠AD 1B 1为异面直线EF 和B 1D 1所成的角或其补角．在△AB 1D 1中，易知AB 1＝B 1D 1＝AD 1，∴△AB 1D 1为正三角形，∴∠AD 1B 1＝60°.∴EF 与B 1D 1所成的角为60°.答案：60°6.如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，并且异面直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN 等于________．解析：取AD 的中点P ，连接PM ，PN ，则BD ∥PM ，AC ∥PN ，∴∠MPN 即异面直线AC 与BD 所成的角，∴∠MPN ＝90°，PN ＝12AC ＝4，PM ＝12BD ＝3，∴MN ＝5. 答案：57．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1与AC ，AB 所成的角均为60°，∠BAC ＝90°，且AB ＝AC ＝AA 1，求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值．解：如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC -A 1B 1D 1C 1，连接BD 1，A 1D 1，AD ， 由四棱柱的性质知BD 1∥AC 1，则∠A 1BD 1就是异面直线A 1B 与AC 1所成的角．设AB ＝a ，∵AA 1与AC ，AB 所成的角均为60°，且AB ＝AC ＝AA 1，∴A 1B ＝a ，BD 1＝AC 1＝2AA 1·cos 30°＝3a .又∠BAC ＝90°，∴在矩形ABCD 中，AD ＝2a ，∴A 1D 1＝2a ，∴A 1D 21＋A 1B 2＝BD 21，∴∠BA 1D 1＝90°， ∴在Rt △BA 1D 1中，cos ∠A 1BD 1＝A 1B BD 1＝a 3a ＝33.8.正三棱锥S -ABC 的侧棱长与底面边长都为a ，E ，F 分别是SC ，AB 的中点，求直线EF 和SA 所成的角．解：如图，取SB 的中点G ，连接EG ，GF ，SF ，CF .在△SAB 中，F ，G 分别是AB ，SB 的中点，∴FG ∥SA ，且FG ＝12SA . 于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线EF 与FG 所成的角．在△SAB 中，SA ＝SB ＝a ，AF ＝FB ＝12a ，∴SF⊥AB，且SF＝3 2a.同理可得CF⊥AB，且CF＝3 2a.在△SFC中，SF＝CF＝32a，SE＝EC，∴FE⊥SC且FE＝SF2－SE2＝2 2a.在△SAB中，FG是中位线，∴FG＝12SA＝a2.在△SBC中，GE是中位线，∴GE＝12BC＝a2.在△EGF中，FG2＋GE2＝a22＝FE2，∴△EGF是以∠FGE为直角的等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°.∴异面直线SA与EF所成的角为45°.。
空间几何的直线与直线的位置关系
空间几何的直线与直线的位置关系空间几何是数学的一个分支，研究的是点、线、面以及它们之间的相互关系。
其中，直线是空间几何中的基本要素之一，它的位置关系也是空间几何中重要的内容之一。
直线与直线之间的位置关系可以分为平行、相交和重合三种情况。
本文将从这三个方面探讨直线与直线的位置关系。
一、直线的平行关系平行是指两条直线在平面上，永远不会相交，它们的方向相同或者垂直于同一个平面。
在空间几何中，我们可以通过判断直线的斜率或者利用向量的方法来确定直线是否平行。
如果直线的斜率相等或者两条直线的方向向量平行，则它们是平行的。
例如，在坐标系中，直线y = 2x + 1和直线y = 2x + 3的斜率相等，因此这两条直线是平行的。
二、直线的相交关系相交是指两条直线在平面上有一个交点，它们的方向不同且不互相垂直。
判断直线相交的方法有很多，例如可以通过求解方程组、利用点斜式或者利用向量的方法。
如果两条直线的方程组有唯一的解，那么这两条直线是相交的。
例如，在坐标系中，直线y = 2x + 1和直线y = -2x + 3的方程组有唯一的解(x, y)，因此这两条直线相交。
三、直线的重合关系重合是指两条直线完全重合，它们的方向相同、位置重合。
在空间几何中，判断直线是否重合可以通过判断它们的方向是否相同和通过确定直线上两个不同的点，然后判断这两个点是否在另一条直线上。
如果两条直线的方向相同且在同一直线上有两个不同的点，则这两条直线是重合的。
例如，在坐标系中，直线y = 2x + 1和直线2y = 4x + 2的方向相同且在同一直线上有点(1, 3)和(2, 4)，因此这两条直线是重合的。
总结：空间几何中直线与直线的位置关系可以分为平行、相交和重合三种情况。
通过判断直线的斜率、方向向量以及求解方程组等方法，可以准确判断直线之间的位置关系。
这些位置关系在实际问题的求解中具有重要的意义，帮助我们理解空间中的几何性质和解决相关的应用问题。
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系整体设计教学分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.三维目标1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系.2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用.3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系.学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何图1推进新课新知探究提出问题①什么叫做异面直线②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗⑤什么是空间等角定理⑥什么叫做两异面直线所成的角⑦什么叫做两条直线互相垂直活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD—A′B′C′D′中，如图1,BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗通过观察得出结论：BB′与DD′平行.再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示为：a∥b,b∥c⇒a∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢能否转化为用共面直线所成的角来表示呢生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理对空间中的任一点O有无限制条件答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾答：没有矛盾.当a 、b 相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图6求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD 21. 同理，FG∥BD，且FG=BD 21. 所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形.变式训练1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD 21. 同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC=BD,所以EF=EH.所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC⊥BD. 求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD 21. 同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD 21，EF=AC 21. 所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC=BD ，所以EF=EH.因为FG∥BD，EF∥AC，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC⊥BD，所以EF⊥EH.所以四边形EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法.例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线(2)直线BA′和CC′的夹角是多少(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线.(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 变式训练如图8，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；(2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角， ∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C 是异面直线CD′和BC′所成的角， ∵△AD′C 是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形.∴ED∥B1F.变式训练如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；（4）DC与BD1；（5）D1E与CF.解：（1）∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD,∴AB与CC1异面.（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.∴A1C与D1B相交.（4）∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD,∴DC与BD1异面.（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.又AE∥DD1，∴GD1过AA1的中点E.∴直线D1E与CF相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与A 1C ），有时看上去像相交（如图中的DC 与D 1B ）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG.因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG=BC 21，FG∥AD，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求. 由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°. 点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.变式训练设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角.解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，图12∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角.由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=3221=CD ， ∴HG·HE·sin∠EHG=612sin∠EHG.∴612sin∠EHG=312.∴sin∠EHG=22.故∠EHG=45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°.知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有对____________.图13答案：三拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB 与CD 所在直线垂直；②CD 与EF 所在直线平行；③AB 与MN 所在直线成60°角；④MN 与EF 所在直线异面.其中正确命题的序号是（ ）A.①③B.①④C.②③D.③④答案：D课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.作业课本习题 A 组3、4.设计感想空间中直线与直线的位置关系是立体几何的基础，本节通过空间模型让学生直观感受两直线的位置关系，进一步培养学生的空间想象能力.两直线的异面关系是本节的重点和难点，本节选用大量典型题目训练学生求两异面直线所成的角，使学生熟练掌握直线与直线的位置关系.另外,本节加强了三种语言的相互转换，因此这是一节值得期待的精彩课例.。
空间中直线与直线之间的位置关系
（1）不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
（2）空间两条异面直线的画法
借助平面来反映线与线的异面关系
（3）异面直线的判定方法
证明和判断异面直线的方法有两种：
（1）定义法：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，此时需借反证法；
（2）定理法：
异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。
（1）证明： ， ， ；
（2）求 的值。
有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径：
（1）利用等角定理及其推论；
（2）利用三角形相似；
（3）利用三角形全等；
例4、如图所示，设 分别是空间四边形 的边 上的点，且 ，求证：
（1）当 时，四边形 是平行四边形；
（2）当 时，四边形 是梯形；
第二课时 异面直线及其夹角
推理模式： 与 是异面直线。
图形：
注：判定两直线为异面直线的常用方法是排除法核心思想是反证法。
2、异面直线所成的角
已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ，则 与 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 所成的角（或夹角）。
若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，记作： ，以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的即有共面垂直，也有异面垂直这两种情形；
（5）求异面直线所成的角的基本步骤：一作、二证、三计算；
一“作”：作平行线，将“异面直线”的空间问题转化为“相交直线”的平面问题来解决，这是我们解决立体几何问题的常用方法；
作平行线的方法一般有三种：
①直接平移法；②中位线平移法（含成比例线平移法）；③补形平移法。
作平行线往往是在某个平面中完成，因此需要寻找一个“方便面”，该面的特点是：该面包含其中一条异面直线；该面与另一条异面直线相交，即方便作“平行线”。
14.2空间直线与直线的位置关系
第十四章空间直线与平面第二节空间直线与直线的位置关系知识梳理空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点画法：异面直线判定方法：①依据定义（常用反证法）；②经过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线异面直线所成的角：如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).可知，两异面直线的夹角范围是⎥⎦⎤2,0(π.异面直线的距离：同时垂直于两条异面直线的线段的长度.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示为：设a、b、C是三条直线a ba cc b⎫⇒⎬⎭∥∥∥.注：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.定理1（等角定理）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.典例精讲题型一：空间直线的位置关系概念性题目例1右图长方体中（1）说出以下各对线段的位置关系?①EC 和BH 是 直线②BD 和FH 是 直线 ③BH 和DC 是 直线 (2)与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条 答案：相交 平行 异面 4例2 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 （ ） A 一定平行 B 一定相交 C 一定异面 D 相交或异面分析：如图，D题型二：直线平行的判定例3 平面外的两条平行直线一条平行与这个平面，那么另一条也平行与这个平面 已知：ααα⊄⊄b a a b a ,,//,//求证：α//b分析：由直线与平面平行可得到直线平行于平面内的一条直线，假设为直线c ，由公理4可知，直线b 与直线c 平行，可得到直线b 与平面平行例4 空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形.分析：公理4的应用巩固练习：将上题中的F,G 改为BC 和DC 的三等分点，且DC CG BC CF 31,31==,则四边形EFGH 是什么图形？.分析：梯形，关键是要证明一组对边平行，另外一组不平行题型三：异面直线概念例5若a ，b 是异面直线，则只需具备的条件是( )A.a ⊂平面α，b ⊄平面α，a 与b 不平行B.a ⊂平面α，b ⊂平面β，α∩β=l ，a 与b 无公共点C.a ∥直线c ，b ∩c =A ，b 与a 不相交D.a ⊥平面α，b 是α的一条斜线 解题策略：可以用实物来演示 ，C巩固练习：b a ,是两条异面直线，下列结论正确的是 （ ）A 过不在b a ,上的任一点，可作一个平面与b a ,平行B 过不在b a ,上的任一点，可作一个平面与b a ,相交C 过不在b a ,上的任一点，可作一条直线与b a ,平行D 过a 可以并且只可以作一个平面与 b 平行分析:A 错，若点与直线a 所确定的平面与直线b 平行时，不能确定；B 错，:同上；C 错，假设这样的直线存在的话，由公理4可推出矛盾；D 正确例6若b a ,是两条异面直线，且分布在平面βα,内，若l =⋂βα，则直线l 必定是 ( )A 分别与b a ,相交B 至少与b a ,之一相交C 与b a ,都不相交D 至多与b a ,之一相交 答案：B 巩固练习“b a ,为异面直线”是指：①b a b a 不平行于,φ=⋂；②φβα=⋂⊂⊂b a b a ,,；③φβαβα=⋂⊂⊂,,b a ④αα⊄⊂b a , ；⑤ 不存在面βαα⊂⊂b a ,,使得 成立上述结论中，正确的是 （ ）A ①④⑤正确B ①③④正确C ②④正确D ①⑤正确 答案：D例7 .如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ， 那么A C 1几条棱所在直线与直线BA 1成异面直线？______________________. 答案：6 巩固练习空间四边形ABCD 中，H,F 是AD 边上的点，GE 是BC 边上的点 与AB 成异面直线的线段是 与CD 成异面直线的是 答案：HG,EF,CD; AB,HG,EF例8已知空间四边形ABCD 中，上的中线，的边是上的高，的边是BC BCD DF BC ABC AE AC AB ∆∆≠, 求证：AE 和DF 为异面直线解题思路：方法一，用异面直线的定义，证明这两条直线在两个不同的平面内，且它们不相交也不平行 方法二，用反证法，推出矛盾巩固练习已知不共面的三条直线a 、b 、c 相交于点P ，a A ∈，a B ∈，b C ∈，c D ∈，求证：AD 与BC 是异面直线．题型四：异面直线所成的角例9 .如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ， 那么AA DBC BCD1111（1）直线BA 1与CC 1所成角的大小为________. （2）直线BA 1与B 1C 所成角的大小为________. 解题思路：找出平行线，构造出平面角 答案：45° 60° 巩固练习已知正方体的棱长是3，点分别是棱的中点，则异面直线MN 与所成的角是 ．答案：例10在平行四边形ABCD 中，AB =1，AC =，AD =2；线段PA ⊥平行四边形ABCD 所在的平面，且P A =2，则异面直线PC 与BD 所成的角等于 （用反三角函数表示）.答案：【arccos 或】1111ABCD A B C D -M N 、1AB AA 、1BC 3π373714arcsin 2BCDP .A例11 如图，正方体ABCD -EFGH 中O 为侧面ADHE 的中心，求 （1） BE 与CG 所成的角 （2） FO 与BD 所成的角 解题思路：一找，二证，三求 答案：45° 30°题型一、抓异面直线上的已知点解题策略：过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）A ．515arccosB ．4πC ．510arccosD ．2π 解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在△B 1GF 中，由余弦定理，得cos B 1GF ＝222222111(2)(3)(5)2223B G GF B F B G GF +-+-=•••＝0，故∠B1G 评注：本题是过异面直线FG 上的一点G ，作B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是所求的角，从而纳入三角形中解决．例 2 如图，已知是底面为正方形的长方体，，，点是的中点，求异面直线与所成的角（结果用反三角函数表示）． 1111ABCD A B C D -1160AD A ∠=14AD =P 1AD 1AA 1B P 1A 1B 1C 1D ABCD E FG解：过点P 作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角．在中 ∵ ∴,，．又． 在中， ∴ 异面直线与所成的角为．巩固练习如图2的正方体中，E 是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线? (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值解：(1)∵ A '∉平面BC′，又点B 和直线CC′都在平面BC′内，且B ∉CC′, ∴ 直线BA′与CC′是异面直线同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC 、AD 、B′C′所在的直线都和直线BA′ 成异面直线(2)∵ CC′∥BB′，∴ BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角 ∵ ∠A′BB′=45°∴ BA′和CC′所成的角是45°(3)∵ AA′∥BB′∥CC′，故AE 和AA′所成的锐角∠A′AE 是AE 和CC′所成的角在Rt △AA′E 中，tan ∠A′AE ＝A E AA ''＝21，所以AE 和CC′所成角的正切值是21(4)取B′C′的中点F ，连EF 、BF ，则有EF ＝∥A 'B '＝∥AB,∴ ABFE 是平行四边形，从而BF ＝∥AE, 即BF ∥AE 且BF=AE. ∴ BF 与BA′所成的锐角∠A′BF 就是AE 和BA′所成的角设正方体各棱长为2，连A′F ，利用勾股定理求出△A′BF 的各边长分别为A′B ＝22，A′F ＝BF ＝5，由余弦定理得：11PE A D ⊥E 1B E 1PE AA ∥1B PE ∴∠1AA 1B P 11Rt AA D △1160AD A ∠=1130A AD ∠=11111122A B A D AD ===111112A E A D ==2211115B E B A A E ∴=+=1132PE AA ==∴1Rt B PE △11515tan 33B E B PE PE ∠===1AA 1B P 15arctan3B '(图2)A 'AB C 'D 'CD F Ecos ∠A′BF ＝5105222)5()5()22(222=⨯⨯-+题型二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点解题策略：考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2.如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，求异面直线EF 与SA 所成的角°分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC 的中点D ，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解：如图，取AC 的中点D ，连接DE 、DF ，∠EDF 为异面直线EF 与SA 所成的角 设棱长为2，则DE=1，DF=1，而ED ⊥DF ∴∠EDF=45°，例3 在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
空间直线与直线的位置关系2
B1
C1
F1 E1
D A B
C
F E
2 线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求 其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两 条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要 注意。 2.当异面直线垂直时，应用线面垂直的定义或三垂线定理 （或逆定理）等方法判定所成的角为90º (可不必作出平面角)， 也是不可忽视的办法。
]，在把异面直 说明：1.异面直线所成角的范围是（0，
例3.
如，正方体中，
A1
D1
C1
B1
1. A1B1与C1C所成的角
2. AD与B1B所成的角
D A B C
3. A1D与BC1所成的角
4. D1C与A1A所成的角 5. A1D与AC所成的角
例4 正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等， 如果E，F分别为SC、AB的中点，那么异面 直线EF与SA所成的角等于（ C ） A. 90° 30° S
解:(2) ∵BB 1//CC 1 ，且BB 1∩BA =B 1 ∴∠A 1BB 1为异面直线A 1B 与CC 1所成角的平面角. A1 0 又∵∠A 1BB 1=45 ∴异面直线BA 1与CC 1所成 的角为45 0 A D1 C1
空间中直线与直线之间的位置关系 课件
练习3.两条直线在同一个平面上，它们的位置关系是什 么？
练习4.三棱锥的6条棱能构成多少对相交直线？
练习5.三棱柱的9条棱能构成多少对平行直线？ 5．(1)锐角 直角 (2)(0°，90°] (3)90° a⊥b
练习3.平行或相交 练习4. 12对 练习5. 6对
3．互相平行 平行的传递性 a∥c 4．平行 相等 互补
5．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的____(或______)叫 做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)异面直线所成的角θ的取值范围：________.
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
法二：如1图，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE， 则HE綊 2 DB1.于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF 所成的角或其补角．连接HF，设AA1＝1，
则EF＝
2 2
，HE＝
3 2
，
取A1D1的中点I，连接IF，则HI⊥IF.
点评：两直线的位置关系有三种，在判断两直线的位 置关系时，常常逐一验证排除．
跟踪训练 1．下列条件中，一定能推出a与b是异面直线的是
(D) A．a、c异面且b、c异面 B．a∥c，b与c相交 C．a，b分别与c相交 D．a⊂平面α，b∩α＝A且A∉a
证明两直线是异面直线
已知直线AB、CD是异面直线，求证：直线AC、 BD是异面直线．
证明：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一 平面内，设这个平面为α(如图)．
空间中直线与直线之间的位置关系 课件
于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
通过计算,不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所
成的角为90°.
图(3)
点G,连接OG,则OG∥B1D,EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
图(1)
解法二如图(2),连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE∥DB1,且
1
HE= 2 DB1.
思路分析:(1)
(2)根据异面直线的定义分析.
解:(1)①平行 ②异面 ③相交 ④异面
(2)直线a与c的位置关系有三种情况,如图所示.
直线a与c可能平行,如图①;可能相交,如图②;可能异面,如图③.
平行公理、等角定理的应用
【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和
求异面直线所成的角
【例3】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1
的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.
思路分析:先作出角,再证明角的两边分别与两异面直线平行,最
后在三角形中求角.
解法一如图(1),连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中
似地,若两条异面直线a,b所成的角为θ,则θ的取值范围是什么?
提示:0°<θ'≤90°,0°<θ≤90°.
3.关于两条异面直线所成的角(夹角),填写下表:
定 义
范围
两异面直
线垂直
已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线 a'
空间中直线与直线之间的位置关系 课件
同理可得四边形 CC1M1M 为平行四边形． 所以 C1M1＝CM. 又因为 B1C1＝BC， 所以△BCM≌△B1C1M1. 所以∠BMC＝∠B1M1C1.
归纳升华 1．证明两条直线平行的方法： (1)公理 4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与 之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识， 如有中点时用好中位线性质等； (2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直 线无公共点．
[变式训练] 如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1
中，判断下列直线的位置关系： ①直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________； ②直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________； ③直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________； ④直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________．
2．证明两个角相等的方法： (1)利用等角定理； (2)利用三角形全等或相似．
[变式训练]如图，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，E， F，E′，F′分别是 AB，BC，A′B′，B′C′的中点， 求证：EE′∥FF′.
证明：因为 E，E′分别是 AB，A′B′的中点， 所以 BE∥B′E′，且 BE＝B′E′.
答案：①平行 ②异面 ③相交 ④异面
类型 2 平行公理和等角定理的应用 [典例 2]如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M， M1 分别是棱 AD 和 A1D1 的中点．求证： (1)四边形 BB1M1M 为平行四边形； (2)∠BMC＝∠B1M1C1. 证明：(1)在正方形 ADD1A1 中，M，M1 分别为 AD，
所以∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角， EG＝GF. 因为 AB⊥CD，所以 EG⊥GF. 所以∠EGF＝90°.所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE＝45°，即 EF 与 AB 所成的角为 45°.
空间中直线与直线之间的位置关系
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD 2 1 同理，FG ∥BD且FG = BD E D G A H
2
∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
B
F
C
变式一：
在例2中，如果再加上条件AC=BD，那 么四边形EFGH是什么图形? A
菱形
分析： 在例题2的基础上 我们只需要证明平行四 边形的两条邻边相等。
三.异面直线所成角的定义：
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线 a1∥a,b1∥b,把直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面直
线a和b所成的角。
b
b
O
a'
O＇
a
平 移 法
o
异面直线a和b所成的角的范围： 90 0
异面直线所成的角
如果两条异面直线所成的角为直角， 就说两条直线互相垂直，记作a⊥b。
C1
（2）A1C1和AC；
（3）A1C和D1B： （4）AB和CC1；
A
（5）BD1和A1C1；
问题：在同一平面内，平行于同一条直 线的两直线平行，在空间中此结论仍成 立吗？
ABCD A' B'C ' D' 中, BB'∥ AA' 观察：如图2.1.2-5,长方体
DD'∥ AA'
那么 BB ' 与 DD' 平行吗?
异面直线的画法:
b A
b
a
b
a
a
空间两直线的位置关系：
(1)从公共点的数目来看，可分为：
空间中直线与直线的位置关系
教案周珂数师一班20134041049 课题：空间中直线与直线的位置关系一、教学目标1、知识与技能（1）掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。
（2）会用平面衬托来画异面直线。
（3）掌握并会应用平行公理和等角定理。
2、过程与方法（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。
二、重、难点1、重点：异面直线的定义2、难点：公理3和等角定理在空间中的应用三、教学过程1、复习引入：平面中，直线与直线的位置关系有两种，分别是相交和平行。
由此给学生提出问题，那么在空间中直线与直线间有哪些位置关系呢？2、新课讲解：观察下列图形，说说空间中两条直线的位置关系（1）直线间的位置关系：异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.异面直线的图示注意：1)异面直线既不平行也不相交2)定义中“任何”是指两条直线永远不具备确定平面的条件，即是不可能找到一个平面同时包含这两条直线；不能认为分别在两个平面内的两条直线叫异面直线。
空间中的直线与直线之间有三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧ ，没有公共点不同在任何一个平面内点同一平面内，没有公共一个公共点同一平面内，有且只有异面直线：平行直线：相交直线：共面直线 思考：我们知道，在同一个平面内，两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。
在空间中，如果两直线都与第三条直线平行，是否也有类似的结论呢？观察长方体，在平行吗？与那么中，DC B A DC AB B A AB D C B A ABCD 11111111,////-公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.作用：它是判断空间两条直线平行的依据例题：已知ABCD 是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ， CD ，DA 的中点，连结EF ，FG ，GH ，HE ，求证：EFGH是一个平行四边形。
证明：连结BD∵ EH 是△ABD 的中位线∴EH ∥BD 且EH = BD同理，FG ∥BD 且FG = BD∴EH ∥FG 且EH =FG ∴EFGH 是一个平行四边形 abba 如果BC//EF ，EF//AD ，那么BC//CDA B DEF GH C在平面内, 我们可以证明“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”．空间中这一结论是否仍然成立呢？定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．其中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等.练习题：（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA' 和CC' 的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？四、课堂小结（1）空间直线的三种位置关系．（相交，平行，异面）（2）平行线的传递性．（3）等角定理．基本方法把空间中问题通过平移转化为平面问题.。
空间中直线与直线的位置关系
1.理解空间两直线的位置关系，并掌握异面直线的 定义.（重点）
2.掌握平行公理、等角定理及其推论，并会应用它们 去解决简单问题.（重点）
3.理解异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所 成的角. （难点）
平面内两条直线的位置关系?
相交直线
a
o
b
平行直线
a b
相交直线 （有一个公共点）
m
m
l
l
m
m
l
l
l1 ,l2 ,则l1, l2一定是异面直线.
解： a ,b , a ? b
b
M
ab
a
b
a
a与b是异面直线 a与b是相交直线 a与b是平行直线
不一定：它们可能异面，可能相交，也可能
平行。
答案：×
空间中直线与直线的位置关系
相交直线 共面直线：
平行直线
异面直线: 不同在任何一个平面内
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何?
D1
C1
答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1, ∠ADC +∠A1B1C1=180 O
A1 D
A
B1 C
B
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．
三、异面直线所成的角
(1)复习回顾
O
在平面内,两条直线相交成四
个角, 其中不大于90度的角称为它
们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度, 如图.
(2)问题提出
H
在空间,如图所示, 正方体
E
ABCD－EFGH中, 异面直线AB与
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§14.2（2）空间直线与直线的位置关系
一、 教学目标
1、 掌握空间直线位置关系；
2、 理解异面直线定义；
3、 会求异面直线所成角的大小
二、 教学重点与难点
重点：异面直线所成角
难点：寻找异面直线所成角
三、 教学过程
（一）复习引入
在同一平面内两不重合的直线位置关系：相交与平行
观察正方体1111D C B A ABCD ，与棱AB 相交的棱有几条？与棱AB 平行的棱有几条？ 发现棱111111,,,CC C B D A DD 与AB 既不平行也不相交，并且不在同一平面内，这样的直线位置关系是什么？
（二）新授
1、异面直线定义：把不能置于同一平面的两条直线21,l l 叫异面直线。
（既不平行也不相交）
2、空间两条直线的位置关系：
相交直线---在同一平面内，有且只有一个公共点
平行直线---在同一平面内，无公共点
异面直线---不能在同一平面内，无公共点
提问：空间两直线无公共点，则两直线的位置关系：
3、 如何画异面直线（借助于辅助平面）
四、 典型例题
例1、已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a
问(1) 正方体的哪些棱所在的直线与直线1BC 成异面直线？
（2）经过D A 1与1BB 能否作长方体的截面？
例2、直线a 和b 是异面直线，如果直线c //直线a ，则直线c 与b 的位置关系是：
直线a 和b 是异面直线，直线c 和b 是异面直线，则直线c 与a 的位置关系是：
已知直线d c ,和两条异面直线b a ,都相交，则直线d c ,的位置关系是：
垂直于同一直线的两直线位置关系是：
例3、直线l 与平面α相交于点A ，直线m 在平面α上，且不经过点A ，求证：直线l 与m 是异面直线.
例4、已知直线AB 与CD 是异面直线，求证：直线AC 与BD 是异面直线。
五、巩固练习：
1、已知正方体1111D C B A ABCD -中，求下列每组中两条异面直线所成角。
（1）B A 1与1CC ；（2）B A 1与DC ；（3）B A 1与1DC ；（4）B A 1与1AD
2、在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=5，BC=4，1CC =3.
（1）11DD B C 和所成角大小.
（2）11A BC C 和所成角大小；
（3）11AD B C 和所成角大小.
3、 在空间四边形ABCD 中，AB=CD=6，M 、N 分别是对角线AC 、BD 的中点且MN=5，求异面直线AB 、CD 所成角大小.。