河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.5 平方差公式(2)教案 (新版)新人教版
七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.5 平方差公式 1.5.2 平方差公式导学案北师大版
1.5.2平方差公式一、预习与质疑（课前学习区）（一）预习内容：P21-P22（二）预习时间：10分钟（三）预习目标：1.了解平方差公式的几何背景；发展符号感和推理能力2.通过拼图游戏，与同伴交流平方差公式的几何背景（四）学习建议：1．教学重点：了解平方差公式的几何背景2．教学难点：发展推理和表达能力（五）预习检测：1、判断正误(1) (a+5)(a-5)=a2-5 (2) (3x+2)(3x-2)=3x2-4 (3) (a-2b)(-a-2b)=a2-4b22、利用平方差公式计算：(1)11(3)(3)22x y x y+-(2) 2222(0.5)(0.5)a b a b-+--(3) (5m2-2n2)(2n2+5m2) (4) (x-2y)(x+2y)(x2+4y2)活动一：探索发现：一、探索平方差公式的几何背景如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形(1) 请表示图1-4中阴影部分的面积_____________________(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图），这个长方形的长和宽分别是多少？__________，它的面积是___________________(3) 比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？说一说验证的理由二、利用平方差公式探索规律(1) 计算下列各组算式，并观察它们的共同特点7988⨯=⎧⎨⨯=⎩ 11131212⨯=⎧⎨⨯=⎩ 79818080⨯=⎧⎨⨯=⎩(2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？__________________________________________(3) 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？（六）生成问题：通过预习和做检测题你还有哪些疑惑请写在下面。
二、落实与整合（课中学习区）活动二：综合应用巩固与提高例1 用平方差公式进行计算(1) 10397⨯(2) 118122⨯例2 计算：(1) 222()()a a b a b a b +-+(2) (25)(25)2(23)x x x x -+--例3 填空(1) a 2-4=(a+2)( ) (2) 25-x 2=(5-x)( ) (3) m 2-n 2=( )( )三、检测与反馈（课堂完成）1.填空：(1) x 2-25=( )( )(2) 4m 2-49=( )( ) (3) a 4-m 4=(a 2+m 2)( )=(a 2+m 2)( )( )2.计算：(1) 1007993⨯ (2) 76197120⨯(3)11(1)()()33x x x x---+(4) x(x+1)+(2-x)(2+x)(5) (3x-y)(3x+y)+y(x+y)(6)11()()(32)(32) 22a b a b a b a b +---+(7) 123452-12346×12344(8) (22+1)(24+1)(28+1)(216+1)四、课后互助区1.学案整理：整理“课中学习去”后，交给学习小组内的同学互检。
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式1教案
平方差公式课题平方差公式1会推导平方差公式并能正确运用公式进行计算.教学目标重点难点经历探索发现平方差公式的过程，发展数形结合的思想.探索平方差公式的过程.理解平方差公式的特征.教学用具多媒体教学环节说明二次备课复习多项式乘以多项式的运算（一）创设问题情景，引入新课1、在一个边长为a米的正方形草坪的一角修建一个正方形的水池，改建后草坪的面积是？新课导入课程讲2、你能利用面积知识，用不同的形式表示阴影部分的面积吗？试试看！同桌可交流讨论，然后把你的想法说给大家听.（教师巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法.）（二）得出概念1、（a+b）（a-b）=a2-b2这个公式称为平方差公式（1）你能用语言叙述这个公式吗？（2）你能用多项式乘法法则说明理由吗？授2、自主交流，合作探索：利用平方差公式计算的关键是什么？怎11、（1）（2x +y ）（2x -y ）（2）（ 1 （ （样确定？3、现学现卖：按要求填写下面表格算式与平方差公式中 a对应的项与平方差 公式中 b 对应的 项写成“a 2-b 2” 计 算结果 的形式（x +y ）x -y ）（m +3）m -3）（ 2x +1 ）（2x -1）（三）例题教学1 x +2）（ x -2）2 2 （3）（-5a +3b ）（-5a -3b ）（4）（m +n ）（n -m ）（可让学生先自己尝试计算，然后让部分学生上黑板，其他学生在练习本上完成，同桌交流答案，教师巡视，对错误进行辨析，最后由教师规范书写步骤.）通过本节课的学习，你认为：（1）什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？小结（2）平方差公式中字母 a 、b 可以是那些形式？（3）怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？作 业布置 知识技能 1、板书设计我们在运用平方差公式时，要注意以下几点：①公式中的字母 a 、b 可以是任意代数式； 课后反思 ②利用平方差公式计算的关键是：准确确定 a 和 b ；③完全相同的看作 a ，只有符号不同的看作 b .2。
河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇七年级数学下册 第一章 整式的乘除 13 同底数幂的除法(2)教案 (新版)北师大
【类型一】用科学记数法表示绝对值小于1的数
2014年6月18日中商网报道，一种重量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大 小的机器人是全球最小的机器人，0.00 0106用科学记数法可表示为
课中作业
用科学记数法表示下列各数：
（1）0．000876（2）-0．0000001
收获方法：1.用科学记数法表示小数的应用
2．科学记数法还 原小数
课件展示区
学生演示区：
例1Biblioteka 例2学生演示区：教学反思：
环
节
三
将用科学记数法表示的数还原为原数
用小数表示下列各数：
(1)2×10－7;(2)3.14×10－5；
(3)7.08×10－3;(4)2.17×10－1.
课中作业
随堂练习2
课后作业设计：
课后习题1,2,3
（ 修改人：）
板书设计：
1.3.2同底数幂的除法
收获知识：绝对值小于1的数写成a×10n(n为负整数，1≤a＜10)
第一章：整式的乘除
课题
1.3同底数幂的除法（2）
课时安排
共（2）课时
课程标准
课程标准28页
学习目标
1．理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法；(重点)
2．能将用科学记数法表示的数还原为原数．
教学重点
理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法
教学难点
科学记数法表示的数还原为原数．
教学方 法
尝试练习法归纳法.
教学准备
制作教学课件
课前作业
预习并完成随堂演练
教学过程
教学环节
课堂合作交流
二次备课
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式2说课稿新版北师大版
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式2说课稿新版北师大版一. 教材分析本次说课的教材是北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除中的1.5平方差公式。
平方差公式是整式乘除中的一个重要概念，它揭示了两个平方项之间的相互关系。
本节课的内容是在学生已经掌握了整式的加减、乘法的基础上进行的，是进一步学习多项式乘法、因式分解等知识的基础。
二. 学情分析面对的是七年级的学生，他们已经掌握了整式的加减、乘法等基本知识，具备了一定的逻辑思维和运算能力。
但是，对于平方差公式的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
此外，学生对于新知识的接受程度和理解能力各有不同，需要针对性地进行教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握平方差公式的概念和运用，能够运用平方差公式进行简单的计算和问题解决。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生自主学习和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的概念和运用。
2.教学难点：对平方差公式的理解，能够灵活运用平方差公式进行问题解决。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究，提高学生的学习兴趣和参与度。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等辅助教学，使教学内容更加直观、生动。
六. 说教学过程1.导入：通过复习整式的加减、乘法知识，引导学生进入新课，激发学生的学习兴趣。
2.知识讲解：讲解平方差公式的概念和运用，通过例题展示平方差公式的运用过程，让学生理解和掌握平方差公式。
3.练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生运用平方差公式进行计算和问题解决，巩固所学知识。
4.拓展延伸：通过一些综合性的问题，引导学生运用平方差公式进行解决，提高学生的运用能力和解决问题的能力。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调平方差公式的概念和运用。
2020【新版上市】河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.2 幂的乘方与积的乘方(2
第一章：整式的乘除课题1.2幂的乘方与积的乘方（2）课时安排共（ 2 ）课时课程标准课程标准28页学习目标1．掌握积的乘方的运算法则；2．掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用．教学重点对积的乘方的运算法则的教学教学难点积的乘方的推导过程的教学教学方法尝试练习法，讨论法，归纳法. 教学准备制作教学课件课前作业预习并完成随堂练习教学过程教学环节课堂合作交流二次备课（修改人：）环节一探究点一：积的乘方【类型一】直接运用积的乘方法则进行计算计算：(1)(－5ab)3; (2)－(3x2y)2；(3)(－43ab2c3)3; (4)(－x m y3m)2.解析：直接运用积的乘方法则计算即可．解：(1)(－5ab)3＝(－5)3a3b3＝－125a3b3；(2)－(3x2y)2＝－32x4y2＝－9x4y2；(3)(－43ab2c3)3＝(－43)3a3b6c9＝－6427a3b6c9；(4)(－x m y3m)2＝(－1)2x2m y6m＝x2m y6m.方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】含积的乘方的混合运算计算：(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．解：(1)原式＝－8a 6·a 3＋16a 2·a 7－125a 9＝－8a 9＋16a 9－125a 9＝－117a 9；(2)原式＝a 6b 12－a 6b 12＝0.方法总结：先算积的乘方，再算乘法，然后算加减，最后合并同类项． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题(3)【类型三】 积的乘方的实际应用太阳可以近似地看作是球体，如果用V 、R 分别代表球的体积和半径，那么V ＝43πR 3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米(π取3)?解析：将R ＝6×105千米代入V ＝43πR 3，即可求得答案． 解：∵R ＝6×105千米，∴V ＝43πR 3≈43×3×(6×105)3≈8.64×1017(立方千米)．答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键课中作业计算：(1)(－2a 2)3·a 3＋(－4a )2·a 7－(5a 3)3；(2)(－a 3b 6)2＋(－a 2b 4)3.环节二探究点二：积的乘方的逆用【类型一】 逆用积的乘方进行简便运算计算：(23)2014×(32)2015. 解析：将(32)2015转化为(32)2014×32，再逆用积的乘方公式进行计算． 解：原式＝(23)2014×(32)2014×32＝(23×32)2014×32＝32. 方法总结：对公式a n ·b n ＝(ab )n 要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形转化为公式的形式，运用此公式可进行简便运算． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题(2) 【类型二】 逆用积的乘方比较数的大小试比较大小：213×310与210×312.解：∵213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，又∵23＜32，∴213×310＜210×312.方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数幂是解答此类问题。
七年级数学下册第一章整式的乘除1.6完全平方公式(2)教案新人教版(2021年整理)
河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇七年级数学下册第一章整式的乘除1.6 完全平方公式（2）教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇七年级数学下册第一章整式的乘除1.6 完全平方公式（2）教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一章：整式的乘除课题 1.6完全平方公式(2）课时安排共（ 2 ）课时课程标准课程标准28页学习目标1、探索完全平方公式2、会运用完全平方公式进行一些数的简便运算。
教学重点运用完全平方公式进行一些数的简便运算及综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算.教学难点灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。
教学方法尝试归纳法教学准备制作教学课件课前作业 1.复习上节课知识点2.预习并尝试完成随堂练习教学过程教学课堂合作交流二次备课（修改环节一一、课前复习：1、算下列各题：1、2)(yx+ 2、2)23(yx- 3、2)21(ba+ 4、2)12(--t课中作业你能很快算出9982的结果吗？环节二1、例：利用完全平方公式计算:（1）1022（2）1972课中作业2、练习:利用完全平方公式计算：(1)982（2）2032环节三例：计算：（1）22)3(xx-+（2）22)(yxy+-方法一：按运算顺序先用完全平方公式展开,再合并同类项;方法二：先利用平方差公式,再合并同类项.注意:（2）中按完全平方公式展开后，必须加上括号课中作业（1）)4)(1()3)(3(+---+a a a a（2)22)1()1(--+xy xy课后作业设计：课后习题 1、2、3(修改人： ）板书设计:、例：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972教学反思：。
【配套K12】[学习]河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.4 整式的乘
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［师］你能用上面的方法计算下面的式子吗？3xy(x2y－2xy+y2),并说明每一步的理由.
［生］3xy(x2y－2xy+y2)
=3xy·(x2 y)+3xy·(－2xy)+3xy·y2—— 乘法分配律
=3x3y2－6x2 y2+3xy3——单项式乘法的运算 法则
出示投影片(§1.4.2B)
［例1］计算：
(1)2ab(5ab2+3a2b);
(2)( ab2－2ab)· ab;
(3)－6x(x－3y);
(4)－2a2( ab+b2).
［例2］计算：6mn2(2－ mn4)+(－ mn3)2.
课中作业
1、－2a2( ab+b2）
2、已知ab2=－6,求－ab(a2b5－ab3－b)的值.
投影片三张
第一张：议一议，记作(§1.4.2 A)
第二张：例题，记作(§1.4.2B)
第三张：练习，记作(§1.4.2C)
课前作业
复习巩固整式的乘法1知识点，预习并完成随堂练习
教学过程教学ຫໍສະໝຸດ 节课堂合作交 流二次备课
（修改人：）
环
节一
Ⅰ.提出问题，引入新课
为支持北京申办奥运会，京京受画家的启发曾精心制作了两幅画，我们已欣赏过.宁宁也不甘落后，也作了一幅画，如图1－2：
［师］根据上面的分析，你能用语言来描述如何进行单项式与多项式相乘的运算吗？
［生］单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.
七年级数学下册第1章整式的乘除1.5平方差公式356
.
答案 ±8 解析 因为(a+b+1)(a+b-1)=63,即(a+b)2-1=63,所以(a+b)2=64,所以a+b=±8.
5.计算下列各题: (1)(-2x-y)(2x-y); (2)(-2x)2-(-2x+3)(-2x-3); (3)(b-2)(b2+4)(b+2).
解析 (1)(-2x-y)(2x-y) =(-y)2-(2x)2 =y2-4x2. (2)(-2x)2-(-2x+3)(-2x-3) =4x2-[(-2x)2-32] =4x2-(4x2-9) =9. (3)(b-2)(b2+4)(b+2) =(b-2)(b+2)(b2+4) =(b2-4)(b2+4) =b4-16.
9
1.(2017安徽宿州期末,4,★☆☆)已知a+b=2,a-b=-3,则a2-b2的值为 ( )
A.6 B.-6 C.- 3 D.-5
2
答案 B 因为a+b=2,a-b=-3,所以a2-b2=(a+b)(a-b)=2×(-3)=-6. 2.(2016山东济宁任城期中,5,★☆☆)下列算式能用平方差公式计算的 是 ( ) A.(2a+b)(2b-a) B.(4x+1)(-4x-1) C.(2x-y)(2x-y) D.(-y+x)(-y-x)
易错点 由于对平方差公式的结构特征没掌握好,出现错用公式的现象 例 计算:(a+2)(b-2). 错解 原式=ab-4. 错因分析 没有掌握好平方差公式的结构特征,错用公式.
正解 原式=ab-2a+2b-4.
知识点 平方差公式 1.(2018河南南阳邓州期中)下列计算错误的是 ( ) A.(6a+1)(6a-1)=36a2-1 B.(a3-8)(-a3+8)=a9-64 C.(-m-n)(m-n)=n2-m2 D.(-a2+1)(-a2-1)=a4-1
七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.5 平方差公式(第1课时)课件_1
2
2
2
（2）(3x－y)(－3x+y)=9x2－y2 （ ×）
（3）(m+n)(－m－n)=m2－n2 （ ×)
2021/12/12
第四页，共十三页。
例1
利用平方差公式(gōngshì)计算：
（1）(5+6x)(5－6x) （2）(x－2y)(x+2y) （3）(－m+n)(－m－n)
2021/12/12
观察以上(yǐshàng)算式及其运算结果， 你平(a有方+什b差)(么a公−发式b)现＝(gōn？agsh2ì)−：b2
再举两例验证你的发现。
2021/12/12
第三页，共十三页。
( 1 x 1)
2 练一 练判断(pànduàn)下面计算是否正确
（1） ( 1 x 1 ) ( 1 x 1 )= 1 x 2 1 （ ×）
课堂(kètáng) 小结
分享你的收获，
交流(jiāoliú)你的困惑。
2021/12/12
第十一页，共十三页。
作业
(zuòyè)
选做题：
你能用图形(túxíng)来验证平方差公式吗？
2021/12/12
第十二页，共十三页。
内容(nèiróng)总结
第一章 整式(zhěnɡ shì)的乘除。第一章 整式(zhěnɡ shì)的乘除。 （m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba。（1）(x+2)(x－2)。（3）(x+5y)(x－5y)。（4）(2y+z)(2y－z)。
No (a+b)(a−b)＝a2−b2。（1）(5+6x)(5－6x)。（2）(x－2y)(x+2y)。（1） (a+2)(a－2)。（2）
郑州市中牟县雁鸣湖镇七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.7 整式的除法(1)教案
第一章:整式的乘除课题1。
7整式的除法（1）课时安排共（ 2 ）课时课程标准课程标准28页学习目标1．探究单项式除以单项式的运算规律；2．能运用单项式除以单项式进行计算并解决问题．教学重点探究单项式除以单项式的运算规律；教学难点能运用单项式除以单项式进行计算并解决问题教学方法尝试归纳法教学准备制作教学课件课前作业预习课本并尝试完成随堂练习教学过程教学课堂合作交流二次备课（修改环节一一、情境导入填空：(1)a m·a n＝________；（2）(a m)n＝________；(3)a m＋n÷a n＝________；(4）a mn÷a n＝________．我们已经学习了单项式乘以单项式的运算，今天我们将要学习它的逆运算．课中作业22)1()1(--+xyxy环节二二、合作探究探究点：单项式除以单项式【类型一】直接用单项式除以单项式进行计算计算：(1）－x5y13÷（－xy8)；（2)－48a6b5c÷(24ab4)·（－错误!a5b2)．解若a（x m y4)3÷(3x2y n)2＝4x2y2，求a、m、n的值．解析:利用积的乘方的计算法则以及整式的除法运算得出即可．解：∵a(x m y4）3÷(3x2y n）2＝4x2y2,∴ax3m y12÷9x4y2n＝4x2y2,∴a÷9＝4,3m－4＝2，12－2n＝2，解得a＝36，m＝2,n＝5。
方法总结：熟练掌握积的乘方的计算法则以及整式的除法运算是解题关键．变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】整式除法的实际应用光的速度约为3×108米/秒，一颗人造地球卫星的速度是8×103米/秒，则光的速度是这颗人造地球卫星速度的多少倍？解析:要求光速是人造地球卫星的速度的倍数，用光速除以人造地球卫星的速度，可转化为单项式相除问题．解：(3×108）÷(8×103）＝（3÷8）·(108÷103)＝3.75×104.答：光速是这颗人造地球卫星速度的3.75。
郑州市中牟县雁鸣湖镇七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.3 同底数幂的除法(2)教案 北师大版
第一章：整式的乘除课题1。
3同底数幂的除法课时共（ 2 ）课程标准课程标准28页学习目标1．理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法；(重点）2．能将用科学记数法表示的数还原为原数．教学重点理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法教学难点科学记数法表示的数还原为原数．教学方法尝试练习法归纳法。
教学准备制作教学课件课前作业预习并完成随堂演练教学过程教学环节课堂合作交流二次备课(修改环节一一、情境导入同底数幂的除法公式为a m÷a n＝a m－n，有一个附加条件:m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＜n时，情况怎样呢？课中作业环节二二、合作探究探究点：用科学记数法表示较小的数【类型一】用科学记数法表示绝对值小于1的数2014年6月18日中商网报道，一种重量为0。
000106千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人,0。
000106用科学记数法可表示为课中作业用科学记数法表示下列各数：（1）0．000876 （2）-0．0000001环节三将用科学记数法表示的数还原为原数用小数表示下列各数：(1)2×10－7; (2)3.14×10－5;（3）7.08×10－3; （4)2.17×10－1。
课中作业随堂练习2课后作业设计: 课后习题1,2，3（修改人：)板书设计：1。
3.2同底数幂的除法收获知识：绝对值小于1的数写成a×10n(n为负整数，1≤a＜10）收获方法：1。
用科学记数法表示小数的应用课件展示区学生演示区：。
河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.5 平方差公式(1)教案 (新版)新人教版
［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.
［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？
［生］可以.上述规律用符号表示为：
(a+b)(a－b)=a2－b2①
其中a,b可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式.
第一章：整式的乘除
课题
1.5平方差公式(1)
课时安排
共（）课时
课程标准
课程标准28页
学习目标
1.经历探索平方差公式的过程.
2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.
教学重点
平方差公式的推导和应用.
教学难点
用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.
教学方法
探究与讲练相结合.
教学准备
课件制作
课前作业
［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即
［例2］ 利用平方差公式计算：
(1)(－ x－y)(－ x+y);
(2)(ab+8)(ab－8);
(3)(m+n)(m－n)+3n2.
［师］同学们可先交流 、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.
河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇七年级数学下册第一章整式的乘除1.6完全平方公式(2)教案(新版)新人教版
第一章：整式的乘除课题完全平方公式〔2〕课时安排共〔 2 〕课时课程标准课程标准28页学习目标1、探索完全平方公式2、会运用完全平方公式进展一些数的简便运算.教学重点运用完全平方公式进展一些数的简便运算及综合运用平方差和完全平方公式进展整式的简便运算.教学难点灵活运用平方差和完全平方公式进展整式的简便运算. 教学方法尝试归纳法教学准备制作教学课件课前作业1.复习上节课知识点2.预习并尝试完成随堂练习教学过程教学环节课堂合作交流二次备课〔修改人：〕环节一一、课前复习：1、算以下各题：1、2)(yx+2、2)23(yx-3、2)21(ba+ 4、2)12(--t课中作业你能很快算出9982的结果吗？环节二1、例：利用完全平方公式计算：〔1〕1022〔2〕1972课中作业2、练习：利用完全平方公式计算：〔1〕982〔2〕2032环节三例：计算：〔1〕22)3(xx-+〔2〕22)(yxy+-方法一：按运算顺序先用完全平方公式展开，再合并同类项；方法二：先利用平方差公式，再合并同类项.注意：〔2〕中按完全平方公式展开后，必须加上括号课中作业〔1〕)4)(1()3)(3(+---+aaaa〔2〕22)1()1(--+xyxy课后作业设计：课后习题 1、2、3〔修改人：〕板书设计：、例：利用完全平方公式计算：〔1〕1022〔2〕1972。
河南省郑州市中牟县七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.2 幂的乘方与积的乘方(2)教案 (新版)新人教版
【类型二】逆用积的乘方比较数的大小
试比较大小：213 ×310与210×312.
解：∵213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，又∵23＜3 2，∴213×310＜210×312.
方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数幂是解答此类问题的关键．
【类型二】含积的 乘方的混合运算
计算：
(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；
(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.
解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．
解：(1)原式＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9＝－8a9＋16a9－125a9＝－117a9；
(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.
环
节
二
探究点二：积的乘方的逆用
【类型一】逆用积的 乘方进行简便运算
计算：( )201 4×( )2019.
解析：将( )2019转化为( )2018× ，再逆用积的乘方公式进行计算．
解：原式＝( )2018×( )2018× ＝( × )2018× ＝ .
方法总结：对公式an·bn＝(ab)n要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形转化为公式的5千米代入V＝ πR3，即可求得答案．
解：∵R＝6×105千米，∴V＝ πR3≈ ×3×(6×105)3≈8.64×1017(立方千米)．
答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．
方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键
课中作业
计算：
(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7 －(5a3)3；
七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.5 平方差公式(第
3.推广:①公式中a与b可以是具体数,也可以是单项式 或多项式;②平方差公式可以连续使用,只要符合公式 的特点即可; ③平方差公式可以逆用,即a2-b2=(a+b)(a-b).
【自我诊断】 1.判断正误. (1)(-a-b)(a-b)=-a2+b2. (2)(-a+b)(-a-b)=-a2-b2. (3)(2x+3)(2x-3)=2x2-9. (4)(3x-1)(-3x-1)=9x2-1.
【自主解答】 (1)(-4a-1)(4a-1) =(-1+4a)(-1-4a) =(-1)2-(4a)2 =1-16a2.
(2)(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1) =(x2-1)(x2+1)(x4+1) =(x4-1)(x4+1) =x8-1.
【备选例题】计算:(1)(-x+2y)(-x-2y).
5 平方差公式 第1课时
【基础梳理】 1.平方差公式 语言描述:两数和与这两数差的积,等于它们的_平__方__差__. 公式表达:(a+b)(a-b)=_a_2_-_b_2 . 平方差公式推导:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
2.平方差公式的特点 (1)等号的左边是两个二项式的积,在这两个二项式中 有一项(a)完全相同,另一项(b和-b)互为相反数. (2)等号的右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方 减去相反项的平方).
(2)(b+2a)(2a-b).
(3) ( 1 a b)(1 a b).
2
2
【解析】(1)(-x+2y)(-x-2y) =(-x)2-(2y)2 =x2-4y2. (2)(b+2a)(2a-b) =(2a+b)(2a-b) =(2a)2-b2
河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇七年级数学下册第一章整式的乘除1.2幂的乘方与积的乘方(1)教案(新版)新
第一章：整式的乘除课题幂的乘方与积的乘方〔1〕课时安排共〔 2 〕课时课程标准课程标准28页学习目标1.经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，开展推理能力和有条理的表达能力.2.了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.教学重点会进展幂的乘方的运算.教学难点幂的乘方法那么的总结及运用教学方法尝试练习法，讨论法，归纳法. 教学准备制作教学课件课前作业预习并完成随堂练习教学过程教学环节课堂合作交流二次备课〔修改人：〕环节一通过练习的方式，先让学生复习乘方的知识，并紧接着利用乘方的知识探索新课的内容.一、探索归纳：1、 64表示_________个___________相乘.(62)4表示_________个___________相乘.在这个练习中，要引导学生观察，推测(62)4的底数、指数.并用乘方的概念解答问题.2、〔62〕4=________×_________×_______×________=__________(根据a n·a m=a nm)=__________〔33〕5=_____×_______×_______×________×_______=__________(根据a n·a m=a nm)=__________〔a2〕3=_______×_________×_______=__________(根据a n·a m=a nm)=__________〔a m〕2=________×_________=__________(根据a n·a m=a nm)=__________〔a m〕n=________×________×…×_______×_______=__________(根据a n·a m=a nm)=__________即〔a m〕n= ______________(其中m、n都是正整数)通过上面的探索活动,发现了什么?幂的乘方,底数__________,指数__________.学生在探索练习的指引下,自主的完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法那么,从猜想到探索到理解法那么的实际意义从而从本质上认识、学习幂的乘方的来历.教师应当鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点〔如底数、指数发生了怎样的变化〕并运用自己的语言进展描述.然后再让学生回忆这一性质的得来过程，进一步体会幂的意义.课中作业1、 1、计算以下各题：〔1〕〔103〕3 〔2〕[〔32〕3]4 〔3〕[〔－6〕3]4〔4〕〔x 2〕5 〔5〕－〔a 2〕7 〔6〕－〔a s 〕3〔7〕〔x 3〕4·x 2 〔8〕2〔x 2〕n －〔x n 〕2环 节 二 学生在做练习时，不要鼓励他们直接套用公式，而应让学生说明每一步的运算理由，进一步体会乘方的意义与幂的意义.1、 判断题，错误的予以改正.〔1〕a 5+a 5=2a 10 〔 〕〔2〕〔s 3〕3=x 6 〔 〕〔3〕〔－3〕2·〔－3〕4=〔－3〕6=－36 〔 〕学生通过练习稳固刚刚学习的新知识.在此根底上加深知识的应用.课中作业判断题，错误的予以改正〔1〕x 3+y 3=〔x+y 〕3 〔 〕〔2〕[〔m －n 〕3]4－[〔m －n 〕2]6=0 〔 〕环 节 三 二、 提高练习：1、 1、计算 5〔P 3〕4·〔－P 2〕3+2[〔－P 〕2]4·〔－P 5〕2[〔－1〕m ]2n +1m-1+02002―〔―1〕19902、 假设〔x 2〕n =x 8，那么m=_____________.3、 、假设[〔x 3〕m ]2=x 12，那么m=_____________.4、 假设x m ·x 2m =2，求x 9m 的值.小结：会进展幂的乘方的运算.课中作业1、假设a2n=3，求〔a3n〕4的值.2、a m=2,a n=3,求a2m+3n的值.〔修改人：〕课后作业设计：习题板书设计：幂的乘方与积的乘方(1)一、探索归纳三、小结二、随堂练习四、作业教学反思：。
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第一章：整式的乘除
课题1.5 平方差公式(2)
课时安排共（）课时
课程标准
课程标准28页
学习目标1.了解平方差公式的几何背景.
2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.
教学重点平方差公式的几何解释
教学难点准确地运用平方差公式进行简单运算教学方法启发探究
教学准备课件制作
课前作业一块大正方形纸板，剪刀. 预习并尝试完成随堂练习
教学过程
教学环节课堂合作交流
二次备课
（修改人：）
环节一Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.
这个正方形的面积是多少？
［生］a2.
［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？
图1－23
［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2).
［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.
(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)
［生］老师，我们拼出来啦.
［师］讲给大伙听一听.
［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是 b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).
图1－24
［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？
［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2.
［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.
［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.
［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.
［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.
课中作业
环
节
Ⅱ.讲授新课
［师］出示投影片(§1.5.2 A)
想一想：
(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点
二
⎩⎨⎧=⨯=⨯8897 ⎩⎨⎧=⨯=⨯12121311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯80808179 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
［生］(1)中算式算出来的结果如下
⎩⎨⎧=⨯=⨯64886397 ⎩⎨⎧=⨯=⨯14412121431311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯6400808063998179
［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.
［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？
［生］我猜想是.我又找了几个例子如：
⎩⎨⎧=⨯=⨯422331 ⎩⎨⎧=⨯=⨯10000100100999910199 ⎩⎨⎧=⨯=⨯62525256242624
［师］你能用字母表示这一规律吗？
［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a －1,a+1,则有
(a+1)(a －1)=a 2－1.
［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.
［生］可是，我有一个疑问，a 必须是一个自然数，还必须大于2吗？ (同学们惊讶，然后讨论)
［生］a 可以代表任意一个数.
［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡. ［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？
(陷入沉思)
［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=30
2－1=900－1=899.
［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.
我们不妨再做几个类似的练习.
出示投影片(§1.5.2 B)
［例3］用平方差公式计算：
(1)103×97 (2)118×122
［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.
［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！
［生］我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.
118=120－2,122=120+2
118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396.
［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出. ［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.5.2 C).
［例4］计算：
(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;
(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3).
分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.
解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2
=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4
(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)
=(2x)2－52－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x－25
注意：在(2)小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.
［例5］公式的逆用
(1)(x+y)2－(x－y)2 (2)252－242
分析：逆用平方差公式可以使运算简便.
解：(1)(x+y)2－(x－y)2
=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］
=2x·2y
=4xy
(2)252－242
=(25+24)(25－24)
=49
课中作业
a2(a+b)(a－b)+a2b2
环节三Ⅲ.随堂练习
1.(课本P22)计算
(1)704×696
(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
(3)x(x－1)－(x－3
1
)(x+3
1
)
(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠)
解：(1)704×696=(700+4)(700－4)
=490000－16=489984
(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
=(x2－4y2)+(x2－1)
=x2－4y2+x2－1
=2x2－4y2－1
(3)x(x －1)－(x －31)(x+31
)
=(x 2－x)－［x 2－(31
)2］
=x 2－x －x 2+91=91
－x
课中作业
出示投影片(§1.5.2 D)
解方程：(2x+1)(2x －1)+3(x+2)(x －2)=(7x+1)(x －1) (先由学生试着完成)
解：(2x+1)(2x －1)+3(x+2)(x －2)
=(7x+1)(x －1)
(2x)2－1+3(x 2－4)=7x 2－6x －1
4x 2－1+3x 2－12=7x 2－6x －1
6x=12 x=2
课后作业设计：
课后练习题
练习册 （修改人： ）
板书设计：
§1.5.2 平方差公式(二)
一、平方差公式的几何解释：
二、想一想
特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明
即(a+1)(a －1)=a 2－1
三、例题讲解：例3 例4
教学反思：。