第8章假设检验

因为|1.8|<1.96,这表明小概率事件没有发生，我们没有理由否
定原来的假设，只能认为原假设成立，接受原假设H0 ，即认为这天包
装机工作正常。这种检验又称显著性检验。 假设检验的内容和形式尽管很多，但检验步骤一般如下：
（1）提出原假设H0和备择假设H1。如例中的H0:a=o.5, H1 :a

≠0.5

n 1 2 其中s （ x x ） i n 1 i 1 若 t t ，则拒绝H 0；否则接受H 0，
2
上述检验方法又称t检验法。
例:由生产经验知，某种钢筋的强度服从正态分布N(a,σ2) ，但a, σ2均未 知，今随机抽取6根钢筋进行强度试验，测得强度分别是(单位:kg/mm2)： 48.5，49.0，53.5，49.5，56.0，52.5，问能否认为该种钢筋的强度为 52.0( 解：
§8－2 正态总体均值的假设检验
一、一个正态总体均值的假设检验
2
设X ~ N (a, ), ( x1 , x2 ,..., xn )为X的样本， X 和s*2分别为样本均值和方差， 现要检验总体均值a是否等于已知常量a0。

1. 2已知
H 0 : a a0 , H1 : a a0
X a0 / n
解：
H 0 : a1 a2 ,
X Y
H1 : a1 a2
选择统计量U

2 1
由 0.05，查表得 u 1.96。 根据已知条件x 1050， y 1000
2
n1


2 2
其中1 250， 2 260； n1 15，n2 13
n2
u
x y

2 1
2
三、 两类错误
第一类错误:在原假设为真的情况下，如果一次试验中，小概率事件A 发生了，我们就拒绝原假设，实际上，在成立条件下，虽然事件A发生的 概率很小（等于显著性水平），但是，它还是有可能发生的，一旦发生， 就拒绝原假设，即把一个正确的假定给否定了。犯第一类错误的概率就 是 。 第二类错误:在我们进行假设检验的时候，当我们接受原假设时，并 不能保证原假设一定是正确的。因为在原假设不成立的情况下，统计量的 取值也有可能落在接受域。犯第二类错误的概率为β （如下图）。
二、两个正态总体均值的假设检验 2 2 设 X ~ N (a1 , 1 ), Y ~ N (a2 , 2 ) ,X与Y相互独立
2 （x1,x2,…,xn1）和（y1,y2,…,yn2）分别来自X和Y的样本，若 12 , 2 已知，现要检验两正态总体均值是否相等。
H 0 : a1 a2 ,
X -a X - 30 P ( u ) P( u ) / n / n X -a u ) 故有 / n P( X - 30 u ) / n
X - 30 X - 30 当 很小时, ( u )是小概率事件可以取否定域 u / n / n 由 0.05, 查正态分布表得u 1.64。现已知 x 30.7, 1.2, n 10, x - 30 30.7 - 30 = 1.84 1.64观察值落在否定域,从而拒绝H 0 : a 30, / n 1.2 / 10 认为a 30, 即这种柴油机符合设计要求。 故
(三)假设检验的一般步骤
下面通过例子来说明假设检验的一般步骤 例：某车间用一台自动包装机包装奶粉，额定标准为每袋净重0.5
公斤，设包装机称得的奶粉重量服从正态分布，且根据长期的经验知其 标准差是0.015（公斤），某天开工后，为检验包装机的工作是否正 常，随机抽取它所包装的奶粉9袋，称得净重为：0.497，0.506，0.518， 0.524，0.488，0.511，0.510，0.515，0.512。问这天包装机的工作是否 正常？ 解：设这天包装机所包装的奶粉重量为X，已知X~N (a, 0.0152)。 首先，假设a=0.5，记作 H0: a=0.5。
第 8章 假设检验
§8－1 基本概念
一、基本思想
(一)小概率原理（实际推断原理）
定义:如果一个事件A发生的概率P(A)很小，接近于0，则称之为小
概率事件。 将概率很小、接近于0的事件（小概率事件）在一次试验中看成实
际上的不可能事件；将概率较大、接近1的事件（大概率事件）在一次试
验中看成实际上的必然事件。这就是概率论中的一个重要原理，即实际 推断原理。 例如，交通事故时有发生，但对每个人来讲，遇到车祸的概率是很 小的，可看成实际上的不可能事件；又例如，若某种彩票中头奖的概率 为1/500万，则买一张彩票就中头奖是一个小概率事件，也可看成实际 上的不可能事件。
1 2 2 [ 48.5 51.5 49.0 51.5 6 1
2

56.0 51.5
44.5 8.9 5
52.5 51.5 ]
2
所以 s 8.9 2.99
51.5 52 t 0.41 2.99 6
因为0.41 2.57，所以接受H 0， 即可认为钢筋平均强度为52。
(二)假设检验的基本方法 假设检验基本方法是概率反证法。 假定某种假设H0是正确的,在此前提下构造一个小概率事件A，作一次 实验，如果事件A 没有发生，就接受H0 ；反之，就有理由拒绝H0 .说明原假 设与”小概率事件不可能发生”相矛盾，原因是原假设不正确，所以应该 拒绝H0，这就是反证法。 做假设检验时，对于否定或拒绝H0更可信，因为小概率事件不可能发 生一般是可能接受，但接受H0 ，不等于H0正确，事实往往是不正确。当 然，这种反证法，不是真正意义上反证法，它可能发生错误，即小概率事 件也可能发生。

=0.05)？
H 0 : a 52,
在X 52 ~ t（n 1） S / n
由 0.05，查t分布表得 t 2.57
2
1 x (48.5 49.0 56.0 52.5) 51.5 6
s2
3、总体均值的双侧检验与单侧检验 双侧检验：假设检验的否定域分布在接 受域的两侧 。 单侧假设检验 原假设为：
H 0 : a a0 ,
对应备择假设 H1 : a a0 ,
或H 0 : a a0
或H1 : a a0
称这类假设检验为单侧假设检验。
例:某种柴油发动机,每升柴油的运转时间服从正态分布, 且已知 1.20 min, 现测试10台柴油机,每升柴油的平均运 转时间为30.7 min ,按设计要求,每升柴油的运转时间平均 应在30 min 以上,问在显著水平 =0.05下,这种柴油机是否 符合设计要求 ? 解:取H 0 : a 30,(即假设这种柴油机不符合设计要求); H1 : a 30。由题意知，每升柴油运转时间X N （a, 2 ),且
2. 2未知
H 0 : a a0 , H1 : a a0
X a0 选择统计量： T * S / n
当H0成立时, T
~ t (n 1) 。对给定的
2 2
当H 0成立时, T ~ t (n 1)。对给定的， 由P( T t )确定临界值t 。
x a0 根据样本,计算T的观测值t 。 s / n
若X不服从正态分布，当n很大时，因为U N(0，1)，所以仍可用上述检验方法。
例 ,已知x ~ N(a,22),a未知，从中抽取n=20样本，求得该样本平均
值
x =98.5，试在置信度α=0.05下检验原假设H0
: a=a0=100
解：根据题意这是一个单个正态总体，总体方差已知，作均值检验问
题，因此可用上述的检验法。
2
。
1、a已知
H0 : 2 0
n i 1
H1 : 2 0
2
选择统计量 2
2 ( X a ) i
02
服从自由度为n的 2分布。

1
2 2 由查 2分布表，得满足下列关系式的 （ n）和 （ n）
选择统计量U
H1 : a1 a2
2 2
X Y
12
n1

n2
当H0成立时，容易证明U~N(0,1)。对给定的 ，查表求出满足
P( U u ) 的u
由样本计算U的观测值u,若 u u ,则拒绝H0；反之接受H0。
2 2 2
例：设我国南方甲、乙两市的年降水量，分别服从正态分布， X~N(a1,σ12), Y~N(a2, σ22)且已知σ1=250,σ2=260 。根据甲城市的15 年降水资料计算得平均年降水量为1050mm，又根据乙城市13年降水资料 计算得平均降水量为1000mm ，试在 =0.05下检验两市年降水量的均值 有无显著差异？
X 0.5 0.015 / 9 （3）根据显著性水平，确定临界值。如例中的 0.05, 查表得u 1.96
（2）选择统计量。如例中的 U （4）根据样本，计算统计量的观测值。如例中的u=1.8
2
（5）比较统计量的观测值与临界值，对原假设H0作出判断。如例中的
u 1.8 u 1.96 ，故接受H0，反之，拒绝H0
H0 ：a=100，H1 ：a≠100
x a0 98.5 100 u 3.35 计算统计量 n 2 / 20
在α=0.05时，查标准正态分布表 u
, u /2 显然是在否定域
u / 2
=1.96,实测样本计算值
以上结果表示总体数学期望与100有显著差异。
=1.20 min, 于是
X -a N (0,1) / n 但是,a是未知的,即使H 0成立,a也仍是未知的,(与例1比较, X -a 注意单侧假设检验与双侧假设检验的区别), 不是统计量。 / n
X -a X - 30 现在假设H 0成立,即a 30,于是 / n / n 从而随机事件 所以 而 P ( ( X -a X - 30 u ) ( u ) / n / n