第二学期第二十一次课

第二学期第二十一次课9.2.2 []Q x 内多项式的因式分解定义9.12 定义101[]{|,0,1,...,}Z Z n n n i x a x a x a a i n -=+++∈=。

假设()[],()01Z f x x f x ∈≠±及。

如果(),()[]Z g x h x x ∈，使得()()()f x g x h x =，且()1,()1g x h x ≠±≠±，则称()f x 在[]Z x 内可约，否则称()f x 在[]Z x 内不可约。

定义9.13 设101()[]Z n n n f x a x a x a x -=+++∈，这里1n ≥。

如果01(,,...,)1n a a a =，则称()f x 是一个本原多项式。

命题 []Q x 内一个非零多项式()f x 可以表成一个有理数k 和一个本原多项式()f x 的乘积：()()f x kf x =，而且k 除了差一个1±因子外，是被()f x 唯一决定的。

证明是很简单的，可取/k d m =±，其中d 为()mf x 系数的最大公因子，而m 为()f x 系数的分母的一个公倍数。

定理（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是一个本原多项式。

证明 设0101()(),()() Z Z n n i n n i f x a a x a x a g x b b x b x b =+++∈=+++∈是两个本原多项式。

为方便记，下面设12120,0n n m m a a b b ++++======。

又设 01()()m n m n f x g x c c x c x ++=+++，如果()()f x g x 不是本原多项式，令素数p 是其系数的一个公因子。

设|(0,1,...,1),|();i r p a i r p a r n =-≤/|(0,1,...,1),|()j s p b j s p b s m =-≤/。

而另一方面，|r s p c +，而011110()()r s r s r s r s r r r s c a b a b a b a b a b ++-++-+=++++++。

该式两个括号内均含有因子p ，故必有|r s p a b 。

因为p 是素数，|(,)1r r p a p a ⇒=/，此时应有|s p b ，与假设矛盾。

这个矛盾表明乘积()()f x g x 是本原多项式。

由高斯定理，我们容易得到命题 设()[],deg ()0Q f x x f x ∈>。

命()()f x k f x =，其中,()Q k f x ∈是一个本原多项式。

则()f x 在[]Q x 内可约的充分必要条件是()f x 在[]Z x 内可约。

证明 充分性是显然的。

下面来证必要性。

设()()()f x g x h x =，其中(),()[],0d e g Q g x h x x g x f x ∈<<。

命1()(),()()g x l g x h x l h x ==，其中1,Q l l ∈，而(),()g x h x 为本原多项式。

此时1()()()()f x kf x ll g x h x ==。

根据高斯引理，()()g x h x 为本原多项式，在由前面的命题，有()(())()f x g x h x =±，这样必要性得证。

作为高斯引理的又一应用，我们可得下面的重要结论（实际的证明过程与证明“因式唯一分解定理”相似，都是运用数学归纳法，详细书写见课本）定理（[]Z x 内多项式的因式分解）设()f x 是[]Z x 内一个首项系数为正数的多项式且()1f x ≠，则()f x 在[]Z x 内可分解为1111()()()k l e f e f k l f x p p p x p x = 其中1,,k p p 为两两不同的素数，1(),,()l p x p x 为[]Z x 内两两不同，次数1≥且首项系数为正的不可约多项式。

上述分解式除了因子的排列次序外，是唯一的。

这个定理从抽象的观点可以拓展为： 推论 唯一分解整环上的多项式环仍是唯一分解整环。

9.2.3 爱森斯坦判别法爱森斯坦判别法是目前为止用来判断[]Z x 内一个多项式可约与否的最好结果。

爱森斯坦判别法 设给定n 次本原多项式01()[](1)Z n n f x a a x a x x n =+++∈≥如果存在一个素数p ，使|(0,1,...,1)i p a i n =-，但20|,|n p a p a //，则()f x 在[]Z x 内不可约。

证明：用反证法。

设()f x 在[]Z x 内可约，即()()()f x g x h x =， 其中0101()[],()[].Z Z m m l l g x b b x b x x h x c c x c x x =+++∈=+++∈这里0deg ()deg ()g x f x <<。

为方便计，下面式子中多项式(),(),()f x g x h x 的系数,,i i i a b c 的下标大于其对应多项式的次数时，均认为等于零。

因为n m l a b c =，而|n p a /，故|,|m l p b p c //。

另一方面，0|p a ，而000a b c =，故0|p b 或0|p c ；不妨设0|p b ，此时因20|p a /，故0|p c /。

设|(0,...,1)i p b i r =-，但|(0)r p b r m <</。

此时|r p a ，而 011110()r r r r r a b c b c b c b c --=++++ 上式括号中各项均含有因子p ，故0|rp bc 。

但0|,|r p b p c //，p 为素数，矛盾。

由此，()f x 在[]Z x 内不可约。

§3 实系数多项式根的分布9.3.1 复系数多项式的根的绝对值的上界命题 设101()[]C n n n f x a x a x a x -=+++∈，其中00a ≠而1n ≥。

令12max{||,||,,||}n A a a a =则对()f x 的任一复根α，有0||1/||A a α<+。

证明 如果0A =，则0α=，命题成立。

下面设0A >。

如果0||1/||A a α≥+，那么，因为()0f α=，故有1101111||||||||||(||1)(||1)/(||1) n n n n n n n a a a a a A A ----α=α++≤α++≤α++=α-α- 现在||1n α>，故从上式立刻得到0||||/(||1)n n a A α<αα- 两边消去||n α，得0||1/||A a α<+，矛盾。

由该命题，我们可以估计一个是系数多项式的实根的分布范围为：00(1/||,1/||)A a A a --+。

9.3.2 斯图姆定理名词 给定实数序列12,,,n a a a将其中等于零的项划掉，对剩下的序列从左至右依次观察，如果相邻两数异号，则成为一个变号；变号的总数称为该序列的变号数。

又给定实系数多项式的序列12(),(),,()n f x f x f x （1）对R a ∈，实系数序列12(),(),,()n f a f a f a 的变号数称为多项式序列（1）在x a =处的变号数，记作()W a 。

相应地，我们把()W x 称为多项式序列（1）的变号数函数。

定义9.14 （斯图姆序列） 现设()f x 是一个次数1n ≥的无重根的实系数多项式。

实系数多项式序列012()(),(),(),,()s f x f x f x f x f x = （2） 如果满足下列条件：（i ） 相邻两个多项式1(),()(0,1,2,,1)i i f x f x i s +=-没有公共根；（ii ） 最后一个多项式()s f x 没有实根； （iii ） 如果某个相邻中间多项式()(1)i f x i s ≤<有一个实根α，则11()()0i i f f -+αα<；（iv ） 如果α是()f x 的实根，则1()()f x f x 在x =α的一个充分小的邻域内为递增函数，则称序列（2）为()f x 的一个斯图姆序列。

定理（斯图姆定理）设()f x 是一个无重根的实系数多项式，它有一个斯图姆序列（2）。

以()W x 表（2）的变号数函数。

设,a b 是两个实数，它们不是()f x 的根，且a b <，则()f x 在区间(,)a b 内实根的个数等于()()W a W b -。

证明 将斯图姆序列（2）中各个多项式的实根通通收集在一起，并按大小依次排列如下：12k a a a <<<。

因为在区间11(,),(,)(1,2,...,1),(,)i i k a a a i k a +-∞=-+∞内（2）中任一多项式都无实根，因而它们在这些区间内都不变号。

于是，在这些区间内，()W x 为常数。

下面我们只要证明：1） 如果i a 不是()f x 的根，则在i a 左右两边()W x 的函数值相等；2） 如果i a 是()f x 的根，则在i a 左端()W x 的函数值比i a 右端()W x 的函数值大1。

对每个i a ，我们来考察斯图姆序列（2）中如下两种类型的小段：（a ）i a 不是（2）中t 个连续多项式12(),(),,()j j j t f x f x f x +++ （3）的根(2)t ≥，由于实系数多项式为数轴上的连续函数，按连续函数的性质知，在i a 的一个邻域(,)i i a a -ε+ε内（3）中每个多项式都不变号，从而在此小邻域内（3）的变号数函数为常数。

（b ）i a 是（3）中间某个多项式()(0)j f x j s <<的根，考察（3）的小段11(),(),()j j j f x f x f x -+ （4）按斯图姆序列的条件（i ）和（iii ），此时i a 不是11()()j j f x f x -+和的根，且11()()0j i j i f a f a -+<有连续函数的性质知，在i a 的一个邻域(,)i i a a -ε+ε内恒有11()()0j j f x f x -+<，于是在此邻域内（4）的变号函数恒等于1，也是常数。

现设i a 不是()f x 的根。

这时序列（2）中任意两个相邻多项式11()()j j f x f x -+和或属于类型（3）的小段，或属于类型（4）的小段，又由斯图姆序列的条件（i ）知这两类型的小段无重迭（但左端或右端的多项式可以相同），根据上面（a ）、（b ）的讨论在每个小段变号数函数在邻域(,)i i a a -ε+ε内都是常数，（2）的变号数函数为每个小段变号数函数之和，从而在i a 的邻域(,)i i a a -ε+ε内()W x 为常数，即i a 左端与i a 右端()W x 的函数值相等。