分析初中尺规作图题

分析初中尺规作图题
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分析初中尺规作图题
什么叫做尺规作图呢？
尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

其中直尺必须没有刻度,只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度,只能用来作圆和圆弧.因此，尺规作图与一般的画图不同,一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等,在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不可以度量的.
针对初中阶段学习的尺规作图题,
首先，我们应该熟悉掌握该题型的规范用语：
第一：用直尺作图的几何语言有三种,分别为：
①过点×、点×作直线××；或作直线××;或作射线××；
②过两点××做线段××;或连结××;
③延长××到点×;或延长(反向延长）××到点×,使××＝××;或延长××交××于
点×；
第二:用圆规作图的几何语言可总结为四种，分别为:
①在××上截取××＝××；
②以点×为圆心,××的长为半径作圆（或弧）;
③以点×为圆心，××的长为半径作弧,交××于点×;
④分别以点×、点×为圆心,以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .
其次,我们需要掌握尺规作图题的一些方法步骤：
①当发现作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；
②能根据题目可以画出要求作出的图形，以及可以列出该图形应满足的条件有哪些;③能根据
作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般会保留作图痕迹. 应该注意的是,对于较复杂的作图，可先画出草图,使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法．
在许多中考作图题中，我们会发现，尺规作图题很多都是只要求保留作图痕迹,不需要写出作法，由此可见,在解作图题时，保留作图痕迹是非常重要的。

当然，在初中阶段，我们常考的不是简单的尺规作图题，而是复杂的尺规作图题。

而复杂的尺规作图都是由基本作图组成的,那么最常用的基本作图一共有五种，分别为：
1、作一条线段等于已知线段;
2、作一个角等于已知角;
３、作已知线段的垂直平分线；
４、作已知角的角平分线;
5、过一点作已知直线的垂线；
我们只有掌握了尺规作图的这五种基本作图，才能更好地挑战复杂的尺规作图题。

下面,我将对这五种基本作图一一阐述：
基本作图一:作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a .
求作：线段AB，使AB = a .
作法：
1）作射线AP；
2）在射线AP上截取AB=a .
则线段AB就是所求作的图形。

P
a
B
a
A
基本作图二:作一个角等于已知角。

R
图（2）
图（1）
Q
D
C P
N
B
M
A O
已知:如图（１）,∠NOM 。

求作：某个角等于∠NOM 。

作法:
如图(2）， 1）作射线PQ ；
２)在图(1)上,以O 为圆心，任意长为半径作弧，交ＯM 于点A ，交ON 于点B ； 3)以P 为圆心，OA 的长为半径作弧，交PQ 于点C;
4）以C 为圆心，以A Ｂ的长为半径作弧,交前弧于点Ｄ; ５）过点D 作射线PR ．
则∠ＣP Ｄ就是所要求作的角.
基本作图三:作已知线段的垂直平分线。

D C
A
B
已知：线段AB
求作：线段AB 的垂直平分线。

作法：
1） 以A 为圆心，取比线段1
2AB 长的长度为半径，
在线段AB 的上方和下方作弧。

2） 以B 为圆心，取与1）等长的半径，在线段AB
的上方和下方作弧，与1）作的弧分别交于点C 和点D 。

3） 过点C 和点D 作直线CD 。

则直线CD 就是所要求作的垂直平分线．
基本作图四:作已知角的角平分线。

B
A
P
M
N O
2）分别以Ｍ,N 为圆心，大于12
MN 的相同线段为半径画弧，
两弧交∠ＡＯB 内于P ； 3)作射线OP 。

则射线OP 就是∠A ＯB 的角平分线。

基本作图五：过一点作已知直线的垂线。

l
C
K
P
B
A
进而，可有几道典型例题:
例一:如图（１），已知直线A Ｂ及直线ＡＢ外一点C ，过点C 作ＣD ∥AB
(写出作法,画出图形).
E M
Q P
F
D
B
A
B
A
C
C
图（1) 图（２)
作法:如图(2）ﻫ１）过点C 作直线ＥＦ,交ＡB 于点Ｆ;
已知：如图，∠AOB ，
求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP
（即OP 平分∠AOB ）。

作法：
1） 以O 为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA ，OB 于点M ，点N 。

已知：如图，直线l ,点P 在直线l 外。

求作：直线PC 垂直直线l 。

作法：
1） 在直线l 的另一侧取点K ，以P 为
圆心，PK 为半径画弧交直线l 于
点A 和点B ，
2）分别以A 、B 圆心，大于1
2
AB 为
半径画弧交于C 3）作直线PC 。

则直线PC 就是直线l 的垂线。

2)以点F 为圆心,以任意长为半径作弧,交FB 于点P ，交ＥＦ于点Q; 3)以点C 为圆心,以F Ｐ为半径作弧,交ＣE 于M 点； 4)以点M 为圆心,以PQ 为半径作弧，交前弧于点D; 5)过点D 作直线CD,直线ＣD 就是所求的直线.
例二：如图（1）所示，已知线段a 、b 、ｈ（ｈ＜b).
求作△ABC ，使BC=a ，A Ｂ=b ， BC 边上的高AD=h.
h
b a 图（2）
图（1）
M
Q
P
C2
C1
B
D A
作法:如图（2），
１)作直线ＰQ ，在直线P Ｑ上任取一点Ｄ，作DM ⊥ＰQ ； 2）在DM 上截取线段ＤＡ=h ；
３）以A 为圆心,以b 为半径画弧交射线ＤP 于B;
４）以B 为圆心,以a 为半径画弧,分别交射线BP 和射线BQ 于1C 和2C ;
５）连结1AC 、2AC ，则△1ABC (或△2ABC ）都是所求作的三角形．
例三：如图（１)，已知有公共端点的线段AB 、ＢＣ．求作⊙O,使它经过点A 、B 、C
(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
图（2）
图（1）
O
C
A
A
B
C
B
解:如图(2).
在当前的初中阶段,为何还需要几何作图这一门课程呢?
首先，尺规作图和图形运动有着密切的联系。

图形的运动,包括平移、旋转、对称等变换,而尺规作图刚好是实现图形运动的最佳手段。

其次,尺规作图作为学生的一种实际执行的操作,具有不可替代的直观性。

现在，我们的课标新要求强调的是让学生自己动手,用折纸、度量、拼凑等方法进行几何操作。

那么，尺规作图不正是这样的活动么?在实际教学中,尺规作图是一种情境的创设,即要求在某种条件下，由学生自己动手解决问题,学生能作出一张符合要求的图形，是一种具有挑战性的创造活动,进而可以激发学生的兴趣和创造性。

因此,在几何教学中强调“观察、操作、推理”的今天，尺规作图理应得到足够的重视，也就是说尺规作图必须作为我们初中阶段的一门学科。