高中数学 2.3.2离散型随机变量的方差教案 新人教B版选修2-3
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.3.2 离散型随机变量的方差》73
离散型随机变量的方差
本节课是高中数学选修2-3的内容。
从以下几个方面进行教材分析。
教学背景
离散型随机变量的方差是学生学习了离散型随机变量的分布列期望之后的进一步学习探究，是继期望之后反映随机变量取值分布的又一特征数。
学生之前在初中已经学习过样本的方差和标准差的概念和意义，对概念已有初步的了解，具备了类比推理的横向思维基础在必修三也学习了概率与统计的基础知识具备了进一步学习的能力。
学习方差将为今后学习概率统计知识做好铺垫，对今后学习概率统计学及其相关学科产生深远的影响。
教学目标
知识与技能
1理解随机变量方差和标准差的含义，
2会根据分布列求出随机变量的方差和标准差。
情感态度与价值观
1.体会解决问题的愉悦情绪，感受与他人合作交流的重要性。
2.使学生养成善于分析总结的习惯。
教学重点：
离散型随机变量的方差与标准差的含义。
教学难点：
通过比较两个随机变量的均值与方差的大小，解决实际问题。
教学方法
根据对教材的理解，结合学生的现状，为贯彻启发性教学原则，体现教师为主导，学生为主体的教学思想确定本节课的教法与学法为
从学生的认知规律出发，进行启发诱导，探索发现,提出问题，分组讨论法，合作探究。
充分调动学生的积极性，大胆放手敢于放手发挥学生的主体作用。
引导学生在自主学习与分组讨论过程中体会知识的价值，感受知识的无穷魅力。
重视学生学习过程中的参与度，自信心，团队精神与合作意识。
放手让学生通过计算、质疑、讨论等，培养学生善思考会思考，通过观察问题、发现问题、分析和解决问题，提高自学能力。
高二数学(人教B版)选修2-3课件：2.3.2离散型随机变量的方差
中 课 求E(X)，D(X)
程 标
解：依题意知离散型随机变量X服从参数为n=4，
准 p=0.1的二项分布，所以
Liangxiangzhongxue
E(X)=np=4×0.1=0.4，
D(X)=npq=4×0.1×0.9=0.36，
四、应用举例
普 例3.有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有1把能
通 把大门上的锁打开，用它们去试开大门上的锁。设
1000 0.4
根据工资待遇的差异情况， 你愿意选择哪家单位？
1400 0.3
1400 0.3
1600 0.2
1800 0.2
1800 0.1
2200 0.1
甲单位不同职位月工资X1/元 获得相应职位的概率P1
乙单位不同职位月工资X2/元 获得相应职位的概率P2
1200 0.4 1000 0.4
1400 0.3 1400 0.3
P
Cn0 p0qn Cn1 p1qn1 … Cnk pk qnk … Cnn pnq0
标
准 则，D(X)=npq，(q=1-p)。
Liangxiangzhongxue
证明：略(见本章附录)
四、应用举例
普 例1.已知两名射手在同一条件下进行射击，供选拔
通 参加大型比赛，其分布列如下：
高
中 所得环数
10
Liangxiangzhongxue
D(X)=q2·p+(0-p)2·q=q2p+p2q=pq。
这表明在二点分布试验中，离散型随机变量X围绕 期望的平均波动大小为pq。
三、概念形成
普 概念2. 离散型随机变量的方差的性质
通 性质2：若随机变量X服从二项分布(q=1-p)，
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§离散型随机变量的方差1 理解方差的概念与性质；2 掌握两点分布、二项分布的方差的求法，并能 计算简单离散型随机变量的方差一、课前准备（预习教材 P62～P63页，找出疑惑之处） 复习1：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为则称()E X = 为随机变量X 的均值或数学期望（简称期望），它反映了离散型随机变量取值的平均水平复习2: 若,a b 为常数，X 为离散型随机变量，则aX b +也是 ，并且()E aX b += ，特别地，若c 为常数，则()E c =复习3：若X 服从参数p 的两点分布，则()E X = ，若(,)XB n p ，则()E X = ，若X 服从参数,,N M n 的超几何分布，则()E X = 二、新课导学 ※ 学习探究探究1：方差与标准差的概念及意义新知1：一般地，设一个离散型随机变量X 的所有可能取的值是12,,,n x x x ，这些值对应的概率是12,,n p p p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E X p x E X p x E X p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差 ()D X 的算术平方X 的标准差思考：离散型随机变量的方差与标准差有什么意义？ 结论：离散型随机变量的方差与标准差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小（或说离散程度），方差或标准差越小，取值越集中，越稳定；反之，方差或标准差越大，取值越分散，越不稳定 探究2：方差的性质问题2：若,a b 为常数，X 为离散型随机变量，它的方差为()D X ，则如何求随机变量aX b +的方差呢？ 新知2：若,a b 为常数，X 为离散型随机变量，则()D aX b +=探究三：常见分布的方差问题3：若随机变量X 服从两点分布或二项分布，它的方差是多少呢？新知3：若X 服从参数p 的两点分布，则()D X = ，若(,)X B n p ，则()D X =※ 典型例题例1：根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列如下：谁的射击水平比较稳定？ 解：练1：从装有3个白球和2个黑球的布袋中摸取一球，有放回的摸取5次，求摸得的白球数X 的数学期望与方差． 解：例2：袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（1,2,3,4n =） 现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号 （1）求ξ的分布列、期望和方差;（2）若,()1,()11a b E D ηξηη=+==，试求,a b 的值 解：练2：有一批零件共10个合格品，2个不合格品，安装机器时从这批零件中任选一个，取到合格品才能安装；若取出的是不合格品，则不再放回 1求最多取2次零件就能安装的概率；2求在取得合格品前已经取出的次品数ξ的分布列，并求出ξ的期望和方差． 解：三、总结提升 ※ 学习小结1 方差的概念与性质；2两点分布、二项分布的方差的求法※ 自我评价：你完成本节导学案的情况为（ ） A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 ※ 当堂检测（时间：5分钟，满分：10分）1 随机变量X 满足1)(==c X P ，其中c 为常数，则()D X 等于（ ）A 0B )1(c c -C cD 1 2已知随机变量ξ的分布为31)(==k P ξ，k = 1,2,3，则)53(+ξD 的值为（ ）A 6B 9C 3D 43设一次试验成功的概率为p ，进行了100次独立重复试验，当=p 时，成功次数的标准差最大，且最大值是4若事件在一次试验中发生次数的方差等于25.0，则该事件在一次试验中发生的概率为 ． 5已知某离散型随机变量X 服从下面的二项分布：44()0.10.9(0,1,2,3,4)kk k P X k C k -===，则()E X = ，()D X = ．练习册中相应习题。
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离散型随机变量的方差（教学设计）一、教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，能够根据离散型随机变量的分布列求出方差与标准差。
过程与方法：了解方差公式Da ξb =a 2D ξ，以及若ξ～Βn ，，则D ξ=n 1—，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：通过实际例子，感悟数学在生活中无处不在 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重难重点：离散型随机变量的方差、标准差。
难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题。
三、教学过程： （一）复习回顾：1数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望，简称期望。
数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 。
2期望的一个性质：()b aE b a E +=+ξξ 3两种特殊分布的均值（1）若X 服从两点分布，则p EX = （2）若X ～B （n,），则np EX = （二）新知探究：问题：已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X 1、X 2的分布列如下：甲同学击中目标靶的环数X 1的分布列为乙同学击中目标靶的环数X 2的分布列为试比较两名射手的射击水平。
如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？分析：∵EX 1 =8×9×10×=9 EX 2 =8×9×10×=9∴甲、乙两射手的设击水平相同思考：这样的分析对吗？（显然两名选手的水平是不同的，这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性）（三）新课讲解 回顾：样本方差对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差或标准差来刻画的，样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度。
在一组数据n x x x ,,,21 中，各数据的平均数为x ，则这组数据的方差为：()()()[]2222121x x x x x x nS n -++-+-=思考：类似于这个概念,我们如何定义随机变量的方差？ 1离散性随机变量的方差与标准差：设离散型随机变量X 的概率分布为则2(())i x E X -描述职i i=1,2,3，……相对于均值EX 的偏离程度，而 ()i ni i p EX x DX 21∑=-=为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度，我们称()X D 为随机变量X 的方差，用()X σ）为随机变量X 的标准差。
高中数学2.3.2离散型随机变量的方差教案理新人教B版选修2_3
2.3.2 离散型随机变量的方差【教学目标】①理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义，会求离散型随机变量的方差、标准差；②会用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.【教学重点】 应用离散型随机变量的方差、标准差解决实际问题【教学难点】 对离散型随机变量的方差、标准差的理解一、 课前预习1.离散型随机变量的方差：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________________)(=X D 叫做这个离散型随机变量X 的方差. 离散型随机变量的方差反映了：______________________________________________________2.离散型随机变量的标准差：_____________________________离散型随机变量的标准差反映了_______________________________________________________.3.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则___________)(=X D4.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X D二、 课上学习例1、甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布如下：射手甲： 射手乙：谁的射击水平比较稳定？例2、若X 的分布列为另一随机变量32-=X Y，求).(),(Y D X D 三、 课后练习1.如果随机变量X 服从二项分布),2.0,100(~B X 那么.______)34(_____,)(=+=X D X D2.甲、乙两个野生的动物保护区有相同的自然环境，且野生动物种类和数量也大致相同.两个保护区每个季度发现违反保护条例的时间事件次数的分布列分别为：甲保护区： 乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学选修2-3精品教案7：2.3.2 离散型随机变量的方差教学设计
2.3.2 离散型随机变量的方差整体设计教材分析本课仍是一节概念新授课，方差与均值都是概率论和数理统计的重要概念，是反映随机变量取值分布的特征数．离散型随机变量的均值与方差涉及的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题、选题、选课、做题、考试问题、试验、游戏、竞赛、研究性问题、旅游、交通问题、摸球问题、取卡片、数字和入座问题、信息、投资、路线等问题．从近几年高考试题看，离散型随机变量的均值与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识，主要考查能力．课时分配1课时教学目标知识与技能了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．过程与方法了解方差公式“D(aX＋b)＝a2D(X)”，以及“若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差．情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值．重点难点教学重点：离散型随机变量的方差、标准差．教学难点：比较两个随机变量的均值与方差的大小，从而解决实际问题．教学过程复习旧知1．数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为ξ的数学期望．2．数学期望的一个性质：E(aξ＋b)＝aEξ＋b.3．若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np.教师指出：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．探究新知已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数ξ1、ξ2的分布列如下：ξ18 9 10P 0.2 0.6 0.2ξ28 9 10P 0.4 0.2 0.4试比较两名射手的射击水平高低．提出问题：下面的分析你赞成吗？为什么？∵Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9，∴甲、乙两射手的射击平均水平相同．设计意图：展示错解，引出课题活动结果：不对，显然两名选手的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性．教师指出：初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差．在一组数据x 1，x 2，…，x n 中，S 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]叫做这组数据的方差．类似于这个概念，我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)1．方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是x 1，x 2，…，x i ，…x n ，且取这些值的概率分别是p 1，p 2，…，p i ，…p n ，那么，D (X )＝(x 1－E (X ))2·p 1＋(x 2－E (X ))2·p 2＋…＋(x i －E (X ))2·p i ＋…＋(x n －E (X ))2·p n 称为随机变量X 的方差，式中的E (X )是随机变量X 的均值．标准差：D (X )的算术平方根D (X )叫做随机变量X 的标准差，记作σ(X )．理解新知(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；(2)随机变量X 的方差、标准差也是随机变量X 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 对“探究”的再思考：(1)如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？ (2)如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？ 解：∵Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9， Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9， ∴甲、乙两射手的射击平均水平相同．又∵Dξ1＝0.4，Dξ2＝0.8，∴甲射击水平更稳定．若对手在8环左右，派甲参赛，易赢．若对手在9环左右，则派乙参赛，可能超常发挥． 提出问题：前面我们知道若一组数据x i (i ＝1,2，…，n )的方差为s 2，那么另一组数据ax i ＋b (a 、b 是常数且i ＝1,2，…，n )的方差为a 2s 2.离散型随机变量X 的方差是否也有类似性质？ 活动结果：同样具有．2．方差的性质：D (aX ＋b )＝a 2D (X )； 其他：D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2(了解)； 3．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．运用新知例1随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差．解：抛掷骰子所得点数X 的分布列为X 1 2 3 4 5 6 P161616161616从而E (X )＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝3.5；D (X )＝(1－3.5)2×16＋(2－3.5)2×16＋(3－3.5)2×16＋(4－3.5)2×16＋(5－3.5)2×16＋(6－3.5)2×16≈2.92，D (X )≈1.71.例2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X 1/元 1 200 1 400 1 600 1 800 获得相应职位的概率P 10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X 2/元 1 000 1 400 1 800 2 200 获得相应职位的概率P 20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得E (X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D (X 1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E (X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D (X 2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位． 变练演编设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ、Dξ.ξ －1 0 1 P121－2qq 2剖析：应先按分布列的性质，求出q 的值后，再计算出Eξ、Dξ.解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－2q ＋q 2＝1，0≤1－2p ≤1，q 2≤1，解得q ＝1－22. 于是，ξ的分布列为ξ －1 0 1 P122－132－ 2 所以Eξ＝(－1)×12＋0×(2－1)＋1×(32－2)＝1－2，Dξ＝[－1－(1－2)]2×12＋(1－2)2×(2－1)＋[1－(1－2)]2×(32－2)＝2－1.教师点评：解答本题时，应防止机械地套用均值和方差的计算公式，出现以下误解：Eξ＝(－1)×12＋0×(1－2q )＋1×q 2＝q 2－12.另外既要会由分布列求Eξ、Dξ，也要会由Eξ、Dξ求分布列，发展逆向思维．变式：若ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝35，P (ξ＝x 2)＝25，且x 1<x 2，又知Eξ＝75，Dξ＝625，求ξ的分布列．解：依题意ξ只取2个值x 1与x 2，于是有 Eξ＝35x 1＋25x 2＝75，Dξ＝35x 21＋25x 22－Eξ2＝625， 从而得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 1＋2x 2＝7，3x 21＋2x 22＝11.解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，或⎩⎨⎧x 1＝95，x 2＝45.而x 1<x 2，∴x 1＝1，x 2＝2.∴ξ的分布列为：ξ 1 2 P3525达标检测1．设随机变量ξ的分布列为ξ12…nP1n1n…1n求Dξ.解：Eξ＝n ＋12，Dξ＝n 2－112.2．有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ.分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ～B (200,1%)，从而可用公式：Eξ＝np ，Dξ＝npq (这里q ＝1－p )直接进行计算．解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ～B (200,1%)．因为Eξ＝np ，Dξ＝npq ，这里n ＝200，p ＝1%，q ＝99%，所以，E ξ＝200×1%＝2，Dξ＝200×1%×99%＝1.98.课堂小结1．求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由均值的定义求出Eξ； ④根据方差、标准差的定义求出Dξ、D ξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．2．对于两个随机变量ξ1和ξ2，在Eξ1和Eξ2相等或很接近时，比较Dξ1和Dξ2，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合问题的需要．补充练习基础练习1．已知ξ～B (n ，p )，且Eξ＝7，Dξ＝6，则p 等于( ) A.17 B.16 C .15 D.14 【解析】Eξ＝np ＝7，Dξ＝np (1－p )＝6，所以p ＝17.【答案】A2．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于( )A ．0.2B ．0.8C ．0.196D ．0.804 【解析】D ξ＝10×0.02×0.98＝0.196. 【答案】C3．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，若Eξ1＝Eξ2，Dξ1＞Dξ2，则自动包装机________的质量较好．【解析】Eξ1＝Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样．Dξ1>Dξ2说明甲机包装重量的差别大，不稳定．∴乙机质量好． 【答案】乙4．一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案．每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分．学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的均值和标准差．解：设学生甲答对题数为ξ，成绩为η，则ξ～B (50,0.8)，η＝2ξ，故成绩的均值为Eη＝E (2ξ)＝2Eξ＝2×50×0.8＝80；成绩的标准差为Dη＝D (2ξ)＝4Dξ＝250×0.8×0.2＝42≈5.7. 拓展练习若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数．(1)求方差Dξ的最大值； (2)求2Dξ－1E ξ的最大值．剖析：要求Dξ、2Dξ－1E ξ的最大值，需求Dξ、Eξ关于p 的函数式，故需先求ξ的分布列．解：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，从而Eξ＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，Dξ＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2. (1)Dξ＝p －p 2＝－(p －12)2＋14，∵0<p <1，∴当p ＝12时，Dξ取得最大值为14.(2)2D ξ－1E ξ＝2(p －p 2)－1p ＝2－(2p ＋1p)，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥2 2.当且仅当2p ＝1p ，即p ＝22时，2D ξ－1E ξ取得最大值2－2 2.评述：在知识的交汇点处出题是高考的发展趋势，应引起重视．设计说明本节课从新课标评价理念出发，以问题作为教学的主线，教师适时点拨为辅助手段，使学生在猜想、对比性问题中展开探索，在实践应用性问题中感悟数学的思维与方法．教学中以课堂作为教学的辐射源，通过教师、学生、多媒体多点辐射，带动和提高所有学生的学习积极性与主动性．。
[精品]新人教版选修2-3高二数学2.3 3 离散型随机变量的期望与方差(二)优质课教案
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离散型随机变量的期望与方差第4课时●课题122 离散型随机变量的期望与方差(二)●教目标(一)教知识点1离散型随机变量的方差(Dξ)的概念，标准差(σξ)的概念2离散型随机变量η=ξ+b(其中ξ为随机变量)的方差D(ξ+b)=2·Dξ的推导3服从二项分布的离散型随机变量ξ(即ξ~B(,p))的方差Dξ=pq(二)能力训练要求1会根据离散型随机变量的分布列求出方差值、标准差(σξ)的值2会求随机变量η=ξ+b的方差值(D(ξ+b)=2Dξ),ση的值和服从二项分布的随机变量ξ~B(,p)的方差值、标准差σξ的值的计算3能根据随机变量的方差值、期望值等求出某个变量值时的概率，也就是逆向思维的运用[]4会运用期望和方差的计算公式、方法解决生产生活中实际问题(三)德育渗透目标1通过实例和对初中知识的回顾培养生的直觉思维中的类比能力，培养生的辩证思维能力2培养生要会观察问题、分析问题和解决问题的能力，会用数眼光分析自己周边的事物，抽象概括为数模型，要体现生活与数的关系3培养生的坚强意志、勤于思考、动手动脑等非智力因素培养生的健全的人格，让更多的生有更好的发展●教重点离散型随机变量的方差是随机变量的另一个重要特征数(或数字特征)，也是对随机变量的一种简明扼要的描写随机变量的方差表现了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散的程度随机变量ξ的方差就是另一个与ξ密切相关的随机变量(ξ－Eξ)2的均值两个计算方差的简单公式：(1)D(ξ+b)=2Dξ;(2)如果ξ~B(,p),则Dξ=pq(这里q=1－p)●教难点离散型随机变量的方差Dξ的定义引入是教的难点，两个方差的计算公式D(ξ+b)=2Dξ，若ξ~B(,p)则Dξ=pq的证明是另一个难点第一个难点的原因是：由于教书没有引入随机变量函数的一般定义，故只有从初中代数的回顾中提出问题，给出方差定义●教方法建构主义观点在高中数课堂教中的实践法在生已经掌握离散型随机变量分布列及数期望的认知水平上，利用直觉类比的方法对离散型随机变量的期望及初中代数中的一组数据的方差概念进行同化或顺应，然后再进行整合，得到离散型随机变量的方差的概念[]●教具准备投影仪或实物投影仪幻灯片 122(二) A●教过程 Ⅰ课题导入在初中代数中我们曾经过这样一个问题：设在一组数据x 1,x 2,…,x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方分别是(x 1－x )2,(x 2－x )2,…,(x －x )2,那么S 2=n1［(x 1－x )2+(x 2－x )2+…+(x －x )2］叫做这组数据的方差(板书)请问对于离散型随机变量ξ所有可能取的值对应的概率分布是否也有方差呢？答案是：“有！”如何定义呢？这就是我们今天习的课题：离散型随机变量的期望与方差(二)——方差(板书课题)Ⅱ．讲授新课 1方差概念的导入［师］如果离散型随机变量ξ所有可能取的值是x 1,x 2,…,x ,…，且取这些值的概率分别是p 1, p 2, …, p , … , (板书)，那么，如何定分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好？义ξ的方差呢？请同们先讨论，然后再总结［生］(稍过片刻后)因为ξ的期望它是反映了离散型随机变量取值的平均水平，这与我们初中所过的一组数据x 1，x 2，…，x 的平均值的意义是相同的，由初中所过的一组数据的方差定义直接类比有：把n1［(x 1－Eξ)2+(x 2－Eξ)2+…+(x －Eξ)2］定义为随机变量ξ的方差［师］初中我们习的一组数据的方差的概念，这一组中的个数是有限的，而这个离散型随机变量ξ的取值是有限还是无限呢？其二，一组数据中每一个出现的频率都是一样的，即为n1，而离散型随机变量ξ所有可能取值对应的概率是否相同呢？请同们再从这两点出发，结合离散型随机变量ξ的期望定义，也要看看初中习的平均数的定义，由几点出发能否得到离散型随机变量ξ的方差的定义呢？(课堂上的术研讨气氛十分浓厚，他们按照划分的习小组进行讨论研究，教师也参与进去，个别指导或旁听或解疑或解答生的问题)［生］(片刻后)我们可以进行这样的类比：一组数据：x 1，x 2，…，x −−→−类比离散型随机变量ξ取值：x 1，x 2，…，x ，…平均值nx x x x n +++=21−−→−类比期望Eξ=x 1p 1+x 2p 2+…+xp +…方差S 2=n1［(x 1－x )2+(x 2－x )2+…+(x －x )2］−−→−类比方差：(x 1－Eξ)2p 1+(x 2－Eξ)2p 2+…+(x －Eξ)2p +…［师］刚才这位同的类比是否合理呢？这是完全正确的(开始板书下列内容)：把Dξ=(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(x－Eξ)2p+…叫做随机变量ξ的均方差，简称为方差Dξ的算术平方根D叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ“σ”读作 (国际音标)这就是随机变量ξ的方差和标准差的定义由此可以看出，类比固然可以引导我们走向成功一面，但也会把我们领入歧途我们知道初中习的方差它是说明了这组数据的波动情况，类似地离散型随机变量ξ的方差Dξ和标准差σξ的实际意义是什么呢？［生］这两个数量都是反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度(板书)［师］在习数期望时，我们证明E(ξ+b)=Eξ+b，你们能猜想出D(ξ+b)的式子吗？［生］D(ξ+b)也是满足线性关系，即D(ξ+b)=Dξ+b［师］这仅仅是猜想，你能证明吗？［生］可以，利用定义直接推导(他走上讲台，在黑板上写道) ∵E(ξ+b)=Eξ+bP(η=x+b)=P(ξ=x)(=1，2，3，…，，…)∴D(ξ+b)=［x1+b－E(ξ+b)］2p1+［(x2+b)－E(ξ+b)］2p2+…+［(x+b)－E(ξ+b)］2p+…=(x1+b－Eξ－b)2p1+(x2+b－Eξ－b)2p2+(x3b－Eξ－b)2p3+…+(x+b－Eξ－b)2p+…=(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(x－Eξ)2p+…=2［(x1－Eξ)2p1+(x2－Eξ)2p2+…+(x－Eξ)2p+…］=2Dξ(注：该生刚开始时，写［x1－E(ξ+b)］2，［x2－E(ξ+b)］2，…，展开后发现不对，没有办法推下去，这时教师现场指导，考查的随机变量是η=ξ+b，而不是ξ，它所对应的可能值是x1+b，x2+b，…，x+b，…而不是x1，x2，…，x，…，生进行修改，继续推导下去然后教师走到生中间与他们共同研究，发现问题个别指导，达到共识)［师］原你的猜想是D(ξ+b)=Dξ+b，而证明的结果是D(ξ+b)=2Dξ，你是相信哪一个呢？［生］(齐声说)相信证明的结果［师］类比的思想方法在发现中有着十分重要的作用，这一点是不可撼动的但我们要知道事物都是一分为二的，类比固然可以引导我们走向成功，但有的时候也会捉弄我们，把我们领向歧途，本题就是一个事实所以，我们既要习类比与猜想，又要会严密的证明，这样我们思维品质更加优异，更具有辩证性如果离散型随机变量ξ满足二项分布，即ξ~B(，p)，那么Dξ又等于什么？同们能否仿照Eξ的证明方法给出证明？(生跃跃欲试，拿起笔在草稿上飞速书写或相互讨论)［生］我愿意到黑板上推导试试看因为ξ~B(，p)，∴Eξ=p，Dξ=E(ξ－Eξ)2=E［ξ2－2ξEξ+(Eξ)2］=Eξ2－2Eξ·Eξ+(Eξ)2=Eξ2－(Eξ)2而Eξ2=02·0Cn·p0q+12·1 Cn ·p1q－1+22·2Cn·p2·q－2+32·3Cnp3q－3+ (2)nC·pq0(*)∵k2=(k2－k)+k，∴k2knC=(k2－k) knC+k·knC=k(k－1)knC+11C--kn=(k－1) 11C --k n +11C --k n 1=(－1)22C --k n +11C --k n ∴(*)为E ξ2=0+［·(1－1)·01C -n +·01C -n ］p 1q －1+［(－1)02C -n +11C -n ］p 2q －2+［(－1)22C -n +21C -n ］p 3q －3+…+［(－1)22C --k n +11C --k n ］p k q －k +…+［(－1)22C --n n + 11C --n n ］p ·q 0=(－1)p 2［02C -n p 0q －2+12C -n p 1q －3+…+22C --n n p －2q 0］+p ·［01C -n p 0q －1+11C -n p 1q －2+21C -n p 2q －3+…+11C --n n p －1q 0］=(－1)p 2(p +q )－2+p ·(p +q )－1=(－1)p 2+p∴D ξ=E ξ2－(E ξ)2=(－1)p 2+p －(p )2=p －p 2=p (1－p )=pq (q =1－p )即D ξ=pq［师］这位同已经证明的太妙了！请同详细读读他的书写过程你的解法和他的是否相同，如果你没有证出，你的问题症结在何处，正确找出差异，才能更好地进步［生］我看太繁，没有敢往下写，也不知道如何化简(*)式，我没有他的那种毅力[]［生］对于11C C --=k n k n n k 我知道运用，但对于k 2knC ，我就不知道该如何化简了他在黑板写的是拆项(即添项去项)，构造出11C C --=k n k n n k ，然后再运用(k －1)·11C --k n =(－1)22C --k n 这是证明本题的核心所在他的代数推理能力太棒了，我要向他习［师］这两位同都说出真心话，他们对黑板上的同的证明给予了充分的肯定从这里也看出了我们在平时的习中要有恒心，要有信心，要有坚韧不拔的毅力和坚强的意志，见到困难不能低头，只有这样才能把自己的工作和习做的更加出色(生们一起鼓掌)(这种宽松和谐气氛的营造不是老师一个人去说教的，而是靠师生共同去创造的，教师的宽厚待人、谦虚求实、严而有爱、识广博，往往是唤醒沉睡的课堂的关键，教师的精湛的教艺术又是活跃课堂研讨气氛的调和剂，教师的作用是组织者、策划者，而生才是真正的主人)2课本例题［例1］(原课本例5)已知离散型随机变量ξ1和ξ2的概率分布求这两个随机变量ξ1与ξ2的期望、方差与标准差 (教师简要地把表写在黑板上，请同编题，设计问题)［师］按黑板上的表格中的有关数据，哪位同提出求什么问题？ ［生］可以求随机变量ξ1、ξ2的方差与标准差 ［师］对，那我们就一起求解吧！［师］我们先计算出ξ1、ξ2的期望，再利用方差的定义求解 解：E ξ1=1×71+2×71+3×71+4×71+5×71+6×71+7×71=71×(1+2+3+4+5+6+7)=4D ξ1=(1－4)2×71+(2－4)2×71+(3－4)2×71+(4－4)2×71+(5－4)2×71+(6－4)2×71+(7－4)2×71=(32+22+12+02+12+22+32)×71=2×14×71=4∴σξ1=41=ξD =2E ξ2=37×71+38×71+39×71+4×71+41×71+42×71+43×71=71×(37+38+39+4+41+42+43)= 71×282)3.47.3(7=+⨯=4 D ξ2=(37－4)2×71+(38－4)2×71+(39－4)2×71+(4－4)2×71+(41－4)2×71+(42－4)2×71+(43－4)2×71=(032+022+012+02+012+022+032)×71=1001×2×14×251100471===004∴σξ2=512512==ξD =02 ［师］此题中Eξ1=Eξ2，但Dξ1≠Dξ2，ξ1和ξ2都是以相等的概率取各个不同的数值，ξ1取较为分散的数值1，2，3，4，5，6，7，ξ2取较为集中的数值37，38，39，4，41，42，43Eξ1=Eξ2=4，Dξ1=4，Dξ2=004方差比较清楚地指出了ξ2比ξ1取值更集中，由σξ1=2，σξ2=02可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差，这个偏差甚至可以让生从随机变量的分布列通过猜想得到［例2］(原课本P 14例6)甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平(教师先在黑板上列出两张表格，请生命题，但又不同于上题)［师］请同们根据表中提供的数据编拟一道试题［生］甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，各有关数据如表所示，求甲、乙两名射手的击中环数的期望、方差和标准差［师］可以！还有哪位同提出新的问题[]［生］甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，根据所给的数据，问哪个水平高？［师］这个问法比较好，也是目前生产、生活中常见的问题，从实际问题抽象成数问题，这个过程就需要建构要想更好地回答这个问题，必须要计算期望与方差，利用它们分析［生］Eξ1=8×02+9×06+10×02=9，Dξ1=(8－9)2×02+(9－9)2×06+(10－9)2×02=02+0+02=04Eξ2=8×04+9×02+10×04=9，Dξ2=(8－9)2×04+(9－9)2×02+(10－9)2×04=04+0+04=08从上可知，Eξ1=Eξ2，Dξ1<Dξ2所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得环数的平均值很接近，均在9环左右，但射手甲所得环数比较集中，得9环较多，而射手乙所得环数比较分散，得8环和10环的次数要多些［师］ξ1和ξ2所可能取的值是一致的，只是P(ξ=8)，P(ξ=9)，P(ξ=10)的分布情况不一样Eξ1=Eξ2，这时通过Dξ1和Dξ2比较ξ1与ξ2的集中与离散程度，即两名射手射击成绩的稳定状况在许多问题中常常在Eξ1=Eξ2或Eξ1与Eξ2很接近时用Dξ1和Dξ2比较两个随机变量ξ1和ξ2，并决定取舍下面再看一题(打出幻灯片112 A)请一位同读题，然后谈谈你的解题策略是什么？［生］(读完题后说)要比较它们的质量，首先要看他们的平均抗拉强度是否达标，即它们的数期望是否低于120，再比较它们的方差［生］解：EξA=110×01+120×02+125×04+130×01+135×02=125 EξB=100×01+115×02+125×04+130×01+145×02=125两种钢筋的平均抗拉强度都是125此时我们再看它们与平均强度的偏离程度，即它们的方差大小：DξA=01×(110－125)2+02×(120－125)2+04×(125－125)2+01×(130－125)2+02×(135－125)2=50DξB=01×(110－125)2+02×(115－125)2+04×(125－125)2+01×(130－125)2+02×(145－125)2=165∵DξB>DξA，∴B种钢筋的抗拉强度指标与其平均值偏差很大，即取值较分散，所以尽管它们中有的抗拉强度指标很大，但不合格的数量比A 种的要多，故可以认为A 种钢筋比B 种钢筋质量要好［师］这个例子说明，在实际问题中仅靠期望值还不能完善地说明随机变量的分布特征，还必须研究其偏离平均值的离散程度即离散型随机变量的方差请同们注意收集整理这些信息，一定能有更大的收获 Ⅲ课堂练习课本P 15练习题，1、2、3、4题(生板演)Ⅳ课时小结[]［师］今天我们习离散型随机变量的方差，它是随机变量的又一个重要特征数离散型随机变量的方差的公式是Dξ=∑-ni i E x 2)(ξ·p ,即Dξ=E (ξ－Eξ)2特例是①D (ξ+b )=2Dξ;②如果ξ~B (，p )，那么Dξ=p (1－p );③D (ξ=c )=0要灵活运用方差研究有关问题注重以致用Ⅴ．课后作业(一)课本P 16，7、8题(二)预习课本P 17，13抽样方法●板书设计ξ~1。
2.3.2离散型随机变量的方差与标准差(新)
二、探究引入
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数 X1 的分布列为
X1
P
X2
5 0.03
5 0.01
6 7 0.09 0.20
6 0.05 7 0.20
8 0.31
9 0.27
10 0.10
9 0.33
第二名同学击中目标靶的环数
X 2的分布列为
2、已知X～B(n, p)，E(X) 8, D(X) 1.6, 则n 10 , p 0.8
3、有一批数量很大的商品，其中次品占 1％，现从中任意地连续取出200件商品， 设其次品数为X，求E(X)和D(X)。 2，1.98
4.编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三
个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的
2 2 2
(3 2) 0.2 (4 2) 0.1 1.2
2 2
( X ) D( X ) 1.2 1.095
2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为 常数，求E（X）和D（X）。
解： 离散型随机变量X的分布列为：
X P c 1
E（X）＝c×1＝c D（X）＝（c－c）2×1＝0
对方差的几点说明 （1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小.
说明:随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标 准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标. （2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同 而变化的，因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来 越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.
2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：2.3.2 离散型随机变量的方差
2．3.2离散型随机变量的方差[对应学生用书P37]A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床B机床次品数X2012 3P 0.80.060.040.10问题1：试求E(X1)，E(X2)．提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.问题2：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？提示：不能，因为E(X1)＝E(X2)．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？提示：样本方差．1．离散型随机变量的方差(1)设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，x n，这些值对应的概率分别为p1，p2，…，p n，则D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(x n－E(X))2p n叫做这个离散型随机变量的方差．D(X)的算术平方根D(X)叫做离散型随机变量X的标准差．(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值相对于期望的平均波动大小．方差或标准差越小，则随机变量偏离于期望的平均程度越小．2．二点分布和二项分布的方差1．离散型随机变量的方差的意义：随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中和离散程度．D (X )越小，稳定性越高，波动越小．2．随机变量的方差和样本方差之间的关系：(1)随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而客观存在； (2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．[对应学生用书P37][例1] X 0 10 20 50 60 P1325115215115求随机变量的均值和方差．[思路点拨] 利用方差公式求解，首先求出均值E (X )，然后利用D (X )的定义求方差． [精解详析] E (X )＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (X )＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384.[一点通]已知分布列求离散型随机变量的方差时，应首先计算数学期望，然后代入方差公式求解即可．1．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A ．n ＝100，p ＝0.08 B ．n ＝20，p ＝0.4 C ．n ＝10，p ＝0.2D ．n ＝10，p ＝0.8解析：由于X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6. 所以np ＝8，np (1－p )＝1.6，解之得n ＝10，p ＝0.8. 答案：D2．设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝(1－p )k p 1－k (k ＝0,1)，则E (X )、D (X )的值分别是( )A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．1－p 和p (1－p )解析：随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝(1－p )k ·p1－k(k ＝0,1)，则P (X ＝0)＝p ，P (X ＝1)＝1－p ，所以E (X )＝0×p ＋1×(1－p )＝1－p ，所以D (X )＝[0－(1－p )]2×p ＋[1－(1－p )]2×(1－p )＝p (1－p )．答案：D[例2] 1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X ，求随机变量X 的分布列、均值和方差．[思路点拨] 确定随机变量X 的取值，列出其分布列，再计算均值和方差． [精解详析] 由题意可知，X ＝5,4,3.P (X ＝5)＝C 22C 14C 36＝15；P (X ＝4)＝C 12C 24C 36＝35；P (X ＝3)＝C 34C 36＝15.故X 的分布列为X 5 4 3 P153515E (X )＝5×15＋4×35＋3×15＝4.D (X )＝(5－4)2×15＋(4－4)2×35＋(3－4)2×15＝25.[一点通]1．离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其关键是求出分布列．2．在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件，相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算．3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数．(1)求X 的分布列； (2)求X 的均值和方差． 解：(1)X 的可能的取值为0,1,2，P (X ＝k )＝C k 2C 3－k4C 36，k ＝0,1,2. X 的分布列为E (X )＝0×15＋1×35＋2×15＝1.D (X )＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(1－2)2×15＝25.4．(全国新课标改编)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以10016枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差．解：(1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80； 当日需求量n ＜16时，利润y ＝10n －80. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n ＜16，80，n ≥16.(n ∈N )． (2)X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X 的方差为D (X )＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.[例3] (10分以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为：加较好？[思路点拨]可以先比较两运动员的平均得分(即均值)，再比较两运动员的稳定性，即方差，由此决定派谁．[精解详析]由题意，E(X1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，E(X2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1.(4分)∴E(X1)＝E(X2)．D(X1)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49，D(X2)＝(0－1.1)2×0.3＋(1－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.4＝0.69，(8分)∴D(X1)<D(X2)，所以甲运动员的技术好一些，应选派甲参加．(10分)[一点通]离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．5．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．解析：因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．答案：乙6．已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.设甲射击时射中的环数变量为X，乙射击时射中的环数变量为Y.(1)求X，Y的分布列．(2)求X，Y的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．解：(1)依据题意，0.5＋3a ＋a ＋0.1＝1，解得a ＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以X ，Y 的分布列分别为(2)结合(1)中X ，Y 的分布列可得：E (X )＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E (Y )＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D (X )＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96， D (Y )＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E (X )＞E (Y )，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为D (X )＜D (Y )，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解． 2．如果能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，可直接用它们的均值、方差公式计算．[对应课时跟踪训练(十六)]1．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 解析：E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.答案：A2．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m .令随机变量Z ＝⎩⎨⎧1，A 发生，0，A 发生，则Z的方差D (Z )等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )解析：由题意知，E (Z )＝m ，则D (Z )＝m (1－m )． 答案：D3．某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( )A ．0.48B ．1.2C ．0.72D ．0.6解析：∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴D (X )＝3×0.4×0.6＝0.72.答案：C4．若X ～B (n ，p )且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．2－4C ．3·2－10D ．2－8解析：∵X ～B (n ，p )， ∴E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝6，np (1－p )＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝12，p ＝12.∴P (X ＝1)＝C 112·(12)1(1－12)11＝3·2－10. 答案：C5．(浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，ξ的分布列如下由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25.答案：256．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．解析：成功次数X ～B (100，p )，所示D (X )＝100p (1－p )≤100×⎝⎛⎭⎫p ＋1－p 22＝25，当且仅当p ＝1－p 即p ＝12时，成功次数的标准差最大，其最大值为5.答案：1257．根据以往经验，一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天盈利230元，小雨天盈利163元，中雨天盈利90元．根据天气预报，明天无雨的概率是0.2，有小雨的概率是0.3，有中雨的概率是0.5.问：明天发一辆长途汽车盈利的期望是多少元？方差和标准差各是多少？解：用X 表示明天发一辆车的盈利，由题意知P (X ＝230)＝0.2，P (X ＝163)＝0.3，P (X ＝90)＝0.5，所以E (X )＝230×0.2＋163×0.3＋90×0.5＝139.9(元)． 所以明天发一辆长途汽车盈利的期望是139.9元．方差D (X )＝(230－139.9)2×0.2＋(163－139.9)2×0.3＋(90－139.9)2×0.5＝3 028.69， 标准差D (X )＝ 3 028.69≈55. 所以方差和标准差各是3 028.69,55.8．有甲、乙两家单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位 月工资X 1/元 1 200 1 400 1 600 1 800获得相应职位的概率P 10.4 0.3 0.2 0.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：根据月工资的分布列，可得E (X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D (X 1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E (X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，可选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，可选择乙单位．。
人教版高中数学选修2-3第二章2.3.2离散型随机变量的方差
导入新课复习回顾1 .离散型随机变量 X 的均值 均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.2 . 两种特殊分布的均值（1）若随机变量X 服从两点分布，则EX=p.（2）若X~B(n ，p) ，则EX=np.ni ii=1EX =x p数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.2.3.2离散型随机变量的方差教学目标知识与技能（1）了解离散型随机变量的方差、标准差的意义；（2）会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.过程与方法了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ~Β(n，p)，则Dξ=np(1-p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 .情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值.教学重难点重点离散型随机变量的方差、标准差.难点比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 .思考要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为X1 5 6 7 8 9 10P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为X2 5 6 7 8 9P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值来比较两名同学射击水平的高低. 通过计算E(X1)=8，E(X2)=8，发现两个均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.思考除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？图(1)(2)分别表示X 1和X 2的分布列图. 比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环，即第二名同学的射击成绩更稳定. O 5 6 7 10 9 8 P 1X 0.10.20.30.40.5O 5 6 7 9 8 P 2X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 (1) (2) 怎样定量刻画随机变量的稳定性?1.方差设离散型随机变量X 的分布列为知识要点X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i -E(X))2描述了x i (i=1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度.为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX 为随机变量 X 的方差(variance). 其算术平方根 为随机变量X 的标准差(standard deviation). 记为 n2i ii=1DX =(x -EX)p DX σX 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.思考随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.现在，可以用两名同学射击成绩的方差来刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据.由前面的计算结果及方差的定义，得∑102DX=(i-8)P(X=i)=1.50,11i=5∑92DX=(i-8)P(X=i)=0.8222i=5因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.知识要点2.几点重要性质（1）若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p); （2）若X~B(n，p)，则D(X)=np(1-p); （3）D(aX+b)=a2D(X).例题1A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：0 1 2 3次品数ξ1概率P 0.7 0.2 0.06 0.040 1 2 3次品数ξ1概率P 0.8 0.06 0.04 0.10问哪一台机床加工质量较好？解：Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2 ×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2 ×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.∴Dξ1< Dξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好.例题2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：/元1200 1400 1600 1800 甲单位不同职位月工资X10.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P1乙单位不同职位月工资X/元1000 1400 1800 220020.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位的概率P2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得1EX =12000.4 + 1 4000.3 + 16000.2 + 18000.1 =1400⨯⨯⨯⨯2221DX = (1200-1400) 0. 4 + (1400-1400 )0.3 + (1600 -1400 )0.2⨯⨯⨯2+(1800-1400) 0. 1= 40 000⨯2EX =1 0000.4 +1 4000.3 + 1 8000.2 + 22000.1 = 1400⨯⨯⨯⨯2222DX = (1000-1400)0. 4+(1 400-1400)0.3 + (1800-1400)0.2⨯⨯⨯2+ (2200-1400 )0.l = 160000 .⨯分析：因为 ，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.1212EX =EX ,DX <DX例题3有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X.（1）求随机变量的概率分布；（2）求X的数学期望和方差.4411689P(X =4)==,P(X =3)=0,P(X =2)=,P(X =1)=,P(X =0)=A 242424249861E(X)=0+1+2+30+4=124242424⨯⨯⨯⨯⨯222229861V(X)=(0-1)+(1-1)+(2-1)+(3-1)0+(4-1)=124242424⨯⨯⨯⨯⨯解：（1）因此X 的分布列为（2） X 0 1 23 4 P 9/24 8/24 6/24 0 1/24例题3有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元．试用数学知识解释其中的道理.解 :设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得随机变量的概率分布为：X -30 -20 -10 10 20 30 P 2/36 4/36 6/36 8/36 10/36 6/36 246810665 E(X)=(-30)+(-20)+(-10)+10+20+30=⨯⨯⨯⨯⨯⨯3636363636369因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是赢家.1.熟记方差计算公式课堂小结n 2i i i=1DX =(x -EX)p 2=E(X-EX)22=EX -(EX)2. 三个重要的方差公式（1）若 X 服从两点分布，则 （2）若 ，则 X ~B(n,p)DX =np(1-p)DX =p(1-p)2(3)D(aX +b)=a DX3.求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出EX；④根据方差、标准差的定义求出、σXDX高考链接1. （2005年天津）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是_____（元）.[答案]4760提示：分布列为ξ0.6 -2.5P 192/200 8/192故1928Eξ=0.6-2.5=4760()200200元⨯⨯2.（2002年天津）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：5t/hm2）表所示：品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.4 10.3 10.8 9.7 9.8则其中产量比较稳定的小麦品种是_______．[答案]甲种3.（2004年湖北）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值）[解析]①不采用预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.l=40（万元），所以总费用为45＋40=85（万元）；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30＋60=90（万元）；继续④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30=75（万元），发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75＋6=81（万元）．综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．1.填空课堂练习（1）已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,sx=___. E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____. 50 25 59910010（1）已知随机变量x 的分布列如上表,则E x 与D x 的值为( )A. 0.6和0.7B. 1.7和0.3C. 0.3和0.7D. 1.7和0.21（2）已知x~B(n ，p)，E x =8，D x =1.6，则n ， p 的值分别是（ ）A ．100和0.08；B ．20和0.4；C ．10和0.2；D ．10和0.8 2.选择 √ x1 2 P 0.3 0.7√3.解答题（1）一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望.分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3①当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P （ξ=0）= ②当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P （ξ=1）= 43129=449119123=⨯③当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P （ξ=2）= ④当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则 P （ξ=3）= 所以，Eξ= 3299=121110220⨯⨯32191=1211109220⨯⨯⨯399130+1+2+3=44422022010⨯⨯⨯⨯继续（2）有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算.解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~ B（200，1%）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以,Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98.习题解答1. E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2. D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.2+(2-2)2×0.4+(3- 2)2×0.2+(4-2)2×0.1=1.2.D(X) 1.095.2. E(X)=c×1=c，D(X)=(c-c)2×1=0.3. 略.。
高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教版选修2_32
2．3.2 离散型随机变量的方差[学习目标]1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差． [知识链接]1．某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，5； 乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的．那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？答 x －甲＝x －乙＝7，利用样本的方差公式s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，求得： s 2甲＝2.2，s 2乙＝1.2.s 2甲>s 2乙，∴乙成绩较稳定，选乙参加比赛．2．随机变量的方差与样本的方差有何不同？答 样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量． [预习导引]1．离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X 的分布列为则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1，2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．我们称D (X )为随机变量X 的方差，并称其算术平方根D （X ）为随机变量X 的标准差． 2．离散型随机变量方差的性质(1)设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (2)D (c )＝0(其中c 为常数)．3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )(其中p 为成功概率)； (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．要点一 求离散型随机变量的方差例1 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望及标准差． 解 (1)P ＝13×23＋23×34＝1318.(2)P (ξ＝0)＝13×13＝19；P (ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718. P (ξ＝2)＝23×34＝12.故ξ的分布列为E (ξ)＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，D (ξ)＝(0－2518)2×19＋(1－2518)2×718＋(2－2518)2×12＝149324，∴D （ξ）＝14918. 规律方法 1.求离散型随机变量X 的方差的基本步骤：理解X 的意义，写出X 可能取的全部值 ↓写出X 取每个值的概率 ↓写出X 的分布列 ↓由均值的定义求出E （X ） ↓利用公式D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 求值 2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (a ξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝a ξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．跟踪演练1 已知X 的分布列为求：(1)E (X )，D (X )；(2)设Y ＝2X ＋3，求E (Y )，D (Y )．解 (1)E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59.(2)E (Y )＝2E (X )＋3＝73，D (Y )＝4D (X )＝209.要点二 两点分布与二项分布的方差例2 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)为3，标准差D （ξ）为62. (1)求n 和p 的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．解 由题意知，ξ服从二项分布B (n ，p )，P (ξ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0，1，…，n . (1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12.ξ的分布列为(2)记“需要补种沙柳”为事件A ，则P (A )＝P (ξ≤3)，得P (A )＝1＋6＋15＋2064＝2132，或P (A )＝1－P (ξ＞3)＝1－15＋6＋164＝2132.所以需要补种沙柳的概率为2132.规律方法 方差的性质：D (a ξ＋b )＝a 2D (ξ)．若ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )．若ξ～B (n ，p )，则D (ξ)＝np (1－p )．跟踪演练2 设一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，求当p 为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值． 解 设成功次数为随机变量X ，由题意可知X ～B (100，p )，则D （X ）＝100p （1－p ）. 因为D (X )＝100p (1－p )＝100p －100p 2， 把上式看作一个以p 为自变量的二次函数， 易知当p ＝12时，D (X )有最大值为25.所以D （X ）的最大值为5.即当p ＝12时，成功次数的标准差的值最大，最大值为5.要点三 均值与方差的综合应用例3 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝a ξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)ξ的分布列为则E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (ξ)，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2. 又E (η)＝aE (ξ)＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4即为所求．规律方法 解均值与方差的综合问题时的注意事项(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其解题的关键是求出分布列；(2)在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算；(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂的计算．若随机变量X 服从两点分布、二项分布可直接利用对应公式求解．跟踪演练3 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数． (1)求X 的分布列； (2)求X 的均值与方差；(3)求“所选3人中女生人数X ≤1”的概率． 解 (1)X 可能的取值为0，1，2. P (X ＝k )＝C k2·C 3－k4C 36，k ＝0，1，2. X 的分布列(2)由(1)，X 的均值与方差为E (X )＝0×15＋1×35＋2×15＝1.D (X )＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(1－2)2×15＝25.(3)由(1)，“所选3人中女生人数X ≤1”的概率为P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝45.1．设随机变量X 的方差D (X )＝1，则D (2X ＋1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 D (2X ＋1)＝4D (X )＝4×1＝4.2．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)等于( )A.158B.154C.52 D ．5 答案 A解析 ξ～B (10，14)，∴D (ξ)＝10×14×(1－14)＝158.3．已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D (X )＝0.89，则对应x 1，x 2，x 3的概率p 1，p 2，p 3分别为________，________，________. 答案 0.4 0.1 0.5解析 由题意知，－p 1＋p 3＝0.1， 1．21p 1＋0.01p 2＋0.81p 3＝0.89.又p 1＋p 2＋p 3＝1，解得p 1＝0.4，p 2＝0.1，p 3＝0.5. 4．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D(X1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E(X2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋2 200－1 400)2×0.1＝160 000.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散．2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)．特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).一、基础达标1．下列说法中，正确的是( )A．离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值B ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的概率平均值 答案 C2．设一随机试验的结果只有A 和A －，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1) D ．m (1－m ) 答案 D解析 随机变量ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m .∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )． ∴故选D.3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1，2，3，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 答案 A解析 E (X )＝1×13＋2×13＋3×13＝2，∴D (X )＝13×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝9×23＝6.4．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A ．100和0.08 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．10和0.8 答案 D解析 因随机变量X ～B (n ，p )， 则E (X )＝np ＝8，D (X )＝np ·(1－p )＝1.6，所以n ＝10，p ＝0.8.5．若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________. 答案 1解析 D (ξ－D (ξ))＝D (ξ－1)＝D (ξ)＝1. 6．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.答案 59解析 由题意得2b ＝a ＋c ①，a ＋b ＋c ＝1②，c －a ＝13③，以上三式联立解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，故D (ξ)＝59.7．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X 表示掷出偶数点的次数． (1)若抛掷一次，求E (X )和D (X )； (2)若抛掷10次，求E (X )和D (X )． 解 (1)X 服从两点分布∴E (X )＝p ＝12，D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14.(2)由题意知，X ～B (10，12)．∴E (X )＝np ＝10×12＝5，D (X )＝np (1－p )＝10×12×(1－12)＝52.二、能力提升8．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为( )A.3.56B. 3.2 C ．3.2 D. 3.56 答案 D解析 依题意：0.4＋0.1＋x ＝1， ∴x ＝0.5，∴E (ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D (ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56， ∴D （ξ）＝ 3.56.9．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k (13)n －k，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.29 D ．16答案 A解析 由题意可知ξ～B (n ，23)，∴E (ξ)＝23n ＝24.∴n ＝36.∴D (ξ)＝36×23×(1－23)＝8.10．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量X 表示A 在1次试验中发生的次数，则方差D (X )的最大值为________． 答案 14解析 随机变量X 的所有可能取值为0，1，由题意，得X 的分布列为从而E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，D (X )＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2.D (X )＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋14，因为0<p <1，所以当p ＝12时，D (X )取得最大值，最大值为14.11．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ)．解 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6，9，12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2， 则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5， 则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5， 则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.12．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示： 甲：乙：试分析两名学生的成绩水平．解 ∵E (X )＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D (X )＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E (Y )＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D (Y )＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，∴E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y )，∴甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．三、探究与创新13．(2013·北京理)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8，所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝213.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝413，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝413，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝5 13，所以X的分布列为故X的期望E(X)＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．。
高中数学 2.3.2离散型随机变量的方差教案 新人教版选修2-3
§2．3．2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程：一、复习引入：1. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(2.若ξ B （n,p ），则E ξ=np二、讲解新课： 1. 方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+； （2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数X 的分布列为从而111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=.例2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．例3．设随机变量ξ的分布列为求D ξ解：（略）12n E ξ+=, 2D 12ξ=例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；11==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .四、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ）A ．1000.08和；B ．200.4和；C ．100.2和；D ．100.8和 答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．五、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要 六、课后作业： 同步试卷七、板书设计（略）八、教学反思：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。
高中数学 2.3.2离散型随机变量的方差教案 新人教B版选修2-3
2．3．2离散型随机变量的方差一、教学目标：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
二、课前预习：1 方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么=2S _____________________________________叫做这组数据的方差 2 对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,_______________________________________称为离散型随机变量X 的方差，式中的__________是随机变量X 的期望． 3 标准差:)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的___________. 4 假设离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，那么___________________________。
三、例题分析例1 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下：例2 某离散型随机变量X 服从下面的二项分布：k k kC k X P -==449.01.0)((4,3,2,1,0=k )，求E(X)和 D(X).例3离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为X服从的分布列为,且0<p<1,q=1-p,求D(X).四、课堂练习1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ2 设离散型随机变量X的分布列为,求D(X).3从装有3个白球和2个黑球的布袋中摸取一球，有放回的摸取5次，求摸得的白球数X的数学期望与方差。
4五、课堂小结。
[推荐学习]高中数学 2.3.2 离散型随机变量的方差教案 理 新人教B版选修2-3
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[k12]最新K122.3.2 离散型随机变量的方差【教学目标】①理解取有限值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义，会求离散型随机变量的方差、标准差；②会用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.【教学重点】 应用离散型随机变量的方差、标准差解决实际问题 【教学难点】 对离散型随机变量的方差、标准差的理解 一、 课前预习 1.离散型随机变量的方差：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，⋅⋅⋅，n p ，则_________________________________)(=X D 叫做这个离散型随机变量X 的方差.离散型随机变量的方差反映了：______________________________________________________ 2.离散型随机变量的标准差：_____________________________离散型随机变量的标准差反映了_______________________________________________________. 3.若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则___________)(=X D4.若随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，___________)(=X D二、 课上学习[k12]最新K12例1、甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布如下：射手甲： 射手乙：谁的射击水平比较稳定？例2、若X 的分布列为 另一随机变量32-=X Y ，求).(),(Y D X D三、 课后练习1.如果随机变量X服从二项分布),2.0,100(~B X 那么.______)34(_____,)(=+=X D X D2.甲、乙两个野生的动物保护区有相同的自然环境，且野生动物种类和数量也大致相同.两个保护区每个季度发现违反保护条例的时间事件次数的分布列分别为： 甲保护区： 乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平.。
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2．3．2离散型随机变量的方差
一、教学目标：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，
会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
二、课前预习：
1 方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么
=2S _____________________________________叫做这组数据的方差 2 对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,_______________________________________
称为离散型随机变量X 的方差，式中的__________是随机变量X 的期望． 3 标准差:)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的___________. 4 若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，则___________________________。
三、例题分析
例1 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下：
例 2 已知某离散型随机变量X 服从下面的二项分布：
k k k
C k X P -==449.01.0)((4,3,2,1,0=k )，
求E(X) 和 D(X).
例3 已知离散型随机变量1ξ的概率分布为
离散型随机变量2ξ的概率分布为
X服从的分布列为, 且0<p<1, q=1-p, 求D(X).
四、课堂练习
1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ
2 设离散型随机变量X的分布列为, 求D(X).
3从装有3个白球和2个黑球的布袋中摸取一球，有放回的摸取5次，求摸得的白球数X的数学期望与方差。
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五、课堂小结。