《角的平分线的性质》教案设计

角平分线的性质教案
在解决三角形的问题中，如果已知条件中涉及到角的平分线，我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题.现举例如下.
一、证明线段相等
例1 如图1，在△ABC 中，∠BAC 的角平分线AD 平分底边BC.求证AB=AC.
分析：根据已知可知AD 是∠BAC 的平分线，可通过点D 作∠BAC 的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明.
证明：过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F.
因为DA 为∠BAC 的平分线，所以DE=DF.
又因为AD 平分BC ，所以BD=CD ，
所以S △ABD =S △ACD ，
又S △ABD =21AB ·DE ，S △ACD =2
1AC ·DF ， 所以AB ·DE=AC ·DF ，
所以AB=AC.
图1 图2
二、证明两角的和等于180°.
例2 已知，如图2，AC 平分∠BAD ，CD=CB ，AB>AD.求证:∠B+∠D=180°.
分析:因为AC 是∠BAD 的平分线,所以可过点C 作∠BAD 的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题.
证明:作CE ⊥AB 于E,CF ⊥AD 于F.
因为AC 平分∠BAD,
所以CE=CF.
在△CBE 和△CDF 中,
因为CE=CF,CB=CD,
所以Rt △CBE ≌Rt △CDF,所以∠B=∠1,
因为∠1+∠ADC=180°,
所以∠B+∠ADC=180°,
即∠B+∠D=180°.
三、证明角相等
例3如图3，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠2
分析：要证明AP 是∠BAC 的平分线，需要证明点P 到∠BAC 两边的距离相等，可作PE ⊥AB ，PG ⊥AC ，PH ⊥BC ，易证PE=PH ，PH=PG ，从而PE=PG.
证明；过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PH ⊥BC 于点H.
因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ，
所以PE=PH ，
同理可证PH=PG ，
所以PG=PE ，
又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ，所以PA 是∠BAC 的平分线.
所以∠1=∠2.
图3 图4
四、证明角的平分线
例4 如图4，DA ⊥AB ，CB ⊥AB ，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC.
求证：CP 平分∠DCB.
分析：因为DA ⊥AB ，PD 平分∠ADC ，所以可过点P 作PE ⊥AC ，利用角平分线的性质得到PE=PA ，进而可得到PE=PB.
证明：过点P 作PE ⊥DC ，垂足于E ，
因为PD 平分∠ADC ，PA ⊥AD ，所以PA=PE ，
因为P 为AB 的中点，
所以PA=PB ，所以PE=PB ，
因为CB ⊥BP ，CE ⊥PE ，所以CP 平分∠DCB
五、求角的度数
例5 如图5，在△ABC 中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE 平分∠ACB ，D 是AC 上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE 的度数.
分析：由于CE 平分∠ACB ，可过点E 作∠ACB 的两边的垂线，通过证明DE 是∠ADB 的平分线解决问题.
解：作EN ⊥CA ，EM ⊥BD ，EP ⊥CB ，垂足分别是N 、M 、P.
因为∠ABD=∠ABC-∠CBD=100°-20°=80°，∠PBA=180°-100°=80°，
所以∠PBA=∠ABD ，
因为EM ⊥BD 于M ，EP ⊥CB 于P ，所以EP=EM ，
又CE 平分∠ACB ，EN ⊥CA ，EP ⊥CB ，所以EN=EP ，
所以EN=EM ，
所以ED 平分∠ADB ，
所以∠ADE=21∠ADB=2
1×40°=20°.
图5。