高中数学简单几何体的外接球与内切球问题
专题——几何体的外接球和内切球问题
B．112π
C.1 000π 9
D.5 000 10π 81
※内切球问题 1．正棱锥的内切球.
第一步：先现出内切球的截面图， E, H 分别是两个三角形的外心； 第二步：由 POE 相似于 PDH ，建立等式： OE PO ，解出 r
DH PD
2．任意多面体的内切球：等体积法，
例 3 非直二面角类型
（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
专题——几何体的外接球和内切球问题
※基础知识：
1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆
长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；
正三角形的内切圆半径： 3 a 6
外接圆半径： 3 a 3
面体的外接球的球心。 由定义，给出以下简单多面体外接球的球心的结论。
结论 1：正方体或长方体的外接球的球心就是其体对角线的中点，即其外接球的半径 R 满足：
2R2 a2 b2 c2 ，即 R a2 b2 c2
2 结论 2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点，即正棱柱的外接球的半径 R 为： R h 2 r 2 （其中 h 为正棱柱的侧棱长， r 是底面多边形的外接圆的半径）
（1）已知边长为 2 3 的菱形 ABCD 中，BAD 60 ，沿对角线 BD 折成二面角 A BD C 的大
小为120 的四面体，则该四面体的外接球的表面积为
。
第一步：先求出多面体的表面积和体积； 第二步：解出 r 3V S表
例 1、正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）
球。
3．球的截面：
用一平面 去截一个球 O ，设 OO 是平面 的垂线段，O 为垂 足，且 OO d ，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以
几何体与球的几种常见“切、接”分析与处理
几何体与球的几种常见“切、接”分析与处理学生看到几何体的外接球和内切球问题就有一种恐惧感，其实理论上三棱锥都有外接球，只是有的不易求解，经常出现的外接球问题总是关于一些特殊几何体的。
一、几何体的外接球问题1、与长方体有关的外接球问题利用长方体的几何中心（体对角线的中点）与外接球心重合，求出体对角性长，进一步求出外接球半径。
在长方体1111ABCD A B C D -中，棱1,,AB AD AA 的长分别为a,b,c,则该长方体外接球的半径为_________． 因2221D B a b c =++，故外接球半径2222a b c R ++= 当遇到由长方体切割形成的几何体时，可补全为长方体，即采用补形法例1、三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB=BC=2，则球O 的表面积为_________．12π分析：因SA,AB,BC 两两垂直，把该三棱锥补成以SA,AB,BC 为长、宽、高的长方体，长方体的外接球就是该三棱锥的外接球。
例2、四面体ABCD 中，5AB CD ==，10AC BD ==，13BC AD ==,则四面体ABCD 外接球体积为（ 714π ） 分析：5,1013，，看作长方体的三个面对线的长，四面体ABCD 与长方体外接球重合。
由251013(2)142R ++==,得3471433V R ππ== 2、与等边三角形，直角三角形有关的外接球问题利用等边三角形（外心和重心重合）或者直角三角形（外心为斜边中点）的特殊性找球心。
例1、已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为（ A ）A.26B.36C.23D.22分析：本题的关键是求三棱锥的高SH 。
因△ABC 是正三角形，△ABC 所在小圆的圆心G 与重心重合，则32313CG =⨯⨯=,3619OG =-=,262SH OG == 例2、已知正三棱柱内接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为( )A. 6B.2C. 3 D ．2解：如图，设正三棱柱底面边长为a ，∴O 2C 2＝33a ，∵OC 2＝2，∴O 2O ＝4－13a 2. ∴A 1A 2＝O 1O 2＝2OO 2＝24－13a 2 ∴三棱锥侧面积为S ＝3a ·24－13a 2＝6·13·a 2(12－a 2)≤63a 2＋12－a 22＝12 3. 当且仅当a 2＝12－a 2，a ＝6时取“＝”号3、当几何体有一定的对称性时，利用几何体的对称性找球心例、在四面体ABCD 中，AB=CD=6，BC=AC=AD=BD=5，则该四面体外接球的表面积为（ 43π ）分析：因AB=CD=6，其余各边均为5，取AB,CD 的中点F,E ；连接FC,FD,AE,BE;则几何体关于面FCD 对称，又关于面AEB 对称，故球心在两面交线EF 上，又需到A,B,C,D 四点距离相等，所以球心为EF 中点。
简单几何体的外接球和内切球的半径的求法
简单几何体的外接球和内切球半径的求法1、正方体若正方体的棱长为a ，则其外接球半径为 ，内切球半径为 ，棱切球半径为 球心全是正方体的体对角线的交点32a 12a 22a例：一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm ，求球的体积．解：该球是正方体的外接球，球心到正方体各顶点的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的体对角线长设球的半径为R ，a R a R 2332==得则)(23)23(34343333cm a a R πππ==∴球的体积为若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
外接球的球心到多面体各顶点的距离均相等。
例：将一个棱长为6cm 的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积。
解：这个最大的球体是正方体的内切球，球心到正方体各个面的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的棱长设球的半径为R ，则2R =6，得R =3)(3633434333cm R πππ=⨯=∴最大零件的体积为若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
内切球的球心到多面体各面的距离均相等。
⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝探究 若正方体的棱长为a ，则a3a2a右图，红色球是正方体的棱切球棱切球的球心到正方体各条棱的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的面对角线的长2、长方体若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其外接球半径为球心是长方体的体对角线的交点222 1+2a b c例：有一个球与长方体的面相切，这个球的最大直径是多少？长方体的长、宽、高中的最小者例：一个长方体的各顶点均在同一个球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为____________若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
外接球内切球题型总结
外接球内切球题型总结和内切球是高中数学中常见的几何题型。
它们看似简单，但实际上需要一定的思维和推理能力。
在这篇文章中，我将总结和内切球的题型，并提供一些解题思路和方法。
一、题型是指一个球完全地包围住一个几何体，即几何体的各个顶点都在球的表面上。
以下是一些常见的题型：1. 外接圆题型外接圆是指一个圆正好切合于一个三角形的三条边上。
在解决外接圆题型时，我们通常可以利用其性质来推导出一些关系式来简化问题。
例如，假设一个三角形的三个顶点分别是A、B、C。
若存在一个外接圆，那么圆心必然在三角形的垂直平分线的交点处。
因此，我们只需要求出垂直平分线的交点即可确定圆心的位置。
2. 题型与外接圆类似，也可以用类似的思路来解决。
我们可以通过求出几何体的垂直平分面的交线来确定球心的位置。
举个例子，假设我们有一个四面体ABCD，我们需要求出其。
首先，我们可以通过连接四面体的两个对角线来得到一个交点E。
然后，我们找出四面体的垂直平分面，分别与对角线DE、CE、BE、AE相交，这些相交点的集合就是球心所在的平面。
最后，我们通过球心与四面体任意一个顶点的距离就可以确定球的半径。
二、内切球题型内切球是指一个球正好与一个几何体的各个面相切。
以下是一些常见的内切球题型：1. 内切圆题型内切圆是指一个圆正好与一个三角形的三边内切。
解决内切圆题型时，我们通常可以利用其性质来推导出一些关系式。
例如，假设我们有一个三角形ABC，其内切圆的半径为r，圆心为O。
根据内切圆的性质，我们可以知道三角形的三个角都是圆心O的切点。
因此，我们可以利用三角函数的关系式来求解r。
2. 内切球题型内切球题型相对来说会更加复杂一些。
我们需要找到几何体的内切面以及球心的位置。
举个例子，假设我们有一个四面体ABCD的内切球。
我们可以通过连接四面体相对面的交点的连线找到内切球的球心。
然后，我们继续找到相应的内切面，通过求解距离或者长度的关系还可以进一步确定内切球的半径。
球的内切、外接问题
P
球的表面积．
解1：作出截面图如图示. 由图可知，
3
AD
a,
2
2
3
AO AD
a.
3
3
a
6
2
2
∴PO PA AO
a.
3
6
∴OO PO PO
a R.
3
P
a
R
R
A
A
R O•
O•
•
O′
解得R
时，球内切于圆锥，如图所示，
O为球心，M为球O与母线PB的切点，E为底面圆心，
设球O的半径为R，底面圆E的半径为r，
因为圆锥侧面积为2π，
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
例8 正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，若该正
四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2 6，求这个球
P
的表面积. 36π
PO′= 4，OO′=4－R，AO=R
2 6
AO2 = OO′ 2 + AO′ 2，
R=3
•
O′
R
R
A
O
O•
•
O′
O′
•
O
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
正棱锥外接球半径求法——轴截面法
1.球心在棱锥的高所在的直线上
2.球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高h 减去球半径R的绝对值
d= |h －R |
P
3. R 2 r 2 (h R ) 2
4
9
O
1
， 解得r= 3
轴截面法
(word完整版)高考数学中的内切球和外接球问题
高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ,则该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ,则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）.A. 16B. 20C. 24D. 323.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形， 其侧棱垂直于底面，已知该 六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9,底面周长 为3,则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有 6x 3 9 会 3 2.6 — x h 8 4的半径的常用公式二、构造法（补形法）1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 V 3 ,则其外 接球的表面积是.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为V 3 ,则其外 接球的表面积是.故其外接球的表面积S 4 r 2 9 .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分 别为a,b,c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体， 于是长方体的体 对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则 有2R va 2 b 2 c 2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题
高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型墙角模型是指三条线段两两垂直的几何体，通过公式(2R) = a + b + c，即2R = a^2 + b^2 + c^2，可以求出其外接球半径R。
例1：1）已知顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，求该球的表面积。
解：由V = ah = 16，得a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π，答案为C。
2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，求其外接球的表面积。
解：由2R = a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9，得R = 9/4，S =4πR^2 = 9π。
3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA = 23，求正三棱锥S-ABC外接球的表面积。
解：由墙角模型的特点可知，正三棱锥的对棱互垂直。
连接AB、BC的中点D、E，连接AE、CD，交于H，则H是底面正三角形ABC的中心。
由AM⊥MN，SB//MN，可得AM⊥SB，AC⊥SB，故SB⊥平面SAC，SB⊥SA，SB⊥SC，即SB⊥SA，BC⊥SA，故SA⊥平面SBC，SA⊥SC。
因此，三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，由2R^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 36，得R^2 = 9，S = 36π。
类型二、棱台模型棱台模型是指上底面和下底面都是正多边形，且两底面中心连线与侧棱垂直的几何体。
通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。
例2：1）已知棱台的上底面和下底面都是正三角形，上底边长为3，下底边长为6，侧棱长为5，求其外接球半径R和内切球半径r。
解：由勾股定理可得棱台的高为4√3.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + b + c)/(a + b - c) = (3 + 6 +5)/(3 + 6 - 5) = 7，解得R = 7r。
【高中数学】空间几何体外接球与内切球问题
8.16作业 空间几何体外接球与内切球问题
1. 已知正四面体棱长为2，分别求该正四面体的外接球与内切球的半径.
2. 已知圆柱的内切球（圆柱的上、下底面及侧面都与球相切）的体积为43
π，求该圆柱的体积．
3. O 内切于该圆锥. （1）求该圆锥的高；
（2）求内切球O 的体积.
4.
5. 在长方体1111ABCD A B C D −中，AB =6，BC =8，16AA =.
（1）求三棱锥1D ABC −的体积；
（2）在三棱柱111ABC A B C −内放一个体积为V 的球，求V 的最大值.
6. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体
现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长2，
（1）求其体积；
（2）若其各个顶点都在同一个球面上，求该球的表面积.。
空间几何体的外接球与内切球问题(学生版)
空间几何体的外接球与内切球问题目录一、必备秘籍二、典型题型题型一：内切球等体积法题型二：内切球独立截面法题型三：外接球公式法题型四：外接球补型法题型五：外接球单面定球心法题型六：外接球双面定球心法三、专项训练一、必备秘籍1．球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。
类型一球的内切问题(等体积法)例如：在四棱锥P-ABCD中，内切球为球O，求球半径r.方法如下：V P-ABCD=V O-ABCD+V O-PBC+V O-PCD+V O-PAD+V O-PAB即：V P-ABCD=13S ABCD⋅r+13S PBC⋅r+13S PCD⋅r+13S PAD⋅r+13S PAB⋅r，可求出r.类型二球的外接问题1、公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2、补形法(补长方体或正方体)①墙角模型(三条线两个垂直)题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)②对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB=CD，AD=BC，AC=BD) 3、单面定球心法(定+算)步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=asin A)；②过外心O1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；③计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O1A2+OO12可计算出球半径R.4、双面定球心法(两次单面定球心)如图：在三棱锥P-ABC中：①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O1②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O2③分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型题型题型一：内切球等体积法1(22·23·全国·专题练习)正三棱锥P-ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为()A.1：3B.1：3+3C.3+1 ：3D.3-1 ：32(22·23下·朔州·阶段练习)正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为．3(23·24上·萍乡·期末)已知球O 是棱长为1的正四面体的内切球，AB 为球O 的一条直径，点P 为正四面体表面上的一个动点，则PA ⋅PB的取值范围为.4(22·23上·张家口·期中)球O 为正四面体ABCD 的内切球，AB =4，PQ 是球O 的直径，点M 在正四面体ABCD 的表面运动，则MP ⋅MQ的最大值为．5(22·23上·河南·阶段练习)已知正四面体ABCD 的棱长为12，球O 内切于正四面体ABCD ,E ,F 是球O 上关于球心O 对称的两个点，则AE ⋅BF的最大值为.6(22·23上·扬州·期中)中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为．题型二：内切球独立截面法1(23·24上·淮安·开学考试)球M 是圆锥SO 的内切球，若球M 的半径为1，则圆锥SO 体积的最小值为()A.43π B.423π C.83π D.4π2(22·23下·咸宁·期末)已知球O 内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切)，且圆台的上、下底面半径r 1:r 2=2:3，则圆台的体积与球的体积之比为()A.32B.1912C.2D.1963(22·23·全国·专题练习)若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为.4(23·24上·佛山·开学考试)若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的体积为4π3，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为．5(22·23下·成都·阶段练习)已知圆锥的底面半径为2，高为42，则该圆锥的内切球表面积为.题型三：外接球公式法1(16·17·全国·单元测试)若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为 ()A.50πB.100πC.150πD.200π2(22·23·全国·专题练习)设球O 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O 的截面，则最小截面的面积为()A.3πB.4πC.5πD.6π3(14·15上·佛山·阶段练习)正方体的外接球(正方体的八个顶点都在球面上)与其内切球(正方体的六个面都与球相切)的体积之比是．题型四：外接球补型法1(23·24上·成都·开学考试)在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =2，PA ⊥PB ,PA ⊥PC ,PB ⊥PC ,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.43πB.12πC.48πD.323π2(22·23下·揭阳·期中)在三棱锥S -ABC 中，SA =BC =5，SB =AC =41，SC =AB =34，则该三棱锥的外接球表面积是()A.50πB.100πC.150πD.200π3(23·24上·成都·开学考试)已知四面体ABCD 满足AB =CD =3，AD =BC =5，AC =BD =2，且该四面体ABCD 的外接球的表面积是()A.2πB.6πC.6π11D.4π4(22·23下·黔西·阶段练习)正三棱锥P -ABC 的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为.5(22·23下·黔西·期中)如图，已知在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，且PA =2PB =2PC =2，求该三棱锥外接球的表面积是．题型五：外接球单面定球心法1(23·24上·汉中·模拟预测)如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ,PA =6,BC =3,∠CAB =π6,O为△ABC 外接圆的圆心，O 为三棱锥P -ABC 外接球的球心，OQ ⊥PA ，则三棱锥P -ABC 的外接球O 的表面积为．2(23·24上·秦皇岛·开学考试)三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,P在底面的射影O为△ABC的内心，若AB=4,BC=3，PO=5，则四面体PABC的外接球表面积为.3(22·23下·石家庄·阶段练习)已知球O是正四面体P-ABC的外接球，E为棱PA的中点，F是棱PB上的一点，且FC=2EF，则球O与四面体P-EFC的体积比为.4(22·23下·淄博·期末)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，其中AD=2，AB=3，则四棱锥P-ABCD的外接球表面积为.题型六：外接球双面定球心法1(22·23上·抚州·期中)已知菱形ABCD的各边长为2,∠D=60°.如图所示，将△ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB，得到三棱锥S-ABC，此时SB=3.若E是线段SA的中点，点F在三棱锥S-ABC的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC则点F的轨迹的面积为.2(22·23·赣州·模拟预测)如图，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB=4，把△ADE沿着DE翻折至△A DE的位置，得到四棱锥A -BCED，则当四棱锥A -BCED的体积最大时，四棱锥A -BCED外接球的球心到平面A BC的距离为.3(22·23下·湖南·期末)为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图(一)所示的四边形PABC中，AB=BC=2，PA=PC，∠ABC=60°，PA⊥PC.第二步：以AC为折痕将△PAC折起，得到三棱锥P-ABC，如图(二).第三步：折成的二面角P-AC-B的大小为120°，则活动结束后计算得到三棱锥P-ABC外接球的表面积为.三、专项训练一、单选题1(22·23下·河南·模拟预测)已知直六棱柱的所有棱长均为2，且其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ).A.16πB.20πC.24πD.25π2(22·23下·宁德·期中)正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为()A.2π3B.4π3C.8π3D.3π3(23·24上·河北·开学考试)长方体的一个顶点上三条棱长是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是()A.12523π B.1252π C.50π D.125π4(22·23下·临夏·期末)已知四棱锥P-ABCD的体积为83，侧棱PA⊥底面ABCD，且四边形ABCD是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为()A.12πB.8πC.4πD.2π5(23·24上·广东·阶段练习)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A,B,C三点重合于点A ，若三棱锥A -EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为()A.2πB.3πC.6πD.8π6(23·24上·安徽·开学考试)在封闭的等边圆锥(轴截面为等边三角形)内放入一个球，若球的最大半径为1，则该圆锥的体积为()A.3πB.6πC.9πD.12π7(23·24上·莆田·阶段练习)三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为23的正三角形，PA=4,PA⊥AB,D为BC中点且PD=5，则该三棱锥外接球的表面积为()A.16πB.32πC.48πD.64π8(22·23·九江·一模)三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD均为边长为2的等边三角形，若平面ABD ⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为()A.8π3B.20π3C.8πD.20π二、填空题9(23·24·柳州·模拟预测)已知圆锥的底面直径为23，轴截面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的体积为.10(22·23·唐山·二模)已知某圆台的上、下底面的圆周在同一球的球面上，且圆台上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为3，则该圆台的外接球的体积为．11(22·23·大同·模拟预测)四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=4，AB=BC=2，鳌臑P-ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是．12(23·24上·辽宁·阶段练习)已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图的面积为8π，则该圆锥的内切球的体积为.13(23·24上·成都·阶段练习)已知三棱锥S-ABC底面ABC是边长为2的等边三角形，平面SAB⊥底面ABC，SA=SB=2，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为.14(23·24上·遂宁·阶段练习)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点在球O1上，又球O2与此三棱柱的5个面都相切，则球O1与球O2的表面积之比为.15(22·23下·赣州·阶段练习)已知圆锥的内切球半径为1，若圆锥的侧面展开图恰好为一个半圆，则该圆锥的体积为．。
几何体外接球和内切球问题的解答方法
几何体的外接球和内切球问题大家知道，几何体的外接球和内切球问题是近几年的高考热点内容，尤其是几何体的外接球问题，基本上近几年的高考试题中都有出现。
归结起来这类问题主要包括两种类型：①已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积；②已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积；解答这类问题的基本思路是根据问题给出的条件，求出球的半径，然后再运用球的体积（或表面积）公式进行计算得出结果。
从题型上看是5分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从难易程度上看，属于中、低档难度的问题。
那么如何解答这类问题呢？下面通过例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、已知三棱锥P —ABC 的三个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC ，∆ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF=.90，则球O 的体积为（ ）（2019全国高考新课标I （理））π π π π2、《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧 1视图是如图所示的直角三角形，若该阳马的顶点都在同一个 1 2 球面上，则该球的体积为（ ）（2018成都市高三二诊）A πB πC πD 24π【解析】1、【考点】①正三棱锥的定义与性质；②正三棱锥外接球的定义与性质；③几何体外接球半径的求法；④球的体积计算公式与方法；【解题思路】运用正三角形的性质和正三棱锥外接球的性质求出外接球的半径，再运用球的体积公式进行计算得出结果； P【详细解答】如图，取BC 的中点D ，连接AD ，PD ，设正三角形ABC 外接圆的圆心为1O ，连接P 1O ，设外接 E O 球的球心为O ，连接AO ，∆ABC 是边长为2的正 C 三角形，D ，F 分别BC ，AB 的中点，∴AD=CF=2⨯ A F 1O B⇒A 1O ，PA=PB=PC ，∆ABC 是正三角形，∴P —ABC 是正三棱锥，⇒PB ⊥AC ，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∴EF//PB ，⇒EF ⊥AC ，∠CEF=.90，AC CE=C ，AC ，EC ⊂平面PAC ，∴EF ⊥平面PAC ，⇒PB ⊥平面PAC ，⇒∠APB=.90，⇒⇒PD =1，⇒P 1O 3R ，在Rt ∆AO 1O 中，AO=R ，O 1O =-R ，A 1O =，2AO =21OO +21AO ，∴2R =2)R -+2(3，⇒R=2，∴O V 球=343R π=43⨯4π=π⇒选D 。
高中数学立体几何中的外接球与内切球问题
高中数学立体几何中的外接球与内切球问题
在高中数学的立体几何中，外接球与内切球问题是一个重要的探讨点。
这个问
题涉及到如何在一个给定的立体图形中，找到一个外切于该图形的球和一个内切于该图形的球。
首先，让我们来看外接球问题。
在立体几何中，给定一个多面体，如正方体或
正四面体，我们想找到一个球，使得该球恰好外接于该多面体的每一个面上。
所谓外接，即球与每一个面都有且只有一个公共点，这个点是每个面的外接圆心。
以正方体为例，我们可以观察到正方体的每一个面都是正方形，而正方形的外
接圆心恰好位于该正方形的中心点。
因此，我们可以得出结论：正方体的外接球的圆心与该正方体的每个面的外接圆心重合。
接下来，让我们来看内切球问题。
在立体几何中，给定一个多面体，如正方体
或正四面体，我们想找到一个球，使得该球恰好内切于该多面体的每一个面上。
所谓内切，即球与每一个面都有且只有一个公共点，这个点是每个面的内切圆心。
以正方体为例，我们可以观察到正方体的每一个面都是正方形，而正方形的内
切圆心恰好位于该正方形的中心点。
因此，我们可以得出结论：正方体的内切球的圆心与该正方体的每个面的内切圆心重合。
总结起来，对于任何一个给定的多面体，我们可以找到一个外接球和一个内切球。
外接球的圆心与每个面的外接圆心重合，而内切球的圆心与每个面的内切圆心重合。
这个问题在高中数学的立体几何中十分重要，理解了外接球和内切球的性质，可以帮助我们更好地理解和解决相关的几何问题。
简单几何体的外接球与内切球(1)
的外接球与内切球问题
1、正方体的外接球与内切球问题 若正方体的棱长为a，则 ⑴正方体的内切球直径＝
a
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝
⑵正方体的外接球直径＝
a
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝ 3a ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝ 2a
结论、 若正棱锥的侧棱长为b，高为h，则
b 正棱锥的外接球半径r＝ 2 h
2
高考题欣赏
A
2018年广东省理科第一次模拟
6：在三棱锥P-ABC中，PA PC，AB BC 且AB＝ 1，BC＝ 3,则它外接球的体积为_______
结论五：在三棱锥P-ABC中，如果有两个面是有公共斜边 的直角三角形,那么三棱锥P-ABC的外接球直径就是这条斜边
空间几何体的外接球中的最值问题
高考题欣赏：
4 3
B
2、 若正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为b，高为h
则正四棱锥的内切球半径r＝
ah a 4h a
2 2
1 2 2 2 a h b 2
8、 直棱柱的外接球与内切球问题
1、直三棱柱的外接球问题
设直棱柱底面边长为分别为a,b,c,高为h，求外接球的半径 解析：设直棱柱外接球的半径为R，
球心到底面ABC的距离为d，ΔABC的外接圆半径为r. 球心在上下底面的外心的连线的中点。
A B O A1 C1 C
O1
B1
8、 直棱柱的外接球与内切球问题
2、直三棱柱的内切球问题
设直棱柱底面边长为分别为a,b,c,高为h，求内切球的半径 解析：设直棱柱内切球的半径为r，
ΔABC的外接圆半径为r.
立体几何中球的内切和外接问题(完美版)
C 1
注意：①割补法，② V多面体 3 S全 r内切球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如 图所示，则截面的可能图形是（ ）
①
②
③
④
• A ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①②③ Ｄ．②③④
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
变式训练：已知正四面体内接于一个球，某人画出四 个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，
的动点，当弦 MN 的长度最大时， PM • PN 的取值范围是
．
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球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？
.r
a
一、 球体的体积与表面积
①
②
二、球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球多是面这体个的外接球
。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
，即 为该四面体的外接球的球心
A
O
C
所以该外接球的体积为
03
破译规律-特别提
醒
2 例题剖析-针对讲 解
04
举一反三-突破提
升
4 举一反三-突破提 升 1、（2015 海淀二模）已知斜三棱柱的三 视图如图所示，该斜三棱柱的体积为 ______.
4 举一反三-突破提 升
2、（2015 郑州三模） 正三角形ABC的2 边3 长
5 正棱锥的外接球的球心是在其 高上
几何体的外接球与内切球的有关问题
几何体的外接球与内切球的有关问题一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是计算球的半径或确定球心O 的位置问题，其中球心的确定是关键．（一） 由球的定义确定球心球的定义：在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.（在1BOO Rt ∆中，21212OO BO BO +=，即.）结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过构造直角三角形利用勾股定理求得． （以正三棱锥为例：设正三棱锥的底面△ABC 的边长为a ，高为h ，外接球球心为O ，半径为R .在1AOO Rt ∆中，21212OO AO AO +=，即222)(33R h a R -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.） 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心，则公共斜边的一半就是其外接球的半径．（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．1.可构造正方体的类型：①正四面体：棱长对应正方体的面对角线.①②③②三条侧棱两两垂直的正三棱锥：底面棱长对应正方体的面对角线，侧棱对应正方体的棱长.③四个面都是是直角三角形的三棱锥：最长的棱长对应正方体的体对角线.2.可构造长方体和正方体的类型①同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体；②三个侧面两两垂直的三棱锥；③有三个面是直角三角形的三棱锥；①与②与③④④相对的棱相等的三棱锥：设对应长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则BC2=a2+b2，AC2=a2+c2，AB2=b2+c2. 所以对应长方体的体对角线为.⑤含有其它线面垂直关系的棱锥.（三）由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O’的连线垂直于截面圆，确定球心．记球的半径为R，截面圆的半径为r，球心O与截面圆圆心O’的距离为d，则有R2=r2+d 2.（四）圆柱外接球模型计算球的半径一个底面半径为r，高为h的圆柱，求它的外接球半径.（1）（2）（3）变形一：如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图（1）所示.我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型. 在这里棱柱的高就是公式中的h，而棱柱底面△ABC外接圆的半径则是公式中的r.变形二：如果把三棱柱上面的C1去掉，如图（2）所示，我们得到有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥，其中r为垂直底面的侧面△ABC的外接圆半径，h为垂直于那个侧面的底面边长AA1.变形三：如果把上面的那个三棱柱上面的B1,C1两点去掉，如图（3）所示，我们得到一根侧棱⊥底面的三棱锥，其中r为底面△ABC外接圆半径，h为垂直于底面的那条侧棱AA1.二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.结论1：内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.结论2：正多面体的内切球和外接球的球心重合.结论3：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.结论4：基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理.结论5：体积分割是求内切球半径的通用做法.（一）正方体的的内切球设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径.（1）内切球：截面图为正方形的内切圆，得.（2）棱切球：切点为正方体各棱的中点，截面图为为正方形的外接圆，得.（二）棱锥的内切球(分割法)将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径的方程.设三棱锥的棱长为a ，内切球半径为r.V V V V V PAB O PBC O PAC O ABC O ABC P -----+++=r S r S r S r S PAB PBC PAC ABC 31313131+++= r S S S S PAB PBC PAC ABC )(31+++=所以一般地，记棱锥的体积为V ，表面积为S ，则内切球的半径为.（三）圆柱、圆锥的内切球(截面法)（1）圆柱的内切球：圆柱的轴截面为正方形，记圆柱的底面圆的半径r ，内切球的半径R ，则R =r .（2）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为三角形的内切圆，记圆锥的底面圆的半径r ，内切球的半径R ，由于在△ABC 中，所以.备注：1.三角形内切圆的半径S S S S AOB AOC BOC ABC ∆∆∆∆++=r c b a cr br ar )(21212121++=++=所以三角形内切圆的半径为，其中S 为△ABC 的面积，C 为△ABC 的周长.2. 三角形外接圆的半径利用正弦定理，.①正三角形：，其中a 为正三角形的边长.②直角三角形：，其中c 为直角三角形的斜边.3. 正三角形的内切圆与外接圆的半径之比正三角形的内切圆与外接圆的两个圆心“二心合一”.设正三角形的边长为a ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R.由于，a a a a a a C S r 6360sin 2122=++︒⋅⋅⋅⨯==， 所以，即圆心O 为正三角形高h 的三等分点.4. 正四面体的内切球与外接球的半径之比正四面体的内切球与外接球的两个球心“二心合一”.设正四面体A -BCD 的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球半径为R ，则OA=OB=R ，OE=r.∵底面△BCD 为正三角形，∴BE=在BEO Rt ∆中，，即，得∴，即球心O 为正四面体高h 的四等分点.5.正三棱柱的内切球与外接球的半径之比正三棱柱的内切球与外接球的球心是重合的，过侧棱和它们的球心O 作截面如下图所示：设正三棱柱底面边长为. 由于内切球投影到底面的圆是底面正三角形的内切圆，所以，从而正三棱柱的高为.在O D A Rt 11∆中，得， 因此1:5:21=R R .。
空间几何体的外接球内切球问题
Ｐ Ｄ S ＣAＯ空间几何体的外接球、内切球问题外接球问题一.棱锥的外接球三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。
1.确定棱锥外接球球心的通法先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。
练习：1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。
3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为 （ ）A ． π14 B.π15 C.π16 D.π182.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。
练习：1.三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）A ．26a πB ．29a πC ．212a πD ．224a π2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC=O表面积等于（A）4π（B）3π（C）2π（D）π3.,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π4.3.公共边所对的两个角为直角确定球心法练习1.在矩形ABCD中，4,3AB BC==，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D--，则四面体ABCD的外接球的体积为A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2.空间四边形ABCD中，1,AB BC AD DC====ABCD的外接球的表面积为4.利用轴截面截球为大圆确定球半径正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径.练习：1.正四棱锥S ABCD-S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .2.正六棱锥EFS ABCD-的底面边长为1S A B C D 、、、、、E、F都在同一球面上，则此球的表面积为 .3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为AB．13π C．23π D_C_A_O_D_B二.棱柱的外接球底面有外接圆的直棱柱才有外接球。
2024高考数学专项立体几何系统班7、外接球与内切球
第7讲外接球与内切球知识与方法1.外接球与内切球是全国高考常考题型，模型杂、方法多，但归纳起来不外乎两大类处理方法.（1）补形：将几何体补全成长方体、正方体、直棱柱等常见几何体，计算外接球半径.（2）构建平面截球模型：寻找截面圆心以及球心到截面的距离，通过222R r d =+计算外接球半径.2.设球的半径为R ，有5个常用计算公式.（1）正方体外接球半径：R =，其中a 为正方体棱长，如图1.（2）长方体外接球半径：R =a ，b ，c 分别为长方体的长、宽、高，如图2.（3）正四面体外接球半径，4R a =，其中a 为正四面体棱长，如图3.（4）直三棱柱外接球半径：R =，其中r 为底面外接圆半径，h 为直三棱柱的高，如图4.（5）圆柱外接球半径：R =，其中r 为底面圆半径，h 为圆柱的母线长，如图5.提醒：①上面列出了一些简单模型的外接球半径计算公式，需结合图形将其记住，还有一些其他模型可以通过补形的方法转化为上述模型处理；②一些不能通过简单补形求解的模型，如球内接正棱锥，球内接圆锥等，可以通过分析几何关系，转化为平面截球模型计算外接球的半径.题组一1.（★★）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______.【解析】设正方体的棱长为a ，则2618a =，故a =3322R a ==，其体积34932V R ππ==.【答案】92π2024高考数学专项立体几何系统班7、外接球与内切球【提炼】正方体棱长a 与其外接球半径R 之间的关系为32R =.2.（★★★）如图，在等腰梯形ABCD 中，22AB DC ==，60DAB ∠=︒，E 为AB 中点，将ADE 与BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使点A ，B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（）【解析】由题意，可将平面图形等腰梯形ABCD 补全为正三角形FAB ，如图，那么在完成题干所描述的翻折后，还可将CDF △沿着CD 翻折，使得点F 也与点P 重合，显然此时得到的是一个棱长为1的正四面体，即三棱锥P DCE -是棱长为1的正四面体，其外接球半径R =343V R π==.【答案】C【提炼】正四面体的棱长为a ，则其外接球半径为64a ，内切球半径为612a ，证明方法可参考附赠的小册子《高考数学常用二级结论》.3.（★★）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______.【解析】长方体的外接球半径R =，其中a ，b ，c 分别为长、宽、高，故R =O 的表面积2414S R ππ==.【答案】14π【提炼】设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则其外接球半径2R =4.（★★）已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A.323π B.4π C.2π D.43π【解析】首先得知道什么是正四棱柱，它指的是底面为正方形、侧棱与底面垂直的四棱柱，也是一种特殊的长方体，高考这种名词都是直接给，必须清楚其结构特征.外接球半径1R ==，故该球的体积34433V R ππ==.【答案】D5.（★★）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16πB.20πC.24πD.32π【解析】设正四棱柱底面边长为a ，则2416a =，即2a =，其外接球的半径2242R ==，故所求球的表面积2424S R ππ==.【答案】C 6.（★★★）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为______cm 2.【解析】设正四棱柱的高为h cm ，则1112=，故h =，即该棱柱的表面积(2S =+cm 2.【答案】2+题组二7.（★★★）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（）B. C.132D.【解析】这道题可能不少同学会有这么一个困惑，就是题干没给出三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，是不是题干有问题呢？当然不是，事实上，斜棱柱是没有外接球的，所以题干的说法本身就隐含了三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱这一条件.本题的直三棱柱可通过补形为长方体来计算外接球半径，如图，三棱柱111ABC A B C -与长方体有相同的外接球，该球的半径为34121322R ==.【答案】C 8.（★★★）3______.【解析】本模型一般称为墙角三棱锥，可补形为正方体（或长方体）来处理．如图，将三棱锥B ACD -补全为正方体，并放到了球体之中，可以看到二者有相同的外接球，正方体棱332R =，故外接球表面积249S R ππ==.【答案】9π【提炼】三条侧棱两两垂直的三棱锥（墙角三棱锥）可补形为长方体或正方体来计算外接球半径.题组三9.（★★★）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.2a π B.273a π C.2113a π D.25a π【解析】如图，设G 为ABC △的中心，ABC △外接圆半径233323r AG ==⨯=，1122a OG AA ==，球的半径22712R r OG a =+，故球的表面积22743S R a ππ==.【答案】B【提炼】①设直三棱柱底面外接圆半径为r ，高为h ，则其外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②关键是计算底面三角形外接圆半径，对于直角三角形，外接圆半径等于斜边长的一半，若是倍，等于高的23倍；若是普通的三角形，则可利用正弦定理计算外接圆半径.10.（★★★）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA -==，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______.【解析】如图，在ABC △中，由余弦定理得222122222122BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得BC =.由正弦定理得42sin BC r BAC ==∠，解得2r =，故1112OG AA ==，所以球的半径R ==，故球的表面积2420S R ππ==.【答案】20π题组四11.（★★★）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A. B. C. D.【解析】如图，先计算ABC △外接圆的半径r ，设ABC △边长为a .则2122a ⋅⋅=，解得6a =，所以62sin 60r =︒，解得r =，所以2OG ==，当D 点位于GO 延长线上时，三棱锥D ABC -的高最大，底面积不变，此时体积最大，最大值为()1243V =⨯+=【答案】B【提炼】本题三棱锥D ABC -的体积最大时，D ABC -是正三棱锥，正三棱锥外接球的计算问题，解题的关键是构建AOG △，在这个三角形中，满足222OA AG OG =+，即222R r d =+，其实这就是前一小节的平面截球模型，只要是正棱锥，都可以采用这个办法处理.12.（★★★）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A.814πB.16πC.9πD.274π【解析】如图，由题意，得14PO =，1AO =设外接球的半径为R ，则OA OP R ==，故14OO R =-.在1OO A △中，22211AO OO AO +=，即()2224R R +-=，解得94R =，故该球的表面积28144S R ππ==.【答案】A【提炼】正四棱锥外接球的有关计算，关键是构建1AOO ，在这个三角形中，利用22211OA AO OO =+建立等量关系，其实就是平面截球模型的处理方法.13.（★★★）正四棱锥S ABCD -点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_____.【解析】解法1：如图1，设正方形ABCD 的中心为1O ，由题意，11AO =，11SO =.设正四棱锥外接球球心为O ，半径为R ，则OA R =，11OO R =-，在1AOO 中，22211OO AO AO +=，故()2211R R -+=，解得1R =，即外接球体积为34433V R ππ==.解法2：设正方形ABCD 的中心为1O ，由题意，11AO =，11SO ==，因为11SO AO =，所以1O 即为球心，球的半径为1，体积34433V R ππ==，本题实际的图形是图2.【答案】43π14.（2021·全国甲卷·理·11·★★★）已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC BC ⊥，1AC BC ==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A.212B.312C.24D.34【解析】如图，由题意，2AB =，设D 为ABC △的外心，则1222AD AB ==，2222OD OA AD =-=，所以1112211332212O ABC ABC V S OD -=⋅=⨯⨯⨯⨯ .【答案】A题组五15.（★★）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.πB.34πC.2π D.4π【解析】如图，由题意得1OA =，112OO =，故132O A =，圆柱体积233124V ππ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】B【提炼】圆柱外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中r 为底面圆半径，h 为圆柱的高.16.（★★★★）如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______.【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则2224h r R rh +=≥，当且仅当2h r =时等号成立，故圆柱的侧面积2S rh π=的最大值为22R π，此时球的表面积与圆柱的侧面积之差为222422R R R πππ-=.【答案】22R π题组六17.（★★）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A. B.1:3C.1:D.1:9【解析】设正方体的棱长为a ，则其内切球、外接球的半径分别为12aR =，2R =，故正方体的内切球与其外接球的体积之比3113224343R V V R ππ==.【答案】C【提炼】设正方体的棱长为a ，则其内切球的半径2a R =.18.（★★）如图，圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是______.【解析】如图，设球的半径为R ，则213223423V R R V R ππ⋅==.【答案】3219.（2020·新课标Ⅲ卷·理·15·★★★）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_______.【解析】如图，该圆锥内半径最大的球即圆锥的内切球，设其半径为R ，则OB OG R ==，1AB AG ==.由题意得PG =OP R =-，2PB PA AB =-=.在POB 中，222OB PB OP =+，故()224R R +=，解得22R =，即球的体积3433V R π==.【答案】2320.（★★★★）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（）A.4π B.92π C.6π D.323π【解析】要解决这道题，得先搞清楚一件事，那就是最大的球到底是和棱柱的侧面相切，还是与底面相切？如图，可求得底面直角三角形的斜边10AC =，将底面Rt ABC △单独拿出来分析其内切圆半径r ，图中BP NQ r ==，故8PC r =-，即8CM PC r ==-，PN BQ r ==，故6AQ r =-，即6AM AQ r ==-，所以8614210AC CM AM r r r =+=-+-=-=，解得2r =，由123r AA >=知最大球的半径为32，体积3439322V ππ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭.【答案】B题组七21.（★★★）已知A，B是球O的球面上两点，90AOB∠=︒，C为该球面上的动点.若三棱锥O ABC-体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A.36πB.64πC.144πD.256π【解析】设球O的半径为R，当点C位于如图所示位置（OC⊥平面AOB）时，三棱锥O ABC-的体积最大，最大值为321136326RR R⨯⨯==，即6R=，故球O的表面积24144S Rππ==.【答案】C22.（★★★）已知三棱锥S ABC-的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA AC=，SB BC=，三棱锥S ABC-的体积为9，则球O的表面积为________.【解析】如图，由题意知，SAC△，SBC△都是以SC为斜边的等腰直角三角形，设球O的半径为R，故31129323S ABCRV R R R-=⋅⋅⋅⋅==，即3R=，故球O的表面积2436S Rππ==.【答案】36π第8讲经典模型之对棱相等知识与方法四面体ABCD 中，AB CD m ==，AC BD n ==，AD BC t ==，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类四面体的外接球问题.如图，设长方体的长宽高分别为a 、b 、c ，则222222222a b t b c n a c m ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得2222222m n t a b c ++++=，而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224a b c R ++=，所以R =.典型例题【例题】四面体ABCD中，AB CD ==AC BD ==，5AD BC ==，则该四面体外接球的体积为_______.【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型3464233R V R π⇒===.【答案】3变式1三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥外接球表面积为（）C.432π D.43π【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型24432R S R ππ⇒====.【答案】D 变式2A 、B 、C 、D四点在半径为2的球面上，且5AC BD ==，AD BC ==，AB CD =，则四面体ABCD 的体积为______.【解析】由题意，四面体ABCD 是对棱相等模型，设AB CD x ==，则R x ==ABCD补全为如图所示的长方体，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则222222413425a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：453a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以四面体ABCD 的体积1134543452032V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.【答案】20强化训练1.（★★★）四面体ABCD中，AB CD ==AC BD ==，AD BC ==，则四面体ABCD 外接球的表面积为（）A.25πB.45πC.50πD.100π【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，2524502R S R ππ====.【答案】C2.（★★★）半径为1的球面上有不共面的A 、B 、C 、D 四点，且AB CD x ==，BC AD y ==，AC BD z ==，则222x y z ++=（）A.16B.8C.4D.2【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，22218R x y z =⇒++=【答案】B3.（★★★）四面体ABCD 中，5AB CD ==，AC BD ==，AD BC ==接球的半径为（）A.2B. C.132 D.13【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，132R =【答案】C4.（★★★）在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD AD BC ====接球的表面积为_______.【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，2144R S R ππ==⇒==【答案】4π5.（★★★★）在三棱锥P ABC -中，2PA BC ==，PB AC =，PC AB =，且4PB PC ⋅=，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积的最小值为________.【解析】设PB AC x ==，PC AB y ==，则4xy =，所以三棱锥P ABC -的外接球半径62R =≥，当且仅当2x y ==时取等号，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积的最小值为246ππ⨯=⎝⎭.【答案】6π6.（★★★★）四面体ABCD 的顶点都在球O 的表面上，4AB BC CD DA ====，AC BD ==，E 为AC 中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最大值与最小值之比为（）A.5:42D.5:2【解析】四面体ABCD是对棱相等模型，所以R =，将四面体ABCD 放入长方体如图，截面面积的最大值为215S R ππ==，当截面面积最小时，截面与OE 垂直，其中O 为球心，设FA a =，FB b =，FC c =，则222222216182216a a b a c b OE b r c b c =⎧⎧+=⎪⎪+=⇒=⇒=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎩，即截面面积的最小值为222S r ππ==，故12:5:2S S =.【答案】D。
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简单几何体的外接球与内切球问题
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
一、 直棱柱的外接球 1、
长方体的外接球：
长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对
角线长l 即2
2
22c b a R ++=
2、 正方体的外接球：
正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为a 3，其外接球的直径R 2为a 3。
3、
其它直棱柱的外接球：
方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。
例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98
，底面周长为３，则这个球的体积为 .
例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π 二、 棱锥的外接球 1、
正棱锥的外接球
方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。
例3、正四棱锥
S ABCD -，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积
为 .
例5、若正四面体的棱长为4，则正四面体的外接球的表面积为___________。
例6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（ ） （A ）4
33 (B)
3
3
(C)
4
3 (D)
12
3
2、
补体方法的应用
（1）、正四面体（2）、三条侧棱两两垂直的三棱锥 （3）、四个面均为直角三角形的三棱锥
例7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为62cm 、42cm 和32cm ，那么它的外接球的体积是 。
例9、在三棱锥BCD A -中，BC CD BCD AB ⊥⊥,平面,543===CD BC AB ，， 则三棱锥BCD A -外接球的表面积__________。
例10、如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )
A. 4π
B. 8π
C. 12π
D. 16π
三、圆柱、圆锥的外接球
旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。
例11、圆柱的底面半径为4，母线为8，求该圆柱的外接球的半径。
例12、圆锥的底面半径为2，母线长为4，求该圆锥的外接球的半径。
四、正方体的内切球
设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径。
（1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2
a R
=；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，作截面图，圆
O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2
2
=。
五、 棱锥的内切球（分割法）
将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R 的方程。
若棱锥的体积为V ，表面积为S ，则内切球的半径为S
V R 3=. 例17、正四棱锥S ABCD -，底面边长为2，侧棱长为3，则内切球的半径是多少？
图1
图2
例18、三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形， PA ⊥底面ABC ，且2PA =，则此三棱锥内切球的半径为（ ）
六、 圆柱（轴截面为正方形）、圆锥的内切球（截面法）
例19、圆锥的高为4，底面半径为2，求该圆锥内切球与外接球的半径比。
例20、圆柱的底面直径和高都是6，求该圆柱内切球的半径。
巩固训练：
1、一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两
个底面和三个侧面都相切)和一个外接球
(球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 。
2、如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是
________．
3、棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 .
F
4、已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,
ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 （ ）
A ．
6
B ．
6
C ．
3
D ．
2
5、已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是边长为
.若,则△OAB 的
面积为______________.。