【配套K12】高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第4节双曲线及其性质模拟创新题理
数学(理)一轮复习：第九章 解析几何 双曲线
1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于｜F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝｛M｜｜｜MF1|－｜MF2｜|＝2a｝，|F1F2｜＝2c，其中a，c 为常数且a〉0，c〉0。
(1）当2a<｜F1F2｜时，P点的轨迹是双曲线;(2）当2a＝|F1F2｜时，P点的轨迹是两条射线；(3）当2a〉|F1F2｜时,P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0)y2a2－错误!＝1(a〉0，b〉0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心:原点顶点A1（－a,0)，A2(a，0）A1（0，－a)，A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈(1,＋∞）,其中c＝错误!实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b〉0）系【知识拓展】巧设双曲线方程（1)与双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)有共同渐近线的方程可表示为错误!－错误!＝t（t≠0)．（2)过已知两个点的双曲线方程可设为错误!＋错误!＝1(mn〈0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）(1）平面内到点F1（0，4)，F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ×）(2）方程错误!－错误!＝1（mn〉0）表示焦点在x轴上的双曲线．（×）(3)双曲线方程错误!－错误!＝λ(m〉0，n>0,λ≠0)的渐近线方程是错误!－错误!＝0,即错误!±错误!＝0.( √）(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.（√）（5)若双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b>0）与错误!－错误!＝1（a〉0,b>0)的离心率分别是e1，e2,则错误!＋错误!＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线）．（√）1．(教材改编)若双曲线错误!－错误!＝1 (a〉0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A。
高三数学一轮复习 第九篇 平面解析几何 第4节 双曲线课件 理
【重要结论】
1.双曲线 x2 - y 2 =1(a>0,b>0)中,过焦点垂直于实轴所在直线的弦长为 2b2 .
a2 b2
a
2.双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长.
3.已知双曲线 x2 - y 2 =λ(a>0,b>0,λ≠0)求其渐近线的方程只需把λ改写 a2 b2
为 0 整理即可.
夯基自测
所以点 P 的坐标是(8,±3 3 ).
答案:(8,±3 3 )
5.(2016 河北质量监测)若双曲线 x2 - y 2 =1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐 a2 b2
近线的距离等于焦距的 1 ,则该双曲线的离心率是
.
4 解:设双曲线的一个焦点为(c,0),一条渐近线为
y=
b
x,
a
| bc | 则a =
bc
= bc =b= 1 ×2c.即 c=2b.
1
b2 a2
a2 b2 c
4
所以 c=2 c2 a2 ,即有 3c2=4a2.所以 e= c = 2 3 . a3
答案: 2 3 3
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 双曲线的定义及其应用
【例 1】 (1)(2015 高考福建卷)若双曲线 E: x2 - y 2 =1 的左、右焦点分别为 9 16
(A)x2- y 2 =1 4
(B) x2 -y2=1 4
(C)x2- y 2 =1 2
(D) x2 -y2=1 2
解析:对于 A,令 x2- y 2 =0,得 y=±2x; 4
对于 B,令 x2 -y2=0,得 y=± 1 x;
4
2
对于 C,令 x2- y 2 =0,得 y=± 2 x; 2
新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何双曲线教案理解析版
基础知识整合１．双曲线的概念平面内与两个定点F１，F２（|F１F２|＝２c>0）的距离的差的绝对值为常数（小于|F１F２|且不等于零）的点的轨迹叫做错误!双曲线．这两个定点叫做双曲线的错误!焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的错误!焦距．集合P＝{M|||MF１|—|MF２||＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a，c为常数且a>0，c>0：（１）当错误!a<c时，M点的轨迹是双曲线；（２）当错误!a＝c时，M点的轨迹是两条错误!射线；（３）当错误!a>c时，M点不存在．２．双曲线的标准方程和几何性质续表a，b，c的关系,错误!c２＝a２＋b２（c>a>0，c>b>0）双曲线中的几个常用结论（１）焦点到渐近线的距离为Ｂ．（２）实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．（３）双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝错误!⇔双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）．（４）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为错误!.（５）双曲线的离心率公式可表示为e＝错误!.１．（２0１8·浙江高考）双曲线错误!—y２＝１的焦点坐标是（）Ａ．（—错误!，0），（错误!，0）Ｂ．（—２,0），（２,0）Ｃ．（0，—错误!），（0，错误!）Ｄ．（0，—２），（0,２）答案B解析因为双曲线方程为错误!—y２＝１，所以焦点坐标可设为（±c,0），因为c２＝a２＋b２＝３＋１＝４，c＝２，所以焦点坐标为（±２,0），选Ｂ．２．（２0１9·宁夏模拟）设P是双曲线错误!—错误!＝１上一点，F１，F２分别是双曲线的左、右焦点，若|PF１|＝9，则|PF２|等于（）Ａ．１Ｂ．１7Ｃ．１或１7 Ｄ．以上均不对答案B解析根据双曲线的定义得||PF１|—|PF２||＝8⇒|PF２|＝１或１7．又|PF２|≥c—a＝２，故|PF２|＝１7，故选Ｂ．３．（２0１9·湖北模拟）若双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线经过点（３，—４），则此双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，点（３，—４）在渐近线上，∴错误!＝错误!，又a２＋b２＝c２，∴c２＝a２＋错误!a２＝错误!a２，∴e＝错误!＝错误!.故选Ｄ．４．已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的焦距为１0，点P（２,１）在C的渐近线上，则C 的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案A解析∵点P（２,１）在曲线C的渐近线y＝错误!x上，∴１＝错误!，∴a＝２Ｂ．又∵错误!＝错误!＝５，即４b２＋b２＝２５，∴b２＝５，a２＝２0，故选Ａ．５．（２0１8·北京高考）若双曲线错误!—错误!＝１（a>0）的离心率为错误!，则a＝________.答案４解析在双曲线中，c＝错误!＝错误!，且e＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，错误!＝错误!，a２＝１6，∵a>0，∴a＝４．6．已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线为２x＋y＝0，一个焦点为（错误!，0），则a＝________；b＝________.答案１２解析由题可知双曲线焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±错误!x，又一条渐近线为２x＋y＝0，即y＝—２x，∴错误!＝２，即b＝２a.又∵该双曲线的一个焦点为（错误!，0），∴c＝错误!.由a２＋b２＝c２可得a２＋（２a）２＝５，解得a＝１，b＝２．核心考向突破考向一双曲线的定义例１（１）（２0１9·山西模拟）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0）的一条渐近线方程为２x＋３y＝0，F１，F２分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF１|＝２，则|PF２|＝（）Ａ．４Ｂ．6Ｃ．8 Ｄ．１0答案C解析由题意得错误!＝错误!，解得a＝３．因为|PF１|＝２，所以点P在双曲线的左支上．所以|PF２|—|PF １|＝２a，解得|PF２|＝8．故选Ｃ．（２）（２0１9·河南濮阳模拟）已知双曲线x２—y２＝４，F１是左焦点，P１，P２是右支上的两个动点，则|F１P１|＋|F１P２|—|P１P２|的最小值是（）Ａ．４Ｂ．6Ｃ．8 Ｄ．１6答案C解析设双曲线的右焦点为F２，∵|F１P１|＝２a＋|F２P１|，|F１P２|＝２a＋|F２P２|，∴|F１P１|＋|F １P２|—|P１P２|＝２a＋|F２P１|＋２a＋|F２P２|—|P１P２|＝8＋（|F２P１|＋|F２P２|—|P１P２|）≥8（当且仅当P１，P２，F２三点共线时，取等号），∴|F１P１|＋|F１P２|—|P１P２|的最小值是8．故选Ｃ．触类旁通双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF１|—|PF２||＝２a，运用平方的方法，建立与|PF１|·|PF２|的联系.即时训练１．虚轴长为２，离心率e＝３的双曲线的两焦点为F１，F２，过F１作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF２的周长为（）Ａ．３Ｂ．１6＋错误!Ｃ．１２＋错误!Ｄ．２４答案B解析由于２b＝２，e＝错误!＝３，∴b＝１，c＝３a，∴9a２＝a２＋１，∴a＝错误!.由双曲线的定义知，|AF２|—|AF１|＝２a＝错误!，１|BF２|—|BF１|＝错误!，２１＋２得|AF２|＋|BF２|—（|AF１|＋|BF１|）＝错误!，又|AF１|＋|BF１|＝|AB|＝8，∴|AF２|＋|BF２|＝8＋错误!，则△ABF２的周长为１6＋错误!，故选Ｂ．２．已知F是双曲线错误!—错误!＝１的左焦点，A（１,４），P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．答案9解析设双曲线的右焦点为F１，则由双曲线的定义，可知|PF|＝４＋|PF１|，所以当|PF１|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F１共线时，满足|PF１|＋|PA|最小，|AF１|即|PF １|＋|PA|的最小值．又|AF１|＝５，故所求的最小值为9．考向二双曲线的标准方程例２（１）（２0１7·全国卷Ⅲ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝错误!x，且与椭圆错误!＋错误!＝１有公共焦点，则C的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案B解析由y＝错误!x可得错误!＝错误!.１由椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（３,0），（—３,0），可得a２＋b２＝9．２由１２可得a２＝４，b２＝５．所以C的方程为错误!—错误!＝１．故选Ｂ．（２）已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为错误!.若经过F和P（0,４）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案B解析由题意可得错误!＝错误!，即c＝错误!Ａ．又左焦点F（—c,0），P（0,４），则直线PF的方程为错误!＝错误!，化简即得y＝错误!x＋４．结合已知条件和图象易知直线PF与y＝错误!x平行，则错误!＝错误!，即４a＝bＣ．故错误!解得错误!故双曲线方程为错误!—错误!＝１．故选Ｂ．触类旁通即时训练３．（２0１9·西安模拟）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线平行于直线l：y＝２x＋１0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案A解析依题意，双曲线的渐近线为y＝２x，故错误!＝２１；在直线y＝２x＋１0中，令y＝0，故x＝—５，所以a２＋b２＝２５２.联立１２，解得a２＝５，b２＝２0．４．（２0１8·天津高考）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为２，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d１和d２，且d１＋d２＝6，则双曲线的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１答案C解析设双曲线的右焦点坐标为F（c,0）（c>0），则xA＝xB＝c，由错误!—错误!＝１可得，y＝±错误!，不妨设A错误!，B错误!，双曲线的一条渐近线方程为bx—ay＝0，据此可得，d１＝错误!＝错误!，d２＝错误!＝错误!，则d１＋d２＝错误!＝２b＝6，则b＝３，b２＝9，双曲线的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝２，据此可得，a２＝３，则双曲线的方程为错误!—错误!＝１．考向三双曲线的几何性质角度错误!双曲线离心率问题例３（１）（２0１8·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点F（c,0）到一条渐近线的距离为错误!c，则其离心率的值是___．答案２解析因为双曲线的焦点F（c,0）到渐近线y＝±错误!x，即bx±ay＝0的距离为错误!＝错误!＝b，所以b＝错误!c，因此a２＝c２—b２＝c２—错误!c２＝错误!c２，a＝错误!c，e＝２．（２）（２0１6·山东高考）已知双曲线E：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且２|AB|＝３|BC|，则E的离心率是________．答案２解析由已知得|AB|＝|CD|＝错误!，|BC|＝|AD|＝|F１F２|＝２c.因为２|AB|＝３|BC|，所以错误!＝6c，又b２＝c２—a２，所以２e２—３e—２＝0，解得e＝２，或e＝—错误!（舍去）．触类旁通求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b２＝c２—a２和e＝错误!转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.即时训练５．双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点分别是F１，F２，过F１作倾斜角为３0°的直线交双曲线右支于M点，若MF２⊥x轴，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析如图所示，在Rt△MF１F２中，∠MF１F２＝３0°，F１F２＝２c，∴MF１＝错误!＝错误!c，MF２＝２c·tan３0°＝错误!c，∴２a＝MF１—MF２＝错误!c—错误!c＝错误!c⇒e＝错误!＝错误!.6．已知点F１，F２分别是双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点，过点F１且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF２是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（错误!，２错误!）Ｃ．（１＋错误!，＋∞）Ｄ．（１,１＋错误!）答案D解析依题意，0<∠AF２F１<错误!，故0<tan∠AF２F１<１，则错误!＝错误!<１，即e—错误!<２，e ２—２e—１<0，（e—１）２<２，所以１<e<１＋错误!，故选Ｄ．角度错误!双曲线的渐近线问题例４（１）（２0１8·全国卷Ⅱ）双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则其渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!x Ｂ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!x Ｄ．y＝±错误!x答案A解析∵e＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!＝e２—１＝３—１＝２，∴错误!＝错误!.因为该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，故选Ａ．（２）（２0１9·深圳调研）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x—２y＝0，则它的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２答案A解析依题意设双曲线的方程是错误!—错误!＝１（其中a>0，b>0），则其渐近线方程是y＝±错误!x，由题知错误!＝错误!，即b＝２a，因此其离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.触类旁通即时训练7．（２0１8·全国卷Ⅲ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则点（４,0）到C的渐近线的距离为（）Ａ．错误!Ｂ．２Ｃ．错误!Ｄ．２错误!答案D解析因为e＝错误!＝错误!＝错误!，所以错误!＝１，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以点（４,0）到渐近线的距离d＝错误!＝２错误!.故选Ｄ．8．（２0１9·河北武邑中学模拟）过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点与x轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为错误!，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析设A（x0，y0），由题意，得x0＝c，代入渐近线方程y＝错误!x中，得y0＝错误!，即A错误!，同理可得B错误!，则错误!×错误!×c＝错误!.整理，得错误!＝错误!，即双曲线的离心率为错误!.故选Ｄ．考向四直线与双曲线的位置关系例５已知双曲线Γ：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）经过点P（２,１），且其中一焦点F到一条渐近线的距离为１．（１）求双曲线Γ的方程；（２）过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值．解（１）∵双曲线错误!—错误!＝１过点（２,１），∴错误!—错误!＝１．不妨设F为右焦点，则F（c,0）到渐近线bx—ay＝0的距离d＝错误!＝b，∴b＝１，a２＝２，∴所求双曲线的方程为错误!—y２＝１．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），直线AB的方程为y＝kx＋m.将y＝kx＋m代入x２—２y２＝２中，整理得（２k２—１）x２＋４kmx＋２m２＋２＝0．∴x１＋x２＝错误!，１x１x２＝错误!.２∵错误!·错误!＝0，∴（x１—２，y１—１）·（x２—２，y２—１）＝0，∴（x１—２）（x２—２）＋（kx１＋m—１）（kx２＋m—１）＝0，∴（k２＋１）x１x２＋（km—k—２）（x１＋x２）＋m２—２m＋５＝0．３将１２代入３，得m２＋8km＋１２k２＋２m—３＝0，∴（m＋２k—１）（m＋6k＋３）＝0．而P∉AB，∴m＝—6k—３，从而直线AB的方程为y＝kx—6k—３．将y＝kx—6k—３代入x２—２y２—２＝0中，判别式Δ＝8（３４k２＋３6k＋１0）>0恒成立，∴y＝kx—6k—３即为所求直线．∴P到AB的距离d＝错误!＝错误!.∵错误!２＝错误!＝１＋错误!≤２．∴d≤４错误!，即点P到直线AB距离的最大值为４错误!.求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是：１设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题.错误!即时训练9．设双曲线C：错误!—y２＝１（a>0）与直线l：x＋y＝１相交于两个不同点A，Ｂ．（１）求双曲线C的离心率e的取值范围；（２）设直线l与y轴的交点为P，取错误!＝错误!错误!，求a的值．解（１）将y＝—x＋１代入双曲线错误!—y２＝１（a>0）中，得（１—a２）x２＋２a２x—２a２＝0．所以错误!解得0<a<错误!且a≠１．又双曲线的离心率e＝错误!＝错误!，所以e>错误!且e≠错误!，即e∈错误!∪（错误!，＋∞）．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），P（0,１），因为错误!＝错误!错误!，所以（x１，y１—１）＝错误!（x２，y２—１），由此得x１＝错误!x２．由于x１，x２是方程（１—a２）x２＋２a２x—２a２＝0的两根，且１—a２≠0，所以x１＋x２＝错误! x２＝—错误!，x１x２＝错误!x错误!＝—错误!，消去x２得—错误!＝错误!，由a>0，解得a＝错误!.。
高考理科数学第一轮复习 第九章 平面解析几何(讲义)9.7 双 曲 线
9．7双曲线1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．※(2)另一种定义方式(见人教A版教材选修2－1 P59例5)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线．定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l 叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的________．(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做____________．“离心率e＝2”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相______．一般可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．2．双曲线的标准方程及几何性质自查自纠：1．(1)绝对值＜焦点焦距(2)离心率(3)等轴双曲线充要垂直2．(2)x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)(5)A1(0，－a)，A2(0，a) (7)F1(－c，0)，F2(c，0)(9)e＝ca(e＞1) (10)y＝±ba x与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是() A．x24－y2＝1 B．x22－y2＝1C．x23－y23＝1 D．x2－y22＝1解：椭圆x24＋y2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点P(2，1)，所以4a2－1b2＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是x22－y2＝1．故选B．若双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为() A． 5 B．5 C． 2 D．2解：由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，所以5a2＝c2．所以e2＝c2a2＝5，所以e＝5．故选A．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x2m2＋n－y23m2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是() A．(－1，3)B．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)解：因为方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，所以(m 2＋n )·(3m 2－n )＞0，解得－m 2＜n ＜3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，所以焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，所以－1＜n ＜3．故选A ．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是____________．解：易知a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝a 2＋b 2＝7＋3＝10，即c ＝10，则焦距2c ＝210．故填210．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是__________．解：因为双曲线的焦点F (c ，0)到渐近线y ＝±ba x 即bx ±ay ＝0的距离为|bc ±0|a 2＋b 2＝bc c ＝b ，所以 b ＝32c ， 因此a 2＝c 2－b 2＝c 2－34c 2＝14c 2，a ＝12c ，e ＝2．故填2．类型一 双曲线的定义及标准方程(1)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为 ( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 27－y 29＝1C ．x 28－y 28＝1D ．x 212－y 24＝1解：因为渐近线y ＝b a x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且（4－a ）2＋b 2＝4，解得a ＝2，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1．故选A ．(2)已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3，0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为____________．解：设动圆M 的半径为r ，则|MC |＝2＋r ，|MA |＝r ，所以|MC |－|MA |＝2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，所以动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．故填x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (3)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．解：如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和点B ．根据两圆外切的条件，有|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6．又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8．故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．故填x 2－y 28＝1(x ≤－1)．点 拨：①求双曲线的标准方程一般用待定系数法； ②当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0)，这样可以简化运算．(1)已知双曲线的渐近线方程为2x ± 3y＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为__________．解：由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线的方程为34y 2－13x 2＝1．故填34y 2－13x 2＝1．(2)(2016·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为 ( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝1解：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1．故选A ．(3)(2016·河南模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为 ( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上情况都有可能 解：令双曲线的右焦点为F 2，设以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的半径分别为r 1，r 2，两个圆的圆心分别为O 1，O 2．若P 在双曲线左支上，则|O 2O 1|＝12|PF 2|＝12(|PF 1|＋2a )＝12|PF 1|＋a ＝r 1＋r 2，即圆心距为半径之和，两圆外切．若P 在双曲线右支上，同理求得|O 2O 1|＝r 1－r 2，故此时，两圆内切．综上，两圆相切．故选B ．类型二 双曲线的离心率(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解：双曲线的右顶点为A (a ，0)，一条渐近线的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc ，因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin60°＝ab c ，即3b 2＝abc ，所以e＝23＝233．故填233．(2)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A ．(1，＋∞) B ．(1，2) C ．(2，1＋2) D ．(1，1＋2)解：若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF < 45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a<a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即2a 2－c 2＋ac >0，则e 2－e －2<0，解得－1<e <2，又e >1，则1<e <2，故选B ．点 拨：求双曲线离心率或其范围的常用方法：①求a及b 或c 的值，由e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2求e ．②列出含有a ，b ，c 的齐次式(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(1)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为 ( )A ．73 B ．54 C ．43 D ．53解：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，所以b 2a 2＝169．又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53．故选D ．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是 ( )A ．(2，＋∞)B ．(1，2)C ．(32，＋∞)D ．(1，32)解：设双曲线的右顶点为C ，则|CF |＝a ＋c ，把x ＝－c 代入双曲线的方程，有|AF |＝b 2a ，因为双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，所以|AF |＞|CF |，即b 2a ＞a ＋c ，即c 2－a 2a ＞a ＋c ⇒e 2－e －2＞0，解得e ＞2．故选A ．类型三 双曲线的渐近线(1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1()a >0，b >0的离心率为52，则C 的渐近线方程为 ( )A ．y ＝±14xB ． y ＝±13xC ． y ＝±12x D ． y ＝±x解：根据双曲线的性质可知e ＝c a ＝52，c 2＝ a 2＋b 2，联立可得b 2＝a 24，即b a ＝12，故C 的渐近线方程为y ＝±12x ．故选C ．(2)(2016·蚌埠二模)已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的离心率为 ( )A ． 3B ． 6C ．62或 6 D ．3或62解：由已知得：当焦点在x 轴上时，ba ＝2，即b ＝2a ，则e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝3；当焦点在y 轴上时，a b ＝2，即b ＝22a ，则e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝62．故选D ． 点 拨：本例考查双曲线中a ，b ，c 的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ∈[2，2]，则其中一条渐近线与实轴夹角的取值范围是____________．解：因为e ∈[2，2]，所以2≤c a ≤2，2≤c 2a 2≤4，2≤a 2＋b 2a 2≤4，1≤b 2a 2≤3，1≤ba ≤3，得其中一条渐近线的倾斜角的取值范围为[π4，π3]，即它与实轴夹角的取值范围是[π4，π3]．故填[π4，π3]．(2)(2016·洛阳二模)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与直线x ＝a 2c 分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB ＜ 90°，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )A ．(1，2)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(2，＋∞) 解：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ， 由⎩⎨⎧y ＝±b ax ，x ＝a2c得⎩⎨⎧x ＝a 2c，y ＝±ab c ，不妨令A (a 2c ，ab c )，B (a 2c ，－abc )．由60°＜∠AFB ＜90°，得－1＜k F A ＜－33，所以33＜abc c －a 2c＜1，即33＜abc 2－a 2＜1． 因为b 2＝c 2－a 2，所以33＜a b ＜1，即13＜a 2b 2＜1， 所以1＜c 2－a 2a 2＜3，即1＜e 2－1＜3，解得2＜e ＜2，故选B ．类型四 直线与双曲线(1)(2018·河南新乡二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A ．x 26－y 25＝1B ．x 28－y 212＝1C ．x 28－y 24＝1 D ．x 24－y26＝1解：：不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c ，0)， 可得A (2c 3，b 3)，代入双曲线C 的方程可得49× c 2a2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109，所以b 2a 2＝32，① 又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋2b 2＝16，②由①②可得a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1．故选D ．(2)已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为 ( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．4解：：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，则OA ⊥OB ，AB 的中点为(x 1＋x 22，x 1－x 22)，又因为AB 的中点在双曲线上，所以(x 1＋x 22)2－(x 1－x 22)2＝2，化简得x 1x 2＝2，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 1|·|2x 2|＝|x 1x 2|＝2．故选C ．点 拨：考纲中双曲线的要求层级为“了解”，高考中小题居多，熟练掌握双曲线的定义、几何性质是解决此类问题的关键，必要时，联立直线与双曲线的方程．(1)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝__________．解：因为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1相交，由⎩⎨⎧y ＝b 3ax ，x 2a 2－y2b 2＝1消去y 得x ＝±32a4，因为 PF1⊥x 轴，且P 在双曲线左支，所以－324a ＝－c ，所以c a ＝324． 故填324．(2)若以F 1(－3，0)，F 2(3，0)为焦点的双曲线与直线y ＝x －1有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为 ( )A ．(355，2)∪(2，＋∞)B ．[355，＋∞)C ．(355，＋∞)D ．[355，2)∪(2，＋∞)解：依题意，设双曲线方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有a 2＋b 2＝9，b 2＝9－a 2．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 2a 2－y 2b 2＝1消去y ，得x 2a 2－（x －1）2b 2＝1，即(b 2－a 2)x 2＋2a 2x － a 2(1＋b 2)＝0(*)有实数解．当b 2－a 2＝0时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心率e ＝2；当b 2－ a 2≠0时，Δ＝4a 4＋4a 2(b 2－a 2)(1＋b 2)≥0，即a 2－b 2≤1，a 2－(9－a 2)≤1，解得0＜a 2≤5，又a 2≠b 2，即a 2≠9－a 2，故a 2≠92，此时e ＝3a ≥35＝355且e ≠2．综上所述，该双曲线的离心率的取值范围为[355，＋∞)．故选B ．1．对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的异同点．2．在双曲线的定义中，当||MF 1＞||MF 2时，动点M 的轨迹是双曲线的一支，当||MF 1＜||MF 2时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”．3．定义中|F 1F 2|＞2a 这个条件不可忽视，若|F 1F 2|＝2a ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若|F 1F 2|＜2a ，则轨迹不存在．4．在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x 2，y 2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x 2，y 2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上．5．在椭圆中，a ，b ，c 满足a 2＝b 2＋c 2，即a 最大；在双曲线中，a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b 2，即c 最大．6．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐近线：①掌握方程；②掌握其倾斜角、斜率的求法；③会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数． 7．已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程．8．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2＋By 2＝1的形式，当A ＞0，B ＞0，A ≠B 时为椭圆，当A ·B ＜0时为双曲线． 9．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．10．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为x 2a 2－y2b2＝λ(λ≠0)．1．(2017·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A ．y ＝±12x B ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2x解：因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ．故选B ．2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点．则C 的方程为 ( ) A ．x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解：因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝52x ，则b a ＝52．① 又因为椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9．②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B ． 3．(2018·南昌模拟)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则双曲线C的离心率为 ( )A ．2或 3B ．233C ．2或233D ．2解：由题意b a ＝33，所以b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝13，即 e＝233．故选B ． 4．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝ ( ) A ．14 B ．35 C ．34 D ．45 解：由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2．由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，所以|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝34．故选C ．5．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，52]B ．(1，72] C ．[52，＋∞) D ．[72，＋∞) 解：由已知条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，所以2ab ≥a 2，所以2b ≥a ，则c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，所以e ＝c a ≥52．故选C ．6．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为 ( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5 解：因为FB →＝2F A →，所以A 是FB 的中点．设F (c ，0)，过焦点F 与渐近线y ＝ba x 垂直的直线为y ＝－a b (x －c )，故点A 的横坐标为a 2c ，直线y ＝－a b (x －c )与y ＝－b a x 的交点B 的横坐标为a 2c2a 2－c 2．由中点坐标公式有a 2c 2a 2－c 2＋c ＝2a 2c ，即e 4－5e 2＋4＝0，解得e ＝2．故选C ．7．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于____________．解：由题意得b ＝3，结合ca ＝2，c 2＝a 2＋b 2得c ＝2，则双曲线C 的焦距为2c ＝4．故填4．8．(2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是____________．解：如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设点P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋2）2＜m 2＋42，42＜（m ＋2）2＋m 2， 解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2，所以27＜2m ＋2＜8．故填(27，8)．9．(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0．解：(1)因为e ＝2，依题意，设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6．所以双曲线的方程为x 2－y 2＝6．(2)证明：由(1)可知，a ＝b ＝6，所以c ＝23， 所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3， －m )，所MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝ －3＋m 2，因为点M (3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2－3＝0，所以MF 1→·MF 2→＝0．(或利用kMF 1·kMF 2＝ －1证明)10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A ，B 两点，F 1为左焦点．(1)求双曲线的方程；(2)若△F 1AB 的面积等于62，求直线l 的方程． 解：(1)依题意b ＝3，ca ＝2⇒a ＝1，c ＝2，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知F 2(2，0)． 易验证当直线l 斜率不存在时不满足题意，故可设直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 2－y 23＝1，消元得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0，k ≠±3， 则x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，△F 1AB 的面积S ＝12×2c |y 1－y 2|＝2|k |·|x 1－x 2|＝2|k |·16k 4－4（k 2－3）（4k 2＋3）|k 2－3|＝12|k |·k 2＋1|k 2－3|＝62．得k 4＋8k 2－9＝0，则k ＝±1．所以直线l 的方程为y ＝x －2或y ＝－x ＋2．11．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255． (1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积．解：(1)依题意得⎩⎨⎧ab ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1．(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m ＞0，n ＞0， 由AP →＝PB →得点P 的坐标为(m －n 2，m ＋n )．将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1．设∠AOB ＝2θ， 因为tan(π2－θ)＝2，则tan θ＝12，从而sin2θ＝45．又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ，所以S △AOB ＝12|OA ||OB |sin2θ＝2mn ＝2．(2018·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为 ( )A ．x 23－y 29＝1B ．x 29－y 23＝1C ．x 24－y 212＝1D ．x 212－y 24＝1解：设双曲线的右焦点坐标为F (c ，0)，则x A＝x B ＝c ，由c 2a 2－y 2b 2＝1可得y ＝±b 2a ，不妨设A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )，双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则d 1＝|bc －b 2|a 2＋b 2＝bc －b 2c ，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b 2＝bc ＋b 2c ，则d 1＋d 2＝2bcc ＝2b ＝6，则b ＝3，b 2＝9，又双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2＝1＋9a2＝2，则a 2＝3，则双曲线的方程为x 23－y 29＝1．故选A ．。
高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(K12教育文档)
高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)高中数学讲义之解析几何圆锥曲线第 2 讲双曲线【知识要点】一、双曲线的定义1.双曲线的第一定义:平面内到两个定点F1 、F 的距离之差的绝对值等于定长2a（2叫双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.注1:在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作2a），不但要小于这两个定点之间的距离F1F2（记作2c），而且还要大于零，否则点的是一个双曲线。
具体情形如下：（ⅰ）当2a 0时，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；(ⅱ）当2a 2c 时，点的轨迹是两条射线;（ⅲ)当2a 2c 时，点的轨迹不存在;高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)（ⅳ）当0 2a 2c时，点的轨迹是双曲线.特别地，若去掉定义中的“绝对值”，则点的轨迹仅表示双曲线的一支.MF MF 2a1 2注2：若用M 表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为F1F2 2c），即M F1 MF F F2 12。
2.双曲线的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （e 1)的点的轨迹叫做双曲线.二、双曲线的标准方程1.双曲线的标准方程22xy122（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是0 ，b 0）;ab1高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改) 高中数学讲义之解析几何（2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是2y2a2x2b1（a0 ）注：若题目已给出双曲线的标准方程, 那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴, 主要看实半轴跟谁走. 若实半轴跟x 走，则双曲线的焦点在x 轴；若实半轴跟y 走，则双曲线的焦点在y 轴。
数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线学案理
9。
6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的轨迹叫作双曲线。
这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=｛M|||MF1｜-｜MF2||=2a},|F1F2｜=2c，其中a〉0,c>0,且a,c为常数.（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线;（3）若a c，则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1（a>0,b〉0);(2）中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1(a>0，b>0）。
3。
双曲线的性质标准方程x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0)y2a2−x2b2=1(a〉0,b〉0）图形续表标准方程x2a2−y2b2=1（a>0，b〉0)y2a2−x2b2=1（a>0，b〉0)性质范围x≥a或x≤-a，y∈Ry≤—a或y≥a,x∈R 对称性对称轴：,对称中心:顶点A1，A2A1,A2渐近线y=±xxx y=±xxx离心率e=xx,e∈(1，+∞）a,b，c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2｜=；a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0）上一点M(x0，y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P（x0，y0）为双曲线上任意一点,且不与点F1，F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2xxxθ2。
3。
若点P（x0,y0）在双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0,b〉0)内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。
新课改地区高考数学一轮复习第九章平面解析几何96双曲线课件新人教B版
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(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与双曲 线C相交； Δ=0⇔直线与双曲线C相切；Δ<0⇔直线与双曲线C相离. (2)当a=0，b≠0时，即得到的是一次方程，则直线l与双曲线C相交，且只有一个 交点，此时，直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行.
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结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
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【知识点辨析】 (正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.
()
(2)双曲线 x 2 － y 2
m2 n2
=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是 x 2 － y 2
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2.双曲线的标准方程与几何性质
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高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线文
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9.6 双曲线文1.双曲线定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<F1F2时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>F1F2时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a －y 2b ＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a －y 2b ＝t (t ≠0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1 (mn <0).【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )1.(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为____________________________________________________________. 答案5解析 由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.2.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2解析 与双曲线x 24－y 216＝1有相同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－y 216λ＝1.由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14，则a 2＝1，b 2＝4.又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.3.双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为____________.答案 y ＝±2x解析 方程化为：x 2－y 2－1m＝1，依题意得：－1m ＝2，∴m ＝－14. 双曲线方程为x 2－y 24＝1， 其渐近线为x 2－y 24＝0，即y ＝±2x .4.已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为________. 答案3解析 双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±mmx ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋3m ＋1＝3.5.(教材改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 答案x 28－y 28＝1 解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (3，－1)代入，得a 2＝8，故所求方程为x 28－y 28＝1.题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 双曲线定义的应用例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________. 答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得MC 1－AC 1＝MA ，MC 2－BC 2＝MB ，因为MA ＝MB ，所以MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2， 即MC 2－MC 1＝BC 2－AC 1＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于C 1C 2＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7). 解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0). 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0).∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 思维升华 求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a 、b 、c 的方程并求出a 、b 、c 的值.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值.(1)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__________________.(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________. 答案 (1)x 24－y 2＝1 (2)x 216－y 29＝1解析 (1)由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则|PF 1－PF 2|＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1. 题型二 双曲线的几何性质例3 (1)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2FA →，则此双曲线的离心率为________.(2)(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________. 答案 (1)2 (2)2＋ 3 解析 (1)如图，∵FB →＝2FA →，∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴b a＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(b a)2＝4，∴e ＝2. (2)把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2b2 ＝1得y ＝±3b .不妨取P (2a ，－3b ).又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c,0)， ∴kF 2P ＝3b c －2a .由题意，得3b c －2a ＝b a. ∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝ca＝2＋ 3.思维升华 (1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝c a转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.(1)(2015·重庆改编)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________.(2)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是______.答案 (1)±1 (2)62解析 (1)由题意知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c,0)，左，右顶点分别为A 1(－a,0)，A 2(a,0)，易求B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， 则kA 2C ＝b 2aa －c，kA 1B ＝b 2aa ＋c，又A 1B 与A 2C 垂直，则有kA 1B ·kA 2C ＝－1，即b 2aa ＋c ·b 2aa －c＝－1，∴b 4ac 2－a2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴渐近线斜率k ＝±b a＝±1.(2)F 1F 2＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1.∵AF 2＋AF 1＝4，AF 2－AF 1＝2a ， ∴AF 2＝2＋a ，AF 1＝2－a . 在Rt△F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴AF 21＋AF 22＝F 1F 22，即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2，∴a ＝2，∴e ＝c a＝32＝62. 题型三 直线与双曲线的综合问题例4 (1)(2015·四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB ＝________. 答案 4 3解析 右焦点F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，∴y ＝±23， ∴A (2,23)，B (2，－23)，∴AB ＝4 3.(2)若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点.①求k 的取值范围；②若AB ＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值.解 ①由⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2，a 2＝c 2－1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*) ∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝k2－－k2－，即⎩⎨⎧k >1，－2<k <2，所以1<k < 2.故k 的取值范围是{k |1<k <2}. ②由(*)得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1， ∴AB ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2＋k2－k2k 2－2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1<k <2，∴k ＝52， 所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m ). ∵点C 是双曲线上一点. ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14. 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围.解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0).由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝－k 2，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2<0，x A x B ＝－91－3k 2>0，解得33<k <1.∴当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点. (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k2.∴AB 的中点P 的坐标为(32k 1－3k 2，21－3k 2).设直线l 0的方程为：y ＝－1kx ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0. ∴m <－22.∴m 的取值范围为(－∞，－22).11.忽视“判别式”致误典例 (14分)已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”.致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误. 规范解答解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意.[2分] 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .[4分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0).① [7分]∴x 0＝x 1＋x 22＝k－k2－k2. 由题意，得k－k2－k2＝1，解得k ＝2.[10分] 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解.[13分]∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点.[14分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的.(2)本题属探索性问题.若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程.(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验.[方法与技巧]双曲线标准方程的求法：(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n＝1 (mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1 (AB <0)，这种形式在解题时更简便； (2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ (λ≠0)，据其他条件确定λ的值. [失误与防范]1.区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1).3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.5.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1.(2015·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为______________.答案x 216－y 29＝1解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.2.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________. 答案3解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的一个焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故AB ＝2b 2a ，依题意2b2a＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 3.(2014·江西改编)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为__________. 答案x 24－y 212＝1 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－ba x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ，∴A (a ，－b ).由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， ∴a －2＋－b 2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16.而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.4.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是____________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0). ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 5.已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1 (a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1 (a 2>0，b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2.则e 1e 2＝________. 答案 1解析 由b 21＝a 1c 1，得a 21－c 21＝a 1c 1，∴e 1＝c 1a 1＝5－12. 由b 22＝a 2c 2，得c 22－a 22＝a 2c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5＋12. ∴e 1e 2＝5－12×5＋12＝1. 6.(2015·北京)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.答案33解析 双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a >0，所以1a ＝3，所以a ＝33.7.已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m＝1的焦距等于4，则n ＝________.答案 5解析 因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n >0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去).8.若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为______________. 答案 (3＋23，＋∞)解析 由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点)， ∴OP →·FP →≥3＋2 3.9.(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足PA ＝PB ，则该双曲线的离心率是________. 答案52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm3b －a)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bma ＋3b)， 所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m9b 2－a2).设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为PA ＝PB ，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2， 所以e ＝c a ＝52. 10.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10). (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积. (1)解 ∵离心率e ＝2， ∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)， 则由点(4，－10)在双曲线上， 可得λ＝42－(－10)2＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 ∵点M (3，m )在双曲线上， ∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m ) ＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0， ∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上. (3)解 S △F 1MF 2＝12×43×|m |＝6.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是__________. 答案 (1,2)解析 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a)，E (a,0)，∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a)·(－c －a ，－b 2a)>0，整理得3e 2＋2e >e 4， ∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1，∴e ∈(1,2).12.设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使A 1B 1＝A 2B 2，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤233，2 解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称.又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2. 13.已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________. 答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且PQ ＝QA ＋PA ＝4b ＝16，由双曲线定义，得PF －PA ＝6，QF －QA ＝6. ∴PF ＋QF ＝12＋PA ＋QA ＝28， 因此△PQF 的周长为PF ＋QF ＋PQ ＝28＋16＝44.14.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________.答案 53解析 由定义，知PF 1－PF 2＝2a . 又PF 1＝4PF 2，∴PF 1＝83a ，PF 2＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.15.已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255. (1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝P B →，求△AOB 的面积.解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1. (2)由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m >0，n >0，由 AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，∵t an ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2， 则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又OA ＝5m ，OB ＝5n ，∴S △AOB ＝12OA ·OB ·sin 2θ＝2mn ＝2.。
2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》双曲线
2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》§9.6双曲线最新考纲了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质．1．双曲线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.(1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线；(3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)概念方法微思考1．平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定．当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线．2．方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0<a <b ，双曲线哪些性质受影响？提示离心率受到影响．∵e ＝c a＝a >b >0时，1<e <2，当a ＝b >0时，e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0<a <b 时，e > 2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(×)(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(√)(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．(√)题组二教材改编2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5B ．5C.2D ．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.3．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为()A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0答案A解析椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a＝32，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.4．经过点A (4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．答案x 215－y 215＝1解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝±1(a >0)，把点A (4,1)代入，得a 2＝15(舍负)，故所求方程为x 215－y 215＝1.题组三易错自纠5．(2016·全国Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是()A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案A解析∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53答案D解析由条件知y ＝－b a x 过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2，∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________________．答案x 24－y 2＝1解析由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.题型一双曲线的定义例1(1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案B解析如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|MF 2|＝2.∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.答案34解析∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.引申探究1．本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝23.2．本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴12F PF S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案(27，8)解析如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足m ＋2)2<m 2＋42，2<(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7<m <3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2，∴27<2m ＋2<8.题型二双曲线的标准方程例2(1)(2018·大连调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．答案x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：①虚轴长为12，离心率为54；②焦距为26，且经过点M (0,12)；③经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．解①设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.②∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25.∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华求双曲线标准方程的方法(1)定义法(2)待定系数法①焦点位置不确定时，设Ax 2＋By 2＝1(AB <0)；②与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；③与x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．跟踪训练2(1)(2018·天津河西区模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为8，右顶点(a ,0)到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线C 的方程为()A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1C.x 225－y 216＝1 D.x 216－y 225＝1答案A解析由虚轴长为8，可得b ＝4，∵右顶点A (a,0)到双曲线C 的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为125，∴ab a 2＋b 2＝125，解得a ＝3，∴则双曲线C 的方程为x 29－y 216＝1，故选A.(2)(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为()A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1答案B 解析由y ＝52x ，可得b a ＝52.①由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.②由①②可得a 2＝4，b 2＝5.所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.题型三双曲线的几何性质命题点1与渐近线有关的问题例3已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是()A.2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0答案A解析由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，即2x ±y ＝0.命题点2求离心率的值(或范围)例4(2018·天津河东区模拟)双曲线方程为x 2a 2－y 2＝1，其中a >0，双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，则双曲线的离心率为()A.233B.3C.2D.32答案A解析根据题意，可以求得双曲线的渐近线的方程为x ±ay ＝0，而圆(x －2)2＋y 2＝1的圆心为(2,0)，半径为1，结合题意有|2±0|1＋a2＝1，结合a >0的条件，求得a ＝3，所以c ＝3＋1＝2，所以有e ＝23＝233，故选A.思维升华1.求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±a b x .反之，已知渐近线方程为y ＝±ba x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．2．求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法①求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．(2)双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝ba＝c2－a2a＝c2a2－1＝e2－1.跟踪训练3(2018·茂名模拟)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A.7B．4 C.233D.3答案A解析因为△ABF2为等边三角形，所以不妨设|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m，因为A为双曲线右支上一点，所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，因为B为双曲线左支上一点，所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，由∠ABF2＝60°，得∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，又e>1，所以e＝7.故选A.高考中离心率问题离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法．例1已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是()，32，34C.32，D.34，答案A解析设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则M 到直线l 的距离d ＝4b 5≥45，∴1≤b <2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝4－b 24∈，32，故选A.例2已知F 1，F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A ，B 两点，BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为()A.2B.3C ．22D ．23答案B解析不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知，取A 取B 则C F 1(－c ,0)．由AC ⊥BF 1知AC →·BF 1→＝0，又AC →c BF 1→2c 2c 2－3b 42a2＝0，又b2＝c2－a2，可得3c4－10c2a2＋3a4＝0，则有3e4－10e2＋3＝0，可得e2＝3或13，又e>1，所以e＝ 3.故选B.1．(2018·云南民族中学月考)已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，点(4，－2)在它的一条渐近线上，则离心率等于()A.6 B.5 C.62D.52答案B解析渐近线方程为y ＝－a b x ，故(4，－2)满足方程－2＝－a b ×4，所以a b ＝12，所以e ＝ca＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a2＝5，故选B.2．(2018·海淀模拟)设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为x 2－y 24＝1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析若C 的方程为x 2－y 24＝1，则a ＝1，b ＝2，渐近线方程为y ＝±bax ，即为y ＝±2x ，充分性成立；若渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，∴“C 的方程为x 2－y 24＝1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·辽宁省五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为()A.x 22－y 28＝1 B.x 24－y 2＝1C.x 24－y 216＝1D ．x 2－y 24＝1答案D解析因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C的离心率为5，所以1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.4．(2018·金华模拟)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于()A ．2B ．4C ．6D ．8答案B解析由双曲线的方程，得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|＝(22)2，解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.5．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为()A ．3B ．2C ．－3D ．－2答案B解析由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|·cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B.6．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为()A ．4＋2B ．4(1＋2)C ．2(2＋6) D.6＋32答案B解析由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－6，0)，由题意可知△APF 的周长l 为|PA |＋|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|PA |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三点共线时取得“＝”，故选B.7．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S ＝16，则双曲线的实轴长是()A ．32B ．16C ．84D ．4答案B解析由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝ba x 上，由题意可知|F 2M |＝bc a 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由2OMF S ＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.8．(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是()C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案A解析由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1A.9．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 21(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.答案12解析由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以ba＝2.又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.10．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．答案4解析由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，∴|BA |＝|BF 1|，∵△BAF 1为等腰三角形，∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°，∴△BAF 1为等腰直角三角形．∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝22，∴1F AB S ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.11．(2018·安阳模拟)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________．答案(0,2)解析对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则－m >0，－4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．12．若点P 在双曲线x 2－y 29＝1上，则点P 到双曲线渐近线的距离的取值范围是________．答案，31010解析双曲线的一条渐近线方程是3x －y ＝0，由渐近线的性质，知当点P 是双曲线的一个顶点时，点P 到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是(±1,0)，所以点P 到渐近线的最大距离为|±3－0|10＝31010.又双曲线与渐近线没有交点，所以点P 到双曲线渐近线的距离的取值范围，31010.13．(2018·南昌调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线y ＝ba x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.5D.6答案C 解析如图，直线PF 2的方程为y ＝－a b (x －c )，设直线PF 2与直线y ＝ba x 的交点为N ，易知又线段PF 2的中点为N ，所以因为点P 在双曲线C 上，所以(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2b 2c 2b 2＝1，即5a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 5.故选C.14．(2018·福建六校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．答案43解析设左焦点为F 1，由于双曲线和圆都关于x 轴对称，又△APQ 的一个内角为60°，∴∠PAF ＝30°，∠PFA ＝120°，|AF |＝|PF |＝c ＋a ，∴|PF 1|＝3a ＋c ，在△PFF 1中，由余弦定理得，|PF 1|2＝|PF |2＋|F 1F |2－2|PF ||F 1F |cos ∠F 1FP ，即3c 2－ac －4a 2＝0，即3e 2－e －4＝0，∴e ＝43(舍负)．15．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝8，P 是E 右支上的一点，PF 1与y 轴交于点A ，△PAF 2的内切圆与边AF 2的切点为Q .若|AQ |＝3，求E 的离心率．解如图所示，设PF 1，PF 2分别与△PAF 2的内切圆切于M ，N ，依题意，有|MA |＝|AQ |，|NP |＝|MP |，|NF 2|＝|QF 2|，|AF 1|＝|AF 2|＝|QA |＋|QF 2|,2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝(|AF 1|＋|MA |＋|MP |)－(|NP |＋|NF 2|)＝2|QA |＝23，故a ＝3，从而e ＝c a ＝43＝433.16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝6|PF 2|，求此双曲线的离心率e 的最大值．解析由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝6|PF 2|，∴|PF 1|＝125a ，|PF 2|＝25a .当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝14425a 2＋425a 2－4c 22·125a ·25a ＝3712－25122，即e 2＝3725－1225cos ∠F 1PF 2.∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e 当P ，F 1，F 2三点共线时，∵|PF 1|＝6|PF 2|，∴e ＝c a ＝75，综上，e 的最大值为75.。
浙江专用2021届高考数学一轮复习专题九平面解析几何9.4双曲线试题含解析
§9。
4 双曲线基础篇固本夯基【基础集训】考点一 双曲线的定义和标准方程1.设P 是双曲线x 216-y 220=1上一点,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若｜PF 1|=9,则|PF 2｜等于 （ ) A 。
1 B 。
17C.1或17 D 。
以上均不对 答案 B2.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1（a 〉0,b>0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点)，则双曲线的方程为（ ）A 。
x 24-y 212=1 B 。
x 212-y 24=1C.x 23-y 2=1 D 。
x 2—y 23=1答案 D3.已知双曲线x 2a 2—y 2b 2=1(a 〉0，b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ )A.x 25-y 220=1 B.x 220-y 25=1C.3x 225—3y 2100=1 D.3x 2100-3y 225=1答案 A4。
若实数k 满足0<k<5，则曲线x 216—y 25-k=1与曲线x 216-k-y 25=1的（ ）A 。
实半轴长相等B 。
虚半轴长相等C 。
离心率相等 D.焦距相等 答案 D考点二 双曲线的几何性质5。
已知双曲线x 2a 2-y 23=1（a>0)的离心率为2，则a=( )A.2B.√62C.√52D 。
1答案 D6。
双曲线C ：x 2a 2—y 2b 2=1（a 〉0，b 〉0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为√3，则C 的焦距等于（ ） A 。
2 B.2√2 C 。
4 D 。
4√2 答案 C7.已知双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1（a 〉0，b 〉0）的离心率为√52，则C 的渐近线方程为（ )A 。
y=±14x B.y=±13xC 。
y=±12x D.y=±x答案 C8.已知双曲线x 2a 2—y 2b 2=1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(√5，0),则a= ;b= . 答案 1;2综合篇知能转换【综合集训】考法一 求双曲线方程的方法1.（2018黑龙江仿真模拟(三）,8）已知双曲线C:x2a2—y2b2=1(a〉0,b〉0)的一条渐近线方程为y=√3x，一个焦点坐标为（2，0)，则双曲线C的方程为（)A。
2019-2020年高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第四节双曲线及其性质AB卷文新人教A版
得 （ a－4） 2＋ b2＝ 4，即 a2－8a＋ 16＋ b2＝ 16，所以 c2－ 8a＝0，所以 8a＝ c2＝42，解得
a＝ 2，所以 b2＝ c2－ a2＝ 16－ 4＝ 12，所以所求双曲线的方程为
x2 y2 4 － 12＝ 1.
答案 A
π
x2
y2
y2
x2
5. (xx ·湖北， 2) 已知 0＜ θ＜ 4 ，则双曲线 C1：sin 2θ－ cos 2θ＝ 1 与 C2：cos 2θ －sin 2θ
＝ 1.
与
x2－
y
2
＝
1
联立，解得
8
P 点坐标为 ( － 2，2
6) ，此时 S＝S△ AF1F－ S△ F1PF＝ 12
6.
答案 12 6
x2 y2
3.(xx ·新课标全国Ⅰ， 4) 已知双曲线 a2－ 3 ＝ 1( a＞ 0) 的离心率为 2，则 a＝ (
)
6
A.2
B. 2
5
C. 2
D.1
解析
由双曲线方程知
渐近线与圆
(
x－
2)
2
＋
y2 ＝3
相切，则双曲线的方程为
(
)
x2 y2 A. － ＝ 1
9 13
C.
x2 －
y2＝
1
3
解析
x2 y2 双曲线 a2－ b2＝ 1 的一个焦点为
F(2 ，0) ，
x2 y2 B. － ＝ 1
13 9
D.
x2－
y2 ＝
1
3
则 a2＋ b2＝ 4，
①
b 双曲线的渐近线方程为 y＝± ax，
1 C. y＝± 2x
北师大版高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何高考大题冲关系列5高考解析几何中的热点题型课件
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解
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由于 Q 在焦点 F 的右侧，故 t2>2.从而
1 SS21＝122||QFGG||··||yyAC||
2t4－2t2＋2 ＝t2－1－23t4t－2 32t2t2＋－21··|22tt－| 2t
2t4－t2
t2－2
＝ t4－1 ＝2－t4－1.
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解
令 m＝t2－2，则 m>0，
(1)求椭圆 C 的方程； (2)点 P(x0，y0)(y0≠0)为椭圆 C 上一动点，连接 PF1，PF2，设∠F1PF2 的平分线 PM 交椭圆 C 的长轴于点 M(m,0)，求实数 m 的取值范围．
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解 (1)将 x＝c 代入ax22＋by22＝1 中，由 a2－c2＝b2，可得 y2＝ab24，所以过 焦点 F2 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为2ab2.
SS21＝2－m2＋m4m＋3＝2－m＋1m3 ＋4≥2－2
1 m·m3 ＋4
＝1＋
3 2.
当 m＝ 3时，SS21取得最小值 1＋ 23，此时 G(2,0)．
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解
角度 2 范围问题 例 2 (2020·沈阳摸底)如图，椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点 分别为 F1，F2，离心率为 23，过焦点 F2 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得 的线段长为 1.
l 与直线 l2 交于 P 点．
(1)若 l1 与 l2 的夹角为 60°，且双曲线的焦距为 4，求椭圆 C 的方程；
(2)求||AFAP||的最大值．
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解 (1)因为双曲线方程为ax22－by22＝1，
[精品]2019高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.4双曲线及其性质练习文
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D.4x±5y=0 或 5x±4y=0
7.(2018 湖南师大附中 12 月联考 ,10) 已知双曲线 C: - =1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别是 F1、 F2, 正三角形 AF1F2 的 一边 AF1 与双曲线左支交于点 B, 且 =4 , 则双曲线 C 的离心率为 ( )
点 . 若四边形 AF1BF2 为矩形 , 则 C2 的离心率是 (
)
A.
B.
C.
D.
答案 D
8.(2017 北京 ,10,5 分 ) 若双曲线 x2- =1 的离心率为 , 则实数 m=
.
答案 2
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※精品试卷※
9.(2016 江苏 ,3,5 分 ) 在平面直角坐标系 xOy 中 , 双曲线 - =1 的焦距是
.
答案 2
10.(2015 山东 ,15,5 分 ) 过双曲线 C: - =1(a>0,b>0) 的右焦点作一条与其渐 交 C于点 P. 若点 P 的
答案 2+
11.(2014 山东 ,15,5 分 ) 已知双曲线 - =1(a>0,b>0) 的焦距为 2c, 右顶点为 A, 抛物线 x 2=2py(p>0) 的焦点为 F. 若双
)
A. - =1
B. - =1
C. - =1 答案 A
D. - =1
4.(2014 天津 ,6,5 分 ) 已知双曲线 - =1(a>0,b>0) 的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10, 双曲线的一个焦点在直线 l 上 , 则双曲线的方程为 ( )
A. - =1 答案 A
B. - =1
C. - =1
答案 A
2022届高考数学一轮复习第9章平面解析几何第4讲双曲线课件新人教版
(1)几何法:如果题中给出的条件有明显的几何特征,那么可以考虑用图形
的性质来求解,特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.
(2)代数法:若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标 函数,将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的 范围(或最值)问题,然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的
两条与渐近线平行的直线.
(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近
线平行的直线.
考法1 双曲线的定义及应用
考法1 双曲线的定义及应用
考法1 双曲线的定义及应用
方法技巧
双曲线定义的应用策略
1.根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要
求求出轨迹方程.
2.将双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|-|PF2||=2a(其中 0<2a<|F2F2|)与正弦定理、余弦定理结合,解决焦点三角形问题. 3.利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题,如最值问题、距离问
的影响.
考法3 双曲线的几何性
质3.解决与双曲线的几何性质有关的问题的通法与流程
求解与双曲线的几何性质有关的问题,其通用的方法是利用方程思想解
题,其思维流程是:
考法4 直线与双曲线的位置
关系
考法4 直线与双曲线的位置
2020高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第4节双曲线及其性质高考AB卷理
【2019最新】精选高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第4节双曲线及其性质高考AB卷理双曲线的定义及标准方程1.(2016·全国Ⅰ，5)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )A.(－1，3)B.(－1，)C.(0，3)D.(0，)解析∵方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3，故选A.答案A双曲线的几何性质2.(2016·全国Ⅱ，11)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )A. B.C. D.2解析离心率e＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.故选A.答案A3.(2015·全国Ⅱ，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )A. B.2C. D.2解析如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a ，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝a ，x1＝|OB|＋|BN|＝a ＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝＝，选D.答案 D4.(2015·全国Ⅰ，5)已知M(x0，y0)是双曲线C ：－y2＝1上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 由题意知M 在双曲线C ：－y2＝1上，又在x2＋y2＝3内部，由得y ＝±， 所以－<y0<.答案 A5.(2014·全国Ⅰ，4)已知F 为双曲线C ：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.B.3C.mD.3m解析 ∵双曲线的方程为－＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为.答案 A6.(2014·大纲全国，9)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F1、F2，点A 在C 上.若|F1A|＝2|F2A|，则cos ∠AF2F1＝( )A.B. C. D.23解析 由双曲线的定义知|AF1|－|AF2|＝2a ，又|AF1|＝2|AF2|，∴|AF1|＝4a ，|AF2|＝2a.∵e＝＝2，∴c＝2a ，∴|F1F2|＝4a.∴cos ∠AF2F1＝|AF2|2＋|F1F2|2－|AF1|22|AF2|·|F1F2|＝＝，故选A.答案A7.(2013·大纲全国，21)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列.(1)解由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，求得x＝±.由题设知，2＝，解得a2＝1.所以a＝1，b＝2.(2)证明由(1)知，F1(－3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2－y2＝8.①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<2，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1·x2＝.于是|AF1|＝)＝－8)＝－(3x1＋1)，|BF1|＝)＝－8)＝3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝－.故＝－，解得k2＝，从而x1·x2＝－.由于|AF2|＝)＝－8)＝1－3x1，|BF2|＝)＝－8)＝3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列.双曲线的定义及标准方程1.(2015·福建，3)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E 上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )A.11B.9C.5D.3解析由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故选B.答案B2.(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )A.x2－＝1B.－y2＝1C.－x2＝1D.y2－＝1解析由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C.答案C3.(2015·广东，7)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选B.4.(2014·天津，5)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝x与直线y＝2x＋10平行，所以＝2且左焦点为(－5，0)，所以a2＋b2＝c2＝25，解得a2＝5，b2＝20，故双曲线方程为－＝1.选A.答案A5.(2013·广东，7)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则C的方程是( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析由曲线C的右焦点为F(3，0)，知c＝3.由离心率e＝，知＝，则a＝2，故b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线C的方程为－＝1.答案B双曲线的几何性质6.(2015·四川，5)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )A. B.2C.6D.43解析焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，y＝±2，∴|AB|＝2－(－2)＝4.选D.答案D7.(2014·重庆，8)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.3解析由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9－－4＝0，则＝0，解得＝，则双曲线的离心率e＝＝.答案B8.(2014·山东，10)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )A.x±y＝0B.x±y＝0C.x±2y＝0D.2x±y＝0解析椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，所以a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.答案A9.(2013·四川，6)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )A. B.C.1D.3解析由题意可得，抛物线的焦点为(1，0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即±x－y＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d＝＝.答案B10.(2016·北京，13)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.解析取B为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝2，又∠AOB＝，∴＝tan＝1，即a＝b.又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.答案211.(2016·山东，13)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E 上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.解析由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c，又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得2－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e ＝－1(舍去).答案212.(2015·浙江，9)双曲线－y2＝1的焦距是______，渐近线方程是______.解析由双曲线方程得a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，∴焦距为2，渐近线方程为y＝±x.答案 2 y＝±x13.(2015·北京，10)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________.解析双曲线渐近线方程为y＝±x，∴＝，又b＝1，∴a＝.答案3314.(2015·湖南，13)设F是双曲线C：－＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________.解析不妨设F(c，0)，则由条件知P(－c，±2b)，代入－＝1得＝5，∴e＝.答案515.(2014·江西，20)如图，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.(1)解设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，解得B.又直线OA的方程为y＝x，则A，kAB＝＝.又因为AB⊥OB，所以·＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.(2)证明由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝.因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M；直线l与直线x＝的交点为N.则＝＝,4)＋\f(9,4)（x0－2）2)＝·＋3（x0－2）2)，因为P(x0，y0)是C上一点，则,3)－y＝1，代入上式得|MF|2＝·－3＋3（x0－2）2)|NF|2＝·－12x0＋9)＝，所求定值为＝＝.。
2023版高考数学一轮总复习专题考点精析9-3双曲线及其性质pdf
专题九 平面解析几何／１０３㊀９．３㊀双曲线及其性质考点一㊀双曲线的定义及标准方程㊀㊀１．定义在平面内到两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的差的绝对值等于常数（小于｜Ｆ１Ｆ２｜且大于零）的点的轨迹叫做双曲线，定点Ｆ１，Ｆ２叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．注意㊀（１）设双曲线上的点Ｍ到两焦点Ｆ１，Ｆ２的距离之差的绝对值为２ａ，即｜｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜｜＝２ａ，其中０＜２ａ＜｜Ｆ１Ｆ２｜，这一条件不能忽略．①若２ａ＝｜Ｆ１Ｆ２｜，则点Ｍ的轨迹是分别以Ｆ１，Ｆ２为端点的两条射线；②若２ａ＞｜Ｆ１Ｆ２｜，则点Ｍ的轨迹不存在；③若２ａ＝０，则点Ｍ的轨迹是线段Ｆ１Ｆ２的垂直平分线．（２）若将双曲线定义中的 差的绝对值等于常数 中的 绝对值 去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支（上支）还是右支（下支）视情况而定．２．标准方程，焦点在ｘ轴上的双曲线的标准方程为ａ＞０，ｂ＞０）；，焦点在ｙ轴上的双曲线的标准方程为ａ＞０，ｂ＞０）．注意㊀（１）焦点位置的判断：在双曲线的标准方程中，看ｘ２项与ｙ２项的系数正负，若ｘ２项的系数为正，则焦点在ｘ轴上；若ｙ２项的系数为正，则焦点在ｙ轴上，即 焦点位置看正负，焦点随着正的跑 ．（２）ａ，ｂ，ｃ满足ｃ２＝ａ２＋ｂ２，即ｃ最大（ｃ为半焦距）．（３）焦点位置不确定时，可设双曲线方程为ｍｘ２＋ｎｙ２＝１（ｍｎ＜０）．３．焦点三角形问题（１）Ｐ为双曲线上的点，Ｆ１，Ｆ２为双曲线的两个焦点，且øＦ１ＰＦ２＝θ，则ＳәＦＰＦ１的直线与双曲线的一支交于Ａ㊁Ｂ两点，则Ａ㊁Ｂ与另一个焦点Ｆ２构成的әＡＢＦ２的周长为４ａ＋２｜ＡＢ｜．（３）若Ｐ是双曲线右支上一点，Ｆ１㊁Ｆ２分别为双曲线的左㊁右焦点，则｜ＰＦ１｜ｍｉｎ＝ａ＋ｃ，｜ＰＦ２｜ｍｉｎ＝ｃ－ａ．（４）Ｐ是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）右支上不同于实轴端点的任意一点，Ｆ１㊁Ｆ２分别为双曲线的左㊁右焦点，Ｉ为әＰＦ１Ｆ２内切圆的圆心，则圆心Ｉ的横坐标恒为定值ａ．考点二㊀双曲线的几何性质焦点在ｘ轴上焦点在ｙ轴上图形标准方程ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）几何性质范围｜ｘ｜ȡａ｜ｙ｜ȡａ焦点Ｆ１（－ｃ，０）㊁Ｆ２（ｃ，０）Ｆ１（０，－ｃ）㊁Ｆ２（０，ｃ）顶点Ａ１（－ａ，０）㊁Ａ２（ａ，０）Ａ１（０，－ａ）㊁Ａ２（０，ａ）对称性关于ｘ轴㊁ｙ轴对称，关于原点对称实㊁虚轴长实轴长为２ａ，虚轴长为２ｂ离心率双曲线的焦距与实轴长的比ｅ＝ｃａ渐近线方程ｙ＝ʃｂａｘｙ＝ʃａｂｘ㊀㊀ʌ常见结论ɔ（１）等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率ｅ＝２⇔两条渐近线互相垂直．（２）共轭双曲线的性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于１．（３）焦点到渐近线的距离为ｂ．考点三㊀直线与双曲线的位置关系㊀㊀直线与双曲线的位置关系主要是指公共点问题㊁相交弦问题及其他综合问题．解决这样的问题，常用下面的方法：将双曲线方程Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１与直线方程ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｍ联立，消去ｙ，整理得（ｂ２－ａ２ｋ２）ｘ２－２ａ２ｍｋｘ－ａ２ｍ２－ａ２ｂ２＝０．当ｂ２－ａ２ｋ２＝０，即ｋ＝ʃｂａ时，直线ｌ与双曲线Ｃ的一条渐近线平行，直线ｌ与双曲线Ｃ只有一个交点；当ｂ２－ａ２ｋ２ʂ０，即ｋʂʃｂａ时，设该一元二次方程根的判别式为Δ．（１）当Δ＞０时，直线与双曲线有两个公共点Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），则可结合根与系数的关系，代入弦长公式｜ＭＮ｜＝（ｘ２－ｘ１）２＋（ｙ２－ｙ１）２＝（１＋ｋ２）［（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２］求弦长；（２）当Δ＝０时，；（３）当Δ＜０时，直线与双曲线相离．注意㊀有一个交点，可能相交，也可能相切．ʌ常见结论ɔ（１）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为２ｂ２ａ． A 版 高考理数／１０４㊀㊀㊀（２）设Ｐ，Ａ，Ｂ是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上的三个不同的点，其中Ａ，Ｂ关于原点对称，则直线ＰＡ与ＰＢ的斜率之积为ｂ２ａ２．（３）弦中点结论：设ＡＢ为双曲线不平行于ｘ轴，ｙ轴的弦，点Ｍ为弦ＡＢ的中点．标准方程点差法结论ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）ｋＡＢ㊃ｋＯＭ＝ｂ２ａ２ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）ｋＡＢ㊃ｋＯＭ＝ａ２ｂ２方法１利用双曲线的定义解题的方法㊀㊀１．利用双曲线定义解题的主要方向：一是判断平面内与两定点有关的动点的轨迹是不是双曲线；二是利用定义讨论焦点三角形的周长㊁面积或双曲线的弦长㊁离心率等问题．２．求双曲线方程的方法：（１）定义法：根据已知条件，若所求轨迹满足双曲线的定义，则利用双曲线的定义求出参数ａ，ｂ的值，从而得到所求的轨迹方程；（２）待定系数法：根据题目条件确定焦点的位置，从而设出所求双曲线的标准方程，利用题目条件构造关于ａ，ｂ的方程（组），解得ａ，ｂ的值，即可求得方程．例１㊀（２０２０山西太原部分重点中学４月联考，８）已知双曲线ｘ２４－ｙ２ｂ２＝１（ｂ＞０）的左㊁右焦点分别为Ｆ１㊁Ｆ２，过点Ｆ２的直线交双曲线右支于Ａ㊁Ｂ两点，若әＡＢＦ１是等腰三角形，且øＡ＝１２０ʎ，则әＡＢＦ１的周长为（㊀㊀）Ａ．１６３３＋８Ｂ．４（２－１）Ｃ．４３３＋８Ｄ．２（３－１）解析㊀解法一：由双曲线方程可知ａ＝２，ʑ２ａ＝４，ȵәＡＢＦ１为等腰三角形，且øＡ＝１２０ʎ，ʑ｜ＡＦ１｜＝｜ＡＢ｜＝｜ＡＦ２｜＋｜ＢＦ２｜，由双曲线的定义知｜ＡＦ１｜－｜ＡＦ２｜＝２ａ＝４，ʑ｜ＡＦ１｜＝｜ＡＦ２｜＋４，ʑ｜ＢＦ２｜＝４，由双曲线的定义知｜ＢＦ１｜＝｜ＢＦ２｜＋４＝８．ȵ｜ＡＦ１｜＝｜ＡＢ｜，øＡ＝１２０ʎ，ʑøＡＦ１Ｂ＝３０ʎ．在әＡＢＦ１中，由正弦定理可得｜ＡＢ｜ｓｉｎ３０ʎ＝｜ＢＦ１｜ｓｉｎ１２０ʎ，即｜ＡＢ｜＝｜ＢＦ１｜㊃ｓｉｎ３０ʎｓｉｎ１２０ʎ＝８３３，ʑәＡＢＦ１的周长为１６３３＋８，故选Ａ．㊀㊀解法二：由双曲线方程得ａ＝２，则２ａ＝４，过Ａ作ＡＤʅＢＦ１，垂足为Ｄ，如图所示．由题意知Ｄ为线段ＢＦ１的中点，设｜ＡＦ２｜＝ｍ，｜ＢＦ２｜＝ｎ，由双曲线定义知｜ＡＦ１｜＝４＋ｍ，｜ＢＦ１｜＝４＋ｎ，由于әＡＢＦ１为等腰三角形，且øＡ＝１２０ʎ，ʑ｜ＡＦ１｜＝｜ＡＢ｜，即４＋ｍ＝ｍ＋ｎ，解得ｎ＝４．在ＲｔәＡＤＦ１中，øＡＦ１Ｄ＝３０ʎ，ʑ｜ＤＦ１｜＝｜ＡＦ１｜㊃ｃｏｓ３０ʎ＝３２（４＋ｍ），ʑ｜ＢＦ１｜＝２｜ＤＦ１｜＝３（４＋ｍ）＝４＋ｎ，ʑｍ＝８３３－４，ʑәＡＢＦ１的周长为４＋ｍ＋ｍ＋ｎ＋４＋ｎ＝８＋２（ｍ＋ｎ）＝８＋１６３３，故选Ａ．答案㊀Ａ㊀㊀经典例题㊀㊀例㊀（２０２０浙江浙南名校联盟联考，２）双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的离心率为２，且其右焦点为Ｆ２（２３，０），则双曲线Ｃ的标准方程为（㊀㊀）Ａ．ｘ２３－ｙ２９＝１Ｂ．ｘ２９－ｙ２３＝１Ｃ．ｘ２４－ｙ２１２＝１Ｄ．ｘ２１２－ｙ２４＝１解析㊀本题考查双曲线的标准方程及几何性质；考查学生数学运算的能力；考查了数学运算的核心素养．由已知有ｃ＝２３，ｃａ＝２３ａ＝２，所以ａ＝３，ｂ２＝ｃ２－ａ２＝９，故双曲线的标准方程为ｘ２３－ｙ２９＝１，故选Ａ．答案㊀Ａ方法２求双曲线离心率的值或取值范围的方法㊀㊀１．在解析几何中，解决范围问题，一般可从以下几个方面考虑：（１）与已知范围联系，通过求函数值域或解不等式来完成；（２）通过一元二次方程的根的判别式Δ的符号建立不等关系；（３）利用点在曲线内部或外部建立不等关系；（４）利用解析式的结构特点，如ａ２，｜ａ｜，ａ等的非负性来完成范围的求解．２．求双曲线离心率的值或取值范围的常用方法（１）由ａ㊁ｂ或ａ㊁ｃ的值，得ｅ＝ｃ２ａ２＝ａ２＋ｂ２ａ２＝１＋ｂ２ａ２．（２）列出含有ａ，ｂ，ｃ的齐次方程（或不等式），借助ｂ２＝ｃ２－ａ２消去ｂ，然后转化成关于ｅ的方程（或不等式）求解．（３）构造焦点三角形，利用定义转化为焦点三角形三边的关系，如图，ｅ＝ｃａ＝２ｃ２ａ＝｜Ｆ１Ｆ２｜｜ＭＦ１｜－｜ＭＦ２｜．例２㊀（２０１７课标Ⅰ，１５，５分）已知双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的右顶点为Ａ，以Ａ为圆心，ｂ为半径作圆Ａ，圆Ａ与双曲线Ｃ的一条渐近线交于Ｍ，Ｎ两点．若øＭＡＮ＝６０ʎ，则Ｃ的离心率为㊀㊀㊀㊀．解题导引专题九 平面解析几何／１０５㊀解析㊀解法一：不妨设点Ｍ㊁Ｎ在渐近线ｙ＝ｂａｘ上，如图，әＡＭＮ为等边三角形，且｜ＡＭ｜＝ｂ，则Ａ点到渐近线ｙ＝ｂａｘ的距离为３２ｂ，将ｙ＝ｂａｘ变形为一般形式ｂｘ－ａｙ＝０，则Ａ（ａ，０）到渐近线ｂｘ－ａｙ＝０的距离ｄ＝｜ｂａ｜ａ２＋ｂ２＝｜ａｂ｜ｃ，所以｜ａｂ｜ｃ＝３２ｂ，即ａｃ＝３２，所以双曲线的离心率ｅ＝ｃａ＝２３３．解法二：不妨设点Ｍ㊁Ｎ在渐近线ｙ＝ｂａｘ上，如图，作ＡＣ垂直于ＭＮ，垂足为Ｃ，根据题意知点Ａ的坐标为（ａ，０），则｜ＡＣ｜＝ｂｂ２ａ２＋１＝ａｂａ２＋ｂ２，在әＡＣＮ中，øＣＡＮ＝１２øＭＡＮ＝３０ʎ，｜ＡＮ｜＝ｂ，所以ｃｏｓøＣＡＮ＝ｃｏｓ３０ʎ＝｜ＡＣ｜｜ＡＮ｜＝ａｂａ２＋ｂ２ｂ＝ａａ２＋ｂ２＝ａｃ＝３２，所以离心率ｅ＝ｃａ＝２３３．答案㊀２３３例３㊀（２０２０四川成都摸底考试，１１）已知双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左㊁右焦点分别为Ｆ１（－ｃ，０），Ｆ２（ｃ，０），又点Ｎ－ｃ，３ｂ２２ａ()．若双曲线Ｃ左支上的任意一点Ｍ均满足｜ＭＦ２｜＋｜ＭＮ｜＞４ｂ，则双曲线Ｃ的离心率的取值范围为（㊀㊀）Ａ．１３３，５æèçöø÷Ｂ．（５，１３）Ｃ．１，１３３æèçöø÷ɣ（５，＋ɕ）Ｄ．（１，５）ɣ（１３，＋ɕ）解析㊀由双曲线定义知｜ＭＦ２｜－｜ＭＦ１｜＝２ａ，所以｜ＭＦ２｜＝｜ＭＦ１｜＋２ａ，所以｜ＭＦ２｜＋｜ＭＮ｜＞４ｂ恒成立即｜ＭＦ１｜＋｜ＭＮ｜＋２ａ＞４ｂ恒成立，即｜ＭＦ１｜＋｜ＭＮ｜＞４ｂ－２ａ恒成立．所以（｜ＭＦ１｜＋｜ＭＮ｜）ｍｉｎ＞４ｂ－２ａ．由平面几何知识，得当ＭＦ１ʅｘ轴时，｜ＭＦ１｜＋｜ＭＮ｜取得最小值３ｂ２２ａ，所以３ｂ２２ａ＞４ｂ－２ａ，即３㊃ｂａ()２－８㊃ｂａ＋４＞０，解得０＜ｂａ＜２３或ｂａ＞２．又ｅ＝ｃａ＝１＋ｂａ()２，所以ｅɪ１，１３３æèçöø÷ɣ（５，＋ɕ）．故选Ｃ．答案㊀Ｃ㊀㊀经典例题㊀㊀例㊀（２０１８山东泰安２月联考，１１）已知双曲线Ｃ１：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），圆Ｃ２：ｘ２＋ｙ２－２ａｘ＋３４ａ２＝０，若双曲线Ｃ１的一条渐近线与圆Ｃ２有两个不同的交点，则双曲线Ｃ１的离心率的范围是（㊀㊀）Ａ．１，２３３æèçöø÷Ｂ．２３３，＋ɕæèçöø÷Ｃ．（１，２）Ｄ．（２，＋ɕ）解析㊀由双曲线方程可得其渐近线方程为ｙ＝ʃｂａｘ，即ｂｘʃａｙ＝０，圆Ｃ２：ｘ２＋ｙ２－２ａｘ＋３４ａ２＝０可化为（ｘ－ａ）２＋ｙ２＝１４ａ２，圆心Ｃ２的坐标为（ａ，０），半径ｒ＝１２ａ，由双曲线Ｃ１的一条渐近线与圆Ｃ２有两个不同的交点，得｜ａｂ｜ａ２＋ｂ２＜１２ａ，即ｃ＞２ｂ，即ｃ２＞４ｂ２，又ｂ２＝ｃ２－ａ２，所以ｃ２＞４（ｃ２－ａ２），即ｃ２＜４３ａ２，所以ｅ＝ｃａ＜２３３，又知ｅ＞１，所以双曲线Ｃ１的离心率的取值范围为１，２３３æèçöø÷，故选Ａ．答案㊀Ａ。
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【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第4节 双曲线及其性质模拟创新题 理一、选择题1.(2016·山东青岛模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.3x 225－3y2100＝1 D.x 2100－y 225＝1 解析 由题意知：b a ＝12，c ＝5，所以a 2＝20，b 2＝5，则双曲线的方程为x 220－y 25＝1，故选A. 答案 A2.(2015·河南开封模拟)已知a >b >0 ，椭圆 C 1 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线 C 2 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1 与 C 2 的离心率之积为32， 则C 1 、 C 2 的离心率分别为( ) A.12，3 B.22，62C.64，2 D.14，2 3 解析 由题意知，a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 2＝2b 2，则C 1、C 2的离心率分别为e 1＝22，e 2＝62，故选B. 答案 B3.(2014·洛阳模拟)设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( ) A. 5B.52C.10D.102解析 令c ＝a 2＋b 2，则c 为双曲线的半焦距长.据题意，F 1F 2是圆的直径， ∴|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2.∴(2c )2＝(3|PF 2|)2＋|PF 2|2，即2c ＝10|PF 2|. 根据双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|－|PF 2|＝3|PF 2|－|PF 2|＝2|PF 2|＝2a . ∴e ＝2c 2a ＝102，∴双曲线的离心率为102.答案 D 二、填空题4.(2016·四川成都模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，则双曲线的离心率是________.解析 由渐近线方程可设a ＝3k ，b ＝2k ，(k ＞0)，∴c ＝13k ，双曲线离心率为e ＝c a ＝133. 答案1335.(2014·广州一模)已知双曲线x 29－y 2a＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为______________.解析 由题意得c ＝13，所以9＋a ＝c 2＝13，所以a ＝4.即双曲线方程为x 29－y 24＝1，所以双曲线的渐近线为2x ±3y ＝0. 答案 2x ±3y ＝0创新导向题双曲线定义应用问题6.P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支上的一点，F 1，F 2分别是左、右焦点，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为( ) A.a B.bC.a 2＋b 2D.a ＋b －a 2＋b 2解析 如图所示，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，设x 轴与内切圆的切点是H ，PF 1，PF 2与内切圆的交点分别为M ，N ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PM |＝|PN |，故|MF 1|－|NF 2|＝2a ，则|HF 1|－|HF 2|＝2a ，设内切圆圆心的横坐标为x ，则点H 的横坐标为x ，故(x ＋c )－(c －x )＝2a ，解得x ＝a ，故选A.答案 A双曲线几何性质应用问题7.线段AB 是圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＝0的一条直径，离心率为5的双曲线C 2以A ，B 为焦点，若P 是圆C 1与双曲线C 2的一个公共点，则|PA |＋|PB |＝( ) A.2 2 B.4 2 C.4 3D.6 2解析 圆C 1的半径r ＝124＋36＝10，∵AB 是圆C 1的直径，双曲线C 2以A ，B 为焦点. ∴双曲线的焦距2c ＝|AB |＝210. 又P 是圆与双曲线的一个公共点， ∴||PA |－|PB ||＝2a ，|PA |2＋|PB |2＝40， ∴|PA |2＋|PB |2－2|PA ||PB |＝4a 2， ∵c ＝10，e ＝c a＝5， ∴a ＝2，∴2|PA ||PB |＝32，∴|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝(|PA |＋|PB |)2＝72， ∴ |PA |＋|PB |＝6 2.故选D. 答案 D专项提升测试 模拟精选题一、选择题8.(2015·青岛一中月考)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( ) A.a 2＝132B.a 2＝13 C.b 2＝12D.b 2＝2解析 由题意知，a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，∴直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2－5＝23a ，解得a 2＝112，b 2＝12. 答案 C 二、填空题9.(2016·豫晋冀三省调研)已知双曲线C 的中心在原点，且左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为底边作正三角形，若双曲线C 与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C 的离心率为________.解析 设以F 1F 2为底边的正三角形与双曲线C 的右支交于点M ，连接MF 1，则在Rt △MF 1F 2中，有|F 1F 2|＝2c ，|MF 1|＝3c ，|MF 2|＝c ，由双曲线的定义知|MF 1|－|MF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以双曲线C 的离心率e ＝ca＝23－1＝3＋1.答案3＋110.(2016·广东茂名模拟)已知抛物线y 2＝4x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，O 是坐标原点，点A 、B 是两曲线的交点，若(OA →＋OB →)·AF →＝0，则双曲线的实轴长为________.解析 抛物线y 2＝4x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1有相同的焦点F (1，0)，由(OA →＋OB →)·AF →＝0知AF ⊥x 轴，不妨设A 点在第一象限，则A 点坐标为(1，2). 设双曲线的左焦点为F ′，则|FF ′|＝2. 由勾股定理得|AF ′|＝2 2.由双曲线定义知2a ＝|AF ′|－|AF |＝22－2. 答案 22－211.(2016·湖南常德3月模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点为M ，右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且满足：MA →＋MB →＝2MF →，MA →·MB →＝0，则该双曲线的离心率是________.解析 因为MA →＋MB →＝2MF →，所以F 为AB 的中点，所以AB ⊥x 轴，即|AB |＝2b 2a，又MA →·MB →＝0，所以MA ⊥MB ，所以|MF |＝b 2a ，所以a ＋c ＝b 2a，即c 2－ac －2a 2＝0，所以e 2－e －2＝0.解得e ＝2. 答案 212.(2014·衡水模拟)设点F 1、F 2是双曲线x 2－y 23＝1的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积为________.解析 据题意，|PF 1|＝43|PF 2|，且|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又|F 1F 2|＝4，在△PF 1F 2中，由余弦定理得， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝78.所以sin ∠F 1PF 2＝1－cos 2∠F 1PF 2＝158， 所以S △PF 1F 2＝12×6×8×158＝315.答案 315 三、解答题13.(2016·重庆万州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10).点M (3，m )在双曲线上. (1)求双曲线方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积. (1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 由(1)可知，在双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0). ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m3－23，又∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3. ∴k MF 1·k MF 2＝m 3＋23×m 3－23＝－m 23＝－1.∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0. (3)解 由(2)知MF 1⊥MF 2，∴△MF 1F 2为直角三角形.又F 1(－23，0)，F 2(23，0)，m ＝±3，M (3，3)或(3，－3)，由两点间距离公式得|MF 1|＝（－23－3）2＋（0－3）2＝24＋123， |MF 2|＝（23－3）2＋（0－3）2＝24－123，S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2|＝12×24＋123·24－12 3 ＝12×12＝6.即△F 1MF 2的面积为6. 创新导向题双曲线中的探索性问题14.已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由.解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以ba ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝c a＝ 5.(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a ，因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k ＞2或k ＜－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k，0，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由,2y kx m y x =+⎧⎨=⎩得y 1＝2m2－k ，同理得y 2＝2m2＋k.由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m2－k －2m 2＋k ＝8， 即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4).由22,1,416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2＜0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)， 因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0， 即l 与双曲线E 有且只有一个公共点.因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.。