河北省邯郸市临漳县第一中学高中数学必修1第2章第三节幂函数学案

§2.3 幂函数
学习目标
1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性
质；
2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的
对称性并能进行简单的应用.
77~ P 79，找出疑惑之处） 复习：求证3y x =在R 上为奇函数且为增函数. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：幂函数的概念
同特征？
（1）边长为a 的正方形面积2S a =，S a 的函数；
（2）面积为S 的正方形边长12
a S =，a S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3
V a =，V 是a 的函数； （4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p
w =元，这里p 是w 的函数. 新知：一般地，形如y x α
=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数. 试试：判断下列函数哪些是幂函数.
①1
y x =；②22y x =； ③3y x x =-；④1y =.
探究任务二：幂函数的图象与性质 问题：作出下列函数的图象：（1）y x =；
（2）1
2y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；
（5）3y x =． 从图象分析出幂函数所具有的性质. 小结： 幂函数的的性质及图象变化规律： （1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸；
（3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴
上方无限地逼近x 轴正半轴．
※典型例题
例1
讨论()
f x[0,)
+∞的单调性.
变式
：讨论()
f x.
例2比较大小：
（1） 1.5
(1)
a+与 1.5(0)
a a>；
（2）
2
23
(2)
a-
+与
2
3
2-；
（3）
1
2
1.1-与
1
2
0.9-.
小结：利用单调性比大小. 动手试试
讨论函数
2
3
y x
=的定义域、奇偶性，作出
它的图象，并根据图象说明函数的单调性. 三、总结提升
学习小结
1. 幂函数的的性质及图象变化规律；
2. 利用幂函数的单调性来比较大小.
知识拓展
幂函数y xα
=的图象，在第一象限内，直线1
x=的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y轴和直线1
x=之间，图象由上至下，指数α由小到大.
当堂检测（时量：5分钟满分：10分）
1. 若幂函数()
f x xα
=在(0,)
+∞上是增函数，则（）.
A．α>0 B．α<0
C．α=0 D．不能确定
2. 函数
4
3
y x
=的图象是（）
.
A. B. C. D.
3. 若
11
22
1.1,0.9
a b-
==，那么下列不等式成立的是（）.
A．a<l<b B．1<a<b
C．b<l<a D．1<b<a
4. 比大小：
（1）
11
22
1.3_____1.5；（2）
22
5.1______5.09
--.
5. 已知幂函数()
y f x
=的图象过
点，则它的解析式为. 课后作业
已知幂函数f（x）＝
13
22
2p p
x-++（p∈Z）在(0,)
+∞上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）.。