高二理科数学限时训练

高二理科数学限时训练（六）
1、若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）
A ．3,2==c b
B ．3,2=-=c b
C ．1,2-=-=c b
D ．1,2-==c b
1、【答案】B
2、复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ ）
()A 22i -- ()B 22i -+ ()C i 2-2 ()D i 2+2
2、【答案】D
【命题立意】本题考查复数的概念与运算。

【解析】5
5(2)
()(2)5222(2)(2)i z i i z i z i i i i i +--=⇔-=⇔=+=+--+
3、【2012高考真题陕西理3】设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b
a i +为
纯虚数”的（ ）
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3、【答案】B.
【解析】00=⇔=a ab 或0=b ，而复数bi a i b
a -=+是纯虚数00≠=⇔
b a 且，
i b
a a
b +⇐=∴0是纯虚数，故选B.
4、 (2012·山西适应性训练)若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )
A ．1百万件
B ．2百万件
C ．3百万件
D ．4百万件
4、C
5、已知函数x a x x f -=ln )(,]3,0(∈x ,若)(x f 图像上任意一点的切线的斜率21
≥k 恒成
立,则实数a 的取值范围是
（ ） A ．),21[+∞ B ．]23,21[ C ．)23
,0( D ．),23
[+∞
5、【答案】D
函数x e x x f )3()(-=的单调增区间是 （ ）
A ．)2,(-∞
B ． )3,0(
C ． )4,1(
D ． ),2(+∞
答案 D.
6、若f (x )＝ln x x
，e<a <b ，则( ) A ．f (a )>f (b ) B ．f (a )＝f (b ) C ．f (a )<f (b ) D ．f (a )f (b )>1
6、选A f ′(x )＝1－ln x x 2
，当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，f (a )>f (b )． 7、函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )
A ．20
B ．18
C ．3
D ．0
7、．选A 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.
7．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．
7．解析：f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0.所以m >6或m <－3.
答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)
8．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．
8．解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x .由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
所以对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.
答案：－4
76.（辽宁文16）已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是___________．
【答案】(,2ln 22]-∞-
12．(2012·郑州质量预测)已知函数f (x )＝1－x ax
＋ln x . (1)当a ＝12
时，求f (x )在[1，e]上的最大值和最小值； (2)若函数g (x )＝f (x )－14
x 在[1，e]上为增函数，求正实数a 的取值范围． 12．解：(1)当a ＝12
时，
f (x )＝2(1－x )x
＋ln x ， f ′(x )＝x －2x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝2， ∴当x ∈[1,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在[1,2)上单调递减；
当x ∈(2，e]时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，e]上单调递增，
故f (x )min ＝f (2)＝ln 2－1.
又∵f (1)＝0，f (e)＝2－e e
<0. ∴f (x )在区间[1，e]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝0.
综上可知，函数f (x )在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln 2－1.
(2)∵g (x )＝f (x )－14x ＝1－x ax ＋ln x －14
x ， ∴g ′(x )＝－ax 2＋4ax －44ax 2
(a >0)， 设φ(x )＝－ax 2＋4ax －4，由题意知，只需φ(x )≥0在[1，e]上恒成立即可满足题意． ∵a >0，函数φ(x )的图象的对称轴为x ＝2，
∴只需φ(1)＝3a －4≥0，即a ≥43
即可．故正实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 2.设函数321()(1)4243
f x x a x ax a =--++，其中常数a>1 (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。

解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

解析 （I ）)2)(2(4)1(2)(2a x x a x a x x f --=++-='
由1>a 知，当2<x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间)2,(-∞是增函数；
当a x 22<<时，0)(<'x f ，故)(x f 在区间)2,2(a 是减函数；
当a x 2>时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),2(+∞a 是增函数。

综上，当1>a 时，)(x f 在区间)2,(-∞和),2(+∞a 是增函数，在区间)2,2(a 是减函数。

（II ）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。

a a a a a a a f 2424)2)(1()2(31
)2(23+⋅++-= a a a 24434
23++-= a f 24)0(=
由假设知
⎪⎩⎪⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1f a f a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-+->.
024,0)6)(3(3
4,1a a a a a 解得 1<a<6 故a 的取值范围是（1，6）。