河南省商丘市一高高三数学上学期期末考试试题 理 新人教A版

商丘市一高2013-2014学年度第一学期期末考试高三数学试卷考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知复数i z 31=和复数i z 63212-=，则复数12z z ⋅的值为 （ ）A．12-+ B．12 C1i 2+ D ．i 2123- 2．已知集合2{|230}M x x x =-->，2{|0}N x x ax b =++≤，若MN R =，(3,4]M N =，则 （ ）A.3a =，4b =-B.3a =-，4b =C.3a =，4b =D.3a =-，4b =-3. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是（ ） A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C ．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 4. 如图，该程序运行后输出的结果为 （ ） A ．14B ．16C ．18D ．645.已知1sin cos 11sin cos 2θθθθ+-=++,则tan θ的值为 （ ）B.34C.43-D.436．下面四个命题中正确的是（ ）A ．“直线a 平行于平面β内无数条直线”是“直线//a 平面β”的必要非充分条件B ．“l ⊥平面α”是“直线l 垂直于平面α内无数条直线”的充要条件C ．“a 垂直于b 在平面α内的射影”是“直线a ⊥b ”的充分非必要条件D ．“直线a b 、不相交”是“直线a b 、为异面直线”的充分非必要条件 7. 已知函数()sin f x x x =, 若12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()()12f x f x <, 则下列不等式中正确的是A.12x x >B.12x x <C.120x x +<D.2212x x < 8．如图是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><在一个周期内的图象，M 、N 分别是最大、最小值点，且OM ON ⊥，则A ω⋅的值为（ ） A ．6πC．6D.129.正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且3AM ，点P 是平面ABCD 上的动点，且点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹应当是（ ）A ．直线 B. 圆 C. 抛物线 D. 双曲线10.半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四点，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则△ABC 、△ACD 、 △ADB 面积之和ADB ACD ABC S S S ∆∆∆++的最大值为 （ ）A ．8B ．16C ．32D ．6411．定义{}⎩⎨⎧<≥=),(),(,max b a b b a a b a 设实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤,2,2y x 且{}y x y x z -+=3,4max ，则z 的取值范围为（ ）A ．]0,6[-B ．]8,7[-C ．]8,6[-D ．]10,7[-12．已知定义在(0,1)上的函数()f x ，对任意的,(1,)m n ∈+∞且m n <时，都有11()()-f f m n =().1--m n f mn 记21()55n a f n n =++，*n N ∈，则在数列{}n a 中，128...+++a a a 的值为（ ）A ．1()2fB ．1()3fC ．1()4fD ．1()5f二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 某厂共有64名员工，准备选择4人参加2014年春节晚会，现将这64名员工编号，准备运用系统抽样的方法抽取 ，已知8号，24号，56号在样本中，那么样本中还有一个员工的编号是 .14.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 .15.在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a bc 、、，若1⋅=⋅=A B A C B A B C ，那么c = .16. 根据下面一组等式12345671235456157891034?111213141565161718192021111 22232425262728175 ==+==++==+++==++++==+++++==++++++=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯S S S S S S S可得13521...-++++=n s s s s .三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（本小题满分10分）如图，在四边形ABCD 中，3AB =，2AD BC CD ===，60A =.（Ⅰ）求sin ABD ∠的值； （Ⅱ）求BCD ∆的面积.18.（本小题满分12分）在数列{}n a 和{}n b 中，n n a a =，(1)n b a n b =++，1,2,3,n =，其中2a ≥且a ∈*N ，b ∈R .（Ⅰ）若11a b =，22a b <，求数列{}n b 的前n 项和；（Ⅱ）证明：当2,a b =={}n b 中的任意三项都不能构成等比数列. 19．（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于CD，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C 、D 的点，3AE =，圆O 的直径为9． （Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求二面角D BC E --的平面角的正切值．ABCD20．（本题满分12分）已知点(,1)P a -（a R ∈）,过点P 作抛物线2:C y x =的切线，切点分别为11(,)A x y 、22(,)B x y （其中12x x <）． （Ⅰ）求1x 与2x 的值（用a 表示）；（Ⅱ）若以点P 为圆心的圆E 与直线AB 相切，求圆E 面积的最小值． 21．（本小题满分12分）已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ =． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知圆M 过定点()0,2D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两点，设1DA l =，2DB l =，求1221l l l l +的最大值． 22.（本题满分12分）已知函数32()ln(21)2().3=++--∈x f x ax x ax a R （Ⅰ）若2=x 为()f x 的极值点，求实数a 的值；（II ）若()=y f x 在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（III ）当12=-a 时，方程3(1)(1)3--=+x bf x x有实根，求实数b 的最大值． 高三理科答案：ADDB DADC CCDC 13．40 14．335 154n 17. 解：（Ⅰ）已知60A =，由余弦定理得2222cos 7BD AB AD AB AD A =+-⋅=，解得BD = ……3分由正弦定理，sin sin AD BD ABD A =∠，所以sin sin AD ABD A BD ∠===.…5分（Ⅱ）在BCD ∆中，2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅，所以744222cos C =+-⨯⨯，1cos 8C =， …………6分 因为(0,)C ∈π，所以sin C =…………8分 所以，BCD ∆的面积1sin 2S BC CD C =⋅⋅=. …10分 18.解：（Ⅰ）因为11a b =，所以1a a b =++，1b =-， ……………1分由22a b <，得2210a a --<，所以11a <， ……………3分因为2a ≥且a ∈*N ，所以2a =， …………………4分所以 31n b n =-，{}n b 是等差数列， 所以数列{}n b 的前n 项和2131()222n n n S b b n n =+=+. …………………6分 （Ⅱ）由已知3n b n =，假设3m，3n +，3t 成等比数列，其中,,m n t ∈*N，且彼此不等，则2(3(3n m t =，……………7分所以29292n mt ++=+++，所以233(2n mt m t n -=+- 若20m t n +-=，则2330n mt -=，可得m t =，与m t ≠矛盾； ………8分 若20m t n +-≠，则2m t n +-为非零整数，(2m t n +- 所以233n mt -为无理数，与233n mt -是整数矛盾. ……………11分 所以数列{}n b 中的任意三项都不能构成等比数列. ………………12分 19. （Ⅰ）证明：∵AE 垂直于圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面上，∴AE ⊥CD ． 在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，∵AD AE A =，∴CD ⊥平面ADE ．∵CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADE ．（Ⅱ）解法1：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴CD DE ⊥． ∴CE 为圆O 的直径，即9CE =．设正方形ABCD 的边长为a ，在Rt △CDE 中，22281DE CE CD a =-=-，在Rt △ADE 中，22229DE AD AE a =-=-，由22819a a -=-，解得，a =∴6DE ==． 过点E 作EF AD ⊥于点F ，作FGAB 交BC 于点G ，连结GE ，由于AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ，∴EF AB ⊥．∵ADAB A =，∴EF ⊥平面ABCD ． ∵BC ⊂平面ABCD ，∴BC EF ⊥．∵BC FG ⊥，GFEF FG F =，∴BC ⊥平面EFG ．∵EG ⊂平面EFG ，∴BC EG ⊥． ∴FGE ∠是二面角D BC E --的平面角．在Rt △ADE中，AD =3AE =，6DE =， ∵AD EF AE DE ⋅=⋅，∴AE DE EF AD ⋅===． 在Rt △EFG中，FG AB == ∴2tan 5EF EGF FG ∠==． 故二面角D BC E --的平面角的正切值为25． 解法2：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴CD DE ⊥． ∴CE 为圆O 的直径，即9CE =.设正方形ABCD 的边长为a ，在Rt △CDE 中，222281DE CE CD a =-=-，在Rt △ADE 中，22229DE AD AE a =-=-， 由22819a a -=-，解得，a =6DE ==．以D 为坐标原点，分别以ED 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()6,0,0E -，()0,C -，()6,0,3A -，()6,B --． 设平面ABCD 的法向量为()1111,,x y z =n ， 则110,0.DA DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即111630,0.x z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取11x =，则()11,0,2=n 是平面ABCD 的一个法向量．设平面BCE 的法向量为()2222,,x y z =n ，则220,0.EB EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即222230,60.z x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩取22y =，则22,=n 是平面ABCD 的一个法向量．∵()(1212121,0,25,2,2cos ,===⋅n n n n n n ，∴12sin ,=n n ． ∴122tan ,5=n n ．故二面角D BC E --的平面角的正切值为25． 20． 解：（Ⅰ）由2y x =可得，2y x '=． ………1分∵直线PA 与曲线C 相切，且过点(,1)P a -，∴211112x x x a+=-，即211210x ax --=， …x yz3分∴1x a ==1x a =+ ………4分同理可得：2x a =-2x a =+……………5分∵12x x <，∴1x a =2x a =+ ……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，122x x a +=，121x x ⋅=-， ………………7分则直线AB 的斜率221212121212y y x x k x x x x x x --===+--， ……………………8分∴直线AB 的方程为：1121()()y y x x x x -=+-，又211y x =， ∴22112112()y x x x x x x x -=+--，即210ax y -+=．∵点P 到直线AB 的距离即为圆E的半径，即2r =， ………10分∴22222222222222131913()()()4(1)(1)424164441444a a a a a r a a a a ++++++++====++++221933()3142216()4a a =+++≥=+，当且仅当22191416()4a a +=+，即21344a +=，2a =±时取等号．故圆E 面积的最小值23S r ππ==． ……………12分21．解：（Ⅰ）设(),P x y ，则(),1Q x -，∵QP QF FP FQ =，∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=--． 即()()22121y x y +=--，即24x y =，所以动点P 的轨迹C 的方程24x y =．（Ⅱ）设圆M 的圆心坐标为(),M a b ，则24a b =． ①圆M的半径为MD =． 圆M的方程为()()()22222x a y b a b -+-=+-．令0y =，则()()22222x a b a b -+=+-，整理得，22440x a xb -+-=．② 由①、②解得，2x a =±． 不妨设()2,0A a -，()2,0B a +， ∴1l =2l =．∴22212122112l l l l l l l l ++====，③当0a ≠时，由③得，1221l l l l +==当且仅当a =±0a =时，由③得，12212l l l l +=． 故当a =±1221+l ll l 的最大值为 22．解：（1）=． (1)分因为x=2为f （x ）的极值点，所以f'（2）=0．即，解得a=0． (3)分又当a=0时，f'（x ）=x （x ﹣2），从而x=2为f （x ）的极值点成立．………… 4分 （2）因为f （x ）在区间[3，+∞）上为增函数，所以在区间[3，+∞）上恒成立．…5分①当a=0时，f'（x ）=x （x ﹣2）≥0在[)3,+∞上恒成立，所以f （x ）在[)3,+∞上为增函数，故a=0符合题意．…6分②当a≠0时，由函数f （x ）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a ＞0，所以2ax 2+（1﹣4a ）x ﹣（4a 2+2）≥0对x ∈[3，+∞0上恒成立． 令g （x ）=2ax 2+（1﹣4a ）x ﹣（4a 2+2），其对称轴为，因为a＞0所以，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，因为g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．……… 7分因为a＞0，所以．综上所述，a的取值范围为．………… 8分（3）若时，方程x＞0可化为，．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．………… 9分以下给出两种求函数g（x）值域的方法：方法1：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），则，………… 10分所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，当x＞1，h′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，………… 11分因此h（x）≤h（1）=0．而，故b=x•h（x）≤0，因此当x=1时，b取得最大值0．………… 12分方法2：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），所以g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．设p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，则．当时，p'（x）＞0，所以p（x）在上单调递增；当时，p'（x）＜0，所以p（x）在上单调递减；因为p（1）=0，故必有，又，因此必存在实数使得g'（x0）=0，∴当0＜x＜x0时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）上单调递减；当x0＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（1，+∞）上单调递减；又因为，当x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0．因此当x=1时，b取得最大值0．12. 定义在R 上的函数)(x f y =是减函数，且函数)1(-=x f y 的图象关于（1，0）成中心对称，若s ，t 满足不等式)2()2(22t t f s s f --≤-，则当41≤≤s 时，st的取值范围是 （ ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,41 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,41 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 12.D 解析：由于函数)1(-=x f y 的图象关于（1，0）成中心对称，所以函数()y f x =关于(0,0)成中心对称，所以函数()y f x =在R 上是奇函数.因为)2()2(22t t f s s f --≤-，即22(2)(2)f s s f t t -≤-，又因为)(x f y =在R 上是减函数，所以2222s s t t -≥-，即22220s t s t -≥-≥，即（s-t ）(s+t-2)，若≤s t ，那么0≤s+t-2，即m i n220,1,1≤≤-≤-=-s+t-2t t 1即即（）s s s s s 2舍去，若≥s t ，用线性规划解决即可即：约束条件014≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩s ts+t-2s ，目标函数t z s =，几何意义是可行域内的点与原点的斜率问题，作图可观察的在min max 1;(1,1)12z =-=(-4,2)，z ，16. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，都有0n a >，n S =则数列{}n a 的通项公式为 . 16. n a n =解析：由n S =，得()23331212n n a a a a a a +++=+++，则有()23333121121n n n n a a a a a a a a ++++++=++++．可得()()223112112n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++， 由于0n a >，所以()211212n n n a a a a a ++=++++.同样有()21212n n na a a a a -=++++()2n ≥，可得2211n n n n a a a a ++-=+．所以11n n a a +-=．由于211a a -=，即当n ≥1时都有11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列．故n a n =．。