九年级数学上册《解直角三角形》教案4 华东师大版【精品教案】
华师大版数学九年级上册《解直角三角形》教学设计4
华师大版数学九年级上册《解直角三角形》教学设计4一. 教材分析华师大版数学九年级上册《解直角三角形》是学生在掌握了锐角三角函数的基础上进行学习的。
本节课主要让学生了解直角三角形的性质，学会运用锐角三角函数解决实际问题，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生逐步掌握解直角三角形的方法，提高解题技巧。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的知识，具备一定的学习能力和探究精神。
但部分学生在解决实际问题时，仍存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生进行有针对性的教学，提高学生的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握解直角三角形的方法。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
4.增强学生对数学学科的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.直角三角形的性质和特点。
2.解直角三角形的方法和技巧。
3.运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入直角三角形，激发学生的学习兴趣。
2.演示法：利用教具和多媒体展示直角三角形的性质和特点，帮助学生直观理解。
3.引导发现法：引导学生发现直角三角形的性质，培养学生的探究精神。
4.小组合作学习：分组讨论和解答问题，提高学生的合作能力和沟通能力。
5.练习法：通过丰富的练习题，巩固所学知识，提高解题技巧。
六. 教学准备1.教具：直角三角形模型、多媒体设备。
2.教材：华师大版数学九年级上册。
3.练习题：针对不同层次的学生设计适量练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入直角三角形，如测量旗杆高度等，激发学生的学习兴趣。
提问：你们知道直角三角形有哪些特点吗？2.呈现（10分钟）利用教具和多媒体展示直角三角形的性质和特点，引导学生直观理解。
讲解直角三角形的定义、性质和勾股定理。
3.操练（10分钟）分发练习题，让学生独立解答。
华东师大版九年级数学上册24.4解直角三角形第3课时教学设计
1.教学活动设计：
在课堂练习环节，我会提供以下几道题目：
（1）已知直角三角形的两边，求解第三边和两个锐角。
（2）实际问题：测量旗杆的高度、建筑物的高度等。
学生在练习过程中，我会巡回指导，解答学生的疑问。
2.教学内容关联：
通过课堂练习，让学生在实际问题中运用解直角三角形的方法，提高解题能力和应用意识。
4.利用计算器进行计算，提高学生的计算速度和准确性，培养学生的信息技术素养。
（三）情感态度与价值。
2.培养学生勇于探索、善于思考的良好学习习惯，增强学生的自信心。
3.培养学生在实际生活中发现数学问题，运用数学知识解决问题的意识。
4.通过解直角三角形的过程，让学生体会到数学在生活中的广泛应用，增强学生的应用意识。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
本节课开始时，我将向学生展示一座高楼和一座距离高楼一定距离的观测塔。提出问题：“如何通过测量地面到观测塔的高度和观测塔到高楼顶部的距离，计算出高楼的高度？”这个问题与学生的日常生活紧密相关，能够激发他们的好奇心和学习兴趣。
2.教学内容关联：
通过这个实际问题，引导学生回顾直角三角形的性质和勾股定理。在此基础上，导入本节课的教学内容——解直角三角形。
在教学过程中，注重知识、技能、过程、方法、情感态度与价值观的有机统一，使学生在掌握知识的同时，提高能力，培养良好的学习态度和价值观。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形的概念和性质有了初步的了解，掌握了勾股定理及其应用。在此基础上，学生对解直角三角形的学习具备以下特点：
1.学生已经熟悉了三角函数的概念，但对三角函数在实际问题中的应用还需进一步巩固和拓展。
华师大版数学九年级上册《解直角三角形》说课稿4
华师大版数学九年级上册《解直角三角形》说课稿4一. 教材分析华师大版数学九年级上册《解直角三角形》这一节的内容是在学生已经学习了锐角三角函数的基础上进行的。
这部分内容主要让学生了解直角三角形的性质，掌握解直角三角形的方法，以及熟练运用解直角三角形的知识解决实际问题。
教材从生活实际出发，通过让学生观察和分析实际问题，引出直角三角形的性质和解直角三角形的方法。
然后，通过例题和练习题的讲解和练习，使学生掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经掌握了锐角三角函数的知识，对三角函数有一定的理解。
但是，对于解直角三角形的方法和应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从生活实际出发，理解直角三角形的性质和解直角三角形的方法，并通过大量的练习，使学生能够熟练掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。
三. 说教学目标教学目标主要包括三个方面：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。
1.知识与技能：使学生了解直角三角形的性质，掌握解直角三角形的方法，能够熟练运用解直角三角形的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析实际问题，引导学生发现直角三角形的性质，学会解直角三角形的方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用，培养学生的创新精神和实践能力。
四. 说教学重难点教学重点是使学生掌握解直角三角形的方法，并能够熟练运用到实际问题中。
教学难点是引导学生发现直角三角形的性质，理解解直角三角形的方法。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法等教学方法。
同时，利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实际问题，引导学生观察和分析，引出直角三角形的性质和解直角三角形的方法。
华师大版-数学-九年级上册-25.3 解直角三角形-4 教案
华师大版 九年级（上） 《 第二十五章·解直角三角形 》 第三节25.3 解直角三角形—4 教 案【三维教学目标】 知识与技能：把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决。
过程与方法：①引导（教师指出学习目标） ②学生自学 ③分组交流、探究 ④展示（探究结果） ⑤教师点评（探究结果最终确认与知识、能力的提升）情感态度与价值观：渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。
教学重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决。
教学难点：如何添作适当的辅助线。
【课堂导入】我们解决的实际问题可以应用正弦及余弦解直角三角形，同时也可以应用正切和余切来解直角三角形，这一节课我们就从以上两个方面加以研究。
【教学过程】A 自 学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。
B 交 流：例1：如图，沿AC 方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B 取∠ABD = 140°，BD = 520m ，∠D=50°，那么开挖点E 离D 多远正好能使A ，C ，E 成一直线（精确到0.1m ）解：要使A 、C 、E 在同一直线上，则 ∠A BD 是 △BDE 的一个外角∴∠BED=∠ABD －∠D=90°答：开挖点E 离点D 332.8m 正好能使A ，C ，E 成一直线。
C 探 究：例2：公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠=︒QPN 30，点A 处有一所中学，AP=160m ，一辆拖拉机以3.6km/h 的速度在公路MN 上沿PN 方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围50°140° 520mA BC ED cos DE BDE BD ∠=cos DE BDE BD ∴=∠cos505200.64520332.8=⨯≈⨯=100m 以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，会受影响几分钟？NP A Q2. 解：1008030sin 1<=︒=∆AP AP APB Rt 中，）在（∴ 会影响。
九年级数学上册《解直角三角形》教案华东师大版
解直角三角形解直角三角形是初中数学的一个重要内容，它在实际生活中应用非常广泛，是中考的重点和热点，也是今后学习三角函数的基础．解直角三角形及应用与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，它是在研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，通过计算求未知的边长、角度和面积等的过程．要学好解直角三角形及应用，必须理解直角三角形中边、角之间的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数来解直角三角形，并会应用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题．现把直角三角形的解法及应用简析如下：1、明确解直角三角形的依据和思路在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则解直角三角形的主要依据是：（1）边角之间的关系：sinA ＝cosB ＝c a ， cosA ＝sinB ＝c b ，tanA ＝cotB ＝b a ，cotA ＝tanB ＝ab ． （2）两锐角之间的关系：A ＋B ＝90°．（3）三条边之间的关系：． （4）三角形面积：．（5）同角三角函数的关系： 平方关系：； 商数关系：A A A cos sin tan =，AA A sin cos cot =；倒数关系：1cot tan =A A 以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形及应用的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解．2、解直角三角形的基本类型和方法在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么已知了什么样的条件的直角三角形才可解呢？解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系．除直角以外，已知两个元素（至少有一个是边）则可作出此直角三角形，即此直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的．由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长．所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边．由此可得，解直角三角形就分为两大类，一类为：已知一条边及一个锐角，二类为：已知两条边．基本类型和解法归纳如下： 已知条件 解法一边及一锐角 直角边a 及锐角A B ＝90°－A ，b ＝a ·cotA ，A a c sin = 斜边c 及锐角A B ＝90°－A ，a ＝c ·sinA ，b ＝c ·cosA两边两条直角边a 和b22b a c +=，B ＝90°－A ，22a c b -= 直角边a 和斜边cca A =sin ，B ＝90°－A ，22a cb -= 例1、如图，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A ＝α，AE ＝1，求AB 的长．[分析一]：所求AB 是Rt △ABC 的斜边，但在Rt △ABC 中只知一个锐角A ＝α，暂不可解．而在Rt △ADE 中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt △ADE 入手．[解法一]：在Rt △ADE 中，∵ADAE A =cos ，且∠A ＝α，AE ＝1， ， 在Rt △ADC 中， ，在Rt △ABC 中，．[分析二]：观察图形可知，CD、CE分别是Rt△ABC和Rt△ACD斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解．[解法二]：同解法一得，，在Rt△ACD中，，在Rt△ABC中，．点评：本题是由几个直角三角形组合而成的图形．这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解．另外，射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，在解直角三角形时经常要用到．例2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线．若BD＝，∠B＝30°，求AD的长；[分析]：由AD是BC边的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在Rt△ADC中求解AD．而在Rt△ABC中，由已知BC边和∠B可以先求出AC，从而使Rt△ADC可解．[解析]：在Rt△ABC中，∵BC＝2BD＝2，∠B＝30°，∴AC＝BC ·tanB＝2，在Rt△ADC中，∵DC＝BD＝，∴．点评：在解直角三角形的问题中，经常会遇到如上的图形，它是含有两个直角三角形的图形．这样的问题常常是利用其中一个直角三角形来解另一个直角三角形．例3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠ABC＝45°,∠ADC＝60°，BD ＝1，求AB．分析：已知的角度告诉我们，Rt △ABC 和Rt △ADC 都是特殊的直角三角形，抓往这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解．解：在Rt △ADC 中，设DC ＝x ，∵∠ADC ＝60°，∴AD ＝2x ，AC ＝x ，在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝45°，BD ＝1，∴1＋x ＝x ， ∴x ＝，∴AB ＝AC ＝x ＝．点评：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，要注意发掘图形的几何性质，建立已知与未知的联系，利用线段的和差的等量关系布列方程．例4、Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知a ＝10，，解这个直角三角形． [分析]：因Rt △ABC 的面积为，故用已知条件可求出b 的值，这样一来，Rt △ABC 就已知两直角边了，再由直角三角形中的锐角三角函数定义，便可求出锐角和斜边．[解析]：∵∠C ＝90°，，∴＝，∵a ＝10，∴b ＝，∴3331010tan ===b a A ，∴∠A ＝60°，∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝90°－60°＝30°，∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴c ＝2b ，∴c ＝． ∴b ＝，c ＝，∠A ＝60°，∠B ＝30°．点评：在直角三角形中，锐角三角函数定义是连接三角形中边角关系的纽带，因此要熟练地掌握定义，进而灵活运用，要注意：直角三角形中若已知一边长和一个特殊锐角（30°、45°、60°），则可利用三角函数定义求出其它两边的长，利用这一方法有时比利用勾股定理要简单得多．例5、已知：如图，在△ABC 中，BC ＝＋1，∠B ＝30°，∠C ＝45°，求△ABC 的面积．[分析]：构造Rt△ABD，利用特殊角的三角函数值，求出BC边上的高AD即可．[解析]：过A作AD⊥BC，垂足为D，设AD＝x，则DC＝x，BD＝x，∵BC＝BD＋DC＝＋1，∴x＝1，∴点评：本题体现了基本图形基本性质的综合应用．同时要注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．3、解直角三角形在实际问题中的应用借助解直角三角形来解决实际问题的关键是要从实际问题中抽象出几何图形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系，从而通过解直角三角形使实际问题得到解决．例1、如图所示，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得塔顶B的仰角为30°和60°．已知测角仪器高为1.5米，CD＝20米，求铁塔的高．（精确到0.1米）．[解析]：设BG＝x，在Rt△BGF中，∵cot∠BFG＝，∴FG＝BG·cot∠BFG＝x·cot60°＝x，在Rt△BGE中，EG＝BG·cot∠BEG＝x．∵EG－FG＝EF，且EF＝CD＝20，∴x－x＝20，解得x＝10，∴AB＝BG＋AG＝10＋1.5≈18.8（米）答：铁塔的高约为18.8米．点评：把应用性问题问题，设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．例2、如图，在等腰三角形ABC 中，底边BC 为5，α是底角且tan α＝，求AC ． [解析]：作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ADB 中，∵tan α＝，∴设AD ＝2k ，BD ＝5k ， 则AB ＝k BD AD 2922=+, 又∵BC ＝5，∴BD ＝, ∴5k ＝,得k ＝． ∴AC ＝AB ＝．点评：作等腰三角形ABC 底边上的高AD ，则构造出直角三角形．例3、一艘船以32.2海里／小时的速度向正北航行，在A 处看见了灯塔S 在船的北偏东 20°，半小时后，航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°，求灯塔S 和B 处的距离．（精确到0.1海里）[解析]：依题意作简图,如图，作BE ⊥AD 于E ．∵AB ＝32.2×＝16.1（海里）， A 在Rt △AEB 中，sin20°＝，∴BE ＝AB ·sin20°＝5.5062（海里）．在Rt △BES 中，∠BSA ＝65°－20°＝45°，∵sin45°＝，∴BS ＝7.8（海里）．答：灯塔S 和B 处的距离约为7.8海里．点评：画简图时，先确定正北方向，然后按已知条件确定各角；由于△ABS 是斜三角形，所以需适当添加辅助线，构造可解直角三角形．例4、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD ，斜边AB 的坡度为1∶，坡面AB 的水平宽度为3米，上底AD 宽为4米，求坡角∠B ，坝高AE 和坝底BC 的宽（精确到0.1米）．[解析]：B BE AE i tan 31===，ο30=∴B ， 又∵坡面AB 的水平宽度为3米，即BE ＝3米，∴AE＝3（米）．∴BC＝2BE＋AD＝6＋4≈14.4（米）．答：坡角∠B为30°，坝高AE为3米，坝底宽约为14.4米．点评：应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形来解．。
华东师大版九年级数学上册24.4解直角三角形第3课时优秀教学案例
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解解直角三角形的概念和方法，能够运用勾股定理和三角函数解决实际问题。
1.学生能够熟练掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。
2.学生能够积极参与课堂讨论，表现出良好的逻辑思维能力和创新思维能力。
3.学生能够养成良好的学习习惯，形成积极向上的学习态度。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的问题为背景，创设一个与学生生活经验相关的情境，引发学生的兴趣和好奇心。例如，可以引入一个测量土地面积的问题，让学生思考如何利用直角三角形的知识来解决这个问题。
5.教学内容的全面性与深度：本节课涵盖了解直角三角形的概念、方法和应用，不仅注重知识的传授，还注重学生能力的培养。通过解决实际问题，学生能够将所学的知识运用到实际生活中，提高了他们的应用能力和解决实际问题的能力。
3.解直角三角形的应用：介绍解直角三角形在实际生活中的应用，如测量、建筑、制作家具等，让学生明白数学与生活的紧密联系。
（三）学生小组讨论
1.组织学生分组讨论：将学生分成小组，让他们合作解决一个实际问题，需要运用解直角三角形的方法。
2.引导学生积极讨论：鼓励学生积极发表自己的观点和思考，与组员进行交流和合作。教师巡回指导，给予学生必要的帮助和提示。
2.学生小结：让学生在课后对自己的学习进行小结，反思自己在本节课中学到了什么，有哪些收获和需要改进的地方。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：本节课通过引入一个测量土地面积的实际问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系。这样的情境创设不仅激发了学生的兴趣，还使学生能够更好地理解和应用所学的知识。
华师大版九年级数学上册24.4.1解直角三角形优秀教学案例
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的积极性，帮助学生树立自信心。
2.培养学生严谨治学品质。
3.通过解决实际问题，让学生感受到数学在生活中的重要性，培养学生的社会责任感。
4.培养学生团结协作、互相帮助的精神，提高学生的团队协作能力。
（三）学生小组讨论
1.设计具有探究性的任务，让学生在小组内讨论如何解决实际问题。
2.鼓励学生发表自己的观点，培养学生合作交流的能力。
3.教师参与小组讨论，指导学生解决问题，关注学生的个体差异。
（四）总结归纳
1.引导学生对所学知识进行总结，帮助学生构建知识体系。
2.总结解直角三角形的方法，强调正弦、余弦、正切函数在解决直角三角形问题中的应用。
2.问题情境：设计具有启发性的问题，如“如何在未知一条边长的情况下，求解直角三角形的其他边长和角度？”引导学生思考，激发学生探究欲望。
3.几何情境：利用几何模型、实物模型等，直观展示直角三角形的性质，让学生在直观的情境中感知数学知识。
（二）问题导向
1.设计具有挑战性和梯度的问题，引导学生独立思考，培养学生解决问题的能力。
3.小组合作的学习方式：我组织了学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作交流能力。这种小组合作的学习方式不仅能够提高学生的团队协作能力，还能够促进学生之间的交流和合作，从而提高学生的学习效果。
4.反思与评价的环节：在教学过程中，我引导学生对所学知识进行总结，帮助学生构建知识体系，提高学生的归纳总结能力。同时，让学生对自己在课堂中的表现进行评价，培养学生的自我反思能力。这种反思与评价的环节能够帮助学生更好地理解和掌握所学知识，提高学生的学习效果。
（四）反思与评价
1.引导学生对所学知识进行总结，帮助学生构建知识体系，提高学生的归纳总结能力。
华师版九年级数学上册教案：第24章 解直角三角形4 解直角三角形(3课时)
24.4解直角三角形第1课时解直角三角形一、基本目标理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.二、重难点目标【教学重点】直角三角形的解法．【教学难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P111～P113的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．任何一个三角形都有__六__个元素,三条边、三个角,在直角三角形中,已知有一个角是直角,我们把利用已知的元素求出__未知__元素的过程,叫做解直角三角形．2．在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.(1)两锐角互余,即∠A＋∠B＝__90°__；(2)三边满足__勾股定理__,即a2＋b2＝c2；(3)边与角关系sin A＝cos B＝ac,cos A＝sin B＝bc,tan A＝ab,tan B＝ba.3．Rt△ABC中,若∠C＝90°,sin A＝45,AB＝10,那么BC＝__8__,tan B＝__34__.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且a＝20,∠B ＝35°,解这个三角形．(精确到0.1,参考数据：sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70)【互动探索】(引发学生思考)已知直角三角形中的两个元素,要求解直角三角形,一般从直角三角形的性质出发,结合勾股定理与锐角三角函数的定义进行解题．【解答】∵在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠B＝35°,∴∠A＝55°.∵BC＝20,∠B＝35°,∴tan 35°＝AC20≈0.7,解得AC≈14.cos 35°＝BCAB＝20AB≈0.82,解得AB≈24.4.【互动总结】(学生总结,老师点评)在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,解直角三角形有以下基本类型：基本类型选择的关系式已知两边斜边和一直角边(c、a)b＝c2－a2；由sin A＝ac,求∠A；∠B＝90°－∠A 两直角边(a、b)c＝a2＋b2；由tan A＝ab,求∠A；∠B＝90°－∠A已知边和角斜边和一锐角(c、∠A)∠B＝90°－∠A；由sin A＝ac,求a＝c·sin A；由cos A＝bc,求b＝c·cos A一直角边和一锐角(a、∠A)∠B＝90°－∠A；由tan A＝ab,求b＝atan A；由sin A＝ac,求c＝asin A【例2】某数学兴趣小组想测量河流的宽度AB,河流两岸AC、BD互相平行,河流对岸有两棵树A和C,且A、C之间的距离是60米,他们在D处测得∠BDC＝36°,前行140米后测得∠BP A＝45°,请根据这些数据求出河流的宽度．(结果精确到0.1米,参考数据：tan 36°≈0.73,sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81)【互动探索】(引发学生思考)已知一边与一角,求其他边→利用锐角三角函数的定义求解→需作辅助线,构造直角三角形．【解答】作CH⊥BD,则BH＝AC＝60米,设AB为x米,则CH为x米．在Rt△ABP中,tan 45°＝1,∴BP＝x米,∴HD ＝BP ＋PD －BH ＝x ＋140－60＝(x ＋80)(米)． 在Rt △CHD 中,∵tan ∠CDH ＝CH HD ,∴x ＋80＝xtan 36°,∴x ＝(x ＋80)tan 36°,∴x ≈216.3. 即河流的宽度约为216.3米．【互动总结】(学生总结,老师点评)解决此类题目一般是据题目已知特点选用适当锐角三角函数去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝15,sin A ＝13,则BC 等于( B )A ．45B ．5 C.15D ．1452．如图,AD ⊥CD ,∠ABD ＝60°,AB ＝4 m,∠ACB ＝45°,则AC ＝__26__m__.3．在△ABC 中,∠C ＝90°,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知c ＝10,∠B ＝30°,解这个直角三角形．解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－30°＝60°.∵cos B ＝a c ,∴a ＝c ·cos B ＝10·cos 30°＝10×32＝5 3.∵sin B ＝b c ,∴b ＝c ·sin B ＝10·sin 30°＝10×12＝5.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图,在锐角△ABC 中,BC ＝a ,AC ＝b .探究a sin A 与bsin B之间的关系．【互动探索】观察几何图形→作垂线,构造直角三角形→表示出sin A 、sin B →转化形式得出结论．【解答】如图,过点C 作CH ⊥AB ,垂足为H .∴∠CHB ＝∠CHA ＝90°. 在Rt △BCH 中,sin A ＝CH AC ＝CH b ,∴CH ＝b ·sin A . 同理可得CH ＝a ·sin B . ∴b ·sin A ＝a ·sin B . 即a sin A ＝bsin B.【互动总结】(学生总结,老师点评)添加辅助线,构造两个直角三角形是解题的关键． 环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)解直角三角形⎩⎪⎨⎪⎧概念理论依据⎩⎪⎨⎪⎧两锐角互余勾股定理锐角三角函数常见类型⎩⎪⎨⎪⎧已知两边已知一边和一角请完成本课时对应练习！第2课时 仰角与俯角一、基本目标1．理解仰角、俯角的含义,能准确运用这些概念来解决一些实际问题． 2．培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力． 二、重难点目标 【教学重点】理解仰角和俯角的概念． 【教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P113～P114的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做__仰角__；从上往下看,视线与水平线的夹角叫做__俯角__.2. 如图,下列角中为俯角的是(C)A．∠1 B．∠2C．∠3 D．∠43. 如图所示,在建筑物AB的底部a米远的C处,测得建筑物的顶端A点的仰角为α,则建筑物AB的高可表示为__a tan_α__米．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,两建筑物的水平距离为32.6 m,从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′,求这两个建筑物的高．(精确到0.1 m)【互动探索】(引发学生思考)确定俯角α与∠ADE、俯角β与∠ACB的关系→解直角三角形．【解答】根据题意,得∠ACB＝β＝43°24′,∠ADE＝α＝35°12′,DE＝BC＝32.6 m.在Rt△ABC中,∵tan∠ACB＝AB BC,∴AB＝BC·tan∠ACB＝32.6×tan 43°24′≈30.83(m)．在Rt△ADE中,∵tan∠ADE＝AEDE,∴AE＝DE·tan∠ADE＝32.6×tan 35°12′≈23.00(m)．∴DC ＝BE ＝AB －AE ＝30.83－23.00≈7.8(m)． 即两个建筑物的高分别约为30.8 m 、7.8 m.【互动总结】(学生总结,老师点评)将题目中的两个俯角分别转化到Rt △ABC 和Rt △ADE 中,转化为解直角三角形问题是解题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角α＝75°,若AC ＝6米,则树高BC 为( D )A ．6sin 75°米B ．6cos 75°米C.6tan 75°米 D ．6tan 75°米2．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动,他们要测量一幢建筑物AB 的高度．如图,他们先在点C 处测得建筑物AB 的顶点A 的仰角为30°,然后向建筑物AB 前进10 m 到达点D 处,又测得点A 的仰角为60°,那么建筑物AB 的高度是__53__m.3. 如图,热气球探测器显示,从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°,看这栋楼底部C 处的俯角为60°,热气球与楼的水平距离AD 为100米,试求这栋楼的高度BC .解：由题意,得α＝30°,β＝60°,AD ＝100米,∠ADC ＝∠ADB ＝90°.∴在Rt △ADB 中,α＝30°,AD ＝100米,∴tan α＝BD AD ＝BD 100＝33,∴BD ＝10033米．在Rt △ADC 中,β＝60°,AD ＝100米,∴tan β＝CD AD ＝CD 100＝3,∴CD ＝1003米．∴BC ＝BD ＋CD ＝10033＋1003＝40033(米),即这栋楼的高度BC 是40033米．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图,某大楼顶部有一旗杆AB ,甲乙两人分别在相距6米的C 、D 两处测得B 点和A 点的仰角分别是42°和65°,且C 、D 、E 在一条直线上．如果DE ＝15米,求旗杆AB 的长大约是多少米？(结果保留整数,参考数据：sin 42°≈0.67,tan 42°≈0.9,sin 65°≈0.91,tan65°≈ 2.1)【互动探索】分析法：要求AB ,先求出AE 与BE →解Rt △ADE 、Rt △BCE . 【解答】在Rt △ADE 中,∠ADE ＝65°,DE ＝15米, 则tan ∠ADE ＝AEDE ,即tan 65°＝AE15≈2.1,解得 AE ≈31.5米．在Rt △BCE 中,∠BCE ＝42°,CE ＝CD ＋DE ＝21米, 则tan ∠BCE ＝BE CE ,即tan 42°＝BE21≈0.9, 解得 BE ≈18.9米．则AB ＝AE －BE ＝31.5－18.9≈13(米)． 即旗杆AB 的长大约是13米．【互动总结】(学生总结,老师点评)首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△ADE 、△CBE ,利用AB ＝AE －BE 可求出答案．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)仰角与俯角⎩⎨⎧仰角⎩⎪⎨⎪⎧ 概念应用俯角⎩⎪⎨⎪⎧概念应用请完成本课时对应练习！第3课时 坡度与坡角一、基本目标1．理解坡度与坡角的概念．2．会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题． 二、重难点目标【教学重点】解决有关坡度的实际问题．【教学难点】理解坡度的概念和有关术语．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P115～P116的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．坡度通常写成1∶__m__的形式．2．一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为__1∶3__.3．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题,也就是建立适当的函数模型)；(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数,运用解直角三角形的有关性质,解直角三角形；(3)得到数学答案；(4)得到实际问题的答案．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC＝9.8 m,路基高BE＝5.8 m,斜坡AB的坡度i＝1∶1.6,斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值．【互动探索】(引发学生思考)读懂题意→作垂线,构造直角三角形→解直角三角形,得出结论．【解答】过点C作CD⊥AD于点F,则CF＝BE,EF＝BC,∠A＝α,∠D＝β.∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5,∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m),DF＝2.5×5.8＝14.5(m)．∴AD＝AE＋FE＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tan α＝i＝1∶1.6,tan β＝i′＝1∶2.5,得α≈32°,β≈22°.即铁路路基下底宽为33.6 m,斜坡的坡角分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中,没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．活动2巩固练习(学生独学)1．为抗洪需修筑一坡度为3∶4的大坝,如果此大坝斜坡的坡角为α,那么α的正切值__0.75__.2．如图,防洪大坝的横断面是梯形,坝高AC为6米,背水坡AB的坡度i＝1∶2,则斜坡AB 的长为__65__米.3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m,此时他与出发地的垂直距离为6 m,则这个坡面的坡度为__3∶4__.4. 如图是一座人行天桥,天桥的高12米,坡面的坡比为＝1∶1,为了方便行人推车过天桥,市政府决定降低坡度,使新的斜坡的坡角为30°,问离原坡底8米处的大型广告墙M要不要拆除？解：广告牌M要拆除．活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图,小明于堤边A处垂钓,河堤AB的坡比为1∶3,坡长为3米,钓竿AC的倾斜角是60°,其长为6米,若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°,求浮漂D与河堤下端B之间的距离．【互动探索】实际问题,转化为几何问题→作辅助线,构造直角三角形→延长CA交DB 延长线于点E,过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→利用三角形性质得出结论．【解答】如图,延长CA交DB延长线与点E,过点A作AF⊥EB,交EB于点F.则∠CED＝60°.∵AB 的坡比为1∶3, ∴∠ABE ＝30°, ∴∠BAE ＝90°. ∵AB ＝3米,∴AE ＝AB tan ∠ABE ＝3×33＝3米,BE ＝2AE ＝23米． ∵∠C ＝∠CED ＝60°, ∴△CDE 是等边三角形． ∵AC ＝6米,∴DE ＝CE ＝AC ＋AE ＝(6＋3)米,则BD ＝DE －BE ＝6＋3－23＝(6－3)(米), 即浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为(6－3)米．【互动总结】(学生总结,老师点评)本题既考查了解直角三角形,也考查了等边三角形的性质,根据题目的已知条件构造出直角三角形及等边三角形是关键．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)坡度与坡角⎩⎪⎨⎪⎧坡度的概念—通常写成比的形式坡角的概念—坡角越大，坡面就越陡坡度与坡角在解直角三角形中的应用请完成本课时对应练习！。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》公开课教案_4
24.4解直角三角形(2)教学目标:1、使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题。
2、逐步培养分析问题、解决问题的能力。
教学重点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。
教学难点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。
教学过程:（复习提问）1、解直角三角形指什么？2、解直角三角形主要依据什么？（1）勾股定理（2）锐角之间的关系（3）边角之间的关系导课：问题：小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲心想：“站在地面上可以利用解直角三角形测得图书大厦的高，站在自家窗口能利用解直角三角形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线与水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？（如图所示）∠BAC与∠DAC在测量中叫什么角？（学生回答后引入新课课题---解直角三角形2：仰角、俯角）设疑自探看到本节课题，你想知道什么问题？（学生提出问题，教师归纳、板书，形成自探提纲）自探提示（一）：请同学们自学教材p113页内容，独立解决以下问题，时间4分钟。
1、什么叫仰角？2、什么叫俯角？3、本课导语的图中，有仰角和俯角吗？若有，请指出其中的仰角和俯角。
解疑合探（一）（学生自学结束后，小组内交流讨论自探过程中遇到的疑难问题，达成共识）1、在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；2、从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
自探提示（二）如图，为了测量旗杆的高度AB，在离旗杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为22°，求旗杆AB的高.（精确到0.1米）(tan22°≈0.404)解疑合探（二）解：在Rt△ADE中，AE＝DE×tan a＝BC×tan a＝22.7×tan 22°≈9.17AB＝BE＋AE＝AE＋CD＝9.17＋1.20≈10.4（米）答:旗杆的高度约为10.4米．质疑再探在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题？请大胆提出来，大家共同解决。
华东师大版)九年级数学上册《24.4解直角三角形》教学设计
2.提问：“我们已经学习了勾股定理，那么如何利用勾股定理来解决直角三角形中的未知问题呢？”通过这个问题，引发学生对解直角三角形方法的思考。
3.引导学生回顾Βιβλιοθήκη 股定理的内容，为新课的学习做好知识铺垫。
c.正切函数：在直角三角形中，对于角A，正切函数定义为对边与邻边的比值，即tanA =对边/邻边。
2.通过具体实例，讲解如何运用三角函数解决直角三角形中的未知问题，如求角度和边长。
3.结合计算器，让学生学会计算三角函数的值，并解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，每组讨论以下问题：
a.如何利用三角函数解决实际问题？
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握三角函数的定义和性质，特别是正弦、余弦、正切函数在实际问题中的应用。
2.能够运用勾股定理和三角函数解决直角三角形中的未知角度和边长问题，以及解决一些实际问题。
3.培养学生运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.教学导入：通过生活中的实例，如测量旗杆高度、楼间距等，引出解直角三角形的问题，激发学生的学习兴趣，使其认识到数学与现实生活的紧密联系。
4.教学策略：
a.分层教学：针对学生的不同水平，设计不同难度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
b.适时反馈：在教学过程中，及时关注学生的学习情况，给予针对性的指导和鼓励，提高学生的学习信心。
5.教学评价：
a.过程性评价：关注学生在课堂讨论、实践操作等方面的表现，鼓励学生积极参与，培养其探究精神和创新能力。
九年级上册数学华东师大版教案24.4解直角三角形高品质版
24．4 解直角三角形第1课时解直角三角形及其应用【知识与技术】使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．【过程与方法】经过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐渐培育学生剖析问题、解决问题的能力．【感情态度】浸透数形联合的数学思想，培育学生优秀的学习习惯．【教课要点】直角三角形的解法．【教课难点】三角函数在解直角三角形中的灵巧运用．一、创建情境，导入新知1．勾股定理的内容是什么？2．直角三角形中两锐角的关系是什么？3．直角三角形中边角有什么关系？4．△ABC中，∠C＝90°，(1)假定∠A＝30°，c＝10cm，那么a＝_______，b＝_______，∠B＝________．a b(2)假定∠A＝40°，c＝10cm，那么由sinA＝c，可得a＝______＝______，由cos A＝c得，b＝______＝______．二、合作研究，理解新知1．指引学生对三角函数进行变形，如由sin aA＝c，得a＝c·sin aA，c＝sin A等．(1)我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道此中的两个元素(起码有一个是边)后，便可求出其他的元素．2．“为何两个元素中起码有一条边？〞让全体学生思虑，在作出正确回复后，教师请学生归纳什么是解直角三角形？在直角三角形中，由的边角关系求出未知的边与角，叫做解直角三角形．3．对应练习如图①和②，依据图中的数据解直角三角形；①②在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b＝20，∠B35°，解这个三角形(精准到0.1)．在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c＝20，∠B35°，解这个三角形(精准到0.1)．【教课说明】(1)指引学生用多种方法解并组织学生比较各样方法中哪些较好，选一种板演．达成以后指引学生小结“一边一角，如何解直角三角形？〞答：先求此外一角，而后选用适合的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简易的话，最好用题中原始数据计算，这样偏差小些，也比较靠谱，防备第一步错致使一错究竟．做完以上练习后归纳解直角三角形的种类：①两条边；②一条边和一个锐角．在解直角三角形的过程中，常会碰到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精准到1′.知识运用例：以下列图，一棵大树在一次激烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处．大树在折断以前高多少？教师展现教材中例1(图24.4.1)．我们在碰到实质问题时，熟习的问题联系起来，再把新问题转变为熟习的问题来进行研究．题变为我们熟习的图形呢？老是第一把新问题与我们那么，如何把这个实质问学生着手试试，分组沟通后，举手回复．师生共同绘图转变为直角三角形．明确：对于现实问题平时化为数学模型来办理，这里表达数学建模的思想.解：利用勾股定理能够求出折断倒下局部的长度为52＋122＝13.＋5＝18(米)．所以，大树在折断以前高为18米．三、试试练习，掌握新知根基练习1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c是△ABC的三边，a＝5，b＝53，求c，∠A、∠B的值．2．教材第113页练习第1题．拓展练习3．在锐角△ABC中，AB＝6，AC＝7，∠B＝60°，求BC的长．4．请同学们达成?研究在线·高效讲堂?“随堂练习〞局部．四、讲堂小结，梳理新知经过本节课的学习，你有什么收获？本节的重要内容是解直角三角形的相关知识，解直角三角形的依照是勾股定理、两锐角互余和边角之间的关系，一般有两种种类：两边，一边和一锐角，解题时要选择适合的关系式，尽可能使用原题数据和防备做除法运算．五、深入练习，牢固新知请同学们达成?研究在线·高效讲堂?“课时作业〞局部．1．教材习题第1、2题．2．以下列图，是某单位的泊车棚上方的角钢固定架，E、F将BC四平分．问制成这样的钢架共需角钢多少米？假定BC＝15米，∠B＝28°，点(不考虑焊接损失，结果保留到D、1米)33．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝2，AC＝23，求AB.第2课时方向角与解直角三角形第3课时仰角、俯角与解直角三角形【知识与技术】1．认识仰角、俯角、方向角的观点．2．能依据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方向角相关的实质问题．【过程与方法】能够借助协助线解决实质问题，掌握数形联合、抽象归纳的思想方法．【感情态度】感知本节与实质生活的亲密联系，认识知识应用于实践的意义．【教课要点】解直角三角形在实质中的应用．【教课难点】将某实质问题中的数目关系，归纳为直角三角形中元素之间的关系，进而解决问题．一、创建情境，导入新知1．什么叫解直角三角形？2．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于D，AD＝2，求BC的长．二、合作研究，理解新知1．方向角指引学生复习与方向角相关的知识．例题．例1：如图，城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A城南偏东30°的海面生成，A并以每小时40海里的速度向正北方向挪动，上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°的方向，假定台风中心120海里的范围内将受台风影响，问A城能否会受9号台风影响？剖析：A城能否会受台风影响，就是A城到台风挪动路线BC的距离能否大于120海里．解：过A作⊥于，设＝＝，那么＝3，AE BC E AE EC x BE x∵BC＝2×40＝80，∴BC＝BE－CE＝(3－1)x＝80.x＝40(3＋1)≈109.3<120.A城会受台风影响．【教课说明】经过例题，学会解决与方向角相关的问题．2．俯角、仰角几个观点：①铅垂线；②水平线；③视野；④仰角：视野在水平线的上方，视野与水平线的夹角；⑤俯角：视野在水平线的下方，视野与水平线的夹角．说明：学生阅读教材“读一读〞．教课时，能够让学生仰望灯或俯视桌面以领会仰角与俯角．例题例2：如图，为了丈量电线杆的高度AB，在离电线杆米的C处，用高米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角α＝22°，求电线杆AB的高．(精准到米)解：在Rt△BDE中，BE＝DE×tanα＝AC×tanα＝×tan22°≈，∴AB＝BE＋AE＝BE＋DC＝＋≈(米)．答：电线杆的高度约为米．(3)练习教材第114页练习第1题．三、试试练习，掌握新知1.如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔处)在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的地点到公路的距离AB是((图中点)AA．250m B．2503m500C.33m D．2503m2．教材第114页练习第2题．如图，某数学兴趣小组在活动课上丈量学校旗杆高度，小明的眼睛与地面的距离AB是m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离CD是m，看旗杆顶部M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆双侧(点B、N、D在同一条直线上)．恳求出旗杆的高度．(参照数据：2≈，3≈，结果保留整数)MN【教课说明】达成上述问题后，让学生总结解决与仰角、俯角、方向角相关的问题时，常用以下两个根本图形．ACAC AC AC此中第一个图中知足：DE＝tanα＋tanβ，第二个图中知足DE＝tanα－tanβ.可让学生推导出这两个式子．4．请同学们达成?研究在线·高效讲堂?“随堂练习〞局部．四、讲堂小结，梳理新知经过本节课的学习，你有什么收获？请学生总结：经过学习两个例题及练习，初步学会把一些实质问题转变为数学识题，过解直角三角形来解决，详细来说，本节课经过让学生把实质问题转变为数学识题，切解直角三角形，进而把问题解决．通利用正本课波及一种重要数学思想：转变思想．五、深入练习，牢固新知请同学们达成?研究在线·高效讲堂?“课时作业〞局部．1．教材习题第3、4题．2.在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教课楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向行进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，测点A、B和C离地面高度都为米，求条幅顶端D点距离地面的高度．(计算结果精准到米，参照数据：2≈，3≈1.732)3．如图，在小山的西侧A处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后抵达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点B，十分钟后，在D处测得着火点B的俯角为15°，求热气球升空点A与着火点B的距离．(结果保留根号，参照数据：sin15°＝6－26＋2，cos15°＝，tan15°＝442－3)第4课时利用坡角或坡比解直角三角形【知识与技术】会运用解直角三角形相关知识解决与坡度、坡角相关的实质问题．【过程与方法】逐渐培育学生剖析问题、解决问题的能力；浸透数形联合的数学思想和方法．【感情态度】进一步感知本节与实质生活的亲密联系，认识知识应用于实践的意义．【教课要点】解决相关坡度的实质问题．【教课难点】理解坡度的相关术语．一、创建情境，导入新知前面我们研究了与仰角、俯角、方向角相关的问题，今日研究与坡度、坡角相关的问题．二、合作研究，理解新知1．坡度、坡角的观点展现教材中“读一读〞，你看懂图了吗？几个观点：铅垂高度h；水平长度l；h(3)坡度(坡比)i：坡面的铅垂高度h和水平长度l的比i＝l；h(4)坡角α：坡面与水平面的夹角α；i＝l＝tanα.明显，坡度i越大，坡角α就越大，坡面就越陡．2．例题例1：如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少(精准到m)．剖析：(1)例题中出现很多术语——株距、倾斜角，这些观点学生未接触过，比较生疏，而株距观点又是学生易记错之处，所以教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更简单说明术语，切合学生的思想特色．指引学生将实质问题转变为数学识题画出图形(上图中的第二个图)．：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝m，∠A＝24°，求AB.(3)学生运用解直角三角形知识完整能够独立解决例1.教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．AC解：在Rt△ABC中，cos A＝AB，ACAB＝cos A＝≈6.0(米)．答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是米．教师指引学生评论黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．3．练习：(1)沿山坡行进10米，相应高升5米，那么山坡坡度________，坡角________．(2)假定一斜坡的坡面的余弦为310，那么坡度为______．10(3)堤坝横断面是等腰梯形．(以下列图)①假定AB＝10，CD＝4，高h＝4，那么坡度i＝______，AD＝______；②假定AB＝10，CD＝4，i＝1，那么h＝______．5知识运用例2：如图，一段路基的横断面是梯形，高为米，上底的宽是米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽．(精准到米)先让学生思虑：在碰到梯形时怎么把它切割成能够解决的图形呢？解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F.由题意可知DE＝CF＝4.2(米)，CD＝EF＝12.51(米)．在Rt△ADE中，DE≈6.72(米)．∵i＝＝tan32°，∴AE＝tan32°AE在Rt△中，同理可得＝≈7.90(米)．BFC BF tan28°(1)AB＝AE＋EF＋BF≈＋＋≈(米)．答：路基下底的宽约为米．例3：沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽2m，坡度由本来的1∶2改为1∶，坝高6m，坝长50m，求：加宽局部横断面的面积；达成这一工程需要的土方是多少？剖析：加宽局部的横断面AFEB为梯形，故经过作梯形的高结构直角三角形，利用坡度的变化求解．∴解：(1)设梯形ABCD为原大坝的横截面图，梯形AFEB为加宽局部，过A、F分别作AG⊥BC于G，FH⊥BC于H.在Rt△ABG中，由i AB＝1∶2，AG＝6，得BG＝12，在Rt△EFH中，由i EF＝1∶，FH＝6，得EH＝15，EB＝EH－BH＝EH－(BG－HG)＝15－(12－2)＝5，S四边形AFEB＝1(2＋5)×6＝21m2.2V＝50×S四边形AFEB＝21×50＝1050m3.【教课说明】例3可依据学生状况、时间选择解说．三、试试练习，掌握新知1．在坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，那么两树间的坡面距离AB为()A．4m B.3m433mC.mD．432．某商场门前的台阶截面以下列图．每级台阶的宽度(如CD)均为30cm，每级台阶高度(如BE)均为20cm.为了方便残疾人行走，商场决定将此中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，而且设计斜坡的倾斜角为9°，请计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离．(参照数据：sin9°≈°≈，tan9°≈0.16)3．如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD，DC∥AB.迎水坡AD长为23米，上底DC长为2米，背水坡BC长也为2米，又测得∠DAB＝30°，∠CBA＝60°，求下底AB的长．答案：解：过D、C分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F.在Rt△ADE中，∠A＝30°，AD＝23.DE＝AD sin30°＝3，AE＝AD cos30°＝3.在Rt△CBF中，BF＝BC cos60°＝1，∴AB＝AE＋EF＋BF＝3＋2＋1＝6(米)．答：下底的长为6米．4．请同学们达成?研究在线·高效讲堂?“随堂练习〞局部．四、讲堂小结，梳理新知经过本节课的学习，你有什么收获？教师请学生总结：1．在这种实质应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，固然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要擅长发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．2．利用解直角三角形的知识解决实质问题的一般过程是：将实质问题抽象为数学识题(画出平面图形，转变为解直角三角形的问题)；依据条件的特色，适中采用锐角三角函数去解直角三角形；获得数学识题的答案；获得实质问题的答案．五、深入练习，牢固新知请同学们达成?研究在线·高效讲堂?“课时作业〞局部．教材第116页练习．2.如图，梯形是拦水坝的横断面图(图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DEABCD与水平宽度CE的比)，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果保留三位有效数字．参照数据：3≈，2≈1.414)对爸爸的印象，从记事的时候，就有了，他留给我的印象就是缄默少言的，但是脸上却一直有浅笑，不论家里碰到了什么样的困难，只需有爸爸在，全部都能够雨过天晴的，小时候，家里很穷，但是作为孩子的我们〔我和哥哥〕，却很幸福。
华东师大版数学九年级上册24.4解直角三角形教学设计
4.设计丰富的例题和练习，让学生在实际操作中巩固所学知识，提高解题能力。
5.注重知识间的联系，引导学生将解直角三角形与勾股定理、相似三角形等知识进行整合，形成完整的知识体系。
（三）情பைடு நூலகம்态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发学生主动学习的欲望。
3.重点：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
难点：激发学生的创新思维，提高学生的应用意识和解决实际问题的能力。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，创设与学生生活密切相关的问题情境，引导学生主动探究解直角三角形的原理和方法。
（2）运用问题驱动法，引导学生提出问题，通过合作、讨论、探究等方式解决问题，培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
2.教学内容：针对学生的个体差异，进行个性化辅导。
教学过程：关注学生的解题过程，针对不同学生的需求，给予个性化的辅导和指导。鼓励学生提问，解答学生的疑惑，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课的重点知识进行梳理和总结。
教学过程：教师带领学生回顾本节课所学的知识点，如解直角三角形的原理、三角函数的应用、计算器使用等。通过提问、解答等方式，强化学生对知识点的记忆。
（3）优秀学生：完成课本习题24.4第5题，并撰写解题报告，探讨解直角三角形在实际问题中的应用。
5.预习作业：布置下一节课的相关预习内容，让学生提前了解下节课的知识点，为课堂学习做好准备。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真审题，规范书写，确保解题过程的准确性。
2.鼓励学生在解题过程中相互讨论、交流，提高解题效率。
华东师大初中九年级数学上册《解直角三角形》教案
解直角三角形第一课时教学目标1、巩固勾股定理，熟悉运用勾股定理。
2、学会运用三角函数解直角三角形。
3、 掌握解直角三角形的几种情况。
重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。
难点：运用三角函数解直角三角形。
教学过程我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具.例1 如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为26241022=+ 26＋10＝36（米）.所以，大树在折断之前高为36米.在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.例2 如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40゜的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）解 在Rt △ABC 中，因为∠CAB ＝90゜－∠DAC ＝50゜，ABBC ＝tan ∠CAB , 所以 BC ＝AB •tan ∠CAB=2000×tan50゜≈2384(米).又因为︒=50cos ACAB ， 所以 AC ＝)(311150cos 200050cos 米≈︒=︒AB 答：敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米. 在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角课堂练习1. 在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2. 海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）学习小结布置作业习题：1；练习册第二课时教学目标1、巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
华师大版九年级数学上册24.4.1解直角三角形教学设计
7.评价与反思，促进成长：采用多元化评价方式，关注学生的过程表现和成果展示。引导学生进行自我反思，发现不足，制定改进措施，促进学生的成长。
8.融入信息技术，提高教学效果：利用多媒体、网络等信息技术手段，形象生动地展示解题过程，提高课堂教学效果。
3.突破难点，强化方法：通过讲解和演示，引导学生理解并掌握三角函数的定义和用法，结合具体例题，让学生在实际操作中突破难点。
4.合作学习，培养团队精神：组织学生进行小组讨论、交流，共同解决问题。教师在此过程中，引导学生学会倾听、表达、协作，培养团队精神。
5.创设互动课堂，提高学生参与度：鼓励学生提问、发表见解，教师及时给予反馈，营造积极向上的课堂氛围，提高学生的课堂参与度。
1.学生对勾股定理的应用还不够熟练，需要在实际例题中加强训练，提高解题速度和准确率。
2.学生对三角函数的理解和应用尚处于起步阶段，需要通过具体实例，让学生感受三角函数在解直角三角形中的价值。
3.部分学生对数学学习的兴趣不高，需要设计有趣、富有挑战性的教学活动，激发学生的学习热情。
4.学生在团队合作中，可能存在沟通不畅、分工不明确等问题，教师需引导学生学会相互协作，提高团队效率。
（二）讲授新知
1.讲解勾股定理法：通过具体例题，让学生理解并掌握如何运用勾股定理求解直角三角形的边长。
2.介绍三角函数法：讲解正弦、余弦、正切函数的定义和性质，引导学生学会运用三角函数求解直角三角形中的未知角度。
3.结合实际例题，展示如何运用勾股定理法和三角函数法求解直角三角形，让学生直观地感受解题过程。
九年级数学上册24.4解直角三角形(4)教案华东师大版
24.4解直角三角形（4)教学目标:综合运用前面所学的知识，通过添加适当的辅助线来构造Rt △,从而解决较复杂的实际问题.重点难点：利用前面所学知识，解决较复杂的实际问题 教学过程：一、复习、练习1.Rt △ABC 中，∠C=90°,CD ⊥AB 于D,若AD=2，CD=4,则tanB=212。
Rt △ABC 中,∠A=90°,sinB=32，c=2，则b=5543.Rt △ABC 中，∠C=90°，斜边上中线CD=3，AC=3。
6，tan ∠DCB=43二、应用例1如图△ABC 中，∠B=45°,∠C=60，AD ⊥BC 于D ，AD=2，求:(1）BC 的长 （2）S ABC ∆解:（1）∵AD ⊥BC ，∠B=45°，∠C=60°,AD=2 ∴BD=2，CD=332 ∴BC=2+332 （2）∴S ABC ∆=21×2×(2+332)=2+332例2如图，为调整数学格局，充分发挥资源优势，现将地处A 、B 两地的两所技校合并成职业技术教育中心，为方便A 、B 两校师生的交往，学校准备在相距5千米的A 、B 两地修筑一条笔直公路AB ，经测量,在A 地的北偏东60°方向,B 地的西偏北45°方向的C 处有一半径为1.8千米的湖泊，问计划修筑的这条公路会不会穿过湖泊？分析：要想知道公路会不会穿过湖泊，就必须知道点C 到AB 的距离是否大于1.8千米。
解:过C 作CD ⊥AB 于D. 由题意知∠CAD=30°,DCBA4560D CBA在Rt △ACD 中，AD=CD CAD CD 3cot =∠⋅, 在Rt △BCD 中，同理可得CD=DB ， ∴AB=AD+BD=（3+1）CD =5， ∴CD ≈1.84（千米）＞1。
8千米答：计划修筑的这条公路不会穿过湖泊。
例3如图，河对岸有一电线杆CD ，从A 点测得电线杆顶端的仰角为18°,前进30米，到B 处测得D 点的仰角为36°,求电线杆的高度（精确到0。
华师大版九年级上册《解直角三角形》教学案例
华师大版九年级上册《解直角三角形》教学案例《华师大版九年级上册《解直角三角形》教学案例》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教学目标：【知识与技能】1、弄清解直角三角形的含义，理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2、利用构造直角三角形的方法解决与之相关的实际问题。
3、通过变题的训练，提高学生的解题能力，并使学生从中体会到学数学、用数学的乐趣。
【过程与方法】通过自主学习、合作探究等方式，学会将实际问题转化为数学问题。
【情感与态度】1、从实际问题—数学问题，培养数形结合的思想;2、体验数学来源于生活，又应用于生活。
教学重点：能把实际问题转化为数学问题，并能较熟练地解决问题教学难点：实际问题→数学问题教学过程：(一)创设情境，导入新课1、回顾直角三角形各元素间的关系。
2、展示例1：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处，大树在折断之前高多少?由如何解决实际问题引出课题。
(二)自主学习，合作探究1、合作解决例1的问题，体验把实际问题转化为数学问题。
(完成“试一试”)2、展示例2：如图，为了测量电线杆的高AB，在离电线杆21米的D处，用高1.5米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角ɑ=30°,求电线杆AB的高。
先通过“读一读”了解仰角、俯角的定义，再合作解决问题，注意与例1的区别。
(完成“做一做”)3、合作探究，解决较复杂的问题：如图，小明想测量古塔CD的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为45°，再向古塔方向前进了40米到达B处，测得仰角为60°，求古塔的高度。
(完成“做一做”)(三)合作学习，提升能力合作解决“想一想”中的问题：两条公路OM、ON相交成30度角，在公路0M上，距O点80米的A处有一所学校，当拖拉机沿公路ON方向行驶时，路两旁50米以内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为18千米/小时，那么拖拉机在行驶的过程中，是否会给学校带来噪音影响?如受影响，会影响多长时间?(1、正确画出图形，讨论哪个条件决定是否受影响。
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解直角三角形
教学目标：综合运用前面所学的知识，通过添加适当的辅助线来构造Rt △,从而解决较复杂
的实际问题。
教学重点难点:利用前面所学知识，解决教复杂的实际问题
教学过程：
一、复习、练习
1.Rt △ABC 中，∠C=90°,CD ⊥AB 于D,若AD=2，CD=4,则tanB=
21 2.Rt △ABC 中，∠A=90°,sinB=32,c=2,则b=55
4 3.Rt △ABC 中，∠C=90°，斜边上中线CD=3，AC=3.6，tan ∠DCB=4
3 二、应用
例1. 如图△ABC 中，∠B=45°，∠C=60，AD ⊥BC 于D ，AD=2，
求：（1）BC 的长 （2）S ABC ∆
解：（1）∵AD ⊥BC ，∠B=45°，∠C=60°，AD=2 ∴BD=2，CD=332 ∴BC=2+33
2 （2）∴S ABC ∆=2
1×2×（2+332）=2+332
例2. 如图，为调整数学格局，充分发挥资源优势，现将地处A 、B 两地的两所技校合
并成职业技术教育中心，为方便A 、B 两校师生的交往，学校准备在相距5千米的A 、B 两地修筑一条笔直公路AB ，经测量，在A 地的北偏东60°方向，B 地的西偏北45°方向的C 处有一半径为1.8千米的湖泊，问计划修筑的这条公路会不会穿过湖泊？
分析：要想知道公路会不会穿过湖泊，就必须知道点C 到AB 的距离是否大于1.8
千米。
解：过C 作CD ⊥AB 于D
由题意知∠CAD=30°，在Rt △ACD 中，AD=CD CAD CD 3cot =
∠⋅，在Rt △BCD 中，同理可得CD=DB ，∴AB=AD+BD=（3+1）CD=5，∴CD ≈1.84（千米）＞1.8千米
答：计划修筑的这条公路不会穿过湖泊。
例3. 如图，河对岸有一电线杆CD ，从A 点测得电线杆顶端的仰角为18°，前进30米，
到B 处测得D 点的仰角为36°，求电线杆的高度（精确到0.1米） 解：∵∠ADB=∠DBC-∠A=36°-18°=18°=∠A ，∴DB=AB=30，
在Rt △ABC 中，CD=5878.030sin ⨯=∠⋅DBC BD ≈17.6（米） 答：电线杆的高度约为17.6米。
三、引申提高：
例4. 如图，A 城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A 城南偏东30°的海面生成，
并以每小时40海里的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到了A 城
D C B A 4560D
C
B A 18
36D C B A
南偏东45°的方向，若台风中心120海里的范围内将受台风影响，问A 城是否会受9号台风影响？
分析：A 城是否会受台风影响，就是A 城到台风移动路线BC 的
距离是否大于120千米。
解：过A 作AE ⊥BC 于E ，设AE=EC=χ，则BE=χ3，
∵BC=2×40=80，∴BC=BE-CE=（3-1）χ=80， ∴)13(40+=χ≈109.2＜120，
∴A 城会受台风影响。
三、巩固练习
P85， 6，7，8
四、课时小结
运用所学知识解决实际问题，学会几何建模，通过解Rt △求解
五、课作
P86， 11，12，13
E 30C
B A。