高考真题——三角函数及解三角形真题(加问题详解)
专题20 三角函数及解三角形解答题丨十年高考数学真题分项汇编(解析版)(共62页)
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—三角函数解答题目录题型一：三角恒等变换...........................................................................1题型二：三角函数与向量综合...............................................................4题型三：三角函数的图像与性质...........................................................8题型四：正余弦定理的应用.................................................................20题型五：与三角形周长、面积有关问题..............................................38题型六：三角函数的建模应用.............................................................50题型七：结构不良型试题 (56)(1)求sin B 的值；(2)求c 的值；(3)求()sin B C -．【答案】(1)1313(2)5(3)26-解析：(1)由正弦定理可得，sin sin a b A B =，即2sin120sin B = ，解得：sin 13B =；(2)由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即21394222c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得：5c =或7c =-(舍去)．(3)由正弦定理可得，sin sin a c A C =，即5sin120sin C = ，解得：sin 26C =，而120A =o ，所以,B C 都为锐角，因此cos 26C ==，cos 13B ==，故()sin sin cos cos sin 1326132626B C B C B C -=-=⨯-⨯=-．2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第17题)已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．(1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．【答案】(1)31010(2)6解析：(1)3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，sin 10A ∴=．(2)由(1)知，10cos 10A ==，由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin (210105A C A C =+=+=，由正弦定理，sin sin c bC B=，可得255522b ⨯==，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 610h b A ∴=⋅==．3．(2018年高考数学江苏卷·第16题)(本小题满分14分)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．(1)求cos 2α的值；(2)求tan()αβ-的值．【答案】解析：(1)因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，29cos 25α=，因此27cos 22cos 125αα=-=-．(2)因为,αβ为锐角，所以(0,)αβπ+∈．又因为5cos()5αβ+=，所以25sin()5αβ+=，因此，tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--，因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-++．4．(2018年高考数学浙江卷·第18题)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin(π)α+的值;(2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β值．【答案】(1)45；(2)5665-或1665．【解析】(1)由角α终边过点34(,55P --得4sin =5α-，所以4sin =sin =5απα+-（）．(2)由角α终边过点34(,55P --得3cos =5α-，由5sin()13αβ+=得12cos +=13αβ±（）．由()βαβα=+-得cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++当12cos()13αβ+=时，1235456cos 13513565β⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当12cos()13αβ+=-时，1235416cos 13513565β⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以56cos =65β-或1665．5．(2014高考数学广东理科·第16题)已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)求A 的值；(2)若23)()(=-+θθf f ，2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．【答案】解：(1)依题意有55233sin sin 12124322f A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A =(2)由(1)得()),4f x x x Rπ=+∈，()()3sin sin 442f f ππθθθθθ⎤⎛⎫⎛⎫∴+-=++-+==⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦cos 4θ∴=，(0,)sin 24πθθ∈∴=== 33304444f πππθθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-+==⎪ ⎝⎭⎝⎭6．(2014高考数学江苏·第15题)已知),2(ππα∈，55sin =α．(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值．【答案】(1)1010-；(2)43310+-解析：(1)因为α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin α＝55，所以cos α＝255=-．故sin π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝252510⎛⎫⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．(2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝42555⎛⨯⨯-=- ⎝⎭，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2325⨯=⎝⎭，所以cos 5π5π5π2cos cos 2sin sin 2666ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＝314525⎛⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭题型二：三角函数与向量综合1．(2014高考数学山东理科·第16题)已知向量(,cos 2)a m x = ，(sin 2,)b x n = ，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-．(Ⅰ)求,m n 的值；(Ⅱ)将()y f x =的图象向左平移ϕ(0ϕπ<<)个单位后得到函数()y g x =的图象．若()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间．【答案】(Ⅰ)⎩⎨⎧==13n m (Ⅱ)z k k k ∈+-],,2[πππ解析：(Ⅰ)已知x n x m b a x f 2cos 2sin )(+=⋅=，)(x f 过点)2,32(),3,12(-ππ36cos 6sin 12(=+=∴πππn m f 234cos 34sin )32(-=+=πππn mf 1221222m n m n ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪--=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m ．(Ⅱ))62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f )(x f 左移ϕ后得到622sin(2)(πϕ++=x x g 设)(x g 的对称轴为0x x =，1120=+=x d 解得00=x 2)0(=∴g ，解得6πϕ=x x x x g 2cos 222sin(2)632sin(2)(=+=++=∴πππ222,k x k k Zπππ∴-+≤≤∈,2k x k k Z πππ∴-+≤≤∈)(x f ∴的单调增区间为[,],2k k k Zπππ-+∈2．(2017年高考数学江苏文理科·第16题)已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b (1)若a b ,求x 的值;(2)记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】(1)5π6x =(2)0x =时,()f x 取得最大值,为3;5π6x =时,()f x取得最小值,为-．解析:解:(1)因为 cos ,s n )i (x x = a,(3,= b ,a b ,所以3sin x x =．若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠．于是3tan 3x =．又[0,]x π∈,所以5π6x =．(2)π(cos ,sin )(3,3cos s ()o (6f x x x x x x =⋅=⋅==+ a b ．因为[0,]x π∈,所以ππ7π[,666x +∈,从而π1cos()62x -≤+≤．于是,当ππ66x +=,即0x =时,()f x 取到最大值3;当π6x +=π,即5π6x =时,()f x取到最小值-．3．(2014高考数学辽宁理科·第17题)(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙= ，1cos 3B =，3b =，求：(1)a 和c 的值；(2)cos()B C -的值．【答案】(1)a =3，c =2；(2)2327解析：(1)2BA BC ∙= ，1cos 3B =，cos 2BA BC B ∴∙= ，即6a c ⋅=①，由余弦定理可得2221cos 23a c b B ac +-==，化简整理得2213a c +=②，①②联立，解得，a =3，c =2；(2)12cos ,sin 33B B =∴== ，因为a =3，3b =，c =2，由余弦定理可得2227cos29a cb Cab -+==，42sin 9C ∴==，7123cos()cos cos sin sin 939327B C B C B C ∴-=+=⋅+⋅=．解析2：(2)在△ABC 中，1cos ,sin 33B B =∴==，根据正弦定理sin sin b cB C=可得sin 42sin 9c B C b ==，a b c => ，C ∴为锐角，7cos 9C ∴==，7142223cos()cos cos sin sin 939327B C B C B C ∴-=+=⋅+⋅=．4．(2015高考数学陕西理科·第17题)(本小题满分12分)C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()m a =与()cos ,sin n =A B平行．(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)2．分析：(Ⅰ)先利用//m n可得sin sin 0a B -A =，再利用正弦定理可得tan A 的值，进而可得A 的值；(Ⅱ)由余弦定理可得c 的值，进而利用三角形的面积公式可得C ∆AB 的面积．解析：(Ⅰ)因为//m n，所以sin cos 0a B A =，由正弦定理，得sinA sinB A 0-=又sin 0B ≠，从而tan A =，由于0A π<<，所以3A π=(Ⅱ)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A=+-而2,a ==3πA =得2742c c =+-，即2230c c --=因为0c >，所以3c =．故C ∆AB的面积为1bcsinA 22=．解法二：由正弦定理，得72sin sin 3π=B，从而21sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以cos 7B =．故()321sinC sin A B sin sin cos cos sin 33314B B πππ⎛⎫=+=B +=+=⎪⎝⎭所以C ∆AB的面积为133bcsinA22=．5．(2015高考数学广东理科·第16题)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．(1)若m n ⊥，求tan x的值;(2)若m与n 的夹角为3π，求x 的值．【答案】解析：(1) ,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(sin,cos )n x x =，且m n ⊥ ，sin sin cos 0,sin cos ,tan 122cos x m nx x x x xx∴⋅=-=∴===(2)11sin cos ||||cos ,sin()223242m n x x m n x ππ⋅=-=⋅=∴-=5(0,,,,24444612x x x x πππππππ⎛⎫∈∴-∈-∴-== ⎪⎝⎭题型三：三角函数的图像与性质1．(2014高考数学江西理科·第17题)已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++,其中,(,22a R ππθ∈∈-(1)当4a πθ==时,求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值;(2)若()0,()12f f ππ==,求,a θ的值．【答案】(1最小值为-1．(2)1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩分析:(1)求三角函数最值,首先将其化为基本三角函数形式:当4a πθ==时,22()sin(sin cos sin()42224f x x x x x x x πππ=+++=+=-,再结合基本三角函数性质求最值:因为[0,]x π∈,从而3[,]444x πππ-∈-,故()f x 在[0,]π上的最大值为2,2最小值为-1．(2)两个独立条件求两个未知数,联立方程组求解即可．由(02()1f f ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩,又(,22ππθ∈-知cos 0,θ≠解得1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩解析:解(1)当4a πθ==时,22()sin())sin cos sin()42224f x x x x x x x πππ=+++=+-=-因为[0,]x π∈,从而3[,444x πππ-∈-故()f x 在[0,]π上的最大值为2,2最小值为-1．(2)由()02()1f f ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩,又(,)22ππθ∈-知cos 0,θ≠解得1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩2．(2019·浙江·第18题)设函数()sin f x x =，x ∈R ．(Ⅰ)已知[0,2)θπ∈，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；(Ⅱ)求函数22[([(124y f x f x ππ=+++的值域．【答案】【意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。
三角函数与解三角形高考试题精选
三角函数与解三角形高考试题精选一．解答题（共31小题）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA 与a的值．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC（1）求cosA的值（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．三角函数与解三角形高考试题精选参考答案与试题解析一．解答题（共31小题）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；∴，带入（1）得：；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，=acsinB=×××=．则S△ABC5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．8．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA 与a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B=A﹣B，∴A=2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，∴bcsinA=，∴2bcsinA=a2，∴2sinBsinC=sinA=sin2B，∴sinC=cosB，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．13．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．14．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．15．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），则sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，∴由余弦定理得：cosB===．16．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，=ac•sinB=2，∵S△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②，由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1．21．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．23．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．∴S==1．△ABC24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．【解答】解：（1）因为，所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°（2）由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．【解答】解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；代入3acosA=ccosB+bcosC；得cosA=；（2）∵cosA=∴sinA=cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③又已知cosB+cosC=代入③cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立解得sinC=已知a=1正弦定理：c===29．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A，利用正弦定理可得，即=．解得cosA=．（Ⅱ）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即9=+c2﹣2×2×c×，即c2﹣8c+15=0．解方程求得c=5，或c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．当c=5时，求得cosB==，cosA==，∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．。
2022年高考数学真题：三角函数与解三角形(解析版)
第3讲三角函数与解三角形一、单选题1．（2022·全国·高考真题（理））双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ，则C 的离心率为（）AB ．32C ．132D ．172【答案】C 【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，可判断N 在双曲线的右支，设12F NF ，21F F N ，即可求出sin ，sin ，cos ，在21F F N 中由12sin sin F F N 求出12sin F F N ，再由正弦定理求出1NF ，2NF ，最后根据双曲线的定义得到23b a ，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，所以1OG NF ，因为123cos 05F NF，所以N 在双曲线的右支，所以OG a ，1OF c ，1GF b ，设12F NF ，21F F N ，由123cos 5F NF，即3cos 5 ，则4sin 5=，sin a c ，cos b c ，在21F F N 中，12sin sin sin F F N 4334sin cos cos sin 555b a a bc c c，由正弦定理得211225sin sin sin 2NF NF c c F F N ，所以112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c，2555sin 222c c a a NF c 又12345422222a b a b aNF NF a，所以23b a ，即32b a ，所以双曲线的离心率132c e a故选：C2．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4，则（）A ． tan 1B ． tan 1C ． tan 1D ． tan 1【答案】C 【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin ,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0 ，即： sin cos 0 ,所以 tan 1 ,故选：C3．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b的最小正周期为T ．若23T ，且()y f x 的图象关于点3,22中心对称，则2f（）A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T 满足23T ，得223，解得23 ，又因为函数图象关于点3,22对称，所以3,24k k Z ，且2b ，所以12,63k k Z ，所以52 ，5()sin 224f x x ，所以5sin 21244f .故选：A4．（2022·全国·高考真题（理））设函数π()sin 3f x x在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（）A ．513,36B ．519,36C ．138,63D ．1319,66【答案】C 【解析】【分析】由x 的取值范围得到3x的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得0 ，因为 0,x ，所以,333x，要使函数在区间 0, 恰有三个极值点、两个零点，又sin y x ，,33x的图象如下所示：则5323 ，解得13863 ，即138,63．故选：C ．5．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的AB 中点，D 在 AB 上，CD AB ．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA．当2,60OA AOB 时，s （）A ．112B ．112C D ．92【答案】B 【解析】【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC ，因为C 是AB 的中点，所以OC AB ，又CD AB ，所以,,O C D 三点共线，即2OD OA OB ，又60AOB ，所以2AB OA OB ，则OC 2CD所以22211222CD s AB OA.故选：B.6．（2022·全国·高考真题（理））函数 33cos x xy x 在区间ππ,22的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令33cos ,,22x xf x x x，则 33cos 33cos x x x xf x x x f x ，所以 f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x时，330,cos 0x x x ，所以 0f x ，排除C.故选：A.7．（2022·全国·高考真题（文））将函数π()sin (0)3f x x的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则 的最小值是（）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得,232k kZ ，即可求出 的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为sin sin()2323y x x，又C 关于y 轴对称，则,232k kZ ，解得12,3k kZ ，又0 ，故当0k 时， 的最小值为13.故选：C.二、填空题8．（2022·全国·高考真题（理））记函数 cos (0,0π)f x x 的最小正周期为T ，若3()2f T ，9x 为()f x 的零点，则 的最小值为____________．【答案】3【解析】【分析】首先表示出T ，根据f T ，再根据π9x 为函数的零点，即可求出 的取值，从而得解；【详解】解：因为 cos f x x ，（0 ，0π ）所以最小正周期2πT，因为 2π3cos cos 2πcos 2f T，又0π ，所以π6 ，即 πcos 6f x x，又π9x为 f x 的零点，所以ππππ,Z 962k k ，解得39,Z k k ，因为0 ，所以当0k 时min 3 ；故答案为：39．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ．当ACAB取得最小值时，BD ________．1## 【解析】【分析】设220CD BD m ，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m ，在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m ，所以 2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m44 当且仅当311mm 即1m 时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m .1.三、解答题10．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知1233123S S S B ．(1)求ABC 的面积；(2)若2sin sin 3A C ，求b ．【答案】(2)12【解析】【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由123S S S 2222a c b ，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB A C，即可求解.(1)由题意得22221231,,2S a a S b S c ，则2221234442S S S a b c，即2222a c b ，由余弦定理得222cos 2a c b B ac ，整理得cos 1ac B ，则cos 0B ，又1sin 3B ，则cos B ，1cos ac B 1sin 2ABC S ac B (2)由正弦定理得：sin sin sin b a cB AC ，则223294sin sin sin sin sin 423b ac ac B A C A C，则3sin 2b B ，31sin 22b B .11．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B．(1)若23C，求B ；(2)求222a b c的最小值．【答案】(1)π6；(2)5．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B化成cos sin A B B ，再结合π02B，即可求出；（2）由（1）知，π2C B ，π22A B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c 化成2224cos 5cos B B，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B，即1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A B C，而π02B ，所以π6B ；(2)由（1）知，sin cos 0B C ，所以πππ,022C B ，而πsin cos sin 2B C C，所以π2C B，即有π22A B ．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB．当且仅当2cos 2B 时取等号，所以222a b c的最小值为5．12．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知 sin sin sin sin C A B B C A ．(1)若2A B ，求C ；(2)证明：2222a b c 【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得， sin sin C C A ，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由2A B ， sin sin sin sin C A B B C A 可得， sin sin sin sin C B B C A ，而π02B，所以 sin 0,1B ，即有 sin sin 0C C A ，而0π,0πC C A ，显然C C A ，所以，πC C A ，而2A B ，πA B C ，所以5π8C ．(2)由 sin sin sin sin C A B B C A 可得，sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A ，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C ，然后根据余弦定理可知，22222222222211112222a c b b c a b c a a b c ，化简得：2222a b c ，故原等式成立．27．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A ．(1)证明：2222a b c ；(2)若255,cos 31a A ，求ABC 的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c ，即可得解.(1)证明：因为 sin sin sin sin C A B B C A ，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C ，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab，即22222222222a c b a b c b c a ，所以2222a b c ；(2)解：因为255,cos 31a A ，由（1）得2250bc ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A ，则50502531bc ，所以312bc，故 2222503181b c b c bc ，所以9b c ，所以ABC 的周长为14a b c .。
十年高考真题汇编(答案)——三角函数和解三角形
11．D【解析】由θ
∈
π 4
，π 2
可得
2θ
∈[π 2
,π ] ， cos 2θ
=
−
1 − sin 2 2θ
= −1 ， 8
sinθ = 1 − cos 2θ = 3 ，答案应选 D．
2
4
另解：由θ
∈
π 4
＝ 2 10
10 1 sin 2π
10
= 10
= cos π10 3 ，选 C．
25
10
6．C【解析】 tan α > 0 知α 的终边在第一象限或第三象限，此时 sin α 与 cosα 同号，
= 故 sin 2α 2sinα cosα > 0 ，选 C．
sin α
7．B【解析】由条件得
= 1+ sin β
+
π 5
∈
π 5
,
(ω
+ 2)π 10
，
若
f
(x)
在
0,
π 10
单调递增，
则
(ω
+
2)π
<
π
，即 ω
<
3
12
，因为
ω
<
29
，故③正确．
10 2
5
10
故选 D．
3.解析 因为 f ( x) 是奇函数，所以ϕ = 0 ， f ( x) = Asin ωx .
将 y = f ( x) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的
高考数学三角函数与解三角形多选题(讲义及答案)及解析
高考数学三角函数与解三角形多选题(讲义及答案)及解析一、三角函数与解三角形多选题1．设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（ ） A ．()20f >B ．()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π 【答案】ABD 【分析】由()23sin 22cos2f =+，结合3224ππ<<，可判定A 正确；作出函数2sin sin y x x =+的图象，可得函数()f x 的值域及单调性，可判定B 正确，C 不正确；结合函数的图象，可得()f x 在[]0,2π上的所有零点之和，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数()2sin sin 2cos2f x x x =++， 可得()22sin 2sin 22cos23sin 22cos2f =++=+ 因为3224ππ<<，所以sin 2cos20>->，所以()20f >，所以A 正确； 由3sin ,222sin sin ,sin ,222x k x k y x x k Z x k x k πππππππ≤≤+⎧=+=∈⎨-+≤≤+⎩，作出函数2sin sin y x x =+的图象，如图所示， 可得函数()f x 是以2π为周期的周期函数，由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 在3(,)2ππ上单调递增， 又由()f x 是以2π为周期的周期函数，可得函数()f x 在5(3,)2ππ--上单调递增， 所以B 是正确的；由由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 的值域为[2cos 2,32cos 2]+， 所以C 不正确； 又由2223ππ<<，所以1cos 202-<<，则02cos21<-<， 令()0f x =，可得2sin sin 2cos2x x +=-，由图象可知，函数()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π，所以D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题.2．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ）A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD 【分析】 根据3()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确； 故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确；C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．4．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.5．已知函数()()sin 22sin cos 644f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭R ，现给出下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f xC ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．将函数()f x 的图象向左平移512π个单位长度，得到的函数解析式为()()2g x x =【答案】BD 【分析】首先利用三角恒等变形化简函数()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据函数的性质依次判断选项，AB 选项根据解析式直接判断，C 选项可以先求23x π-的范围，再判断函数的单调性，D 选项根据平移规律直接求解平移后的解析式. 【详解】()12cos 2sin 2222f x x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭132cos 2cos 22cos 22222x x x x x =--=-23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭，函数()f x 的周期22T ππ==，故A 不正确；B.函数的最大值是3，故B 正确； C.,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当52,362x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，即,412x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增，故C 不正确； D. ()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移512π个单位长度，得到()53sin 23sin 23cos 21232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.6．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD 【分析】利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin ϕ=sin 2ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.7．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误； 故选：AB 【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.8．如图，已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴交于点A ，B ，若7OB OA =，图象的一个最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．4πϕ=-B ．()f x 的最小正周期为4C ．()f x 一个单调增区间为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．()f x 图象的一个对称中心为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】先利用7OB OA =设0OA x =，得到点A 处坐标，结合周期公式解得选项A 错误，再利用最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭解出0x 得到周期，求得解析式，并利用代入验证法判断单调区间和对称中心，即判断选项BCD 正确. 【详解】由7OB OA =，设0OA x =，则07OB x =，06AB x =，选项A 中，点A ()0,0x 处，()0sin 0x ωϕ+=，则00x ωϕ+=，即0x ϕω=-，0612262T x AB ϕπωω-==⋅==，解得6πϕ=-，A 错误； 选项B 中，依题意0004343D x x x x =+==，得013x =，故1,03A ⎛⎫⎪⎝⎭，最小正周期414433T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，B 正确； 选项C 中，由24T πω==，得2πω=，结合最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，知43A =，即()4sin 326f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当24,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,2622x ππππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个单调增区间，C 正确；选项D 中，53x =-时()5454sin sin 0332363f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 正确.故选：BCD. 【点睛】 思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.9．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2πϕ<），在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（ ） A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π 【答案】ABD【分析】根据条件先求函数的解析式，对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可；对于B:根据函数的对称性进行判断；对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断；对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断.【详解】因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值， 所以,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=， 即函数的周期2233T ππ≥⨯=，即223ππω≥，则03ω<≤ 因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以06212ππ+=为函数的一条对称轴； 则1223πππωϕωϕπ+=+=①② 由①②解得：=2=3πωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期=T π. 对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π-==,则21x x -必为2π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π=-时，()sin 03f x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，B 错误，可选B;对于C:当7,1212x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，322,2322x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是44T π=,故D 错误，可选D故选:ABD【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.10．已知函数()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f xC ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称 【答案】BD【分析】首先要熟悉()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象和性质，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，并判断选项.【详解】由题意，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的最小正周期为2π，故A 错误；函数()f x B 正确；函数()f x 的图象是由()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，所以不是中心对称图形，故C 错误； 由7012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知D 正确，故选：BD .【点睛】思路点睛：要判断函数()f x 的性质，需先了解函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，并且知道函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，函数的周期变为原来的一半，()g x 的对称轴和对称中心都是函数()f x 的对称轴.。
高考数学-三角函数及解三角形(含22年真题讲解)
高考数学-三角函数及解三角形（含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sin (ωx +π3)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16 B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】 【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得ωπ2+π3=π2+kπ,k ∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为y =sin [ω(x +π2)+π3]=sin(ωx +ωπ2+π3)，又C 关于y 轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ,k ∈Z ，解得ω=13+2k,k ∈Z ，又ω>0，故当k =0时，ω的最小值为13. 故选：C.2．【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB ⌢是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的AB 中点，D 在AB ⌢上，CD ⊥AB ．“会圆术”给出AB ⌢的弧长的近似值s 的计算公式：s =AB +CD 2OA．当OA =2,∠AOB=60°时，s =（ ）A ．11−3√32B ．11−4√32C ．9−3√32D ．9−4√32【解析】【分析】连接OC，分别求出AB,OC,CD，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，又CD⊥AB，所以O,C,D三点共线，即OD=OA=OB=2，又∠AOB=60°，所以AB=OA=OB=2，则OC=√3，故CD=2−√3，所以s=AB+CD2OA =2+(2−√3)22=11−4√32.故选：B.3．【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A．[53,136)B．[53,196)C．(136,83]D．(136,196]【答案】C 【解析】由x 的取值范围得到ωx +π3的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得ω>0，因为x ∈(0,π)，所以ωx +π3∈(π3,ωπ+π3)，要使函数在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，又y =sinx ，x ∈(π3,3π)的图象如下所示：则5π2<ωπ+π3≤3π，解得136<ω≤83，即ω∈(136,83]． 故选：C ．4．【2022年全国乙卷】函数f (x )=cosx +(x +1)sinx +1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为（ ） A ．−π2，π2 B ．−3π2，π2C ．−π2，π2+2 D ．−3π2，π2+2【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得f (x )的单调区间，从而判断出f (x )在区间[0,2π]上的最小值和最大值. 【详解】f ′(x )=−sinx +sinx +(x +1)cosx =(x +1)cosx ，所以f (x )在区间(0,π2)和(3π2,2π)上f ′(x )>0，即f (x )单调递增； 在区间(π2,3π2)上f ′(x )<0，即f (x )单调递减， 又f (0)=f (2π)=2，f (π2)=π2+2，f (3π2)=−(3π2+1)+1=−3π2， 所以f (x )在区间[0,2π]上的最小值为−3π2，最大值为π2+2.5．【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π3<T<π，且y=f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（）A．1B．32C．52D．3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足2π3<T<π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3，又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k∈Z，且b=2，所以ω=−16+23k,k∈Z，所以ω=52，f(x)=sin(52x+π4)+2，所以f(π2)=sin(54π+π4)+2=1.故选：A6．【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则（）A．tan(α−β)=1B．tan(α+β)=1C．tan(α−β)=−1D．tan(α+β)=−1【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ−sinαsinβ=2(cosα−sinα)sinβ,即：sinαcosβ−cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0，即：sin(α−β)+cos(α−β)=0,所以tan(α−β)=−1,故选：C7．【2022年北京】已知函数f(x)=cos2x−sin2x，则（）A．f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B．f(x)在(−π4,π12)上单调递增C．f(x)在(0,π3)上单调递减D．f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C【解析】【分析】化简得出f(x)=cos2x，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为f(x)=cos2x−sin2x=cos2x.对于A选项，当−π2<x<−π6时，−π<2x<−π3，则f(x)在(−π2,−π6)上单调递增，A错；对于B选项，当−π4<x<π12时，−π2<2x<π6，则f(x)在(−π4,π12)上不单调，B错；对于C选项，当0<x<π3时，0<2x<2π3，则f(x)在(0,π3)上单调递减，C对；对于D选项，当π4<x<7π12时，π2<2x<7π6，则f(x)在(π4,7π12)上不单调，D错.故选：C.8．【2022年浙江】设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为sin2x+cos2x=1可得：当sinx=1时，cosx=0，充分性成立；当cosx=0时，sinx=±1，必要性不成立；所以当x∈R，sinx=1是cosx=0的充分不必要条件.故选：A.9．【2022年浙江】为了得到函数y =2sin3x 的图象，只要把函数y =2sin (3x +π5)图象上所有的点（ ）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． 【详解】因为y =2sin3x =2sin [3(x −π15)+π5]，所以把函数y =2sin (3x +π5)图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y =2sin3x 的图象．故选：D.10．【2022年新高考2卷】（多选）已知函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3,0)中心对称，则（ ） A ．f(x)在区间(0,5π12)单调递减B ．f(x)在区间(−π12,11π12)有两个极值点 C ．直线x =7π6是曲线y =f(x)的对称轴D ．直线y =√32−x 是曲线y =f(x)的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：f (2π3)=sin (4π3+φ)=0，所以4π3+φ=k π，k ∈Z ， 即φ=−4π3+k π,k ∈Z ，又0<φ<π，所以k =2时，φ=2π3，故f(x)=sin (2x +2π3)． 对A ，当x ∈(0,5π12)时，2x +2π3∈(2π3,3π2)，由正弦函数y =sinu 图象知y =f(x)在(0,5π12)上是单调递减；对B ，当x ∈(−π12,11π12)时，2x +2π3∈(π2,5π2)，由正弦函数y =sinu 图象知y =f(x)只有1个极值点，由2x +2π3=3π2，解得x =5π12，即x =5π12为函数的唯一极值点； 对C ，当x =7π6时，2x +2π3=3π，f(7π6)=0，直线x =7π6不是对称轴； 对D ，由y′=2cos (2x +2π3)=−1得：cos (2x +2π3)=−12，解得2x +2π3=2π3+2k π或2x +2π3=4π3+2k π,k ∈Z ,从而得：x =k π或x =π3+k π,k ∈Z , 所以函数y =f(x)在点(0,√32)处的切线斜率为k =y′|x=0=2cos2π3=−1，切线方程为：y −√32=−(x −0)即y =√32−x ．故选：AD ．11．【2022年全国甲卷】已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB =120°,AD =2,CD =2BD ．当AC AB取得最小值时，BD =________．【答案】√3−1##−1+√3 【解析】 【分析】设CD =2BD =2m >0，利用余弦定理表示出AC 2AB 2后，结合基本不等式即可得解.【详解】设CD =2BD =2m >0，则在△ABD 中，AB 2=BD 2+AD 2−2BD ⋅ADcos∠ADB =m 2+4+2m ， 在△ACD 中，AC 2=CD 2+AD 2−2CD ⋅ADcos∠ADC =4m 2+4−4m ， 所以AC 2AB 2=4m 2+4−4m m 2+4+2m =4(m 2+4+2m)−12(1+m)m 2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1≥42√(m+1)⋅3m+1=4−2√3，当且仅当m +1=3m+1即m =√3−1时，等号成立，所以当ACAB 取最小值时，m =√3−1. 故答案为：√3−1.12．【2022年全国乙卷】记函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T ，若f(T)=√32，x =π9为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．【答案】3 【解析】 【分析】首先表示出T ，根据f (T )=√32求出φ，再根据x =π9为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解； 【详解】解： 因为f (x )=cos (ωx +φ)，（ω>0，0<φ<π） 所以最小正周期T =2πω，因为f (T )=cos (ω⋅2πω+φ)=cos (2π+φ)=cosφ=√32， 又0<φ<π，所以φ=π6，即f (x )=cos (ωx +π6)，又x =π9为f (x )的零点，所以π9ω+π6=π2+kπ,k ∈Z ，解得ω=3+9k,k ∈Z ， 因为ω>0，所以当k =0时ωmin =3； 故答案为：313．【2022年北京】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3，则A =________；f(π12)=________．【答案】 1 −√2 【解析】 【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为f(x)=2sin(x −π3)，代入自变量x =π12，计算即可.【详解】∵f(π3)=√32A−√32=0，∴A=1∴f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sinπ4=−√2故答案为：1，−√214．【2022年浙江】我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a=√2,b=√3,c=2，则该三角形的面积S=___________．【答案】√234.【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，所以S=√14[4×2−(4+2−32)2]=√234．故答案为：√234.15．【2022年浙江】若3sinα−sinβ=√10,α+β=π2，则sinα=__________，cos2β=____ _____．【答案】3√10104 5【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【详解】α+β=π2，∴sinβ=cosα，即3sinα−cosα=√10，即√10(3√1010sinα−√1010cosα)=√10，令sinθ=√1010，cosθ=3√1010，则√10sin(α−θ)=√10，∴α−θ=π2+2kπ，k∈Z，即α=θ+π2+2kπ，∴sinα=sin(θ+π2+2kπ)=cosθ=3√1010，则cos2β=2cos2β−1=2sin2α−1=45．故答案为：3√1010；45．16．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsin(A−B)= sinBsin(C−A)．(1)若A=2B，求C；(2)证明：2a2=b2+c2【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，sinC=sin(C−A)，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由A=2B，sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinCsinB=sinBsin(C−A)，而0<B<π2，所以sinB∈(0,1)，即有sinC=sin(C−A)>0，而0<C<π,0<C−A<π，显然C≠C−A，所以，C+C−A=π，而A=2B，A+B+C=π，所以C=5π8．(2)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再由正弦定理可得，accosB−bccosA=bccosA−abcosC，然后根据余弦定理可知，1 2(a2+c2−b2)−12(b2+c2−a2)=12(b2+c2−a2)−12(a2+b2−c2)，化简得：2a2=b2+c2，故原等式成立．17．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．(1)证明：2a2=b2+c2；(2)若a=5,cosA=2531，求△ABC的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得b+c，即可得解.(1)证明：因为sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，所以sinCsinAcosB−sinCsinBcosA=sinBsinCcosA−sinBsinAcosC，所以ac⋅a2+c2−b22ac −2bc⋅b2+c2−a22bc=−ab⋅a2+b2−c22ab，即a2+c2−b22−(b2+c2−a2)=−a2+b2−c22，所以2a2=b2+c2；(2)解：因为a=5,cosA=2531，由（1）得b2+c2=50，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，则50−5031bc=25，所以bc=312，故(b+c)2=b2+c2+2bc=50+31=81，所以b+c=9，所以△ABC的周长为a+b+c=14.18．【2022年新高考1卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA =sin2B1+cos2B．(1)若C=2π3，求B；(2)求a2+b2c2的最小值．【答案】(1)π6； (2)4√2−5． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cosA 1+sinA =sin2B1+cos2B 化成cos (A +B )=sinB ，再结合0<B <π2，即可求出； （2）由（1）知，C =π2+B ，A =π2−2B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将a 2+b 2c 2化成4cos 2B +2cos 2B−5，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为cosA1+sinA =sin2B1+cos2B =2sinBcosB 2cos 2B=sinBcosB ，即sinB =cosAcosB −sinAsinB =cos (A +B )=−cosC =12，而0<B <π2，所以B =π6； (2)由（1）知，sinB =−cosC >0，所以π2<C <π,0<B <π2， 而sinB =−cosC =sin (C −π2)， 所以C =π2+B ，即有A =π2−2B ． 所以a 2+b 2c 2=sin 2A+sin 2Bsin 2C=cos 22B+1−cos 2Bcos 2B=(2cos 2B−1)2+1−cos 2Bcos 2B=4cos 2B +2cos 2B −5≥2√8−5=4√2−5．当且仅当cos 2B =√22时取等号，所以a 2+b 2c 2的最小值为4√2−5．19．【2022年新高考2卷】记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1,S 2,S 3，已知S 1−S 2+S 3=√32,sinB =13．(1)求△ABC 的面积； (2)若sinAsinC =√23，求b ．【答案】(1)√28(2)12 【解析】 【分析】（1）先表示出S 1,S 2,S 3，再由S 1−S 2+S 3=√32求得a 2+c 2−b 2=2，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得b 2sin 2B=acsinAsinC ，即可求解. (1)由题意得S 1=12⋅a 2⋅√32=√34a 2,S 2=√34b 2,S 3=√34c 2，则S 1−S 2+S 3=√34a 2−√34b 2+√34c 2=√32， 即a 2+c 2−b 2=2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac，整理得accosB =1，则cosB >0，又sinB=13，则cosB =√1−(13)2=2√23，ac =1cosB=3√24，则S △ABC =12acsinB =√28； (2)由正弦定理得：bsinB =asinA =csinC ，则b 2sin 2B =asinA ⋅csinC =acsinAsinC =3√24√23=94，则b sinB =32，b =32sinB =12.20．【2022年北京】在△ABC 中，sin2C =√3sinC ． (1)求∠C ；(2)若b =6，且△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长． 【答案】(1)π6 (2)6+6√3 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cosC 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得△ABC 的周长. (1)解：因为C ∈(0,π)，则sinC >0，由已知可得√3sinC =2sinCcosC ，可得cosC =√32，因此，C =π6.(2)解：由三角形的面积公式可得S △ABC =12absinC =32a =6√3，解得a =4√3.由余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2abcosC =48+36−2×4√3×6×√32=12，∴c =2√3，所以，△ABC 的周长为a +b +c =6√3+6.21．【2022年浙江】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知4a =√5c,cosC =35． (1)求sinA 的值；(2)若b =11，求△ABC 的面积．【答案】(1)√55；(2)22． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出sinC ，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理的推论cosC =a 2+b 2−c 22ab以及4a =√5c 可解出a ，即可由三角形面积公式S=12absinC 求出面积．(1)由于cosC =35， 0<C <π，则sinC =45．因为4a =√5c ， 由正弦定理知4sinA =√5sinC ，则sinA =√54sinC =√55．(2)因为4a =√5c ，由余弦定理，得cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2+121−165a 222a=11−a 252a=35，即a 2+6a −55=0，解得a =5，而sinC =45，b =11， 所以△ABC 的面积S =12absinC =12×5×11×45=22．1．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知点12P ⎛- ⎝⎭在角θ的终边上，且[)0,2πθ∈，则角θ的大小为（ ）． A ．π3B ．2π3C ．5π3D ．4π3【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，确定角θ的范围，再利用三角函数定义求解作答. 【详解】依题意，点12P ⎛- ⎝⎭在第二象限，又[)0,2πθ∈，则ππ2θ<<，而tan θ=所以2π3θ=. 故选：B2．（2022·安徽省舒城中学三模（理））将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在π[0,]4上为增函数，则ω最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52【答案】A 【解析】 【分析】根据平移法则求出函数()g x 的解析式，进而求出()g x 的含有数0的单调区间，再借助集合的包含关系即可解出. 【详解】依题意，()2sin[()]2sin 33g x x x ππωωω=+-=，由ππ22x ω-≤≤，0>ω得：ππ22x ωω-≤≤，于是得()y g x =的一个单调递增区间是ππ,22[]ωω-，因()y g x =在π[0,]4上为增函数，因此，ππ[π[0,]2]24,ωω-⊆，即有ππ24ω≥，解得02ω<≤，即ω最大值为2． 故选：A.3．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）A ．6π=ϕ B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈【答案】D 【解析】 【分析】由已知得()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，由2πϕ<可求得ϕ，可判断A 选项，由此有()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对于B ，由,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦得12363x πππ-≤-≤-，由正弦函数的单调性可判断；对于C ，由[],x ππ∈-得12366x πππ-≤-≤，由此得()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin16π=；对于D ，()11+2sin +336f x x πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈.【详解】解：因为函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，所以()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭，所以+,32k k Z ππϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-，故A 不正确；所以()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于B ，当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，12363x πππ-≤-≤-，所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增，故B 不正确；对于C ，当[],x ππ∈-时，12366x πππ-≤-≤，()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin 16π=，故C 不正确；对于D ，若()f x θ+为偶函数，则()()111+2sin +2sin +36336f x x x ππθθθ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈，故D 正确，故选：D.4．（2022·全国·模拟预测）已知α，()0,πβ∈，πtan 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πcos 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos 2αβ-=（ ）A． B．CD【答案】D 【解析】 【分析】根据待求式的结构，πππ22362αβαβ⎛⎫⎛⎫-=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可．【详解】解：因为πππππcos(2)cos 2sin 236236αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=ππsin 2()cos()36αβ++-ππcos 2()sin()36αβ++.222πππ2tan 2sin()cos()πππ333sin 22sin()cos()πππ333sin ()cos ()tan 1333ααααααααα⎛⎫+++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+=++=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪⎝⎭，22222222π1tan cos ()sin ()π1333cos 2cos ()sin ()π3333cos ()sin ()tan 1333ππαααππαααππααα⎛⎫-++-+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+=+-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪⎝⎭；πcos 6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ0,62β⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πsin 6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭故cos(2)αβ-=． 故选：D.5．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，则ω的最小正整数值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据题意可得()sin()033f ππωϕ-=-+=，所以13k πϕωπ=+，1k Z ∈，由()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调可得()()cos 0f x x ωωϕ'=+=在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解，所以22()2x k k Z πωϕπ+=+∈，在区间5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，最终可得23k x ππωπ+=+，k Z ∈，取值即可得解.【详解】由函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，可得()sin()033f ππωϕ-=-+=，所以13k πωϕπ-+=，1k Z ∈，13k πϕωπ=+，1k Z ∈，()()cos f x x ωωϕ'=+，由()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调， 所以()()cos 0f x x ωωϕ'=+=在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解， 所以22()2x k k Z πωϕπ+=+∈，在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解， 所以122()32x k k k Z ππωωππ++=+∈，所以23k x ππωπ+=+，21k k k Z =-∈，又5,6x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以74(,)363x πππ+∈， 所以36362(,)873k k k x ππωπ+++=∈+， 当2k =时，1515(,)87ω∈，此时ω的最小正整数为2.6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知π02θ<<，若πsin 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=（ ）A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的角的范围以及三角函数值，可以确定πcos 24θ⎛⎫- ⎪⎝⎭和角正弦求得3sin 25θ=，从而求得()28sin cos 1sin 25θθθ+=+=，根据角的范围确定符号，开方即可得结果. 【详解】 因为π02θ<<，所以ππ3π2444θ-<-<，又πsin 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ2044θ-<-<，所以πcos 24θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以ππππππ3sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 4444445θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()28sin cos 1sin 25θθθ+=+=，又sin cos 0θθ+>，sin cos θθ+= 故选：B ．7．（2022·全国·模拟预测（理））函数()f x 的图象按以下次序变换：①横坐标变为原来的12；②向左平移23π个单位长度；③向上平移一个单位长度；④纵坐标变为原来的2倍，得到sin y x =的图象，则()f x 的解析式为（ ）A ．()112sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭B ．()11sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．()12sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()1sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换的性质逆推求解即可 【详解】由题意，④纵坐标变为原来的2倍，得到sin y x =的图象，故④变换前为1sin 2y x =；③向上平移一个单位长度，故③变换前为1sin 12y x =-；②向左平移23π个单位长度，故②变换前为1si 123n 2y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；①横坐标变为原来的12，故①变换前为211si 3n 122y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()f x 的解析式为()112sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故选：A8．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，且13π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图象．若()()129g x g x =，1x ，[]20,4πx ∈，则21x x -的最大值为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象求得()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据图象变换可得()g x 的解析式，结合()()129g x g x =，1x ，[]20,4x π∈，求得21,x x 的值，可得答案.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，则由图可知372433T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得4T π=，则212T πω==，所以()1sin 2f x A x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由题图可知()f x 图象的一个对称中心为点2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭， 故1223k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，Z k ∈，故3k πϕπ=+，Z k ∈， 因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()1sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为1323f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故131135sin sin sin 2323322f A A A A πππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象；因为()()129g x g x =，所以12,x x 同时令()g x 取得最大值3，由()2sin 2133g x x π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，可得()11212k x π+=，Z k ∈，又[]12,0,4x x π∈，要求21x x -的最大值，故令0k =，得112x π=；令3k =，得23712x π=，所以21x x -的最大值为3731212πππ-=， 故选：C.9．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移712π个单位长度 B ．向左平移76π个单位长度 C ．向右平移712π个单位长度 D ．向右平移76π个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像平移的规律，算出答案即可. 【详解】由题意，由于函数477sin(2)sin(2)sin 2()366126y x x x πππππ⎡⎤=+=++=++⎢⎥⎣⎦， 观察发现可由函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移712π个单位长度，得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 故选：A.10．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））如图是函数()()sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数()2cos2g x x x -的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度【答案】A 【解析】 【分析】先由图像求得()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由辅助角公式化简()g x ，最后由三角函数的平移变换即可求解. 【详解】 由题图知：712,1234T T ππππω-=∴==，又()()0,2,sin 2f x A x ωωϕ>∴=∴=+，20,sin 0,0332f A πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=∴+=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得(),sin 233f x A x ππϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭，又()()()0sin2,2sin 2,cos233f A A f x x g x x x ππ⎛⎫=∴==∴=+=-= ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将()g x 向左平移4π得()2sin 22sin 22sin 246263x x x f x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A.11．（2022·青海西宁·二模（文））在①6a =；②8a =；③12a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求cos A 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且2224a b c S +-=，c =________？【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】根据题干条件及余弦定理、面积公式，可求得角C 的值，若选①6a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，根据大边对大角原则，可得角A 只有一解，根据同角三角函数关系，可求得cos A 的值；若选②8a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，根据大边对大角原则，可得角A 有两解，根据同角三角函数关系，可求得cos A 的值；若选③12a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，因为sin 1A >，则三角形无解. 【详解】由题意可知在ABC 中， 因为2224a b c S +-=，且in 12s S ab C =， 所以222sin 2a b c C ab+-=， 由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=， 所以cos sin C C = 因为(0,)C π∈， 所以4Cπ；若选①6a =，由正弦定理可得sin sin a cA C=，解得3sin sin5a A C c ==，在ABC 中，因为c a >，所以C A >， 又因为4Cπ，则角A 只有一解，且0,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5A ==．若选②8a =，由正弦定理可得sin sin a c A C=，解得4sin sin5a A C c ==， 在ABC 中，因为c a <，所以C A <， 又因为4Cπ，则角A 有两解，所以3cos 5A ==±．若选③12a =，由正弦定理可得sin sin a c A C=，解得6sin sin5a A C c ==， 因为sin 1A >，所以ABC 无解，即三角形不存在．12．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinsin 2B Cb a B +=. (1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 边中点，且2AD =，求a 的最小值. 【答案】(1)π3【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变形及正弦定理即可求解； （2）利用余弦定理及基本不等式即可求解. (1)△sinsin 2B C b a B +=，△πsin sin 2A b aB -=，即cos sin 2Ab a B =.由正弦定理得cos sin sin 2sin AB A B ⋅=⋅. △sin 0B ≠，△cos sin 2sin cos 222A A A A ==. △cos02A ≠，△1sin 22A =，又△π022A <<, △π26A =，△π3A =；(2)△D 为BC 边中点，△2AD AB AC =+，即224()AD AB AC =+, △2AD =，△22162cos c b bc A =++，△2216b c bc +=-,△22216bc b c bc ≤+=-，即163≤bc , 当且仅当b c ==, △222222cos 162a b c bc A b c bc bc =+-=+-=-，△2161616233a ≥-⨯=，即a .故a . 13．（2022·山东聊城·三模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos()6b Cc B π=-.(1)求角B ；(2)若b =4，求ABC 周长的最大值. 【答案】(1)3B π=；(2)12. 【解析】 【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答. （2）利用余弦定理，结合均值不等式求出a +c 的最大值 (1)因为sin cos()6b C c B π=-，则1sin sin )2b Cc B B =+，在ABC 中，由正弦定理得，1sin sin sin sin )2B C C B B =+，而(0,π)C ∈，即sin 0C >，整理得sin B B =，即tan B =()0,πB ∈，解得π3B =， 所以π3B =. (2)在ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：2216a c ac =+-，即()2163a c ac +-=， 而2()2a c ac +≤，于是得()264a c +≤，当且仅当a =c =4时取“=”， 因此，当a =c =4时，a +c 取最大值8，从而a +b +c 取最大值12， 所以ABC 周长的最大值为12.14．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22(cos )2b a b c a B -=-．(1)求角A 的大小；(2)若8c =，ABC 的面积为BC 边上的高． 【答案】(1)3A π=【解析】 【分析】（1）由余弦定理化简可得答案；（2）由三角形的面积公式可得b 值，由余弦定理可得a 值，结合面积公式可得高. (1)22cos 2b a b c a B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即222()2cos a b ca B bc -=-．222222()a b c a b bc ∴-=+--，222b c a bc ∴+-=，2221cos =22b c a A bc +-∴=．又(0,)A π∈，3A π∴=．(2)11sin 8sin 223S bc A b π==⨯⨯==2b ∴=．故由余弦定理可知a ==而1122S ah h ==⨯=解得h =，所以BC ． 15．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos A A +=b =①：2a =，222sin sin sin B A C >+；条件②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+．这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)tan 2A 的值； (2)c 和面积S 的值．【答案】(1)条件选择见解析，tan 2A =(2)条件选择见解析，2c =，S =【解析】 【分析】（1）若选①，由已知条件可得πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得π6A =或π2，由于a b <，则可得π6A =，进而可求出tan 2A ，若选②，由已知条件可得πsin 6A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得π6A =或π2，由于a b <，则可得π6A =，进而可求出tan 2A ，（2）若选①，由正弦定理得sin B =222sin sin sin B A C >+得222b a c >+，再由余弦定理得cos 0B <，则2π3B =，求得π6C =，然后利用三角形面积公式可求得结果，若选②，由正弦定理结合三角函数恒等变换公式可得1cos 2B =-，从而可得2π3B =，则π6C =，然后利用三角形面积公式可求得结果， (1)若选①：2a =，222sin sin sin B A C >+，在ABC cos A A +=πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ63A +=或2π3， 则π6A =或π2，△2a b =<=π6A =，△πtan 2tan3A == 若选②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+在ABC cos A A +=πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ63A +=或2π3，则π6A =或π2，由a b <，得：π6A =，△πtan 2tan 3A ==(2)若选①：2a =，222sin sin sin B A C >+，由正弦定理得：sin sin a b A B =，2πsin 6=sin B =， 由222222sin sin sin B A C b a c >+⇒>+知：222cos 02a c b B ac+-=<，故2π3B =， 则π6C =，△2c a ==，11πsin 2sin 226S ab C ==⨯⨯= 若选②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+由正弦定理得：21sin cos cos sin sin sin 2A A C C A A =+，△sin 0A ≠△1cos cos sin sin 2A C A C -=，即()1cos 2A C +=，1cos 2B =-， △0πB <<，故2π3B =，则π6C =， △a c =△由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，22211222c c c ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭，得2c =，△11πsin 2sin 226S bc A ==⨯⨯=。
高考真题——三角函数与解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（ 3 题）1.（2015 年1 卷2）o o o osin20cos10cos160sin10=（）（A）32（B）32（C）12（D）12【解析】原式= o o o osin20cos10cos20sin10=osin30=12，故选 D.考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016 年3 卷）（5）若tan 34，则2cos2sin2（）(A) 6425(B)4825(C) 1 (D)1625【解析】由tan 34，得34sin,cos55或34sin,cos55，所以2161264cos2sin24252525，故选A．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016 年2 卷9）若cos π345，则sin2=（A）725（B）15（C）15（D）725【解析】∵cos345，ππ72sin2cos22cos12425，故选D．二、三角函数性质（ 5 题）4.（2017年3卷6）设函数πf(x)cos(x)，则下列结论错误的是（）3A．f(x)的一个周期为2πB．y f(x)的图像关于直线8πx对称3C．f(x)的一个零点为πx D．f(x)在6π(,π)2单调递减【解析】函数πf x cos x的图象可由y cos x向左平移3π个单位得到，3如图可知，f x在π,π2上先递减后递增，D选项错误，故选 D.yO x-65（. 2017 年2 卷14）函数23f x sin x3cos x（x0,）的最大值是．42【解析】2321f x1cos x3cos x cos x3cos x44 23cos1x，x0,，则cos x0,1，当22cos3x时，取得最大值 1.26．（2015 年1 卷8）函数f(x)= cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）（A）(1,3),k k k Z44（B）13(2k,2k),k Z44（C）13(k,k),k Z 44（D）13(2k,2k),k Z44【解析】由五点作图知，1+4253+42，解得=，=4，所以f(x)cos(x)，4令22,k x k k Z，解得412k＜x＜432k k Z4（12k，432k），k Z，故选D. 考点：三角函数图像与性质45.（2015 年2 卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2 ，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将动点P 到A、B 两点距离之和表示为x 的函数f（x），则f（x）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线B．x对称，且f()f()，且轨迹非线型，故选2426.（2016 年1 卷12）已知函数f(x)sin(x+)(0，),x为f(x)的零24点, x为y f(x)图像的对称轴,且f(x)在45，单调,则的最大值为1836（A）11 （B）9 （C）7 （D）5 考点：三角函数的性质三、三角函数图像变换（ 3 题）7.（2016 年2 卷7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π个单位长度，则平移后图象的对12称轴为（A）kππx k Z （B）26kππx k Z26（C）kππx k Z （D）212kππx k212Z【解析】平移后图像表达式为πy2sin2x，令12ππ2x kπ+，得对称轴方程：122kππx k Z ，故选B．268.（2016 年 3 卷14）函数y sin x3cos x错误！未找到引用源。
专题05 三角函数与解三角形-高考数学(理)十年真题(2010-2019)分类汇编(解析版)
专题05三角函数与解三角形历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 三角函数2019年新课标1理科11 单选题2017 三角函数2017年新课标1理科09 单选题2016 三角函数2016年新课标1理科12 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科02 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科08 单选题2014 三角函数2014年新课标1理科08 单选题2012 三角函数2012年新课标1理科09 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科05 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科11 单选题2010 三角函数2010年新课标1理科09 填空题2018 三角函数2018年新课标1理科16 填空题2015 解三角形2015年新课标1理科16 填空题2014 解三角形2014年新课标1理科16 填空题2013 三角函数2013年新课标1理科15 填空题2011 解三角形2011年新课标1理科16 填空题2010 解三角形2010年新课标1理科16 解答题2019 解三角形2019年新课标1理科17 解答题2018 解三角形2018年新课标1理科17 解答题2017 解三角形2017年新课标1理科17 解答题2016 解三角形2016年新课标1理科17 解答题2013 解三角形2013年新课标1理科17 解答题2012 解三角形2012年新课标1理科17历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②错误，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．2．【2017年新课标1理科09】已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x）＝cos（2x）＝sin（2x）的图象，即曲线C2，故选：D．3．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．4．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin30°．故选：D．5．【2015年新课标1理科08】函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ，kπ），k∈z B．（2kπ，2kπ），k∈zC．（k，k），k∈z D．（，2k），k∈z【解答】解：由函数f（x）＝cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2（）＝2，∴ω＝π，f（x）＝cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得ϕ，k∈z，即ϕ，f（x）＝cos（πx）．由2kπ≤πx2kπ+π，求得2k x≤2k，故f（x）的单调递减区间为（，2k），k∈z，故选：D．6．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（）A．3α﹣βB．3α+βC．2α﹣βD．2α+β【解答】解：由tanα，得：，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．故选：C．7．【2012年新课标1理科09】已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．8．【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x 上，则cos2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．故选：B．9．【2011年新课标1理科11】设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ），由于该函数的最小正周期为T，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φkπ（k∈Z），以及|φ|，得出φ．因此，f（x）cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．10．【2010年新课标1理科09】若，α是第三象限的角，则（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．11．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x或cos x＝﹣1，可得此时x，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（），f（π）＝0，f（），f（0）＝0，∴函数的最小值为，故答案为：．12．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，∴设AD x，AE x，DE x，CD＝m，∵BC＝2，∴（x+m）sin15°＝1，∴x+m，∴0＜x＜4，而AB x+m x x，∴AB的取值范围是（，）．故答案为：（，）．方法二：如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为；故答案为：（，）．13．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．14．【2013年新课标1理科15】设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则cosθ＝．【解答】解：f（x）＝sin x﹣2cos x（sin x cos x）sin（x﹣α）（其中cosα，sinα），∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得（2cosθ）2+cos2θ＝1，解得cosθ．故答案为：15．【2011年新课标1理科16】在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0 故m≤2当m＝2时，此时a，c符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin Acos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ，cosφ）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：216．【2010年新课标1理科16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为，则∠BAC＝．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°，，则．故∠BAC＝60°．17．【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A ﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C＝sin2A﹣sin B sin C，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A，∵0＜A＜π，∴A．（2）∵a+b＝2c，A，∴由正弦定理得，∴解得sin（C），∴C，C，∴sin C＝sin（）＝sin cos cos sin．18．【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：，即，∴sin∠ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB，∵DC＝2，∴BC5．19．【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC ac sin B，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C，∴cos B cos C﹣sin B sin C，∴cos（B+C），∴cos A，∵0＜A＜π，∴A，∵2R2，∴sin B sin C•，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c∴周长a+b+c＝3．20．【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C，∴C；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S ab sin C ab，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5．21．【2013年新课标1理科17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．（1）若PB，求P A；（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，，∴∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°．在△PBA中，由余弦定理得P A2＝PB2+AB2﹣2PB•AB cos30°．∴P A．（II）设∠PBA＝α，在Rt△PBC中，PB＝BC cos（90°﹣α）＝sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．22．【2012年新课标1理科17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C a sin C﹣b﹣c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）由正弦定理得：a cos C a sin C﹣b﹣c＝0，即sin A cos C sin A sin C＝sin B+sin C∴sin A cos C sin A sin C＝sin（A+C）+sin C，即sin A﹣cos A＝1∴sin（A﹣30°）．∴A﹣30°＝30°∴A＝60°；（2）若a＝2，△ABC的面积，∴bc＝4．①再利用余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝（b+c）2﹣3×4＝4，∴b+c＝4．②结合①②求得b＝c＝2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈【答案】C 【解析】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象， 可得：332113441264T ππππω=⋅=-=， 解得：2ω=， 由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<， 可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ．2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( ) A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 【答案】C 【解析】由题意，函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++的图象， 若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-， 则()()123g x g x ==，则22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，因为12,[2,2]x x ππ∈-，所以121157,{,,,}6666x x ππππ∈--， 当12711,66x x ππ==-时，122x x -取得最大值，最大值为711252()666πππ⨯--=， 故选C.3．将函数222()2cos4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-【答案】A 【解析】 因为222()2coscos()14x f x x ϕϕ+==++， 将其图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像， 所以()cos()13g x x πϕ=-++，又()(4)g x g x π=-，所以()g x 关于2x π=对称， 所以2()3k k Z ππϕπ-+=∈，即(2)()3k k Z πϕπ=+-∈，因为0πϕ-<<，所以易得23πϕ=-.故选A4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点2(0,),(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（ ） A ．sin 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以3()sin()4f x x πω=+， 因为3()sin()0444f πππω=+=，由图可知，3244k ππωππ+=+，解得18,k k Z ω=+∈， 又因为24T ππω=<，可得8ω>，所以当1k =时，9ω=， 所以3()sin(9)4f x x π=+， 故答案选D.5．已知函数()cos 3f x x x =-，则下列结论中正确的个数是（ ）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A由题意，函数1()cos 2cos 2cos 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①中，由22cos 133f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭不为最值，则()f x 的图象不关于直线3x π=对称，故①错； ②中，将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象，故②对； ③中，由2cos 023f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，可得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心，故③错； ④中，由22,3k Z x k k ππππ-+≤∈≤，解得422,33k x k k Z ππππ-≤-∈≤，即增区间为42k ,2k ,33k Z ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈， 由22,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得22,233k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④错． 故选：A ．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -++=，b =则ABC △的面积为A ．BC ．D 【答案】C 【解析】把22(sin )40a a B B -++=看成关于a 的二次方程，则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-V24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+- 4[2sin(2)2]06B π=+-…，故若使得方程有解，则只有△0=，此时6B π=，b =代入方程可得，2440a a -+=，由余弦定理可得，2428cos3022c c+-︒=⨯，解可得，c =∴111sin 2222ABC s ac B ∆==⨯⨯=故选：C ．7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（ ）． A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B 【解析】由题意，因为672sinCcosA sin A =，可得：614sinCcosA sinAcosA =， 即(614)0sinC sinA cosA -⋅=，可得∴614sinC sinA =或0cosA =， 又由a b <，则A 为锐角，所以0cosA =不符合舍去， 又由正弦定理可得：37c a =，即：73a c =， 由余弦定理可得22222257133cos 52223a a a a b c C a ab a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， ∵(0,)C π∈，∴23C π=． 故选：B ．9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：110．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.411．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．【答案】(3π，+∞) 【解析】不妨设120x x <<，则2121x x x x -=-，由图可知210()33x x ππ->--=．故答案为：(3π，+∞) 12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(1,2] 【解析】由题得sin 2sin()3a πααα==+，因为22,,2k k k Z ππαπ<<+∈所以52++2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2]. 故答案为：(1,2]13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___． 【答案】35【解析】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______【答案】65123-【解析】连接AC,设ACBθ∠=,则120ACDθ∠=-o，如图：故在Rt ABC∆中，sin4141θθ==，()131343cos120cos22224141241θθθ-=-+=-=oQ，又Q在ACD∆中由余弦定理有()(222413435cos1202341241ADθ+---==⨯⨯o,解得265123AD=-即65123AD=-65123-15．在锐角ABC∆中，角A B C，，的对边分别为a b c，，．且cos cosA Ba b+=23sin C23b=．则a c+的取值范围为_____．【答案】(6,3]【解析】cos cos233A B Ca b a+=Q23cos cos sin3b A a B C∴+=∴由正弦定理可得：23sin cos sin cos sinB A A B B C+=，可得：sin()sin sin A B C B C +==，sin B ∴=， 又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭3A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-Q 均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,a c ∴+∈.故答案为： (6,.16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==， 所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v=+， 所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解c =即AB 的长为3.17．在ABC ∆中，A B C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）4；【解析】（Ⅰ）因为cos 3B =，∴sin 3B =， ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==， 由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DCCAD∠， 因为AD 平分BAC ∠，所以sin 4sin DC BBD C ===.（Ⅱ）由cos cos 2c B b C +=，即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，所以sin sin a b A B =，∴sin sin 3a Bb A ==，故11sin 222ABC S ab C ==⨯=V 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin B C +=ABC ∆的面积.【答案】（1）⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）【解析】（1）()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+--- =sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =-∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称， ∴π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，且()0f =，5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 的值域为⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理，2222cos a b c bc A =+- ∴40bc =∴1sinA 2ABC S bc ==V 19．在ABC ∆中，已知2AB =，cos 10B =，4C π=.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.【答案】（1）5BC =（2【解析】解：（1）因为cos B =，0B π<<，所以sin B ===在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC AB A C=，所以4sin sin 552AB BC A C =⨯==. （2）在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )5B C B C =--=-=⎝⎭，于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=， 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 24173247325225250-⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．【答案】（Ⅰ）64（Ⅱ）1BC = 【解析】（Ⅰ）在ABD V 中，由正弦定理，得sin sin AD BD ABD A =∠∠． 因为60,3,6A AD BD ︒∠=== 所以36sin sin sin 6046AD ABD A BD ︒∠=⨯∠== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6sin ABD ∠=， 因为90ABC ︒∠=，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=． 在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2,6CD BD ==所以264626BC BC =+-，即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =．21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos2sin 22A b b a B =+. （1）求cos A ；（2）若a =5c =，求b .【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】解：（1）由题意知234cos 2sin 22A b b aB =+， 化简得4cos 3sin b A a B =，由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =， 因为sin 0B ≠， 所以4tan 3A =，且A 为ABC ∆的内角， 即3cos 5A =. （2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 所以220256b b =+-，所以2650b b -+=，所以1b =或5.22．已知在△ABC 中，222a c ac b +-=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）1. 【解析】 （Ⅰ）由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 因为角B 为三角形内角3B π∴∠=（Ⅱ）由（Ⅰ）可得23A C B ππ∠+∠=-∠= 23A C π∴∠=-∠ cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭ =22cos cos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos 2C C C -⋅++1sin cos 2C C +⋅ =cos sin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ =sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 203C π<<Q 5666C πππ∴<+< 1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是1。
高中数学三角函数与解三角形真题(解析版)
专题04 高中数学三角函数与解三角形真题1．对任意闭区间I，用表示函数y=sinx在I上的最大值.若正数a满足，则a的值为.【答案】或【解析】由图像分析得或.2．已知x、y满足.则的取值范围是___________。
【答案】【解析】由于.由,知因此,当时, 有最小值-1,此吋,y可以取;当时, 有最大值此时，y可以取由的值域为,知的取值范围是。
故答案为：3．设函数.若对任意实数a，均有，则k的最小值为________.【答案】16【解析】由条件知，当且仅当时，取到最大值.根据条件，知任意一个长为1的开区间至少包含一个最大值点.从而，.反之，当时，任意一个开区间均包含的一个完整周期，此时，.综上，k 的最小值为，其中，表示不超过实数x 的最大整数.4．若tan cos αα=，则41cos sin αα+=__________． 【答案】2【解析】由tan cos αα=有2sin cos ,sin cos cos ααααα==，而22sin cos 1αα+=，求出15cos 2α-+=(负值舍去)，所以244211215cos cos 2sin cos 215αααα⎛⎫-++=+=+= ⎪ ⎪-+⎝⎭。
5．【2015】设为正实数.若存在，使得，则的取值范围是______.【答案】【解析】 由.而，故已知条件等价于：存在整数，使得. ①当时，区间的长度不小于，故必存在满足式①.当时，注意到，.故只要考虑如下几种情形：(1)，此时，，且，无解；(2)，此时，；(3)，此时，.综上，并注意到也满足条件，知.故答案为：6．在中，已知，则______.【答案】11【解析】由.7．设的内角的对边分别为，且满足.则______. 【答案】4【解析】解法1 有题设及余弦定理得.故.解法2 如图4，过点，垂足为.则.由题设得.又，联立解得.故.解法3 由射影定理得.又，与上式联立解得.故.8．满足的所有正整数的和是______.【答案】33.【解析】由正弦函数的凸性，知当时，.故，.因此，满足的正整数的所有值分别为10、11、12，其和为33. 9．若，则的取值范围为______. 【答案】【解析】题设不等式等价于.设，所以，所以上的增函数，所以，.故.由，知的取值范围是.故答案为：10．已知函数的最小值为.则实数的取值范围是________.【答案】【解析】令.于是，原函数化为.由内的最小值为，即.故. ①当，时，式①总成立；当时，；当时，.从而，.11．在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c.若b是a与c的等比中项，且sinA是sin(B-A)与sinC的等差中项，求cosB的值.【答案】【解析】由题意ac=b2，，整理即sin B=tan A.对ac=b2利用正弦定理并结合三项的等差数列得. 即.于是.即..令，则，解得.12．已知函数，其中，，且.(1)若对任意，都有，求的取值范围.(2)若，且存在，使，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1).令.则.由题设知解得的取值范围为.(2)因为，所以，.故.从而，.由题设知.解得.故的取值范围是.1．已知，得，所以_____ 【答案】【解析】.2．在△ABC中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A的最小值为________.【答案】【解析】由,又时取等号.3．设满足，则x的取值范围为________.【答案】【解析】由.令，，所以.4．计算的值为________.【答案】【解析】记，则，所以，. 5．函数的值域是________.【答案】【解析】，因为，所以. 故答案为：6．如图，在△ABD中，点C在AD上，，AB=CD=1．则AC=____．【答案】【解析】在△ABD中，(其中AD=x) ①在△BCD中，②由①②得，因为x+2>0，∴x3=2．即．故答案为：7．若边长为6的正△ABC的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，则△ABC的重心G到平面α的距离为_______．【答案】【解析】(1)当△ABC的三个顶点在平面α的同侧时，由公式求得重心G到平面α的距离为2．(2)当△ABC的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面α的异侧时，求得重心G到平面α的距离分别为0，．故答案为：8．函数的所有零点之和等于________．【答案】60【解析】函数的零点即为方程2(5－x)sinπx在区间[0，10]上的解函数y=2sinπx 的图像与函数的图像在区间[0，10]上的交点的横坐标．因为函数y=2sinπx的图像与函数的图像均关于点(5，0)对称，且在区间[0，10]上共有12个交点(6组对称点)．每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60．所以函数y=2(5－x)sinπ－1(0≤x≤10)的所有零点之和等于60．故答案为：609．在△ABC中，，则________．【答案】【解析】因为所以注意到：故．故答案为：10．设的内角所对的边分别为，且成等差数列，则________. 【答案】【解析】分析：根据三角形内角和定理及其关系，用∠C表示∠A与∠B；根据成等差，得到，利用正弦定理实现边角转化。
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案1. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a²+c²-b²=(1) 求 sin²(2A+C)+cos²B 的值；(2) 若 b=2，求△ABC 面积的最大值。
解：(1) 由余弦定理：cosB=(a²+ c²- b²)/(2ac)=4/√115，得sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。
由正弦定理sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。
2. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。
(I) 求 cosB 的值；(II) 若 BA·BC=2，且b=√2，求 a 和 c·b 的值。
解：(I) 由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin(B+C)=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB/sinB。
又sinA≠0，因此 cosB=1/3。
3. 已知向量 m=(sinB,1-cosB)，向量 n=(2,k)，且 m 与 n 所成角为π/3，其中 A、B、C 是△ABC 的内角。
(1) 求角 B 的大小；(2) 求 sinA+sinC 的取值范围。
解：(1) ∠m与∠n所成角为π/3，且 m·n=2sinB+ k(1-cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又 m·n=2cosB+k(1-cosB)，解得 k=4/3。
2017-2021年高考真题三角函数与解三角形 解答题全集 (学生版+解析版)
2017-2021年高考真题三角函数与解三角形解答题全集（学生版+解析版）1．（2021•北京）已知在△ABC中，c＝2b cos B，C=2π3．（1）求B的大小；（2）在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．①c=√2b；②周长为4+2√3；③面积为S△ABC=3√3 4．2．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．（Ⅰ）若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．3．（2021•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A：sin B：sin C ＝2：1：√2，b=√2．（1）求a的值；（2）求cos C的值；（3）求sin（2C−π6）的值．4．（2021•浙江）设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+π2）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x−π4）在[0，π2]上的最大值．5．（2021•上海）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．（1）若A=2π3，求S△ABC．（2）若2sin B﹣sin C＝1，求C△ABC．6．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D 在边AC上，BD sin∠ABC＝a sin C．（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．7．（2021•上海）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C=−1 4．（1）若sin A ＝2sin B ，求b 、c ； （2）若cos （A −π4）=45，求c ．8．（2020•天津）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝2√2，b ＝5，c =√13．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin （2A +π4）的值．9．（2020•北京）在△ABC 中，a +b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a 的值；（Ⅱ）sin C 和△ABC 的面积． 条件①：c ＝7，cos A =−17； 条件②：cos A =18，cos B =916． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 10．（2020•上海）已知函数f （x ）＝sin ωx ，ω＞0． （1）f （x ）的周期是4π，求ω，并求f （x ）=12的解集；（2）已知ω＝1，g （x ）＝f 2（x ）+√3f （﹣x ）f （π2−x ），x ∈[0，π4]，求g （x ）的值域．11．（2020•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知B ＝150°． （1）若a =√3c ，b ＝2√7，求△ABC 的面积； （2）若sin A +√3sin C =√22，求C ．12．（2020•山东）在①ac =√3，②c sin A ＝3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A =√3sin B ，C =π6，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．13．（2020•江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a ＝3，c =√2，B ＝45°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC =−45，求tan ∠DAC 的值．14．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2（π2+A ）+cos A =54． （1）求A ； （2）若b ﹣c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．15．（2020•浙江）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b sin A −√3a ＝0．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．16．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 中，sin 2A ﹣sin 2B ﹣sin 2C ＝sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．17．（2019•全国）已知函数f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）设g （x ）＝f （x2），求g （x ）在区间[0，π3]的最大值与最小值．18．（2019•上海）如图，A ﹣B ﹣C 为海岸线，AB 为线段，BC ̂为四分之一圆弧，BD ＝39.2km ，∠BDC ＝22°，∠CBD ＝68°，∠BDA ＝58°． （1）求BĈ的长度； （2）若AB ＝40km ，求D 到海岸线A ﹣B ﹣C 的最短距离．（精确到0.001km ）19．（2019•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A+C 2=b sin A ．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．20．（2019•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin （2B +π6）的值．21．（2019•浙江）设函数f （x ）＝sin x ，x ∈R ．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f （x +θ）是偶函数，求θ的值； （Ⅱ）求函数y ＝[f （x +π12）]2+[f （x +π4）]2的值域． 22．（2019•北京）在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B ﹣C ）的值．23．（2019•江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＝3c ，b =√2，cos B =23，求c 的值； （2）若sinA a=cosB 2b，求sin （B +π2）的值．24．（2019•北京）在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值．25．（2019•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ．（1）求A；（2）若√2a+b＝2c，求sin C．26．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2√2，求BC．27．（2018•全国）在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A ﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．28．（2018•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B−π6）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．29．（2018•北京）在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B=−1 7．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．30．（2018•江苏）已知α，β为锐角，tanα=43，cos（α+β）=−√55．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．31．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（−35，−45）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=513，求cosβ的值．32．（2018•北京）已知函数f（x）＝sin2x+√3sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[−π3，m]上的最大值为32，求m的最小值．33．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）＝a sin2x+2cos2x．（1）若f （x ）为偶函数，求a 的值；（2）若f （π4）=√3+1，求方程f （x ）＝1−√2在区间[﹣π，π]上的解．34．（2018•上海）已知y ＝cos x（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]，求f(α−π3)的值 （2）求函数y ＝f （2x ）﹣2f （x ）的最小值35．（2017•上海）已知函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b ＝5，若f （A ）＝0，求△ABC 的面积．36．（2017•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a sin A ＝4b sin B ，ac =√5（a 2﹣b 2﹣c 2）． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin （2B ﹣A ）的值．37．（2017•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＞b ，a ＝5，c ＝6，sin B =35． （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求sin （2A +π4）的值．38．（2017•山东）设函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2），其中0＜ω＜3，已知f （π6）＝0． （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在[−π4，3π4]上的最小值．39．（2017•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sinA．（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．40．（2017•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin （A +C ）＝8sin 2B2．（1）求cos B ；（2）若a +c ＝6，△ABC 的面积为2，求b ．41．（2017•北京）已知函数f （x ）=√3cos （2x −π3）﹣2sin x cos x ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当x ∈[−π4，π4]时，f （x ）≥−12．42．（2017•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A +√3cos A ＝0，a ＝2√7，b ＝2． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．43．（2017•江苏）已知向量a →=（cos x ，sin x ），b →=（3，−√3），x ∈[0，π]． （1）若a →∥b →，求x 的值；（2）记f （x ）=a →⋅b →，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值． 44．（2017•北京）在△ABC 中，∠A ＝60°，c =37a ． （1）求sin C 的值；（2）若a ＝7，求△ABC 的面积．45．（2017•浙江）已知函数f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x ﹣2√3sin x cos x （x ∈R ）． （Ⅰ）求f （2π3）的值．（Ⅱ）求f （x ）的最小正周期及单调递增区间．2017-2021年高考真题三角函数与解三角形解答题全集（学生版+解析版）参考答案与试题解析1．（2021•北京）已知在△ABC中，c＝2b cos B，C=2π3．（1）求B的大小；（2）在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．①c=√2b；②周长为4+2√3；③面积为S△ABC=3√3 4．【解答】解：（1）∵c＝2b cos B，由正弦定理可得sin C＝2sin B cos B，即sin C＝sin2B，∵C=2π3，∴当C＝2B时，B=π3，即C+B＝π，不符合题意，舍去，∴C+2B＝π，∴2B=π3，即B=π6．（2）选①c=√2b，由正弦定理可得c b =sinCsinB=√3212=√3，与已知条件c=√2b矛盾，故△ABC不存在，选②周长为4+2√3，∵C=2π3，B=π6，∴A=π6，由正弦定理可得asinA =bsinB=csinC=2R，即a12=b12=√32=2R，∴a=R，b=R，c=√3R，∴a+b+c＝（2+√3）R＝4+2√3，∴R＝2，即a＝2，b＝2，c＝2√3，∴△ABC存在且唯一确定，设BC的中点为D，∴CD＝1，在△ACD中，运用余弦定理，AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD•cos∠C，即AD2=4+1−2×2×1×(−12)=7，AD=√7，∴BC边上的中线的长度√7．选③面积为S△ABC=3√3 4，∵A=B=π6，∴a＝b，∴S△ABC=12absinC=12a2×√32=3√34，解得a=√3，余弦定理可得AD2＝AC2+CD2﹣2×AC×CD×cos 2π3=3+34+√3×√32=214，AD=√212．2．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．（Ⅰ）若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（I）∵2sin C＝3sin A，∴根据正弦定理可得2c＝3a，∵b＝a+1，c＝a+2，∴a＝4，b＝5，c＝6，在△ABC中，运用余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=42+52−622×4×5=18，∵sin2C+cos2C＝1，∴sin C=√1−cos2C=√1−(18)2=3√78，∴S△ABC=12absinC=12×4×5×3√78=15√74．（II）∵c＞b＞a，∴△ABC 为钝角三角形时，角C 必为钝角，cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2+(a+1)2−(a+2)22a(a+1)＜0， ∴a 2﹣2a ﹣3＜0， ∵a ＞0， ∴0＜a ＜3，∵三角形的任意两边之和大于第三边， ∴a +b ＞c ，即a +a +1＞a +2，即a ＞1， ∴1＜a ＜3， ∵a 为正整数， ∴a ＝2．3．（2021•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ：sin B ：sin C ＝2：1：√2，b =√2． （1）求a 的值； （2）求cos C 的值； （3）求sin （2C −π6）的值．【解答】解：（1）∵△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝2：1：√2，∴a ：b ：c ＝2：1：√2， ∵b =√2，∴a ＝2b ＝2√2，c =√2b ＝2．（2）△ABC 中，由余弦定理可得cos C =a 2+b 2−c 22ab =2×2√2×√2=34．（3）由（2）可得sin C =√1−cos 2C =√74，∴sin2C ＝2sin C cos C =3√78，cos2C ＝2cos 2C ﹣1=18， sin （2C −π6）＝sin2C cos π6−cos2C sinπ6=3√21−116． 4．（2021•浙江）设函数f （x ）＝sin x +cos x （x ∈R ）． （Ⅰ）求函数y ＝[f （x +π2）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）f （x −π4）在[0，π2]上的最大值．【解答】解：函数f （x ）＝sin x +cos x =√2sin(x +π4)，（Ⅰ）函数y ＝[f （x +π2）]2＝[√2sin(x +π2+π4)]2＝2cos 2（x +π4）＝1+cos[2（x+π4）]＝1+cos（2x+π2）＝1﹣sin2x，则最小正周期为T=2π2=π；（Ⅱ）函数y＝f（x）f（x−π4）=√2sin(x+π4)⋅√2sin(x−π4+π4)＝（√2(sin x+cos x）sin x=√2(sin2x+sinxcosx)=√2(1−cos2x2+12sin2x)=sin（2x−π4）+√22，因为x∈[0，π2]，所以2x−π4∈[−π4，3π4]，所以当2x−π4=π2，即x=3π8时，f（x）max＝1+√22．5．（2021•上海）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．（1）若A=2π3，求S△ABC．（2）若2sin B﹣sin C＝1，求C△ABC．【解答】解：（1）由余弦定理得cos A=−12=b2+c2−a22bc=5c2−94c2，解得c2=9 7，∴S△ABC=12bcsinA=√34×2c2=9√314；（2）∵b＝2c，∴由正弦定理得sin B＝2sin C，又∵2sin B﹣sin C＝1，∴sin C=13，sin B=23，∴sin C＜sin B，∴C＜B，∴C为锐角，∴cos C=√1−(13)2=2√23．由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，又∵a＝3，b＝2c，∴c2＝9+4c2﹣8√2c，得：3c2﹣8√2c+9＝0，解得：c=4√2±√53．当c=4√2+√53时，b=8√2+2√53，∴C△ABC＝3+4√2+√5；当c=4√2−√53时，b=8√2−2√53，∴C△ABC＝3+4√2−√5．6．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D 在边AC上，BD sin∠ABC＝a sin C．（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．【解答】解：（1）证明：由正弦定理知，bsin∠ABC=c sin∠ACB=2R ，∴b ＝2R sin ∠ABC ，c ＝2R sin ∠ACB ，∵b 2＝ac ，∴b •2R sin ∠ABC ＝a •2R sin ∠ACB ， 即b sin ∠ABC ＝a sin C ， ∵BD sin ∠ABC ＝a sin C ， ∴BD ＝b ；（2）法一：由（1）知BD ＝b ， ∵AD ＝2DC ，∴AD =23b ，DC =13b ，在△ABD 中，由余弦定理知，cos ∠BDA =BD 2+AD 2−AB 22BD⋅AD =b 2+(23b)2−c 22b⋅23b =13b 2−9c 212b 2， 在△CBD 中，由余弦定理知，cos ∠BDC =BD 2+CD 2−BC 22BD⋅CD =b 2+(13b)2−a 22b⋅13b =10b 2−9a 26b 2， ∵∠BDA +∠BDC ＝π， ∴cos ∠BDA +cos ∠BDC ＝0， 即13b 2−9c 212b 2+10b 2−9a 26b 2=0，得11b 2＝3c 2+6a 2， ∵b 2＝ac ，∴3c 2﹣11ac +6a 2＝0， ∴c ＝3a 或c =23a ，在△ABC 中，由余弦定理知，cos ∠ABC =a 2+c 2−b 22ac =a 2+c 2−ac2ac， 当c ＝3a 时，cos ∠ABC =76＞1（舍）； 当c =23a 时，cos ∠ABC =712； 综上所述，cos ∠ABC =712．法二：∵点D 在边AC 上且AD ＝2DC ， ∴BD →=13BA →+23BC →，∴BD →2=13BA →⋅BD →+23BC →⋅BD →，而由（1）知BD＝b，∴b2=13bc⋅cos∠ABD+23ab⋅cos∠CBD，即3b＝c•cos∠ABD+2a•cos∠CBD，由余弦定理知：3b=c⋅b2+c2−49b22bc+2a⋅a2+b2−19b22ab，∴11b2＝3c2+6a2，∵b2＝ac，∴3c2﹣11ac+6a2＝0，∴c＝3a或c=23 a，在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC=a2+c2−b22ac=a2+c2−ac2ac，当c＝3a时，cos∠ABC=76＞1（舍）；当c=23a时，cos∠ABC=712；综上所述，cos∠ABC=7 12．7．（2021•上海）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C=−1 4．（1）若sin A＝2sin B，求b、c；（2）若cos（A−π4）=45，求c．【解答】解：（1）因为sin A＝2sin B，可得a＝2b，又a＝2，可得b＝1，由于cos C=a2+b2−c22ab=22+12−c22×2×1=−14，可得c=√6．（2）因为cos（A−π4）=√22（cos A+sin A）=45，可得cos A+sin A=4√2 5，又cos2A+sin2A＝1，可解得cos A=7√210，sin A=√210，或sin A=7√210，cos A=√210，因为cos C=−14，可得sin C=√154，tan C=−√15，可得C为钝角，若sin A=7√210，cos A=√210，可得tan A＝7，可得tan B＝﹣tan（A+C）=tanA+tanCtanAtanC−1=7−√157×(−√15)−10，可得B为钝角，这与C为钝角矛盾，舍去，所以sin A=√210，由正弦定理2sinA=csinC，可得c=5√302．8．（2020•天津）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝2√2，b＝5，c=√13．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sin A的值；（Ⅲ）求sin（2A+π4）的值．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理以及a＝2√2，b＝5，c=√13，则cos C=a2+b2−c22ab=2×2√2×5=√22，∵C∈（0，π），∴C=π4；（Ⅱ）由正弦定理，以及C=π4，a＝2√2，c=√13，可得sin A=asinCc=2√2×√22√13=2√1313；（Ⅲ）由a＜c，及sin A=2√1313，可得cos A=√1−sin2A=3√1313，则sin2A＝2sin A cos A＝2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A＝2cos2A﹣1=5 13，∴sin（2A+π4）=√22（sin2A+cos2A）=√22（1213+513）=17√226．9．（2020•北京）在△ABC中，a+b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）sin C和△ABC的面积．条件①：c＝7，cos A=−1 7；条件②：cos A=18，cos B=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：选择条件①（Ⅰ）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即a2﹣b2＝49﹣14b×（−17）＝49+2b ， ∴（a +b ）（a ﹣b ）＝49+2b ， ∵a +b ＝11， ∴11a ﹣11b ＝49+2b ， 即11a ﹣13b ＝49，联立{a +b =1111a −13b =49，解得a ＝8，b ＝3，故a ＝8．（Ⅱ）在△ABC 中，sin A ＞0， ∴sin A =√1−cos 2A =4√37， 由正弦定理可得a sinA=c sinC，∴sin C =csinA a =7×4√378=√32，∴S △ABC =12ab sin C =12×8×3×√32=6√3．选择条件②（Ⅰ）在△ABC 中，sin A ＞0，sin B ＞0，C ＝π﹣（A +B ）， ∵cos A =18，cos B =916， ∴sin A =√1−cos 2A =3√78，sin B =√1−cos 2B =5√716， 由正弦定理可得a sinA=b sinB，∴ab =sinA sinB=65，∵a +b ＝11， ∴a ＝6，b ＝5， 故a ＝6；（Ⅱ）在△ABC 中，C ＝π﹣（A +B ），∴sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B =3√78×916+5√716×18=√74， ∴S △ABC =12ab sin C =12×6×5×√74=15√7410．（2020•上海）已知函数f （x ）＝sin ωx ，ω＞0． （1）f （x ）的周期是4π，求ω，并求f （x ）=12的解集；（2）已知ω＝1，g （x ）＝f 2（x ）+√3f （﹣x ）f （π2−x ），x ∈[0，π4]，求g （x ）的值域．【解答】解：（1）由于f （x ）的周期是4π，所以ω=2π4π=12，所以f （x ）＝sin 12x ．令sin 12x =12，故12x =2kπ+π6或2kπ+5π6，整理得x =4kπ+π3或x =4kπ+5π3． 故解集为{x |x =4kπ+π3或x =4kπ+5π3，k ∈Z }． （2）由于ω＝1， 所以f （x ）＝sin x ．所以g （x ）=sin 2x +√3sin(−x)sin(π2−x)=1−cos2x 2−√32sin2x =−√32sin2x −12cos2x +12=12−sin （2x +π6）． 由于x ∈[0，π4]，所以π6≤2x +π6≤2π3．12≤sin(2x +π6)≤1，故−1≤−sin(2x +π6)≤−12， 故−12≤g(x)≤0．所以函数g （x ）的值域为[−12，0]．11．（2020•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知B ＝150°． （1）若a =√3c ，b ＝2√7，求△ABC 的面积； （2）若sin A +√3sin C =√22，求C ．【解答】解：（1）△ABC 中，B ＝150°，a =√3c ，b ＝2√7，cos B =a 2+c 2−b 22ac =222√3c 2=−√32，∴c ＝2（负值舍去），a ＝2√3， ∴S △ABC =12acsinB =12⋅2√3⋅2⋅12=√3． （2）sin A +√3sin C =√22，即sin （180°﹣150°﹣C ）+√3sinC =√22，化简得12cosC +√32sinC =√22， sin （C +30°）=√22， ∵0°＜C ＜30°， ∴30°＜C +30°＜60°， ∴C +30°＝45°， ∴C ＝15°．12．（2020•山东）在①ac =√3，②c sin A ＝3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A =√3sin B ，C =π6，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：①ac =√3．△ABC 中，sin A =√3sin B ，即b =√33a ， ac =√3，∴c =√3a ， cos C =a 2+b 2−c 22ab=a 2+a 23−3a22√3a 23=√32，∴a =√3，b ＝1，c ＝1． ②c sin A ＝3．△ABC 中，c sin A ＝a sin C ＝a sinπ6=3，∴a ＝6．∵sin A =√3sin B ，即a =√3b ，∴b =2√3．cos C =a 2+b 2−c 22ab =36+12−c 22×6×2√3=√32， ∴c =2√3． ③c =√3b ．∵sin A =√3sin B ，即a =√3b ， 又∵c =√3b ，cos C =a 2+b 2−c 22ab =√36≠cos π6，与已知条件C =π6相矛盾，所以问题中的三角形不存在．13．（2020•江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a ＝3，c =√2，B ＝45°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC =−45，求tan ∠DAC 的值．【解答】解：（1）因为a ＝3，c =√2，B ＝45°．，由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得csinC=b sinB，所以sin C =c b•sin45°=√2√5√22=√55，所以sin C =√55；（2）因为cos ∠ADC =−45，所以sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由（1）可得cos C =√1−sin 2C =2√55， 所以在三角形ADC 中，sin ∠DAC ＝sin （∠ADC +∠C ）＝sin ∠ADC cos ∠C +cos ∠ADC sin ∠C =2√525，因为∠DAC ∈(0，π2)，所以cos ∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525， 所以tan ∠DAC =sin∠DACcos∠DAC =211．14．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2（π2+A ）+cos A =54． （1）求A ；（2）若b ﹣c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．【解答】解：（1）∵cos 2（π+A ）+cos A ＝sin 2A +cos A ＝1﹣cos 2A +cos A =54，∴cos 2A ﹣cos A +14=0，解得cos A =12， ∵A ∈（0，π）， ∴A =π3；（2）证明：∵b ﹣c =√33a ，A =π3， ∴由正弦定理可得sin B ﹣sin C =√33sin A =12，∴sin B ﹣sin （2π3−B ）＝sin B −√32cos B −12sin B =12sin B −√32cos B ＝sin （B −π3）=12， ∵B ∈(0，2π3)，B −π3∈（−π3，π3）， ∴B −π3=π6，可得B =π2，可得△ABC 是直角三角形，得证．15．（2020•浙江）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b sin A −√3a ＝0．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵2b sin A =√3a ， ∴2sin B sin A =√3sin A ， ∵sin A ≠0， ∴sin B =√32，∵△ABC 为锐角三角形， ∴B =π3，（Ⅱ）∵△ABC 为锐角三角形，B =π3， ∴C =2π3−A ，∴cos A +cos B +cos C ＝cos A +cos （2π3−A ）+cosπ3=cos A −12cos A +√32sin A +12=12cos A +√32sin A +12=sin （A +π6）+12， △ABC 为锐角三角形，0＜A ＜π2，0＜C ＜π2， 解得π6＜A ＜π2，∴π3＜A +π6＜2π3， ∴√32＜sin （A +π6）≤1， ∴√32+12＜sin （A +π6）+12≤32，∴cos A +cos B +cos C 的取值范围为（√3+12，32]． 16．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 中，sin 2A ﹣sin 2B ﹣sin 2C ＝sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．【解答】解：（1）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 因为sin 2A ﹣sin 2B ﹣sin 2C ＝sin B sin C ， 由正弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝bc ， 即为b 2+c 2﹣a 2＝﹣bc ，由余弦定理可得cos A =b 2+c 2−a 22bc =−bc 2bc =−12， 由0＜A ＜π，可得A =2π3； （2）由题意可得a ＝3， 又B +C =π3，可设B =π6−d ，C =π6+d ，−π6＜d ＜π6， 由正弦定理可得3sin 2π3=b sinB=c sinC=2√3，可得b ＝2√3sin （π6−d ），c ＝2√3sin （π6+d ）， 则△ABC 周长为a +b +c ＝3+2√3[sin （π6−d ）+sin （π6+d ）]＝3+2√3（12cos d −√32sin d +12cos d +√32sin d ），＝3+2√3cos d ，当d ＝0，即B ＝C =π6时，△ABC 的周长取得最大值3+2√3． 另解：a ＝3，A =2π3，又a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴9＝b 2+c 2+bc ＝（b +c ）2﹣bc ≥（b +c ）2−14（b +c ）2， 由b +c ＞3，则b +c ≤2√3（当且仅当b ＝c 时，“＝”成立）， 则△ABC 周长的最大值为3+2√3．17．（2019•全国）已知函数f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）设g （x ）＝f （x2），求g （x ）在区间[0，π3]的最大值与最小值．【解答】解：f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1＝1﹣cos2x ﹣2（1+cos2x ）+1＝﹣3cos2x ． （1）f （x ）的最小正周期T =2π2=π；（2）g （x ）＝f （x2）=−3cos(2⋅x2)=−3cosx ，∵x ∈[0，π3]，∴﹣3cos x ∈[﹣3，−32]．即g （x ）在区间[0，π3]的最大值为−32，最小值为﹣3．18．（2019•上海）如图，A ﹣B ﹣C 为海岸线，AB 为线段，BC ̂为四分之一圆弧，BD ＝39.2km ，∠BDC ＝22°，∠CBD ＝68°，∠BDA ＝58°． （1）求BĈ的长度； （2）若AB ＝40km ，求D 到海岸线A ﹣B ﹣C 的最短距离．（精确到0.001km ）【解答】解：（1）由题意可得，BC ＝BD sin22°，弧BC 所在的圆的半径R ＝BC sin π4=√22BC ， 弧BC 的长度为12πR =12π⋅BC ⋅√22=√24×3.141×39.2×sin22°=16.310km ； （2）根据正弦定理可得，BD sinA=AB sin58°，∴sin A =39.240×sin58°=0.831，A ＝56.2°， ∴∠ABD ＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°， ∴DH ＝BD ×sin ∠ABD ＝35.750km ＜CD ＝36.346km ∴D 到海岸线A ﹣B ﹣C 的最短距离为35.750km19．（2019•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A+C 2=b sin A ．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 【解答】解：（1）a sin A+C 2=b sin A ，即为a sinπ−B 2=a cosB 2=b sin A ，可得sin A cosB 2=sin B sin A ＝2sin B 2cos B 2sin A ，∵sin A ＞0， ∴cosB 2=2sin B 2cos B2，若cos B 2=0，可得B ＝（2k +1）π，k ∈Z 不成立，∴sinB 2=12，由0＜B ＜π，可得B =π3；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，由余弦定理可得b =√a 2+1−2a ⋅1⋅cos π3=√a 2−a +1，由三角形ABC 为锐角三角形，可得a 2+a 2﹣a +1＞1且1+a 2﹣a +1＞a 2，且1+a 2＞a 2﹣a +1， 解得12＜a ＜2，可得△ABC 面积S =12a •sinπ3=√34a ∈（√38，√32）． 20．（2019•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin （2B +π6）的值．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC 中，由正弦定理bsinB=c sinC，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a ．又因为b +c ＝2a ，得b =4a 3，c =2a3，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+49a 2−169a 22⋅a⋅23a =−14．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B =√1−cos 2B =√154，从而sin2B ＝2sin B cos B =−√158，cos2B＝cos2B﹣sin2B=−7 8，故sin（2B+π6）＝sin2B cosπ6+cos2B sinπ6=−√158×√32−78×12=−3√5+716．21．（2019•浙江）设函数f（x）＝sin x，x∈R．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2的值域．【解答】解：（1）由f（x）＝sin x，得f（x+θ）＝sin（x+θ），∵f（x+θ）为偶函数，∴θ=π2+kπ（k∈Z），∵θ∈[0，2π），∴θ=π2或θ=3π2，（2）y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2＝sin2（x+π12）+sin2（x+π4）=1−cos(2x+π6)2+1−cos(2x+π2)2＝1−12(cos2xcosπ6−sin2xsinπ6−sin2x)=34sin2x−√34cos2x+1 =√32sin(2x−π6)+1，∵x∈R，∴sin(2x−π6)∈[−1，1]，∴y=√32sin(2x−π6)+1∈[1−√32，1+√32]，∴函数y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2的值域为：[1−√32，1+√32]．22．（2019•北京）在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B=−1 2．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a＝3，b﹣c＝2，cos B=−1 2．∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B=9+(b−2)2−2×3×(b−2)×(−12)，∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32，由正弦定理有：csinC=b sinB，∴sinC =csinB b =5×√327=5√314，∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C =1114，∴sin （B ﹣C ）＝sin B cos C ﹣cos B sin C =√32×1114−(−12)×5√314 =4√37．23．（2019•江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＝3c ，b =√2，cos B =23，求c 的值； （2）若sinA a=cosB 2b，求sin （B +π2）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． a ＝3c ，b =√2，cos B =23， ∴由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac =10c 2−26c 2=23， 解得c =√33． （2）∵sinA a=cosB 2b， ∴由正弦定理得：sinA a=sinB b=cosB 2b，∴2sin B ＝cos B ，∵sin 2B +cos 2B ＝1， ∴sin B =√55，cos B =2√55， ∴sin （B +π2）＝cos B =2√55．24．（2019•北京）在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值．【解答】解：（1）∵a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． ∴由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)， ∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（2）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32， 由正弦定理有：a sinA=b sinB，∴sin A =asinB b =3×√327=3√314，∴sin （B +C ）＝sin （π−A ）＝sin A =3√314． 25．（2019•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ． （1）求A ；（2）若√2a +b ＝2c ，求sin C ．【解答】解：（1）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． ∵（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ． ∴sin 2B +sin 2C ﹣2sin B sin C ＝sin 2A ﹣sin B sin C ， ∴由正弦定理得：b 2+c 2﹣a 2＝bc ，∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0＜A ＜π，∴A =π3． （2）∵√2a +b ＝2c ，A =π3，∴由正弦定理得√2sinA +sinB =2sinC ， ∴√62+sin(2π3−C)=2sinC 解得sin （C −π6）=√22，∴C −π6=π4，C =π4+π6，∴sin C ＝sin （π4+π6）＝sin π4cos π6+cos π4sin π6=√22×√32+√22×12=√6+√24．26．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5．（1）求cos ∠ADB ； （2）若DC ＝2√2，求BC ．【解答】解：（1）∵∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5． ∴由正弦定理得：AB sin∠ADB=BD sin∠A，即2sin∠ADB=5sin45°，∴sin ∠ADB =2sin45°5=√25， ∵AB ＜BD ，∴∠ADB ＜∠A ， ∴cos ∠ADB =1−(√25)2=√235．（2）∵∠ADC ＝90°，∴cos ∠BDC ＝sin ∠ADB =√25， ∵DC ＝2√2，∴BC =√BD 2+DC 2−2×BD ×DC ×cos∠BDC =25+8−2×5×2√2×√25=5．27．（2018•全国）在△ABC 中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1，已知2（sin 2A ﹣sin 2C ）＝（a ﹣b ）sin B ． （1）证明a 2+b 2﹣c 2＝ab ； （2）求角C 和边c ．【解答】证明：（1）∵在△ABC 中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1， ∴由正弦定理得：a sinA=b sinB =c sinC=2R ＝2，∴sin A =a2，sin B =b 2，sin C =c2， ∵2（sin 2A ﹣sin 2C ）＝（a ﹣b ）sin B ， ∴2（a 24−c 24）＝（a ﹣b ）•b2，化简，得：a 2+b 2﹣c 2＝ab ， 故a 2+b 2﹣c 2＝ab ． 解：（2）∵a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴cos C =a 2+b 2−c 22ab =ab 2ab =12，解得C =π3， ∴c ＝2sin C ＝2•√32=√3．28．（2018•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A ＝a cos （B −π6）．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a ＝2，c ＝3，求b 和sin （2A ﹣B ）的值． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得a sinA=b sinB，得b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝a cos （B −π6）．∴a sin B ＝a cos （B −π6），即sin B ＝cos （B −π6）＝cos B cos π6+sin B sin π6=√32cos B +12sinB ，∴tan B =√3，又B ∈（0，π），∴B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，a ＝2，c ＝3，B =π3，由余弦定理得b =√a 2+c 2−2accosB =√7，由b sin A ＝a cos （B −π6），得sin A =√3√7，∵a ＜c ，∴cos A =√7， ∴sin2A ＝2sin A cos A =4√37， cos2A ＝2cos 2A ﹣1=17，∴sin （2A ﹣B ）＝sin2A cos B ﹣cos2A sin B =4√37×12−17×√32=3√314． 29．（2018•北京）在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B =−17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角，∵cos B =−17，∴sin B =√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37， 由正弦定理得asinA =bsinB得sin A =asinB b =7×4√378=√32，则A =π3．（Ⅱ）由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即64＝49+c 2+2×7×c ×17， 即c 2+2c ﹣15＝0， 得（c ﹣3）（c +5）＝0， 得c ＝3或c ＝﹣5（舍）， 则AC 边上的高h ＝c sin A ＝3×√32=3√32． 30．（2018•江苏）已知α，β为锐角，tan α=43，cos （α+β）=−√55．（1）求cos2α的值； （2）求tan （α﹣β）的值．【解答】解：（1）由{sinαcosα=43sin 2α+cos 2α=1α为锐角，解得{sinα=45cosα=35，∴cos2α=cos 2α−sin 2α=−725；（2）由（1）得，sin2α=2sinαcosα=2425，则tan2α=sin2αcos2α=−247． ∵α，β∈（0，π2），∴α+β∈（0，π），∴sin （α+β）=√1−cos 2(α+β)=2√55． 则tan （α+β）=sin(α+β)cos(α+β)=−2．∴tan （α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]=tan2α−tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=−211．31．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （−35，−45）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P （−35，−45）．∴x =−35，y =−45，r ＝|OP |=√(−35)2+(−45)2=1， ∴sin （α+π）＝﹣sin α=−yr =45； （Ⅱ）由x =−35，y =−45，r ＝|OP |＝1， 得sinα=−45，cosα=−35， 又由sin （α+β）=513， 得cos(α+β)=±√1−sin 2(α+β)=±√1−(513)2=±1213， 则cos β＝cos[（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=1213×(−35)+513×(−45)=−5665， 或cos β＝cos[（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=−1213×(−35)+513×(−45)=1665． ∴cos β的值为−5665或1665． 32．（2018•北京）已知函数f （x ）＝sin 2x +√3sin x cos x ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若f （x ）在区间[−π3，m ]上的最大值为32，求m 的最小值．【解答】解：（I ）函数f （x ）＝sin 2x +√3sin x cos x =1−cos2x 2+√32sin2x ＝sin （2x −π6）+12， f （x ）的最小正周期为T =2π2=π； （Ⅱ）若f （x ）在区间[−π3，m ]上的最大值为32， 可得2x −π6∈[−5π6，2m −π6]， 即有2m −π6≥π2，解得m ≥π3， 则m 的最小值为π3．33．（2018•上海）设常数a ∈R ，函数f （x ）＝a sin2x +2cos 2x ． （1）若f （x ）为偶函数，求a 的值；（2）若f （π4）=√3+1，求方程f （x ）＝1−√2在区间[﹣π，π]上的解．【解答】解：（1）∵f （x ）＝a sin2x +2cos 2x ， ∴f （﹣x ）＝﹣a sin2x +2cos 2x ， ∵f （x ）为偶函数， ∴f （﹣x ）＝f （x ），∴﹣a sin2x +2cos 2x ＝a sin2x +2cos 2x ， ∴2a sin2x ＝0， ∴a ＝0；（2）∵f （π4）=√3+1，∴a sin π2+2cos 2（π4）＝a +1=√3+1，∴a =√3，∴f （x ）=√3sin2x +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1＝2sin （2x +π6）+1， ∵f （x ）＝1−√2，∴2sin （2x +π6）+1＝1−√2， ∴sin （2x +π6）=−√22，∴2x +π6=−π4+2k π，或2x +π6=54π+2k π，k ∈Z ， ∴x =−5π24π+k π，或x =1324π+k π，k ∈Z ， ∵x ∈[﹣π，π]，∴x =13π24或x =19π24或x =−5π24或x =−11π24 34．（2018•上海）已知y ＝cos x（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]，求f(α−π3)的值 （2）求函数y ＝f （2x ）﹣2f （x ）的最小值 【解答】解：（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]， 则cos α=13，则sin α=√1−(13)2=√89=2√23， 则f(α−π3)=cos （α−π3）＝cos αcos π3+sin αsinπ3=13×12+2√23×√32=16+√63．（2）函数y ＝f （2x ）﹣2f （x ）＝cos2x ﹣2cos x ＝2cos 2x ﹣2cos x ﹣1＝2（cos x −12）2−32， ∵﹣1≤cos x ≤1，∴当cos x =12时，函数取得最小值，最小值为−32．35．（2017•上海）已知函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b ＝5，若f （A ）＝0，求△ABC 的面积．【解答】解：（1）函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x +12 ＝cos2x +12，x ∈（0，π），由2k π﹣π≤2x ≤2k π，解得k π−12π≤x ≤k π，k ∈Z ， k ＝1时，12π≤x ≤π，可得f （x ）的增区间为[π2，π）；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b ＝5， 若f （A ）＝0，即有cos2A +12=0， 解得2A =23π，即A =13π，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 化为c 2﹣5c +6＝0， 解得c ＝2或3， 若c ＝2，则cos B =19+4−252×√19×20，即有B 为钝角，c ＝2不成立， 则c ＝3，△ABC 的面积为S =12bc sin A =12×5×3×√32=15√34． 36．（2017•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a sin A ＝4b sin B ，ac =√5（a 2﹣b 2﹣c 2）． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由asinA =bsinB，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：a4b =ba，∴a＝2b．由ac=√5(a2−b2−c2)，得b2+c2−a2=−√55 ac，由余弦定理，得cosA=b2+c2−a22bc=−√55acac=−√55；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sinA=2√55，代入a sin A＝4b sin B，得sinB=asinA4b=√55．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴cosB=√1−sin2B=2√5 5．于是sin2B=2sinBcosB=45，cos2B=1−2sin2B=35，故sin（2B﹣A）＝sin2B cos A﹣cos2B sin A=sin(2B−A)=sin2BcosA−cos2BsinA= 45×(−√55)−35×2√55=−2√55．37．（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B=3 5．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+π4）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sin B=35，可得cos B=45．由已知及余弦定理，有b2=a2+c2−2accosB=25+36−2×5×6×45=13，∴b=√13．由正弦定理asinA =bsinB，得sin A=asinBb=3√1313．∴b=√13，sin A=3√13 13；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cos A=2√1313，∴sin2A＝2sin A cos A=1213，cos2A＝1﹣2sin2A=−5 13．。
专题10 解三角形问题(解析版)
专题10 解三角形问题【高考真题】1．(2022·全国甲理) 已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD ．当ACAB取得最小 值时，BD ＝________． 1．答案 3－1 解析 设CD ＝2BD ＝2m ＞0，则在△ABD 中，AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD AD cos∠ADB ＝m 2＋4＋2m ，在△ACD中，AC 2＝CD 2＋AD 2－2CD AD cos ∠ADC ＝4m 2＋4－4m ，所以AC 2AB 2＝4m 2＋4－4m m 2＋4＋2m ＝4(m 2＋4＋2m )－12(1＋m )m 2＋4＋2m＝4－12(m ＋1)＋3m ＋1≥4－()44233211m m ≥=-+⋅+，当且仅当m ＋1＝3m ＋1，即m ＝3－1时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，m ＝3－1．故答案为3－1．【知识总结】 1．正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 2．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C . 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2abcos C . 3．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .【同类问题】题型一 三角形中基本量的计算1．(2021·全国乙)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ， 则b ＝ ．1．答案 22 解析 由题意得S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝3，则ac ＝4，所以a 2＋c 2＝3ac＝3×4＝12，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12－2×4×12＝8，则b ＝22(负值舍去)．2．(2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．2．答案 (1)75° 解析 由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6×323＝22，结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180° －B －C ＝75°．3．(2017·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π33．答案 B 解析 由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0，∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0，因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4．由正弦定理asin A ＝c sin C ，得2sin3π4＝2sin C ，则sin C ＝12，又C ∈(0，π)，得C ＝π6． 4．(2018·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π64．答案 C 解析 因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C4＝12ab sin C ， 所以tan C ＝1．又C ∈(0，π)，故C ＝π4．5．(2020·全国Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B 等于( )A ．19B ．13C ．12D ．235．答案 A 解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19．6．(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P －ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD ＝3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝________．6．答案 －14 解析 在△ABD 中，∵AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝3，∴BD ＝6，∴FB ＝BD ＝6．在△ACE中，∵AE ＝AD ＝3，AC ＝1，∠CAE ＝30°，∴EC ＝32＋12－2×3×1×cos 30°＝1，∴CF ＝CE ＝1．又∵BC ＝AC 2＋AB 2＝12＋32＝2，∴在△FCB中，由余弦定理得cos ∠FCB ＝CF 2＋BC 2－FB 22×CF ×BC ＝12＋22－622×1×2＝－14．7．(2016·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a＝1，则b ＝________． 7．答案2113 解析 因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365．又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113．8．(2016·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A ．2B ．3C ．2D ．3 8．答案 D 解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去． 9．在平面四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠B ＝3π4，AB ＝32，AD ＝210，若AC ＝35，则CD 为 ．9．答案 1或5 解析 因为在△ABC 中，∠B ＝3π4，AB ＝32，AC ＝35，由正弦定理可得ACsin B＝ AB sin ∠ACB ，所以sin ∠ACB ＝AB ·sin B AC ＝32×2235＝55，又BC ⊥CD ，所以∠ACB 与∠ACD互余，因此cos ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝55，在△ACD 中，AD ＝210，AC ＝35，由余弦定理可得cos ∠ACD ＝55＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝5＋CD 265CD ，所以CD 2－6CD ＋5＝0，解得CD＝1或CD ＝5．10．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b sin A ＝5a cos B ，AB ＝2，AC ＝26，D 为BC的中点，E 为AC 上的点，且BE 为∠ABC 的平分线，下列结论正确的是( ) A ．cos ∠BAC ＝－66B ．S △ABC ＝35 C ．BE ＝2D ．AD ＝5 10．答案 AD 解析 由正弦定理可知2sin B sin A ＝5sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴2sin B ＝5cos B ．又sin 2B＋cos 2B ＝1，∴sin B ＝53，cos B ＝23，在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝6．A 项，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝4＋24－362×2×26＝－66；B 项，S △ABC ＝12AB ·BC sinB ＝12×2×6×53＝25；C 项，由角平分线性质可知AE EC ＝AB BC ＝13，∴AE ＝62．BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cos A ＝4＋32－2×2×62×⎝⎛⎭⎫－66＝152，∴BE ＝302；D 项，在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝4＋9－2×2×3×23＝5，∴AD ＝5．题型二 三角形的面积11．(2014·福建)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 11．答案 23 解析 在△ABC 中，由正弦定理得23sin60°＝4sin B，解得sin B ＝1，所以B ＝90°，所以S △ABC＝12×AB ×23＝12×42－232×23＝23．12．(2019·全国Ⅱ)△ABC 的内角内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△BDC的面积是________． 12．答案3解析 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =， 解得23, 3c c ==-（舍去），所以243a c ==，113sin 43236322ABC S ac B ==⨯=△13．(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为__________． 13．答案233解析 已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ⇒2sin B sin C ＝4sin A ·sin B sin C ，所以sin A ＝12，由b 2＋c 2－a 2＝8>0知A 为锐角，所以cos A ＝32，所以32＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4bc ，所以bc ＝83＝833，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233． 14．(2017·浙江)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2．点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC的面积是________，cos ∠BDC ＝________． 14．答案152104解析 在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝42＋22－422×4×2＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154，所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝152．因为BD ＝BC ＝2，所以∠BDC ＝12∠ABC ，则cos ∠BDC ＝cos ∠ABC ＋12＝104．15．(2013·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2B ．3＋1C ．23－2D ．3－115．答案 B 解析 因为B ＝π6，C ＝π4，所以A ＝7π12．由正弦定理得b sin π6＝csin π4，解得c ＝22．所以三角形的面积为12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12．因为sin 7π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝32×22＋22×12＝22⎝⎛⎭⎫32＋12，所以12bc sin A ＝22×22⎝⎛⎭⎫32＋12＝3＋1，故选B ．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC 的面积为________． 16．答案 52 解析 因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53．又由5cos C ＝sin B ＝sin(A＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C 知，cos C >0，并结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝56，cos C ＝16．于是sin B ＝5cos C ＝56．由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝3．故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2b －a )cos C ＝c cos A ，c ＝3，sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ，则△ABC 的面积为( )A ．338B ．2C ．32D ．33417．答案 D 解析 因为(2b －a )cos C ＝c cos A ，由正弦定理得，(2sin B －sin A )cos C ＝sin C cos A ，化简得2sin B cos C ＝sin B ，又sin B ≠0，因为C ∈(0，π)，所以cos C ＝12，所以C ＝π3．又由sin A＋sin B ＝26sin A sin B ，可得(sin A ＋sin B )·sin C ＝32sin A sin B ，由正弦定理可得(a ＋b )c ＝32ab ，所以a ＋b ＝2ab ．因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以2(ab )2－3ab －9＝0，所以ab ＝3(负值舍去)，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝334．18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，2b －3c ＝2a cos C ，sin C ＝32，则 △ABC 的面积为( ) A ．32 B ．34 C ．32或34D ．3或3218．答案 C 解析 因为2b －3c ＝2a cos C ，所以由正弦定理可得2sin B －3sin C ＝2sin A cos C ，所以2sin(A ＋C )－3sin C ＝2sin A cos C ．所以2cos A sin C ＝3sin C ，又sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝30°，因为sin C ＝32，所以C ＝60°或120°．当C ＝60°时，A ＝30°，所以B ＝90°，又a ＝1，所以△ABC 的面积为12×1×2×32＝32；当C ＝120°时，A ＝30°，所以B ＝30°，又a ＝1，所以△ABC 的面积为12×1×1×32＝34，故选C ．19．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝2sin2A ，且c ＝6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．33C ．3或1D ．3或3319．答案 A 解析 ∵在△ABC 中，C ＝π3，∴B ＝2π3－A ，B －A ＝2π3－2A ，∵sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝2sin2A ，∴sin C ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－2A ＝2sin 2A ，即sin C ＋32cos 2A ＋12sin 2A ＝2sin 2A ，整理得3sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin C ＝32，∴sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝12．又A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴2A －π6＝π6或5π6，解得A ＝π6或π2．当A ＝π6时，B ＝π2，tan C ＝c a ＝6a ＝3，解得a ＝2，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3；当A ＝π2时，B ＝π6，tan C ＝c b ＝6b ＝3，解得b ＝2，∴S △ABC ＝12bc ＝3．综上，△ABC的面积是3．20．托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC ，BD 是其两条对角线，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，AC ＝6，则四边形ABCD 的面积为 ．20．答案 93 解析 在△ABD 中，设AB ＝a ，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝3a 2，所以BD ＝3a ，由托勒密定理可得a (BC ＋CD )＝AC ·3a ，即BC ＋CD ＝3AC ，又∠ABD ＝∠ACD ＝30°，所以四边形ABCD 的面积S ＝12BC ·AC sin 30°＋12CD ·AC sin 30°＝14(BC ＋CD )·AC ＝34AC 2＝93． 题型三 三角形中的最值(范围)问题21．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＞b ＞c ，a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，πB ．⎝⎛⎭⎫π4，π2C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2D ．⎝⎛⎭⎫0，π2 21．答案 C 解析 因为a 2＜b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，所以A 为锐角．又因为a ＞b ＞c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2．22．在△ABC 中，若AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎝⎛⎭⎫0，π2C ．⎝⎛⎭⎫π6，π2D ．⎝⎛⎦⎤π6，π2 22．答案 A 解析 因为c ＝AB ＝1，a ＝BC ＝2，b ＝AC ．根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1<b <3，根据余弦定理cos C ＝12ab (a 2＋b 2－c 2)＝14b (4＋b 2－1)＝14b (3＋b 2)＝34b ＋b 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3b －b 2＋32≥32．所以0<C ≤π6．故选A ． 23．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎝⎛⎦⎤0，π4C ．⎣⎡⎦⎤π6，π4D ．⎣⎡⎦⎤π6，π3 23．答案 B 解析 法一：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b ＝2a ，所以A 为锐角，又sin B ＝2sin A ∈(0,1]，所以sin A ∈⎝⎛⎦⎤0，22，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4． 法二：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A ＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12b 2＋c 22bc ≥2 12b 2·c22bc ＝22，当且仅当c ＝22b 时等号成立，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4． 24．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．24．答案6－24解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c ．由余弦定理得cos C＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a ＋2b 242ab＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab≥2 ⎝⎛⎭⎫34a 2⎝⎛⎭⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24，故6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24． 25．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A ．2B ．98C ．1D ．7825．答案 B 解析 ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sinB ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98． 26．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c ，当tan(A －B )取最大值时，角B 的值为________．26．答案 π6 解析 由a cos B －b cos A ＝12c 及正弦定理，得sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C ＝12sin(A ＋B )＝12(sin A cos B ＋cos A sin B )，整理得sin A cos B ＝3cos A sin B ，即tan A ＝3tan B ，易得tan A >0，tan B >0．所以tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝21tan B ＋3tan B ≤223＝33，当且仅当1tan B ＝3tan B ，即tan B ＝33时，tan(A －B )取得最大值，所以B ＝π6． 27．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋b sin B ＝c sin C －2a sin B ，则sin2A tan 2B的最大值是__________．27．答案 3－22 解析 依题意得a 2＋b 2－c 2＝－2ab ，则2ab cos C ＝－2ab ，所以cos C ＝－22， 所以C ＝3π4，A ＝π4－B ，所以sin2A tan 2B ＝cos2B tan 2B ＝(1－tan 2B )tan 2B 1＋tan 2B ．令1＋tan 2B ＝t ，其中t ∈(1,2)，则有(1－tan 2B )tan 2B 1＋tan 2B＝(2－t )(t －1)t ＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋3≤3－22，当且仅当t ＝2时取等号．故sin 2A tan 2B 的最大值是3－22．28．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________． 28．答案2＋12解析 解法1 因为sin C ＝2cos A cos B ，所以，sin(A ＋B )＝2cos A cos B ，化简得tan A ＋tan B＝2，cos 2A＋cos 2B＝cos 2A sin 2A ＋cos 2A ＋cos 2B sin 2B ＋cos 2B ＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝tan 2A ＋tan 2B ＋2(tan A tan B )2＋tan 2A ＋tan 2B ＋1＝(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋2(tan A tan B )2＋(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋1＝6－2tan A tan B(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5．因为分母(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5>0，所以令6－2tan A tan B＝t (t >0)，则cos 2A ＋cos 2B ＝4t t 2－8t ＋32＝4t ＋32t －8≤4232－8＝2＋12(当且仅当t ＝42时取等号)．解法2 由解法1得tan A ＋tan B ＝2，令tan A ＝1＋t ，tan B ＝1－t ，则cos 2A ＋cos 2B ＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝1t 2＋2＋2t ＋1t 2＋2－2t ＝2（t 2＋2）（t 2＋2）2－4t 2，令d ＝t 2＋2≥2，则cos 2A＋cos 2B ＝2dd 2－4d ＋8＝2d ＋8d －4≤228－4＝2＋12，当且仅当d ＝22时等号成立． 解法3 因为sin C ＝2cos A cos B ，所以sin C ＝cos(A ＋B )＋cos(A －B )，即cos(A －B )＝sin C ＋cos C ，cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2B2＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－cos C (sin C ＋cos C )＝12－12(sin2C ＋cos2C )＝12－22sin(2C ＋π4)≤12＋22＝2＋12，当且仅当2C ＋π4＝3π2，即C ＝5π8时取等号．29．设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，已知a 2＋2b 2＝c 2，则tan Ctan A ＝_____；tan B 的最大值为________． 29．答案 －3 33 解析 由正弦定理可得tan C tan A ＝sin C sin A ·cos A cos C ＝c a ·cos Acos C，再结合余弦定理可得tan C tan A ＝c a ·cos A cos C＝c a ·b 2＋c 2－a 22bc ·2ab a 2＋b 2－c 2＝b 2＋c 2－a 2a 2＋b 2－c 2．由a 2＋2b 2＝c 2，得tan C tan A ＝b 2＋a 2＋2b 2－a 2a 2＋b 2－a 2－2b 2＝－3．由已知条件及大边对大角可知0＜A ＜π2＜C ＜π，从而由A ＋B ＋C ＝π可知tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C＝－1＋tan C tan A 1tan A －tan C ＝23－tan C＋(－tan C )，因为π2＜C ＜π，所以3－tan C ＋(－tan C)≥23－tan C×(－tan C)＝23(当且仅当tan C＝－3时取等号)，从而tan B≤223＝33，即tan B的最大值为33．30．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2b sin C，则tan A＋tan B＋tan C的最小值是()A．4B．33C．8D．63 30．答案C解析由a＝2b sin C得sin A＝2sin B sin C，∴sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C ＝2sin B sin C，即tan B＋tan C＝2tan B tan C．又三角形中的三角恒等式tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C，∴tan B tan C＝tan Atan A－2，∴tan A tan B tan C＝tan A·tan Atan A－2，令tan A－2＝t，得tan A tan B tan C＝(t＋2)2t＝t＋4t＋4≥8，当且仅当t＝4t，即t＝2，tan A＝4 时，取等号．。
专题 三角函数及解三角形(解析版)
2，π）单调递增5B．3D．专题三角函数及解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=sinx+x在[-π,π]的图像大致为cosx+x2A．B．C．D．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（π③f(x)在[-π,π]有4个零点其中所有正确结论的编号是A．①②④C．①④3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以④f(x)的最大值为2B．②④D．①③π2为周期且在区间(π4，π2)单调递增的是A．f(x)=|cos2x|C．f(x)=cos|x|4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，B．f(x)=|sin2x|D．f(x)=sin|x|π2)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=5A．15C．3255 5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数f(x)=sin（ωx+个零点，下述四个结论：①f(x)在（0,2π）有且仅有3个极大值点②f(x)在（0,2π）有且仅有2个极小值点π5）(ω＞0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5④ ω 的取值范围是[ ， )【2π ，且 g ⎛ ⎫⎪= 2 ，则 f ⎛ ⎪= = - ，则 sin 2α + ⎪ 的值是 ▲ . ⎛ αtan + ⎪【 B b c③ f (x )在（ 0, π 10）单调递增12 295 10其中所有正确结论的编号是A ．①④C ．①②③B ．②③D ．①③④6． 2019 年高考天津卷理数】已知函数 f ( x ) = A s in(ω x + ϕ )( A > 0, ω > 0,| ϕ |< π) 是奇函数，将 y = f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g (x )．若 g (x )的最小正周期为A ． -2C ． 2⎝ 4 ⎭ ⎝ 8 ⎭π 3π ⎫ B ． - 2D ． 27．【2019 年高考北京卷理数】函数 f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．8．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】 △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b , c .若 b = 6, a = 2c, B = π3△ABC 的面积为_________．，则9．【2019 年高考江苏卷】已知tan α 2 ⎛ π ⎫π ⎫ 3 ⎝ 4 ⎭⎝ 4 ⎭10．【2019 年高考浙江卷】在△ABC 中， ∠ABC = 90︒ ， AB = 4 ， BC = 3，点 D 在线段 AC 上，若∠BDC = 45︒ ，则 BD = ___________， cos ∠ABD = ___________．11．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，设(sin B - sin C )2 = sin 2 A - sin B sin C ．（1）求 A ；（2）若 2a + b = 2c ，求 sinC ．12． 2019 年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角 A ， ，C 的对边分别为 a ， ， ，已知 a sin（1）求 B ； A + C2b sin A．（2）求 sin2B + ⎪ 的值．（△2）若 ABC 为锐角三角形，且 c △=1，求 ABC 面积的取值范围．13．【2019 年高考北京卷理数】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cosB = -（1）求 b ，c 的值；（2）求 sin （B –C ）的值．1 2 ．14．【2019 年高考天津卷理数】在 △ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b , c ．已知 b + c = 2a ，3c s in B = 4a sin C ．（1）求 cos B 的值；⎛ ⎝π⎫ 6⎭15．【2019 年高考江苏卷】在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．（1）若 a =3c ，b = 2 ，cosB = 2 3，求 c 的值；（2）若sin A要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分)]2+[f(x+)]2的值域．【cos Bπ=，求sin(B+)的值．a2b216．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划．．．．别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．17．【2019年高考浙江卷】设函数f(x)=sinx,x∈R.（1）已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数，求θ的值；（2）求函数y=[f(x+ππ12418．重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(-2，1)，则cos2α=3B．C．-1tan α-⎪=20．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学文试题】已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的相，将函数图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)= C的对边，若△ABC的面积为S，且43S=(a+b)2-c2，则sin C+⎪=A．22133D．-22319．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】已知c osα=-4，α∈(-π,0)，则5⎛π⎫⎝4⎭1A．B．77C．-17D．-7π6邻对称轴之间的距离为ππ26A．sin(x+C．cos2xπ3)πB．sin(2x+)3πD．cos(2x+)321．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学试题】已知函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)，A>0,ω>0,ϕ<π的部分图象如图所示，则使f(a+x)-f(a-x)=0成立的a的最小正值为2A．C．π12π4B．D．π6π322．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，⎛π⎫⎝4⎭4D ．【（2）当 x ∈ [0, ] 时，不等式 c < f ( x ) < c + 2 恒成立，求实数 c 的取值范围．【 =A ．1B ．22C ． 6 - 26 + 2423．【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模）数学试题】在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 a = 1 ， 3 sin A cos C + ( 3 sin C + b ) cos A = 0 ，则角 A =A ．C ．2π3 π 6B ．D ．π 3 5π 624． 广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学试题】在 △ABC 中，a 、b 、c 分别是内角 A 、 B 、C 的对边，且 3b cos A = sin A(a cos C + c cos A) .（1）求角 A 的大小；（2）若 a = 2 3 ， △ABC 的面积为5 3 4，求 △ABC 的周长．25． 北京市昌平区 2019 届高三 5 月综合练习（二模）数学试题】已知函数 f ( x ） cosx( 3 sin x - cos x)+π（1）求 f ( ) 的值；3π21 2.【解析】由 f (- x ) = sin(- x) + (- x) 2 1 + 2 = 4 + 2π > 1, f (π) = 排除 A ．又 f ( ) = ( )2π 2 -1 + π2 ， π ）单调递增答 案1．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】函数 f(x)= sinx + xcosx + x 2在 [-π, π] 的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D- sin x - x== - f ( x ) ，得 f ( x ) 是奇函数，其图象关于原点对称， cos(- x ) + (- x ) cos x + x 2π π 2 π22π> 0 ，排除 B ，C ，故选 D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得f ( x ) 是奇函数，排除 A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．2．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数 f ( x ) = sin | x | + | sin x | 有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（π③f(x)在 [-π, π] 有 4 个零点 其中所有正确结论的编号是A ．①②④C ．①④④f(x)的最大值为 2B ．②④D ．①③【答案】C【解析】Q f (- x ) = sin - x + sin (- x ) = sin x + sin x = f (x ) , ∴ f (x )为偶函数，故①正确．当π⎛π<x<π时，f(x)=2sin x，它在区间 ,π⎪单调递减，故②错误．作出y=sin2x的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，⎫2⎝2⎭当0≤x≤π时，f(x)=2sin x，它有两个零点：0,π；当-π≤x<0时，f(x)=sin(-x)-sin x =-2sin x，它有一个零点：-π，故f(x)在[-π,π]有3个零点：-π,0,π，故③错误．当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时，f(x)=2sin x；当x∈[2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时，f(x)=sin x-sin x=0，又f(x)为偶函数，∴f(x)的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．【名师点睛】本题也可画出函数f(x)=sin x+sin x的图象（如下图），由图象可得①④正确．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以A．f(x)=|cos2x|C．f(x)=cos|x|π2为周期且在区间(B．f(x)=|sin2x|D．f(x)=sin|x|π4，π2)单调递增的是【答案】A【解析】作出因为y=sin|x|的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；因为y=cos x=cos x，周期为2π，排除C；作出y=cos2x图象如图2，由图象知，其周期为πππ，在区间(，)单调递增，A正确；242πππ242故选A．图12 )，2sin2α=cos2α+1，则 sin α=5B ．3D ． 【 解 析 】 Q 2sin 2α = cos2 α +1 ， ∴ 4sin α ⋅ cos α = 2cos 2 α .Q α ∈ 0, ⎪ ,∴ cos α > 0 ， sin α > 0,∴2sin α = cos α ，又sin 2α + cos 2α = 1 ，∴ 5sin 2 α = 1,sin 2α = ，又sin α > 0 ，∴ s in α =图 2图 3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数 y = f ( x ) 的周期是函数 y = f ( x ) 周期的一半；② y = sin ω x 不是周期函数.4．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知 α∈(0，πA ．1C ．3【答案】B552 55⎛ ⎝ π⎫ 2 ⎭15 5 5，故选 B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为 1 关系得出答案．④ω的取值范围是[，)ππkπ-④当f(x)=sin（ωx+）=0时，ωx+=kπ（k∈Z），所以5，所以当k=5时，5π-12296π-5≤2π，当k=6时，x=5105>2π，解得5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数f(x)=sin（ωx+个零点，下述四个结论：①f(x)在（0,2π）有且仅有3个极大值点②f(x)在（0,2π）有且仅有2个极小值点π5）(ω＞0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5③f (x)在（0,π10）单调递增1229510其中所有正确结论的编号是A．①④C．①②③B．②③D．①③④【答案】D【解析】①若f(x)在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；π55x=ω因为f(x)在[0,2π]上有5个零点，x=ωππω≤ω<，③函数f(x)=sin（ωx+）的增区间为：-+2kπ<ωx+<+2kπ，2k-π+2k⎪π10⎭10<x<⎝⎭.7⎫综上可得，f(x)在 0,⎝10⎭【最小正周期为2π，且g ⎪=2，则f ⎪=又g(x)=A s inωx,∴T=42，∴A=2，故④正确.ππππ5252⎛⎛3⎫⎪⎝ωω取k=0，当ω=1271时，单调递增区间为-π<x<π，52482973当ω=时，单调递增区间为-π<x<π，102929⎛π⎫⎪单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错．6．2019年高考天津卷理数】已知函数f(x)=A s in(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)是奇函数，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的A．-2 C．2⎛π⎫⎝4⎭⎛3π⎫⎝8⎭B．-2D．2【答案】C【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(0)=A s inϕ=0,∴ϕ=kπ,k∈Z,∴k=0,ϕ=0；又g(π)=12π21ω2=2π,∴ω=2，∴f(x)=2sin2x，f(3π8)= 2.故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数g(x)，再根据函数性【解析】函数 f (x ) = sin 2 2x = 1 - cos 4 x .=1= - ，则 sin 2α + ⎪ 的值是 ▲ .⎛ α tan + ⎪= = = - ，得 3tan 2 α - 5tan α - 2 = 0 ，tan α + ⎪ tan α (1 - tan α )sin 2α + ⎪ = sin 2α cos + cos 2α sin质逐步得出 A, ω,ϕ 的值即可.7．【2019 年高考北京卷理数】函数 f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】π2π，周期为 .2 2【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式 三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可8．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】 △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b , c .若 b = 6, a = 2c, B =π3△ABC 的面积为_________．【答案】 6 3，则【解析】由余弦定理得 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ，所以 (2c)2 + c 2 - 2 ⨯ 2c ⨯ c ⨯解得 c = 2 3, c = -2 3 （舍去），1 3所以 a = 2c = 4 3 ， Sac sin B = ⨯ 4 3 ⨯ 2 3 ⨯= 6 3.22 2 12 = 62 ，即 c 2 = 12 ，【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于 c 的方程，应用 a, c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．9．【2019 年高考江苏卷】已知【答案】210tanα 2 ⎛ π ⎫ π ⎫ 3 ⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭【解析】由 tan α tan α 2⎛ π ⎫ tan α + 1 tan α + 1 3⎝ 4 ⎭ 1 - tan α解得 tan α = 2 ，或 tan α = -13.⎛π ⎫ π π ⎝4 ⎭ 4 42 (sin 2α + cos 2α )=22 ⎝sin 2 α + cos 2 α ⎭ 2 ⎝ tan 2 α + 1 ⎭= ； 当 tan α = 2 时，上式 = ⎪ ⎝ 2 2 + 1 ⎭10 13 3 ]= 2 .⨯ [2 ⨯ (- ) + 1 - (- )2 当 tan α = - 时，上式=1π ⎫ 2 = .4 ⎭ 10⎛【答案】 12 2 . .【解析】如图，在△ABD 中，由正弦定理有：AB= ,cos ∠BAC = = ，所以 BD ===2 ⎛ 2sin α cos α + cos 2 α - sin 2 α ⎫ ⎪2 ⎛ 2 tan α + 1 - tan 2 α ⎫⎪ ，2 ⎛ 2 ⨯ 2 + 1 - 22 ⎫ 2 21 123 210(- )2 + 13综上， sin 2α + ⎝⎪【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取转化法，利用分类讨 论和转化与化归思想解题.由题意首先求得 tan α 的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可 10．【2019 年高考浙江卷】在 △ABC 中， ∠ABC = 90︒ ， AB = 4 ， BC = 3 ，点 D 在线段 AC 上，若∠BDC = 45︒ ，则 BD = ___________， cos ∠ABD = ___________．7 2 ，5 10BD 3π= ，而 AB = 4, ∠ADB =sin ∠ADB sin ∠BAC 4,AC = AB 2 + BC 2 = 5 ， sin ∠BAC =BC 3 AB 4 12 2 AC 5 AC 5 5.π π 7 2cos ∠ABD = cos(∠BDC - ∠BAC ) = cos cos ∠BAC + sin sin ∠BAC =4 4 10.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思( )cos C + sin C = 2sin C ，可得 cos (C + 60︒ )= - 【 B b c想.在 △ABD 中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.11．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，设(sin B - sin C )2 = sin 2 A - sin B sin C ．（1）求 A ；（2）若 2a + b = 2c ，求 sinC ．【答案】（1） A = 60︒ ；（2） sin C =6 + 2 4.【解析】（1）由已知得 s in 2 B + sin 2 C - sin 2 A = sin B s in C ，故由正弦定理得 b 2 + c 2 - a 2 = bc ．b 2 +c 2 - a 2 1 由余弦定理得 cos A = = ．2bc 2因为 0︒ < A < 180︒ ，所以 A = 60︒ ．（2）由（1）知 B = 120︒ - C ，由题设及正弦定理得 2 sin A + sin 120︒ - C = 2sin C ，即 6 3 1 2 +2 2 2 2．由于 0︒< C < 120︒，所以 sin(C + 60︒)=2 2，故sin C = sin (C + 60︒ - 60︒ )= sin (C + 60︒ )cos60 ︒ - cos (C + 60︒ )sin 60︒= 6 + 2 4．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.12． 2019 年高考全国Ⅲ卷理数】△ ABC 的内角 A ， ，C 的对边分别为 a ， ， ，已知 a sin（1）求 B ；（2△）若 ABC 为锐角三角形，且 c =1△，求 ABC 面积的取值范围．A + C 2= b sin A ．【答案】（1）B =60°；（2） ( 3因为 cos B 从而3△ABC<．因此，△ ABC 面积的取值范围是 8 , 2 ⎪⎭ .b 2 = 32 +c 2 - 2 ⨯ 3 ⨯ c ⨯ - ⎪.3, ) . 8 2【解析】（1）由题设及正弦定理得 s in A s in A + C= sin B sin A ．2因为sinA ≠ 0，所以 sin A + C= sin B ．2由 A + B + C = 180︒ ，可得 sin A + C B B B B= cos ，故 cos = 2sin cos ．2 2 2 2 2B 1≠ 0 ，故 sin = ，因此B =60°．2 2 2（2）由题设及（1△）知 ABC 的面积 S△ABC = 3 4a ．c sin A sin (120︒ - C )3 1由正弦定理得 a = = = + ．sin C sin C 2 tan C 2△由于 ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故 1< a < 2 ，23< S82⎛ 3 3 ⎫ ⎪ ．⎝【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查 V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题13．【2019 年高考北京卷理数】在△ ABC 中，a =3，b −c =2，cosB = -（1）求 b ，c 的值；（2）求 sin （B –C ）的值．1 2 ．【答案】（1） b = 7 ， c = 5 ；（2）4 73 .【解析】（1）由余弦定理 b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ，得⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭所以 (c + 2)2 = 32 + c 2 - 2 ⨯ 3 ⨯ c ⨯ - ⎪ . （2）由 cos B = - 得 sin B = ⎪ 的值．⎛ （ 得 3b s in C = 4a sin C ，即 3b = 4a ．又因为 b + c = 2a ，得到 b = a ， c = a ．由余弦定理可得a 2 + c 2 -b 2 a 2 + a 2 - a 21 cos B = = =- ．2因为 b = c + 2 ，⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭解得 c = 5 .所以 b = 7 .1 32 2.由正弦定理得 s in C = c 5 3 sin B = b 14.在 △ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角.所以 cos C = 1 - sin 2 C = 11 14.所以 sin( B - C ) = sin B cos C - cos B sin C = 4 3 7.【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．【2019 年高考天津卷理数】在 △ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b , c ．已知 b + c = 2a ，3c s in B = 4a sin C ．（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2B + ⎝π⎫6⎭【答案】（1） - 1 4 3 5 + 7；（2） - .16【解析】 1）在 △ABC 中，由正弦定理 b c=sin B sin C，得 b s in C = c s in B ，又由 3c sin B = 4a sin C ，4 23 34 169 92ac 42 ⋅ a ⋅ a3sin 2B + ⎪ = sin 2B cos + cos 2B sin =- ⨯ - ⨯ =- （2）若 sin A 3 2 ⨯ 3c ⨯ c ，得 ( ) π⎫ 2 5= cos B = 2 ⎭ 5⎛（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 得 sin B = 1 - cos 2 B =7cos 2B = cos 2 B - sin 2 B = - ，故815 15， 从 而 sin 2 B = 2sin B cos B = - ， 4 8⎛ π⎫ π π 15 3 7 1 3 5 + 7 ⎝6 ⎭ 6 6 8 2 8 2 16．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．15．【2019 年高考江苏卷】在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．（1）若 a =3c ，b = 2 ，cosB = 23，求 c 的值；cos B π= ，求 sin(B + ) 的值．a 2b 2【答案】（1） c =3 2 5；（2） . 3 5【解析】（1）因为 a = 3c, b =2,cos B = 23，a 2 + c 2 -b 2 2 (3c)2 +c 2 - ( 2) 2 1由余弦定理 cos B = ，得 = ，即 c 2 = .2ac 3所以 c =3 3.（2）因为 sin A cos B =a 2b， 由正弦定理 a b cos B sin B= =sin A sin B 2b b，所以 cos B = 2sin B .4从而 cos 2 B = (2sin B)2 ，即 cos 2 B = 4 1 - cos 2 B ，故 cos 2 B = .5因为 sin B > 0 ，所以 cos B = 2sin B > 0 ，从而 cos B = 2 55.因此 sin B + ⎝⎪ .【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分16．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划．．．．别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321（百米）.【解析】解法一：（1）过A作AE⊥BD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD=8.'因为PB⊥AB，所以cos∠PBD=sin∠ABE=84=.105所以PB=BD12==15.cos∠PBD45因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.5②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知 AD = AE 2 + ED 2 = 10 ，从而 cos ∠BAD = AD 2 + AB 2 - BD 2 7= > 0 ，所以∠BAD 为锐角.2 A D ⋅ AB 25所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设 P 为l 上一点，且 PB ⊥ AB ，由（1）知， P B =15，1 1 1此时 PD = PB sin ∠PBD = PB cos ∠EBA = 15 ⨯ 3 = 9 ；1111当∠OBP >90°时，在 △PPB 中， PB > PB = 15 .1 1由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由 （ 2 ） 知 ， 要 使 得 QA ≥15 ， 点 Q 只 有 位 于 点 C 的 右 侧 ， 才 能 符 合 规 划 要 求 . 当 QA =15 时 ，CQ = QA 2 - AC 2 = 152 - 62 = 3 21 .此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综 上 ， 当 PB ⊥AB ， 点 Q 位 于 点 C 右 侧 ， 且 CQ = 3 21 时 ， d 最 小 ， 此 时 P ， Q 两 点 间 的 距 离PQ =PD +CD +CQ =17+ 3 21 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+ 3 21 （百米）.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.在线段AD 上取点M （3， ），因为 OM = 32 + ⎪ < 32 + 42 = 5 ，因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为 3 4.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为 -4 25直线PB 的方程为 y =- x -.334 3，所以P （−13，9）， PB =(-13 + 4)2 + (9 + 3)2 = 15 .因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ： y = - 3x + 6(-4剟x 4) .415 ⎛ 15 ⎫24⎝ 4 ⎭所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设 P 为l 上一点，且 PB ⊥ AB ，由（1）知， P B =15，此时 P （−13，9）；1111当∠OBP >90°时，在 △PPB 中， PB > PB = 15 .1 1由上可知，d ≥15.（2）求函数 y = [ f ( x + π )]2 + [ f ( x + )]2的值域． 又 θ ∈ [0, 2π) ，因此θ =π（2） y = ⎢ f x + + ⎢ f x + ⎪⎥ = sin 2 x + 12 ⎭⎥⎦ 4 ⎭⎦ ⎝ + sin 2 x + ⎪ 12 ⎭ ⎝ 4 ⎭ 1 - cos 2 x + ⎪ 1 - cos 2 x + ⎪= + = 1 - cos 2 x - sin 2 x ⎪π ⎫ 6 ⎭ cos 2 x + ⎪ ．再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由 AQ = (a - 4)2 + (9 - 3)2 = 15(a > 4) ，得a = 4 + 3 21 ，所以Q （ 4 + 3 21 ，9），此时，线段QA上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （ 13，9），Q （ 4 + 3 21 ，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ = 4 + 3 21 - (-13) = 17 + 3 21 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17 + 3 21 （百米）.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.17．【2019 年高考浙江卷】设函数 f ( x ) = sinx, x ∈ R .（1）已知θ ∈ [0,2 π), 函数 f ( x + θ ) 是偶函数，求θ 的值；π 12 4【答案】（1）θ = π 3π或 ；（2） [1-2 23 3 ,1 + ] ． 2 2【解析】（1）因为 f ( x + θ ) = sin( x + θ ) 是偶函数，所以，对任意实数x 都有 sin( x + θ ) = sin( - x + θ ) ，即 sin x cos θ + cos x sin θ = - s in x cos θ + cos x sin θ ，故 2sin x cos θ = 0 ，所以 cos θ = 0 ．3π或 ． 2 2⎡ ⎣ ⎛ π ⎫⎤ 2 ⎡ ⎛ π ⎫⎤ 2 ⎛ ⎪ ⎝ ⎣ ⎝ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎪⎛ ⎛ π ⎫ ⎝ ⎝2 ⎭ 1 ⎛3 3 ⎫ 2 2 2 ⎝ 2 2⎭= 1 - 3 2⎛ π ⎫⎝ 3 ⎭因此，函数的值域是[1-3.【3B．tan α-⎪=【解析】Q cosα=-,a∈(-π,0)，∴α∈⎛-π,-π⎫⎪，3,1+]．22【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力18．重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(-2，1)，则cos2α=A．2213C．-13D．-223【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(-2，1)，所以cosα=-22+1=-63，因此cos2α=2cos2α-1=13.故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点P(-2，1)，求出cosα，再由二倍角公式，即可得出结果.19．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】已知c osα=-4，α∈(-π,0)，则5⎛π⎫⎝4⎭A．17B．7C．-17D．-7【答案】C45⎝2⎭33∴s inα=-,tanα=，54π ⎫ tan α - 1 4 1 则 tan α - ⎪ == = - .故选 C ． 4 ⎭ 1 + tan α 7 3 1 +20．【广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学文试题】已知函数 f ( x ) = sin(ω x + ) (ω > 0) 的相，将函数图象向左平移 个单位得到函数 g ( x ) 的图象，则 g ( x ) =) + ] = sin 2 x + + ⎪ = cos 2 x 的图象，故选 C ．3- 1 ⎛⎝4【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及两角差的正切公式的简单应用，属于基础题．解答本题时，根据已知 c os α 的值，结合同角三角函数关系式可求 tan α，然后根据两角差的正切公式即可求解．π6邻对称轴之间的距离为 π π2 6A ． sin( x +C ． cos2 x π 3 ) πB ． sin(2 x + )3πD ． cos(2 x + )3【答案】C【解析】由函数 f ( x ) = sin(ω x +π π T π)(ω > 0) 的相邻对称轴之间的距离为 ，得 = ，即 T = π ，所6 2 2 2以 π =2πω ，解得 ω = 2 ，π π将函数 f ( x ) = sin(2 x + ) 的图象向左平移 个单位，6 6得到 g ( x ) = sin[2( x + π 6 π ⎛ 6 ⎝ π π ⎫ 3 6 ⎭【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．解答本题时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果．21．【河南省郑州市 2019 届高三第三次质量检测数学试题】已知函数 f (x ) = A s in (ωx + ϕ )，A > 0,ω > 0, ϕ < π的部分图象如图所示，则使 f (a + x )- f (a - x ) = 0 成立的 a 的最小正值为 2⇒>,∴ω<所以a的最小正值为.C的对边，若△ABC的面积为S，且43S=(a+b)2-c2，则sin C+⎪=4D．A．C．π12π4B．D．π6π3【答案】B【解析】由图象易知，A=2，f(0)=1，即2sinϕ=1，且ϕ<ππ，即ϕ=，26由图可知，f(11π11ππ11ππ12k-2 )=0,所以sin(⋅ω+)=0,∴⋅ω+=kπ,k∈Z，即ω=,k∈Z，1212612611 11π2π11π24又由图可知，周期T>，且ω>0，12ω1211所以由五点作图法可知k=2,ω=2，π所以函数f(x)=2sin(2x+)，6因为f(a+x)-f(a-x)=0，所以函数f(x)关于x=a对称，即有2a+ππkππ=kπ+,k∈Z，所以可得a=+,k∈Z，6226π6故选B.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，熟练运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关键，属于中档题.解答本题时，先由图象，求出A,ϕ,ω，可得函数f(x)的解析式，再由f(a+x)-f(a-x)=0易知f(x)的图象关于x=a对称，即可求得a的值.22．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，⎛π⎫⎝4⎭A．1B．C．6-2【答案】D 226+2 4【解析】由43S=(a+b )2-c2，得43⨯12ab sin C=a2+b2-c2+2ab，∵a2+b2-c2=2ab cos C，∴23ab sin C=2ab cos C+2ab，即 3 sin C - cos C = 1 ，即 2sin C - 6 ⎭ = 1 ，则 sin C - ⎪ = ，+ = sin cos + cos sin = 3 ⨯ 2 + ⨯ 2 = 6 + 2 sin C + = sin ⎝ ⎝ 3 4 ⎭ 2 2 2 2 44 ⎭ 3 4 3 4 π ⎫⎛⎝ π ⎫ ⎪ ⎛ ⎝π ⎫ 1 6 ⎭ 2∵ 0 < C < π ，∴ - π π 5π π π π< C - < ， ∴ C - = ，即 C = ，6 6 6 6 6 3则 ⎛ ⎛ π π ⎫ π π π π 1 ⎪ ⎪，故选 D ．【名师点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．解答本题时，根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出 C 的值，然后利用两角和的正弦公式进行求解即可．23．【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模）数学试题】在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 a = 1 ， 3 sin A cos C + ( 3 sin C + b ) cos A = 0 ，则角 A =A ．C ．2π 3 π 6B ．D ．π 3 5π 6【答案】D【解析】∵ a = 1 ， 3 sin A cos C + ( 3 sin C + b ) cos A = 0 ，∴ 3 sin A cos C + 3 sin C cos A = -b cos A ，∴ 3 sin( A + C ) = 3 sin B = -b cos A ，∴ 3a sin B = -b cos A ，由正弦定理可得： 3 sin A s in B = - sin B cos A ，∵ sin B > 0 ，∴ 3 sin A = - cos A ，即 tan A = - 3 3，∵ A ∈ (0, π) ，∴ A = 5π 6.故选 D ．【名师点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，两角和的正弦公式即可，属于基础题．解答本题时，由 3 sin A cos C + ( 3 sin C + b ) cos A = 0 ，可得 3a sin B = -b cos A ，再由正弦定理得到tan A = -3 ，结合 A ∈ (0, π) ，即可求得 A 的值．3【， a = 2 3 ， △ABC 的面积为，24． 广东省韶关市 2019 届高考模拟测试（4 月）数学试题】在 △ABC 中，a 、b 、c 分别是内角 A 、 B 、C 的对边，且 3b cos A = sin A(a cos C + c cos A) .（1）求角 A 的大小；（2）若 a = 2 3 ， △ABC 的面积为5 3 4，求 △ABC 的周长．【答案】（1） A =π 3；（2） 5 3 .【解析】（1）∵ 3b cos A = sin A(a cos C + c cos A) ，∴由正弦定理可得：3 sin B cos A = sin A(sin A cos C + sin C cos A) = sin A s in( A + C ) = sin A s in B ，即 3 sin B cos A = sin A s in B ，∵ sin B ≠ 0 ，∴ tan A = 3 ，∵ A ∈ (0, π) ，∴ A = π3．（2）∵ A = π 5 33 41 3 5 3∴ bc sin A = bc =2 4 4，∴ bc = 5 ，∴由余弦定理可得： a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，即12 = b 2 + c 2 - bc = (b + c)2 - 3bc = (b + c)2 - 15 ，解得： b + c = 3 3 ，∴ △ABC 的周长为 a + b + c = 2 3 + 3 3 = 5 3 .【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 3 sin B cos A = sin A s in B ，由 sin B ≠ 0 ，（2）当 x ∈ [0, ] 时，不等式 c < f ( x ) < c + 2 恒成立，求实数 c 的取值范围．【 = = sin 2 x - 所以 - ≤ sin （2 x - ）≤ 1 .⎪⎩c + 2 > 1 所以实数 c 的取值范围为 (-1,- ) .（2）首先求得函数 f (x )在区间 ⎢0, ⎥ 上的值域，然后结合恒成立的结论得到关于 c 的不等式组，求可求 tan A = 3 ，结合 A ∈ (0, π) ，可求 A =π3．（2）利用三角形的面积公式可求bc = 5 ，进而根据余弦定理可得b + c = 3 3 ，即可计算△ABC 的周长的值．25． 北京市昌平区 2019 届高三 5 月综合练习（二模）数学试题】已知函数 f ( x ） cos x( 3 sin x - cos x)+π（1）求 f ( ) 的值；3π21【答案】（1）1；（2） (-1,- ) .21【解析】（1） f ( x ）3 sin x cos x - cos 2 x + 2= 31cos 2 x2 2π=sin(2 x - ) ，6 π所以 f ( ) = 1 .31 2.（2）因为 0 ≤ x ≤ π 2，π π 5π所以 - ≤ 2 x - ≤ ，6 6 6 1 π2 6⎧1 ⎪ c <- 1由不等式 c < f ( x ) < c + 2 恒成立，得 ⎨2 ，解得 -1 < c < - . 212【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（1）首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数值即可；⎡ π ⎤ ⎣ 2 ⎦解不等式组可得 c 的取值范围.。
2024年高考数学真题分类汇编05：三角函数与解三角形
解法二：令 h x f (x) g x , x 1,1 ，可知 h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可
知 h x 的零点只能为 0，即可得 a 2 ，并代入检验即可. 【解析】解法一：令 f (x) g x ，即 a(x 1)2 1 cos x 2ax ，可得 ax2 a 1 cos x ， 令 F x ax2 a 1,G x cos x ，
三角函数与解三角形
一、单选题
1．（2024·全国）已知 cos( ) m, tan tan 2 ，则 cos( ) （ ）
A． 3m
B． m 3
C．
m 3
D． 3m
2．（2024·全国）当
xÎ
[0, 2 ] 时，曲线
y
sin
x
与
y
2
sin
3x
6
的交点个数为（
）
A．3
B．4
C．6
的最小正周期为
π
．则函数在
π 12
,
π 6
的最小值是（ ）
A． 3
2
B． 3 2
C．0
D． 3 2
9．（2024·上海）下列函数 f x 的最小正周期是 2π 的是（ ）
A． sinx cosx C． sin2x cos2x
B． sinxcosx D． sin2x cos2x
二、多选题
y
f
x 在 0,1 处的切线与两坐标轴围
成的三角形的面积为（ ）
A． 1 6
B．
1 3
C．
1 2
D．
2 3
7．（2024·北京）已知fxFra biblioteksinx
高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题(含解析)
高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题1.(2021·山东滨州期中)已知向量a=(cos x,sin x),b=(4√3sin x,4sin x),若f(x)=a·(a+b).(1)求f(x)的单调递减区间;]上的最值.(2)求f(x)在区间[0,π22.(2021·北京丰台区模拟)如图,△ABC中,∠B=45°,N是AC边的中点,点M在AB边上,且MN⊥AC,BC=√6,MN=√3.(1)求∠A;(2)求BM.3.(2021·山东潍坊二模)如图,D为△ABC中BC边上一点,∠B=60°,AB=4,AC=4√3.给出如下三种数值方案:①AD=√5;②AD=√15;③AD=2√7.判断上述三种方案所对应的△ABD的个数,并求△ABD唯一时,BD的长.4.(2021·海南海口月考)在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,b cos C+c cos B=4,B=π.请再在下4列三个条件:①(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3a sin B;②b=4√2;③√3c sin B=b cos C中,任意选择一个,添加到题目的条件中,求△ABC的面积.5.(2021·辽宁大连一模)如图,有一底部不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差,请你针对误差情况进行说明.6.(2021·湖北武汉3月质检)在△ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2π3,b=√6.(1)若cos A cos C=23,求△ABC的面积;(2)试问1a +1c=1能否成立?若能成立,求此时△ABC的周长;若不能成立,请说明理由.7.(2021·湖南长沙模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b-c)sinCb+a=sin B-sin A.(1)求角A;(2)若a=2,求1tanB +1tanC的最小值.8.(2021·江苏南京期中)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=2π3.计划在BC⏜上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ(0<θ<π2).(1)当θ=π3时,求∠OPQ的大小;(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求sin θ的值.答案与解析1.解由于f(x)=a·(a+b)=|a|2+a·b=1+4√3sin x cos x+4sin2x=1+2√3sin 2x+4·1-cos2x2=2√3sin 2x-2cos 2x+3=4sin(2x-π6)+3.(1)由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ(k∈Z),解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递减区间是[π3+kπ,5π6+kπ](k∈Z).(2)由于x∈[0,π2],所以2x-π6∈[-π6,5π6],故当2x-π6=π2即x=π3时,函数f(x)取最大值7;当2x-π6=-π6即x=0时,函数f(x)取最小值1.2.解(1)如图,连接MC,因为N是AC边的中点,且MN⊥AC, 所以MC=MA.在Rt△AMN中,MA=MNsinA=√3sinA,所以MC=√3sinA.在△MBC中,由正弦定理可得MCsinB=BCsin∠BMC,而∠BMC=2∠A,所以√3sinA·sin45°=√6sin2A,即√3sinA·√22=√62sinAcosA,所以cos A=12,故∠A=60°.(2)由(1)知MC=MA=√3sin60°=2,∠BMC=2∠A=120°.在△BCM中,由余弦定理得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC,所以(√6)2=BM2+22-2BM·2·cos 120°,解得BM=√3-1(负值舍去).3.解过点A作AE⊥BC,垂足为点E(图略),则AE=4·sin 60°=2√3,当AD=√5时,AD<AE,所以方案①对应△ABD无解,当AD=√15时,AE<AD<AB<AC ,所以方案②对应△ABD 有两解, 当AD=2√7时,AB<AD<AC ,所以方案③对应△ABD 只有一解. 由方案③知AD=2√7,设BD=x (x>0),所以在△ABD 中由余弦定理得(2√7)2=42+x 2-2×4×x×cos 60°,即x 2-4x-12=0,解得x=6或x=-2(舍去).又因为在△ABC 中易得BC=8,BD=6<BC ,符合题意, 所以BD 的长为6.4.解 若选择条件①,则(a+b+c )(sin A+sin B-sin C )=3a sin B ,由正弦定理可得(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,所以(a+b )2-c 2=3ab ,整理得a 2+b 2-c 2=ab ,所以cos C=12,故C=π3.又B=π4,所以A=π-π3−π4=5π12. 又因为b cos C+c cos B=4,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=4,即a=4.由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以b=asinB sinA=4sin π4sin 5π12=4(√3-1), 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4(√3-1)×sin π3=4(3-√3). 若选择条件②,则b=4√2. 又因为b cos C+c cos B=4,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b22ac =4,即a=4.又B=π4,所以由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以sin A=asinBb=4sin π44√2=12,所以A=π6或A=5π6.由于b>a ,所以B>A ,因此A=5π6不合题意舍去,故A=π6,从而C=π-π6−π4=7π12. 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4√2×sin 7π12=4(√3+1). 若选择条件③,因为b cos C+c cos B=4, 所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=4,所以a=4.因为√3c sin B=b cos C ,所以√3sin C sin B=sin B cos C ,所以tan C=√33,于是C=π6,从而A=π-π6−π4=7π12,所以由正弦定理可得a sinA =bsinB , 所以b=asinB sinA=4sin π4sin 7π12=4(√3-1), 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4(√3-1)×sin π6=4(√3-1). 5.解 (1)选用测角仪和米尺,如图所示.①选择一条水平基线HG ,使H ,G ,B 三点在同一条直线上;②在H ,G 两点用测角仪测得A 的仰角分别为α,β,HG=a ,即CD=a.测得测角仪器的高是h ;③(方法一)在△ACD 中,由正弦定理,得ACsinα=CDsin (β-α), 所以AC=CDsinαsin (β-α)=asinαsin (β-α),在Rt △ACE 中,有AE=AC sin β=asinαsinβsin (β-α), 所以建筑物的高度AB=AE+h=asinαsinβsin (β-α)+h. (方法二)在Rt △ADE 中,DE=AEtanα, 在Rt △ACE 中,CE=AEtanβ, 所以CD=DE-CE=AEtanα−AEtanβ=AE (tanβ-tanα)tanαtanβ,所以AE=atanαtanβtanβ-tanα,所以建筑物的高度AB=AE+h=atanαtanβtanβ-tanα+h. (2)①测量工具问题;②两次测量时位置的间距差; ③用身高代替测角仪的高度.6.解 (1)由B=2π3,得A+C=π3,cos(A+C )=cos A cos C-sin A sin C ,即12=cos A cos C-sin A sin C.因为cos A cos C=23,所以sin A sin C=16.因为a sinA =c sinC =√6√32=2√2,所以a=2√2sin A ,c=2√2sin C.所以S △ABC =12·2√2sin A·2√2sin C·sin B=4sin A·sin B sin C=4×16×√32=√33. (2)假设1a +1c =1能成立,所以a+c=ac.由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以6=a 2+c 2+ac.所以(a+c )2-ac=6,所以(ac )2-ac-6=0,所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3. 不满足a+c ≥2√ac ,所以1a +1c =1不成立.7.解 (1)由(b -c )sinCb+a =sin B-sin A ,可得(b-c )sin C=(sin B-sin A )(b+a ),由正弦定理得(b-c )c=(b-a )(b+a ),即b 2+c 2-a 2=bc , 由余弦定理,得cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,因为0<A<π,可得A=π3.(2)由(1)知A=π3,设△ABC 的外接圆的半径为R (R>0),可得2R=asinA =4√33, 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=b 2+c 2-bc ≥bc , 即bc ≤a 2=4,当且仅当b=c=2时取等号, 又1tanB +1tanC =cosBsinB +cosCsinC =cosBsinC+sinBcosCsinBsinC =sin (B+C )sinBsinC =sinAsinBsinC =2R ·2RsinA 2RsinB ·2RsinC=2R ·abc =8√33bc ≥8√33×4=2√33,所以1tanB +1tanC 的最小值为2√33.8.解 (1)在△POQ 中,因为∠AQC=2π3,所以∠AQO=π3.又OA=OB=3,所以OQ=√3. 设∠OPQ=α,则∠PQO=π2-α+θ. 由正弦定理,得3sin (π2-α+θ)=√3sinα,即√3sin α=cos(α-θ), 整理得tan α=√3-sinθ,其中θ∈(0,π2).当θ=π3时,tan α=√33.因为α∈(0,π2),所以α=π6. 故当θ=π3时,∠OPQ=π6.(2)设f(θ)=√3-sinθ,θ∈(0,π2),则f'(θ)=-sinθ(√3-sinθ)+cos 2θ(√3-sinθ)2=1-√3sinθ(√3-sinθ)2.令f'(θ)=0,得sin θ=√33,记锐角θ0满足sin θ0=√33,当0<θ<θ0时,f'(θ)>0;当θ0<θ<π2时,f'(θ)<0, 所以f(θ)在θ=θ0处取得极大值亦即最大值.由(1)可知tan α=f(θ)>0,则α∈(0,π2),又y=tan α单调递增,则当tan α取最大值时,α也取得最大值.故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sin θ=√33 .。
(完整版)解三角形高考大题-带答案
解二角形咼考大题，带答案1.(宁夏17)(本小题满分12分)如图，△ ACD 是等边三角形，△ ABC 是等腰直角三角形,AB 2.(I)求 cos Z CAE 的值； (n)求 AE .解：(I )因为 Z BCD 90° 60° 150° ,CB AC CD ,所以 Z CBE 15° .所以 c°s Z CBE cos(45° 30°)(n)在△ ABE 中，AB 2 ,故AE 细30°c°s152 -6 226 2.12分42.(江苏 17) (14 分)某地有三家工分别位于矩形 ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20 km , BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界)，且A 、B 与 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO 、BO 、OP ，设排污管道的总 长为ykm 。
(1 )按下列要求写出函数关系式：① 设Z BAO= 0 (rad)，将y 表示成B 的函数关系式； ② 设OP=x(km)，将y 表示成x 的函数关系式；(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度 最短。
【解析】：本小题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。
由正弦定理AE sin( 45° 15°)2 sin( 90° 15°)Z ACB 90°，BD 交 AC 于 E ，故OB10 c°s又 OP 10 10tan ，所以 y OA OB OP10 10 10 10tanc°sc°sA ---------------- BCB(1)①由条件知PQ垂直平分AB，若Z BAO=~2~3.（辽宁17）（本小题满分12分）4.（全国I 17）（本小题满分12分） 设厶ABC 的内角A , B , C 所对的边长分别为 a, b, c ,且acosB 3, bsi nA 4. （I ）求边长a ；（n ）若 △ ABC 的面积S 10，求△ ABC 的周长I .解：（1 ）由acosB 3与bsi nA 4两式相除，有：3 a cos B a cos B b cos B , cotB20 10sin 10 (0②若 OP=x(km)，贝U OQ=10-x ，所以 OA OB所求函数关系式为yx 2 . x 220x 200（2）选择函数模型①， y'10cos cos (20 2cos令y' 0得sin1 Q0_246当（0,—）时 y'0, y 是B 的减函数；当62010 -7) ,(10 x)2 102 x 2 20x 20010(2si n 1)2cos0 , y 是B 的增函数;此时点O 位于线段 AB 的中垂线上，且距离AB 边邛km 处。
高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。
三角函数部分高考题(带答案)
即 sin(B C) 0 ∴ B C
BC
6
A
(B
C)
2 3
由正弦定理
a sin A
b sin B
c sin C
得
1
b c a sin B 2 3 2 2
sin A
3
2
31.已知函数 f (t)
1 t 1 t ,
g ( x)
cos x
f
(sin
x)
sin
x
f
(cos x),
x ( ,
因此
0≤
sin
2πx 6
1 2
3≤
2
，即 f (x) 的取值范围 为320， ．
25.求函数 y 7 4sin x cos x 4cos 2 x 4cos 4 x 的最大值与最小值。
【解】： y 7 4sin x cos x 4cos 2 x 4cos 4 x
7 2sin 2x 4cos2 x 1 cos2 x
26.知函数
f (x) 2cos2x 2sinxcosx 1（ x R,
0 ）的最小值正周期是
2．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 f ( x) 的最大值，并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合．
（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数
y Asin(x ) 的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分 12 分．
4 3
，所以
tan
2
tan tan 2 1 tan tan2
1
∵,
为锐角，∴ 0
2
3 2
，∴
2 =
3 4
30.在 ABC 中，角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ， a 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）-（B （C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是．【解析】()22311cos cos 44f x xx x x =--=-++ 2cos 12x ⎛=--+ ⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．10.（2016年3卷14）函数sin y x x =-错误！未找到引用源。
的图像可由函数sin y x x =+错误！未找到引用源。
的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟悉两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一致。
先变周期：2cos sin sin 2sin 2sin 2223122y x x y x y x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⇒=+⇒=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭先变相位：22cos sin sin sin sin 222633y x x y x x y x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⇒=++=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭选D 。
【考点】：三角函数的变换。
解三角形（8题，3小5大）一、解三角形（知一求一、知二求最值、知三可解）1.（2016年2卷13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．【解析】∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =，()63sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =．2. （2017年2卷17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=． (1)求cosB ;(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b解析 （1）依题得21cos sin 8sin84(1cos )22B B B B -==⋅=-． 因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得cos 1B =（舍去）或15cos 17B =. （2）由⑴可知8sin 17B =，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，即182217ac ⋅=，得172ac =.因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=， 即2361715b --=，解得2b =．3.（2016年1卷17）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若c ABC =∆求ABC 的周长．【解析】(1)2cosC(acosB+bcosA)=c,由正弦定理得:2cosC(sinA ·cosB+sinB ·cosA)=sinC,2cosC ·sin(A+B)=sinC.因为A+B+C=π,A,B,C ∈(0,π),所以sin(A+B)=sinC>0, 所以2cosC=1,cosC=12.因为C ∈(0,π),所以C=π3.(2)由余弦定理得:c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC,7=a 2+b 2-2ab ·12,(a+b)2-3ab=7,S=12ab ·所以ab=6,所以(a+b)2-18=7,a+b=5,所以△ABC 的周长为a+b+c=5+.4. （2017年1卷17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.解析 （1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =，即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1cos cos 6B C =，因为πA B C ++=，所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈，，所以60A =，sin A =1cos 2A =.由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①，②，得b c +=3a b c ++=+ABC △周长为35. （2015年1卷16）在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围 .【解析1】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得所以AB 的取值范围为. 考点：正余弦定理；数形结合思想二、分割两个三角形的解三角形问题 6.（2016年3卷8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）（A （B （C ）-（D ）-【解析】设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC ==，AB =．由余弦定理，知222222cos2AB AC BC A AB AC +-===⋅，故选C ．考点：余弦定理．7.（2017年3卷17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A +=，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积．解析 （1）由sin 0A A +=，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD .从而点D 为BC 的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△8.（2015年2卷17）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。