数值分析 数值逼近课件PP5
数值分析学习课件
§2.正交多项式
性质3. n次多项式 P (x)有n个互异实根，且全部(a, b)内。 n 性质4.设 P (x)的n个实根为x1 , x2 ,..., xn P + 1 (x) 的n+1 ，n n 个实根为 x1 , x2 ,..., xn1 ，则有
a x1 x1 x 2 x2 ...
{ j(x) = e kj x , ki kj } 对应指数多项式 /* exponential
polynomial */
§1.函数逼近的基本概念
定义 权函数：
①
离散型 /*discrete type */
根据一系列离散点 ( xi , yi ) (i 1, ... , n) 拟合时，在每一误
Pk(x)
kl kl
由 P0 1, P1 x 有递推 (k 1) Pk 1 (2k 1) xP kPk 1 k
k
0
1
2 3
P0 ( x) 1 P ( x) x 1
P2 ( x ) =
4
1 P3 ( x ) = (5 x3 - 3x) 2 1 P4 ( x ) = (35 x 4 - 30 x 2 + 3) 8
第三章
函数逼近
/* Approximation Theory */
第一讲
§1.函数逼近的基本概念
§2.正交多项式
§1.函数逼近的基本概念
已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易算的近 m 似函数 P(x) f(x) 使得 | P ( xi ) yi |2 最小。
i 1
已知 [a, b]上定义的 f(x)，求一个简单易算的 b 近似函数 P(x) 使得 a [ P( x) f ( x)]2 dx 最小。
数值分析PPT精品课程课件全册课件汇总
实际问题
模型设计
算法设计
程序设计 实例 求
2
上机计算
问题的解
牛顿法 x 1 ( x 2 ) k 1 K
2 xK
方程求根 x 2
2
程序设计
工科研究生公共课程数学系列
上机计算
解 x0 1 , x1 1.5, x3 1.417,
机动 上页 下页 首页 结束
数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积 分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解等。 数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行 软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设 计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适 用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算 法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。
r x| x | e | r * r | * |x | |x |
上例中
x
x
10%与
y
y
0.1%分别为x与y的对误差
限，可见y 近似y的程度比x近似x的程度好。
3、有效数字 定义3 如果近似值x*的误差限是它某一数位的半个单位， 我们就说 x *准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零 数字为止的所有数字称 x 的有效数字.
XX学院 XX 专业
数值分析
【全套课件】
授课人：XX XX
第 1章 绪 论
内容提要： 1.1 数值分析研究对象与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害
工科研究生公共课程数学系列
机动
四章 多项式插值与数值逼近PPT课件
Ci
ji
ห้องสมุดไป่ตู้
( xi
1
xj )
j 0 j i
li(x)
n ji
(x xj ) (xi xj )
j0
n
Ln(x) li(x)yi i0
li(x ) (x ( ix x x 0 ) 0 ( ) ( x x i x x 1 1 ) )( ( x x i x x ii 1 1 ) ) ( ( x x i x x i i1 ) 1 )(( x x i x n x ) n )
( x是) 满足插值条件（*）的不超过n次的插值多项式，则对
x[a存,b在] (，x满) 足[a,b] R n(x)f(x)(x)f(n (n 1)1 ()!)n1(x)
n
其中 n1(x) 。(x且当xi) 在区f间(n[1)a( x,b) ]有上
i0
界M
时，有
n1
Rn(x) (nMn11)!n1(x)
第四章 多项式插值与函数逼近
/*Polynomial Interpolation and Approximation of Functions */
本章主要内容： 1、Lagrange插值方法 2、Newton插值方法 3、Hermite插值方法 4、三次样条插值方法 5、函数逼近:最佳平方逼近和最佳一致逼近
则称 ( 为x ) 在f ( 函x ) 数集合 中关于节点 并称 为被插f值( x函) 数,[a,b]为插值区间，
（*）式为插值条件。
的一x i个为ni 插插0 值值函节x i数点ni ，，0
设 M m a xx i n i 0, m m inx i n i 0
内插法：用 ( x计) 算被插值函数 f在( x点) x处(的m近,M似)值 外插法：用 ( x计) 算被插值函数 f在( x点) x [a,b处],的x 近(似m 值,M )
《数值分析教程》课件
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
数值分析第五版章PPT学习教案
ex xn n0 n!
I0 1 e1, In 1 nIn1
(
A)
I~I~0n
1 0.3679 1 nI~n1
0.6321
e1 1 (1) (1)2 (1)7
2!
7!
truncation error
R7 e1 0.3679 0.000025
I~0 0.6321, I~1 0.3679, I~2 0.2642, I~3 0.2074, I~4 0.1704, I~5 0.1480,
概率分析法 向后误差分析法 区间分析法
1. 病态问题与条件数 病态问题 输入(微小的扰动)
输出(相对误差很大)
条件数 C p
对于f (x)， x有微小的扰动x x x*
er* ( f (x* ))
f (x) f (x*) f (x)
er*
x x
f (x) f (x*)
C p
f (x)
数值分析第五版章
会计学
1
研 究 对 象 作 用特点
数值计算误差
误 差 分 析 避 免危害
数 值 计 算 算 法设计
数学软件
1.1 数值分析的对象、作用与特点
1 研究对象
用计算机求解数学问题的数值计算方法、理论及软件实现
实际问题 数学模型
应用数学
数值计算方法
程序设计（数学软件 ）
计算数学即数值分析
数 的值 研分 究析 对（ 象上计机算计方算法求）出插结值果与函数逼近（2、3）数值微分与数值积分（4）
( x1* / x2* )
x2* ( x1* ) x1* ( x2* )
x2* 2
2.一元函数误差限(利用Taylor 展开)
数值分析方法【ch01】插值与逼近 培训教学课件
二、多项式插值
0 5 Hermite插值
二、多项式插值
0 5 Hermite插值
二、多项式插值
0 5 Hermite插值
03
三、径向基函数插值
0 1 概述
三、径向基函数插值
0 1 概述
Hale Waihona Puke 三、径向基函数插值0 1 概述
三、径向基函数插值
0 2 再生核空间
三、径向基函数插值
0 2 再生核空间
二、多项式插值
0 4 分片线性插值
则Lagrange插值与Newton 插值失效，表现为： 当n增大时，在区间[-5，5]两端附近误差迅速增大(见 图1-2).
图1-2显示了当n=10时Lagrange插值与Newton 插值的效果，明显可以看出，在区间的两端附近插值 曲线出现振荡.
二、多项式插值
解：使用最小二乘方法可以求解.上 面的超定方程组，从而得到
四、最佳逼近
0 2 最佳一致逼近
常用的范数如下：
四、最佳逼近
0 2 最佳一致逼近
四、最佳逼近
0 2 最佳一致逼近
四、最佳逼近
0 3 最佳平方逼近
四、最佳逼近
0 3 最佳平方逼近
四、最佳逼近
0 4 正交多项式
四、最佳逼近
0 4 正交多项式
二、多项式插值
0 2 Lagrange插值
图1-1给出了7次Lagrange插值曲线，该曲线较好地通过了给定的样本数 据(图中的○表示样本数据，曲线为插值曲线).
二、多项式插值
0 3 Newton插值
当我们需要扩充试探空间的时候，之前所有的基函数都没有被保留，这非 常不利于大规模数值计算.克服这一缺陷的有效方法之一是Newton插值.选择 如下形式的试探空间
数值分析第三章函数逼近与快速傅立叶变换 ppt课件
45
x１＝1/(2a１)２. 因为x=0,1为交错点，由〔x-(a0+a1x)〕x=0＝〔x-(a0+a1x)〕 得 a1=1
将a１＝１代入x１＝1/(2a１)２得x１＝1/4.
〔x-(a0+a1x)〕x1=1/4＝-〔x-(a0+a1x)〕x2=1 得a０＝1/8
说明n次多项式Q(x)至少在［a,b］上有n+1个根， 矛盾.
‖f(x)- pn(x)‖∞≤‖f(x)-qn(x)‖∞.
36
三、关于最佳一致逼近多项式的求解
定理 在区间1,1] 上所有最高次项系数为1的n次多项式中，
n(x)21n1Tnx 与零的偏差最小，其最小偏差为
1 2 n1
对任意首一n次多项式f(x)，Chebyshev多项式 对零的一致误差最小
13
3.2 正交多项式
定义1：设
f(x )g ( ,x ) c a ,b ,称 a b(x )f(x )g (x ) d 为 x
f(x),g(x)关于权(x)的内积，记为(f, g).
定义2 如果函数f(x), g(x) 在[a,b]上连续,满足
a b(x)f(x)g(x)d x0
则称f(x)与g(x)在[a,b]上关于权 (x)正交,如果[a,b]
第三章 函数逼近与 快速傅立叶变换
1
3.1 函数逼近的基本知识
第三章 第一节
函数逼近:用比较简单的函数代替复杂的函数 误差为最小，即距离为最小（不同的度量意义）
对同一个被逼近函数，不同度量意义下的逼近， 逼近函数是不同的.
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
数值分析ppt第3章_函数逼近与曲线拟合
上页 下页
如果(u, v)=0，则称u与v正交(记为u⊥v)，这是 向量相互垂直概念的推广. 关于内积空间有以下重 要定理. 定理2 设X为一个内积空间,对任意u, v∈X有如 下不等式成立
上页 下页
如果x, y∈ Cn，带权内积定义为
( x , y ) i xi yi
i 1பைடு நூலகம்
n
(14)
这里{ωi}仍为正实数序列. 在C[a, b]上也可以类是定义带权内积，为此先给 出权函数定义.
上页
下页
定义4 设[a, b]是有限或无限区间，在[a, b]上的 非负函数ρ(x)满足条件：
( u, v ) ( u, u)( v , v ).
它称为柯西－施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式.
2
上页
下页
证明 当v=0时,显然成立. 设v≠0，则 (v, v)>0,
且对任何数t 有(这里设为实空间)
0 ( u tv, u tv) ( u, u) 2t ( u, v ) t (v , v ).
上页
下页
3.1.3 内积与内积空间
在线性代数中，Rn上的两个向量 x＝(x1,x2,…,xn)T
与y＝(y1,y2,…,yn)T的内积定义为
(x, y)= x1 y1 +x2 y2 +…+xn yn. 若将它推广到一般的线性空间X，则有下面的定义.
上页
下页
定义3 设X是数域K(R或C)上的线性空间，对任 意u,v∈X，有K中一个数与之对应，记为(u, v)，它满 足以下条件：
数值分析课件第5章
cn1xn1
fn1
an bn xn fn
其中|i-j|>1时,aij=0,且满足如下的对角占优条件:
(1)|b1|>|c1|>0,|bn|>|an|>0
(2)|bi|≥|ai|+|ci|, aici≠0, i=2,3,…,n-1.
工科研究生公共课程数学系列
机动 上页 下页 首页 结束
b1 c1
为单位下三角矩阵
这就是说，高斯消去法实质上产生了一个将A分解为 两个三角形矩阵相乘的因式分解，于是我们得到如下重要 定理。
工科研究生公共课程数学系列
机动 上页 下页 首页 结束
定理 7矩 ( 阵L的 U 分解 )设A为n阶矩阵， A的如 顺果 序主 Di 0(i1,2,,n1)，则 A可分解为一个 角单 矩L和 位 阵下 一个上三U的 角乘 矩积 阵，且这 唯种 一分 的解 。是
a(2) m2
a1(1n) a2(2n)
b1(1) b2(2)
mi2aa22((2221))
(a2(22) 0)
(i3,,m)
am(2n)
bn(2)
a1(11) 0
a(1) 12
a(2) 22
a1(1n)
a2(2n)
b1(1) b2(2)
A(3)
: b(3)
0
0
am(3n)
a(k) kk
工科研究生公共课程数学系列
()
机动 上页 下页 首页 结束
高斯消去法的条件
定理5 设Axb,其中ARnn
(1) 如果ak(kk) 0(k 1,2,,n)，则可通过高斯将 消去法 Axb约化为等价的三组 角(方 )，程且计算公 (式 )。
《数值分析》第五章课件
取 h = 0.2 ，要求保留六位小数.
校正： cn+1 = y n + 2 ( y n' + mn' +1 )
解：Euler 迭代格式为
校正的改进：
1 y n +1 = c n +1 + ( p n +1 − c n+1 ) 5
yk +1 = yk + 0.2(− yk − xk yk2 ) = 0.8 yk − 0.2 xk yk2
差分方程：关于未知序列的方程.
例如： y n +3 = 5 y n + 2 − 3 y n +1 + 4 y n
例如： y ' ' ( x) − a ( x) y '+b( x) y + c( x) = 0
3
4
微分方程的应用情况
实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在 理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题 的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来 近似求解.
且
可得，
y(xn+1) − yn+1 = hf y (xn+1,η)[ y(xn+1) − yn+1] − h2 '' y (xn ) + O(h3 ) 2
f (xn+1, y(xn+1)) = y' (xn+1) = y' (x n ) + hy'' (xn ) + O(h2 )
19
20
2 考虑到 1 − hf y ( xn+1 ,η ) = 1 + hf y ( xn+1 ,η ) + O(h ) ，则有
《函数的数值逼近》PPT课件
精选课件ppt
7
2、插值多项式的存在唯一性
定理 若插值结点 x0,x1,…, xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件 P(xk)= yk (k = 0,1,…,n)
精选课件ppt
10
§2 代数多项式插值
一、线性插值与抛物线插值
1. 线性插值(n =1)
设已知区间[ xk , xk+1]端点处的函数值yk= f (xk)，yk+1 = f (xk+1)，
求线性插值多项式L 1(x ) ，使其满足
L1 ( xk ) yk
L1
(
xk
1
)
yk 1
x 0 xk
y = L1(x)
P(x) = a0 + a1 x + ⋯ + an xn
则称P( x)为n 次插值多项式. 相应的插值法称为多项式插 值法(代数插值法)。
x
y = f (x) •
(xi, yi)
y = P(x) 曲线 P ( x)
近似 f ( x)
0 a=x0 x1 x2 x3
xn=b y
精选课件ppt
6
研究问题：
构造法：
先求 插值基函数l k-1(x), l k (x), l k+1(x) (二次函数), 满足：
lk1(xk1)1, lk1(xk)lk1(xk1)0;
lk(xk)1,
lk(xk1)lk(xk1)0;
(4)
lk1(xk1)1, lk1(xk1)lk1(xk)0,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章数值积分学习目标：掌握牛顿—柯特斯公
式、复化公式、Romberg算
法、高斯型求积公式的推导
及其截断误差分析方法；理
解特殊积分的处理技术。
重
点为牛顿—柯特斯公式、
Romberg算法、高斯型求积
公式。
数值积分是数值逼近的重要内容，也是函数插值的最直接应用。
在工程计算中，由于许多函数的不定积分无法用简单函数表达出来，甚至函数本身都无法详尽地描述，而代之以表格的形式给出一些离散点上的函数值，或者定义为某个无法用显示表示的微分方程的解。
在上述这些情况下，我们必须采用数值积分。
一般地，我们可能会遇到如下形式的积分：
⎰ρ=b a dx x f x f I )()()((1)
我们定义任何一个能够近似的数值表达式，通常为数值积分公式或求积公式。
当然，数值积分公式越简单越好。
典型的求积公式具有如下形式：
)(f I ∑=n k k n x f A f I )
()((2)
数值积分的基本问题就是针对某些函数类，选择合适的求积节点和求积系数，使得求积公式尽可能地逼近。
为此，我们引用如下的截断误差公式：
)(f I n )(f I )()()(f I f I f E n n -=称求积公式（2）具有m 次代数精度，如果存在正整数m ，使得
0)(,,,1,0,0)(1≠==+m n k n x E m k x E (4)
(3)
不难验证，若求积公式（2）具有m 次代数精度，则对所有次数不超过m 的代数多项式均成。
从这种意义上讲，代数精度越高，求积公式的逼近程度越好。
因此，代数精度可以完全刻化求积公式本身，而与被积函数无关。
0)(=p E n 假如我们找到了一个在上充分靠近的简单函数，而很容易计算，那么我们可以用近似的代替。
事实上，如果
)(x f )(x ρ],[b a )(p I )(p I )(f I []
ε≤-=-∈)()(max .x p x f p f b a x ⎰⎰ρε≤-ρ=-b
a b a dx x dx x p x f x p I f I )())()()(()()(则：这一简单的推导可以激发我们构造许许多多的数值积分公式。
§5.1 牛顿-柯特斯公式
鉴于多项式是最简单的函数类，构造求积公式的一个最基本的构思是利用拉格朗日插值多项式。
也就是说，若给定个点，则根据第二章的插值理论，可以得到如下的拉格朗日插值多项式：
1+n n x x x <<< 10)
()(0k n k n k i o i i k i n x f x x x x x p ∑∏=≠=--=由于是的一个近似，因此，我们可以用作为的一个近似，从而获得如下的求积公式：
)(x p n )(x f )(n p I )(f I ⎪⎪⎪⎨⎧=--ρ=∑==∏⎰==+n i i k i b a n k n k k n k n n n k dx x x x x x A x f A p I f I 001.,,1,0,)(),()()( (5)
(6)
公式（6）的一个最简单，并且也是最实用的情形是：当权函数恒为1且节点取为等距形式时导致了所谓的牛顿-柯特斯（Cotes ）公式。
下面我们来考察几个常用的牛顿—柯斯特公式。
当n=1的情形，可以得到如下的求积公式：
上式称为梯形公式。
其几何意义就是用图1所示的梯形的面积代替。
[],)()(2
)(2b f a f a b f I +-=aABb )(f I x
b
y y=p 1(x )
a 0y=f (x )
当n=2时，可以获得如下的求积公式：
,)(24)(6)(3⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=b f b a f a f a b f I 称为辛卜生(Simpson)公式或抛物线公式。
其几何意义就是用由抛物线围成的曲边梯形的面积近似代替（图2）。
a b
(a +b )/2y=p 2(x )
y=f (x )
0B
A C
x
y )(f I
§2 提高求积公式精度的办法
若将积分区间等分，然后在每一小区间上采用低阶的公式，再将其集中起来。
这样得到的公式称为复化求积公式，它是提高求积公式精度的重要手段之一。
将区间[a ,b ]作n 等分，其节点为
在每一小区间上采用梯形公式，然后累加可得
,
,,1,0,/)(,n i n a b h ih a x i =-=+=[]1,+i i x x .)(2)()(211⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∑-=n i n ih a f b f a f h T (1)
称T n 为复化梯形公式。
如果在每一小区间上采用辛卜生公式，则可以得到
[]1,+i i x x ∑-=++++=1
1)]
()()([621n i i i i n x f x f x f h S S n 为复化辛卜生公式。
复化梯形公式的几何意义就是用如图所示的折边梯形的面积代替曲边梯形的面积。
类似地也不难得到复化辛卜生公式的
几何解释。
0
y=f(x)y =f (x )
y
x。