高考数学(理)一轮复习分层演练：5.1数列的概念与简单表示法(含答案)

第1讲 数列的概念与简单表示法1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类(3)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.1．辨明两个易误点(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N *或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．3．a n 与S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16C ．49D ．64A [解析] 当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15，故选A.2.教材习题改编 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.23D [解析] a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1－1a 2＝12，a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1－1a 4＝23.3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( ) A ．不是数列{a n }中的项 B ．只是数列{a n }中的第2项 C ．只是数列{a n }中的第6项 D ．是数列{a n }中的第2项或第6项D [解析] 令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或n ＝6，故3是数列{a n }中的第2项或第6项．4．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2，3，4，…)，则a 12＝________．[解析] 由a 1＝2，a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，可知{a n }是周期为3的周期数列，则a 12＝a 3×4＝a 3＝－1.[答案] －15．若数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，那么这个数列是__________数列．(填“递增”或“递减”或“摆动”)[解析] 法一：令f (x )＝x x ＋1，则f (x )＝1－1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，则数列{a n }是递增数列．法二：因为a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＞0，所以a n ＋1＞a n ，所以数列{a n }是递增数列． [答案] 递增由a n 与S n 的关系求通项公式a n (高频考点)[学生用书P102]a n 与S n 关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度较小．高考对a n 与S n 关系的考查常有以下两个命题角度： (1)由S n 求通项公式a n ； (2)利用a n 与S n 的关系求S n .[典例引领](1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． (2)(2015·高考全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝________．【解析】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5， 显然当n ＝1时，a 1＝2不满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)因为 a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， 所以S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.因为 S n ≠0，所以1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，所以{1S n }是首项为－1，公差为－1的等差数列． 所以1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n.【答案】 (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 (2)－1n已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1(n ≥2)替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式．(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[题点通关]角度一 由S n 求通项公式a n1．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝3n 2－2n ＋1，求a n .[解] 设a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋na n ＝T n ， 当n ＝1时，a 1＝T 1＝3×12－2×1＋1＝2， 当n ≥2时，na n ＝T n －T n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5， 因此a n ＝6n －5n，显然当n ＝1时，不满足上式． 故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5n ，n ≥2.角度二 利用a n 与S n 的关系求S n2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1， 则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1 B [解析] 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n ， 所以a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)， 即a n ＋1a n ＝32(n ≥2)， 又a 2＝12，所以a n ＝12×⎝⎛⎭⎫32n －2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1≠12×⎝⎛⎭⎫32－1＝13，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2，所以S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝⎛⎭⎫32n －1＝⎝⎛⎭⎫32n －1.由递推关系求数列的通项公式[学生用书P102][典例引领]分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＝nn －1a n －1(n ≥2，n ∈N *)；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．【解】 (1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋1＋3＋…＋(2n －5)＋(2n －3)＝(n －1)2，所以数列的通项公式为a n ＝(n －1)2. (2)当n ≥2，n ∈N *时， a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×21×32×…×n －2n －3×n －1n －2×nn －1＝n ，当n ＝1时，也符合上式， 所以该数列的通项公式为a n ＝n .(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以该数列的通项公式为a n ＝2·3n－1－1.若本例(3)条件a n ＋1＝3a n ＋2变为a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1，求a n .[解] 因为a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1，所以a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋1，所以数列{a n 3n }是以13为首项，1为公差的等差数列．所以a n 3n ＝13＋(n －1)＝n －23，所以a n ＝n ·3n －2·3n －1.[通关练习]1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），求a n .[解] a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1－12＋2＝3－1n.2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，求a n . [解] 由于a n ＋1a n＝2n，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1， 将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2.数列的性质[学生用书P103][典例引领](1)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝411－2n(n ∈N *)，则满足a n ＋1＜a n 的n 的取值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)(2017·昆明市两区七校调研)在数列{a n }中，a 1＝5，(a n ＋1－2)(a n －2)＝3(n ∈N *)，则该数列的前2 018项的和是________．【解析】 (1)由a n ＋1＜a n ，得a n ＋1－a n ＝49－2n －411－2n ＝8（9－2n ）（11－2n ）＜0，解得92＜n ＜112，又n ∈N *，所以n ＝5.(2)依题意得(a n ＋1－2)(a n －2)＝3，(a n ＋2－2)·(a n ＋1－2)＝3，因此a n ＋2－2＝a n －2，即a n ＋2＝a n ，所以数列{a n }是以2为周期的数列．又a 1＝5，因此(a 2－2)(a 1－2)＝3(a 2－2)＝3，故a 2＝3，a 1＋a 2＝8.注意到2 018＝2×1 009，因此该数列的前2 018项的和等于1 009(a 1＋a 2)＝8 072.【答案】 (1)C (2)8 072(1)解决数列单调性问题的三种方法①作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列．②作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．[通关练习]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3（x ≤7），a x －6（x ＞7），数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫94，3 B.⎣⎡⎭⎫94，3 C ．(1，3)D ．(2，3)D [解析] 因为数列{a n }是递增数列，又a n ＝f (n )(n ∈N *)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，f （8）＞f （7）⇒2＜a ＜3.2．(2017·昆明市两区七校调研)已知函数f (x )由下表定义：若a 1＝5，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则a 2 018＝________．[解析] 依题意得a 1＝5，a 2＝f (a 1)＝2，a 3＝f (a 2)＝1，a 4＝f (a 3)＝4，a 5＝f (a 4)＝5，a 6＝f (a 5)＝2，…，易知数列{a n }是以4为周期的数列，注意到2 018＝4×504＋2，因此a 2 018＝a 2＝2.[答案] 23．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn ，k ∈N *，且S n 的最大值为8，则常数k ＝______．[解析] 因为S n ＝－12n 2＋kn ＝－12(n －k )2＋12k 2，其中k 是常数，且k ∈N *，所以当n ＝k时，S n 取最大值12k 2，故12k 2＝8，k 2＝16，因此k ＝4.[答案] 4[学生用书P104]——数列问题中的函数思想已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．【解析】 法一：(定义法)因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.法二：(函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数集上的函数f (n )为增函数，故只需满足f (1)＜f (2)，即λ＞－3.【答案】 (－3，＋∞)已知数列的单调性求参数的取值范围，一般有两种方法：(1)利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理；(2)利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范围，但要注意数列通项中n 的取值范围．一给定函数y ＝f (x )的图象在下列各图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则该函数的图象是( )A [解析] 由a n ＋1＝f (a n )，a n ＋1>a n 知f (a n )>a n ，可以知道x ∈(0，1)时f (x )>x ，即f (x )的图象在y ＝x 图象的上方，由选项中所给的图象可以看出，A 符合条件．[学生用书P349(独立成册)]1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，nC [解析] 根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C.2．(2017·杭州模拟)数列{a n}定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a n 2，n 为偶数，1a n －1，n 为奇数，若a n ＝14，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10C [解析] 因为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝14，所以n ＝9，故选C.3．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92D.132B [解析] 因为a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.所以S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72.4．(2017·云南省第一次统一检测)在数列{a n }中，a 1＝12，a 2＝13，a n a n ＋2＝1，则a 2 016＋a 2 017＝( )A.56B.73C.72 D ．5C [解析] 依题意，a 1＝12，a 2＝13，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝12，a 6＝13，…，数列{a n }是周期为4的数列，所以a 2 016＋a 2 017＝a 4＋a 1＝72. 5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2－(6＋2λ)n ＋2 016，若 a 6或a 7为数列{a n }的最小项，则实数λ的取值范围是( )A ．(3，4)B ．[2，5]C ．[3，4] D.⎝⎛⎭⎫52，92D [解析] 依题意，由二次函数的性质可知，当112＜3＋λ＜152，即52＜λ＜92时，a 6或a 7为数列{a n }的最小项，故实数λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫52，92.6．数列{a n }中，如果存在a k ，使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2，k ∈N *)，则称a k 为数列{a n }的峰值．若a n ＝－3n 2＋15n －18，则{a n }的峰值为( )A ．0B ．4 C.133 D.163A [解析] 因为a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，且n ∈N *，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3＝0.故选A.7．数列1，23，35，47，59，…的通项公式为____________________． [解析] 由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项公式为a n ＝n 2n －1. [答案] a n ＝n 2n －18．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1，a 1不适合此等式． 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2. [答案] a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥29．(2017·石家庄市教学质量检测(二))已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 016的值为________．[解析] 由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，a 8＝a 7－a 6＝3，…，所以数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 016＝6×336，所以a 2 016＝a 6＝－1.[答案] －110．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．[解析] 从题图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个，n ＝2时，有3个；n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…，所以a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2. [答案] a n ＝n （n ＋1）211．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式．[解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)＝2n ＋1－2n ＝2n . 因为a 1也适合此等式，所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1，且a n ＝2n ，a n ＋1＝2n ＋1， 所以b n ＝2n ＋2n ＋1＝3·2n . 12．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＞1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *.求数列{a n }的通项公式．[解] 由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)， 解得a 1＝1或a 1＝2.由已知a 1＝S 1＞1，得a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n .因为a n ＞0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.13．将石子摆成如图所示的梯形，称数列5，9，14，…为“梯形数列”，记此“梯形数列”的第n 项为a n ，则a 6＝( )A ．25B ．30C ．35D ．40C [解析] 法一：由题意知a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝5，…，a 6－a 5＝8，由此得a 6－a 1＝4＋5＋…＋8＝5×（4＋8）2＝30，所以a 6＝30＋a 1＝35.故选C. 法二：观察得出a 6即为“上底为2，下底为8，高为7的梯形的面积数”即a 6＝（2＋8）×72＝35.故选C.14．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 017项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 017＝________．[解析] 因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)， 所以a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3， a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12， a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13， a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1. 所以数列{a n }的周期T ＝5－1＝4.而a 2 017＝a 504×4＋1＝a 1＝2. a 1a 2a 3a 4＝2×(－3)×⎝⎛⎭⎫－12×13＝1， 所以a 1·a 2·a 3·…·a 2 016·a 2 017＝1504·a 2 017＝2.[答案] 215．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)判断数列{c n }的增减性．[解] (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．所以b n ＝⎩⎨⎧23（n ＝1），1n （n ≥2）. (2)因为c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， 所以c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1（2n ＋3）（2n ＋2）＜0，所以c n ＋1＜c n ，所以数列{c n }为递减数列．16．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．[解] (1)依题意得S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *. (2)由(1)可知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2， a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3， 所以，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9，又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。