一轮复习课时训练§5.3： 等比数列及其前n项和
一轮复习第五章-3等比数列及其前n项和
第三节等比数列及其前n项和对应学生用书P76基础盘查一等比数列的有关概念(一)循纲忆知理解等比数列的概念(定义、公比、等比中项)．(二)小题查验1．判断正误(1)常数列一定是等比数列( )(2)等比数列中不存在数值为0的项( )(3)满足a n＋1＝qa n(n∈N*，q为常数)的数列{a n}为等比数列( )(4)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab( )2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是( )A．a≠1 B．a≠0或a≠1C．a≠0 D．a≠0且a≠1基础盘查二等比数列的有关公式(一)循纲忆知1．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3．了解等比数列与指数函数的关系．(二)小题查验1．判断正误(1)若等比数列{a n}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为a n＝a1q n( )(2)数列{a n}的通项公式是a n＝a n，则其前n项和为S n＝a(1－a n)1－a( )2．(人教A版教材习题改编)在等比数列{a n}中，已知a1＝－1，a4＝64，则q＝________，S4＝________. 基础盘查三等比数列的性质(一)循纲忆知掌握等比数列的性质及应用．(二)小题查验1．判断正误(1)q＞1时，等比数列{a n}是递增数列( )(2)在等比数列{a n}中，若a m·a n＝a p·a q，则m＋n＝p＋q( )(3)在等比数列{a n}中，如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，那么a m·a n＝a2k( )(4)若数列{a n }是等比数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列( )(5)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列( )2．(北师大版教材习题改编)将公比为q 的等比数列a 1，a 2，a 3，a 4…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列 C ．公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列对应学生用书P76考点一 等比数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.[提醒] 运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论．[题组练透]1．(2015·东北三校联考)已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝1，则数列{a n }的前10项和S 10为( ) A.43(210－1) B.43(210＋1)C.43(2－10－1) D.43(2－10＋1) 2．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或123．(2015·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n－14．设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }前n 项和T n .[类题通法]解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.考点二 等比数列的判定与证明(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]1．定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．定义的表达式为a n ＋1a n＝q . 2．等比中项G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .[提醒] 在等比数列中每项与公比都不为0.[一题多变][典型母题][题点发散1] 在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2), 证明：{b n }是等比数列．[题点发散2] 本例条件变为：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)．试判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列．[类题通法]等比数列的判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·qn －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列． [提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．考点三 等比数列的性质(重点保分型考点——师生共研)[必备知识](1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 4n 不一定构成等比数列．[典题例析]1．(2015·长春调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.2．(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.[类题通法]等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[演练冲关]1．(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．2．等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.对应A 本课时跟踪检测 三十一[A 卷——夯基保分]一、选择题1．(2014·重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列2．(2015·昆明、玉溪统考)等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 3．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 014，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 014×1010B ．2 014×1011C ．2 015×1010D ．2 015×10114．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n(n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)25．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3D ．36．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同 二、填空题7．(2014·安徽高考)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________. 8．(2015·兰州模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝________.9．(2015·兰州、张掖联考)已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________.10．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2 014积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为________．三、解答题11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.12．(2014·重庆高考)已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和． (1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .[B 卷——增分提能]1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1,2S 2,3S 3成等差数列，且S 4＝4027.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .2．(2015·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．3．已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q .(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝3b n －λ·2a n3，若数列{c n }是递增数列，求λ的取值范围．。
(人教版)2020届高考数学一轮复习 第五章 数列 第三节 等比数列及其前n项和课时作业
第三节 等比数列及其前n 项和课时作业1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：设数列{a n }的公比为q ，则a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，又a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B.答案：B2．等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13 C.19D ．－19解析：由题知公比q ≠1，则S 3＝a 11－q 31－q＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C. 答案：C3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31D ．33解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33，故选D.答案：D4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2.若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N *)，则m ＝( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：a m ＝a 1a 2a 3a 4＝a 41qq 2q 3＝24×26＝210＝2m，所以m ＝10，故选B. 答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( ) A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n ＞a nD ．T n ＜b n ＋1解析：因为点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x的图象上，所以S n ＝3·2n－3，所以a n ＝3·2n－1，所以b n ＋b n ＋1＝3·2n －1，因为数列{b n }为等比数列，设公比为q ，则b 1＋b 1q ＝3，b 2＋b 2q＝6，解得b 1＝1，q ＝2，所以b n ＝2n －1，T n ＝2n－1，所以T n ＜b n ＋1，故选D.答案：D6．(2018·郑州质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 25＝2a 3a 6，S 5＝－62，则a 1的值是________．解析：设{a n }的公比为q .由a 25＝2a 3a 6得(a 1q 4)2＝2a 1q 2·a 1q 5，∴q ＝2，∴S 5＝a 11－251－2＝－62，a 1＝－2. 答案：－27．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________. 解析：因为等比数列{a n }为递增数列且a 1＝－2<0，所以0<q <1，将3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1两边同除以a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0<q <1，所以q＝13. 答案：138．若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝__________. 解析：∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3， ∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝1－3n －11－3， ∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12. 答案：3n －1＋129．(2018·昆明市检测)数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＋2a n ＝3. (1)证明{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，设b n ＝a n ·sgn(a n )，求数列{b n }的前100项和．解析：(1)因为a n ＋1＝－2a n ＋3，a 1＝－1， 所以a n ＋1－1＝－2(a n －1)，a 1－1＝－2，所以数列{a n －1}是首项为－2，公比为－2的等比数列．故a n －1＝(－2)n ，即a n ＝(－2)n＋1.(2)b n ＝a n ·sgn(a n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2n＋1，n 为偶数，2n－1，n 为奇数，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 100＝(2－1)＋(22＋1)＋(23－1)＋…＋(299－1)＋(2100＋1)＝2＋22＋23＋…＋2100＝2101－2.10．(2018·合肥质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{a nn}为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n 知a n ＋1n ＋1＝12·a nn， ∴{a n n }是以12为首项、12为公比的等比数列．(2)由(1)知{a n n }是首项为12，公比为12的等比数列，∴a n n ＝(12)n ，∴a n ＝n2n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②得：12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n.B 组——能力提升练1．(2018·长春调研)等比数列{a n }中，a 3＝9，前三项和S 3＝27，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝9，∴S 3＝3×9＝27. 当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q1－q，∴27＝a 1－9q1－q∴a 1＝27－18q ， ∴a 3＝a 1q 2，∴(27－18q )·q 2＝9， ∴(q －1)2(2q ＋1)＝0， ∴q ＝－12.综上q ＝1或q ＝－12.选C.答案：C2．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1 C.12D ．2解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.答案：D3．(2018·彬州市模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －a ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( ) A ．(2n －1)2B ．13(2n－1) C ．4n－1D ．13(4n－1) 解析：∵S n ＝2n－a ，∴a 1＝2－a ，a 1＋a 2＝4－a ，a 1＋a 2＋a 3＝8－a ， 解得a 1＝2－a ，a 2＝2，a 3＝4，∵数列{a n }是等比数列，∴22＝4(2－a )，解得a ＝1. ∴公比q ＝2，a n ＝2n －1，a 2n ＝22n －2＝4n －1.则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4n－14－1＝13(4n－1)．答案：D4．设数列{a n }是公比为q (|q |＞1)的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ∈N *)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，则q ＝( ) A.32B ．－43C ．－32D ．－52解析：数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，且b n ＝a n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝b n －1，则{a n }有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中， ∵数列{a n }是公比为q (|q |＞1)的等比数列， 等比数列中有负数项，则q ＜0，且负数项为相隔两项∵|q |＞1，∴等比数列各项的绝对值递增，按绝对值的顺序排列上述数值18，－24,36，－54,81，相邻两项相除－2418＝－43，－3624＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，∵|q |＞1，∴－24,36，－54,81是{a n }中连续的四项，此时q ＝－32.答案：C5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：由S 3＋3S 2＝0，得a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2. 答案：－26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n.解析：(1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2，当n ≥2时，∵S n ＝32a n －1，①∴S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，②①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＝2×3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n2＋1＝2n －1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n＝11×3＋13×5＋…＋12n －32n －1＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －3－12n －1)＝n －12n －1. 7．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12na n (n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2. 证明：(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a n n ，又a 11＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝22－n ，a n ＝n ·22－n＝4n 2n .(2)b n ＝a n4n －a n＝4n 2n 4n －4n 2n＝12n－1，因为对任意n ∈N *,2n－1≥2n －1，所以b n ≤12n －1.所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n <2.。
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n项和课时跟踪检测理
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n 项和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100D ．200解析：a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100. 答案：C2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D ．558解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：A3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.答案：A4．(xx 届太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.答案：B5．(xx 届莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017解析：由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.答案：D6．(xx 届海口市调研测试)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12 B ．1716 C ．2D ．17解析：设{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B.答案：B7．(xx 届衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1解析：因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.答案：C8．(xx 届广州市五校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，所以a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，所以a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211. 答案：C9．由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________. 解析：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1a 10)·(a 2a 9)·…·(a 5a 6)＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.答案：2510．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.答案：3n －111．(xx 届南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5， 即2a 6－3a 5＋a 4＝0， 所以2q 2－3q ＋1＝0， 因为q ≠1， 所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝81＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．∵4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2符合上式，∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥1)， ∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 22a n ＋1－a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．[能 力 提 升]1．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________．解析：T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0<a 1<a 2<…<a 14<a 15<1<a 16<a 17<…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.答案：152．(xx 届山西吕梁质检)已知数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，则这个数列的前2 018项之积T 2 018等于________．解析：数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，这个数列的前8项分别为2,8,4，12，18，14，2,8，易得从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项积为2×8×4×12×18×14＝1.又因为2 018＝336×6＋2，所以这个数列的前2 018项之积T 2 018＝1336×2×8＝16. 答案：163．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n.2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.4数列求和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．2 015B ．－2 015C ．3 021D ．－3 022解析：由题知a 1＝tan(180°＋45°)＝1，∴a 5＝13 ∴d ＝a 5－a 15－1＝124＝3. ∴a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. 设b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 014＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－6 037＋6 040)＝3×1 007＝3 021.故选C. 答案：C2．设{a n }是公差不为零的等差数列，a 2＝2，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4 B ．n 22＋3n 2C.n 24＋3n4D ．n 22＋n2解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则 由a 23＝a 1a 9得(a 2＋d )2＝(a 2－d )(a 2＋7d )， 代入a 2＝2，解得d ＝1或d ＝0(舍)． ∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n ， ∴S n ＝a 1＋a n n2＝1＋n n 2＝n 22＋n 2.故选D. 答案：D3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36解析：设等比数列{a n }的公比为q 则a 21q 3＝2a 1，①a 1q 3＋2a 1q 6＝52，②解得a 1＝16，q ＝12，∴S 5＝a 11－q 51－q＝31，故选B.答案：B4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝32S n ，求{c n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{b n }的公差为d ， ∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2＋3d ＝18，6＋d ＝q 2.求得q ＝3，d ＝3，∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意得S n ＝n 3＋3n2，c n ＝32S n ＝32×23×1n n ＋1＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.5．(xx 届广州综合测试)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2. 所以a n ＝a 2qn －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1， 所以a n b n ＝(2n －1)2n，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n＋(2n －1)·2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×41－2n －11－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.6．S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.7．已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)． (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n(n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立， 求实数λ的取值范围．解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5， 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6， 所以{a n }是等差数列，首项为1，公差为6， 即a n ＝6n －5. (2)因为b n ＝2n， 所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2，由λa n >2n＋n ＋2λ得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，令f (n )＝12＋n 2n ＋1，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0， 所以12＋n2n ＋1在n ≥1时单调递减，所以当n ＝1,2时，2n＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞. [能 力 提 升]1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以S n ＝2n 2－n ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. a 1＝1＝4×1－3，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)． 当n 为偶数时，T n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n －7)＋(4n －3)]＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1，综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.2．在数列{a n }中，已知a n >1，a 1＝1＋3，且a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，记b n ＝(a n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：13≤1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <34.解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，所以a 2n ＋1－a 2n －2a n ＋1＋2a n ＝2， 即(a n ＋1－1)2－(a n －1)2＝2. 又b n ＝(a n －1)2，n ∈N *，所以b n ＋1－b n ＝2，数列{b n }是以b 1＝(1＋3－1)2＝3为首项，2为公差的等差数列， 故b n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)证明：由(1)得S n ＝n 3＋2n ＋12＝n (n ＋2)，所以1S n ＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，n ∈N *， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<34.记T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n，因为1S n>0，n ∈N *，所以T n 单调递增．故T n ≥T 1＝1S 1＝13.综上13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34.3．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2n ＋a n ＝2S n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.解：(1)因为当n ∈N *时，a 2n ＋a n ＝2S n ， 故当n >1时，a 2n －1＋a n －1＝2S n －1，两式相减得，a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1.因为a n >0，所以a n ＋a n －1>0，所以当n >1时，a n －a n －1＝1.又当n ＝1时，a 21＋a 1＝2S 1＝2a 1，得a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＝n .(2)证明：由(1)及等差数列的前n 项和公式知S n ＝n n ＋12，所以S n ＝ n n ＋12>n 22＝n2， 所以S 1＋S 2＋…＋S n >12＋22＋…＋n 2＝ 1＋2＋…＋n 2＝S n 2. 又S n ＝ n n ＋12<n ＋122＝n ＋12， 所以S 1＋S 2＋…＋S n <22＋32＋…＋n ＋12＝1＋2＋…＋n ＋12－12＝S n ＋1－12， 所以S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.。
2022届高考一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和
15，且 a5＝3a3＋4a1，则 a3＝( )
A．16
B．8
C．4
D．2
[解析]
由题意知aa11＞＋0a，1q＋q＞a10q，2＋a1q3＝15， a1q4＝3a1q2＋4a1，
解得aq1＝＝21，，∴a3＝a1q2＝4.故选 C.
[答案] C
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1＝13，a24＝a6，则 S5 ＝________.
[解析] 由 a24＝a6 得(a1q3)2＝a1q5，
整理得 q＝a11＝3.∴S5＝13（11－－335）＝1231.
[答案]
121 3
(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. ①求{an}的通项公式； ②记 Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sm＝63，求 m. [解析] ①设{an}的公比为 q，由题设得 an＝qn－1. 由已知得 q4＝4q2，解得 q＝0(舍去)，q＝－2 或 q＝2. 故 an＝(－2)n－1 或 an＝2n－1.
[解析] (1)证明：由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)． 又因为 a1＋b1＝1， 所以{an＋bn}是首项为 1，公比为12的等比数列． 由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为 a1－b1＝1. 所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
A．4
B．8
C．16
D．32
答案：C
2．(基础点：等比数列的前 n 项和)设{an}是公比为正数的等比数列，若 a1＝1，a5
高考数学(文)一轮复习 5-3等比数列及其前n项和
解析 由 S3＝a2＋10a1，得 a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即 a3＝9a1，即aa31＝q2＝9，又因为 a5＝9，所以 a1q4 ＝9，解得 a1＝19.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
(2)在等比数列{an}中，Sn 是它的前 n 项和，若 q＝2，且 a2 与 2a4 的等差中项为 18，则 S5＝( )
可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比 q 时，要注意应用 q≠0 验证求得的结果.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
【变式训练 1】 ＝( )
1 A.3
1 C.9
(1)[2016·海南调研]等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S3＝a2＋10a1，a5＝9，则 a1
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高考一总复习 ·数学（文）
2.[2016·湖北黄冈调研]设等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，则Sa43的值(
)
15
15
A. 4
B. 2
7
7
C.4
D.2
解析 S4＝a111－－qq4＝15a1，a3＝a1q2＝4a1， ∴Sa43＝145，选 A 项.
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为正数，故 q＝
2.又因为
a2＝1，所以
a1＝aq2＝
1＝ 2
2 2.
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5.[2015·课标全国卷Ⅰ]在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sn＝126，则 n＝__6______.
(新课标)高考数学一轮总复习 第五章 数列 5-3 等比数列及其前n项和课时规范练 文(含解析)新人
5-3 等比数列及其前n 项和课时规X 练A 组 基础对点练1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( B ) A ．21 B.42 C ．63D.842．(2018·某某质检)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，则a 6＝( C ) A ．14 B.28 C ．32D.643．(2017·某某摸底考试)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( B ) A ．9或－9 B.9 C ．27或－27D.27解析：∵数列{a n }为等比数列，且a 5＝1，a 9＝81， ∴a 27＝a 5a 9＝1×81＝81， ∴a 7＝±9.当a 7＝－9时，a 26＝1×(－9)＝－9不成立，舍去． ∴a 7＝9.故选B.4．(2018·某某调研测试)已知等差数列{a n }的公差为2，且a 4是a 2与a 8的等比中项，则{a n }的通项公式a n ＝( B ) A ．－2n B.2n C ．2n －1D.2n ＋1解析：由题意，得a 2a 8＝a 24，又a n ＝a 1＋2(n －1)，所以(a 1＋2)(a 1＋14)＝(a 1＋6)2，解得a 1＝2，所以a n ＝2n .故选B.5．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( D ) A ．－3 B.－1 C ．1D.3解析：在等比数列{a n }中， ∵a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，∴a 4－a 3＝2S 3＋1－(2S 2＋1)＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3， ∴q ＝a 4a 3＝3.故选D.6．我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？( C ) A ．5 B.4 C ．3D.27．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( D ) A ．5 B.9 C ．log 345D.10解析：由等比数列性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝9， 则原式＝log 3a 1a 2…a 10＝log 3(a 5a 6)5＝10.8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 25＝2a 3a 6，S 5＝－62，则a 1的值是__－2__. 9．(2018·某某调研)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5＝5，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 9＝ __9__.解析：因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质，可得a 1·a 9＝a 2·a 8＝a 3·a 7＝a 4·a 6＝a 25＝52，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 9＝log 5(a 1·a 2·…·a 9) ＝log 5[(a 1·a 9)·(a 2·a 8)·(a 3·a 7)·(a 4·a 6)·a 5]＝log 5a 95＝log 559＝9.10．(2018·某某统考)已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝4，a n ＋1＝3S n ＋4(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <89.解析：(1)因为a n ＋1＝3S n ＋4， 所以a n ＝3S n －1＋4(n ≥2)，两式相减，得a n ＋1－a n ＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)． 又a 2＝3a 1＋4＝16＝4a 1，所以数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列，所以a n ＝4n. (2)证明：因为a n b n ＝log 2a n ，所以b n ＝2n4n ，所以T n ＝241＋442＋643＋ (2)4n ，14T n ＝242＋443＋644＋ (2)4n ＋1，两式相减得，34T n ＝24＋242＋243＋244＋…＋24n －2n4n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋142＋143＋144＋…＋14n －2n 4n ＋1＝2×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14－2n 4n ＋1＝23－23×4n －2n4n ＋1＝23－6n ＋83×4n ＋1， 所以T n ＝89－6n ＋89×4n <89.11．(2017·某某质检)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N *.(1)求证：数列{a nn}为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)证明：由a n ＋1＝n ＋12n a n ，知a n ＋1n ＋1＝12·a nn， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为12，公比为12的等比数列，∴a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＝n2n ， ∴S n ＝121＋222＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n.B 组 能力提升练1．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( C )A ．2B.1C.12D.18解析：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，由题可知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×q 3－1，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝12.故选C.2．(2018·某某质检)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( D )A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a ＝507B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c ＝507C ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a ＝507A ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＝507解析：由题意，可得a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，b ＝12a ，c ＝12b ，故4c ＋2c ＋c ＝50，解得c ＝507.故选D.3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( B ) A ．4 B.5 C ．6D.7解析：由等比数列的性质，可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，所以a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，所以T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5，故选B.4．(2018·某某适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 018＝( A )A ．22 017－12 B.1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 017C ．22 018－12D.1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 018解析：由a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，得q 6－16q 3＋64＝0，所以q 3＝8，即q ＝2，所以S 2 018＝a 11－q 2 0181－q ＝22 017－12.故选A.5．(2016·高考某某卷)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( C ) A ．充要条件 B.充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析：由题意，得a n ＝a 1qn －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q2n －2＋a 1q2n －1＝a 1q2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，故选C.6．若等比数列{a n }的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( D )A.32B.94 C ．1D.2解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则第2,3,4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9①，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814⇒a 21q 3＝92②，①÷②得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q 3＝1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1a 1q3＝2.故选D. 7．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( D )A ．6 B.7 C ．8D.9解析：∵3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝3a 1＋2a 2，∴q 2－2q －3＝0，∴q ＝3或q ＝－1(舍去)．∴a 8＋a 9a 6＋a 7＝a 1q 7＋a 1q 8a 1q 5＋a 1q 6＝q 2＋q 31＋q＝q 2＝32＝9.故选D.8．(2018·某某质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝2a n －3n ，则a 2 018＝( A ) A ．22 018－1 B.32 018－6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2 018－72D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 2 018－103解析：因为3S n ＝2a n －3n ，所以当n ＝1时，3S 1＝3a 1＝2a 1－3，所以a 1＝－3；当n ≥2时，3a n ＝3S n －3S n －1＝(2a n －3n )－(2a n －1－3n ＋3)，所以a n ＝－2a n －1－3，即a n ＋1＝－2(a n －1＋1)，所以数列{a n ＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列．则a n ＋1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n，所以a n ＝(－2)n－1，所以a 2 018＝(－2)2 018－1＝22 018－1，故选A.9．(2018·某某质量预测)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝__100__.解析：由log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 22a n ，即a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列．又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100， 所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.10．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值X 围是__(－∞，－1]∪[3，＋∞)__．解析：当q >0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 1＋a 3≥1＋2a 1a 3＝1＋2a 22＝3； 当q <0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 1＋a 3≤1－2a 1a 3＝1－2a 22＝－1， 所以S 3的取值X 围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．11．(2018·某某质检)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，若a 1＝1，a 2·a 4＝16. (1)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和S n . 解析：(1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2a 4＝16，得q 4＝16，所以q ＝2，则a n ＝2n －1.又b n ＝log 2a n ，所以b n ＝n －1. (2)由(1)可知a n ·b n ＝(n －1)·2n －1，则S n ＝0×20＋1×21＋2×22＋…＋(n －1)·2n －1，2S n ＝0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n， 两式相减，得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1－(n －1)·2n＝2－2n1－2－(n －1)·2n ＝2n (2－n )－2， 所以S n ＝2n(n －2)＋2.12．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{}a n 是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即(λ－1)a n ＋1＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0，得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132，解得λ＝－1.。
高考数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和讲解与练习 理 新人教A版
第三节等比数列及其前n项和[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系. 1.以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计算，如2012年新课标全国T5，浙江T13等．2.以解答题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及性质的综合应用，如2012年湖北T18等.[归纳·知识整合] 1．等比数列的相关概念相关名词等比数列{a n}的有关概念及公式定义a n＋1a n＝q(q是常数且q≠0，n∈N*)或a na n－1＝q(q是常数且q≠0，n∈N*且n≥2)通项公式a n＝a1q n－1＝a m·q n－m前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1 q ＝1a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q q ≠1等比中项设a ，b 为任意两个同号的实数，则a ，b 的等比中项G ＝±ab[探究] 1.b 2＝ac 是a ，b ，c 成等比数列的什么条件？提示：b 2＝ac 是a ，b ，c 成等比数列的必要不充分条件，因为当b ＝0时，a ，c 至少有一个为零时，b 2＝ac 成立，但a ，b ，c 不成等比数列；若a ，b ，c 成等比数列，则必有b 2＝ac .2．如何理解等比数列{a n }与指数函数的关系？ 提示：等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1qn －1可改写为a n ＝a 1q·q n.当q >0，且q ≠1时，y＝q x是一个指数函数，而y ＝a 1q·q x是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a n }的图象是函数y ＝a 1q·q x的图象上的一群孤立的点．2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q 则a m ·a n ＝a p ·a q . 特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p .(2)若等比数列前n 项和为S n 则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m－S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)．(3)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k.[自测·牛刀小试]1．在等比数列{a n }中，如果公比q <1，那么等比数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列C ．常数列D ．无法确定数列的增减性解析：选D 当a 1>0,0<q <1，数列{a n }为递减数列，当q <0，数列{a n }为摆动数列． 2．(教材习题改编)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析：选B ∵数列{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 3a 5a 6＝5log 39＝10.3．(教材习题改编)在等比数列{a n }中，若a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－1＝15，a 1q 3－q ＝6.∴q 2－1≠0，q 4－1q 3－q ＝52.∴2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝12或q ＝2.当q ＝2时，a 1＝1，∴a 3＝a 1q 2＝4. 当q ＝12时，a 1＝－16，∴a 3＝a 1q 2＝－4.答案：4或－44．在等比数列{a n }中，a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5的值为________． 解析：由等比数列性质，已知转化为a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， 即(a 3＋a 5)2＝25，又a n >0，故a 3＋a 5＝5. 答案：55．在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是________． 解析：设等比数列的公比为q ，则4＝q 4.即q ＝± 2. 当q ＝2时，插入的三个数是2，2,2 2. 当q ＝－2时，插入的三个数是－2，2，－2 2. 答案：2，2,22或－2，2，－2 2等比数列的基本运算[例1] (1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·辽宁高考)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(3)(2012·浙江高考)设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.[自主解答] (1)设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，a 10＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.(2)∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n ·q 2＝5a n ·q ， 即2q 2－5q ＋2＝0， 解得q ＝2或q ＝12(舍去)．又∵a 25＝a 10＝a 5·q 5， ∴a 5＝q 5＝25＝32. ∴32＝a 1·q 4，解得a 1＝2. ∴a n ＝2×2n －1＝2n ，故a n ＝2n.(3)由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2作差可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，所以2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1(舍去)．[答案] (1)D (2)2n(3)32———————————————————等比数列运算的通法与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式a n ＝a 1·q n －1(a 1q ≠0)及前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1中共有五个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比q 时，要注意应用q ≠0验证求得的结果．1．(1)(2013·海淀模拟)在等数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3a 5，则a 7＝( )A.116 B.18 C.14D.12(2)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334D.172解析：(1)选B 在等比数列{a n }中，a 24＝a 3a 5，又a 4＝a 3a 5，所以a 4＝1，故q ＝12，所以a 7＝18.(2)选B 显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13，(舍去)故S 5＝a 11－q51－q＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.等比数列的判定与证明[例2] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)在(1)的条件下证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，并求a n .[自主解答] (1)证明：∵由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3. 由S n ＋1＝4a n ＋2，①知当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2，② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)． 又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1.∴{b n }是首项b 1＝3，公比q ＝2的等比数列． (2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14. a n ＝(3n －1)×2n －2.———————————————————等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.2．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1×22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54×2n －1＝5×2n －3.(2)证明：由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n1－2＝5×2n －2－54，即S n ＋54＝5×2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5×2n －15×2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，以2为公比的等比数列.等比数列的性质及应用[例3] (1)在等比数列{a n }中，若a 1·a 2·a 3·a 4＝1，a 13·a 14·a 15·a 16＝8，则a 41·a 42·a 43·a 44＝________.(2)已知数列{a n }为等比数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 1＋a 2＋a 3＝3，a 4＋a 5＋a 6＝6，则S 12＝________.[自主解答] (1)法一：a 1·a 2·a 3·a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，①a 13·a 14·a 15·a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，② 由②÷①，得a 41·q 54a 41·q6＝q 48＝8⇒q 16＝2，又a 41·a 42·a 43·a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)·(q 16)10＝1·210＝1 024.法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q ，T 1＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1，T 4＝a 13·a 14·a 15·a 16＝8，∴T 4＝T 1·q 3＝1·q 3＝8，即q ＝2.∴T 11＝a 41·a 42·a 43·a 44＝T 1·q 10＝210＝1 024.(2)法一：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝a 1·q 3＋a 2·q 3＋a 3·q 3a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝63，即q 3＝2.故S 12＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9)＋(a 10＋a 11＋a 12)＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1·q 3＋a 2·q 3＋a 3·q 3)＋(a 1·q 6＋a 2·q 6＋a 3·q 6)＋(a 1·q 9＋a 2·q 9＋a 3·q 9)＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3)q 3＋(a 1＋a 2＋a 3)q 6＋(a 1＋a 2＋a 3)q 9＝(a 1＋a 2＋a 3)(1＋q 3＋q 6＋q 9)＝3×(1＋2＋22＋23)＝45.法二：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝63，即q 3＝2.因为S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝9，S 12－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12，所以S 12－S 6S 6＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝ a 1·q 6＋a 2·q 6＋a 3·q 6＋a 4·q 6＋a 5·q 6＋a 6·q 6a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q 6＝4.所以S 12＝5S 6＝45. [答案] (1)1 024 (2)45———————————————————等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．3．已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再后面3n项的和．解：∵S n＝2，其后2n项为S3n－S n＝S3n－2＝12，∴S3n＝14.由等比数列的性质知S n，S2n－S n，S3n－S2n成等比数列，即(S2n－2)2＝2·(14－S2n)解得S2n＝－4，或S2n＝6.当S2n＝－4时，S n，S2n－S n，S3n－S2n，…是首项为2，公比为－3的等比数列，则S6n＝S n＋(S2n－S n)＋…＋(S6n－S5n)＝－364，∴再后3n项的和为S6n－S3n＝－364－14＝－378.当S2n＝6时，同理可得再后3n项的和为S6n－S3n＝126－14＝112.故所求的和为－378或112.3个防范——应用等比数列的公比应注意的问题(1)注意q＝1时，S n＝na，这一特殊情况．(2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在应用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1和q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情况而导致错误．4个思想——求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)整体思想：当公比q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 11－q ·(1－q n)，令a 11－q ＝t ，则S n ＝t (1－q n )．把a 11－q与q n当成一个整体求解，也可简化运算．(3)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n1－q；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．(4)函数思想：在等比数列{a n }中，a n ＝a 1q·q n，它的各项是函数y ＝a 1q·q x图象上的一群孤立的点，可以根据指数函数的一些性质研究等比数列问题(如单调性)，注意函数思想在等比数列问题中的应用.创新交汇——以等比数列为背景的新定义问题1．在新情境下先定义一个新数列，然后根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题，同时，数列也常与函数、不等式等形成交汇命题．2．对于此类新定义问题，我们要弄清其本质，然后根据所学的数列的性质即可快速解决．[典例] (2012·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③D ．②④[解析] 法一：设{a n }的公比为q . ①f (a n )＝a 2n ，∵a 2n ＋1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝q 2， ∴{f (a n )}是等比数列．排除B 、D. ③f (a n )＝|a n |， ∵|a n ＋1||a n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1a n ＝|q |， ∴{f (a n )}是等比数列． 法二：不妨令a n ＝2n.①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝4n .显然{f (2n)}是首项为4，公比为4的等比数列． ②因为f (x )＝2x，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24，f (a 3)＝f (8)＝28，所以f a 2f a 1＝2422＝4≠f a 3f a 2＝2824＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x |，所以f (a n )＝2n＝(2)n. 显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列． ④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln 2n ＝n ln 2. 显然{f (a n )}是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列． [答案] C [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)命题背景新颖：本题是以“保等比数列函数”为新定义背景，考查等比数列的有关性质．(2)考查内容创新：本题没有直接指明判断等比数列的有关性质，而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、二次函数与数列有机结合，对学生灵活处理问题的能力有较高要求．2．解决本题的关键有以下两点(1)迅速脱掉“新定义”的外衣，认清本题的实质是：已知数列{a n }为正项等比数列，判断数列{a 2n }，{2a n }，{|a n |}及{ln|a n |}是否为等比数列问题．(2)灵活运用排除法或特殊值法也是正确解决本题的关键． [变式训练]1．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n ＝( )A.32 B.32或23 C.23D ．以上都不对解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23. 2．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析：选D 由已知可得a 1＝f (1)＝12，a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝[f (1)]3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，…，a n ＝f (n )＝[f (1)]n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴S n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∵n ∈N *，∴12≤S n <1.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.2．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 由题意可知a 3a 11＝a 27＝16，因为{a n }为正项等比数列，所以a 7＝4.所以log 2a 10＝log 2(a 7×23)＝log 225＝5.3．各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84D ．189解析：选C ∵a 1＋a 2＋a 3＝21，∴a 1＋a 1·q ＋a 1·q 2＝21,3＋3×q ＋3×q 2＝21， 1＋q ＋q 2＝7，解得q ＝2或q ＝－3.∵a n >0，∴q ＝2，a 3＋a 4＋a 5＝21×q 2＝21×4＝84.4．(2013·西安模拟)已知a ，b ，m ，n ，x ，y 均为正数，且a ≠b ，若a ，m ，b ，x 成等差数列，a ，n ，b ，y 成等比数列，则有( )A ．m >n ，x >yB ．m >n ，x <yC ．m <n ，x <yD ．m <n ，x >y解析：选B ∵m ＝a ＋b2，n ＝ab (a ≠b )，∴m >n .又2b ＝m ＋x ，由b 2＝ny ，得b ＝ny ， 即2ny ＝m ＋x ≥2mx ，∴ny ≥mx ， 即ny ≥mx ，y x ≥mn>1.∴y >x .5．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝18，则a 2a 3a 4等于( ) A ．36 B ．216 C ．±36D ．±216解析：选B 由等比数列的性质得a 23＝a 1·a 5＝2×18＝36， 又a 3＝a 1q 2＝2q 2>0，故a 3＝6. 所以a 2a 3a 4＝a 33＝216.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析：选B 利用等比数列知识求解． ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n .∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n .∴3a n ＝2a n ＋1. ∴a n ＋1a n ＝32. 又∵S 1＝2a 2，∴a 2＝12.∴a 2a 1＝12.∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列．∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1⎝⎛也可以先求出n ≥2时，a n ＝3n －22n －1，再利用S n ＝2a n ＋1，⎭⎪⎫求得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________. 解析：∵S 3＋3S 2＝0，即a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 答案：－28．若数列{a n }(a n ∈R )对任意的正整数m ，n 满足a m ＋n ＝a m a n ，且a 3＝22，那么a 12＝________.解析：令m ＝1，则a n ＋1＝a n a 1⇒a 1＝q ，a 3＝a 1q 2＝22⇒q 3＝22，a 12＝q 12＝64. 答案：649．(2013·聊城模拟)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b∈R ，满足f (a ·b )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2，a n ＝f 2n n (n ∈N *)，b n ＝f 2n 2n(n ∈N *)，考察下列结论．①f (0)＝f (1)；②f (x )为偶函数；③数列{a n }为等比数列；④{b n }为等差数列．其中正确的是________．解析：令a ＝0，b ＝0，则f (0)＝0，令a ＝b ＝1， 则f (1)＝2f (1)，故f (0)＝f (1)＝0； 设a ＝－1，b ＝x ，因为f (1)＝f [(－1)×(－1)]＝－2f (－1)， 则f (－1)＝0，所以f (－x )＝－f (x )＋xf (－1)＝－f (x )，f (x )为奇函数；f (2n)＝2f (2n －1)＋2n －1f (2)＝2f (2n －1)＋2n⇒f 2n2n＝f 2n －12n －1＋1，则{b n }为等差数列；∵b 1＝f 22＝1，∴b n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴f 2n2n ＝n ，a n ＝f 2n n＝2n，则数列{a n }为等比数列．答案：①③④三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．数列{a n }中，S n ＝1＋ka n (k ≠0，k ≠1)． (1)证明：数列{a n }为等比数列； (2)求通项a n ；(3)当k ＝－1时，求和a 21＋a 22＋…＋a 2n . 解：(1)∵S n ＝1＋ka n ，①S n －1＝1＋ka n －1，②①－②得S n －S n －1＝ka n －ka n －1(n ≥2)， ∴(k －1)a n ＝ka n －1，a n a n －1＝k k －1为常数，n ≥2. ∴{a n }是公比为kk －1的等比数列．(2)∵S 1＝a 1＝1＋ka 1，∴a 1＝11－k. ∴a n ＝11－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1n －1＝－kn －1k －1n.(3)∵{a n }中a 1＝11－k ，q ＝k k －1，∴{a 2n }是首项为⎝⎛⎭⎪⎫1k －12，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －12的等比数列．当k ＝－1时，等比数列{a 2n }的首项为14，公比为14，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .11．设数列{a n }是一等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ＝23(b n －1)，若a 2＝b 1，a 5＝b 2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵S 1＝23(b 1－1)＝b 1，∴b 1＝－2.又S 2＝23(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2，∴b 2＝4.∴a 2＝－2，a 5＝4.∵{a n }为等差数列， ∴公差d ＝a 5－a 23＝63＝2， 即a n ＝－2＋(n －2)·2＝2n －6. (2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1)，①S n ＝23(b n －1)，②①－②得S n ＋1－S n ＝23(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，∴b n ＋1＝－2b n .∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝－2，首项b 1＝－2， ∴b n ＝(－2)n. ∴S n ＝23[(－2)n－1]．12．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013. 解：(1)∵由已知得a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )， 解得d ＝2或d ＝0(舍去)．∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1(n ∈N *)． 又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9， ∴数列{b n }的公比为3. ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1(n ∈N *)．(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1得 当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n . 两式相减得，n ≥2时，c n b n＝a n ＋1－a n ＝2. ∴c n ＝2b n ＝2·3n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2， ∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2·3n －1n ≥2.∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.1．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6D ．4 2解析：选A 法一：由等比中项的性质知a 1a 2a 3＝(a 1a 3)·a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)·a 8＝a 38＝10，所以a 2a 8＝5013，所以a 4a 5a 6＝(a 4a 6)·a 5＝a 35＝(a 2a 8)3＝(5016)3＝5 2.法二：由等比数列的性质知a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9构成等比数列，所以(a 1a 2a 3)(a 7a 8a 9)＝(a 4a 5a 6)2，即a 4a 5a 6＝±5×10＝±52，又数列各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝5 2.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3解析：选C 由等比数列的性质：S 3、S 6－S 3、S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.3．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝4，a 4a 5a 6＝212. (1)求首项a 1和公比q 的值；21 (2)若S n ＝210－1，求n 的值．解：(1)∵a 4a 5a 6＝a 35＝212⇒a 5＝16， ∴a 5a 3＝q 2＝4⇒q ＝2，a 1q 2＝a 3，解得a 1＝1. (2)由S n ＝210－1，得S n ＝a 1q n －1q －1＝2n－1， ∴2n －1＝210－1⇒2n ＝210，即n ＝10.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．解：(1)b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，以－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，又a 1＝1也符合上式，所以{a n }的通项公式为 a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．。
2021高考数学人教版一轮复习练习：第五章 第3节 等比数列及其前n项和
多维层次练30[A 级 基础巩固]1．(2020·郴州一模)在数列{a n }中，满足a 1＝2，a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和，若a 6＝64，则S 7的值为( )A ．126B ．256C ．255D ．254解析：数列{a n }中，满足a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，又由a 1＝2，a 6＝64，得q 5＝a 6a 1＝32，则q ＝2，则S 7＝a 1（1－27）1－2＝28－2＝254.答案：D2．(2020·惠州联考)已知数列{a n }为等差数列，且2a 1，2，2a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．15 B.212 C ．6D ．3解析：由2a 1，2，2a 6成等比数列，可得4＝2a 1·2a 6＝2a 1＋a 6， 即a 1＋a 6＝2，又数列{a n }为等差数列， 所以{a n }前6项的和为12×6(a 1＋a 6)＝6.答案：C3．已知数列{a n }为正项等比数列，a 2＝2，a 3＝2a 1，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．(2＋2)[1－(2)n ]B ．(2＋2)[(2)n －1] C.2(2n －1)D.2(1－2n )解析：由{a n }为正项等比数列，且a 2＝2，a 3＝2a 1，可得a 1＝1，公比q ＝2，所以数列{a n a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2（1－2n ）1－2＝2(2n －1)．答案：C4．(2020·衡阳一模)在等比数列{a n }中，a 1a 3＝a 4＝4，则a 6的所有可能值构成的集合是( )A ．{6}B ．{－8，8}C ．{－8}D ．{8}解析：因为a 1a 3＝a 22＝4，a 4＝4，所以a 2＝2，所以q 2＝a 4a 2＝2，所以a 6＝a 2q 4＝2×4＝8，故a 6的所有可能值构成的集合是{8}．答案：D5．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( )A ．16B ．8C ．2 2D ．4解析：因为a 4与a 14的等比中项为22， 所以a 4·a 14＝a 7·a 11＝(22)2＝8， 所以2a 7＋a 11≥22a 7a 11＝22×8＝8， 所以2a 7＋a 11的最小值为8.答案：B6．(2019·全国卷Ⅰ)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________．解析：由a 24＝a 6得(a 1q 3)2＝a 1q 5，整理得q ＝1a 1＝3.所以S 5＝13（1－35）1－3＝1213.答案：12137．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ·a m ＋2＝2a m ＋1(m ∈N *)，数列{a n }的前n 项积为T n ，且T 2m ＋1＝128，则m 的值为________，数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a m ·a m ＋2＝2a m ＋1，所以a 2m ＋1＝2a m ＋1，即a m ＋1＝2，即{a n }为常数列．又T 2m ＋1＝(a m ＋1)2m ＋1，由22m ＋1＝128，得m ＝3. 数列{a n }的前n 项和S n ＝2n . 答案：3 2n8．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________．解析：由a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )可得a 2n ＋1－4a n ＋1a n ＋4a 2n ＝0，即(a n ＋1－2a n )2＝0，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以数列{a n }是首项和公比都是2的等比数列，则其前9项的和S 9＝2（1－29）1－2＝210－2＝1 022.答案：1 0229．已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a nb n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．解：(1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32－12×3n －1. 10．已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)因为点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，所以a n ＋1＝a n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是等差数列，公差为2，又a 1＝1， 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，所以q ＝3. 所以b n ＝3n －1.所以数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 可化为3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.故适合条件T n ≤S n 的所有n 的值为1，2.[B 级 能力提升]11．(2020·合肥二模)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价是1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物总价是⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－200⎝ ⎛⎭⎪⎫910n 万元，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：由题意知，茭草垛自上而下堆放的货物件数构成一个等差数列{a n }，且a n ＝n ，货物单价构成一个等比数列{b n }，且b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1，所以每一层货物的总价为a n b n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1万元， 所以这堆货物的总价(单位：万元)为S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ，所以S n ＝1×1＋2×910＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －2＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1. 两边同乘910得，910S n ＝1×910＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，两式相减得110S n ＝1＋910＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9103＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＝10－(10＋n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，所以S n ＝100－10×(10＋n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，由100－10×(10＋n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＝100－200×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，整理得10×(10＋n )＝200，解得n ＝10. 答案：D12．数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝3－2n ＋32n ，n ∈N *，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝________．解析：因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝3－2n ＋32n ，所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝3－2n ＋12n －1(n ≥2)，两式相减得(2n －1)a n ＝2n －12n (n ≥2)，a n ＝12n (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝3－52＝12，适合上式，所以a n ＝12n (n ∈N *)．因此a 1＋a 2＋…＋a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n .答案：1－12n13．(2020·长治二模)S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n .(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1（1－q 3）1－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3， 所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， 因为S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n ，则S n ＋1＋12S n ＋12＝3， 故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是等比数列．[C 级 素养升华]14．(多选题)设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，T n 是{a n }的前n 项之积，a 2＝27，a 3·a 6·a 9＝127，则当T n 最大时，n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 3·a 6·a 9＝127，所以a 36＝127，解得a 6＝13.因为a 2＝27，所以q 4＝1327＝181，解得q ＝13，所以a n ＝a 2qn －2＝27×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －5.令a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －5＝1，解得n ＝5，则当T n 最大时，n 的值为4或5.答案：AB素养培育数学运算、数学抽象——等差(比)数列性质的应用(自主阅读)(1)数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果．通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展．(2)数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想．类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .[典例1] (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________．(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________．解析：(1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或a m＝2.又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38，显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎨⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5. 答案：(1)10 (2)5类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *)．[典例2] (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18B ．－18 C.578 D.558解析：(1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：(1)C (2)A类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q .若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m (q 为公比)．[典例3] (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________．(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________． 解析：(1)由题意，得⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎨⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0.则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：(1)2 (2)3116。
三维设计高考数学人教版理科一轮复习配套题库5.3等比数列及其前n项和(含答案详析)
高考真题备选题库 第5章 数列第3节 等比数列及其前n 项和 考点一 等比数列的通项公式1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3 ＝ a 2 ＋10a 1 ，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19D ．－19解析：本题考查等比数列的基本知识，包括等比数列的前n 项和及通项公式，属于基础题，考查考生的基本运算能力．由题知q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C.答案：C2．（2013北京，5分）若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查方程思想以及考生的运算求解能力．q ＝a 3＋a 5a 2＋a 4＝2，又a 2＋a 4＝20，故a 1q ＋a 1q 3＝20，解得a 1＝2，所以S n ＝2n ＋1－2. 答案：2 2n ＋1－23.（2013湖北，12分）已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解：本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式、不等式等基础知识和基本方法，考查方程思想、分类与整合思想，考查运算求解能力、逻辑思维能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1，或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35·⎝⎛⎭⎫13n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列， 从而∑n ＝1m 1a n ＝35·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1. 若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N ＋)，0，m ＝2k (k ∈N ＋)，故∑n ＝1m1a n<1. 综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m1a n<1. 故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．4．（2012辽宁，5分）已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1⇒2q 2－5q ＋2＝0⇒q ＝2或12，由a 25＝a 10＝a 1q 9>0⇒a 1>0，又数列{a n }递增，所以q ＝2.a 25＝a 10>0⇒(a 1q 4)2＝a 1q 9⇒a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .答案：2n5．（2010福建，4分）在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.解析：∵在等比数列{a n }中，前3项之和等于21， ∴a 1(1－43)1－4＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝4n －1.答案：4n －16．(2011新课标全国，12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q ＞0，故q ＝13. 由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，得a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝ －(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)． 1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2n n ＋1. 所以数列{1b n }的前n 项和为－2n n ＋1. 考点二 等比数列的前n 项和1．（2013辽宁，5分）已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析：本题主要考查等比数列的性质、通项公式、求和公式，意在考查考生对等比数列公式的运用，以及等比数列性质的应用情况．由题意得，a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，由数列是递增数列得，a 1＝1，a 3＝4，所以q ＝2，代入等比数列的求和公式得S 6＝63.答案：632．（2013湖北，13分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解：本题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、等比数列的通项公式及前n 项和公式，也考查了分类讨论思想．(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}． 3．（2013陕西，12分）设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．解：本题考查等比数列前n 项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题，深度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法．(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．4．（2010广东，5分）已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：设数列{a n }的公比为q ，a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12，故a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝31.答案：C5．（2010安徽，5分）设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X )解析：根据等比数列的性质：若{a n }是等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，即X ，Y －X ，Z －Y 成等比数列， 故(Y －X )2＝X (Z －Y )，整理得Y (Y －X )＝X (Z －X )，故选D. 答案：D6．（2010辽宁，5分）设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152 B.314 C.334D.172解析：显然公比q ≠1，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4(1－125)1－12＝314.答案：B7．（2010天津，5分）已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析：由题意可知9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝2，数列{1a n }是以1为首项，以12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.答案：C8．(2009·辽宁，5分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2 B.73 C.83D ．3解析：由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是，由S 6＝3S 3，可推出S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 答案：B考点三 等比数列的性质及应用1．（2013江西，5分）等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24解析：选A 本题考查等比数列的通项以及等比数列的性质，意在考查考生的运算能力及对基础知识的掌握情况．由等比数列的前三项为x,3x ＋3,6x ＋6，可得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(此时3x ＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x ＝－3，公比q ＝3x ＋3x＝2，所以第四项为(6x ＋6)×q ＝－24.2．（2013江苏，5分）在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析：本题主要考查等比数列的基本性质，意在考查学生的运算能力．设等比数列{a n }的公比为q (q >0)．由a 5＝12，a 6＋a 7＝3，可得12(q ＋q 2)＝3，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，所以a n ＝2n －6，数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －5－2－5，所以a 1a 2…a n ＝(a 1a n )n 2＝2n (n －11)2，由a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 可得2n －5－2－5>2n (n －11)2，由2n －5>2n (n －11)2，可求得n 的最大值为12，而当n ＝13时，28－2－5>213不成立，所以n 的最大值为12.答案：123．（2012新课标全国，5分）已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7解析：设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，a 10＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.答案：D4．（2010北京，5分）在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：由题知a m ＝|q |m －1＝a 1a 2a 3a 4a 5＝|q |10，所以m ＝11. 答案：C5．（2012浙江，4分）设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝____________.解析：∵S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3(a 4－a 2)，∴a 2(q ＋q 2)＝3a 2(q 2－1)， 解得q ＝－1(舍去)或q ＝32.答案：326．(2011江西，12分)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)， b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3. (1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2， 由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)． 即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n－1或a n ＝(2－2)n －1.(2)设数列{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*)， 由a ＞0得Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程(*)有两个不同的实根． 由数列{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得 a ＝13.。
2022届高考数学一轮复习 第五章 数列 第3节 等比数列及其前n项和课时作业(含解析)新人教版
第五章 数列授课提示：对应学生用书第293页[A 组 基础保分练]1．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝22n －1B ．a n ＝2nC ．a n ＝22n ＋1D ．a n ＝22n －3答案：A2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578 D ．558答案：A3．(2021·西安模拟)设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5D ．159.5 解析：因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12.a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.答案：C4．正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 3a 7＋a 5a 9＝16，且a 5与a 9的等差中项为4，则{a n }的公比是( ) A ．1 B ．2 C.22D ．2答案：D5．(2021·南宁统一考试)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：等比数列{a n }为递增数列的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，q ＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，0＜q ＜1.答案：D6．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，若S 2＋a 2＝S 3－3，则a 4＋3a 2的最小值为( )A ．12B ．9C ．16D ．18解析：因为S 3－S 2＝a 3，所以由S 2＋a 2＝S 3－3，得a 3－a 2＝3，设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＝3q q －1，由于{a n }的各项为正，所以q ＞1.a 4＋3a 2＝a 1q 3＋3a 1q ＝a 1q (q 2＋3)＝3q q －1q (q 2＋3)＝3q 2＋3q －1＝3(q －1＋4q －1＋2)≥18，当且仅当q －1＝2，即q ＝3时，a 3＋3a 2取得最小值18.答案：D7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S 6S 3＝65，则数列{a n }的公比为________．答案：48．(2021·安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值为________． 答案：29．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解析：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0， 解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．解析：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－3，解得a 1＝3， 当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－6，解得a 2＝9， 当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－9，解得a 3＝21.(2)假设{a n ＋λ}是等比数列，则(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3. 下面证明{a n ＋3}为等比数列：∵S n ＝2a n －3n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－3n －3，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3，即2a n ＋3＝a n＋1，∴2(a n ＋3)＝a n ＋1＋3，∴a n ＋1＋3a n ＋3＝2，∴存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列． ∴a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．[B 组 能力提升练]1．(多选题)如图，在每个小格中填上一个数，使得每一行的数依次成等差数列，每一列的数依次成等比数列，则( )A.x ＝1 C ．z ＝3D ．x ＋y ＋z ＝2解析：因为每一列成等比数列，所以第一列的第3,4,5个小格中的数分别是12，14，18，第三列的第3,4,5个小格中的数分别是1，12，14，所以x ＝1.又每一行成等差数列，所以y ＝14＋3×12－142＝58，z －18＝2×18，所以z ＝38，所以x ＋y ＋z ＝2.故A ，D 正确；B ，C错误． 答案：AD2．已知等比数列{a n }满足a 4＋a 6a 1＋a 3＝18，a 5＝4，记等比数列{a n }的前n 项积为T n ，则当T n取最大值时，n ＝( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．6或7D ．7或8答案：C3．已知正项等比数列{a n }满足a 2·a 27·a 2 020＝16，则a 1·a 2·…·a 1 017＝( ) A ．41 017 B ．21 017 C ．41 018 D ．21 018答案：B4．(多选题)已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＋b 2＝7，a 3＋b 3＝13.记c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，数列{c n }的前n 项和为S n ，则( ) A ．a n ＝2n －1 B ．b n ＝2nC ．S 9＝1 409D ．S 2n ＝2n 2－n ＋43(4n－1)解析：设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q (q ≠0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＋2q ＝7，1＋2d ＋2q 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，故a n ＝2n －1，b n ＝2n ，故A ，B 正确；则c 2n －1＝a 2n －1＝4n －3，c 2n ＝b 2n ＝4n ，所以数列{c n }的前2n 项和S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝n 1＋4n －32＋41－4n 1－4＝2n 2－n ＋43(4n －1)，S 9＝S 8＋a 9＝385，故C 错误，D 正确． 答案：ABD5．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋na m＝a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案：2n ＋1－26．(2021·黄冈模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6＝2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5＝________.答案：317．(2021·山东德州模拟)给出以下三个条件：①数列{a n }是首项为2，满足S n ＋1＝4S n ＋2的数列；②数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R )的数列； ③数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝a n ＋1－2的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 与S n 满足________，记数列b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，c n ＝n 2＋nb n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解析：选条件①.由已知S n ＋1＝4S n ＋2，可得当n ≥2时，S n ＝4S n －1＋2， 两式相减，得a n ＋1＝4(S n －S n －1)＝4a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，当n ＝1时，S 2＝4S 1＋2，即2＋a 2＝4×2＋2，解得a 2＝8，满足a 2＝4a 1， 故数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1， 所以b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，所以c n ＝n 2＋n b n b n ＋1＝n n ＋1n 2n ＋12＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1. 故T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.选条件②.由已知3S n ＝22n ＋1＋λ，可得当n ≥2时，3S n －1＝22n －1＋λ，两式相减，得3a n ＝22n ＋1－22n －1＝3·22n －1，即a n ＝22n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝2满足a n ＝22n －1，故数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1. 以下同选条件①. 选条件③.由已知3S n ＝a n ＋1－2，可得当n ≥2时，3S n －1＝a n －2， 两式相减，得3a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，当n＝1时，3a1＝a2－2，又a1＝2，所以a2＝8，满足a2＝4a1，故数列{a n}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n＝22n－1.以下同选条件①.[C组创新应用练]1．(多选题)设数列{a n}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n 项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中正确的是( )A．0＜q＜1B．a7＝1C．K9＞K5D．K6与K7均为K n的最大值解析：若K6＝K7，则a7＝K7K6＝1，故B正确；由K5＜K6可得a6＝K6K5＞1，则q＝a7a6∈(0,1)，故A正确；由数列{a n}是各项为正数的等比数列且q∈(0,1)，可得数列{a n}单调递减，则有K9＜K5，故C错误；结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确．答案：ABD2．(2021·湖南常德模拟)某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防．规定每人每天早晚八时各服一次，现知每次药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%.某人上午八时第一次服药，至第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留( )A．220毫克B．308毫克C．123.2毫克D．343.2毫克解析：设第n次服药后，药在体内的残留量为a n毫克，则a1＝220，a2＝220＋a1×(1－60%)＝220×1.4＝308，a3＝220＋a2×(1－60%)＝343.2.答案：D3．设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{A n}为等比数列的充要条件是( )A．{a n}是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同解析：∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列． 答案：D。
高考数学一轮复习配套讲义：第5篇 第3讲 等比数列及其前n项和
第3讲等比数列及其前n项和[最新考纲]1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式．2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．3．了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：a na n－1＝q(n≥2)，q为常数．(2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 若等比数列{a n }的第m 项为a m ，公比是q ，则其第n 项a n 可以表示为a n ＝a m q n －m.(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q. 3．等比数列及前n 项和的性质(1)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .(4)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．辨 析 感 悟1．对等比数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(×)(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×) (3)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为aq ，a ，aq .(√) 2．通项公式与前n 项和的关系(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n)1－a.(×)(5)(·新课标全国Ⅰ卷改编)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n＝3－2a n.(√)3．等比数列性质的活用(6)如果数列{a n}为等比数列，则数列{ln a n}是等差数列．(×)(7)(·兰州模拟改编)在等比数列{a n}中，已知a7·a12＝5，则a8a9a10a11＝25.(√)(8)(·江西卷改编)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于－2或0.(×)[感悟·提升]1．一个区别等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以有两个值．如(1)中的“常数”，应为“同一非零常数”；(2)中，若b2＝ac，则不能推出a，b，c成等比数列，因为a，b，c为0时，不成立．2．两个防范一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误，如(4)．二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制，如(6)中当a n＋1a n＝q＜0时，ln a n＋1－ln a n＝ln q无意义.学生用书第85页考点一等比数列的判定与证明【例1】(·济宁测试)设数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有S n＝2a n－3n，设b n＝a n＋3.求证：数列{b n}是等比数列，并求a n.证明由S n＝2a n－3n对于任意的正整数都成立，得S n＋1＝2a n＋1－3(n＋1)，两式相减，得S n＋1－S n＝2a n＋1－3(n＋1)－2a n＋3n，所以a n＋1＝2a n＋1－2a n－3，即a n＋1＝2a n＋3，所以a n＋1＋3＝2(a n＋3)，即b n＋1b n＝a n＋1＋3a n＋3＝2对一切正整数都成立，所以数列{b n}是等比数列．由已知得：S 1＝2a 1－3，即a 1＝2a 1－3，所以a 1＝3， 所以b 1＝a 1＋3＝6，即b n ＝6·2n －1. 故a n ＝6·2n －1－3＝3·2n －3.规律方法 证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练1】 (·陕西卷)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1(1－q n)1－q，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾． ∴假设不成立，∴{a n ＋1}不是等比数列．考点二 等比数列基本量的求解【例2】 (·湖北卷)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．审题路线 (1)建立关于a 1与q 的方程组可求解．(2)分两种情况，由a n ⇒1a n ⇒再用等比数列求和求∑n ＝1m 1a n⇒得到结论．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎨⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3或⎩⎨⎧a 1＝－5，q ＝－1.故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1. (2)若a n ＝53·3n －1，则1a n＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列． 从而∑n ＝1m 1a n ＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 1－13＝910·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m <910<1. 若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n＝－15(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列， 从而∑n ＝1m1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N *)，0，m ＝2k (k ∈N *)，故∑n ＝1m 1a n<1.综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m 1a n<1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥1成立．规律方法 等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．【训练2】 (1)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．(2)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.解析 (1)显然公比q ≠1，由题意可知9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和T 5＝3116.(2)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎨⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎨⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.答案 (1)3116 (2)314考点三 等比数列性质的应用【例3】 (1)(·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )．A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.解析 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，易得a 1＝－8，a 10＝1，从而a 1＋a 10＝－7； 当a 4＝－2，a 7＝4时，易得a 10＝－8，a 1＝1，从而a 1＋a 10＝－7. (2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，则S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12. 答案 (1)D (2)－12规律方法 熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．【训练3】 (1)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为 ( )． A ．－3 B ．±3 C ．－3 3D ．±3 3(2)(·昆明模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝( )．A ．4B ．6C ．8D ．8－4 2解析(1)由等比中项知y2＝3，∴y＝±3，又∵y与－1，－3符号相同，∴y＝－3，y2＝xz，所以xyz＝y3＝－3 3.(2)由等比数列性质，得a3a7＝a25，a2a6＝a3a5，所以a23＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.答案(1)C(2)C1．等比数列的判定方法有以下几种：(1)定义：a n＋1a n＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)通项公式：a n＝cq n－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．(3)等比中项法：a2n＋1＝a n·a n＋2(a n·a n＋1·a n＋2≠0，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．2．方程观点以及基本量(首项a1和公比q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，a n，S n五个量中，知三求二．3．在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度．教你审题6——如何确定数列中的项【典例】(·山东卷)在等差数列{a n}(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意m∈N*列{b m}的前m项和S m.[审题]一审条件❶：根据性质转化为先求a4，再结合a9求a1和d.二审条件❷：转化为求{b m}的通项公式，尽而再求S m.三审结构：由9m ＜a n ＜92m 得9m －1＋1≤n ≤92m －1.解 (1)由a 3＋a 4＋a 5＝84，可得3a 4＝84，即a 4＝28，而a 9＝73，则5d ＝a 9－a 4＝45，即d ＝9.又a 1＝a 4－3d ＝28－27＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×9＝9n －8，即a n ＝9n －8(n ∈N *)．(2)对任意m ∈N *,9m ＜9n －8＜92m ，则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8， 即9m －1＋89＜n ＜92m －1＋89，而n ∈N *，所以9m －1＋1≤n ≤92m －1. 由题意，可知b m ＝92m －1－9m －1.于是S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝91＋93＋…＋92m －1－(90＋91＋…＋9m －1)＝9－92m ＋11－92－1－9m 1－9＝92m ＋1－980－9m －18＝92m ＋1－10×9m ＋180，即S m ＝92m ＋1－10×9m ＋180.[反思感悟] 本题第(2)问设置了落入区间内的项构成新数列，这是对考生数学能力的挑战，由通项公式及已知区间建立不等式求项数，进而得到所求数列{b m }的通项公式是解答该问题的核心与关键． 【自主体验】(·许昌模拟)已知点(1,2)是函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象上一点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )－1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }前2 013项中的第3项，第6项，…，第3k 项删去，求数列{a n }前2 013项中剩余项的和．解 (1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x ，得a ＝2. ∴S n ＝f (n )－1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，经验证可知n ＝1时，也适合上式，∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知数列{a n }为等比数列，公比为2，故其第3项，第6项，…，第2 013项也为等比数列，首项a 3＝23－1＝4，公比23＝8，a 2 013＝22 102＝4×8671－1为其第671项，∴此数列的和为4(1－8671)1－8＝4(22 013－1)7，又数列{a n }的前2 013项和为S 2 103＝1×(1－22 013)1－2＝22 013－1，∴所求剩余项的和为(22 013－1)－4(22 013－1)7＝3(22 013－1)7.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·六安二模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2，n ∈N *，则 ( )．A ．{a n }是递增的等比数列B ．{a n }是递增数列，但不是等比数列C ．{a n }是递减的等比数列D ．{a n }不是等比数列，也不单调 解析 ∵S n ＝3n －2，∴S n －1＝3n －1－2，∴a n ＝S n －S n －1＝3n －2－(3n －1－2)＝2×3n －1(n ≥2)， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1不适合上式，但a 1＜a 2＜a 3＜…. 答案 B2．(·广州模拟)已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n .若S 3＝72，则S 6等于( )． A.312 B.632 C ．63D.1272解析 S 3＝a 1(1－23)1－2＝7a 1＝72，所以a 1＝12.所以S 6＝a 1(1－26)1－2＝63a 1＝632.答案 B3．(·新课标全国Ⅱ卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A.13 B ．－13 C.19D ．－19解析 由题知q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19. 答案 C4．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为 ( )． A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或12解析 根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21.得1＋q ＋q 2q 2＝3.整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或－12. 答案 C5．(·浙江十校联考)若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m ∶n 值为 ( )．A.14B.12 C ．2D ．4解析 设方程x 2－5x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，方程x 2－10x ＋n ＝0的两根为x 3，x 4.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝m ，⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 4＝10，x 3·x 4＝n ，由题意知x 1＝1，x 2＝4，x 3＝2，x 4＝8，∴m ＝4，n ＝16，∴m ∶n ＝14. 答案 A 二、填空题6．(·江西九校联考)实数项等比数列{a n }的前n 项的和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．解析 首先q ≠1，因为若q ＝1，则S 10S 5＝2，当q ≠1时，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1－q 101－q 5＝(1－q 5)(1＋q 5)1－q 5＝3132，q 5＝－132，q ＝－12. 答案 －127．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________. 解析 ∵a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，∴q 2＝2，∴a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240. 答案 2408．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．解析 由已知条件，得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2， 即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1＝－2.答案 －2 三、解答题9．在数列{a n }中，已知a 1＝－1，且a n ＋1＝2a n ＋3n －4(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋1－a n ＋3}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n .(1)证明 令b n ＝a n ＋1－a n ＋3，则b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＋3＝2a n ＋1＋3(n ＋1)－4－2a n －3n ＋4＋3＝2(a n ＋1－a n ＋3)＝2b n ，即b n ＋1＝2b n .由已知得a 2＝－3，于是b 1＝a 2－a 1＋3＝1≠0.所以数列{a n ＋1－a n ＋3}是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)解 由(1)可知b n ＝a n ＋1－a n ＋3＝2n －1， 即2a n ＋3n －4－a n ＋3＝2n －1， ∴a n ＝2n －1－3n ＋1(n ∈N *)， 于是S n ＝(1＋2＋22＋…＋2n －1)－3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ＝1－2n 1－2－3×n (n ＋1)2＋n＝2n－3n 2＋n 2－1.10．(·济南期末)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＝4，a 3＋a 4＝17. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2，证明数列{b n }是等比数列并求其前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由题意知⎩⎨⎧a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝17，a 2＝a 1＋d ＝4， 解得a 1＝1，d ＝3， ∴a n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)证明：由题意知，b n ＝2a n ＋2＝23n (n ∈N *)， b n －1＝23(n －1)＝23n －3(n ∈N *，n ≥2)，∴b n b n －1＝23n 23n －3＝23＝8(n ∈N *，n ≥2)，又b 1＝8， ∴{b n }是以b 1＝8，公比为8的等比数列， T n ＝8(1－8n )1－8＝87(8n －1)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(·兰州模拟)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )． A ．－15 B ．－5 C ．5D.15解析 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n ＞0，即log 3a n ＋1an ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5. 答案 B2．(·山东省实验中学诊断)在各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值是( )．A ．16B ．8C ．2 2D ．4解析 由题意知a 4·a 14＝(22)2＝a 29，即a 9＝2 2.设公比为q (q ＞0)，所以2a 7＋a 11＝2a 9q 2＋a 9q 2＝42q 2＋22q 2≥ 242q 2×22q 2＝8，当且仅当42q2＝22q 2，即q ＝42时取等号，其最小值为8. 答案 B 二、填空题3．(·江苏卷)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析 由已知条件得12q ＋12q 2＝3，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)， a n ＝a 5qn －5＝12×2n －5＝2n －6，a 1＋a 2＋…＋a n ＝132(2n －1)，a 1a 2…a n ＝2－52－42－3…2n －6＝，由a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ，可知2n －5－2－5>，可求得n 的最大值为12，而当n ＝13时，28－2－5<213，所以n 的最大值为12. 答案 12 三、解答题4．已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5， 即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N*，总有－712≤S n－1S n≤56.所以数列{T n}最大项的值为56，最小项的值为－712.。
高三一轮复习第五章 第三节等比数列及其前n项和
课时作业1．(2022·三明月考)若S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n－2，则S8等于( ) A．255 B．256C．510 D．511【解析】 当n＝1时，a1＝2a1－2，据此可得：a1＝2，当n≥2时：S n＝2a n－2，S n－1＝2a n－1－2，两式作差可得：a n＝2a n－2a n－1，则：a n＝2a n－1，据此可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为：S8＝2×（1－28）1－2＝29－2＝512－2＝510．故选C．【答案】 C2．等比数列{a n}中，其公比q<0，且a2＝1－a1，a4＝4－a3，则a4＋a5等于( ) A．8 B．－8C．16 D．－16【解析】 q2＝a3＋a4a1＋a2＝4，q＝－2．a4＋a5＝(a3＋a4)q＝－8．【答案】 B3．(2022·湛江二模)已知递增的等比数列{a n}中，a2＝6，a1＋1、a2＋2、a3成等差数列，则该数列的前6项和S6＝( )A．93 B．189C．18916D．378【解析】 设数列的公比为q，由题意可知：q>1，且：2(a2＋2)＝a1＋1＋a3，即：2×(6＋2)＝6q＋1＋6q，整理可得：2q2－5q＋2＝0，则q＝2，(q＝12舍去)．则：a1＝62＝3，该数列的前6项和S6＝3×（1－26）1－2＝189．故选B．【答案】 B4．(2022·贵阳一中模拟考试)已知各项均为正数的等比数列{a n}，前3项和为13，a3＝a2·a4，则a4＝( )A．13B．19C．1 D．3 【解析】 ∵a3＝a2a4，又a n＞0，∴a3＝1，S3＝a3q2＋a3q＋1＝13，又q＞0，∴q＝13，∴a4＝a3q＝13，【答案】 A5．(2022·贵州模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝32，S3＝214，则数列{a n}的公比为( )A．2或12B．－2或－12C．－12或2 D．12或－2【解析】 设等比数列{a n}的公比为q，则a2＝a1q＝32，S3＝a1(1＋q＋q2)＝214，两式相除得（1＋q＋q2）q＝72，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝12或2．故选A．【答案】 A6．(2022·安徽淮北模拟)5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为( )A．－2120B．－2C．－2110D．－215【解析】 由题意可知设这5个数分别为a，－2a，4a，－8a，16a，a≠0，故奇数项和与偶数项和的比值为a＋4a＋16a－2a－8a＝－2110．【答案】 C7．(2022·大庆二模)已知各项均不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}为等比数列，且b7＝a7，则b1·b13＝( )A．16 B．8C．4 D．2【解析】 各项均不为0的等差数列{a n}，2a3－a27＋2a11＝0∴4a7－a27＝0，∴a7＝4b1·b13＝b27＝a27＝16．故选A【答案】 A8．(2022·山西晋中一模)已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝16，2a2＋a3＝a4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a100等于( )A．11 000 B．5 050C．5 000 D．10 000【解析】 设等比数列{a n}的公比为q，因为等比数列{a n}的各项均为正数，所以q＞0，因为2a2＋a3＝a4，所以2a2＋a2q＝a2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因为2a1＋3a2＝16，即2a1＋3a1q＝16，解得a1＝2，所以通项公式为a n＝a1q n－1＝2×2n－1＝2n，所以log2a n＝log22n＝n，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a100＝1＋2＋3＋…＋100＝（1＋100）×1002＝5050．故选B．【答案】 B9．(多选)(2022·广东肇庆模拟)已知数列{a n}是等比数列，公比为q，前n项和为S n，下列判断错误的有( )A．{1a n}为等比数列B．{log2a n}为等差数列C．{a n＋a n＋1}为等比数列D．若S n＝3n－1＋r，则r＝－1 3【解析】 令b n＝1a n，则b n＋1b n＝a na n＋1＝1q(n∈N＋)，所以{1a n}是等比数列，选项A正确；若a n＜0，则log2a n无意义，所以选项B错误；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，所以选项C 错误；若S n ＝3n －1＋r ，则a 1＝S 1＝1＋r ，a 2＝S 2－S 1＝3＋r －(1＋r )＝2， a 3＝S 3－S 2＝9＋r －(3＋r )＝6， 由{a n }是等比数列，得a 2＝a 1a 3，即4＝6(1＋r )，解得r ＝－13，所以选项D 正确．故选BC ．【答案】 BC10．(多选)(2022·浙江镇海中学模拟)设{a n }为等比数列，设S n 和T n 分别为{a n }的前n 项和与前n 项积，则下列选项正确的是( )A ．若S 2023≥S 2 022，则{S n }不一定是递增数列B ．若T 2 024≥T 2 023，则{T n }不一定是递增数列C ．若{S n }为递增数列，则可能存在a 2 022＜a 2 021D ．若{T n }是递增数列，则a 2 022＞a 2 021一定成立【解析】 对于选项A ，当{a n }为：1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…，时，S 2 023＝1，S 2 022＝0，S 2 021＝1，满足S 2 023≥S 2 022，但S 2 021＞S 2 022， 所以{S n }不是递增数列，故选项A 正确；对于选项B ，当{a n }为：1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…，时，T 2 023＝－1，T 2 024＝1，T 2 026＝－1，满足T 2 024≥T 2 023，但{T n }不是递增数列，故选项B 正确；对于选项C ，当{a n }为：1，12，14，18，…，时，S n ＝1－12n1－12＝2(1－12n )，满足{S n }为递增数列，此时a 2 022＝122 021＜a 2 021＝122 020，故选项C 正确； 对于选项D ，当{a n }为：2，2，2，…，时， T n ＝2n ，满足{T n }是递增数列，但是a 2 022＝a 2 021＝2，故选项D 不正确． 【答案】 ABC11．(2022·北京海淀高三上期末)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若－S 1、S 2、a 3 成等差数列，则数列{a n }的公比为________．【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，－S 1、S 2、a 3成等差数列，所以2S 2＝－S 1＋a 3，则2(a 1＋a 2)＝－a 1＋a 3，因此3a 1＋2a 2＝a 3，所以q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1． 【答案】 3或－112．(2022·新乡三模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N )．【解析】 很明显等比数列的公比q ≠1，则由题意可得：S 3S 6＝a 1（1－q 3）1－qa 1（1－q 6）1－q＝11＋q 3＝89，解得：q ＝12，则：a n ＋1a n －a n －1＝a n －1q 2a n －1q －a n －1＝q 2q －1＝1412－1＝－12．【答案】 －1213．(2022·石家庄二模)已知前n 项和为S n 的等比数列{a n }中，8a 2＝a 3a 4，S 5＝a 6－4． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：14≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n <12．【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，首项为a 1， 由8a 2＝a 3a 4有q 3＝a 3a 4a＝8，可得q ＝2， 又由S 5＝a 6－4，有a 1（1－25）1－2＝32a 1－4，解得a 1＝4，有a n ＝4×2n －1＝2n ＋1．故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1． (2)证明：由1an ＝(12)n ＋1，可得1a1＋1a2＋…＋1a n＝14[1－(12)n]1－12＝12－12n＋1，又n∈N*，所以12－12n＋1<12；而12－12n＋1显然随n的增大而增大，所以12－12n＋1≥14，因此14≤1a1＋1a2＋…＋1a n<12．14．(2022·威海市高三模拟)已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n3n，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【解】 (1)∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，所以a2＝4．又∵2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴a2＝2a1·(a3＋1)，即a2＝2(a2－d)·(a2＋d＋1)，解得，d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，故a n＝3n－2．(2)b n＝a n3n＝3n－23n＝(3n－2)·13n，∴T n＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n－2)×13n，①①×13得13T n＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n－5)×13n＋(3n－2)×13n＋1．②①－②得2 3 T n＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋ (3)13n－(3n－2)×13n＋1＝13＋3×132（1－13n－1）1－13－(3n－2)×13n＋1＝56－12×13n－1－(3n－2)×13n＋1，∴T n＝54－14×13n－2－3n－22×13n＝54－6n＋54×13n．。
高三数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和学案理
第五章 数列5.3 等比数列及其前n 项和（课前预习案）考纲要求：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝______________. 3．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·________ (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则__________________________．(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n } (λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．(4)单调性：⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<00<q <1⇔{a n }是________数列；⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0q >1⇔{a n }是________数列；q＝1⇔{a n }是____数列；q <0⇔{a n }是________数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1－q n 1－q ＝a 1q n －q －1＝a 1q n q －1－a 1q －1.6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为______． 自我检测1．“b ＝ac ”是“a 、b 、c 成等比数列”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－a ，数列{a n }为等比数列，则实数a 的值是 ( )A ．3B ．1C ．0D ．－13．设f (n )＝2＋24＋27＋…＋23n ＋1(n ∈N *)，则f (n )等于 ( )A.27(8n－1) B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋2－1) D.27(8n ＋3－1) 4．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －2，a ＋2，a ＋8，则a n 等于( )A ．8·⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．8·⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．8·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．8·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －15．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1 (n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.探究点一等比数列的基本量运算例1已知正项等比数列{a n}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{a n}的通项a n和前n项和S n.变式1 在等比数列{a n}中，a1＋a n＝66，a2·a n－1＝128，S n＝126，求n和q.探究点二等比数列的判定例2已知数列{a n}的首项a1＝5，前n项和为S n，且S n＋1＝2S n＋n＋5，n∈N*.(1)证明数列{a n＋1}是等比数列；(2)求{a n}的通项公式以及S n.变式2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．探究点三 等比数列性质的应用例3 在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝8，且1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝2，求a 3.变式3 (1)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，求b 5＋b 9的值； (2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.探究点四 分类讨论思想与整体思想的应用例4 设首项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为80，它的前2n 项和为6 560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列的第2n 项．巩固练习 一、选择题1．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于 ( )A.152B.314C.334D.172 2设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于 ( )A ．－11B ．－8C ．5D ．113．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和S 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．1894．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是 ( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 255．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31 D ．33 二、填空题6．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为________． 7．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________. 8．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.三、解答题9．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)求数列{2a n }的前n 项和S n .10．(12分)已知数列{log 2(a n －1)}为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5.(1)求证：数列{a n －1}是等比数列；(2)求1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n的值．11．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010.。
高考数学一轮复习第5章数列5.3等比数列及其前n项和习题课件文
5．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{an}的前 n 项和
为 Sn，若 S3＝2，S6＝18，则SS150等于(
)
A．－3 B．5 C．－31 D．33
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解析 设等比数列{an}的公比为 q，则由已知得 q≠1. ∵S3＝2，S6＝18， ∴11－－qq36＝128，得 q3＝8， ∴q＝2.∴SS150＝11－－qq150＝1＋q5＝33.故选 D.
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7．(2018·上海黄浦模拟)已知{an}是首项为 1 的等比数
列，若 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 28S3＝S6，则数列a1n的 前 4 项和为( )
A.185或 4
B.2470或 4
40 C.27
15 D. 8
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解析 设数列{an}的公比为 q. 当 q＝1 时，由 a1＝1，得 28S3＝28×3＝84，S6＝6，两 者不相等，因此不合题意． 当 q≠1 时，由 28S3＝S6及首项为 1，得2811－－qq3＝11－－qq6， 解得 q＝3. 所以数列{an}的通项公式为 an＝3n－1. 所以数列a1n的前 4 项和为 1＋13＋19＋217＝4207.
当抽去一项后所剩下的 10 项之积为 3210＝250， ∴抽去的一项为 255÷250＝25. 又因 a1·a11＝a2·a10＝a3·a9＝a4·a8＝a5·a7＝a26， ∴a1·a2·…·a11＝a161.故有 a611＝255，即 a6＝25. ∴抽出的应是第 6 项．
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(2)证明：∵n≥2 时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1， ∴4(Sn＋2－Sn＋1)－2(Sn＋1－Sn) ＝2Sn＋1－Sn－12Sn－Sn－1， ∴(Sn＋2－Sn＋1)－12(Sn＋1－Sn) ＝12Sn＋1－Sn－12Sn－Sn－1， ∴an＋2－12an＋1＝12an＋1－21an.
2021年高考数学一轮总复习 5.3等比数列及其前n项和 课时作业 文(含解析)新人教版
2021年高考数学一轮总复习 5.3等比数列及其前n项和课时作业文（含解析）新人教版一、选择题1．(xx·北京海淀一模)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S1，S2＋a2，S3成等差数列，则数列{a n}的公比为( )A．1 B．2C.12D．3解析：因为S1，S2＋a2，S3成等差数列，所以2(S2＋a2)＝S1＋S3,2(a1＋a2＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，a3＝3a2，q＝3.选D.答案：D2．(xx·湖北八市3月联考)等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )A．12 B．10C．8 D．2＋log35解析：由题意可知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18得a5a6＝a4a7＝9，而log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1.a2 (10)＝log3(a5a6)5＝log395＝log3310＝10.答案：B3．(xx·河北唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，1a 1q ＋a 1q 3＝54，2由(1)除以(2)可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入(1)得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n ＝2n －1，选D. 答案：D4．(xx·皖西七校联考)在等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为17，则S 6＝( )A.634B ．16C ．15D.614解析：由等比数列的性质知a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2. ∵a 4＋2a 7＝2×17＝34，∴a 7＝12(2×17－a 4)＝12(2×17－2)＝16.∴q 3＝a 7a 4＝162＝8，即q ＝2.由a 4＝a 1q 3＝a 1×8＝2，得a 1＝14，∴S 6＝141－261－2＝634. 答案：A5．(xx·河南适应性模拟)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 的一个可能的值是( )A.52B.12 C ．2D.32解析：由题意可设三角形的三边分别为aq，a，aq，因为三角形的两边之和大于第三边，所以有aq ＋a＞aq，即q2－q－1＜0(q＞0)，解得0＜q＜1＋52，但当q＝12时不合题意．所以q的一个可能值是32，故选D.答案：D6．(xx·四川七中4月模拟)正项等比数列{a n}满足：a3＝a2＋2a1，若存在a m，a n ，使得a m a n＝16a21，则1m＋4n的最小值为( )A.256B.134C.73D.32解析：由a3＝a2＋2a1得q2＝q＋2，∴q＝2(q＝－1舍去)，由a m a n＝16a21得2m－12n－1＝16，因为m＋n－2＝4，m＋n＝6，所以1m＋4n＝m＋n6⎝⎛⎭⎪⎫1m＋4n＝16⎝⎛⎭⎪⎫1＋4＋nm＋4mn≥16⎝⎛⎭⎪⎫5＋2nm·4mn＝32.答案：D二、填空题7．(xx·北京石景山一模)在等比数列{a n}中，a1＝2，a4＝16，则数列{a n}的通项公式a n＝__________，设b n＝log2a n，则数列{b n}的前n项和S n＝__________.解析：由题意得公比q3＝a4a1＝8，q＝2，a n＝2·2n－1＝2n.因此b n＝n，S n＝n n＋12.答案：2n n n＋128．(xx·上海嘉定一模)设等比数列{a n}的前n项和为S n，且a5＝S5，则S2 014＝__________.解析：根据数列前n项和的定义知S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝a5，故a1＋a2＋a3＋a4＝0，即a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋q)(1＋q2)＝0，从而1＋q＝0，q＝－1，所以这个等比数列的相邻两项的和都是0，所以S2 014＝0.答案：09．(xx·山东省实验中学诊断)在各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为22，则2a7＋a11的最小值是__________．解析：由题意知a4·a14＝(22)2＝a29，即a9＝2 2.设公比为q(q＞0)，所以2a7＋a11＝2a9q2＋a9q2＝42q2＋22q2≥242q2×22q2＝8，当且仅当42q2＝22q2，即q ＝42时取等号，其最小值为8.答案：8 三、解答题10．(xx·福建卷)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎨⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3.因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n b 1＋b n2＝n 2－n 2.11．(xx·重庆卷)已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0.求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解析：(1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n a 1＋a n2＝n 1＋2n －12＝n 2.(2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0， 所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列， 所以b n ＝b 1q n －1＝2·4n －1＝22n －1.从而{b n }的前n 项和T n ＝b 11－q n 1－q ＝23(4n －1)．12．(xx·山东淄博一模)在数列{a n }中，a 1＝－12，2a n ＝a n －1－n －1(n ≥2，n∈N *)，设b n ＝a n ＋n .(1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{nb n }的前n 项和T n ；(3)若c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －a n ，P n 为数列{c 2n ＋c n ＋1c 2n ＋c n }的前n 项和，求不超过P 2 014的最大的整数．解析：(1)证明：由2a n ＝a n －1－n －1两边加2n 得， 2(a n ＋n )＝a n －1＋n －1，所以a n ＋n a n －1＋n －1＝12，即b n b n －1＝12.故数列{b n }是公比为12的等比数列，其首项为b 1＝a 1＋1＝－12＋1＝12，所以b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . (2)nb n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝n2n .T n ＝12＋222＋323＋424＋…＋n －12n －1＋n2n .① 12T n ＝122＋223＋324＋425＋…＋n －12n ＋n2n ＋1.② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，所以T n ＝2－n ＋22n.(3)由(1)得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ，所以c n ＝n .c 2n ＋c n ＋1c 2n ＋c n ＝n 2＋n ＋1n 2＋n ＝1＋1n n ＋1＝1＋1n －1n ＋1. P 2 014＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋11－12＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－13＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－14＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12 014－12 015＝2 015－12 015. 所以不超过P 2 014的最大的整数是2 014.39063 9897 颗\ l Y33343 823F 舿Jt21288 5328 匨Q 33259 81EB 臫28709 7025 瀥。
高考数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和练习 理
第三节 等比数列及其前n 项和基础回顾Ｋ 一、等比数列的定义一般地，一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，即a n ＋1a n＝q (n∈N *)，则这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q≠0)．二、等比数列的通项公式若数列{a n }为等比数列，则a n ＝a 1·q n －1.三、等比数列的前n 项和公式 当q ＝1时，S n ＝na 1，当q≠1时，S n ＝a 1（1－q n）1－q ＝a 1－a n q1－q .四、等比中项如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，即G ＝±ab. 五、等比数列{}a n 的主要性质 1．a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．2．对于任意正整数m ，n ，r ，s ，只要满足m ＋n ＝r ＋s ，则a m ·a n ＝a r ·a s . 3．对于任意正整数p ，r ，s ，如果p ＋r ＝2s ，则a p ·a r ＝a 2s . 4．对任意正整数n>1，有a 2n ＝a n －1·a n ＋1. 5．对于任意非零实常数b ，{ba n }也是等比数列． 6．若{a n }，{b n }是等比数列，则{a n b n }也是等比数列． 7．等比数列{}a n 中，如果a n >0，则{log a a n }是等差数列． 8．若数列{log a a n }成等差数列，则{a n }成等比数列．9．若数列{}a n 是等比数列，则数列{a 2n }，{a 2n －1}，{a 3n －1}，{a 3n －2}，{a 3n }等都是等比数列．10．若数列{}a n 是等比数列，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等比数列，所以(S 2m －S m )2＝S m (S 3m－S 2m )．基础自测Ｋ1. 若数列{a n }是公比为4的等比数列，且a 1＝2，则数列{log 2a n }是(A ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为lg 2的等差数列 C ．公比为2的等比数列 D ．公比为lg 2的等比数列2．设数列{}a n 为公比q>1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝18．解析：∵a 4，a 5为方程4x 2－8x ＋3＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝2，a 4a 5＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝32，a 5＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝ 12，a 5＝32. 又∵q＞1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝2×32＝18.3．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为4． 解析：由a n a n ＋1＝16n得a n ＋1·a n ＋2＝16n ＋1，两式相除得：a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝16n ＋116n ＝16，∴q 2＝16，∵a n a n ＋1＝16n可知公比为正数，∴q ＝4.4．在等比数列{a n }中，2a 3－a 2a 4＝0，则a 3＝2；若{b n }为等差数列，且b 3＝a 3，则数列{b n }的前5项和等于10．解析：a 23－2a 3＝0，a 3≠0，∴a 3＝2，b 3＝2，b n 的前5项和为5（b 1＋b 5）2＝5b 3＝10.高考方向1.以选择题、填空题的形式考查等比数列的基本运算与简单性质.2.在解答题中与等差数列、数列求和等问题综合考查.品味高考1．(2014·大纲全国卷) 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于(C )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：利用等比数列的性质及对数的运算法则求解．数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg (2×5)4＝4.2．(2014·江苏卷)在各项均为正数的等比数列{}a n 中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是4．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，q ＞0，则a 8＝a 6＋2a 4，即a 4q 4＝a 4q 2＋2a 4，解得q 2＝2(舍负)，又a 2＝1，所以a 6＝a 2q 4＝4.高考测验1．在等比数列{a n }中，若a 2·a 3＝3a 1，则a 4＝3．解析：由等比数列的性质知a 2·a 3＝a 1·a 4＝3a 1，由于a 1≠0，所以a 4＝3.2．(2013·东北三省三校第一次联合模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n(n∈N *)．(1)求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23（－1）n 为等比数列，并求出{a n }的通项公式．解析：(1)在S n ＝2a n ＋(－1)n，n ≥1中分别令n ＝1，2，3得： ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2a 1－1，a 1＋a 2＝2a 2＋1，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝0，a 3＝2.(2)由S n ＝2a n ＋(－1)n ，n ≥1得：S n －1＝2a n －1＋(－1)n －1，n ≥2，两式相减得：a n ＝2a n －1－2(－1)n，n ≥2，a n ＝2a n －1－43(－1)n －23(－1)n ＝2a n －1＋43(－1)n －1－23(－1)n，a n ＋23(－1)n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －1＋23（－1）n －1(n≥2)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23（－1）n 是以a 1－23＝13为首项，公比为2的等比数列．所以a n ＋23(－1)n＝13×2n －1，即a n ＝13×2n －1－23(－1)n (n∈N *)．课时作业1．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 5＝(B ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64解析：由a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6可得a 2＋a 3a 1＋a 2＝q （a 1＋a 2）a 1＋a 2＝q ＝63＝2，将q ＝2代入a 1＋a 2＝3，得a 1＋2a 1＝3，解得a 1＝1，故a 5＝24＝16.故选B.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且9a 1，3a 2，a 3成等比数列．若a 1＝3，则a 4＝(C ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．5解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则有9(a 1＋d)2＝9a 1·(a 1＋2d)，因为a 1＝3，所以可解得d ＝0，所以{a n }为常数列，a 4＝a 1＝3.故选C.3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为(C )A.6164B.6364C.3116D.3316 解析：∵a 1＝1，9S 3＝S 6，∴q ≠1.则9·1－q 31－q ＝1－q 61－q ，得q 3＝1(舍)，q 3＝8，∴q ＝2，∴1a n ＝12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.故选C. 4．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴……如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂(B )A.6（66－1）6－1只 B ．66只C ．63只 D ．62只解析：从第一天起，每一天归巢后，蜂巢中的蜜蜂数依次为：6，62，63，…，这是一个等比数列，首项为6，公比为6，所以第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂66只．故选B.5．等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝304xdx ，则公比q 的值为(C )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：S 3＝34xdx ＝2x 2|30＝2×32－0＝18，由题知，a 1q 2＝6，① a 1＋a 1q ＝12，②②式除以①式得1q 2＋1q ＝2，解得q ＝1或－12，故选C.6．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f(a n )}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x 2；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln |x|. 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 (C ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 解析：等比数列性质，a n a n ＋2＝a 2n ＋1， ①f(a n )f(a n ＋2)＝a 2n a 2n ＋2＝(a 2n ＋1)2＝f 2(a n ＋1)；②f(a n )f(a n ＋2)＝2a n 2a n ＋2＝2a n ＋a n ＋2≠22a n ＋1＝f 2(a n ＋1)； ③f(a n )f(a n ＋2)＝|a n a n ＋2|＝|a n ＋1|2＝f 2(a n ＋1)；④f(a n )f(a n ＋2)＝ln|a n |ln|a n ＋2|≠(ln|a n ＋1|)2＝f 2(a n ＋1)．故选C.7．(2013·北京卷)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝2；前n 项和S n ＝2n ＋1－2．解析：设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 1（1－q n）1－q＝2n ＋1－2.8．如果数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1，…是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 5＝32．解析：∵a n a n －1＝a 1(－2)n －1＝(－2)n －1，∴a 5＝a 5a 4·a 4a 3·a 3a 2·a 2a 1＝(－2)4＋3＋2＋1＝32.9．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lna n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值为132．解析：由题知，b 3＝18＝ln a 3，a 3＝e 18，b 6＝12＝ln a 6，a 6＝e 12，a 6a 3＝q 3＝e －6，q ＝e －2，则a 1＝e 22，则b 1＝22，b 2＝20，b n ＝22＋(n －1)·(－2)，n ＝12时，b n ＝0，则S 12最大为132.10．(2013·陕西卷)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q≠1, 证明数列{a n ＋1}不是等比数列． (1)解析：分两种情况讨论．①当q ＝1时，数列{a n }是首项为a 1的常数数列，所以S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1. ②当q≠1时，数列S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ⇒qS n ＝qa 1＋qa 2＋…＋qa n －1＋qa n . 上面两式错位相减：(1－q)S n ＝a 1＋(a 2－qa 1)＋(a 3－qa 2)…＋(a n －qa n －1)－qa n ＝a 1－qa n . ⇒S n ＝a 1－qa n 1－q ＝a 1（1－q n）1－q .③综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.(2)证明：使用反证法．设{a n }是公比q≠1的等比数列， 假设数列{a n ＋1}是等比数列．则①当∃n ∈N *，使得a n ＋1＝0成立，则{a n ＋1}不是等比数列．②当∀n ∈N *，使得a n ＋1≠0成立，则a n ＋1＋1a n ＋1＝a 1q n＋1a 1q n －1＋1＝恒为常数⇒a 1q n ＋1＝a 1q n －1＋1⇒当a 1≠0时，q ＝1.这与题目条件q≠1矛盾．③综上两种情况，假设数列{a n ＋1}是等比数列均不成立，所以当q≠1时， 数列{a n ＋1}不是等比数列．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若p，q，r是三个互不相等的正整数，且p，q，r成等差数列，试判断a p－1，a q－1，a r－1是否成等比数列？并说明理由．解析：(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋n a n＝(n－1)S n＋2n，∴当n＝1时，有a1＝(1－1)S1＋2，解得a1＝2.由a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n，①a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＋(n＋1)a n＋1＝nS n＋1＋2(n＋1)，②②－①得：(n＋1)a n＋1＝nS n＋1－(n－1)S n＋2.③由③式得：(n＋1)a n＋1＝nS n＋1－(n－1)S n＋2＝n(S n＋1－S n)＋S n＋2，得a n＋1＝S n＋2.④当n≥2时a n＝S n－1＋2，⑤④－⑤得：a n＋1＝2a n.由a1＋2a2＝S2＋4，得a2＝4，又a2＝2a1，∴a1＝2.∴数列{a n}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列．∴a n＝2n.(2)a p－1，a q－1，a r－1不是等比数列．理由如下：∵p，q，r成等差数列，∴p＋r＝2q.假设a p－1，a q－1，a r－1成等比数列，则(a p－1)(a r－1)＝(a q－1)2，即(2p－1)(2r－1)＝(2q－1)2，化简得：2p＋2r＝2×2q.(*)∵p≠r，∴2p＋2r＞22p×2r＝2×2q，这与(*)式矛盾，故假设不成立．∴a p－1，a q－1，a r－1不是等比数列．。
高中数学高考一轮复习一轮复习 第三节 等比数列及其前n项和
课时作业(三十五) 等比数列及其前n 项和1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 6＋a 8a 3＋a 5 ＝127 ，则a 6的值为( )A ．127B ．181C ．1243D ．1729C [设等比数列{a n }的公比为q ，由a 6＋a 8a 3＋a 5 ＝q 3＝127 ⇒q ＝13 ，所以a 6＝a 1·q 5＝1243 .故选C.]2．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11C [由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9， ∴m ＝10.]3．(多选)记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＝10，a 2a 3a 4＝64，则( ) A ．S n ＋1－S n ＝2n ＋1 B ．a n ＝2n －1 C ．S n ＝2n －1D ．S n ＝2n －1－1BC [由a 2a 3a 4＝64得a 33 ＝43，则a 3＝4.设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由a 2＋a 4＝10，得4q ＋4q ＝10，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12 .又因为数列{a n }单调递增，所以q ＝2，所以2a 1＋8a 1＝10，解得a 1＝1.所以a n ＝2n －1，S n ＝1×（1－2n ）1－2＝2n －1，所以S n ＋1－S n ＝2n ＋1－1－(2n －1)＝2n .故选BC.]4．(2023·全国卷Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n ＝( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1D ．21－n －1B [法一：设等比数列{a n }的公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12，a 6－a 4＝a 1q 5－a 1q 3＝24 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2n －1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1，所以S na n＝2n －12n －1 ＝2－21－n ，故选B. 法二：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 6－a 4a 5－a 3 ＝a 4（1－q 2）a 3（1－q 2）＝a 4a 3 ＝2412 ＝2，所以q ＝2，所以S na n ＝a 1（1－q n ）1－q a 1q n －1＝2n －12n －1 ＝2－21－n ，故选B.] 5．(多选)(2023·江苏省邗江中学高二月考)已知等比数列{a n }中，满足a 1＝1，q ＝2，S n 是{a n }的前n 项和，则下列说法正确的是( )A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是递增数列C ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{a n }中，S 10，S 20，S 30仍成等比数列AC [等比数列{a n }中，满足a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝2n －1，所以a 2n ＝22n －1，所以数列{a 2n }是等比数列，故A 正确；又1a n ＝12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12 n －1 ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是递减数列，故B 不正确；因为log 2a n ＝log 22n －1＝n －1，所以{log 2a n }是等差数列，故C 正确；数列{a n }中，S 10＝1－2101－2 ＝210－1，S 20＝220－1，S 30＝230－1，S 10，S 20，S 30不成等比数列，故D 不正确；故选AC.]6．等比数列{a n }中，a 1＝2 ，a 2＝33 ，则a 2＋a 2023a 8＋a 2023 ＝________，a 1a 2a 3a 4＝________．解析： 因为等比数列{a n }中，a 1＝2 ，a 2＝33 ， 所以q ＝a 2a 1 ＝332，所以a 2＋a 2023a 8＋a 2023 ＝a 2＋a 2023（a 2＋a 2023）q 6 ＝1q 6＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫3326 ＝89 ， a 1a 2a 3a 4＝a 41·q 6＝(2 )4·⎝ ⎛⎭⎪⎫332 6＝4×98 ＝92 .答案： 89 ；927．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 021＝________．解析： ∵a 2＋a 4＝－2a 3，∴a 2＋a 4＋2a 3＝0，a 2＋2a 2q ＋a 2q 2＝0， ∵a 2≠0，∴q 2＋2q ＋1＝0，解得q ＝－1. ∵a 1＝2 020，∴S 2 021＝a 1（1－q 2 021）1－q ＝2 020×[1－（－1）2 021]2 ＝2 020.答案： 2 0208.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________． 解析： 由题意，得正方形的边长构成以22 为首项，以22为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，∴n ＝10，∴最小正方形的边长为22 ×⎝⎛⎭⎫22 9 ＝132 . 答案：1329．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝4a n －p ，其中p 为非零常数． (1)求证：数列{a n }为等比数列； (2)若a 2＝43，求{a n }的通项公式．解析： (1)证明：当n ＝1时，S 1＝4a 1－p ，得a 1＝p3 ≠0，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(4a n －p )－(4a n －1－p )＝4a n －4a n －1， 得3a n ＝4a n －1，即a n a n －1 ＝43，因而数列{a n }是首项为p 3 ，公比为43的等比数列．(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝p 3 ×⎝⎛⎭⎫43 n －1 ，又a 2＝43 ，可知p ＝3，于是a n ＝⎝⎛⎭⎫43 n －1 .10．在等比数列{a n }中，a 1＝6，a 2＝12－a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝66，求m . 解析： (1)设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1＝6，a 2＝12－a 3，∴6q ＝12－6q 2，解得q ＝－2或q ＝1，∴a n ＝6×(－2)n －1或a n ＝6. (2)①若a n ＝6×(－2)n －1，则S n ＝6×[1－（－2）n ]3 ＝2[1－(－2)n ]，由S m ＝66，得2[1－(－2)m ]＝66，解得m ＝5. ②若a n ＝6，q ＝1，则{a n }是常数列， ∴S m ＝6m ＝66，解得m ＝11. 综上，m 的值为5或11.11．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这3个数可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．7B ．8C ．9D ．10C [因为a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，所以a ＋b ＝p ，ab ＝q .因为p ＞0，q ＞0，所以a ＞0，b ＞0，又a ，b ，－2这3个数可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a －2，ab ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b －2，ab ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4 (负值已舍去).所以p ＝a ＋b ＝5，q ＝1×4＝4，所以p＋q ＝9.故选C.]12．(多选)(2023·江苏南京高三期中)已知等比数列{a n }的公比q ＝－23 ，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9·a 10＜0B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 10AD [数列{a n }是公比q 为－23 的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则a 9＝a 1⎝⎛⎭⎫－23 8，a 10＝a 1⎝⎛⎭⎫－23 9， ∴a 9·a 10＝a 21⎝⎛⎭⎫－23 17＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1⎝⎛⎭⎫－23 8＞12＋8d ，a 1⎝⎛⎭⎫－23 9＞12＋9d ， 由于a 9，a 10异号，因此a 9＜0或a 10＜0， 故b 9＜0或b 10＜0，且b 1＝12.可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选AD.]13．已知数列{a n }是等比数列，公比q <1，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 3＝7. (1)求{a n }的通项公式；(2)设m ∈Z ，若S n <m 恒成立，求m 的最小值．解析： (1)由a 2＝2，S 3＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12 或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2 (舍去).所以a n ＝4·⎝⎛⎭⎫12 n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －3.(2)由(1)可知，S n ＝a 1（1－q n）1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝8⎝⎛⎭⎫1－12n <8. 因为a n >0，所以S n 单调递增． 又S 3＝7，所以当n ≥4时，S n ∈(7，8). 又S n <m 恒成立，m ∈Z ，所以m 的最小值为8. 14．(开放型)在①a n ＋1a n ＝－12 ，②a n ＋1－a n ＝－16，③a n ＋1＝a n ＋n －8这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的S n 存在最大值，则求出最大值；若问题中的S n 不存在最大值，请说明理由．问题：设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝4，________，求{a n }的通项公式，并判断S n 是否存在最大值．解析： 选①因为a n ＋1a n ＝－12 ，a 1＝4，所以{a n }是首项为4.公比为－12 的等比数列，所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫－12 n －1＝⎝⎛⎭⎫－12 n －3.当n 为奇数时，S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n1＋12＝83 ⎝⎛⎭⎫1＋12n ， 因为83 ⎝⎛⎭⎫1＋12n 随着n 的增加而减少， 所以此时S n 的最大值为S 1＝4.当n 为偶数时，S n ＝83 ⎝⎛⎭⎫1－12n ， 且S n ＝83 ⎝⎛⎭⎫1－12n ＜83 ＜4. 综上，S n 存在最大值，且最大值为4. 选②因为a n ＋1－a n ＝－16 ，a 1＝4.所以{a n }是首项为4，公差为－16 的等差数列，所以a n ＝4＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－16 ＝－16 n ＋256 . 由－16 n ＋256≥0得n ≤25，所以S n 存在最大值．且最大值为S 25(或S 24)，因为S 25＝25×4＋25×242 ×⎝⎛⎭⎫－16 ＝50，所以S n 的最大值为50.选③因为a n ＋1＝a n ＋n －8，所以a n ＋1－a n ＝n －8， 所以a 2－a 1＝－7，a 3－a 2＝－6，…a n －a n －1＝n －9，则a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －a n －1＝（－7＋n －9）（n －1）2 ＝n 2－17n ＋162 ，又a 1＝4，所以a n ＝n 2－17n ＋242 .当n ≥16时，a n ＞0， 故S n 不存在最大值．15．(多选)(2023·山东枣庄期中)将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如下：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中m >0).已知a 11＝2，a 13＝a 61＋1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有( )A ．m ＝3B ．a 67＝17×37C ．a ij ＝(3i －1)×3j －1D ．S ＝14n (3n ＋1)(3n －1)ACD [由题意可得，a 13＝a 11m 2＝2m 2，a 61＝a 11＋5m ＝2＋5m ，所以2m 2＝2＋5m ＋1，解得m ＝3或m ＝－12(舍去)，所以A 正确．由题意，得a 67＝a 61m 6＝(2＋3×5)×36＝17×36，所以B 错误．因为a ij ＝a i 1m j －1＝[a 11＋(i －1)×m ]×m j －1＝[2＋(i －1)×3]×3j －1＝(3i －1)×3j －1，所以C 正确．因为S ＝(a 11＋a 12＋…＋a 1n )＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )＋…＋(a n 1＋a n 2＋…＋a nn )＝a 11（1－3n ）1－3 ＋a 21（1－3n ）1－3 ＋…＋a n 1（1－3n ）1－3＝12 (3n －1)（2＋3n －1）n 2 ＝14n (3n ＋1)(3n －1)，所以D 正确，故选ACD.]16．(2023·广东梅州质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S n ＝λa n －1(λ为常数).若数列{b n }满足a n b n＝－n 2＋9n －20，且b n ＋1<b n ，则满足条件的n 的取值集合为________．解析： 当n ＝1时，a 1＝S 1＝λa 1－1.又a 1＝1，所以λ－1＝1，解得λ＝2.所以S n ＝2a n －1，所以S n －1＝2a n－1－1(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1又a n b n＝－n 2＋9n －20，所以b n ＝－n 2＋9n －202n －1，所以b n ＋1－b n ＝－（n ＋1）2＋9（n ＋1）－202n －－n 2＋9n －202n －1＝n 2－11n ＋282n <0.又2n >0，所以n 2－11n ＋28＝(n －4)(n －7)<0，解得4<n <7又n ∈N ，所以满足条件的n 的取值集合为{5，6} 答案： {5，6}。
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第五章§３：等比数列及其前n 项和
(与一轮复习课件对应的课时训练)
满分100，训练时间45钟
一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a>0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与a 5的大小关系是
A ．a 3＋a 7>2a 5
B ．a 3＋a 7<2a 5
C ．a 3＋a 7＝2a 5
D ．a 3＋a 7与2a 5的大小与a 有关
2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q 等于
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于
A ．80
B ．30
C ．26
D ．16
4．已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，其公比q ≠1，且b i >0(i ＝1,2,3，…)，若a 2＝b 2，a 8＝b 8，则 A ．a 5＝b 5
B ．a 5>b 5
C ．a 5<b 5
D ．a 5>b 5或a 5<b 5
5．若“＃”表示一种运算，其运算法则如下：
(1)1＃1＝2；
(2)(n ＋1)＃1＝2(n ＃1)＋1，(n ∈N *)． 则按照这种运算法则，n ＃1等于
A ．2n －1
B ．2n
C ．2n
D ．3·2n －
1－1
二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
6．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝4a 25，
a 2＝2，则{a n }的前5项和S 5等于______．
7．已知实数列{a n }中，a 1＝1，a 6＝32，a n ＋2＝a 2
n ＋1
a n
，把数列{a n }的各项排成如图所示
的三角形状，记A(m ，n)为第m 行从左起第n 个数，则A(12,5)＝________. 8．为了观看2014年在韩国仁川举办的第17届亚运会，小王从2009年1月1日起， 每年到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，若到2014年1月1日他将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为______万元．
三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）
已知等比数列{a n }中，a 2＝32，a 8＝1
2，a n ＋1<a n .
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求T n 的最大值及相应的n 值．
10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）
已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝
a n ＋a n ＋1
2
，n ∈N *. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．
参考答案及其解析
一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.
1．解析：依题意a n ＝a n ，所以{a n }是等比数列，则a 3a 7＝a 25，因为a ≠1， 所以a 3＋a 7>2a 3a 7＝2a 5. 答案：A
2．解析：两式相减得，3a 3＝a 4－a 3，a 4＝4a 3，∴q ＝a 4
a 3
＝4.
答案：B
3．解析：由题得S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 成等比数列，设公比为q ，则q>0， ∵S 3n ＝2＋2q ＋2q 2＝14，∴q 2＋q －6＝0，∴q ＝2，∴S 4n －S 3n ＝2q 3＝16，∴S 4n ＝30. 答案：B
4．解析：由题意不妨设d>0，q>1.a n 是关于n 的一次函数形式，b n 是关于n 的指数函数形式，在同一坐标系中分别作出它们的图象(如图)，故a 5>b 5. 答案：B
5．解析：设n#1＝a n ，则a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋1，即
a n ＋1＋1
a n ＋1
＝2，所以{a n ＋1}为等比数列，首项为a 1＋1＝3，公比为2.所以a n ＋1＝3·2n －
1，所以a n ＝3·2n －
1－1. 答案：D
二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
6．解析：因为a 3a 9＝4a 25，所以q 2＝4，又q>0，所以q ＝2，又a 2＝2，
所以a 1＝1，S 5＝1－25
1－2＝31.
答案：31
7．解析：由题意，第1行1个数，第2行3个数，第3行5个数，所以第12行第5个数应是a 126，又{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a 126＝2125. 答案：2125
8．解析：从后向前考虑，因2014年不再存款，故可取回的钱的总数为：
(1＋p)＋(1＋p)2
＋…＋(1＋p)5
＝(1＋p )[(1＋p )5－1]p ＝1
p
[(1＋p)6－(1＋p)]
答案：1
p
[(1＋p)6－(1＋p)]
三、解答题：本大题共2小题，共36分．
9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）
解：(1)设公比为q ，则q 6＝a 8a 2＝164，a n ＋1<a n ，所以q ＝12.于是a 1＝a 2
q ＝64.
所以，通项公式为a n ＝64·(12
)n －1＝27－
n (n ∈N *)．
(2)设b n ＝log 2a n ，则b n ＝log 227－
n ＝7－n.所以，数列{b n }是以首项为6，公差为－1的等
差数列．T n ＝6n ＋n (n －1)2(－1)＝－12n 2＋132n ＝－12(n －132)2＋169
8.由n 是自然数，知n ＝6
或n ＝7时，T n 最大，其最值为T 6＝T 7＝21.
10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）
解：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝
a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－1
2
b n －1， 所以{b n }是以1为首项，－1
2为公比的等比数列．
(2)解：由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12
)n －
1，
当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －
2
＝1＋1－(－12)n －
1
1－(－12)
＝1＋23[1－(－12)n －
1]
＝53－23(－12
)n －
1， 当n ＝1时，53－23(－12)1－
1＝1＝a 1.
所以a n ＝53－23(－12
)n －
1(n ∈N *)．。