2015届九年级中考总复习(华师大版)精练精析：十二、不等式与不等式组2(14页,考点+分析+点评)

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2015届中考数学总复习六分式精练精析1 华东师大版

数与式——分式1一．选择题（共9小题）1．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（）A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）•x%D．（2+x%）•x%2．下列三个分式、、的最简公分母是（）A．4（m﹣n）x B．2（m﹣n）x2C．D．4（m﹣n）x23．化简÷的结果是（）A．m B．C．m﹣1 D．4．化简的结果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x5．化简：﹣=（）A．0 B．1 C．x D．6．若（+）•w=1，则w=（）A．a+2（a≠﹣2）B．﹣a+2（a≠2）C．a﹣2（a≠2） D．﹣a﹣2（a≠﹣2）7．已知：a2﹣3a+1=0，则a+﹣2的值为（）A．+1 B．1 C．﹣1 D．﹣58．当a=2时，÷（﹣1）的结果是（）A．B．﹣C．D．﹣9．一个代数式的值不能等于零，那么它是（）A．a2B．a0C．D．|a|二．填空题（共7小题）10．若分式有意义，则实数x的取值X围是_________ ．11．代数式有意义时，x应满足的条件为_________ ．12．若分式的值是0，则x的值为_________ ．13．化简：=．_________ ．14．计算：÷= _________ ．15．计算：= _________ ．16．化简：= _________ ．三．解答题（共8小题）17．先化简，再求值：•，其中x=2+，y=2﹣．18．计算：•．19．计算：•．20．计算（﹣）÷．21．计算：（﹣）÷．22．化简：（x2﹣2x）÷．23．已知非零实数a满足a2+1=3a，求的值．24．先化简，再求值：÷（2+），其中x=﹣1．数与式——分式1参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（）A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）•x%D．（2+x%）•x%考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：根据题意列出正确的算式即可．解答：解：根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了（2+x%）•x%，故选D点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．下列三个分式、、的最简公分母是（）A．4（m﹣n）x B．2（m﹣n）x2C D．4（m﹣n）x2考点：最简公分母．分析：确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．解答：解：分式、、的分母分别是2x2、4（m﹣n）、x，故最简公分母是4（m﹣n）x2．故选：D．点评：本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．3．化简÷的结果是（）A．m B．C．m﹣1 D．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=•=m．故选：A．点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．化简的结果是（）A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．解答：解：=﹣===x，故选：D．点评：本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．5．化简：﹣=（）A．0 B1 C．x D．考点：分式的加减法．分析：原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．解答：解：原式==x．故选：C点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．若（+）•w=1，则w=（）A．a+2（a≠﹣2）B．﹣a+2（a≠2） C．a﹣2（a≠2）D．﹣a﹣2（a≠﹣2）考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式变形后，计算即可确定出w．解答：解：根据题意得：w===﹣（a+2）=﹣a﹣2．故选：D．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．已知：a2﹣3a+1=0，则a+﹣2的值为（）A．+1 B．1 C．﹣1 D．﹣5考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：已知等式变形求出a+的值，代入原式计算即可得到结果．解答：解：∵a2﹣3a+1=0，且a≠0，∴同除以a，得a+=3，则原式=3﹣2=1，故选：B．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．当a=2时，÷（﹣1）的结果是（）A．B．﹣ C D．﹣考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：通分、因式分解后将除法转化为乘法约分即可．解答：解：原式=÷=•=，当a=2时，原式==﹣．故选：D．点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解和分式除法是解题的关键．9．一个代数式的值不能等于零，那么它是（）A．a2B．a0C D．|a|考点：零指数幂；绝对值；有理数的乘方；算术平方根．分析：根据非0的0次幂等于1，可得答案．解答：解：A、当a=0时，a2=0，故A错误；B、a0=1（且a≠0），故B正确；C、当a=0时，=0，故C错误；D、当a=0时，|a|=0，故D错误．故选：B．点评：本题考查了零指数幂，非0的0次幂等于1是解题关键．二．填空题（共7小题）10．若分式有意义，则实数x的取值X围是x≠5．考点：分式有意义的条件．专题：计算题．分析：由于分式的分母不能为0，x﹣5为分母，因此x﹣5≠0，解得x．解答：解：∵分式有意义，∴x﹣5≠0，即x≠5．故答案为：x≠5．点评：本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．11．代数式有意义时，x应满足的条件为x≠±1．考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义，分母等于0列出方程求解即可．解答：解：由题意得，|x|﹣1≠0，解得x≠±1．故答案为：x≠±1．点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．12．若分式的值是0，则x的值为 2 ．考点：分式的值为零的条件．分析：根据分式的值为零的条件得到x﹣2=0且x≠0，易得x=2．解答：解：∵分式的值是0，∴x﹣2=0且x≠0，∴x=2．故答案为：2．点评：本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．13．化简：=．a+b ．考点：约分．分析：先将分式的分子因式分解，再约分，即可求解．解答：解：==．故答案为：a+b．点评：本题考查了约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．14．计算：÷=．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=•=．故答案为：．点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．计算：= a﹣2 ．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：根据同分母分式加减运算法则，分母不变只把分子相加减即可求解．解答：解：==a﹣2．故答案为：a﹣2．点评：本题主要考查同分母分式加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．化简：= x+2 ．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解．解答：解：+=﹣==x+2．故答案为：x+2．点评：本题考查了分式的加减法，把互为相反数的分母化为同分母是解题的关键．三．解答题（共8小题）17．先化简，再求值：•，其中x=2+，y=2﹣．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：将原式第一个因式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，第二个因式通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子提取﹣1并利用平方差公式分解因式，约分得到最简结果，然后将x与y的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．解答：解：原式=•=•（﹣）=4xy•=，则当x=2+，y=2﹣时，原式==﹣=﹣4．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找出最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分，此外化简求值题要先化简再代值．18．计算：•．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：原式约分即可得到结果．解答：解：原式=•=．点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．计算：•．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：把式子中的代数式进行因式分解，再约分求解．解答：解：•=•=x点评：本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是进行因式分解再约分．20．计算（﹣）÷．考点：分式的混合运算．分析：首先把除法运算转化成乘法运算，然后找出最简公分母，进行通分，化简．解答：解：原式=（﹣）•=（﹣）•（﹣），=﹣•，=﹣．点评：此题主要考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．21．计算：（﹣）÷．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式括号中两项利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=•=x﹣1．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．化简：（x2﹣2x）÷．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=x（x﹣2）•=x．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．已知非零实数a满足a2+1=3a，求的值．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：已知等式两边除以a变形后求出a+的值，两边平方，利用完全平方公式展开即可求出所求式子的值．解答：解：∵a2+1=3a，即a+=3，∴两边平方得：（a+）2=a2++2=9，则a2+=7．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．先化简，再求值：÷（2+），其中x=﹣1．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解，约分后得到原式=，再把x的值代入计算．解答：解：原式=÷=÷=•=，当x=﹣1时，原式==．点评：本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．。

华东师大初中数学中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解(提高)

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式. 4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效= 工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率=比率部分全体=； (4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)2b x b ac a-±=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解. （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是： ①去分母，方程两边都乘以最简公分母； ②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”. 3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a ≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y kx b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x -=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由．【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小．【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0．由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大．【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想．举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>->∴A>C>B【高清课程名称：方程与不等式综合复习高清ID 号： 405277 关联的位置名称（播放点名称）：例3】【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名?【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110．故今年最少可招收“宏志班”学生110名．【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤? 【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得 478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式；（2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可．【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程，∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0. ∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象， ∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交， ∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4. ∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.【总结升华】. 举一反三：【变式1】（2014秋•天河区期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根， ∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0， ∴k≤3．又∵k 为正整数， ∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去．当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【高清课程名称：方程与不等式综合复习高清ID 号： 405277关联的位置名称（播放点名称）：例5】【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x （1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。

中考数学总复习十二不等式与不等式组精练精析2华东师大版

最新华东师大初中数学中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解(基础)

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式. 4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程. (2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a c x x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是： ①去分母，方程两边都乘以最简公分母； ②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1. 4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集. 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集. （2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集. 要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，已知函数y ＝ax+b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于,y ax b y kx=+⎧⎨=⎩的二元一次方程组的解是________．【思路点拨】两图象的交点就是方程组的解. 【答案】4,2x y =-⎧⎨=-⎩【解析】由图象可知y ＝ax+b 与y ＝kx 的交点P 的坐标为(-4，-2)，所以二元一次方程组,y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解为4,2.x y =-⎧⎨=-⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透，平时应加强这方面的练习与思考．举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x ．（1）求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线()31+-=x m y 与函数m x y +=2的图象的一个交点的横坐标为2，求关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x 的解．【答案】（1）证明：()[]()3412----=∆m m124122+-+-=m m m 1362+-=m m ()432+-=m∵不论m 取何值时，()032≥-m ∴()0432>+-m ，即0>∆∴不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根.. （2）将2=x 代入方程()0312=-+--m x m x ，得3=m再将3=m 代入，原方程化为022=-x x ，解得2,021==x x ．2．已知: 关于x 的一元一次方程kx =x +2 ①的根为正实数，二次函数y =ax 2-bx +kc （c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1.（1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；（2）求代数式akcab b kc +-22)(的值；（3）求证: 关于x 的一元二次方程ax 2-bx +c =0 ②必有两个不相等的实数根. 【思路点拨】（1）根据一元一次方程及根的条件，求k 的值；（2）把交点坐标代入二次函数的解析式求出值；（3）根据根的判别式和一元一次方程的根为正实数得出x 有两不相等的实数根．【答案与解析】（1）解：由 kx =x +2，得(k -1) x =2.依题意 k -1≠0.∴ 12-=k x .∵ 方程的根为正整数，k 为整数, ∴ k -1=1或k -1=2. ∴ k 1= 2, k 2=3.（2）解：依题意，二次函数y=ax 2-bx+kc 的图象经过点（1，0）， ∴ 0 =a-b+kc, kc = b-a .∴222222222a ab ab b a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()(=.122-=--a ab aba（3）证明：方程②的判别式为 Δ=(-b)2-4ac= b 2-4ac.由a ≠0, c ≠0, 得ac ≠0.( i ) 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b 2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.Δ=b 2-4ac= (a+kc)2-4ac=a 2+2kac+(kc)2-4ac = a 2-2kac+(kc)2+4kac-4ac=(a-kc)2+4ac(k-1).∵ 方程kx=x+2的根为正实数， ∴ 方程(k-1) x=2的根为正实数.由 x>0, 2>0, 得 k-1>0. ∴ 4ac(k-1)>0.∵ (a-kc)2≥0,∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,∵ 抛物线y=ax 2-bx+kc 与x 轴有交点,∴ Δ1=(-b)2-4akc =b 2-4akc ≥0. (b 2-4ac)-( b 2-4akc)=4ac(k-1).由证法一知 k-1>0,∴ b 2-4ac> b 2-4akc ≥0.∴ Δ= b 2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根. 【总结升华】方程与函数综合题. 中考所考知识点的综合与相互渗透. 举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程0)2()1(22=+---m m x m x .（1）若x=－2是这个方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根；（2）求证：对于任意实数m ，这个方程都有两个不相等的实数根. 【答案】（1）解：把x =－2代入方程，得0)2()2()1(24=+--⋅--m m m ，即022=-m m .解得01=m ，22=m .当0=m 时，原方程为022=+x x ，则方程的另一个根为0=x .当2=m 时，原方程为0822=+-x x ，则方程的另一个根为4=x . （2）证明：[][])2(4)1(22+-⨯---m m m 482+=m ，∵对于任意实数m ，02≥m ， ∴0482>+m .∴对于任意实数m ，这个方程都有两个不相等的实数根.类型二、解不等式（组）3．（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【答案与解析】解：，∵解不等式①得：x ≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x ≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：【总结升华】注意解不等式组的解题步骤，在数轴上表示不等式组时，能根据不等式的解集找出不等式组的解集．举一反三：【变式】（2014•泗县校级模拟）求不等式组的整数解，并在数轴上表示出来．【答案】解：，由①得：x ＞﹣2，由②得：x≤6，∴不等式组的解集是：﹣2＜x≤6．∴整数解是：﹣1，0，1，2，3，4，5，6．在数轴上表示出来为：．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．如果关于x 的方程22124x m x x +=--的解也是不等式组12,22(3)8xx x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的一个解，求m 的取值范围．【思路点拨】解方程求出x 的值（是用含有m 的式子表示的），再解不等式组求出x 的取值范围，最后方程的解与不等式组的解结合起来求m 的取值范围. 【答案与解析】解方程22124x mx x +=--，得x ＝-m-2．因为24(4)x m m -=+，所以m ≠-4且m ≠0时，有240x -≠．所以方程22124x mx x +=--的解为x ＝-m-2．其中m ≠-4且m ≠0．解不等式组12,22(3)8,xx x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩得x ≤-2．由题意，得-m-2≤-2，解得m ≥0．所以m 的取值范围是m ＞0．【总结升华】方程与不等式的综合题，是中考考查的重点之一．举一反三：【高清课程名称：方程与不等式综合复习高清ID 号： 405277 关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式】如果不等式组2223xa xb ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，那么a b +的值为．【答案】解不等式组得：34-22b a x +≤＜，因为不等式组2223x a x b ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，所以4-20312a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得21a b =⎧⎨=-⎩所以1a b +=.5．某采摘农场计划种植B A 、两种草莓共6亩，根据表格信息，解答下列问题：(1)若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为46000O 元，那么B A 、两种草莓各种多少亩? (2)若要求种植A 种草莓的亩数不少于种植B 种草莓的一半，那么种植A 种草莓多少亩时，可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多? 【思路点拨】（1）根据等量关系：总收入=A 地的亩数×年亩产量×采摘价格+B 地的亩数×年亩产量×采摘价格，列方程求解；项目品种 A B 年亩产（单位：千克）1200 2000 采摘价格（单位：元/千克）6040（2）这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，根据题意确定自变量的取值范围，由函数y 随x 的变化求出最大利润．【答案与解析】设该农场种植A 种草莓x 亩，B 种草莓)6(x -亩依题意，得：460000)6(200040120060=-⨯+⨯x x 解得：5.2=x , 5.36=-x (2)由)6(21x x -≥，解得2≥x 设农场每年草莓全部被采摘的收入为y 元，则：4800008000)6(200040120060+-=-⨯+⨯=x x x y ∴当2=x 时，y 有最大值为464000答：(l)A 种草莓种植2.5亩, B 种草莓种植3.5亩．(2)若种植A 种草莓的亩数不少于种植B 种草莓的一半，那么种植A 种草莓2亩时，可使农场每年草莓全部被采摘的总收入最多.【总结升华】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y 随x 的变化，结合自变量的取值范围确定最值．举一反三：【变式】某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装8吨甲种苹果，或10吨乙种苹果，或11吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须满载．已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨，且每种苹果不少于一车．（1）设用x 辆车装甲种苹果，y 辆车装乙种苹果，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示：苹果品种甲乙丙每吨苹果所获利润（万元）0.220.210.2设此次运输的利润为W （万元），问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润W 最大，并求出最大利润．【答案】（1）∵ 81011(10)100x y x y ++--=，∴ y 与x 之间的函数关系式为 310y x =-+． ∵ y ≥1，解得x ≤3．∵ x ≥1，10x y --≥1，且x 是正整数，∴ 自变量x 的取值范围是x =1或x =2或x =3．（2）80.22100.2111(10)0.20.1421W x y x y x =⨯+⨯+--⨯=-+．因为W 随x 的增大而减小，所以x 取1时，可获得最大利润，此时20.86W =（万元）．获得最大运输利润的方案为：用1辆车装甲种苹果，用7辆车装乙种苹果，2辆车装丙种苹果．类型四、用不等式（组）解决决策性问题6．为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；造型甲乙 A90盆 30盆 B 40盆 100盆综合上述信息，解答下列问题：(1)符合题意的搭配方案有哪儿种?(2)若搭配一个A 种造型的成本为1000元，搭配一个B 种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?【思路点拨】本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．【答案与解析】解：(1)设搭配x 个A 种造型，则需要搭配(50-x)个B 种造型，由题意，得9040(50)3600,30100(50)2900,x x x x +-≤⎧⎨+-≤⎩解得30≤x ≤32．所以x 的正整数解为30，31，32．所以符合题意的方案有3种，分别为：A 种造型30个，B 种造型20个；A 种造型31个，B 种造型19个；A 种造型32个，B 种造型18个．(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.所以第三种方案成本最低．【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．举一反三：【高清课程名称：方程与不等式综合复习高清ID 号： 405277关联的位置名称（播放点名称）：例4】【变式】某商场“家电下乡”指定型号冰箱，彩电的进价和售价如下表所示：（1）按国家政策，购买“家电下乡”产品享受售价13％的政府补贴.若到该商场购买了冰箱，彩电各一台，可以享受多少元的补贴？(2)为满足需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱，彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的56. ①请你帮助该商场设计相应的进货方案；②用哪种方案商场获得利润最大？（利润=售价-进价），最大利润是多少？【答案】（1）（2420+1980）×13％=572（元）（2）①设冰箱采购x 台，则彩电采购（40-x ）台，解不等式组得231821117x ≤≤，因为x 为整数，所以x =19、20、21，方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台，方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台，方案一：冰箱购买21台，彩电购买19台.②设商场获得总利润为y 元，则y =(2420-2320)x +(1980-1900)(40-x )=20x +3200 ∵20＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x =21时，y 最大=20×21+3200=3620（元）.。

华东师大初中数学初三中考总复习：方程与不等式综合复习--巩固练习(提高)

中考总复习：方程与不等式综合复习—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．0.52．如果关于x 的方程 kx 2 -2x -1=0有两个不相等实数根，那么k 的取值范围是（）A ．1k ≥B ．1k > C.10k k ≥-≠且 D ．10k k >-≠且3．已知相切两圆的半径是一元二次方程x 2-7x+12＝0的两个根，则这两个圆的圆心距是( )A ．7B ．1或7C ．1D ．64．若,αβ是方程2220070x x +-=的两个实数根，则23ααβ++的值（） A ．2007 B ．2005 C ．－2007 D ．40105．（2015•永州）定义[x]为不超过x 的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x ，下列式子中错误的是（）A ．[x]=x （x 为整数）B ．0≤x﹣[x]＜1C ．[x+y]≤[x ]+[y]D ．[n+x]=n+[x]（n 为整数）6．已知x 是实数，且 -(x 2+3x)=2，那么x 2+3x 的值为（）A.1B.-3或1C.3D.-1或3二、填空题7．（2015春•萧山区月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+2k ﹣4=0有两个不相等的实数根，则：（1）字母k 的取值范围为；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，那么k 的值为，此时方程的根为．8．若不等式组112x x a-≤≤⎧⎨<⎩有解，那么a 必须满足________．9．关于x 的方程k(x+1)=1+2x 有非负数解，则k 的取值范围是_____ ___．10．当a=________时，方程会产生增根.11．当m ____________时，关于x 的一元二次方程0152=+-+-m x x 的两个实根一个大于3，另一个小于3.12．已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为____ __．三、解答题13．用换元法解方程：22322x x x x +-=+．14. 已知：△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长为5，试问：k 取何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？15．已知关于x 的一元二次方程022=++c bx ax （0>a ）①.（1）若方程①有一个正实根c ，且02<+b ac .求b 的取值范围；（2）当a =1 时，方程①与关于x 的方程0442=++c bx x ②有一个相同的非零实根，求 c b cb +-2288 的值.16.（2014春•西城区校级期中）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品共50件．已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．设生产A 种产品的生产件数为x ，A 、B 两种产品所获总利润为y （元）．（1）试写出y 与x 之间的函数关系式；（2）求出自变量x 的取值范围；（3）利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B ；【解析】方程的解必满足方程，因此将0x =代入，即可得到210a -=，注意到一元二次方程二次项系数不为0，故应选B.2.【答案】D ；【解析】方程有两个实数根，说明方程是一元二次方程，因此有0k ≠，其次方程有两个不等实根，故有240b ac ->.故应选D.3.【答案】B ；【解析】解一元二次方程x 2-7x+12＝0，得x 1＝3，x 2＝4，两圆相切包括两圆内切和两圆外切．当两圆内切时，d ＝x 2-x 1＝1；当两圆外切时，d ＝x 1+x 2＝7．4.【答案】B ；【解析】因为,αβ是方程2220070x x +-=的两个实数根，则220072αα=-，把它代入原式得2007232007ααβαβ-++=++，再利用根与系数的关系得2αβ+=-，所以原式=2005.5.【答案】C ；【解析】A 、∵[x]为不超过x 的最大整数，∴当x 是整数时，[x]=x ，成立；B 、∵[x]为不超过x 的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；C 、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；故选：C．6.【答案】A；【解析】设x2+3x=y, 则原方程可变为-y=2, 即y2+2y-3=0.∴y1=-3, y2=1.经检验都是原方程的解. ∴ x2+3x=-3或1.因为x为实数，所以要求x2+3x=-3和x2+3x=1有实数解.当x2+3x=-3时，即是x2+3x+3=0，此时Δ=32-4×1×3<0，方程无实数解，即 x不是实数，与题设不符，应舍去；当x2+3x=1时，即是x2+3x-1=0，此时Δ=32-4×1×(-1)>0，方程有实数解，即x是实数，符合题设，故x2+3x=1.正确答案：选A.二、填空题7．【答案】(1)k＜；(2) 2，0，2．【解析】（1）根据题意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，解得：k＜；故答案为：k＜；（2）由k为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k为完全平方数，则k的值为2，∴方程为：x2﹣2x=0，解得：x1=0，x2=2. 故答案为：2，0，2．8．【答案】a＞-2；【解析】画出草图，两个不等式有公共部分.9．【答案】1≤k＜2；10．【答案】3；【解析】先去分母，再把x=3代入去分母后的式子得a=3.m>-；11．【答案】5【解析】设方程的两个实根分别为x1、x2,因为两个实根一个大于3，另一个小于3，所以（x 1-3）（x 2-3）＜0，化简为x 1x 2-3（x 1+x 2）+9＜0，由根与系数关系解得5m >-.12．【答案】 64m m >-≠-且；【解析】去分母解得x=m+6,解为正数得m ＞-6，由x ≠2得m ≠-4.故64m m >-≠-且.三、解答题13.【答案与解析】解：22322x x x x +-=+，222322x x x x +-=+．设22x y x+=，则32y y -=，整理，得2230y y --=．解得y 1＝3，y 2＝-1．当y ＝3时，223x x+=，2320x x -+=，解得x 1＝2，x 2＝1；当y ＝-1时，221x x+=-，220x x ++=， △＝1-8＝-7＜0，此方程没有实数根．经检验：x 1＝2，x 2＝1是原方程的根．∴ 原方程的根是x 1＝2，x 2＝1．14.【答案与解析】解：设边AB ＝a ，AC ＝b ．∵ a 、b 是22(23)320x k k k -++++=的两根，∴ a+b ＝2k+3，a ·b ＝k 2+3k+2．又∵ △ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，且BC ＝5，∴ 2225a b +=，即2()225a b ab +-=． ∴ 23100k k +-=，∴ 15k =-或22k =．当k ＝-5时，方程为27120x x ++=．解得13x =-，24x =-．（舍去）当k ＝2时，方程为x 2-7x+12＝0．解得x 1＝3，x 2＝4．∴ 当k ＝2时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形．15.【答案与解析】解：（1）∵ c 为方程的一个正实根（0>c ），∴ 022=++c bc ac∵0>c ,∴ 012=++b ac ，即12--=b ac .∵ 02<+b ac ，∴ 0)12(2<+--b b .解得 32->b ．又0>ac （由0>a ，0>c ）．∴ 012>--b ．解得 21-<b ． ∴ 2132-<<-b ．（2）当1=a 时，此时方程①为 022=++c bx x .设方程①与方程②的相同实根为m ，∴ 022=++c bm m ③0442=++c bm m ④④－③得 0232=+bm m .整理，得 0)23(=+b m m .∵m ≠0，∴023=+b m .解得 32b m -=. 把32b m -=代入方程③得 0)32(2)32(2=+-+-c b b b . ∴0982=+-c b ，即c b 982=. 当c b 982=时，548822=+-c b cb .16.【答案与解析】解：（1）设生产A 种产品x 件，则生产B 种产品（50﹣x ）件，由题意得：y=700x+1200（50﹣x ）=﹣500x+60000，即y 与x 之间的函数关系式为y=﹣500x+60000；（2）由题意得，解得30≤x≤32．∵x 为整数，∴整数x=30，31或32；（3）∵y=﹣500x+60000，﹣500＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵x=30，31或32，∴当x=30时，y有最大值为﹣500×30+60000=45000．即生产A种产品30件，B种产品20件时，总利润最大，最大利润是45000元．。

HS华师版九年级数学中考总复习教材基础知识整理梳理第二单元方程(组)与不等式(组) 第6讲一元二次方程

3.根的判别式
(1)当Δ＝ >0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝ =0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝ <0时，原方程没有实数根．
例：方程的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程的判别式等于－8，故该方程没有实数根.
*4.根与系数的关系
（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.
在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0.
知识点三：一元二次方程的应用
4.列一元二次方程解应用题
（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．
运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.
例：方程是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1.
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
( 3 )公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x= （b2-4ac≥0）.
（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：

九年级数学代数综合问题华东师大版知识精讲

初三数学代数综合问题华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：代数综合问题【典型例题】例1. 如果5223313535()()x a a x a x +=++=-①与②是关于x 的同解方程，求a 的值。

解：解方程①得：x a =-275解方程②得：x a =-95∵方程①②是关于x 的同解方程∴-=--=-=27595279711a a a a a例2. 若方程x px q 220+-=（p ，q 是实数）没有实数根，求证：p q +<14。

证明：方程x px q 220+-= 判别式∆=+⨯=+()244422p q p q 依题意：4402p q +<()()()()2414410214410441212104410142222p p p q p p q p q p p p q p q -+++-<-++-<+-<----≤∴+-<∴+<方法二： p q 20+< ∴++<+<-+-+=--p p q p p q p p p p p p 2222 ()=--+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=--⎛⎝ ⎫⎭⎪+≤∴+<p p p p q 22141412141414例 3. 已知方程27302x x ++=的解满足不等式13222-->-x x ，求方程3220x y -+=的解。

解：方程27302x x ++=解之：x x 12123=-=-，不等式：13222-->-x x解集为：x <0∵方程的解满足不等式∴=-=-x x 12123，∴=--+===--+==-∴=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=-=-⎧⎨⎪⎩⎪把代入方程中把代入方程中x x y y x x y y x y x y 112211221232201433220721214372例4. 已知无论k 取何值，关于x 的方程2326kx m x nk+=+-的解总是x =1，求m ，n 的值。

【详解版】2015届九年级中考总复习(华师大版)精练精析：五、因式分解2(9页,考点+分析+点评)

数与式——因式分解2一．选择题（共9小题）1．若把多项式x2+px+q分解因式可以分解成（x﹣3）（x+5），则p的值是（）A．2 B．﹣2 C．15 D．﹣152．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．16x2+1 B．x2+2x﹣1 C．a2+2ab+4b2D．，3．把代数式ab2﹣6ab+9a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（b+3）2B．a（b+3）（b﹣3）C．a（b﹣4）2D．a（b﹣3）24．下列分解因式正确的是（）A．3x2﹣6x=x（3x﹣6）B．﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a）C．4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）D．4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）25．把a3﹣9a分解因式，结果正确的是（）A．a（a+3）（a﹣3）B．a（a2﹣9）C．a（a﹣3）2D．a（a+3）26．已知a、b是实数，x=a2+b2+20，y=4（2b﹣a）．则x、y的大小关系是（）A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．x＞y7．化简：，结果是（）A．B．C．D．8．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形9．分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（）A．（x﹣1）（x﹣2）B．x2C．（x+1）2D．（x﹣2）2二．填空题（共7小题）10．因式分解：x2﹣1=_________．11．分解因式：（2a+1）2﹣a2=_________．12．当a=9时，代数式a2+2a+1的值为_________．13．分解因式：9a2﹣30a+25=_________．14．若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），则a=_________．15．分解因式：a3﹣4a2+4a=_________．16．分解因式：a2b﹣b3=_________．三．解答题（共7小题）17．分解因式：﹣x3+2x2﹣x．18．已知a、b、c是△ABC的三边且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，请判断△ABC的形状．19．分解因式：2x3y﹣2xy3．20．给出三个单项式：a2，b2，2ab．（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；（2）当a=2010，b=2009时，求代数式a2+b2﹣2ab的值．21．求多项式的和，并把结果因式分解．22．已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2（2）a2+b223．给定一列代数式：a3b2，ab4，a4b3，a2b5，a5b4，a3b6，…．（1）分解因式：ab4﹣a3b2；（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列代数式中的第100个代数式．数与式——因式分解2参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．若把多项式x2+px+q分解因式可以分解成（x﹣3）（x+5），则p的值是（）A． 2 B．﹣2 C．15 D．﹣15考点：因式分解的意义．专题：计算题．分析：根据多项式乘多项式法则计算（x﹣3）（x+5），根据多项式相等的条件即可求出p的值．解答：解：∵x2+px+q=（x﹣3）（x+5）=x2+2x﹣15，∴p=2，q=﹣15．故选A点评：此题考查了因式分解的意义，熟练掌握多项式乘多项式法则是解本题的关键．2．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．16x2+1 B．x2+2x﹣1 C．a2+2ab+4b2D．，考点：因式分解-运用公式法．分析：根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、16x2+1只有两项，不符合完全平方公式；B、x2+2x﹣1其中有两项x2、﹣1不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；C、a2+2ab+4b2另一项不是a、2b的积的2倍，不符合完全平方公式；D、符合完全平方公式．故选D．点评：本题主要考查了完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；3．把代数式ab2﹣6ab+9a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（b+3）2B．a（b+3）（b﹣3）C．a（b﹣4）2 D．a（b﹣3）2考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．解答：解：ab2﹣6ab+9a，=a（b2﹣6b+9），=a（b﹣3）2．故选D．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．4．下列分解因式正确的是（）A．3x2﹣6x=x（3x﹣6）B．﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a）C．4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）D． 4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）2考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．专题：计算题．分析：根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、3x2﹣6x=3x（x﹣2），故本选项错误；B、﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a），故本选项正确；C、4x2﹣y2=（2x+y）（2x﹣y），故本选项错误；D、4x2﹣2xy+y2不能分解因式，故本选项错误．故选B．点评：本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键．5．把a3﹣9a分解因式，结果正确的是（）A．a（a+3）（a﹣3）B．a（a2﹣9）C．a（a﹣3）2D．a（a+3）2考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：a3﹣9a=a（a2﹣9）=a（a+3）（a﹣3）．故选A．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．6．已知a、b是实数，x=a2+b2+20，y=4（2b﹣a）．则x、y的大小关系是（）A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．x＞y考点：因式分解的应用．专题：因式分解．分析：判断x、y的大小关系，把x﹣y进行整理，判断结果的符号可得x、y的大小关系．解答：解：x﹣y=a2+b2+20﹣8b+4a=（a+2）2+（b﹣4）2，∵（a+2）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴x﹣y≥0，∴x≥y，故选B．点评：考查比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大．7．化简：，结果是（）A．B．C．D．考点：因式分解的应用．专题：计算题．分析：将所求式子的分子分母前两项提取20122，整理后分子提取2010，分母提取2013，约分后即可得到结果．解答：解：原式====．故选A．点评：此题考查了因式分解的应用，是一道技巧性较强的题，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形考点：因式分解的应用．专题：压轴题；因式分解．分析：把所给的等式a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．解答：解：∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，∴a3﹣b3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2=0，（a3﹣a2b）+（ab2﹣b3）﹣（ac2﹣bc2）=0，a2（a﹣b）+b2（a﹣b）﹣c2（a﹣b）=0，（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，所以a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0．所以a=b或a2+b2=c2．故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．故选C．点评：本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键．9．分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（）A．（x﹣1）（x﹣2）B．x2C．（x+1）2D．（x﹣2）2考点：因式分解-运用公式法．分析：首先把x﹣1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可．解答：解：（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1=（x﹣1﹣1）2=（x﹣2）2．故选：D．点评：此题主要考查了因式分解﹣运用公式法，关键是熟练掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．二．填空题（共7小题）10．因式分解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．考点：因式分解-运用公式法．专题：因式分解．分析：方程利用平方差公式分解即可．解答：解：原式=（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x+1）（x﹣1）．点评：此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．11．分解因式：（2a+1）2﹣a2=（3a+1）（a+1）．考点：因式分解-运用公式法．专题：因式分解．分析：直接利用平方差公式进行分解即可．解答：解：原式=（2a+1+a）（2a+1﹣a）=（3a+1）（a+1），故答案为：（3a+1）（a+1）．点评：此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．12．当a=9时，代数式a2+2a+1的值为100．考点：因式分解-运用公式法；代数式求值．专题：计算题．分析：直接利用完全平方公式分解因式进而将已知代入求出即可．解答：解：∵a2+2a+1=（a+1）2，∴当a=9时，原式=（9+1）2=100．故答案为：100．点评：此题主要考查了因式分解法以及代数式求值，正确分解因式是解题关键．13．分解因式：9a2﹣30a+25=（3a﹣5）2．考点：因式分解-运用公式法．专题：计算题．分析：原式利用完全平方公式分解即可．解答：解：原式=（3a）2﹣2×3a×5+52=（3a﹣5）2．故答案为：（3a﹣5）2点评：此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．14．若x2﹣9=（x﹣3）（x+a），则a=3．考点：因式分解-运用公式法．专题：计算题．分析：直接利用平方差公式进行分解得出即可．解答：解：∵x2﹣9=（x+3）（x﹣3）=（x﹣3）（x+a），∴a=3．故答案为：3．点评：此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．15．分解因式：a3﹣4a2+4a=a（a﹣2）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：因式分解．分析：观察原式a3﹣4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方公式，利用完全平方公式继续分解可得．解答：解：a3﹣4a2+4a，=a（a2﹣4a+4），=a（a﹣2）2．故答案为：a（a﹣2）2．点评：本题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法（完全平方公式）．要求灵活运用各种方法进行因式分解．16．分解因式：a2b﹣b3=b（a+b）（a﹣b）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．解答：解：a2b﹣b3，=b（a2﹣b2），（提取公因式）=b（a+b）（a﹣b）．（平方差公式）故答案为：b（a+b）（a﹣b）．点评：本题考查提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解因式要彻底．三．解答题（共7小题）17．分解因式：﹣x3+2x2﹣x．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式﹣x，再根据完全平方公式进行二次分解即可．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．解答：解：﹣x3+2x2﹣x，=﹣x（x2﹣2x+1），=﹣x（x﹣1）2．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．18．已知a、b、c是△ABC的三边且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，请判断△ABC的形状．考点：因式分解的应用．分析：由a、b、c是△ABC的三边可知，三边都大于0，解其方程得到a=b，从而知道三角形一定是等腰三角形．解答：解：a2﹣b2+ac﹣bc=0，由平方差公式得：（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）=0，（a﹣b）（a+b+c）=0，∵a、b、c三边是三角形的边，∴a、b、c都大于0，∴本方程解为a=b，∴△ABC一定是等腰三角形．点评：本题考查了因式分解的应用，利用三角形三边都大于0这一条件，解其方程而判定为等腰三角形．19．分解因式：2x3y﹣2xy3．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式2xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：2x3y﹣2xy3，=2xy（x2﹣y2），=2xy（x+y）（x﹣y）．点评：此题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．20．给出三个单项式：a2，b2，2ab．（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；（2）当a=2010，b=2009时，求代数式a2+b2﹣2ab的值．考点：因式分解-提公因式法；整式的加减—化简求值．专题：开放型．分析：本题要灵活运用整式的加减运算、平方差公式和完全平方公式．解答：解：（1）a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），b2﹣a2=（b+a）（b﹣a），a2﹣2ab=a（a﹣2b），2ab﹣a2=a（2b﹣a），b2﹣2ab+b（b﹣2a），2ab﹣b2=b（2a﹣b）；（写对任何一个式子给五分）（2）a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2，当a=2010，b=2009时，原式=（a﹣b）2=（2010﹣2009）2=1．点评：本题考查了提公因式法，平方差公式，完全平方公式分解因式，关键是熟记并会灵活运用，注意结果能进行因式分解．21．求多项式的和，并把结果因式分解．考点：因式分解-运用公式法；整式的加减．分析：可以先相加，然后合并同类项，再利用平方差公式进行因式分解．解答：解：x2+2x﹣2+x2﹣2x+1=（+）x2+（2﹣2）x+（﹣2+1）=x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．点评：本题考查整式的加减，公式法分解因式，对于因式分解有公因式的一定先提公因式，没有公因式的再考虑用平方差公式或完全平方公式等．22．已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2（2）a2+b2考点：因式分解-提公因式法；完全平方公式．专题：计算题．分析：（1）把代数式提取公因式ab后把a+b=3，ab=2整体代入求解；（2）利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解．解答：解：（1）a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6；（2）∵（a+b）2=a2+2ab+b2∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab，=32﹣2×2，=5．点评：本题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，关键是将原式整理成已知条件的形式，即转化为两数和与两数积的形式，将a+b=3，ab=2整体代入解答．23．给定一列代数式：a3b2，ab4，a4b3，a2b5，a5b4，a3b6，…．（1）分解因式：ab4﹣a3b2；（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列代数式中的第100个代数式．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：规律型．分析：（1）先提取公因式ab2，再根据平方差公式进行二次分解；（2）观察归纳，即可求得：那列代数式中的第100个代数式为a50b53．解答：解：（1）ab4﹣a3b2=ab2（b+a）（b﹣a）；（3分）（未分解彻底扣1分）（2）a50b53（3分）（若a或b的指数只写对一个，可得1分）．点评：此题考查了提公因式法，公式法分解因式与规律的知识．解题的关键时注意仔细观察，找到规律．还要注意分解要彻底．。

【详解版】2015届九年级中考总复习(华师大版)精练精析：十一元二次方程1(13页,考点+分析+点评)

方程与不等式——一元二次方程1一．选择题（共8小题）1．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（）A．1或4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或﹣42．已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（）A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣23．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=24．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（）A．x1=x2=1 B．x1=1+，x2=﹣1﹣C．x1=1+，x2=1﹣D．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣5．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=26．一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤17．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=08．已知m，n是方程x2﹣x﹣1=0的两实数根，则+的值为（）A．﹣1 B．﹣C． D．1二．填空题（共8小题）9．为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2007年用于绿化的投资20万元，2009年用于绿化的投资是25万元，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x，根据题意所列的方程为_________．10．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=_________．11．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=_________．12关于x的一元二次方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为_________．13．方程x2﹣3x=0的根为_________．14．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程_________．15．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得_________．16某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．三．解答题（共8小题）17．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值．18．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？19．电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？20天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？21．某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为_________万元．（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．22．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？23．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？24某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．（1）求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；（2）2014年这种产品的产量应达到多少万件？方程与不等式——一元二次方程1参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（）A．1或4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或﹣4考点：一元二次方程的解．专题：计算题．分析：将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可．解答：解：∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，∴4+5a+a2=0，∴（a+1）（a+4）=0，解得a1=﹣1，a2=﹣4，故选：B．点评：本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a的方程即可．2．已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（）A． 2 B．0 C0或2 D．0或﹣2考点：一元二次方程的解．分析：直接把x=2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．解答：解：∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，∴4﹣4m+4=0，∴m=2．故选：A．点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．3．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D． x1=﹣6，x2=2考点：解一元二次方程-直接开平方法．专题：计算题．分析：利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±，则﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±，所以x1=0，x2=5．解答：解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=﹣h±，而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，所以﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±，所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5．故选：B．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．4．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（）A．x1=x2=1 B．x1=1+，x2=﹣1﹣C．x1=1+，x2=1﹣D．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣考点：解一元二次方程-配方法．专题：计算题．分析：方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值．解答：解：方程x2﹣2x﹣1=0，变形得：x2﹣2x=1，配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣．故选：C．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D． x1=﹣1，x2=2考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：因式分解．分析：直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根解答：解：x2﹣x﹣2=0（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．故选：D．点评：此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．6．一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤1考点：根的判别式．分析：根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．解答：解：∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，∴△≥0，即4﹣4m≥0，∴﹣4m≥﹣4，∴m≤1．故选：D．点评：本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．8．已知m，n是方程x2﹣x﹣1=0的两实数根，则+的值为（）A．﹣1 B﹣C．D． 1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：先根据根与系数的关系得到m+n=1，mn=﹣1，再利用通分把+变形为，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：根据题意得m+n=1，mn=﹣1，所以+===﹣1．故选：A．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．二．填空题（共8小题）9．为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2007年用于绿化的投资20万元，2009年用于绿化的投资是25万元，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x，根据题意所列的方程为20×（1+x）2=25．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：2009年绿化投资=2007年的绿化投资×（1+两年绿化投资的平均增长率）2，把相关数值代入即可求解．解答：解：∵2007年用于绿化的投资20万元，这两年绿化投资的平均增长率为x，∴2008年的绿化投资为20×（1+x），∴2009年的绿化投资为20×（1+x）×（1+x）=20×（1+x）2，∴可列方程为20×（1+x）2=25，故答案为：20×（1+x）2=25．点评：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b，得到2009年绿化投资的等量关系是解决本题的关键．10一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=1．考点：一元二次方程的定义．专题：计算题；待定系数法．分析：根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．解答：解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，∴a+1≠0且a2﹣1=0，∴a=1．故答案为：1．点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．11．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=2．考点：一元二次方程的解．专题：待定系数法．分析：把x=1代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值．解答：解：依题意，得2×12﹣3k×1+4=0，即2﹣3k+4=0，解得，k=2．故答案是：2．点评：本题考查了一元二次方程的解的定义．此题是通过代入法列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值．12关于x的一元二次方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为6．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：根据判别式的意义得到△=（﹣5）2﹣4k＞0，解不等式得k＜，然后在此范围内找出最大整数即可．解答：解：根据题意得△=（﹣5）2﹣4k＞0，解得k＜，所以k可取的最大整数为6．故答案为6．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．13．方程x2﹣3x=0的根为x1=0，x2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．解答：解：因式分解得，x（x﹣3）=0，解得，x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．点评：本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．14．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：几何图形问题．分析：设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．解答：解：设道路的宽为xm，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．15．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得x2﹣70x+825=0．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：方程思想．分析：本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．解答：解：由题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）=1500整理得：x2﹣70x+825=0，故答案为：x2﹣70x+825=0．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，要学会通过图形求出面积．16．某小区2013年绿化面积为2000平方米，计划2015年绿化面积要达到2880平方米．如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是20%．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．解答：解：设这个增长率是x，根据题意得：2000×（1+x）2=2880解得：x1=20%，x2=﹣220%（舍去）故答案为：20%．点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．三．解答题（共8小题）17．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．分析：根据根的判别式令△=0，建立关于k的方程，解方程即可．解答：解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）=0，整理得，k2﹣3k+2=0，即（k﹣1）（k﹣2）=0，解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2．∴k=2．点评：本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．18．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？考点：一元二次方程的应用．专题：应用题．分析：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．解答：解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20．答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．19．电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x．等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可．（2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案．解答：解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，根据题意列方程：150（1+x）2=216，解得x1=﹣220%（不合题意，舍去），x2=20%．答：求该品牌电动自行车销售量的月均增长率20%．（2）二月份的销量是：150×（1+20%）=180（辆）．所以该经销商1至3月共盈利：（2800﹣2300）×（150+180+216）=500×546=273000（元）．点评：本题考主要查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．20天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？考点：一元二次方程的应用．专题：应用题．分析：首先根据共支付给旅行社旅游费用27000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去黄果树风景区旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x﹣25）人，每人降低20元，共降低了20（x﹣25）元．实际每人收了[1000﹣20（x﹣25）]元，列出方程求解．解答：解：设该单位去具有喀斯特地貌特征的黄果树旅游人数为x人，则人均费用为1000﹣20（x﹣25）元由题意得x[1000﹣20（x﹣25）]=27000整理得x2﹣75x+1350=0，解得x1=45，x2=30．当x=45时，人均旅游费用为1000﹣20（x﹣25）=600＜700，不符合题意，应舍去．当x=30时，人均旅游费用为1000﹣20（x﹣25）=900＞700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游．点评：考查了一元二次方程的应用．此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．21某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2.6（1+x）2万元．（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案；（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可．解答：解：（1）由题意，得第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，故答案为：2.6（1+x）2；（2）由题意，得4+2.6（1+x）2=7.146，解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．点评：本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键．22．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用．专题：行程问题．分析：（1）利用原工作时间﹣现工作时间=4这一等量关系列出分式方程求解即可；（2）根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．解答：解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：﹣=4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．点评：本题考查了分式方程及一元二次方程的应用，解分式方程时一定要检验．23．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：利用销售利润=售价﹣进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式，求出即可．解答：解：设每个商品的定价是x元，由题意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]=2000，整理，得x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60．当x=50时，进货180﹣10（50﹣52）=200个＞180个，不符合题意，舍去；当x=60时，进货180﹣10（60﹣52）=100个＜180个，符合题意．答：当该商品每个定价为60元时，进货100个．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．24．某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．（1）求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；（2）2014年这种产品的产量应达到多少万件？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）根据提高后的产量=提高前的产量（1+增长率），设年平均增长率为x，则第一年的常量是100（1+x），第二年的产量是100（1+x）2，即可列方程求得增长率，然后再求第4年该工厂的年产量．（2）2014年的产量是100（1+x）．解答：解：（1）2013年到2015年这种产品产量的年增长率x，则100（1+x）2=121，解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去），答：2013年到2015年这种产品产量的年增长率10%．（2）2014年这种产品的产量为：100（1+0.1）=110（万件）．答：2014年这种产品的产量应达到110万件．点评：考查了一元二次方程的应用，本题运用增长率（下降率）的模型解题．读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．- 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九年级中考总复习(华师大版)精练精析：十一、分式方程1(13页)

方程与不等式——分式方程1一．选择题（共9小题）1．已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠32．分式方程的解是（）A．x=﹣2 B．x=2 C．x=1 D．x=1或x=23．已知点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x的分式方程=2的解是（）A．5 B．1 C．3 D．不能确定4．分式方程的解为（）A．1 B．2 C．3 D．45．将分式方程1﹣=去分母，得到正确的整式方程是（）A．1﹣2x=3 B．x﹣1﹣2x=3 C．1+2x=3 D．x﹣1+2x=36．方程﹣=0解是（）A．x= B．x= C．x= D．x=﹣17．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．B．C．D．8．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A．B．C．D．9．某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设x米，下面所列方程正确的是（）A．﹣=2 B．﹣=2C．﹣=2 D．=二．填空题（共8小题）10．当m_________时，方程=无解．11．已知关于x的分式方程﹣=1的解为负数，则k的取值范围是_________．12．方程的解是_________．13．分式方程﹣=1的解是_________．14．若代数式和的值相等，则x=_________．15．若关于x的方程﹣1=0有增根，则a的值为_________．16．若分式方程﹣=2有增根，则这个增根是_________．17．有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克．已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克．若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是_________．三．解答题（共9小题）18．解方程：．19．解方程：．20．解方程：=1．21．解分式方程：+=3．22某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）超市销售这种干果共盈利多少元？。

华东师大初中数学初三中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解(提高)

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解（提高）：【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式. 4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)x b ac =-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y kx b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由．【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小．【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0．由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大．【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想．举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>->∴A>C>B【课程名称：方程与不等式综合复习 405277 例3】【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110．故今年最少可招收“宏志班”学生110名．【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式；（2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可．【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化. 举一反三：【变式1】（2014秋•天河区期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0，∴k≤3．又∵k 为正整数，∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去．当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【课程名称：方程与不等式综合复习 405277例5】【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x（1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。

【详解版】2015届九年级中考总复习(华师大版)精练精析：七二次根式2(11页,考点+分析+点评)

数与式——二次根式2一•选择题（共9小题）1下列计算错误的是（）A • 3 二― ~\=2B • x2?x3=x6C•- 2+| - 2|=0 D • （- 3）「2= 2•算式丄「+ . 丁xj之值为何？（_）A • 2B • 12 ~ C. 12V 心D • 18 ■:3•已知a为实数，则代数式：-二-「的最小值为（）A • 0B • 3C • GD • 94•若式子空丐―在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A •x >B • x>C • x >D • x >5 •若代数式------ 有意义，则x的取值范围是（）A • x > 0B • x> 5C • x v 5 D. x 弟6•已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|a- 11-: 的结果为（A • - 1B • 1C •2a- 1 D. 1 - 2a7•把（2 - x）——根号外的因式移到根号内，得（）A•_ - v B • y - J C•-.二- • D•-.二--二&已知实数m、n在数轴上的对应点的位置如图，则|m- n|+丨门-| ：•・■・Tm o 1 nA • m - 1B • m+1C • 2n-m+1D • 2n - m- 19 •下面化简正确的是（）92 2A • 2x - 5xy= - 3yB •C • （2x+1）=4x +1D •若x>0,i _1二.填空题（共—8小题） _ _10 •已知X1= + :, X2= 贝y X12+X22= ___________ •11 •化简：_- 4X ：_x （1 - . ：）0的结果是_____________________ •12 •计算：俾逅= •Vs13 •已知x、y 都是实数，且y= . - - +4，贝U /=___________14 •式子一-― 有意义的x的取值范围是____________________x -1'=（）d〔「=2x■■（-3）’15•当x ----------------------- 时'「在实数范围内有意义. 16•已知尸—++3，贝V ■■= ------------------17.若~=2 - a ,则a 的取值范围是 ____________________（共 9小题）「「「「「二丨匚：：.（）"+ （ 1+ 二）（1 -二）-二2 220.化简求值：：-1十三巳.: —其中a =V2 + l|.a 2 - 2a+l 旷221. 计算：(眄+1)(昉"I)-伍+ (言)_1.22. 已知:「丄-匕十，二- 1 是「丁二―]:宀 '■■ ■ ； -2：'"' E 23.计算： ——(晶+1) °-伍+|- 5|-( sin30 ° -1.V2-124. 如果 y= 二 “ 一:,! 1，求 2x+y 的值.x 的取值范围是2八26.计算：(1) |- 11+(- 2)+ (7- n)-()(2) 三厂-[下777.数与式——二次根式2参考答案与试题解析一.选择题（共9小题）1.下列计算错误的是（)A . 3 「；- 「；=2 「；B .236x ?x =x C . - 2+| - 2|=0 D .-2(-3)考点：二次根式的加减法；有理数的加法；同底数幕的乘法；负整数指数幕. 专题：计算题.分析：四个选项中分别根据二次根式的加减法求解，同底数幕的乘法法则求解,对值的加减法用负整数指数幕的法则求解._ 解答：解：A 、3二-二=2二，故A 正确，B 、 x 2?x 3=x 5,同底数幕相乘，底数不变指数相加，故 B 错误；C 、 - 2+| - 2|=0, - 2+2=0 ,故 C 正确；-2]斗厶D 、（ - 3）=-=，故 D 正确.故选：B . 点评：本题主要考查了二次根式的加减法，同底数幕的乘法，绝对值的加减法，负三.解答题18. 计算: 19. 计算： 25. 使在实数范围内有意义的整数指数幕，解题的关键是根据它们各自法则认真运算.2. 算式（_「+ . 丁X =）x]之值为何？（丄_A. 2 「B. 12 ，C. 12 ；D. 18 :考点：二次根式的混合运算.分析：先算乘法，再合并同类二次根式，最后算乘法即可.解答：解：原式=（~+5 ~） X 7=6 吋x=18 .：,故选：D.点评：本题考查了二次根式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中.3. 已知a为实数，则代数式[- -一「的最小值为（）A. 0B. 3 C .沁心D . 9考点：二次根式的性质与化简.专题：压轴题.分析：把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值.解答：解：•••原式=- 1.—■'=]2（a2-6a+9）+9•••当（a-3）=0,即a=3 时代数式-的值最小，为.1即3故选B .点评：用配方法对多项式变形，根据非负数的意义解题，是常用的方法，需要灵活掌握.4. 若式子打：；i 在实数范围内有意义，贝U x 的取值范围是（）A . x >B . x>C . x >D . x>考点：二次根式有意义的条件.分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.解答：解：由题意得，3x - 2为，解得X2故选C .点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数.5. ----------------------- 若代数式有意义，则x的取值范围是（）VI - 5A . x > 0B . x> 5C . x v 5D . x为考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件.分析：根据被开方数大于等于 0,分母不等于0列式计算即可得解. 解答：解：由题意得，x - 5> 0,解得x > 5. 故选B . 点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0;二次根式的被开方数是非负数.6 •已知实数a 在数轴上的位置如图，则化简 |a " 1|- 「的结果为（）a-1'12^A .- 1B . 1C . 2a - 1D .1 - 2a考点：二次根式的性质与化简；实数与数轴.分析：先根据点a 在数轴上的位置判断出 a 及a - 1的符号，再把代数式进行化简即可. 解答：解：T 由图可知，0v a v 1,a - 1 v 0,•°•原式=1 — a — a=1 — 2a . 故选D . 点评：本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键._____7.把（2 - x ） —— 根号外的因式移到根号内，得（）AB • 一 •：C .- 一』.D .-■工考点：二次根式的性质与化简.分析：先根据二次根式有意义的条件判断出进行解答即可. ____解答：解：T有意义，• x - 2 > 0, 即卩 x > 2, • 2 - x v 0,•原式=-「…，.=-「. 故选D . 点评：本题考查的是二次根式的性质与化简,的关键.&已知实数 m 、n 在数轴上的对应点的位置如图，则m 0 1 nA . m - 1B . m+1C . 2n - m+1D .2n - m - 1考点：二次根式的性质与化简；实数与数轴.分析：根据绝对值是大数减小数，可化简去掉绝对值，根据算术平方根的意义，可得算术平方根，根据合并同类项，可得答案.x 的取值范围，再根据二次根式的性质熟知二次根式具有非负性是解答此题解答：解：原式=n - m+n - 1=2n - m - 1,故选：D . 点评：本题考查了二次根式的性质与化简，先化简，再合并.9.下面化简正确的是（）.：■'.=2x1考点：二次根式的性质与化简；合并同类项；完全平方公式；约分.分析：根据合并同类项，可判断 A ，根据分式的约分，可判断 B ，根据完全平方公式，可判断解答：C ，根据二次根式的乘法，可判断D . 解：A 、不是同类项不能合并，故 A 错误；B 、分式约分后是x+1，故B 错误；C 、和平方等于平方和加积的 2倍，故C 错误;D 、若 x >0,，）,二，”，故 D 正确；故选：D .点评：本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法法则是解题关键.二.填空题（共—8小题） _ _10.已知 X 1=*]+ 打 X 2= ；-f|,则 x i 2+x 22= 10 . 考点：二次根式的混合运算.分析：首先把X i 2+X 22= （ X 1+X 2）2- 2X 1X 2,再进一步代入求得数值即可. 解答：解：T X 1 = ：〔耳+書耳，X 2=吋：「,2 2 二 X 1 +X 22=（X 1+X 2） - 2X 1X 2=（二+ 二+ 二-二）2-2 （ 7+ 二）（二-匚） =12- 2 =10.故答案为：10. 点评：此题考查二次根式的混合运算，把代数式利用完全平方公式化简是解决问题的关键.11.化简 d X ■ - 4X [X （ 1-“J ：「）0 的结果是叮:「：.考点：二次根式的混合运算；零指数幕. 专题：计算题.分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幕的意义计算得到原式=2二-二，然后合并即可. 解答：解：原式_ _3 4=2 "■--=匚_故答案为： ■:.点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕.12.计算:--=2 二+1 .晶——考点：二次根式的混合运算.2x - 5xy= - 3y D .若 x >0, 2 2一一 C . (2x+1 ) =4x +1专题：计算题.分析：根据二次根式的除法法则运算.解答：解：原式=；」_+ '\ 5 V 5=2 . ：+1 .故答案为： 2 匚+1 .点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式._____ _________ x13.已知x、y都是实数，且目=、：二+4，则y=_64考点：二次根式有意义的条件.专题：存在型.分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值代入y x进行计算即可.解答：解：.y= :,+4，…3_ Qo，解得x=3 ,••• y=4 ,.x 3…y =4 =64.故答案为：64.点评：本题考查的是二次根式有意义的条件及有理数的乘方，能根据二次根式有意义的条件求出x的值是解答此题的关键.丈+]14 .式子一-—有意义的x的取值范围是X A 且X詢 .葢一1考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件.分析：根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.解答：解：由题意得，2x+1为且x - 1用，解得X A且X力.故答案为：x A且X鬥.点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.515.当x_二_ 时， ------------- 在实数范围内有意义.V2x- 1考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件.专题：探究型.分析：先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于X的不等式，求出X的取值范围即可.解答：解：•••在实数范围内有意义，V2s- 1••• 2x - 1> 0,解得x>. 故答案为：〉.本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知以上知识是解答此题的关点评：键.16.已知y=V ：:■: .；+3，则、！J= _2 ■:.考点：二次根式有意义的条件.分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值，进而得出y的值，代入代数式进行计算即可.解答：解：•”•一与一二有意义，•八」■，解得x=4,[12- 3x>0• y=3,:，：「=..二=2 '；.故答案为： 2 二.点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键.17.若―耳=2 - a,则a的取值范围是a电考点：二次根式的性质与化简.分析：根据二次根式的性质，等式左边为算术平方根，结果为非负数.解答：解：心・:::L=2- a,• a- 20. 即a€.点评：本题主要考查了根据二次根式的意义化简.二次根式规律总结：当a^0时，需da,当a切时, _= - a.三.解答题（共9小题）18.计算: :一「- .A 1 ■'1.考点：二次根式的混合运算；零指数幕；负整数指数幕.专题：计算题.分析：根据零指数幕和负整数指数幕得原式=:-3+1 - 3 ；+2 -:,然后合并冋类二次根式.解答：解：原式=:-3+1 - 3 ；+2 -:=-3 二点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕和负整数指数幕.19.计算：（）-1+ （1+ _；）（1 - _；）-••:'：.考点：二次根式的混合运算；负整数指数幕.分析：分别进行负整数指数幕、平方差公式、二次根式的化简等运算，然后合并即可. 解答：解：原式=5+1 - 3 - 2 -=3 - 2 ■；.点评：本题考查了二次根式的混合运算，涉及了负整数指数幕、平方差公式、二次根式的化简等知识，属于基础题，解题的关键是掌握各知识点的运算法则.考点：二次根式的化简求值；分式的化简求值.分析：先把分式化简：把分子、分母能分解因式的分解，能约分的约分，然后先除后减，化简为最简形式，最后把 a 的值代入计算.斗1a - 1a+1 - a+1 a- 1L- 1，当门二.：.-：• 1时, 原式=丄^= _：.V2点评：21.计算:祐⑴祐-1)-后+ Q )J考点：二次根式的混合运算；负整数指数幕.分析：根据平方差公式、二次根式的化简、负整数指数幕的法则计算. 解答：解：原式=3 - 1 - 4+2=0 . 点评：本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂，解题的关键是掌握有关法则，以及公式的使用._______ ____________22.已知：1 -匚+ 上;：-一」J . .■" ■-打.直考点：二次根式的化简求值；二次根式有意义的条件.分析：根据二次根式的意义可知 x 和y 的值，把x 和y 的值代入代数式就可以求出它的值. 解答：解：根据二次根式有意义，得 f 1" SX ^°，解得x=, gx- 1>0a 2-l2a - 0a 2 _ 2a+l r a=2 * 20.化简求值:解答: 解：原式=(s+l)(日-1) ~~(a-1) 2a (a - 2)2此题考查分式Y 4 V 4=1.点评：求值.根据二次根式的意义确定 x 和y 值，再把x 和y 的值代入二次根式进行化简23.计算:——(V5+1) °-航+|- 5|-( sin30 ° -1. A /2 _ 1 考点： V J二次根式的混合运算；零指数幕；负整数指数幕；特殊角的三角函数值. 专题：计算题.分析：分别进行分母有理化、零指数幕、二次根式的化简、及负整数指数幕的运算，然后合并即可得出答案.解答：解：原式=,：+1 - 1-2：+5 - 2=3 - :点评：此题考查了二次根式的混合运算、零指数幕及负整数指数幕的运算，结合的知识点较多，注意各部分的运算法则.24.如果 y= J_，- ' - 1，求 2x+y 的值.考点：二次根式有意义的条件.分析：2 2根据二次根式有意义的条件可得 x - 4%, 4 - x 为，解可得到x 的值，进而算出y 的值，然后在计算 2x+y 的值即可.解答：解：根据二次根式有意义的条件可得x 2- 4为,4 - X 2%,解得：x= =t2,则 y=1 ,2x+y=2 >2+1=5, 2x+y=2 X (- 2) +仁-3, 2x+y 的值5或-3.25.使［■］在实数范围内有意义的X 的取值范围是亠! 考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件. 分析：根据被开方数大于等于 0,分母不等于0列式计算即可得解. 解答：解：根据题意得，x%且x - 1老，解得x > 1. 故答案为： x > 1.点评：负数.26.计算:本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0;二次根式的被开方数是非2 0 -1(1) |- 1|+ (- 2) + (7- n)-()(2) U-> I 777考点：二次根式的混合运算；零指数幕；负整数指数幕.分析：（1）根据绝对值、有理数的乘方、零整数指数幕、负整数指数幕的定义分别进行计算，再把所得的结果相加即可；（2 ）根据二次根式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再合并同类二次根式即可.解答：解：（1）—1|+ （—2）2+ （7—n）0—（）'=1+4+1 —3=3；_（2）下十-'=+ 丁+2 :S 一一7=4+ 9 I..点评：此题考查了二次根式的混合运算，在计算时要注意顺序和法则以及结果的符号.-11 - / 10。

(华师大版)中考数学总复习(12)不等式与不等式组(1)及答案(14页)

方程与不等式——不等式与不等式组1一．选择题（共9小题）1．a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式的变形正确的是（）A．a+x＞b+x B．﹣a+1＜﹣b+1 C．3a＜3b D．＞2．不等式组的解集是（）A．x＞2 B．x＞1 C．1＜x＜2 D．无解3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．一元一次不等式x﹣1≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8．不等式组﹣2≤x+1＜1的解集，在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．9．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥3二．填空题（共7小题）10．如图，身高为x cm的1号同学与身高为y cm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x_________y（用“＞”或“＜”填空）．11．写出一个解为x≥1的一元一次不等式_________．12．不等式x+3＜﹣1的解集是_________．13．已知实数x、y满足2x﹣3y=4，并且x≥﹣1，y＜2，现有k=x﹣y，则k的取值范围是_________．14．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3：2，则该行李箱的长的最大值为_________cm．15．不等式组的解集是_________．16．不等式组的解集是_________．三．解答题（共9小题）17．解不等式2x﹣3＜，并把解集在数轴上表示出来．18．解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来．19．解不等式2（x﹣1）+5＜3x，并把解集在数轴上表示出来．20．某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买．已知今年5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元．（1）今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？（2）6月份是青椒产出旺季．为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年5月份的基础上降低a%，预计这种青椒在市区、园区的销售额将在今年5月份的基础上分别增长30%、20%，要使6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则a的最大值是多少？21．近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注，某学校计划在教室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备，已知：购买1台A种设备和2台B种设备需要3.5万元；购买2台A种设备和1台B种设备需要2.5万元．（1）求每台A种、B种设备各多少万元？（2）根据学校实际，需购进A种和B种设备共30台，总费用不超过30万元，请你通过计算，求至少购买A种设备多少台？22．为培养学生养成良好的“爱读书，读好书，好读书”的习惯，我市某中学举办了“汉字听写大赛”，准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，一个书包和一本词典会花去48元，用124元恰好可以购买3个书包和2本词典．（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元？（2）学校计划用总费用不超过900元的钱数，为获胜的40名同学颁发奖品（每人一个书包或一本词典），求最多可以购买多少个书包？23．甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每张椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠．现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）．（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；（2）购买的椅子至少多少张时，到乙厂家购买更划算？24．晨光文具店用进货款1620元购进A品牌的文具盒40个，B品牌的文具盒60个，其中A品牌文具盒的进货单价比B品牌文具盒的进货单价多3元．（1）求A、B两种文具盒的进货单价？（2）已知A品牌文具盒的售价为23元/个，若使这批文具盒全部售完后利润不低于500元，B品牌文具盒的销售单价最少是多少元？25．为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？方程与不等式——不等式与不等式组1参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式的变形正确的是（）A．a+x＞b+x B．﹣a+1＜﹣b+1 C．3a＜3b D．＞考点：不等式的性质．分析：根据不等式的性质1，可判断A，根据不等式的性质3、1可判断B，根据不等式的性质2，可判断C、D．解答：解：A、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误；B、不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，故B错误；C、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故C正确；D、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D错误；故选：C．点评：本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．2．不等式组的解集是（）A．x＞2 B．x＞1 C．1＜x＜2 D．无解考点：不等式的解集．分析：根据不等式组解集的四种情况，进行选择即可．解答：解：根据同大取较大的原则，不等式组的解集为x＞2，故选：A．点评：本题考查了不等式的解集，是基础题比较简单．解答此题要根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．分析：解不等式组得到解集为﹣2＜x≤3，将﹣2＜x≤3表示成数轴形式即可．解答：解：解不等式得：x≤3．解不等式x﹣3＜3x+1得：x＞﹣2所以不等式组的解集为﹣2＜x≤3．故选：D．点评：考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．4．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．解答：解：，解得，故选：D．点评：本题考查了在数轴表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．解答：解：，解得，故选：B．点评：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．6．一元一次不等式x﹣1≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．专题：数形结合．分析：先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．解答：解：移项得，x≥1，故此不等式组的解集为：x≥1．在数轴上表示为：．故选：A．点评：本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可解答：解：解得﹣3＜x≤4，故选：D．点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．8．不等式组﹣2≤x+1＜1的解集，在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．解答：解：∵由题意可得，由①得，x≥﹣3，由②得，x＜0，∴﹣3≤x＜0，在数轴上表示为：．故选：B．点评：本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知““小于向左，大于向右”是解答此题的关键．9．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥3考点：在数轴上表示不等式的解集．分析：根据不等式组的解集是大于大的，可得答案．解答：解：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是x＞3．故选：C．点评：本题考查了不等式组的解集，不等式组的解集是大于大的．二．填空题（共7小题）10．如图，身高为x cm的1号同学与身高为y cm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x＜y（用“＞”或“＜”填空）．考点：不等式的定义．分析：由图知1号同学比2号同学矮，据此可解答．解答：解：如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x＜y，故答案为：＜．点评：本题主要考查了不等式的定义，仔细看图是解题的关键．11．写出一个解为x≥1的一元一次不等式x+1≥2．考点：不等式的解集．专题：开放型．分析：根据不等式的解集，可得不等式．解答：解：解为x≥1的一元一次不等式有：x+1≥2，x﹣1≥0等．故答案为：x+1≥2．点评：本题考查了不等式的解集，注意符合条件的不等式有无数个，写一个即可．12．不等式x+3＜﹣1的解集是x＜﹣4．考点：解一元一次不等式．分析：移项、合并同类项即可求解．解答：解：移项，得：x＜﹣1﹣3，合并同类项，得：x＜﹣4．故答案是：x＜﹣4．点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．13．已知实数x、y满足2x﹣3y=4，并且x≥﹣1，y＜2，现有k=x﹣y，则k的取值范围是1≤k＜3．考点：解一元一次不等式．专题：计算题．分析：先把2x﹣3y=4变形得到y=（2x﹣4），由y＜2得到（2x﹣4）＜2，解得x＜5，所以x的取值范围为﹣1≤x＜5，再用x变形k得到k=x+，然后利用一次函数的性质确定k的范围．解答：解：∵2x﹣3y=4，∴y=（2x﹣4），∵y＜2，∴（2x﹣4）＜2，解得x＜5，又∵x≥﹣1，∴﹣1≤x＜5，∵k=x﹣（2x﹣4）=x+，当x=﹣1时，k=×（﹣1）+=1；当x=5时，k=×5+=3，∴1≤k＜3．故答案为：1≤k＜3．点评：本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了代数式的变形和一次函数的性质．14．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3：2，则该行李箱的长的最大值为78cm．考点：一元一次不等式的应用．专题：应用题．分析：设长为3x，宽为2x，再由行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，可得出不等式，解出即可．解答：解：设长为3x，宽为2x，由题意，得：5x+30≤160，解得：x≤26，故行李箱的长的最大值为78．故答案为：78cm．点评：本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的额关键是仔细审题，找到不等关系，建立不等式．15．不等式组的解集是1＜x＜2．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解．解答：解：，解不等式①得，x＞1，解不等式②得，x＜2，所以，不等式组的解集是1＜x＜2．故答案为：1＜x＜2．点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．16．不等式组的解集是x＞．考点：解一元一次不等式组．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，由①得，x＞，由②得，x＞﹣2，故此不等式组的解集为：x＞．故答案为：x＞．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．三．解答题（共9小题）17．解不等式2x﹣3＜，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．专题：计算题．分析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．解答：解：先去分母，得3（2x﹣3）＜x+1去括号，得6x﹣9＜x+1移项，得5x＜10系数化为1，得x＜2∴原不等式的解集为：x＜2，在数轴上表示为：点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．18．解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．专题：计算题．分析：先去分母和去括号得到6﹣3x≥4﹣4x，然后移项后合并得到x≥﹣2，再利用数轴表示解集．解答：解：去分母得3（2﹣x）≥4（1﹣x），去括号得6﹣3x≥4﹣4x，移项得4x﹣3x≥4﹣6，合并得x≥﹣2，在数轴上表示为：．点评：本题考查了解一元一次不等式：解一元一次不等式的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．也考查了在数轴上表示不等式的解集．19．解不等式2（x﹣1）+5＜3x，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．分析：去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．解答：解：2（x﹣1）+5＜3x，2x﹣2+5﹣3x＜0，﹣x＜﹣3，x＞3，在数轴上表示为：．点评：本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1．20．某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买．已知今年5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元．（1）今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？（2）6月份是青椒产出旺季．为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年5月份的基础上降低a%，预计这种青椒在市区、园区的销售额将在今年5月份的基础上分别增长30%、20%，要使6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则a的最大值是多少？考点：一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：（1）设在市区销售了x千克，则在园区销售了（3000﹣x）千克，根据等量关系：总销售额为16000元列出方程求解即可；（2）题目中的不等关系是：6月份该青椒的总销售额不低于18360元列出不等式求解即可．解答：解：（1）设在市区销售了x千克，则在园区销售了（3000﹣x）千克，则6x+4（3000﹣x）=16000，解得x=2000，3000﹣x=1000．故今年5月份该青椒在市区销售了2000千克，在园区销售了1000千克．（2）依题意有6（1﹣a%）×2000（1+30%）+4（1﹣a%）×1000（1+20%）≥18360，20400（1﹣a%）≥18360，1﹣a%≥0.9，a≤10．故a的最大值是10．点评：考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．21．近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注，某学校计划在教室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备，已知：购买1台A种设备和2台B种设备需要3.5万元；购买2台A种设备和1台B种设备需要2.5万元．（1）求每台A种、B种设备各多少万元？（2）根据学校实际，需购进A种和B种设备共30台，总费用不超过30万元，请你通过计算，求至少购买A种设备多少台？考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：（1）根据题意结合“购买1台A种设备和2台B种设备需要3.5万元；购买2台A种设备和1台B 种设备需要2.5万元”，得出等量关系求出即可；（2）利用（1）中所求得出不等关系求出即可．解答：解：（1）设每台A种、B种设备各x万元、y万元，根据题意得出：，解得：，答：每台A种、B种设备各0.5万元、1.5万元；（2）设购买A种设备z台，根据题意得出：0.5z+1.5（30﹣z）≤30，解得：z≥15，答：至少购买A种设备15台．点评：此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的关键语句，列出方程和不等式．22．为培养学生养成良好的“爱读书，读好书，好读书”的习惯，我市某中学举办了“汉字听写大赛”，准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，一个书包和一本词典会花去48元，用124元恰好可以购买3个书包和2本词典．（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元？（2）学校计划用总费用不超过900元的钱数，为获胜的40名同学颁发奖品（每人一个书包或一本词典），求最多可以购买多少个书包？考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）利用一个书包和一本词典会花去48元，用124元恰好可以购买3个书包和2本词典，得出等式求出即可；（2）利用总费用不超过900元的钱数，进而得出不等关系求出即可．解答：解：（1）设每个书包和每本词典的价格各是x元，y元，根据题意得出：，解得：．答：每个书包的价格是28元，每本词典的价格是20元；（2）设购买z个书包，则购买词典（40﹣z）本，根据题意得出：28z+20（40﹣z）≤900，解得：z≤12.5．故最多可以购买12个书包．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．23．甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每张椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠．现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）．（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；（2）购买的椅子至少多少张时，到乙厂家购买更划算？考点：一元一次不等式的应用．专题：优选方案问题．分析：（1）根据甲乙两厂家的优惠方式，可表示出购买桌椅所需的金额；（2）令甲厂家的花费大于乙厂家的花费，解出不等式，求解即可确定答案．解答：解：（1）根据甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案：甲厂家所需金额为：3×800+80（x﹣9）=1680+80x；乙厂家所需金额为：（3×800+80x）×0.8=1920+64x；（2）由题意，得：1680+80x＞1920+64x，解得：x＞15．答：购买的椅子至少16张时，到乙厂家购买更划算．点评：本题考查了一元一次不等式的知识，注意将实际问题转化为数学模型，利用不等式的知识求解．24．晨光文具店用进货款1620元购进A品牌的文具盒40个，B品牌的文具盒60个，其中A品牌文具盒的进货单价比B品牌文具盒的进货单价多3元．（1）求A、B两种文具盒的进货单价？（2）已知A品牌文具盒的售价为23元/个，若使这批文具盒全部售完后利润不低于500元，B品牌文具盒的销售单价最少是多少元？考点：一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）设A品牌文具盒的进价为x元/个，根据晨光文具店用进货款1620元，可得出方程，解出即可；（2）设B品牌文具盒的销售单价为y元，根据全部售完后利润不低于500元，可得出不等式，解出即可．解答：解：（1）设A品牌文具盒的进价为x元/个，依题意得：40x+60（x﹣3）=1620，解得：x=18，x﹣3=15．答：A品牌文具盒的进价为18元/个，B品牌文具盒的进价为15元/个．（2）设B品牌文具盒的销售单价为y元，依题意得：（23﹣18）×40+60（y﹣15）≥500，解得：y≥20．答：B品牌文具盒的销售单价最少为20元．点评：本题考查了一元一次方程及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系，难度一般．25．为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：（1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，根据购买两种树苗的总金额为90000元建立方程求出其解即可；（2）设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，根据购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额建立不等式求出其解即可．解答：解：（1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，由题意，得200x+300（400﹣x）=90000，解得：x=300，∴购买乙种树苗400﹣300=100棵，答：购买甲种树苗300棵，则购买乙种树苗100棵；（2）设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，由题意，得200a≥300（400﹣a），解得：a≥240．答：至少应购买甲种树苗240棵．点评：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，解答时建立方程和不等式是关键．。

华师大版初中数学九年级下册总复习不等式(组)的应用学案

华师大版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！华师大初中数学和你一起共同进步学业有成！不等式(组)的应用一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1．列不等式解应用题的特征：列不等式解应用题，一般所求问题有“至少”“最多”“不低于”“不大于”“不小于”等词，要正确理解这些词的含义．2．列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 。

（其中检验是正确求解的必要环节）（二）：【课前练习】1.在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共25道，每道题都给会4个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不选或选错倒扣 2分，得分不低于 60分得奖，那么得奖至少应选对（）道题．A ．18B ．19C ．20D ．212.某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的短形彩条如右图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=30cm ，AB=50cm ，依次裁下宽为1cm 的矩形彩条a 1，a 2，a 3……若使裁得的矩形彩条的长都不小于5cm ，则将每张直角三角形彩纸裁成的矩形纸条的总数是( )A ．24；B ．25；C ．26；D ．273.一个两位数，其个位数字比十位数字大2，已知这个两位数大于20而小于40，求这个两位数．4.若干学生分住宿舍，每间4人余20人；每间住8人有一间不空也不满，则宿舍有多少间？学生多少人？5.某通讯公司规定在营业网内通话收费为：通话前3分钟0.5元，通话超过3分钟每分钟加收0.1元(不足1分钟按1分钟计算)某人一次通话费为1.1元，问此人此次通话时间大约为多少？二：【经典考题剖析】1. 光明中学9年级甲、乙两班在为“希望工程”捐款活动中，两班捐款的总数相同，均多于300元且少于400元．已知甲班有一人捐6元，其余每人都捐9元；乙班有一人捐13元，其余每人都捐8元．求甲、乙两班学生总人数共是多少人？2.若方程一个根大于-1，另一个根小于-1，求的取值范围2320x kx k -+-=k 3. 由于电力紧张，某地决定对工厂实行鼓励错峰用电．规定：在每天的7：00至24：00为用电高峰期．电价为a 元／度；每天0：0 0至7：0 0为用电平稳期，电价为 b 元／度．下表为某厂4、5月份的用电量和电费的情况统计表：⑴ 若4月份在平稳期的用电量占当月用电量的， 135月份在平稳期的用电量占当月用电量的，求a 、b 在的值； 14⑵ 若6月份该厂预计用电20万度，为将电费控制在 10万元至10．6万元之间（不含10万元和10．6万元），那么该厂6月份在平稳期的用电量占当月用电量的比例应在什么范围？4.现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A 、B 两种不同规格的货车车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元。

九年级数学总复习(二) 方程(组)与不等式(组)华东师大版

九年级数学总复习（二）方程（组）与不等式（组）华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：总复习（二）方程（组）与不等式（组）［知识要点］（一）方程与方程（组）1. 方程与方程（组）有关概念（1）方程：含有未知数的等式。

（2）整式方程：重点研究一元一次方程（ax b a +=≠00，）和一元二次方程（ax bx c a 200++=≠，）。

（3）分式方程（可化为一元一次方程的分式方程）（4）二元一次方程组2. 方程（组）的解与解方程（组）（1）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做根。

（2）方程组的解：使方程组中每个方程左右两边的值都相等的所有未知数的值，叫做该方程组的解。

（3）解方程：求方程解的过程。

（4）等式的基本性质：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不是零），所得的结果仍是等式。

（5）一元一次方程（包括含字母系数的一元一次方程）解法的一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1（6）一元二次方程的解法：直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法；（7）一次方程组的解法：一次方程组通过代入消元或加减消元转化为一次方程来解决。

（8）可化为一元一次方程的分式方程的解法；分式方程通过去分母或换元转化为整式方程来解决，注意验根。

（9）二元一次方程组的解法：通过代入消元或加减消元转化为一元一次方程来解决。

※3. 一元二次方程ax bx c a 200++=≠()根的判别式。

∆=->⇔b ac 240方程有两个不相等的实数根 ∆=-=⇔b ac 240方程有两个相等的实数根 ∆=-<⇔b ac 240方程没有实数根4. 应用问题解应用题时，应该有两步检验，一是检验所求得的解是否为原方程（组）的解；二是检验它是否符合实际意义。

（1）列方程（组）解应用问题常用的基本数量关系： ①数量的和、差、倍、分；②距离＝速度×时间，注意变式的情况；③工作量＝工作效率×工作时间，注意变式的情况；④增长率=增长数基数×100%；⑤数字问题； ⑥面积问题。

【详解版】届九级中考总复习(华师大版)精练精析：命题与证明(页,考点分析点评)

图形的性质一一命题与证明1•选择题（共8小题）1.下列命题是假命题的是（ A .四个角相等的四边形是矩形 C .对角线垂直的四边形是菱形）B .对角线相等的平行四边形是矩形 D .对角线垂直的平行四边形是菱形22.已知命题关于x 的一元二次方程x +bx+仁0 ,当b v 0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）A . b=- 1B . b=2C . b=- 2D . b=0 3.已知命题A :任何偶数都是8的整数倍.在下列选项中，可以作为命题A 是假命题”的反例的是（）A. 2k B . 15 C . 24 D . 42 4. 下列四个命题：（1 ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2 ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题个数有（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个 5.以下命题是真命题的是（）A .等腰梯形是轴对称图形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 四边相等的四边形是正方形D .有两条相互垂直的对称轴的四边形是菱形 6.下列命题错误的是（）A .所有的实数都可用数轴上的点表示 C .无理数包括正无理数， 0,负无理数 7.已知下列命题：① 若 a > b ,贝U ac > bc ; ② 若a=1，则 I =a ;③ 内错角相等；④ 90°的圆周角所对的弦是直径. 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 &下列命题是真命题的是（ A •四边形都相等的四边形是矩形B .等角的补角相等 D .两点之间，线段最短B •菱形的对角线相等C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D .对角线相等的梯形是等腰梯形二•填空题（共7小题）29请举反例说明命题对于任意实数x, x +5X+5的值总是正数”是假命题，你举的反例是x= （写出一个x的值即可）.10•已知命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等. ”写出它的逆命题：______________ ，该逆命题是__________________ 命题（填真”或假”.11.以下四个命题：①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形.②当m> 0时，y - mx+1与y=两个函数都是y随着x的增大而减小.③已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A, B, C, D按逆时针依次排列，若A点坐标为（1, “二:“，则D点坐标为（1, -仞|.④在一个不透明的袋子中装有标号为1 , 2, 3, 4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为.其中正确的命题有____________________ （只需填正确命题的序号）12•命题对顶角相等”的逆命题为______________________13•命题对顶角相等”的题设是_____________________ ，结论是__________________ •14命题直角三角形两个锐角互余”的条件是________________________ ，结论是__________________ 15•请阅读下列语句：①一个数的相反数是它本身，则这个数一定是正数；2 2②方程ax +bx+c=0 ,当b - 4ac> 0时，方程一定有两个不等实根;③函数y=kx+b，当k>0时，图象有可能不经过第二象限；④两边一角对应相等的两个三角形全等；⑤某校对A、B两个班在一次数学测试中成绩统计为：A班的方差£：> B班的方差$$,得出结论是：B班的成绩比A班的好.其中正确的是____________________ （只填序号）三•解答题（共5小题）16. 写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程.命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边”）.已知：如图，____________________ .求证：__________________ .证明：17. 已知命题：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB // DE 判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明.18. 已知命题：P是等边三角形ABC内的一点，若P到三边的距离相等，则PA=PB=PC •” 证明这个命题，并写出它的逆命题.判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明.19. 设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题：2①若a +ab+c>0，且c> 1,则0v b v 2；2②若c> 1 且0v b v 2,贝U a +ab+c>0;2③若0 v b v 2,且a +ab+c> 0,贝U c> 1.试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定.20. 如图，直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截.在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明.①AB 丄BC、CD 丄BC ,② BE // CF,③ / 1 = / 2.题设（已知）：___________________ .结论（求证）：___________________ .图形的性质 ——命题与证明 1参考答案与试题解析一．选择题（共 8 小题） 1．下列命题是假命题的是（ A ．四个角相等的四边形是矩形 C ．对角线垂直的四边形是菱形考点：命题与定理．分析：根据矩形的判定对 A 、 B 进行判断；根据菱形的判定方法对 C 、 D 进行判断．解答：解：A 、四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故 A 选项不符合题意;B 、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故C 、对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故故选： C ．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．22•已知命题关于x 的一元二次方程x+bx+仁0,当b v 0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）A • b= - 1B • b=2C • b= - 2D . b=0考点：命题与定理；根的判别式．专题：常规题型．分析：先根据判别式得到 △ =b 2-4，在满足b v 0的前提下，取b= - 1得到△< 0,根据判别式的意义得到方程没有实数解,于是 b=- 1 可作为说明这个命题是假命题的一个反例． 2解答：解：△ =b - 4，由于当b= - 1时，满足b v 0,而△ v 0,方程没有实数解，所以当 b=- 1 时,可说明这个命题是假命题．故选： A ．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句,叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成, 题设是已知事项, 结论是由已知事项推出的事项, 一个命题可以写成如果••那么…'形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理•也考查了根的判别式．3 •已知命题A :任何偶数都是8的整数倍•在下列选项中，可以作为命题A 是假命题”的反例的是（）分析：证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．解答：解：42 是偶数，但 42不是 8的倍数．故选： D ．）B ．对角线相等的平行四边形是矩形 D ．对角线垂直的平行四边形是菱形B 选项不符合题意；C 选项符合题意；D 、对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D 选项不符合题意．A ． 2kB ． 15考点：命题与定理．C ．24D ． 42点评：本题考查了命题：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果••那么…形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.4．下列四个命题：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个考点：命题与定理；平行四边形的判定．专题：常规题型．分析：分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可．解答：解：（1 ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，此选项正确；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，此选项正确；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形，此选项正确；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此选项正确．故选：A ．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．5．以下命题是真命题的是（）A ．等腰梯形是轴对称图形B ．对角线相等的四边形是矩形C．四边相等的四边形是正方形D ．有两条相互垂直的对称轴的四边形是菱形考点：命题与定理．专题：常规题型．分析：根据等腰图形的性质对A矩形判断；根据矩形、正方形和菱形的判定方法分别对B、C、D 矩形判断．解答：解：A、等腰梯形是轴对称图形，所以A选项正确；B 、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 B 选项错误；C、四边相等且有一个角为90 °勺四边形是正方形，所以C选项错误；D、有两条相互垂直的对称轴的四边形可以是菱形或矩形，所以D选项错误. 故选：A ．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．6. 下列命题错误的是（）A . 所有的实数都可用数轴上的点表示B .等角的补角相等C. 无理数包括正无理数，0,负无理数 D .两点之间，线段最短考点：命题与定理.专题：常规题型.分析：根据实数与数轴上的点------- 对应对A进行判断；根据补角的定义对B进行判断；根据无理数的分类对C进行判断；根据线段公理对D进行判断.解答：解：A、所有的实数都可用数轴上的点表示，所以A选项正确；B、等角的补角相等，所以B选项正确；C、无理数包括正无理数和负无理数，0是有理数，所以C选项错误；D、两点之间，线段最短，所以D选项正确.故选：C.点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理.7. 已知下列命题：①若a> b,贝U ac> be;②若a=1，则i =a；③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个 D . 4个考点：命题与定理.专题：常规题型.分析：先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可.解答：解；①若a>b,则ac>be是假命题，逆命题是假命题；②若a=1，则_=a是真命题，逆命题是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；故选：A .点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题. 其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.&下列命题是真命题的是（）A . 四边形都相等的四边形是矩形B . 菱形的对角线相等C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形D . 对角线相等的梯形是等腰梯形考点：命题与定理.分析：禾U用特殊的四边形的判定和性质定理逐一判断后即可确定正确的选项.解答：解：A、四条边都相等的是菱形，故错误，是假命题；B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故错误，是假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形但不一定是正方形，故错误，是假命题；D、正确，是真命题.故选：D.点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题.二.填空题（共7小题）29. __ 请举反例说明命题对于任意实数x, x +5x+5的值总是正数”是假命题，你举的反例是x= （写出一个x的值即可）.考点：命题与定理.专题：开放型.分析：先进行配方得至y x2+5x+5=x?+5x+ ——= (x — ) 2—，当x=时，贝U有X?+5X+5=4—V 0.解答：的 2 2 25 2解：x +5x+5=x +5x+—7 —= (x —) —，4当x=时，2x +5x+5= —V 0，•••是假命题.故答案为:本题考查了命题与定理的知识，在判断一个命题为假命题时，可以举出反例.10. 已知命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等. ”写出它的逆命题:如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题（填真或假”.考点：命题与定理.分析：交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题.解答：解：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等. ”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假.点评：本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质.11. 以下四个命题：①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形.②当m> 0时，y= - mx+1与y=两个函数都是y随着x的增大而减小.③已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A, B, C, D按逆时针依次排列，若A点坐标为（1, 「：，则D点坐标为（1，_ 1 .④在一个不透明的袋子中装有标号为1 , 2, 3, 4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为.其中正确的命题有①（只需填正确命题的序号）考点：命题与定理.点评:专题：推理填空题.分析：利用菱形的性质、一次函数及反比例函数的性质、图形与坐标及概率的知识分别判断后即可确定答案.解答：解：① 每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形，故①正确.②当m> 0时，-m v 0, y= - mx+1是y随着x的增大而减小，y=是在同一象限内y随着x的增大而减小，故②错误.③已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A, B, C, D按逆时针依次排列，若A点坐标为（1,: 为（-④在一个不透明的袋子中装有标号为 1 , 2, 3, 4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为，故④错误，故答案为：①.点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的性质、一次函数及反比例函数的性质、图形与坐标及概率的知识，难度一般.12. 命题对顶角相等”的逆命题为如果两个角相等，那么它们是对顶角.考点：命题与定理.分析：把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题.解答：解：对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，所以逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角.故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角.点评：本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题. 其中一个命题称为另一个命题的逆命题.13. 命题对顶角相等”的题设是两个角是对顶角，结论是这两个角相等.考点：命题与定理.分析：任何一个命题都可以写成如果…，那么…的形式，如果后面是题设，那么后面是结论.解答：解：命题对顶角相等”可写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.故命题对顶角相等”的题设是两个角是对顶角”结论是这两个角相等”.点评：本题考查的是命题的题设与结论，解答此题目只要把命题写成如果…，那么…的形式，便可解答.14. 命题直角三角形两个锐角互余 "的条件是一个直角三角形中的两个锐角，结论是这两个锐角互余•考点：命题与定理.分析：命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的，结论是结果.解答：解：直角三角形两个锐角互余”的条件是一个直角三角形中的两个锐角，结论是这两个锐角互余.点评：本题考查了命题的条件和结论的叙述.15•请阅读下列语句：①一个数的相反数是它本身，则这个数一定是正数；2 2②方程ax +bx+c=O ,当b - 4ac> 0时，方程一定有两个不等实根；③函数y=kx+b，当k>0时，图象有可能不经过第二象限；④两边一角对应相等的两个三角形全等；⑤某校对A、B两个班在一次数学测试中成绩统计为：A班的方差sj> B班的方差S冒，得出结论是：B班的成绩比A班的好.其中正确的是②③（只填序号）考点：命题与定理.分析：禾U用相反数的定义、根的判别式、一次函数的性质、全等三角形的判定及方差的意义分别判断后即可确定正确的答案.解答：解：①一个数的相反数是它本身，则这个数一定是正数，错误；2 9②方程ax +bx+c=0 ,当b - 4ac> 0时，方程一定有两个不等实根，正确；③函数y=kx+b，当k>0时，图象有可能不经过第二象限，正确；④两边一角对应相等的两个三角形全等，错误；⑤某校对A、B两个班在一次数学测试中成绩统计为：A班的方差S^> B班的方差£§，得出结论是：B班的成绩比A班的好，错误，故答案为：②③.点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相反数的定义、根的判别式、一次函数的性质、全等三角形的判定及方差的意义，属于基础题，比较简单.三•解答题（共5小题）16. 写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程.命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边”）.已知：如图，在厶ABC中，/ B= / C .求证：AB=AC .证明：考点：命题与定理；等腰三角形的性质.专题：证明题.分析：根据图示，分析原命题，找出其条件与结论，然后根据/ B= / C证明△ ABC为等腰三角形，从而得出结论.解答：解：在△ ABC中，/ B= / C,AB=AC ,证明：过点A作AD丄BC于D ,•••/ ADB= / ADC=90 °在厶ABD和厶ACD中，'ZADB-ZADC，ZB=ZCAD-AD•△ ABD ◎△ ACD (AAS ),•AB=AC .点评：本题主要考查学生对命题的定义的理解，难度适中.17. 已知命题：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB // DE . ”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明.考点：命题与定理.分析：根据平行线的性质与判定分析得出即可.解答：解：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB // DE，是假命题,当添加：/ B= / E 时，AB // DE,理由：I/ B= / E,••• AB // DE .点评：此题主要考查了命题与定理，熟练利用平行线的判定得出是解题关键.18. 已知命题：P是等边三角形ABC内的一点，若P到三边的距离相等，则PA=PB=PC •” 证明这个命题，并写出它的逆命题.判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明.考点：命题与定理.分析：首先画出图形，由PD丄AB于D, PE丄BC于E, PD=PE，根据角平分线的判定得出BP平分/ ABC ,由BA=BC ,根据等腰三角形三线合一的性质得出BP是AC的垂直平分线，同理，AP 是BC的垂直平分线，CP是AB的垂直平分线，那么P是厶ABC三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质即可证明PA=PB=PC ;将原命题的题设与结论交换位置即可写出其逆命题；可证明其逆命题成立•先由PA=PB , AC=BC ,根据线段垂直平分线的判定得出CP是AB的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质得出CP平分/ ACB，同理，BP平分/ ABC , AP平分/ BAC，那么P是厶ABC三个角的角平分线的交点，根据角平分线的性质即可得出PD=PE=PF .解答：解：如图，已知P是等边三角形ABC内的一点，PD丄AB于D , PE丄BC于E, PF丄AC 于F, PD=PE=PF .求证：PA=PB=PC .证明：••• PD丄AB 于D, PE丄BC 于E, PD=PE ,• BP 平分/ ABC , •/ BA=BC ,•BP是AC的垂直平分线，同理，AP是BC的垂直平分线，CP是AB的垂直平分线,•P是厶ABC三边垂直平分线的交点，• PA=PB=PC.逆命题：P是等边三角形ABC内的一点，若PA=PB=PC，则P到三边的距离相等.其逆命题成立.证明：••• PA=PB,•P在AB的垂直平分线上，•/ AC=BC ,•C在AB的垂直平分线上，•CP是AB的垂直平分线，•CP 平分/ ACB ,同理，BP平分/ ABC , AP平分/ BAC ,•P是厶ABC三个角的角平分线的交点，•PD=PE=PF.点评：本题考查了命题与定理，角平分线、线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，难度适中•利用数形结合是解题的关键.19. 设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题：2①若a +ab+c>0，且c> 1,则0v b v 2；2②若c> 1 且0v b v 2,贝U a +ab+c>0;2③若0 v b v 2,且a +ab+c> 0,贝U c> 1.试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定.考点：推理与论证；反证法.专题：推理填空题.分析：用反证法证明就可以代入特殊值来看看，令b=4 , c=5可以证明命题①不正确，b=1, c=，可以证明命题③不正确若，命题②正确可证明.解答：解：令b=4 , c=5可以证明命题① 不正确.若b=1 , c=，可以证明命题③不正确.命题②正确，证明如下由c> 1，且0v b v 2,得0 vv 1 v c.k 2 k2则c>> （卫）,c> —>02 4故a2+ab+c= 「il : + （c-丄）> 0点评：本题考查灵活运用反例的能力以及灵活掌握不等式的能力.20. 如图，直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截.在下面三个式子中, 请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明.① AB 丄BC、CD 丄BC ,② BE // CF,③ / 1 = / 2.题设（已知）：①②.结论（求证）：③.考点：命题与定理；平行线的判定与性质.专题：计算题.分析：可以有①② 得到③：由于AB丄BC、CD丄BC得到AB // CD，利用平行线的性质得至U/ ABC= / DCB，又BE // CF,则/ EBC= / FCB ,可得至ABC -/ EBC= / DCB -Z FCB，即有/ 1= / 2.解答：已知：如图，AB丄BC、CD丄BC , BE // CF.求证：Z 1 = / 2.证明：••• AB 丄BC、CD 丄BC,••• AB // CD ,•••/ ABC= / DCB ,又••• BE // CF,•••/ EBC= / FCB ,•••/ ABC -Z EBC= / DCB -/ FCB ,•••/ 1 = Z 2. 故答案为①② ；③ ；省略．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理论证的真命题称为定理.也考查了平行线的性质.。

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方程与不等式——不等式与不等式组2一．选择题（共9小题）1．不等式组的解集是（）A．﹣1≤x＜2 B．x≥﹣1 C．x＜2 D．﹣1＜x≤22．不等式组的解集是（）A．＜x≤2 B．﹣＜x＜2 C．﹣＜x≤2 D．﹣≤x≤23．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣36 B．a≤﹣36 C．a＞﹣36 D．a≥﹣364．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．75．不等式组的最小整数解是（）A．1 B．2 C．3 D．46．不等式组的整数解共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．若不等式组的解是x＞2，则（）A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≤28．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．9．不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B．C．D．二．填空题（共7小题）10．不等式4x﹣3＜2x+5的解集是_________．11．已知关于x的不等式（3﹣a）x＞a﹣3的解集为x＜﹣1，则a的取值范围是_________．12．不等式组的解集是_________．13．不等式x﹣4≤的解集是_________．14．如图，若开始输入的x的值为正整数，最后输出的结果为144，则满足条件的x的值为_________．15．某次知识竞赛共有20道选择题，对于每一道题，答对得10分，打错或不答扣3分．若小刚希望总得分不少于70分，则他至少需答对_________道题．16．某种商品的进价为320元，为了吸引顾客，按标价的八折出售，这时仍可盈利至少25%，则这种商品的标价最少是_________元．三．解答题（共8小题）17．解不等式组：．18．求不等式组的解集．19．解不等式组：，并把解集在如图数轴上表示出来．20．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？21．小佳的老板预计订购5盒巧克力，每盒颗数皆相同，分给工作人员，预定每人分15颗，会剩余80颗，后来因经费不足少订了2盒，于是改成每人分12颗，但最后分到小佳时巧克力不够分，只有小佳拿不到12颗，但她仍分到3颗以上（含3颗）．请问所有可能的工作人员人数为何？请完整写出你的解题过程及所有可能的答案．22．“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？23．现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B 商品用了160元．（1）求A，B两种商品每件各是多少元？（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？24．为落实国家“三农”政策，某地政府组织40辆汽车装运A、B、C三种农产品共200吨到外地销售，按计划，40辆车都要装运，每辆车只能装运同一种农产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题：农产品种类 A B C每辆汽车的装载量（吨） 4 5 6（1）如果装运C种农产品需13辆汽车，那么装运A、B两种农产品各需多少辆汽车？（2）如果装运每种农产品至少需要11辆汽车，那么车辆的装运方案有几种？写出每种装运方案．方程与不等式——不等式与不等式组2参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．不等式组的解集是（）A．﹣1≤x＜2 B．x≥﹣1 C．x＜2 D．﹣1＜x≤2考点：解一元一次不等式组．分析：分别求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．解答：解：，由①得，4x＜8，x＜2，由②得，x≥﹣1，故不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故选：A．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．不等式组的解集是（）A．＜x≤2 B﹣＜x＜2 C．﹣＜x≤2 D．﹣≤x≤2考点：解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．解答：解：，解①得：x≤2，解②得：x＞﹣，则不等式组的解集是：﹣＜x≤2．故选：C．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．3．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣36 B．a≤﹣36 C．a＞﹣36 D．a≥﹣36考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，不等式组有解，即两个不等式的解集有公共部分，据此即可列不等式求得a的范围．解答：解：，解①得：x＜a﹣1，解②得：x≥﹣37，∵方程有解，∴a﹣1＞﹣37，解得：a＞﹣36．故选：C．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x大于较小的数、小于较大的数，那么解集为x介于两数之间．4．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（）A． 4 B．5 C．6 D．7考点：一元一次不等式组的整数解．分析：先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，找出不等式组的整数解即可．解答：解：∵解不等式2x+1＞0得：x＞﹣，解不等式x﹣5≤0得：x≤5，∴不等式组的解集是﹣＜x≤5，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，故选：C．点评：本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．5．不等式组的最小整数解是（）A． 1 B．2 C．3 D． 4考点：一元一次不等式组的整数解．分析：分别解两个不等式，然后求出不等式组的解集，最后找出最小整数解．解答：解：，解①得：x≥1，解②得：x＞2，则不等式的解集为x＞2，故不等式的最小整数解为3．故选：C．点评：本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．6．不等式组的整数解共有（）A．1个B2个C．3个D．4个考点：一元一次不等式组的整数解．分析：此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值．解答：解：，解①得：x≥3，则不等式组的解集是：3≤x＜5．则整数解是3和4共2个．故选：B．点评：此题考查的是一元一次不等式组的解法，根据x的取值范围，得出x的整数解，然后代入方程即可解出a的值．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．7若不等式组的解是x＞2，则（）A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≤2考点：不等式的解集．专题：计算题．分析：根据已知解集，利用不等式组取解集的方法判断即可确定出a的范围．解答：解：∵不等式组的解是x＞2，∴a≤2．故选D．点评：此题考查了不等式的解集，解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．8．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．专题：存在型．分析：先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．解答：解：，由①得，x≥1，由②得，x＞3，故此不等式组的解集为：x＞3，在数轴上表示为：故选D．点评：本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集及解一元一次不等式，熟知不等式的解集在数轴上表示出来的方法是解答此题的关键，即：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．9．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．专题：探究型．分析：先分别求出各不等式的解集，求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可，解答：解：，由①得，x＞﹣1，由②得，x≤1，故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤1，在数轴上表示为：故选：B．点评：本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．二．填空题（共7小题）10．不等式4x﹣3＜2x+5的解集是x＜4．考点：解一元一次不等式．分析：移项，合并同类项，系数化成1即可．解答：解：4x﹣3＜2x+5，4x﹣2x＜5+3，2x＜8，x＜4，故答案为：x＜4．点评：本题考查了解一元一次不等式的应用，注意：解一元一次不等式和解一元一次方程类似：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1，但是不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变．11．已知关于x的不等式（3﹣a）x＞a﹣3的解集为x＜﹣1，则a的取值范围是a＞3．考点：不等式的解集．专题：计算题．分析：根据已知解集得到3﹣a为负数，即可确定出a的范围．解答：解：∵不等式（3﹣a）x＞a﹣3的解集为x＜﹣1，∴3﹣a＜0，解得：a＞3．故答案为：a＞3点评：此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．12．不等式组的解集是1≤x＜3．考点：不等式的解集．专题：计算题．分析：利用不等式组取解集的方法判断即可得到结果．解答：解：不等式组的解集是1≤x＜3．故答案为：1≤x＜3．点评：此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．13．不等式x﹣4≤的解集是x≥﹣2．考点：解一元一次不等式．分析：按照解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1解出即可．解答：解：x﹣4≤3（x﹣4）≤4x﹣103x﹣12≤4x﹣103x﹣4x≤﹣10+12﹣x≤2x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．点评：本题考查了解不等式的能力，掌握不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．14．如图，若开始输入的x的值为正整数，最后输出的结果为144，则满足条件的x的值为29或6．考点：一元一次不等式的应用．专题：图表型．分析：利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出144，可得方程5x﹣1=144，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案．解答：解：第一个数就是直接输出其结果的：5x﹣1=144，解得：x=29，第二个数是（5x﹣1）×5﹣1=144解得：x=6；第三个数是：5[5（5x﹣1）﹣1]﹣1=144，解得：x=1.4（不合题意舍去），第四个数是5{5[5（5x﹣1）﹣1]﹣1}﹣1=144，解得：x=（不合题意舍去）∴满足条件所有x的值是29或6．故答案为：29或6．点评：此题考查了方程与不等式的应用．注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键．15．某次知识竞赛共有20道选择题，对于每一道题，答对得10分，打错或不答扣3分．若小刚希望总得分不少于70分，则他至少需答对10道题．考点：一元一次不等式的应用．分析：可设答对了x道题，则答错或不答的有（20﹣x）道，再根据答对得10分，答错了或不答，则扣3分，总得分不少于70分，所以有10x﹣3（20﹣x）≥70，解之即可．解答：解：设至少要答对x道题，总得分才不少于70分，则答错或不答的题目共有（20﹣x），依题意得：10x﹣3（20﹣x）≥70，10x﹣60+3x≥70，13x≥130，x≥10，答：至少要答对10道题，总得分才不少于70分．故答案为：10．点评：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解；准确的找到不等关系列不等式是解题的关键．16．某种商品的进价为320元，为了吸引顾客，按标价的八折出售，这时仍可盈利至少25%，则这种商品的标价最少是500元．考点：一元一次不等式的应用．分析：首先设这种商品的标价是x元，根据题意可得不等关系：售价﹣进价≥利润，根据不等关系列出不等式即可．解答：解：设这种商品的标价是x元，由题意得：x×80%﹣320≥25%×320，解得：x≥500，则这种商品的标价最少是500元，故答案为：500．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式．三．解答题（共8小题）17．解不等式组：．考点：解一元一次不等式组．分析：本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交集，则不等式无解．解答：解：不等式组可以转化为：，在坐标轴上表示为：∴不等式组的解集为﹣6＜x≤13．点评：求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．18．求不等式组的解集．考点：解一元一次不等式组．分析：要求不等式组的解，只需要求出这两个不等式得解，然后根据不等式的解的公共部分确定不等式组的解．解答：解：由（1）得：，（3分）由（2）得：x≤1，（3分）故原不等式组的解集为：﹣＜x≤1．（4分）点评：本题考查了解一元一次不等式组，要求学生熟练一元一次不等式组的解集确定的方法．同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找．19．解不等式组：，并把解集在如图数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．解答：解：∵解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为2＜x＜3，在数轴上表示为：．点评：本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．20．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则等量关系为：1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元，2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元；（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则根据“购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元”得到不等式组．解答：解：（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则，解得．答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则依题意得，解得2≤a≤3．∵a是正整数，∴a=2或a=3．∴共有两种方案：方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；方案二：购买3辆A型车和3辆B型车．点评：本题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．21．小佳的老板预计订购5盒巧克力，每盒颗数皆相同，分给工作人员，预定每人分15颗，会剩余80颗，后来因经费不足少订了2盒，于是改成每人分12颗，但最后分到小佳时巧克力不够分，只有小佳拿不到12颗，但她仍分到3颗以上（含3颗）．请问所有可能的工作人员人数为何？请完整写出你的解题过程及所有可能的答案．考点：一元一次不等式组的应用．分析：设该公司的工作人员为x人．则每盒巧克力的颗数是，根据不等关系：每人分12颗，但最后分到小佳时巧克力不够分，只有小佳拿不到12颗，但她仍分到3颗以上（含3颗），列不等式组．解答：解：设该公司的工作人员为x人．则，解得16＜x≤19．因为x是整数，所以x=17，18，19．答：所有可能的工作人员人数是17人、18人、19人．点评：本题考查了一元一次不等式组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．22．“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．专题：优选方案问题．分析：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．解答：解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得，解得答：设购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得，解得：6≤a≤8，所以a=6，7，8；则（10﹣a）=4，3，2；三种方案：①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．点评：此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．23．现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B 商品用了160元．（1）求A，B两种商品每件各是多少元？（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．专题：优选方案问题．分析：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，根据关系式列出二元一次方程组．（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件，根据关系式列出二元一次不等式方程组．求解再比较两种方案．解答：解：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，依题意，得，解得．答：A商品每件20元，B商品每件50元．（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件解得5≤a≤6根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10﹣5）=350元；方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10﹣6）=320元；∵350＞320∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低．点评：此题主要考查二元一次方程组及二元一次不等式方程组的应用，根据题意得出关系式是解题关键．24．为落实国家“三农”政策，某地政府组织40辆汽车装运A、B、C三种农产品共200吨到外地销售，按计划，40辆车都要装运，每辆车只能装运同一种农产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题：农产品种类 A B C每辆汽车的装载量（吨） 4 5 6（1）如果装运C种农产品需13辆汽车，那么装运A、B两种农产品各需多少辆汽车？（2）如果装运每种农产品至少需要11辆汽车，那么车辆的装运方案有几种？写出每种装运方案．考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：（1）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．等量关系：40辆车都要装运，A、B、C三种农产品共200吨；（2）关系式为：装运每种农产品的车辆数≥11．解答：解：（1）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．则，解得．答：装运A、B两种农产品各需13、14辆汽车；（2）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．则4x+5y+6（40﹣x﹣y）=200，解得：y=﹣2x+40．由题意可得如下不等式组：，即，解得：11≤x≤14.5因为x是正整数，所以x的值可为11，12，13，14共4个值，因而有四种安排方案．方案一：11车装运A，18车装运B，11车装运C方案二：12车装运A，16车装运B，12车装运C．方案三：13车装运A，14车装运B，13车装运C．方案四：14车装运A，12车装运B，14车装运C．点评：本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定x的范围，得到装载的几种方案是解决本题的关键．。