2015-2016年广西桂林市高一上学期数学期末试卷带答案

2015-2016学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.18，19，20题无答案1．（5.00分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{1，2}B．{5}C．{1，2，3}D．{3，4，6}2．（5.00分）已知平面上两点A（﹣1，1），B（5，9），则|AB|=（）A．10 B．20 C．30 D．403．（5.00分）下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．f（x）=3x B．C．D．4．（5.00分）设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．5．（5.00分）若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A．2 B．﹣1 C．3 D．﹣1或26．（5.00分）已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a 的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．7．（5.00分）若定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，则有（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（﹣2）＜f （1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）8．（5.00分）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．9．（5.00分）空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90°，则MN=（）A．10 B．6 C．8 D．510．（5.00分）已知a＞0，b＞0，且ab=1，a≠1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．11．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．11212．（5.00分）已知函数f（x）=log2（a2x﹣4a x+1），且0＜a＜1，则使f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2log a2） D．（2log a2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．（5.00分）计算：=．14．（5.00分）直线3x+4y﹣5=0到直线3x+4y+15=0的距离是．15．（5.00分）在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为．16．（5.00分）如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF==a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10.00分）求下列函数的定义域：（1）f（x）=log2（2）f（x）=．18．（12.00分）在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点坐标为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3）．（1）求直线BC的方程；（2）求边BC上高AD所在的直线方程．19．（12.00分）已知函数f（x）=（1）在下表中画出该函数的草图；（2）求函数y=f（x）的值域、单调增区间及零点．20．（12.00分）某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x 的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？21．（12.00分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．22．（12.00分）已知定义域为R的函数f（x）=（a，b是常数）是奇函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.18，19，20题无答案1．（5.00分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{1，2}B．{5}C．{1，2，3}D．{3，4，6}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，又∵∁U B={4，5，6}，∴B={1，2，3}，∵A={1，2，5}，∴A∩B={1，2}，故选：A．2．（5.00分）已知平面上两点A（﹣1，1），B（5，9），则|AB|=（）A．10 B．20 C．30 D．40【解答】解：∵平面上两点A（﹣1，1），B（5，9），∴|AB|==10．故选：A．3．（5.00分）下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．f（x）=3x B．C．D．【解答】解：由于函数f（x）=3x，f（x）=，f（x）=﹣在（0，+∞）上为增函数，故排除．由对数函数的性质可得在（0，+∞）上为减函数，满足条件，故选：B．4．（5.00分）设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．【解答】解：∵，∴f（﹣2）=2﹣2=，f（f（﹣2））=f（）=1﹣=．故选：C．5．（5.00分）若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A．2 B．﹣1 C．3 D．﹣1或2【解答】解：幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，所以m2﹣m﹣1=1，并且m＞0，解得m=2．故选：A．6．（5.00分）已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a 的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由≠，解得：a=．综上，a=0或，故选：C．7．（5.00分）若定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，则有（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（﹣2）＜f （1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，∴f（3）＜f（2）＜f（1），∵函数是偶函数，∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选：A．8．（5.00分）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选：A．9．（5.00分）空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90°，则MN=（）A．10 B．6 C．8 D．5【解答】解：∵空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90°，∴取AD中点P，连结MP、NP，则MP∥BD，NP∥AC，∴∠MPN=90°，MP=3，PN=4，∴MN==5．故选：D．10．（5.00分）已知a＞0，b＞0，且ab=1，a≠1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且ab=1，a≠1，∴函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x在同一坐标系中的图象可能是，故选：B．11．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．112【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体．四棱锥的高h1=3，正方体棱长为4V正方体=Sh2=42×4=64，V四棱锥=Sh1==16，所以V=64+16=80．故选：C．12．（5.00分）已知函数f（x）=log2（a2x﹣4a x+1），且0＜a＜1，则使f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2log a2） D．（2log a2，+∞）【解答】解：由题意，使f（x）＞0成立即log2（a2x﹣4a x+1）＞0，所以a2x﹣4a x+1＞1，整理得a x＞4，且0＜a＜1，所以x＜log a4=2log a2；故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．（5.00分）计算：=．【解答】解：∵+20=+20=+1=．故答案为：．14．（5.00分）直线3x+4y﹣5=0到直线3x+4y+15=0的距离是4．【解答】解：∵直线3x+4y﹣5=0与直线3x+4y+15=0平行，∴利用两条平行线间的距离公式，可得=4故答案为：415．（5.00分）在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．【解答】解：∵AD⊥BC∴沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，AD⊥BD，AD⊥CD故∠BDC即为二面角B﹣AD﹣C的平面角又∵BD=CD=，∴∠BDC=60°故答案为：60°16．（5.00分）如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF==a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为．【解答】解：∵ABCD是正方形，∴CB⊥AB，∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF．∵AG，GB⊂面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，∴AG=BG=a，AB=2a，∴AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG，∵BG∩BC=B，∴AG⊥平面CBG，而AG⊂面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角．在Rt△CBG中，BH==，BG=a，∴sin∠BGH==．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10.00分）求下列函数的定义域：（1）f（x）=log2（2）f（x）=．【解答】解：（1）要使函数有意义，则3x﹣2＞0，即x＞，即函数的定义域为（，+∞）．（2）要使函数有意义，则4﹣2x≥0，即2x≤4，得x≤2，即函数的定义域为（﹣∞，2]．18．（12.00分）在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点坐标为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3）．（1）求直线BC的方程；（2）求边BC上高AD所在的直线方程．【解答】解：（1）因为B（1，﹣2），C（﹣2，3）．所以直线BC的方程：整理得5x+3y+1=0；（2）因为边BC上高AD，所以AD 的斜率为，又A（2，4），所以AD的方程为y﹣4=（x﹣2），整理得所求方程：3x﹣5y+14=0．19．（12.00分）已知函数f（x）=（1）在下表中画出该函数的草图；（2）求函数y=f（x）的值域、单调增区间及零点．【解答】解：（1）函数草图，如图所示：f（x）=x2﹣1（x＜1）过点（0，﹣1），（﹣1，0），显然f（x）=x2﹣1（x＜1）与都过点（1，0），且过点（2，﹣1）．（2）y=f（x）的值域为R，y=f（x）的单调增区间：[0，1]，y=f（x）的零点为x1=﹣1，x2=1．20．（12.00分）某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x 的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【解答】解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．由题意设f（x）=k 1x，．由图知，∴又g（4）=1.6，∴．从而，（8分）（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．（0≤x≤10）令，则=当t=2时，，此时x=10﹣4=6（15分）答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元．（16分）21．（12.00分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1∴AC⊥BC1．（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，又∵AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD．22．（12.00分）已知定义域为R的函数f（x）=（a，b是常数）是奇函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）为R上的奇函数；∴；解得a=2，b=1；∴；（2）；x增大时，f（x）减小，f（x）在R上为减函数，证明如下：设x1＜x2，则：=；∵x1＜x2；∴，；又；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在R上单调递减；（3）f（x）为R上的奇函数，∴由f（kx2）+f（2x﹣1）＞0得：f（kx2）＞f（1﹣2x）；又f（x）单调递减；∴kx2＜1﹣2x对任意恒成立；∴对任意x恒成立；设g（x）=，；∴时，g′（x）＜0，x∈（1，3]时，g′（x）＞0；∴x=1时，g（x）取到最小值﹣1；∴k ＜﹣1；∴实数k 的取值范围为（﹣∞，﹣1）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。