1.1 数域

§1.1 数域
{
}
是至少含两个数的数集， 例2．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任 ． 是至少含两个数的数集 证明： 中任 意两个数的差与商（除数≠ ）仍属于P， 意两个数的差与商（除数≠0）仍属于 ，则P为一 为一 一个数域． 一个数域． 证：由题设任取 a , b ∈ P , 有
b 0 = a − a ∈ P , 1 = ∈ P (b ≠ 0), a − b ∈ P , b a ∈ P (b ≠ 0), a + b = a − (0 − b) ∈ P , b a b = 0 时, ab = 0 ∈ P . 当b ≠ 0时，ab = ∈ P,
c + d 2 (c + d 2)(a − b 2) = a + b 2 (a + b 2)(a − b 2) ac − 2bd ad − bc 2 ∈ Q. = 2 + 2 2 2 a − 2b a − 2b ∴ Q( 2)为数域． 为数域．
Gauss数域 数域
是数域. 类似可证 Q( i ) = a + bi a , b ∈ Q , i = −1 是数域
例如，整数集Z 就作成一个数环． 例如，整数集 就作成一个数环．
§1.1 数域
数学归纳法
数学归纳法原理） 定理 （数学归纳法原理） 的命题，如果 1 当n=1时，命题成立; 2 假设n=k时命题成立，则n=k+1命题也成立 ;那 么这个命题对于一切自然数n都成立. 设有一个与自然数n有关
§1.1 数域
例如，求方程 x 4 − 4 = 0 的根。在有理数范 围内此方程无根，在实数范围内，这个方程有 两个根： 2 ,− 2 。在复数范围内，这个方程 有四个根：± 2 ,± 2i 。由此可见，同一问题 在不同的数的范围内可能有不同的结论.
§1.1称为数集。另 外，在作代数问题时，不但要考虑一些数，而且 往往要对这些数作加减乘除四种运算。因此所考 虑的数集还必须满足条件：其中任两个数的和差 积商仍在这个集合内。
§1.1 数域
进而 有
m ∀m , n ∈ Z , ∈ P, n
+
m m − = 0 − ∈ P. n n
而任意一个有理数可表成两个整数的商， 而任意一个有理数可表成两个整数的商，
∴ Q ⊆ P.
§1.1 数域
例4.设F1及F2是两个数域。证明：F1 I F2也构成一个数域.
证明：由于任何数域都包含有理数域，故 F1，F2包含有理数域，从而F1 I F2也包含有理数域.
1 b
所以， 是一个数域 是一个数域． 所以，P是一个数域．
§1.1 数域
例3.若数域P包含 2 + 3，则必包含 2与 3.
证明：因P是数域且包含 2 + 3，故必包含 1 3- 2 = = 3 - 2. 2 + 3 （ 2 + 3）（ 3 - 2）
又( 2 + 3 ) ± ( 3 − 2 ) ∈ P, 即P包含 2 3与2 2 .从而包含 2与 3.
第一章 多项式
§1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §7 多项式函数 §8 复、实系数多项式 的因式分解 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式
一、数域 二、数域性质定理
§1.1 数域
数的范围 按照所研究的问题，常常要明确规定所考虑的 数的范围。
P2不是数域，对乘法不封闭. 例如0 + i,1 + 2i ∈ P2 , 但i(1 + 2i ) = − 2 + i ∉ P2 .
§1.1 数域
附:
数环 设P为非空数集，若 为非空数集， 为非空数集
∀a , b ∈ P , a ± b ∈ P , a ⋅ b ∈ P
则称P为一个数环． 则称 为一个数环． 为一个数环
§1.1 数域
例1．证明：数集 Q( 2) = a + b 2 | a , b ∈ Q 证明： 是一个数域． 是一个数域．
{
}
证：Q 0 = 0 + 0 2, 1 = 1 + 0 2, ∴ 0,1 ∈ Q( 2) 又对 ∀x , y ∈ Q( 2), 设 x = a + b 2, y = c + d 2,
关于数的加、减、乘、除等运算的性质称为 数的代数性质。
§1.1 数域
一、数域
定义
是由一些复数组成的集合， 设P是由一些复数组成的集合，其中包括 是由一些复数组成的集合 0与1，如果 中任意两个数的和、差、积、商（除 与 ，如果P中任意两个数的和 中任意两个数的和、 数不为0）仍是 中的数 则称P为一个数域． 中的数， 为一个数域 数不为 ）仍是P中的数，则称 为一个数域． 常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q； 常见数域： 复数域 ；实数域 ；有理数域 ；
§1.1 数域
练习
是否为数域？为什么? 判断数集P1 , P2 是否为数域？为什么
P = {a + bi a, b为任意整数}. 1
P2 = {a + bi a为任意有理数，b为任意实数}.
P 不是数域，对除法不封闭. 1 - 1 + 3i 3 1 例如 - 1 + 3i,2i ∈ P , 但 = + i ∉ P. 1 1 2i 2 2
a , b, c , d ∈ Q ,
则有
x ± y = (a ± c ) + ( b ± d ) 2 ∈ Q( 2), x ⋅ y = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) 2 ∈ Q( 2)
设 a + b 2 ≠ 0,
§1.1 数域
也不为0 于是 a − b 2 也不为0．
（否则，若 a − b 2 = 0, 则 a = b 2, 否则， a = 2 ∈ Q, 于是有 b 矛盾） 或 a = 0, b = 0 ⇒ a + b 2 = 0. 矛盾）
（注意：自然数集N及整数集 都不是数域．） 注意：自然数集 及整数集Z都不是数域．） 及整数集 都不是数域
§1.1 数域
说明： 说明： 中任意两个数作某一运算的结果仍在P 1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在 若数集 中任意两个数作某一运算的结果仍在 对这个运算是封闭 中，则说数集P对这个运算是封闭的． 则说数集 对这个运算是封闭的 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 数域的等价定义：如果一个包含 ， 在内的数 对于加法， 集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 对于加法 减法，乘法与除法（除数不为0 是封闭的，则称数集 为一个数域 为一个数域． 是封闭的，则称数集P为一个数域．
§1.1 数域
二、数域的性质定理
任意数域P都包括有理数域 ． 任意数域 都包括有理数域Q． 都包括有理数域 即，有理数域为最小数域． 有理数域为最小数域．
证明： 为任意一个数域． 证明： 设P为任意一个数域．由定义可知， 为任意一个数域 由定义可知，
0 ∈ P， 1 ∈ P .
于是有
∀m ∈ Z + , m = 1 + 1 + L + 1 ∈ P
令a, b ∈ F1 I F2 , 则a, b ∈ F1，a, b ∈ F2 .由于 F1与F2为数域，故a ± b, ab ∈ F1 , a ± b, ab ∈ F2 , a a 且当b ≠ 0时， ∈ F1 , ∈ F2 . b b
a 故a ± b, ab, ∈ F1 I F2 .即F1 I F2作成数域. b
数学归纳法
定理（第二数学归纳原理） 定理（第二数学归纳原理） 设有一个与自然数n有 关的命题 .如果 1 当n=1时命题成立; 2 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立, 则 命题对于k也成立;
那么命题对于一切自然数n来说都成立.
§1.1 数域