教改教案-旋转体的体积1课时
人教版数学五年级下册 第1课时 旋转 (优秀) 教案
第五单元《图形的运动（三）》教学计划一、单元教材分析本单元是在学生已有的关于对称和旋转的知识基础上，并结合学生熟悉的生活情境进行安排的，学生完全可以通过观察、想象、分析和推理等过程独立探究出来，因此教师注意让学生真正地、充分地进行活动和探究，要切实组织好学生的课堂活动，为学生创造探究的时间和空间，不要让教师的演示或少数学生的活动和回答代替每一位学生的亲自动手、亲自体验和独立思考。
这样学生的空间想象力和思维能力才能得到锻炼，空间观念才能得到发展二、单元教学目标1．进一步认识图形的旋转，探索图形旋转的特征和性质，能在方格纸上把简单图形旋转90°。
2．初步学会运用对称、平移和旋转的方法在方格纸上设计图案。
进一步增强空间观念，从而欣赏图形所创造出的美。
体会数学的价值。
三、单元教学重、难点1．探索图形成轴对称或旋转的特征和性质。
2．能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形，能把简单图形旋转90°四、单元教学课时安排：4课时图形的旋转变换…………………………………………………………2课时方格纸上图形的旋转变换………………………………………………2课时第1课时旋转（1）学习内容教材第83-84页例1、例2、做一做及练习二十一1-3题。
编写人学习目标1、进一步认识图形的运动方式之一——旋转，能在活动中探索出图形旋转的特征和性质，能结合具体实物用语言描述旋转的三要素。
2、通过观察、想象、分析和推理等过程，增强空间观念。
3、我能体会到旋转在生活中的应用，感受到数学的应用价值。
重难点能在活动中探索出图形旋转的特征和性质，能结合具体实物用语言描述旋转的三要素。
导学流程自主空间【独立自主学习】1、生活中你见过哪些旋转现象？2、观察教材第83页例1的钟面，思考以下问题：（1）指针从“12”到“1”是怎样旋转的？（2）指针是绕哪个点旋转？（3）向什么方向旋转？转动了多少度？（4）试着填一填：从“12”到“1”，指针绕点0顺时针方向旋转了 30°；从“1”到“”，指针绕点0顺时针方向旋转了 60°；从“3”到“6”，指针绕点0顺时针方向旋转了°；从“6”到“12”，指针绕点0顺时针方向旋转了°。
简单旋转体的表面积和体积关系教学案
简单旋转体的表面积和体积关系教学案一、引言旋转体是数学中的一种非常重要的几何体，在现实生活中也有很多应用。
比如我们日常生活中听到的“圆柱形”、“圆锥形”、“球形”等，这些都属于旋转体。
旋转体的表面积和体积关系是数学中一个基础又实用的概念，而且对于那些想深入研究数学的人来说，这是必学的一部分。
二、旋转体的概念旋转体是由一个基本形状，绕某一条轴线旋转而生成的几何体，比如圆形绕着轴线旋转，就可以生成一个圆柱形；三角形绕着轴线旋转，可以生成一个圆锥形。
旋转体有许多种类，比如圆柱体、圆锥体、球体，甚至我们平时看到的各种像眼镜、奖杯、水瓶等等，都可以看成是由某一基本形状旋转而成的。
三、旋转体的表面积和体积旋转体的表面积和体积是我们最为关心的问题，因为在很多实际问题中，我们需要通过表面积和体积来计算物体的质量、重量、密度等等一系列问题。
1、旋转体的表面积旋转体的表面积就是它的侧面积与底面积的和。
比如一个圆柱体，它的表面积等于其侧面积与两个底面积之和，即：S=2πrh+2πr²其中r为圆柱体的半径，h为圆柱体的高度。
对于其他类型的旋转体，我们也可以采用类似的方法来计算它的表面积。
2、旋转体的体积旋转体的体积就是其所包含的空间体积。
对于圆柱体、圆锥体、球体等等，它们的体积计算公式分别为：圆柱体的体积：V=πr²h圆锥体的体积：V=13πr²h球体的体积：V=43πr³其中r为基本形状的半径，h为由基本形状绕轴线旋转得到的旋转体的高度。
四、旋转体的表面积和体积关系一个简单的旋转体，它的表面积和体积之间并没有什么直接关系。
但是在实际应用中，我们通常会遇到一些需要计算其表面积和体积之比的问题。
比如我们需要制作一个密度为1克/立方厘米的铁球体，在保证铁球体积不变的条件下，如果我们要增加铁球体的质量，我们应该怎样做？答案是，这时我们需要将铁球表面加厚，因为铁球的密度不变，增加表面积就等于增加了总质量。
《定积分在几何学上的应用——旋转体的体积》课程教学设计
《定积分在几何学上的应用——旋转体的体积》课程教学设计作者：姬志飞来源：《学校教育研究》2017年第14期一、教学背景学员己经学习了如何用定积分的元素法求解平面图形的面积，掌握了元素法解决问题的一般技巧。
二、教学目的知识目标：理解微元法建立旋转体体积公式的推导过程。
能力目标：引导学员学以致用，使学员学会用定积分的元素法求解一些旋转体的体积。
三、教学分析旋转体的体积是定积分应用中一个重要的知识点，它对巩固元素法的理解和运用起到了重要的作用。
该内容的学习过程渗透了抽象思维，对学员的空间想象能力、数形结合能力、类比划归能力提出了较高的要求，对培养学员的量变到质变的哲学思想有比较形象的数学描述。
针对教学内容的复杂性、抽象性，教学中依托信息化教学软件，充分利用信息基础，拓展教学方法，从而达到复杂问题的简单化，抽象问题的形象化。
四、教学内容1.旋转体的概念2.旋转体的体积求解方法五、教学重难点旋转体的体积求解六、教学理念课程教学充分利用信息技术、调用数字资源、依托信息环境展开。
把flash动画、Matlab 仿真、3DMax、mathcad特效等多种信息技术辅助于课堂教学，构建信息化网络环境，达到复杂数学问题的简单化、抽象数学问题的形象化。
课程展开，突显学员自主探究学习能力的提升，学员信息素养的提高，达到激发学员学习兴趣，优化了教学过程和教学效果之目的。
七、教学方法结合“问题导学”的基本方法，从实际出发结合类比教学法从可视化的角度“提出问题——知识讲解——回归问题”，讨论微元法求旋转体体积。
八、教学时间约为1课时九、教学步骤1.引入+复习微元法通过日常生活实例引入旋转体，给学员直观感受，然后给出旋转体的数学定义。
旋转体是由一个封闭的平面图形绕该平面内的一条定直线旋转一周而生成的几何体。
玩的篮球、足球都是半圆绕直径旋转得来的，它们的体积就是圆的体积比较容易计算。
同样玩的游泳圈，是圆绕某条直线旋转一周得到的，可是什么是旋转体呢？教员给出肯定和激励，并顺势给出旋转体的定义。
中职数学基础模块9.4.6多面体与旋转体的体积(一)教学设计教案人教版
课时教学设计首页（试用）第页（总页）课时教学流程☆补充设计☆教师行为导入在生产实际中，经常遇到体积的计算问题，如兴修水利、修建道路需要计算土方，修建粮仓、水池需要计算建材数量和容积•因此有必要研究几何体的体积计算.5 ^^9(1) 上左图是一个圆柱形的器皿，底面半径为3 cm,高度为8 cm，那么怎样计算它的容积呢？(2) 上右图是一个长方体的游泳池，长是50 m，宽是21 m,深是2 m,那么这个游泳池能容纳多少立方水？几何体占空间部分的大小叫做它的体积. 新课1.长方体体积公式初中学过的计算长方体的体积公式为V长方体=abc或V长方体=Sh.如图，体积公式V = Sh是否对其他两个几何体也成立?2 .进行数学实验，引入祖暅原理取一摞面积相等的课本堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状.体积可看成由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等.祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等.学生行为师：生活中经常遇到关于物体体积的问题，这些问题与各种几何体的体积有关.这一节我们就来研究几何体的体积问题.复习初中知识，然后探究一般棱柱的体积公式.师：底面积相等、高也相等的棱柱、圆柱，它们的体积是否一样？师：推斜以后体积变化了吗？生：几何体所占空间的大小不变.师：推斜前后的两个几何体(前为长方体，后为平行六面体)还有什么共同之处？生：高度没有改变，每页纸张的顺序和面积也没有改变.师：这两个几何设计意图由实际问题引发思考，让学生意识到数学来源于生活.通过动画演示提咼学生学习的兴趣，活跃学生的思维.引发学生学习积极性，由让学生总结归纳出祖暅原理的大致内容.让学生体会中国数学的课时教学流程3 .棱柱、圆柱的体积公式如果一个棱柱、一个圆柱与一个长方体的高相同(都为h)且底面面积相等(都为S),那么当我们用一个与底面平行的平面去截它们时，可以证明截面的面积都等于各自底面的面积S,根据祖暅原理可知，棱柱、圆柱的体积与长方体的体积相等，即V柱体=Sh.其中V柱体表示柱体的体积，S表示柱体底面的面积，h表示柱体的高.4 .引例的解答⑴因为2 2V 圆柱=Sh= n X 3 X 8= 72 (cm ).所以圆柱形器皿的体积是72兀cm2;(2)因为3V 棱柱=Sh= 50 X 21 X 2 = 2 100 (m ), 因此这个游泳池能容纳2100立方水.例1有一个六角螺母毛坏，它的底面正六边形的边长是12 mm,咼是10 mm,内孔直径是10 mm,求这个毛坯的体积. 分析六角螺母毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差.解因为V3 2 3V 正六棱柱=〒X12 X6 X10 £ 741 (mm ),2 3V 圆柱=X10a785(mm ), 所以一个毛坯的体积为3 3V= 3741 —785 = 2 956 (mm )応2. 96 (cm ).练习(1) 要求学生用第二种解决方法做例1:先求出六角螺母毛坯的底面面积，再用公式V = Sh求出螺母毛坯的体积；(2) 已知长方体的铁块长、宽、高分别是2, 4, 8，将它溶化后铸成一个正方体形的铁块(不计损耗)，求铸成的铁块的棱长. 体的体积是否相等？生：相等.学生运用公式解决引例中的问题，教师巡视指导.在教师的引导下，学生有多种方案解决例1中的问题.伟大，引发学生民族自豪感.教师讲解的方法并不是唯一的解决方案，让学生体会完成一件事情可以从多个方面进行考虑小结祖暅原理、柱体的体积公式.课时教学设计尾页（试用）☆补充设计☆板书设计9.4.6多面体与旋转体的体积（一）1. 长方体体积公式2. 祖暅原理3. 棱柱、圆柱的体积公式4. 例题解答作业设计教材P156练习A组第1 , 2题.教材P156练习B组第1题（选做）.教学后记。
“求旋转体的体积”教学设计方案
“求旋转体的体积”教学设计方案作者：赵曾云来源：《商情》2015年第51期一、课程设置分析课程的地位《微积分》是我校各院、系各专业的一门必修公共课，是学生提高文化素质和学习有关专业知识、专门技术及获取新知识能力的重要基础。
主要讲授极限与连续，导数、微分及其应用，积分及其应用等一元函数微积分的内容，要注意引导学生在其他课程和实践中使用数学，使学生认识数学的实用价值和经济价值，逐步形成数学意识，提高学生分析和解决实际问题的能力。
本次课的地位本次课教学内容是用元素法求旋转体的体积，元素法是微积分中由定积分定义抽象出来的，是利用微积分解决实际问题的重要方法，是提高学生利用数学思维分析和解决实际问题的典型教学内容。
教学设计理念与思路我院以突出职业能力培养为导向，在加强实践性教学、压缩基础课教学的实践中做出了大胆的尝试，各专业新的培养方案要求在高职的数学教育中，把培养数学素质作为教学过程的主线，加强对学生进行数学知识应用能力的培养，从而使学生的数学知识、能力、素质得到协调发展。
根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，本次课运用直观教学，结合动画演示，突出重点与难点，并重视求旋转体的体积在实际问题中的应用。
二、教学设计分析（一）教学目标会用元素法求旋转体的体积。
（二）教学重点和难点难点：旋转体的体积计算。
（三）教学方法根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，本次课利用直观图形来降低理论难度，运用动画演示进行教学，启发学生的空间想象力。
通过典型例题的分析讲解和一定数量的练习，达到突出重点，突破难点的目标。
（四）教学设计[旧课复习]1.曲边梯形面积s=∫baf（x）dx，面积元素f（x）dx。
2.用元素法计算平面图形面积的方法：作图、确定积分变量和积分区间、写出面积元素、计算定积分。
3.旋转体：一个平面图形绕着与它在同一平面上的一条定直线旋转一周所形成的几何体，如圆柱、圆锥、球等。
[新课讲授]求旋转体的体积问题：设旋转体是由曲线y=f（x），直线x=a、x=b、y=0围成的曲边梯形绕x轴旋转而成。
数学《旋转体的概念》教案
数学《旋转体的概念》教案（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的教育资料，如幼儿教案、音乐教案、语文教案、信息技术教案、英语教案、物理教案、化学教案、政治教案、历史教案、其他范文等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!And, this store provides various types of educational materials for everyone, such as preschool lesson plans, music lesson plans, Chinese lesson plans, information technology lesson plans, English lesson plans, physics lesson plans, chemistry lesson plans, political lesson plans, history lesson plans, and other sample texts. If you want to learn about different data formats and writing methods, please pay attention!数学《旋转体的概念》教案数学《旋转体的概念》教案15.3旋转体的概念（1）一、教学内容分析本节课是在学习完棱柱、棱锥两种特殊的多面体之后，学习的第二类简单的几何体，圆柱与圆锥学生已经有所接触，但只是生活意义上的理解，课本这里是给出数学定义.圆柱与圆锥内容的承上之处是它们与棱柱、棱锥都是由四边形或三角形构成的，区别在于构成的方式不同，这里学生认知上的一个重要发展是曲面的概念及其形成的数学理解.而这一发展又正好是对球的概念及所有旋转体的概念的形成起到了启下作用，是学生后序发展的最近发展区.二、教学目标设计1、理解圆柱、圆锥及其有关概念的形成过程；2、理解圆柱、圆锥的侧面的母线的概念及母线之间的关系，母线所具有的性质；3、通过对圆柱、圆锥的研究培养空间想象力及知识的自我生成和发展能力.三、教学重点及难点重点是圆柱、圆锥概念的生成；难点是母线及其相关性质的理解和简单应用.四、教学用具准备教具、学具：圆柱，圆锥实物模型、多媒体设备（宋体四号）五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．观察总结概括多面体及其重要特征，然后给出圆柱、圆锥、球和其他旋转体引入旋转体的概念.2．思考圆柱可看成由何种平面图形绕它所在平面内的一条直线旋转形成的？3．讨论通过从不同角度观察圆柱并联想到特殊图形讨论可以是何种图形，如何旋转可得到圆柱二、学习新课1．概念辨析圆柱的概念:圆柱的轴，圆柱的底面，侧面，侧面的母线及圆柱的高.底面和侧面分别是由矩形的哪条边旋转得到的？底面由与轴垂直的边旋转得到，所以圆柱的底面是圆面且垂直于轴.侧面是由与轴平行的边旋转得到，所以侧面是曲面，且该边旋转到任何位置所得到的线段都是侧面的母线，因此母线有无穷多条,互相平且相等.2．例题分析例1用垂直于轴的平面截圆柱，所得截面是何种图形？例2用平行于轴的平面截圆柱，所得截面是何种图形？例3把圆柱的侧面沿一条母线展开，所得图形是哪种图形？可以实物引导学生具体操作，探究并解决问题.3．问题拓展根据对圆柱的学习，你能否研究一下圆锥，得出与圆柱相应的概念、性质，并回答与圆柱的三个例题相对应的问题？下面可以让学生独立或分组根据实物对圆锥进行研究，教师巡视观察学生的进展情况，并随时给予指导.最后由学生总结研究结果.在学习过圆柱和圆锥的基础上引导学生给出旋转体的概念.三、巩固练习1、举出生活中的圆柱和圆锥的实例.2、用垂直于圆柱底面的平面截圆柱，何时截面面积最大？最大面积是多少？3、若直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是何形状？四、课堂小结1、圆柱，圆锥，旋转体的概念，和侧面母线，侧面展开图形状.2、圆柱与圆锥垂直于轴的截面和平行于轴的截面的特点.五、作业布置练习册，拓展作业：1、求过圆锥顶点的截面三角形顶角的最大值和面积的最大值.2、与圆柱和圆锥的轴斜交的平面截圆柱和圆锥所得截面是何种图形？七、教学设计说明圆柱、圆锥学生已经有所接触，所以并不陌生，但是学生的经验或知识仅是感性经验，并没有上升到数学的角度，所以对圆柱和圆锥的本质特点往往把握不准.因此本节课在设计时把重点放在从数学的角度观察圆柱和圆锥，揭示其数学特征，并用数学语言表示描述其特征上，让学生体验把感性知识数学化的过程.在练习和作业中的截面问题要求较高，可根据学生的情况控制难度.另外从知识的呈现次序上，与课本先总后分不同，采用了先分后总的次序，比较符合认识规律.。
北师大版高中数学必修二简单旋转体教案(1)
简单旋转体一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述球、圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出球、柱、锥、台的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出球、柱、锥、台的结构特征。
难点：球、柱、锥、台的结构特征的概括。
三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有球、柱、锥、台结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出棱柱的主要结构特征。
（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。
概括出棱柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
高中旋转体教学设计
高中旋转体教学设计引言：旋转体是几何学中的一个重要概念，也是高中数学中的一项重要内容。
通过对旋转体的学习，可以帮助学生深入理解几何学中的几个核心概念，如体积、表面积等。
本文将介绍一种针对高中学生的旋转体教学设计，旨在激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。
一、教学目标1. 理解旋转体的定义和特点；2. 掌握旋转体的体积计算方法；3. 熟练运用旋转体的表面积计算方法；4. 培养学生的观察力、思维能力和创新意识。
二、教学内容1. 旋转体的定义和特点：通过示例和实物模型展示不同种类的旋转体，引导学生分析其定义和特点，如旋转轴、旋转方式等。
2. 旋转体的体积计算方法：a. 圆柱体的体积计算方法：引导学生通过实践活动，运用数学公式V=πr^2h计算圆柱体的体积，并帮助学生理解公式的意义。
b. 圆锥体的体积计算方法：通过展示圆锥体实物模型，引导学生运用数学公式V=1/3πr^2h计算圆锥体的体积，并讨论公式的推导过程。
c. 球体的体积计算方法：通过观察球体的几何性质，引导学生运用数学公式V=4/3πr^3计算球体的体积，并探讨公式的背后原理。
3. 旋转体的表面积计算方法：a. 圆柱体的表面积计算方法：帮助学生理解数学公式A=2πrh+2πr^2，并通过实例计算圆柱体的表面积。
b. 圆锥体的表面积计算方法：引导学生通过数学公式A=πrl+πr^2计算圆锥体的表面积，并探讨公式的推导。
三、教学方法1. 导入活动：通过播放相关视频、展示实物模型等方式，激发学生的学习兴趣，引发他们对旋转体的探索欲望。
2. 课堂讲解：教师通过板书和讲解的方式，介绍旋转体的定义、特点和基本计算公式，引导学生对知识进行理解和掌握。
3. 实践活动：设计一系列的实践活动，如测量实物模型的尺寸、计算旋转体的体积和表面积等，让学生在实际操作中巩固所学知识。
4. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，针对旋转体的计算方法进行深入探究，培养学生的合作能力和思辨能力。
初中数学教案设计：旋转体积的计算方法
初中数学教案设计：旋转体积的计算方法一、教学目标：1.掌握旋转体积的概念；2.了解求解旋转体积的基本方法；3.能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学重难点：1.重点：旋转体积的计算方法。
2.难点：计算过程的逻辑性，如何将二维图形转化为三维图形。
三、教学内容：1.旋转体积的概念：旋转体积指围绕一条直线旋转一定角度所得到的立体图形，也称为回转体积或者是旋转物体。
通常这条直线被称为旋转轴或者轴线，而围绕它旋转的二维图形被称为基本图形。
2.求解旋转体积的基本方法：（1）切割法：切割法指将旋转体积切割成无数个薄片，将这些薄片叠加起来计算。
一般情况下，所求的旋转体积可以分解成由无限多个无穷小圆板组成，其基本公式为：V=πR²L其中，R为圆板的半径，L为其长度，π为圆周率。
（2）体积积分法：体积积分法指通过对截面积进行积分来计算旋转体积。
一般情况下，所求的旋转体积可以分解成由无限多的圆环组成，其基本公式为：V=π∫(a,b)[f(x)]²dx其中，a为积分下限，b为积分上限，f(x)为基本图形的函数曲线。
3.实例分析：例1：已知图形y=2x，y=x+2在x轴和y轴构成一个闭合图形，该图形围绕x轴旋转一周形成一个旋转体，请计算该旋转体的体积。
解：需要将图形绘制出来，画出来的图形如下：[图1 展示y=2x和y=x+2的图形]从图中可以明显看出，只需要对y=x+2这条直线旋转一周，即可得到所求旋转体。
根据切割法的基本公式，体积V=πR²L。
需要注意的是，在该例中，旋转轴为x轴，半径R为沿x轴上图形每一点到x轴的距离。
在y=x+2这条直线上，比较容易计算出其到x 轴的距离为2，此处R=2。
同样，长度L即为y=x+2这条直线的长度，计算得L=2，旋转体积V=πR²L=4π。
四、教学方法：1.讲解法：通过详细的讲解，向学生介绍旋转体积的概念，以及求解旋转体积的基本方法。
2.案例分析法：通过实际例子分析，引导学生掌握旋转体积的计算方法，提高学生解决问题的能力。
教案标题初中数学知识点空间几何的旋转与体积计算
教案标题初中数学知识点空间几何的旋转与体积计算初中数学教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解几何物体在空间中的旋转及体积计算的概念；2. 掌握旋转体的计算方法；3. 解决与旋转体和体积相关的问题。
二、教学内容1. 旋转体的概念与特点；2. 旋转体的计算方法；3. 体积的计算方法。
三、教学过程（一）导入1. 引入旋转体的概念：“同学们，我们知道，在平面几何中，我们常常研究的是图形的旋转和面积计算。
那么，在空间几何中，我们也可以研究物体的旋转和体积计算。
请问，你们能举例说明一下空间中的旋转体吗？”2. 引入体积的概念：“除了旋转体，我们在数学中还经常关注几何物体的体积。
请问，你们对体积是怎么理解的呢？”（二）讲解1. 旋转体的概念与特点a. 介绍旋转体的定义：“旋转体，顾名思义就是由一个二维图形绕着某个轴旋转一周所形成的三维几何体。
”b. 引导学生思考旋转体的特点：“旋转体的特点是它的截面图形在旋转轴上的投影保持不变。
”c. 指导学生观察实例：“请看这个圆柱体，不管你从哪个角度观察，它的截面图形总是一个圆。
这就是旋转体的特点。
”2. 旋转体的计算方法a. 介绍旋转体的计算方法：“在计算旋转体的体积时，我们需要先计算截面图形的面积，然后再乘以旋转的角度。
”b. 示例讲解：“比如，如果我们要计算一个球体的体积，我们可以先计算球的截面面积，然后再乘以360度（或2π弧度）。
”c. 引导学生进行练习：“请同学们根据所学知识，计算以下几个旋转体的体积。
”3. 体积的计算方法a. 介绍体积的计算方法：“在几何中，体积表示一个物体所占的空间大小。
”b. 讲解体积的计算公式：“对于常见的几何体，我们可以用相应的公式来计算其体积。
”c. 演示计算体积的例子：“我们来计算一个长方体的体积，可以使用公式 V = l × w × h。
”d. 引导学生进行练习：“请同学们根据所学知识，计算以下几个几何体的体积。
旋转体体积说课艾雪微
根据旋转轴的不同，旋转体可以 分为圆柱、圆锥、圆台、球、椭 球等。
体积计算公式推导
01
02
03
圆柱体积公式推导
底面积乘以高，即$V = pi r^{2}h$。
圆锥体积公式推导
采用积分法或几何法，得 到$V = frac{1}{3}pi r^{2}h$。
圆台体积公式推导
由平行于圆锥底面的平面 截圆锥得到，其体积为$V = frac{1}{3}pi h(R^{2} + r^{2} + Rr)$。
适用场景
解题步骤
确定切片方式，计算每个薄片的面积 和厚度，相乘得到每个薄片的体积， 求和得到总体积。
适用于轴线方向形状变化较大的复杂 旋转体。
数值积分在复杂旋转体中的应用
基本原理
利用数值积分方法将复杂旋转体 的体积计算转化为离散点的求和
问题。
适用场景
适用于无法通过解析方法求解的复 杂旋转体体积问题。
高度减小
相反地，当旋转体的高度减小时，其 体积也会相应减小。这同样是由于高 度的变化对体积产生的影响。
05 实验验证与误差分析
实验设计思路及步骤介绍
设计思路
通过实际测量不同形状的旋转体，如圆柱体、圆锥体等，在液体中旋转一定圈数后液体体积的变化， 来验证旋转体体积公式的正确性。
步骤介绍
1. 准备实验器材，包括旋转体、测量液体、容器、旋转装置等；2. 将旋转体放入液体中，并固定好旋 转装置；3. 旋转一定圈数后，测量液体体积的变化；4. 重复实验多次，取平均值以减小误差。
底面半径变化对体积影响分析
底面径增大
当底面半径增大时，旋转体的体积会随之增大。这是因为底面半径决定了旋转体 底面的面积，而底面面积是影响体积的重要因素之一。
小学教育ppt课件教案学习计算三维图形的旋转体积
组合图形旋转体积计算方法
分割法
01
将组合图形分割成若干个基本图形，分别计算 每个基本图形的旋转体积，然后相加得到组合
图形的旋转体积。
间接法
03
通过计算组合图形的其他相关量（如面积、周 长等），间接求出其旋转体积。
补全法
02
将组合图形补全为一个规则的基本图形，计算 该基本图形的旋转体积，然后减去补全部分的
计算机辅助设计（CAD）在三维图形旋转体积计算中的应用
介绍CAD技术在三维图形设计和分析中的应用，让学生了解现代科技手段在解决实际 问题中的重要作用。
数学建模与三维图形旋转体积计算
通过数学建模的方法，将实际问题抽象为数学模型，利用数学方法求解三维图形的旋转 体积，培养学生的数学建模能力和数学应用能力。
其旋转体积。
圆柱体旋转体积计算方法
01 02
公式推导
圆柱体绕其底面中心轴旋转形成的旋转体体积公式为V = πr^2h，其中 r为底面半径，h为高。该公式可通过将圆柱体分割为无数个小的圆柱体 并求和得出。
计算步骤
首先确定圆柱体的底面半径r和高h，然后代入公式V = πr^2h进行计算 ，得出圆柱体旋转体积。
长方体旋转体积计算方法
ห้องสมุดไป่ตู้
公式推导
长方体绕其一边旋转形成的旋转 体体积公式为V = πr^2h，其中 r为底面半径，h为高。该公式可 通过将长方体分割为无数个小的
圆柱体并求和得出。
计算步骤
首先确定长方体的底面半径r和 高h，然后代入公式V = πr^2h 进行计算，得出长方体旋转体积
。
示例演示
以底面半径为1，高为2的长方体 为例，代入公式进行计算，得出
案例分析
旋转体体积计算的微课教学设计
旋转体体积计算的微课教学设计段影影李彬李淑龙摘要：微课以微视频为载体，易于让学生聚焦在教学的重难点上，方便学生的自主学习。
高等数学中的旋转体体积的计算是利用微元法解决的一类经典问题，也是学习的难点。
本文首先分析了微课的特点，介绍了旋转体体积的教学背景，继而详细探讨了旋转体积的微课设计。
关键词：微课；旋转体体积；微元法；圆盘法G642.41 文献标志码：A ：1674-9324（2017）50-0198-03微课是相对于常规课程来说的一种微小的课程，优势如下：（1）帮助学生开展自主化、个性化的学习，可以课前预习以及课后复习，并且能让学生更好地把注意力集中于课程要点；（2）帮助其他教师提高教学能力或者部分替代教师。
教师一方面可以通过微课资源学习别人的教学方法，另一方面有些问题讲解不到位时可以直接利用微课资源。
本文的微课设计采用问题驱动的思路，先给出实际问题，然后分析问题的难点，构思解决该问题的知识点是什么，并给出典型例题完整的分析过程。
给学生展示发现问题、分析问题和解决问题的过程，并梳理知识体系，再提出更深入的问题。
以下是微课选题——旋转体体积的计算。
一、教学背景生物医学工程专业的高等数学教学注重应用。
要求学生理解数学的应用价值，又要掌握重要的数学思想和严谨的解题过程。
旋转体体积是微元法能解决的经典问题，选取微元是难点又是关键。
高等数学中微元法的教学安排是先计算曲边梯形面积，再增加难度计算旋转体体积，然后推广到物理、化学以及医药学上的应用。
由平面到立体，由形象到抽象。
其中旋转体体积的教学部分承上启下，而且应用较广泛。
很多学生对这个问题无法理解透彻，不能灵活变通地选取微元。
二、微课设计思路和重难点整个教学过程分为四个部分：1.什么是旋转体？通过应用案例调动学生兴趣，引出什么是旋转体，为什么要计算旋转体体积，如何用数学语言描述这类计算。
首先给出圆柱体形成的动画，通过熟悉的圆柱体引出旋转体的数学定义，旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴。
教改教案-旋转体的体积1课时
第二节 旋转体的体积.（联系实际生活比如花瓶，喇叭，了解相关旋转体有什么基础曲线旋转而成） 设()y f x =是一条连续曲线，且()0f x ≥, [,]x a b ∈，求此曲线绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积. (或设()y f x =是一条连续曲线，求由|)(|0x f y ≤≤与[,]x a b ∈所界定的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积.)用过x 点且与x 轴垂直的平面去截旋转体, 得到的截面显然是半径为|)(|x f 的圆, 因此它的面积为2|)(|x f π, 从而由(12)式知所求旋转体的体积为dx x f V ba ⎰=2|)(|π (13) 引导学生思考关于y 轴旋转的情况同理如果旋转体是由连续曲线],[),(d c y y x ∈=ϕ绕y 轴旋转一周而成的旋转体,则其体积为dy y V dc ⎰=2|)(|ϕπ (14)若曲线的参数方程为],[),(),(βα∈==t t y y t x x ,且)(),(t y t x '在],[βα连续, 0)(≠'t x , 对(13)式作变量代换得dt t x t y V ⎰'=βαπ|)(|)(2 (15) 例2 计算由椭圆22221x y a b+=所围图形绕x 轴旋转而成的椭球体的体积.解法一 利用直角坐标方程y =a x a -≤≤, 由(13)式和对称性有220423a V dx ab ππ==⎰ 解法二 设椭圆的参数方程为cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩, ]2,0[π∈t .则由(15)式和对称性有 223220042()2sin 3a V y dx ab tdt ab ππππ===⎰⎰ 当椭圆22221x y a b+=所围图形绕y 轴旋转时所得椭球体的体积b a V 234π=',显然有V V '≠, 一般来说,当同一条曲线绕不同的直线旋转时,所得的旋转体的体积也不同, 当然也有特殊情况,如圆绕任何一条直径旋转都得到体积相同的球.例3 求抛物线2y x =,y =所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积. 解: 直接由(13)式有⎰=-=10222103])()[(ππdx x x V 例4 过坐标原点作曲线ln y x =的切线, 该切线与曲线ln y x =及x 轴围成的平面图形为D , (1) 求D 的面积; (2) 平面图形D 绕x 轴及直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V . 解: 先求出切点坐标和切线方程,再用定积分求面积A ; 绕直线x e =旋转一周所得旋转体体积可用圆锥体体积减去一小立体体积进行计算.(1) 设切点横坐标为0x , 则曲线ln y x =在点(00,ln x x )处的切线斜率为01k x =, 方程为 0001ln ()y x x x x -=- 由已知切线过原点,所以0ln 10x -=,即0x e =, 所以所求切线方程为1y x e =. 从而平面图形D 的面积为10()12y e A e ey dy =-=-⎰ 或 01ln 12e e x e A dx xdx e =-==-⎰⎰ (2) 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为2201()(ln )ee x x V dx x dx e ππ=-⎰⎰ 2(1)3e π=- 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积112200()()y V e ey dy e e dy ππ=---⎰⎰ 2(5123)6e e π=-+设曲线方程为极坐标方程],0[],[),(0πβαθθ⊂∈≤≤r r , 则该曲线所表示的平面区域绕极轴旋转一周所得旋转体的体积为⎰=βαθθθπd r V sin )(323 (16)。
旋转体的体积教案1
旋转体的体积教案1
教学目的
使学生学会用定积分的思想解决旋转体的体积问题，从而进一步领会“分割，近似代换，取和，求极限”这一思想是处理许多数学问题的统一思想模式，也是行之有效的方法(
教学过程
一、直截了当地提出新课题，引起学生的求知欲和探索的心理(
问题1:曲线y=f(x)与直线x=a，x=b及x=0围成的平面图形(设f(x),0 x?[a，b])若围绕x轴旋转一周，会转成一个什么立体图形,(见图5,10)(可以让有兴趣的学生到黑板上去画)
问题2(有什么办法可以求这旋转体的体积，表面积，全面积,(先让大家集中精力想体积的求法)
二、用“四步法”解决体积的求法(
举性质教师记录)
1(被积函数中的常数因子可以提到积分号前边; 2(被积函数由多次组成，可以逐项积分;
3(积分区间必要时可以分段进行;
四、举例熟悉公式
例1 设计求半径为R的球的体积的办法(
解:利用对称性得
若绕y轴旋转一周，则椭球体积
五、作业
求以下旋转体的体积(
2 1(曲线y=4x与x=0，x=4及y=0所围图形绕x轴旋转一周( 2(曲线y=sinx x?[0，π]绕x轴旋转一周(
4(求底面半径为r，高为h的圆锥的体积((自己设计坐标系() 5(求上底面半径为r，下底面半径为R，高为h的圆台的体积( 6(半径为R的球内，高为h(0,h,R)的球缺的体积(。
旋转体体积说课艾雪微PPT学习教案
解 如图所示
Vy V1 V2
1
0
x12dy
1
0
x22dy
1
ydy
1
y4dy
3
0
0
10
V1
V
2
第15页/共19页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
作业题
教材134页第1题
思考题
教材134页第2题
第16页/共19页
三、小结
绕 x 轴旋转一周
旋转体的体积 绕 y 轴旋转一周
第17页/共19页
谢谢 再见
第18页/共19页
第6页/共19页
一、旋转体的体积计算
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
第7页/共19页
圆台
提出问题：如果旋转体是由连续曲线
y f ( x)、直线 x a、 x b及 x轴所围成的 曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多
少？
取积分变量为x ， y
形成的旋转体的体积
y
C
o
y
C
o
x
B
Ax
第13页/共19页
实际应用
沙漏象征着爱情、友 谊和幸福，同学们能 否根据所学知识来计 算沙漏的体积呢？ 建立模型，即 y x与3 直线y 2及 y 轴绕 y 轴旋转而成的旋转体
现在，你能求 解了吗
第14页/共19页
课堂练习
计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积。
旋转体体积说课艾雪微
会计学
1
说课内容
说课程 说教学目标 说教学重点、难点 说教学设计 说教学反思
旋转体的体积学习目标
歐亞書局
第六章
積分與其應用
P.6-52
學習提示
範例 1 的解題並未用到如圖 6.28(b) 所示的立體 繪圖。一般而言，平面區域的簡圖比立體的簡 圖更容易計算旋轉體體積的積分，因為圓碟的 半徑在平分與其應用
P.6-52
墊圈法
圓碟法也可推廣用於求中空的旋轉體的體積。考 慮由 f 和 g 圖形所圍成的區域，如圖 6.29(a) 所示， 應用圓碟法對 x 軸旋轉所得中空立體的體積為
範例 2
墊圈法 （解）
首先令 f(x) 等於 g(x)，再解出 x，即可求得 f 和 g 的交點。
f ( x) g ( x) 令f ( x)等於g ( x) 25 x 2 3 25 x 2 9 16 x 4 x
2
取代f ( x)和g ( x) 兩邊平方 解出x
歐亞書局
歐亞書局
第六章
積分與其應用
P.6-51
圓碟法
歐亞書局
第六章
積分與其應用
P.6-51
圓碟法
歐亞書局
第六章
積分與其應用
P.6-51 圖6.27
範例 1
求旋轉體體積
求函數 f(x) ＝ －x2 ＋ x 與 x 軸所圍成區域對 x 軸 旋轉的立體體積。
歐亞書局
第六章
積分與其應用
P.6-52
範例 1
歐亞書局
第六章
積分與其應用
P.6-51
圓碟法
如圖 6.26 所示，旋轉體 (solid of revolution) 是由平 面的區域對一直線旋轉所形 成，而該直線則稱為旋轉軸 (axis of revolution)。
歐亞書局
第六章
《旋转体》第1课时示范教学方案人教新课标B版
《旋转体》教学设计第1课时◆教学目标理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义和结构特征，能识别和区分这些几何体；掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积公式，能运用公式解决简单的实际问题．◆教学重难点◆教学重点：圆柱、圆锥、圆台的定义、结构特征、侧面积和表面积．教学难点：能够根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征识别和区分几何体．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、问题导入问题1：从生活中的一些物体抽象出圆柱、圆锥、圆台．师生活动：生活中的一些物体抽象出圆柱、圆锥、圆台．设计意图：以生活中的实物为出发点，引导学生通过观察，分析、抽象概括出圆柱、圆锥、圆台、球的概念．从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习旋转体.（板书：旋转体）【新知探究】1．分析实例，感知圆柱、圆锥、圆台问题2：如图所示，观察它们的结构，总结出形成圆柱、圆锥、圆台的方式．师生活动：学生分析，给出答案．★资源名称：【数学探究】认识圆柱、【数学探究】认识圆锥、【数学探究】认识圆台★使用说明：资源通过操作展示动画，使学生了解认识圆柱、圆锥、圆台的相关概念．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．追问：如何定义旋转体？（让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评.）预设的答案：圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为圆柱．如图(1)．圆锥：以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为圆锥．如图(2)．圆台：以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体称为圆台．如图(3)．旋转体：(1)定义：用类似圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体．(2)有关概念：旋转轴称为旋转体的轴，在轴上的边(或它的长度)称为旋转体的高．垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面.无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为母线．轴截面：在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面．如圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形.设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 发展学生数学抽象和直观想象的核心素养．2.在大量实例感知的基础上，总结出圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积公式．问题3：如何定义、计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积？师生活动：学生分析，给出答案．预设的答案：旋转体的侧面积：旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积．旋转体的表面积：侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(全面积)．为了求圆柱、圆锥、圆台的表面积，分别需要知道哪些条件？怎样求出它们的表面积？圆柱的底面积、侧面积、表面积底面积：S底＝πr2、侧面积：S侧＝2πrl、表面积：S＝2πr2＋2πrl圆锥的底面积、侧面积、表面积底面积：S底＝πr2、侧面积：S侧＝2πrl、表面积：S＝πr2＋πrl圆台的底面积、侧面积、表面积上底面面积：S上底＝πr′2、下底面面积：S下底＝πr2、侧面积：S侧＝π(r＋r′)l、表面积：S＝πr2＋πr′2＋π(r＋r′)l设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 写出圆台中任意两条母线的位置关系，任意一条母线与底面的位置关系，以及两个底面的位置关系．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：圆台中任意两条母线都相交，任意一条母线与底面都相交，两个底面相互平行.设计意图：学生经历抽象过程、发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．例2. （1）圆柱′的底面直径为4，母线长为6，则该圆柱的侧面积为________，表面积为________.（2）如图，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的侧面积为________.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：（1）24π32π；（2）2π设计意图：通过观察与分析，获得锥、柱的相关概念，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．【课堂小结】1．板书设计：11.5 旋转体（1）1.圆台的概念例12.圆柱与圆锥的侧面积与表面积例2练习与作业：2．总结概括：问题：（1）圆柱、圆锥、圆台的关系有哪些？（2）与旋转体的轴截面有关的计算有哪些？（3）如何计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．旋转体的轴截面中有母线、底面半径、高等主要元素，因而，在涉及这些元素的计算时，通常利用轴截面求解．在圆台的轴截面中，将等腰梯形的两腰延长，在三角形中可借助相似求解．这种立体问题平面化是解答旋转体中计算问题最常用的方法．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．设计意图：以生活中的实物为出发点，引导学生通过观察，分析、抽象概括出圆柱、圆锥、圆台、球的概念．从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养．布置作业：【目标检测】1. 正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是()A．圆柱B．圆锥C．圆台D．两个圆锥设计意图：旋转体概念辨析2. 关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．设计意图：进一步掌握圆台的有关概念．3. 一个圆锥的母线长为20 cm ，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm. 设计意图：进一步掌握圆锥的有关计算．4. 已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径． 设计意图：进一步掌握圆柱的有关计算．设计意图：进一步掌握球的表面积的有关计算． 参考答案： 1．D 连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．2．②③④ 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．3.103 如图是圆锥的轴截面，则SA ＝20 cm ．∠ASO ＝30°，∴AO ＝10 cm ，SO ＝10 3 cm.4．设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r·l ＝Q ，解得r ＝Q 2. 所以此圆柱的底面半径为Q 2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二节 旋转体的体积.
（联系实际生活比如花瓶，喇叭，了解相关旋转体有什么基础曲线旋转而成） 设()y f x =是一条连续曲线，且()0f x ≥, [,]x a b ∈，求此曲线绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积. (或设()y f x =是一条连续曲线，求由|)(|0x f y ≤≤与[,]x a b ∈所界定的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积.)
用过x 点且与x 轴垂直的平面去截旋转体, 得到的截面显然是半径为|)(|x f 的圆, 因此它的面积为2|)(|x f π, 从而由(12)式知所求旋转体的体积为
dx x f V b
a ⎰=2|)(|π (13) 引导学生思考关于y 轴旋转的情况
同理如果旋转体是由连续曲线],[),(d c y y x ∈=ϕ绕y 轴旋转一周而成的旋转体,则其体积为
dy y V d
c ⎰=2|)(|ϕπ (14)
若曲线的参数方程为],[),(),(βα∈==t t y y t x x ,且)(),(t y t x '在],[βα连续, 0)(≠'t x , 对(13)式作变量代换得
dt t x t y V ⎰'=β
απ|)(|)(2 (15) 例2 计算由椭圆22
221x y a b
+=所围图形绕x 轴旋转而成的椭球体的体积.
解法一 利用直角坐标方程y =a x a -≤≤, 由(13)式和对称性有
220423
a V dx a
b ππ==⎰ 解法二 设椭圆的参数方程为cos sin x a t y b t
=⎧⎨=⎩, ]2,0[π∈t .则由(15)式和对称性有 2
23220042()2sin 3
a V y dx a
b tdt ab π
πππ===⎰⎰ 当椭圆22221x y a b
+=所围图形绕y 轴旋转时所得椭球体的体积b a V 234π=',显然有V V '≠, 一般来说,当同一条曲线绕不同的直线旋转时,所得的旋转体的体积也不同, 当然也
有特殊情况,如圆绕任何一条直径旋转都得到体积相同的球.
例3 求抛物线2y x =
,y =
所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积. 解: 直接由(13)式有
⎰=-=1022210
3])()[(ππdx x x V 例4 过坐标原点作曲线ln y x =的切线, 该切线与曲线ln y x =及x 轴围成的平面图形为D , (1) 求D 的面积; (2) 平面图形D 绕x 轴及直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V . 解: 先求出切点坐标和切线方程,再用定积分求面积A ; 绕直线x e =旋转一周所得旋转体体积可用圆锥体体积减去一小立体体积进行计算.
(1) 设切点横坐标为0x , 则曲线ln y x =在点(00,ln x x )处的切线斜率为0
1k x =, 方程为 000
1ln ()y x x x x -=- 由已知切线过原点,所以0ln 10x -=,即0x e =, 所以所求切线方程为1y x e =
. 从而平面图形D 的面积为
10()12y e A e ey dy =
-=-⎰ 或 01ln 12
e e x e A dx xdx e =-==-⎰⎰ (2) 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为
2201
()(ln )e
e x x V dx x dx e ππ=-⎰⎰ 2(1)3e π=- 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积
112200()()y V e ey dy e e dy π
π=---⎰⎰ 2(5123)6e e π
=-+
设曲线方程为极坐标方程],0[],[),(0πβαθθ⊂∈≤≤r r , 则该曲线所表示的平面区域绕极轴旋转一周所得旋转体的体积为
⎰=βα
θθθπd r V sin )(323 (16)。