高三数学一轮复习 第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 理 新人教A版

(1)如图7－3－4，在正方体ABCD— A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的
中点，则下列判断错误的是(
A．MN与CC1垂直
)
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行
(2)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱的顶点或所
在棱的中 点，则表 示直线GH、MN是异面直线的图形有 ________．(填上所有正确答案的序号)
1．判定空间两条直线是异面直线的方法
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平
面内不经过该点B的直线是异面直线． (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不 可能共面，从而可得两线异面． 2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面 垂直得到线线垂直． 3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．
【答案】
C
异面直线的判定方法：
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平 面内不经过该点的直线是异面直线． (2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直 线不可能共面，从而可得两直线异面．
1.公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；
(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(4)由直线的
1．若直线a⊄平面α，直线b⊄平面α，则直线a，b是异 面直线，这种说法正确吗？ 【提示】 此说法不正确，直线a，b都不在平面α内，
但可能都在平面β内．
2．若一条直线l不在平面α内，则直线l与平面α是否一定
平行？ 【提示】 交． 不一定．直线l与平面α可能平行，也可能相
1 ． ( 人 教 A版 教 材 习 题 改 编 )下 列 命 题 正 确 的 个 数 为
法二 如图所示，延长 FE，DC 分别与 AB 交于点 M，M′， 1 ∵BE 綊 AF， 2 ∴B 为 MA 中点， 1 ∵BC 綊 AD， 2 ∴B 为 M′A 中点， ∴M 与 M′重合，即 FE 与 DC 交于点 M(M′)， ∴C、D、F、E 四点共面．
1．解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应 用． 2．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共 面，点共面两种情况，常用方法有：
直三棱柱ABC—A1B1C1 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC ＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( A．30° B．45° C．60° )
D．90°
【解析】 分别取 AB、AA1、A1C1 的 中点 D、E、F，则 BA1∥DE，AC1∥EF. 所以异面直线 BA1 与 AC1 所成的角为 ∠DEF(或其补角)， 设 AB＝AC＝AA1＝2， 则 DE＝EF＝ 2，DF＝ 6，由余弦 定理得，∠DEF＝120°.
时，有时可以借助常见的几何体做出判断.
思想方法之十三
借助正方体判定线面位置关系
)
(2012·四川高考)下列命题正确的是(
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条 直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等， 则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这 两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平 行
第三节
空间点、直线、平面之间的位置关系
1．平面的基本性质 两点 公理1：如果一条直线上的_____在一个平面内，那么这 条直线在这个平面内． 不共线 公理2：过_______的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 有且只有一条 们______________过该点的公共直线．
【思路点拨】
(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根
据三角形的中位线，证明MN∥B1D1. (2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异 面直线的判定定理判定． 【尝试解答】 (1)连接B1C，B1D1 ，则点M是B1C的中
点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1， ∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，
如图7－3－5所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N 分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线MN与AC所成的角为60°. 其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论 序号都填上)．
2．空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 图形 平行 语言 关系 符号 语言 图形 相交 语言 关系 符号 语言 直线与平面 平面与平面
a∥b
a∥α
α∥β
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
图形 独有 语言 关系 符号 a，b是异面 语言 直线
aα
3.异面直线所成的角 (1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 锐角或直角 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的____________叫做 异面直线 a 与 b 所成的角． π (2)范围：(0， ]． 2 4．平行公理 平行 平行于同一条直线的两条直线______． 5．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 ___________．
1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方 法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特 殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． 2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二 证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择 “端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行 四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角 形问题，进而求解． π 3．异面直线所成的角范围是(0， ]． 2
(
)
A．α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线 C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交 【解析】 由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平
面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项
B是正确的．
【答案】 B
4．(2012·四川高考)如图7－3－1，在
正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分
直刻画平面的平． 2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面 或判断“直线共面”的方法． 3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相 交的交线；(3)证明多点共线．
空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基 础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面位置关系 的判断和异面直线所成的角的求法．在判断线、面位置关系
(
)
①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线
所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线 最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则 这两个平面重合．
A．0
【解析】
B．1
C．2
D．3
②中两直线可以平行、相交或异面，④中若
三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确． 【答案】 C
2． 已知 a 、b是 异面 直线， 直 线c∥直 线 a，那 么c 与
b( ) A．一定是异面直线 C．不可能是平行直线 【解析】 盾． ∴c，b不可能是平行直线． B．一定是相交直线 D．不可能是相交直线
若c∥b，∵c∥a，∴a∥b，与a，b异面矛
【答案】
C
3．(2013·佛山模拟)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则
(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．
(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． (3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证 明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．
已知：空间四边形 ABCD(如图 7－3－3 所示)，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别是 BC、CD 上的点， 1 1 且 CG＝ BC，CH＝ DC.求证： 3 3 (1)E、F、G、H 四点共面； (2)三直线 FH、EG、AC 共点．
【思路点拨】
(1)直接根据锥体的体积公式求解．
(2)取PB的中点，利用三角形的中位线平移BC得到异面
直线所成的角．(或其补角)
1 【尝试解答】 (1)S△ABC＝ ×2×2 3＝2 3， 2 三棱锥 P－ABC 的体积为 1 1 4 V＝ S△ABC· PA＝ ×2 3×2＝ 3. 3 3 3
(2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE， AE，则 ED∥BC，所以∠ADE(或其补角) 是异面直线 BC 与 AD 所成的角． 在△ADE 中，DE＝2，AE＝ 2， AD＝2， 22＋22－2 3 cos∠ADE＝ ＝ . 2×2×2 4 3 ∴异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 . 4
【证明】 (1)连接 EF、GH， ∵E、F 分别是 AB、AD 的中点， ∴EF∥BD. 1 1 又∵CG＝ BC，CH＝ DC， 3 3 ∴GH∥BD，∴EF∥GH， ∴E、F、G、H 四点共面．
(2)易知 FH 与直线 AC 不平行，但共面， ∴设 FH∩AC＝M， ∴M∈平面 EFHG，M∈平面 ABC. 又∵平面 EFHG∩平面 ABC＝EG， ∴M∈EG， ∴FH、EG、AC 共点.
【尝试解答】 (1)由已知 FG＝GA，FH＝HD， 1 得 GH 綊 AD. 2 1 又 BC 綊 AD，∴GH 綊 BC， 2 ∴四边形 BCHG 是平行四边形．
(2)法一
1 由 BE 綊 AF， 2
G 为 FA 中点知 BE 綊 GF， ∴四边形 BEFG 为平行四边形， ∴EF∥BG.
由(1)知 BG∥CH， ∴EF∥CH，∴EF 与 CH 共面． 又 D∈FH，∴C、D、F、E 四点共面．
【解析】
由图可知AM与CC1 是异面直线，AM与BN
是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以
直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为 60°. 【答案】 ③④