抛物线标准方程及其几何性质
《抛物线的几何性质》 讲义
《抛物线的几何性质》讲义一、抛物线的定义在平面内，到一个定点 F 和一条定直线 l（F 不在 l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
我们可以这样来理解抛物线的定义：假如有一个点 M，它到定点 F的距离和到定直线 l 的距离总是相等，那么点 M 的运动轨迹就是一条抛物线。
二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式：1、＼（y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＼），焦点为\（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
2、＼（y^2 ＝－2px （p ＞ 0)＼），焦点为\（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
3、＼（x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＼），焦点为\（（0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
4、＼（x^2 ＝－2py （p ＞ 0)＼），焦点为\（（0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
这里的 p 表示焦点到准线的距离，它决定了抛物线的开口大小和方向。
例如，对于方程\（y^2 ＝ 8x\），这里\（2p ＝ 8\），所以\（p ＝4\），焦点为\（（2, 0)＼），准线方程为\（x ＝－2\）。
三、抛物线的几何性质1、范围对于\（y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＼），因为\（y^2 ＼geq 0\），所以\（x ＼geq 0\），即抛物线在 x 轴的右侧。
对于\（y^2 ＝－2px （p ＞ 0)＼），同理可得\（x ＼leq 0\），抛物线在 x 轴的左侧。
对于\（x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＼），＼（x ＼in R\），＼（y ＼geq0\），抛物线在 y 轴的上方。
对于\（x^2 ＝－2py （p ＞ 0)＼），＼（x ＼in R\），＼（y ＼leq 0\），抛物线在 y 轴的下方。
抛物线的几何性质
思考：当| |PF|－|PQ| |为最大时，点P的坐标是_______．
例3. 过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，
B求(x证2，：yy21)y，2=通-p过2，点A和抛x1物x2线顶p4点2 ;的直线交准线于点C，
p2
(3)
SAOB
;
2 sin
(4) | AF | p ，| BF | p ;
1 cos
1 cos
（5）
|
1 AF
|
|
1 BF
|
2 p
;
(6) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；
(7) 以CD为直径的圆与弦AB相切于焦点F.
课后作业
1. 教材73页 习题2.4 A组5—8 2. 《乐学》 2.4.2 （一）
另解：由已知 | AB | | AF | | BF | | AA'| | BB'|
( x1 1) ( x2 1) x1 x2 2 6 2 8 .
焦点弦
过抛物线的焦点且与抛物线相交的直线，
被抛物线截取的线段叫抛物线的焦点弦.
抛物线 y2 2 px p 0 的焦点弦长公式：
以抛物线的标准方程：y2 2 px p 0来研究它的几何性质．
（1）范围： 因为p>0，由方程可知 x≥0，所以抛物线在y轴的
右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右 上方和右下方无限延伸．
y2 2 pxp 0
（2）对称性
以 y 代 y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对
称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
思考：抛物线中过焦点的弦有最小值吗？如果有， 在何处取得？
抛物线 标准方程、几何性质、经典大题归纳总结
一、 第一讲: 抛物线标准方程 二、 考点、热点回顾一、定义: 在平面内,及一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.即：的轨迹是抛物线。
则点若M MNMF,1 三、 (定点F 叫做抛物线的焦点, 定直线l 叫做抛物线的准线。
)标准方程:设定点F 到定直线l 的距离为p(p 为已知数且大于0).取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴, x 轴及l 交于K, 以线段KF 的垂直平分线为y 轴, 建立直角坐标系抛物线上的点M(x, y)到l的距离为d, 抛物线是集合p={M||MF|=d}.化简后得: y2=2px(p＞0).由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况, 抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：二、典型例题(2)例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x, 求它的焦点坐标和准线方程；已知抛物线的焦点坐标是F(0, -2), 求它的标准方程．方程是x2=-8y.例2.根据下列所给条件, 写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(3, 0)；(3)焦点到准线的距离是2.答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x, y2=-4x, x2=4y, x2=-4y．三、课堂练习1.抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________答案：2解析: 解析: 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0), 准线x＝－1.∴焦点到准线的距离为2.2.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: 解: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.3.已知抛物线的顶点在原点, 对称轴是x轴, 抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离等于5, 求抛物线的方程和m的值解法一: 由焦半径关系, 设抛物线方程为y2=-2px(p＞0), 则准线方因为抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离|MF|及到准线的距离得p=4.因此, 所求抛物线方程为y2=-8x.又点M(-3, m)在此抛物线上, 故m2=-8(-3)．解法二: 由题设列两个方程, 可求得p和m. 由学生演板. 由题意在抛物线上且|MF|=5, 故四、课后作业1.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.2.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M, 其横坐标为－9, 它到焦点的距离为10, 求抛物线方程和M点的坐标.解析: 解: 由抛物线的定义, 设焦点F(－, 0). 则准线为x＝.设M到准线的距离为|MN|,则|MN|＝|MF|＝10, 即－(－9)＝10, ∴p＝2. 故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)，代入抛物线方程得y＝±6. 故M(－9,6)或M(－9，－6)．3.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上, 点A(2, )在抛物线内. 若抛物线上一动点P到A.F两点距离之和的最小值为4, 求抛物线C的方程.解析: 解: 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0), 其准线为x＝－, 过P点作抛物线准线的垂线, 垂足为H(图略), 由定义知, |PH|＝|PF|.∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|, 故当H、P、A三点共线时, |PA|＋|PF|最小. ∴|PA|＋|PF|的最小值为＋2＝4, p＝4, 即抛物线C的方程为y2＝8x.4.动圆M经过点A(3,0)且及直线l: x＝－3相切, 求动圆圆心M的轨迹方程.解：设圆M及直线l相切于点N. ∵|MA|＝|MN|, ∴圆心M到定点A(3,0)和定直线x＝－3的距离相等．根据抛物线的定义, M在以A为焦点, l为准线的抛物线上．∵＝3，∴p＝6. ∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.第二讲: 抛物线简单几何性质一、考点、热点回顾定义: 在平面内,及一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.补充：1.通径: 通过焦点且垂直对称轴的直线, 及抛物线相交于两点, 连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
抛物线的标准方程及其几何性质
抛物线的标准方程及其几何性质主讲教师：刘杨【知识概述】一、抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.二、抛物线的标准方程与几何性质【学前诊断】1． [难度] 易抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是______．2．[难度] 易动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．3．[难度] 中设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12【经典例题】例1．根据下列条件求抛物线的标准方程．（1）抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；（2）抛物线焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5.例2．已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 与抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．例3．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上移动，AB 的中点为M ，则当点M 的坐标为_____时，到y 轴的距离最短，最短距离为________．例4．设直线2ay x =-与抛物线22y x =交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆H （H 为圆心），试证明抛物线的顶点在圆H 的圆周上；并求a 的值，使圆H 的面积最小.例 5．如图所示，已知点A (2,8)，B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)均在抛物线y 2＝2px (p >0)上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合．(1)写出该抛物线的方程及焦点F 的坐标； (2)求线段BC 的中点M 的坐标； (3)求BC 所在直线的方程．【本课总结】一、解题技巧1．抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为e ＝1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决．2.抛物线的定义实质上给出一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．3．抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．4．抛物线的标准方程有四种，在求解过程中，首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式，若只能判断对称轴，而不能判断开口方向，可设为x 2＝ay (a ≠0)或y 2＝ax (a ≠0)，然后利用待定系数法和已知条件求解．5．抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；(3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p. 二、易错防范1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程． 2．注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题．【活学活用】1．[难度] 易已知抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则此抛物线的标准方程是 （ ） A ．y 2＝16x B ．x 2＝－8y C ．y 2＝16x ，或x 2＝－8y D ．y 2＝16x ，或x 2＝8y2. [难度] 中设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++等于 ( )A ．9B ．6C ．4D ．33. [难度] 中设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点(－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．。
(完整版)求抛物线的标准方程
（2）若弦AB被焦点分成长为m，n的两部分，求证：
1/m＋1/n＝2/p。
（3）设θ为直线AB的倾斜角，求证：当θ＝90o时，取 得︱AB︱的最小值2p。
（4）求证：焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
（5）若弦AB过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线 相切。
背 葡萄美酒夜光杯,
4cm
景
引 欲饮琵琶马上催.
入
8cm
问题1:如果测量得酒杯杯口宽 4cm，杯深8cm，试求出该抛 物线方程？
4cm 8cm
解：如图建立平面直角坐标系, 则可知A(-2,8),B(2,8) 所以设抛物线的方程
为： x2 = 2 py( p > 0)
A、B点在抛物线上，代入抛
1 物线方程，可得P= 4 ,
B
y2=2px(p>0)，由题意得，点A的坐标为
（40，30）代入方程得 p = 45
4
所以所求抛物线的标准方程是y2=
45
x
2
例2：过抛物线 y2 = 2 px( p > 0)
的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两 点,自A、B向准线作垂线,垂足分别为
C、D,求证: CFD = 90
２
１ ３ ６ ５ ４
(0,0)
e=1
y2 = -2 px x 0, ( p > 0) y R
关于x 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 = 2 py ( p > 0)
y 0, xR
关于y 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 = -2 py y 0,
关于y 轴 对称，无
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程抛物线是平面几何中的一种曲线，它是一种非常常见且重要的曲线形状。
在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
抛物线的标准方程是描述抛物线形状的数学表达式，它可以帮助我们更好地理解和分析抛物线的性质和特点。
在本文中，我们将深入探讨抛物线的标准方程及其相关知识点。
首先，我们来看一下抛物线的定义。
抛物线是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
这个定点被称为焦点，定直线被称为准线。
抛物线是关于准线对称的，它是一条开口向上或向下的曲线。
接下来，我们来推导抛物线的标准方程。
假设抛物线的焦点为F（p,0），准线为直线x=-p，过焦点的直线方程为y=kx。
设抛物线上任意一点为P（x,y），则P到焦点的距离为PF，即√((x-p)²+y²)，P到准线的距离为PM，即|x+p|。
根据抛物线的定义可得：√((x-p)²+y²)=|x+p|。
整理得到：(x-p)²+y²=(x+p)²。
展开得到：x²-2px+p²+y²=x²+2px+p²。
化简得到：y²=4px。
这就是抛物线的标准方程。
从这个方程我们可以看出，抛物线的形状和焦点的位置密切相关，当p为正数时，抛物线开口向右，焦点在右侧；当p为负数时，抛物线开口向左，焦点在左侧。
而抛物线的开口方向由p的正负决定，抛物线的形状由p的大小决定。
抛物线的标准方程还可以进一步转化为其他形式，例如顶点坐标形式和参数方程形式。
顶点坐标形式为(y-k)²=4a(x-h)，其中顶点坐标为(h,k)，参数方程形式为x=at²，y=2at。
这些不同形式的方程可以帮助我们更灵活地应用抛物线的相关知识，解决各种实际问题。
在物理学中，抛物线的运动规律被广泛应用。
例如，抛物线运动是一种自由落体运动，它描述了一个物体在重力作用下的运动轨迹。
抛物线及其标准方程
抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。
抛物线
抛物线一、基础知识1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2．抛物线的标准方程和几何性质二、常用结论与抛物线焦点弦有关的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α为弦AB 的倾斜角．则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p1＋cos α.(3)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α.(4)1|AF |＋1|BF |＝2p. (5)以弦AB 为直径的圆与准线相切． 考点一 抛物线的定义及应用[典例] (1)若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1 C.32D ．2(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． [解析] (1)设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 又点P 到焦点F 的距离为2， ∴由定义知点P 到准线的距离为2. ∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1. 代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.(2)如图，过点B 作B Q 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|B Q |＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.[答案] (1)B (2)4 [变透练清]1．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A.12B ．1C.32D ．2解析：选D 由抛物线y 2＝2px 知其准线方程为x ＝－p2.又点A 到准线的距离等于点A到焦点的距离，∴3x 0＝x 0＋p 2，∴x 0＝p 4，∴A ⎝⎛⎭⎫p 4，2.∵点A 在抛物线y 2＝2px 上，∴p 22＝2.∵p ＞0，∴p ＝2.故选D.2.(变条件)若将本例(2)中的B 点坐标改为(3,4)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 解析：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部． 因为|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离， 所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝22＋42＝4＋16＝25， 即|PB |＋|PF |的最小值为2 5. 答案：2 53．已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．解析：由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)． 点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1， 所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离， 故d 2＋|PF |的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32， 所以d 1＋d 2的最小值为32－1. 答案：32－1[解题技法] 与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”解决．考点二 抛物线的标准方程及性质[典例] (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y(2)(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．[解析](1)(待定系数法)设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.(2)由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a)(a>0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．[答案](1)D(2)(1,0)[解题技法]1．求抛物线标准方程的方法及注意点(1)方法求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．(2)注意点①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；②要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；③要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．[题组训练]1．(2019·哈尔滨模拟)过点F(40,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为() A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝－12y D．x2＝12y解析：选D由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y.2．若双曲线C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝43，则m的值是________．解析：y 2＝16x 的准线l ：x ＝－4，因为C 与抛物线y 2＝16x 的准线l ：x ＝－4交于A ，B 两点，|AB |＝43， 设A 在x 轴上方，所以A (－4,23)，B (－4，－23)，将A 点坐标代入双曲线方程得2×(－4)2－(23)2＝m ， 所以m ＝20. 答案：203．已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________________．解析：由△FPM 为等边三角形，得|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22p ，则点M ⎝⎛⎭⎫m ，－p 2，因为焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎨⎧m 22p ＋p2＝4，⎝⎛⎭⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .答案：x 2＝4y考点三 直线与抛物线的综合问题考法(一) 直线与抛物线的交点问题[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .若N 在以AB 为直径的圆上，则p 的值为________．[解析] 设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p . 由x 2＝2py 得y ′＝xp，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p ，∵点N 在以AB 为直径的圆上，∴AN ⊥BN ， ∴－2p ＝－1，∴p ＝2.[答案] 2[解题技法] 直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．考法(二) 抛物线的焦点弦问题[典例] (2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)， 即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.[解题技法]解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．[题组训练]1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C交于M ，N 两点，则FM ―→·FN ―→＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D 由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4. 不妨设M (1,2)，N (4,4)． 又∵抛物线焦点为F (1,0)， ∴FM ―→＝(0,2)，FN ―→＝(3,4)． ∴FM ―→·FN ―→＝0×3＋2×4＝8.2．已知抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，过F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝6，则|BF |＝________.解析：不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(A 在B 上方)，根据焦半径公式|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋4＝6，所以x 1＝2，y 1＝42，所以直线AB 的斜率为k ＝422－4＝－22，所以直线方程为y ＝－22(x －4)，与抛物线方程联立得x 2－10x ＋16＝0，即(x －2)(x －8)＝0，所以x 2＝8，故|BF |＝8＋4＝12.答案：12[课时跟踪检测]A 级1．(2018·永州三模)已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.16解析：选D 由抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，可得p ＝3，则抛物线的标准方程为x 2＝13y ，则抛物线的焦点到准线的距离等于16.故选D.2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y解析：选A 设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .3．(2019·龙岩质检)若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．5解析：选A 由|AB |＝42及AB ⊥x 轴，不妨设点A 的纵坐标为22，代入y 2＝4x 得点A 的横坐标为2，从而直线AB 的方程为x ＝2.又y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2－1＝1，故选A.4．(2018·齐齐哈尔八中三模)已知抛物线C ：y ＝x 28的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0＝( )A ．2B ．±2C ．4D ．±4解析：选D 由y ＝x 28，得抛物线的准线为y ＝－2，由抛物线的几何意义可知，|AF |＝2y 0＝2＋y 0，得y 0＝2，所以x 0＝±4，故选D.5．(2019·湖北五校联考)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.6．已知点A (0,2)，抛物线C 1：y 2＝ax (a ＞0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为( )A.14B.12 C ．1D ．4解析：选D 依题意，点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，设点M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，|KM |∶|MN |＝1∶5，则|KN |∶|KM |＝2∶1.∵k FN ＝0－2a 4－0＝－8a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－2，∴8a ＝2，解得a ＝4.7．抛物线x 2＝－10y 的焦点在直线2mx ＋my ＋1＝0上，则m ＝________. 解析：抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫0，－52，代入直线方程2mx ＋my ＋1＝0，可得m ＝25. 答案：258．(2019·沈阳质检)已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则△AOB 的边长是________．解析：如图，设△AOB 的边长为a ，则A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，∵点A 在抛物线y 2＝3x 上，∴14a 2＝3×32a ，∴a ＝6 3.答案：6 39．(2018·广州一模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为________．解析：∵双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y 2＝8x ，∵|AF |＝3，∴x A＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.∵点A 在第一象限，∴A (1,22)，∴直线AF 的斜率为221－2＝－2 2.答案：－2 210．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.答案：211．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x . (2)∵点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k F A ＝43，∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34.∴F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，∴点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8， ∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍去)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.B 级1．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，M ∈C ，以M 为圆心的圆M 与准线l 相切于点Q ，Q 点的纵坐标为3p ，E (5,0)是圆M 与x 轴不同于F 的另一个交点，则p ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F⎝⎛⎭⎫p 2，0，由Q 点的纵坐标为3p 知M 点的纵坐标为3p ，则M 点的横坐标x ＝3p 2，即M ⎝⎛⎭⎫3p 2，3p .由题意知点M 是线段EF 的垂直平分线上的点，3p 2＝5－p22＋p2，解得p ＝2.故选B. 2．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析：法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 的中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)， 设直线方程为y ＝k (x －1)， 直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由M (－1,1)，得AM ―→＝(－1－x 1,1－y 1)，BM ―→＝(－1－x 2,1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM ―→·BM ―→＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)， ∴1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2⎝⎛⎭⎫1－2k 2＋4k 2＋1－k⎝⎛⎭⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0， 整理得4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2.答案：23．(2019·洛阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切． 解：(1)∵AB ∥l ，∴|FD |＝p ，|AB |＝2p . ∴S △ABD ＝p 2，∴p ＝1， 故抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py 得x 2－2kpx －p 2＝0. ∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. 其中A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p . ∴M ⎝⎛⎭⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝⎛⎭⎫kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ，∴y ′＝xp.∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p .∴直线AN 与抛物线相切．第九节 曲线与方程一、基础知识1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线❶.2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系❷，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}❸； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．(1)如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0, 那么点P 0(x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是f (x 0，y 0)＝0.(2)“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”的充分不必要条件.坐标系建立的不同，同一曲线在不同坐标系中的方程也不同，但它们始终表示同一曲线．有时此过程可根据实际情况省略，直接列出曲线方程．考点一 直接法求轨迹方程1．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x解析：选A 设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→，∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .2．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.则动点P 的轨迹方程为________________．解析：因为点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称， 所以点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)． 答案：x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)3．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为____________________．解析：设A (x ，y )，由题意可知D ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2. ∵|CD |＝3，∴⎝⎛⎭⎫x 2－52＋⎝⎛⎭⎫y22＝9， 即(x －10)2＋y 2＝36， 由于A ，B ，C 三点不共线， ∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．答案：(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)考点二 定义法求轨迹方程[典例精析]已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[解] 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞|MN |＝2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．[解题技法]定义法求曲线方程的2种策略(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．[题组训练]如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M ，求曲线M 的方程．解：由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|C Q |＋|AP |＋|B Q |＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |， 所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)． 设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝3， 所以曲线M 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0).考点三 代入法(相关点)求轨迹方程[典例精析]如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．[解] (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x ，设C ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，D ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0.切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎫x －y 212， 代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0， 由Δ＝0，解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎨⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1y 22，y ＝y 1＋y22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,2 2 ]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x.代入⎩⎨⎧x ＝y 1y 22，y ＝y 1＋y22，可得M (x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，可得⎩⎨⎧x 0＝－8x ，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1.考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．[解题技法]“相关点法”求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．[题组训练]已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过点M ⎝⎛⎭⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB ―→＝－2MA ―→.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程．解：设A (x 0，y 0)，∵B (0,2)，M ⎝⎛⎭⎫33，0，故MB ―→＝⎝⎛⎭⎫－33，2，MA ―→＝⎝⎛⎭⎫x 0－33，y 0.由于MB ―→＝－2MA ―→，∴⎝⎛⎭⎫－33，2＝－2⎝⎛⎭⎫x 0－33，y 0.∴x 0＝32，y 0＝－1，即A ⎝⎛⎭⎫32，－1. ∵A ，B 都在曲线E 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ·02＋b ·22＝1，a ·⎝⎛⎭⎫322＋b ·(－1)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14. ∴曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1.[课时跟踪检测]A 级1．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ―→＝λ1OA ―→＋λ2OB ―→(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：选A 设C (x ，y )，因为OC ―→＝λ1OA ―→＋λ2OB ―→， 所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹是直线，故选A.2.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A -B -C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )解析：选D 当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D.3．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B.(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2解析：选D 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，PM ， 则MA ⊥P A ，且|MA |＝1， 又因为|P A |＝1，所以|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝2， 即|PM |2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.4．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2P A ―→，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP ―→＝2P A ―→，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q (－x ，y )，故由O Q ―→·AB ―→＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．5.如图所示，已知F1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线 B.圆 C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 延长F 2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接O Q .因为P Q 是∠F 1PF 2的外角的角平分线，且P Q ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|O Q |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|O Q |＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.6．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC ―→＝OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是____________________．解析：设C (x ，y )，则OC ―→＝(x ，y )，OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t 消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －27．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________________．解析：由题意，延长F1D ，F 2A 并交于点B ，易证Rt △ABD ≌Rt △AF 1D ，则|F 1D |＝|BD |，|F 1A |＝|AB |，又O 为F 1F 2的中点，连接OD ，则OD ∥F 2B ，从而可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，设点D 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝48．(2019·福州质检)已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为________．解析：因为|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入双曲线的方程，消去y ，得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6mk1－3k 2＝12，①y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2，② 由①②解得k ＝2. 答案：29.如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2(1＜t ＜3)与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解：由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)， 由曲线的对称性，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．10．(2019·武汉模拟)在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3,0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP ―→＝λR Q ―→ (λ＞1)，求证：NF ―→＝λF Q ―→.解：(1)依题意知，直线A 1N 1的方程为y ＝m 6(x ＋6)，① 直线A 2N 2的方程为y ＝－n 6(x －6)，② 设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－mn 6(x 2－6)， 又mn ＝2，整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1. (2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0，(*) 所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3t 2＋3. 由RP ―→＝λR Q ―→，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2，由(1)得F (2,0)，要证NF ―→＝λF Q ―→，即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)，只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2， 即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0，又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9，x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6，所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0，即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0，而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6t t 2＋3＝0成立，即NF ―→＝λF Q ―→成立． B 级1．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )A ．两条直线B.两条射线 C ．两条线段 D ．一条直线和一条射线 解析：选D 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．2．动点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上异于椭圆顶点A (a,0)，B (－a,0)的一点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，动圆M 与线段F 1P ，F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心M 的轨迹为除去坐标轴上的点的( )A ．抛物线B.椭圆 C ．双曲线的右支 D ．一条直线解析：选D 如图，设切点分别为E ，D ，G ，由切线长相等可得|F 1E |＝|F 1G |，|F 2D |＝|F 2G |，|PD |＝|PE |.由椭圆的定义可得|F 1P |＋|PF 2|＝|F 1P |＋|PD |＋|DF 2|＝|F 1E |＋|DF 2|＝2a ，即|F 1E |＋|GF 2|＝2a ，也即|F 1G |＋|GF 2|＝2a ，故点G 与点A 重合，所以点M 的横坐标是x ＝a ，即点M 的轨迹是一条直线(除去A 点)，故选D.3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，所以|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)4.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足DM ―→＝12DP ―→. (1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．解：(1)设M (x ，y )，则D (x,0)，由DM ―→＝12DP ―→，知P (x,2y )， ∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1， 得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)＞0，得k 2＜15，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2， ∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形，∴OE ―→＝OA ―→＋OB ―→＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2， 又OE ―→＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k 1＋4k 2，消去k 得，x 2＋4y 2－6x ＝0，∵k 2＜15，∴0＜x ＜83. ∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0＜x ＜83. 5.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B.抛物线 C ．椭圆 D ．双曲线的一支解析：选C 母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆．故选C.6．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B.x 2＋y 2＝9C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：选B ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1. A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意； D 项，把x 2＝16y 代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ＞0，满足题意．7．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且顶点A ，B 的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为________________． 解析：由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10， 则|AC |＋|BC |＝10＞8＝|AB |，∴满足椭圆定义．令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3， 则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5)．答案：x 225＋y 29＝1。
抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质
高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程辽河油田第三高级中学杨闯【本讲主要内容】抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 抛物线定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。
它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。
2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：其中为抛物线上任一点。
3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。
4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有，，，，，，。
说明：1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。
2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。
3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。
【解题方法指导】例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程。
解析：设所求抛物线的方程为或设交点（y1>0）则，∴，代入得∴点在上，在上∴或，∴故所求抛物线方程为或。
例2. 设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。
解析：证法一：由题意知抛物线的焦点故可设过焦点的直线的方程为由，消去得设，则∵∥轴，且在准线上∴点坐标为于是直线的方程为要证明经过原点，只需证明，即证注意到知上式成立，故直线经过原点。
证法二：同上得。
又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。
于是，知三点共线，从而直线经过原点。
证法三：如图，设轴与抛物线准线交于点，过作，是垂足则∥∥，连结交于点，则又根据抛物线的几何性质，∴因此点是的中点，即与原点重合，∴直线经过原点。
1、抛物线的定义、标准方程、几何性质
1、抛物线的定义、几何性质学习目标：理解掌握抛物线的定义、几何性质，并能解决有关问题 重点： 抛物线的定义、几何性质难点：利用抛物线的定义、几何性质解决有关问题 知识梳理：抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线（点F 不在直线l 上）． 注意：点F 在直线l 上时，轨迹是过点F 且垂直于直线l 的一条直线 2．抛物线四种标准方程的几何性质：轴)轴轴)轴3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦半径：抛物线 )0(22>-=p px y 上一点),(00y x P 到焦点(,0)2p F 的距离2||||0px PF += 抛物线 )0(22>±=p py x 上一点),(00y x P 到焦点(,0)2p F 的距离 2||||0py PF +=(5) 焦点弦长：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ， 焦点(,0)2p F (1)以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切(2) 221p y y -=，4221p x x =(3)pBF AF 211=+ (4)通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．抛物线的通径长：2p ． 5．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则221212()()AB x x y y =-+-||11||1212212y y kx x k -+=-+= 分类例析： 一、 抛物线的定义、几何性质及应用 例1（1）过抛物线x y 82=的焦点F 作倾斜角是π43的直线，交抛物线于A,B 两点，则||AB = A ．8B ．28C ．216D ．16（2）（2020新课标1理4）已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9（3）经过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作一直线l 交抛物线 于),(11y x A ，),(22y x B ，则2121x x y y 的值为__________。
抛物线的定义及其标准方程
抛物线的定义及其标准方程抛物线是一种常见的平面曲线形状，它形似一条弯曲的碗，也可以理解为一弹出物飞行时所经过的曲线。
抛物线有许多重要的应用，如机械运动、射击学、光学和电子学等领域。
本篇文章将介绍抛物线的定义及其标准方程。
一、抛物线的定义抛物线可以由一个固定点(称为焦点)和一条直线(称为准线)所确定。
以焦点为原点，以准线到焦点的垂线长度为 x 轴的正半轴，则抛物线的反比例距离与该垂线长度成正比。
抛物线的几何性质：1. 抛物线有轴线对称性。
2. 抛物线的定点为焦点。
3. 抛物线上各点P到准线的距离等于该点到焦点的距离。
4. 抛物线上的点P到焦点F的距离等于P到直线的距离。
二、抛物线的标准方程为了描述抛物线更加方便，我们引入直角坐标系，坐标系原点是焦点，x 轴是准线，y 轴垂直 x 轴，向上取正。
设一个参数 p>0，焦点为 F(p,0)，准线为 x = -p，抛物线上任意一点 P(x,y) 到焦点的距离是：PF = √[(x-p)² + y²]抛物线上任意一点 P 到准线 x=-p 的距离是：PD = |x+p|由于抛物线上各点到焦点的距离等于该点到直线的距离，因此：PF = PD将 PF 的表达式代入，得：√[(x-p)² + y²] = |x+p|平方两边，得：(x-p)² + y² = (x+p)²化简得到标准方程：y² = 4px这个方程被称为抛物线的标准方程。
其中参数 p>0 决定了焦点与准线之间的距离。
若正抛物线，焦点在 y 轴下方；若负抛物线，焦点在 y 轴上方。
标准方程的性质：1. 抛物线的顶点位于原点。
2. 抛物线开口方向由参数 p 确定：当 p > 0 时，抛物线向右开口，当 p < 0 时，抛物线向左开口。
3. 抛物线的对称轴为 y 轴。
抛物线在实际应用中具有广泛的应用，如光学中的抛物面镜头、瞬时动作线、射流的发射、弹道轨迹以及天体运动等。
抛物线的标准方程及性质
知识梳理第十八讲抛物线的方程及性质热身练习1．抛物线y =-x2的焦点坐标为．2．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(-2, 3) ，则它的方程是．3．已知方程为x2 =-2 py( p > 0) 的抛物线上有一点M (m, -3) ，点M 到焦点F 的距离为5，则m 的值为．4．AB 是抛物线y 2 = 2 px( p > 0) 的动弦，且| AB |=a(a > 2 p) ，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离为．1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎛p, 0⎫2 ⎪⎝⎭F⎛-p, 0⎫2 ⎪⎝⎭F⎛0,p ⎫2 ⎪⎝⎭F⎛0, -p ⎫2 ⎪⎝⎭ 准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下3．抛物线一些常用结论(1)抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F⎛p,0⎫的距离|PF|＝x0＋p，也称为抛物线的焦半径．2 ⎪2⎝⎭2 ，k 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎪ +(2)y 2＝ax 的焦点坐标为⎛ p , 0⎫，准线方程为 x ＝－a ． 4 ⎪ 4 ⎝ ⎭(3)通径长度为 2p （过抛物线焦点的弦中通径最短）；(4) 设抛物线方程： y 2 = 2 px ，过焦点的直线l : y = k ⎛ x -p ⎫（斜率存在且 k ≠ 0），对应倾斜角2 ⎪⎝⎭为θ，与抛物线交于A (x 1, y 1 ),B (x 2 , y 2 )．⎧ y 2 = 2 px ⎪ 联立方程： ⇒ k 2 ⎛ x - p ⎫ = 2 px ，整理可得： k 2 x 2 - ( 2 + ) + k 2 p 2 = ⎨ y = ⎛ p ⎫ 2 ⎪k p 2p x 0 k x - ⎪⎝ ⎭4⎩⎝⎭ 2（1） x x =p y y= - p 2 ；1 241 2（2） ∠A 1FB 1 = 90︒ ， ∠ANB = 90︒， FN ⊥ AB ；1 12（3）= 为定值； | FA | | FB | p（4）以 AB 为直径的圆和抛物线的准线相切于 N ，以 A 1B 1 为直径的圆与 AB 相切于 F ；k 2 p + 2 p 2k 2 p + 2 p ⎛ 1 ⎫（5） AB = x 1 + x 2 + p = k 2 + p = k 2= 2 p 1 + ⎪ ⎝ ⎭=⎛ 1 ⎫⎛ cos 2θ⎫ 2 p2 p 1 +tan 2θ⎪ = 2 p 1 + sin 2θ⎪ =sin 2θ；1 1 1 p2 p p 2（6） S AOB = ⋅ d O -l ⋅ AB = ⋅ (OF ⋅ sin θ)⋅ AB = ⋅ ⋅ sin θ⋅ =； 2 2 2 2 sin 2θ（7） A ， O ， B 1 三点共线； （8） MN 被抛物线平分．2sin θ一、求抛物线方程的问题【例 1】动圆 M 与定直线 y = 2 相切，且与定圆C ： x 2 + ( y + 3)2= 1相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程．例题解析2【例 2】抛物线的焦点在直线 y = 2x + 2 上，且对称轴垂直于 y 轴，则其标准方程是．【例 3】已知抛物线顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点(m ,－3),到焦点距离为 5，求 m 的值并写抛物线方程．【例 4】如图，直线 l 1 和 l 2 相交于点 M ，l 1 ⊥ l 2 ，点N ∈l 1．以 A 、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l 2 的距离与到点 N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |＝ ＝3，且|BN |＝6．建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程．【巩固训练】1．抛物线 y = ax 2(a > 0)的准线方程．，|AN |2．已知抛物线 x 2+ 2 py = 0( p > 0) 上的点到它的准线的距离的最小值为 1，求抛物线的焦点坐标2．3．已知点 F (- 1 , 0) ，直线l ：x = 1，点 B 是直线l 上的动点，若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF4 4的垂直平分线交于点 M ，则点 M 所在曲线是（）( A ) 圆(B ) 椭圆 (C ) 双曲线 (D ) 抛物线4．方程 =| x - y + 3 | 表示的曲线是 （ ）( A ) 圆 (B ) 椭圆 (C ) 双曲线 (D ) 抛物线17 2(x + 3)2 + 2( y -1)229 5．求到点 A (-2, 0) 的距离比到直线l : x = 3 的距离小 1 的点 P 的轨迹方程．6．过抛物线 x 2= ay 的焦点 F 作 y 轴的垂线，交抛物线与 A 、B 两点，若| AB |= 6 ，求抛物线的方程．7．已知圆 x 2 + y 2- 6x - 7 = 0 与抛物线的准线相切，求抛物线的标准方程．8．设抛物线 C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为 F ，点 M 在 C 上，|MF |＝5.若以 MF 为直径的圆过点(0，2)， 则 C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或 y 2＝8xB ．y 2＝2x 或 y 2＝8xC ．y 2＝4x 或 y 2＝16xD ．y 2＝2x 或 y 2＝16x二、抛物线的定义的运用及性质【例 5】设 F 为抛物线 y 2= 4x 的焦点（1）点 A ( 2 ,2 )，若点 P 在抛物线上移动，则 PA + PF的最小值是（2）点B ( 2 ,3 )，若点 P (x 0 , y 0 )在抛物线上移动，则 x 0 + PB 的最小值是 ．（3）直线l 1 : 4x - 3y + 6 = 0 、直线l 2 : x = -1 ，若点 P 在抛物线上移动，则 P 到l 1 和l 2 的距离之和的最小值是．（4）A ,B ,C 为该抛物线上三点，若 FA + FB + FC = 0 ，则| FA | + | FB | + | FC |= ．【例 6】设抛物线 y 2= 2x 的焦点为 F ，以 P ( , 0) 为圆心， PF 长为半径作一圆，与抛物线在 x 轴2上方交于 M , N ，则| MF | + | NF | 的值为（）( A ) 8(B ) 18(C ) 2 (D ) 4【例 7】如图所示点 F 是抛物线 y 2= 8x 的焦点，点 A 、 B 分别在抛物线 y 2 = 8x 及圆(x - 2)2+ y 2= 16 的实线部分上运动，且AB 总是平行于 x 轴，则∆FAB 的周长的取值范围是（ ）A ． (6,10)B ． (8,12)C ． [6,8]D ． [8,12]【例 8】AB 为过抛物线 y 2＝2px (p ＞0)焦点 F 的弦，点 A ，B 在抛物线准线上的射影为 A 1，B 1，且 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).求证： (1)|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(2)x xp 2 y y ＝－p 2；1 2＝ ， 1 24(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切； 1 1 2 (4) ＋ ＝ . |AF | |BF | p【例 9】（1）经过抛物线 y 2= 4x 的焦点 F 作倾角为 π的弦AB ，则|AB|= ．3（2）已知抛物线 x 2= 4 y ，求过抛物线焦点，且长等于 8 的弦所在的直线方程．【例 10】过抛物线 y 2= 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A 、有且仅有一条B 、有且仅有两条C 、有无穷多条D 、不存在【例 11】已知过抛物线 y 2= 4x 的焦点 F 的弦与抛物线交于 A , B 两点，过 A , B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C , D ，则 AC + BD 的最小值为．【例 12】设抛物线 y 2＝2x 的焦点为 F ，过 F 的直线交该抛物线于 A ，B 两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为．【例13】抛物线y2= 2px(p> 0) 的焦点为F，点A、B在此抛物线上，且∠AFB＝90°，弦A B的中点M在其准线上的射影为M′，则|M M′|的最大值为．|AB|【例14】点P 是抛物线y2 = 2x的任意一点，点A(a, 0) ．（1）若a= 2 ，求PA 的最小值，以及此时的点P 的坐标；（2）若PA 取最小值时，点P 与顶点重合，求a 的范围．【巩固训练】1 ．抛物线y2 = 2 px( p > 0) 上有A(x , y ) ，B(x , y ) ，C(x , y ) 三点， F 是它的焦点，若1 12 23 3AF , BF , CF 成等差数列，则（）A．x1, x2 , x3 成等差数列B．x1, x3 , x2 成等差数列C．y1 , y2 , y3 成等差数列D．y1 , y3 , y2 成等差数2．若点A 的坐标为(3,1) ，F 为抛物线y2 = 2x 的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则| PA | + | PF |取得最小值时点P 的坐标是．3．已知过抛物线y2=2p x(p>0)的焦点的弦AB的两端点为A(x,y),B(x,y),则关系式y1y2的值一定等于．1 1 2 2x1x24．已知点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C:(x-4)2+(y-1)2=1上，则MA + MF 的最小值为．5．点M (20, 40) ，抛物线y2 = 2 px （p > 0 ）的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，| PM | + | PF | 的最小值为41，则p 的值等于-．6．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为．7．如图，过抛物线y2 = 2px(p> 0) 的焦点F 作直线交抛物线于A、B 两点，M 为准线l 上任意一点，记∠AMF＝α，∠BMF＝β，∠MFO＝θ，若AM⊥BM，则|α—β|与θ的大小关系为（）30A ． |α- β|> θB ． |α- β|= θC ． |α- β|< θD ．不确定8．设 A (x , y ), B (x , y ) 两点在抛物线y = 2x 2上， l 是 AB 的垂直平分线．1 12 2（1） 当且仅当 x 1 + x 2 取何值时，直线l 经过抛物线的焦点 F ？证明你的结论； （2） 当直线l 的斜率为 2 时，求l 在 y 轴上的截距的取值范围．三、抛物线的应用【例 15】一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分，它的方程为 x 2= 2 y (0 ≤ y ≤ 20) ，在杯内放一个玻璃球，要使球触及到杯的底部，则玻璃球的半径 r 的范围为．【例 16】由于洪峰来临，某抛物线形拱桥下游 8 千米处有一救援船只接到命令，要求立即到桥上执行任务，并告知：此时水流速度为 100 米/分钟，拱桥水面跨度为 米，水面以上拱高 10 米，且1 桥下水面上涨的高度与时间 t （分钟）的平方成正比，比例系数为 10，已知救援船只浮出水面部分的宽、高各为 3 米，问该船至少以多大的速度前进，才能顺利通过？（桥宽忽略不计，水速视为匀速）1 2 3 n【例17】设点F是抛物线L：y2=2px(p>0)的焦点，P、P、P、 、P是抛物线L上的n 个不同的点（n≥3,n∈N*）．（1）当p = 2 时，试写出抛物线L 上的三个定点P1 、P2、P3的坐标，从而使得| FP1 | + | FP2| + | FP3|= 6；（2）当n > 3时，若FP1 +FP2 +FP3 + +FP n = 0 ，求证：| FP1| + | FP2 | + | FP3| + + | FP n |=np ；（3）当n > 3时，某同学对（2）的逆命题，即：“若| FP1 | + | FP2 | + | FP3 | + + | FP n |=np ，则FP1 +FP2 +FP3 + +FP n = 0 ．”开展了研究并发现其为假命题．请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：①试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；② 对任意给定的大于3 的正整数n ，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）．2【例 18】给定抛物线C ： y 2= 4x ，F 是C 的焦点，过点 F 的直线l 与C 相交于 A 、B 两点．（1）设l 的斜率为 1，求OA 与OB 得夹角的大小．（2）设 FB = λAF ，若λ∈[4, a ]，求l 在 y 轴上的截距的变化范围．【巩固训练】1．某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高为 4米，在修建桥时，每隔4米需要一支柱支撑，其中最长的支柱长为 米．2．经过抛物线 y 2=2px 的焦点 F 作倾角为θ的直线，若该直线与抛物线交于 P 1、P 2 两点， （1）求|P 1P 2|； （2）当θ变化时，求|P 1P 2|的最小值．3．已知两个动点 A 、B 和一个定点 M (x 0 , y 0 )均在抛物线 y = 2 px ( p > 0)上，设 F 为抛物线的焦2⎛ 1 ⎫点，Q 为对称轴上一点，若 QA + AB ⎪ ⋅ AB = 0且 FA ， FM ⎝⎭ ， FB 成等差数列．（1）求OQ 的坐标；（2）若 OQ = 3, FM= 2 ，求 AB 的取值范围．-1．注重抛物线定义的运用．一般的，如果涉及到抛物线上的点与焦点的连线都要根据定义进行 转化． 2．抛物线与椭圆和双曲线之间既有统一又有区别．在解题时经常采取设而不求的方法，计算量 很大，多练习才能熟练应用．1．已知抛物线 x 2+ my = 0 上的点到定点(0, 4) 和到定直线 y = -4的距离相等，则 m =（ ）1 1 A ．；B ． 1616；C ． 16 ；D ． -16．2．若点 P 到点 F (4, 0) 的距离比它到直线 x + 5 = 0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是（）．A 、 y 2= -16xB 、 y 2= -32xC 、 y 2= 16xx 2 + y 2 =D 、 y 2= 32x3．已知抛物线的顶点在原点，焦点和椭圆．16 81的右焦点重合，则抛物线的标准方程为4．抛物线 y 2= x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为．5．直线 y = (a + 1)x - 1与抛物线 y 2= 8x 有且只有一个公共点，则 a 的值是．6．过抛物线 y 2= 4x 的焦点 F 作倾斜角为 3π的直线交抛物线于 A 、B 两点，则 AB 的长是（）4反思总结课后练习2PF PAAB 4C 8D 2 7．若抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为 10 和 6，则该点横坐标可能为（ ）A 10B 9C 8D 68．抛物线 y 2 = 4mx (m > 0) 的焦点为 F ，点 P 为该抛物线上的动点，又点 A (-m , 0) ，则的最 小值为 ．9． 若 F 是抛物线 y 2= 4x 的焦点，点 P (i = 1, 2, 3,...,10) 在抛物线上，且 + + ... + = ， i 则| P 1F | + | P 2 F | +... + | P 100 F |= . P 1 F P 2 F P 100 F 010．斜率为1的直线过抛物线 y 2= 4x 的焦点，且与抛物线交于两点 A 、 B ．（1）求 AB 的值；（2）将直线 AB 按向量 a = (-2, 0) 平移得直线 m ， N 是 m 上的动点，求 NA ⋅ NB 的最小值．11．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F的两条弦，且其焦点F ( 0,1) ，AC ⋅BD = 0，点E 为y 轴上一点，记∠EFA =α，其中α为锐角．（1）求抛物线Γ方程；（2）如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？。
抛物线定义及标准方程
抛物线定义及标准方程抛物线是二次函数的图象，它是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
在日常生活中，我们经常可以看到抛物线的形状，比如喷泉中水流的轨迹、抛出的物体的运动轨迹等。
抛物线的研究对于理解物体的运动规律、建立数学模型等都具有重要的意义。
抛物线的标准方程是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
抛物线的开口方向取决于a的正负，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
现在我们来详细了解一下抛物线的定义及标准方程。
首先，我们来看抛物线的定义。
如前所述，抛物线是平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹。
这个定点叫做焦点，定直线叫做准线。
在平面直角坐标系中，抛物线的焦点通常在y轴上，坐标为(0, p)，准线为y=-p。
根据这个定义，我们可以得出抛物线的数学表达式。
其次，我们来推导抛物线的标准方程。
假设抛物线上有一点P(x, y)，它到焦点的距离为PF，到准线的距离为PM。
根据抛物线的定义，我们可以得到PF=PM，即√(x^2+(y-p)^2)=|x|。
将这个方程进行整理化简，就可以得到抛物线的标准方程y=ax^2+bx+c。
最后，我们来看一些抛物线的性质。
首先，抛物线的对称轴是与x轴平行的直线，它通过焦点并且与抛物线的开口方向垂直。
其次，抛物线的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。
最后，抛物线的焦距为|4a|p。
这些性质可以帮助我们更好地理解抛物线的形状和特点。
总之，抛物线是二次函数的图象，它具有很多重要的数学性质和物理意义。
通过学习抛物线的定义及标准方程，我们可以更好地理解它的形式和特点，为后续的数学学习和物理研究打下基础。
希望本文能够帮助大家更好地理解抛物线，欢迎大家批评指正。
抛物线的定义、标准方程 几何性质
第三讲 抛物线定义、标准方程和几何意义抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线 抛物线的准线方程(1))0(22>=p px y , 焦点:)0,2(p ，准线l ：2p x -= (2))0(22>=p py x , 焦点:)2,0(p ，准线l ：2py -= (3))0(22>-=p px y , 焦点:)0,2(p-，准线l ：2p x =(4) )0(22>-=p py x , 焦点:)2,0(p -，准线l ：2p y =相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p =不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x（2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号 抛物线的几何性质（1）范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1． 17抛物线的焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x p p x PF +=+=抛物线)0(22>-=p px y ，0022x p p x PF -=-=抛物线)0(22>=p py x ，0022y p p y PF +=+=抛物线)0(22>-=p py x ，0022y p p y PF -=-=18．直线与抛物线： （1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点） 将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx CyAx C ，消去y ，得到关于x 的二次方程02=++c bx ax （*） 若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离 综上，得：联立⎩⎨⎧=+=pxyb kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点） 0<∆，无公共点 （相离） （2）相交弦长：弦长公式：21kad +∆=，（3）焦点弦公式：抛物线)0(22>=p px y ， )(21x x p AB ++= 抛物线)0(22>-=p px y ， )(21x x p AB +-= 抛物线)0(22>=p py x ， )(21y y p AB ++= 抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-=（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：p d 2= （5）若已知过焦点的直线倾斜角θ则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p pkp y y =+=-⇒θθ221sin2sin 1p y y AB =-=⇒（6）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421p x x =。
抛物线的标准方程与几何性质
y2 =4x、 y2 = -4x、
x2 =4y 或 x2 = -4y
A
19
练习1
2、已知抛物线的标准方程是(1)y2 =12x、(2)y＝ 12x2 求它们的焦点坐标和准线方程；
解（：1）p＝6，焦点坐标是（3，0）准线方程是
x＝－3．
（2）先化为标准方程 x2 1 y ，p 1 ，
12
24
1
=
9
2
A
y或y2 =
4
x。
3 21
练习2
已知抛物线经过点P(4,－2)，求抛物线的标 准方程。
提示：注意到P为第四象限的点，所以可以设抛物线
的标准方程为y2=2px或x2=-2py
解： 点P(4,2)位于第四象限，设方所程求为
y2 2p1x或x2 2p2y，将x4, y 2代入，
可得p1
1, 2
抛物线的标准方程还有
几种不同的形式?它们是 如何建系的?
A
10
三. 四种抛物线及其它们的标准方程
y
图
OF
x
形
l
y
y
FO x
F
O
l
l
y l
O
x
F
x
焦点位置
x轴的 正半轴上
x轴的 负半轴上
y轴的 正半轴上
y轴的 负半轴上
标准方程 y2=2px y2=-2px
x2=2py x2=-2py
焦点坐标 准线方程
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
顶点 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0）
抛物线标准方程及其几何性质
教学内容知识梳理1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。
⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。
所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。
所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。
所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。
，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ， ②准线方程是：2px -=。
③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线C NM 1QM 2K FPoM 1QM 2KF Poyx的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中5一般情况归纳：方程 图象 焦点 准线 定义特征 y 2=kxk>0时开口向右 (k/4,0)x=─k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离k<0时开口向左 x 2=kyk>0时开口向上 (0,k/4)y=─k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y=─k/4的距离k<0时开口向下例题讲解例1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y2＝－8x B ．y2＝8x C ．y2＝－4xD ．y2＝4x例2坐标平面内到定点F(－1，0)的距离和到定直线l ：x ＝1的距离相等的点的轨迹方程是( ) A ．y2＝2xB ．y2＝－2xC ．y2＝4xD ．y2＝－4x例3已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74例4拋物线y2＝4x 上一点M 到焦点的距离为2，则M 到y 轴的距离为________． 例5已知过抛物线y2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．例6根据下列条件求拋物线的标准方程．(1)拋物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)拋物线焦点在x 轴上，直线y ＝－3与拋物线交于点A ，|AF|＝5.例7已知抛物线y2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标． 变式练习.(1)将本例中A (3，2)改为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，试求|P A |＋|PF |的最小值及此时P 点的坐标．(2)本例条件不变，求点P 到点B ⎝⎛⎭⎪⎫－12，1的距离与点P 到直线x ＝－12的距离之和的最小值．例7.已知探照灯的轴截面是抛物线y 2=x ，如图所示，平行于对称轴y=0的光线于此抛物线上入射点，反射点分别为P 、Q ，设点P 的纵坐标为a(a>0)，当a 取何值时，从入射光线P 到反射点Q 的光线路径最短？例8已知拋物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)．(1)求拋物线C 的方程，并求其准线方程；y oFPQ(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与拋物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．课内练习1．以抛物线)0(22>=p px y 的焦半径PF 为直径的圆与y 轴位置关系为（ ）Ａ、 相交 Ｂ、 相离 Ｃ、 相切 Ｄ、 不确定 2．抛物线方程为7x ＋8y 2=0，则焦点坐标为（ ） A ．(716 ,0) B ．(－732 ,0) C ．(0,－ 732 ) D ．(0,－ 716 )3．抛物线y=－x 2上的点到直线4x ＋3y －8=0距离的最小值是 （ ） A ．43 B ．75 C ．85 D ．34．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA → ·AF → =－4，则A 点坐标为 （ ） A ．（2，±2 2 ） B ．（1，±2） C ．（1，2） D ．（2，2 2 ）5．抛物线y 2=－2px(p ＞0)上一点横坐标为-9，它到焦点的距离为10，这点的坐标为 ． 6．过抛物线x y =2的焦点F 的直线m 的倾斜角m ,4πθ≥交抛物线于A 、B 两点，且A 点在x 轴上方，则|FA|的取值范围是 ．7．一动圆Ｍ和直线:4l x =-相切，并且经过点(4,0)F ，则圆心Ｍ的轨迹方程是 ． 8．直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为6，求p 的值．9．已知直线l ：y= 3 x ＋4被抛物线x 2=2p y(p ＞0)截得的弦长为4 3 ． （1）求抛物线的方程；（2）在该抛物线上位于直线l 下方的部分中，求一点M ，使M 到l 的距离最远．10．已知抛物线y 2=4ax(a ＞0)的焦点为A ，以B （a+4，0）为圆心，|AB|长为半径画圆，在x 轴上方交抛物线于M 、N 不同的两点，若P 为MN 的中点．（1）求a 的取值范围； （2）求|AM|+|AN|的值；（3）问是否存在这样的a 值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？课后作业1．顶点为原点，抛物线对称轴为y轴，且过点（－4，5），则抛物线的准线方程为（）A．y=－45B．y=45C．x=－45D．x=452．已知点P是抛物线22y x=上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是7(,4)2A，则||||PA PM+的最小值是（）A．112B．4 C．92D．53．过点（－1，0）作抛物线y=x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为（）A．2x＋y＋2=0 B．3x－y＋3=0 C．x＋y＋1=0 D．x－y＋1=04．抛物线型拱桥的顶点距水面2m时，水面宽8m，若水面升1m，此时水面宽为．5．过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则△OAB的重心的坐标为．6．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点Ｐ（２，－４）的抛物线的方程．7．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且|AF|＋|BF|=8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线方程．8．已知抛物线x y 22=及定点),0,1(),1,1(-B A M 是抛物线上的点，设直线BM AM ,与抛物线的另一交点分别为21,M M ．求证：当点M 在抛物线上变动时（只要21,M M 存在且1M 与2M 是不同两点），直线21M M 恒过一定点，并求出定点的坐标B 组1．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A ．1716B ．1516C ．78D ．02．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → |＋MN → ·NP → =0，则动点P （x,y ）的轨迹方程是 （ ） A ．y 2=8x B ．y 2=－8x C ．y 2=4x D ．y 2=－4x3．已知P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，―1），点M 分P A → 所成的比为2，则点M 的轨迹方程是（ ）A 、y=6x 2―31B 、x=6y 2－31 C 、y=3x 2+31 D 、y=―3x 2―14．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2=2 3 x 上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是 ．5．对正整数n ，设抛物线x n y )12(22+=，过)0,2(n P 任作直线l 交抛物线于n n B A ,两点，则数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⋅)1(2n OB OA n n 的前n 项和公式是 ．6．焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x ＋1截得的弦长为15 ，求抛物线的标准方程．7．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求出点M 的坐标．8．在直角坐标系中，已知点⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F （p>0）, 设点F 关于原点的对称点为B ，以线段FA为直径的圆与y 轴相切.（1）点A 的轨迹C 的方程；（2）PQ 为过F 点且平行于y 轴的曲线C 的弦，试判断PB 与QB 与曲线C 的位置关系.21M M 是曲线C 的平行于y 轴的任意一条弦，若直线FM1与BM2的交点为M ，试证明点M 在曲线C 上．。
抛物线的简单几何性质(综合)
外切
总结词
当抛物线的焦点在圆外，且圆心在抛物线上 时，抛物线与圆相切于两点，即外切。
详细描述
外切的情况发生在抛物线的焦点位于圆心所 在直线的另一侧时。此时，圆心到抛物线准 线的距离等于圆的半径，因此抛物线与圆相 切于两点。
相交
总结词
当抛物线的焦点在圆内或圆在抛物线上时， 抛物线与圆有两个交点，即相交。
抛物线的简单几何性质(综合)
目 录
• 抛物线的定义与基本性质 • 抛物线的对称性 • 抛物线的几何变换 • 抛物线与直线的交点 • 抛物线与圆的位置关系 • 抛物线的实际应用
01 抛物线的定义与Байду номын сангаас本性质
定义
01
抛物线是一种二次曲线，其方程为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a neq 0$。
关于原点的对称性
总结词
抛物线关于原点的对称性表现为，将抛物线绕原点旋转180度，其形状和位置 保持不变。
详细描述
当抛物线绕原点旋转180度时，抛物线的开口方向发生改变，顶点的位置也发生 改变，但抛物线的形状和位置保持不变，即关于原点对称。
03 抛物线的几何变换
平移
总结词
平移不改变抛物线的形状和开口方向，只是沿垂直或水平方向移动抛物线。
联立方程法
将抛物线的方程与直线的 方程联立，解出交点的坐 标。
判别式法
利用二次方程的判别式来 判断直线与抛物线是否有 交点，以及交点的个数。
参数方程法
利用抛物线的参数方程， 将参数表示为交点的坐标。
交点与弦长
弦长公式
根据抛物线与直线的交点坐标，利用弦长公式计算弦长。
(完整版)抛物线的几何性质
抛 物 线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02px =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()22,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为[)9,+∞答案：[)9,+∞二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是1e >，抛物线的离心率是1e =；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.答案：解：由22169144x y +=得：221169y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛物线的标准方程为()220y px p =->，由32p=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（焦点弦长与中点的关系）③若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α= 推导：12AB AF BF x x p =+=++由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220py y k k+=≠1212122222y y y y p p p x x p p k k k k+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭当k 不存在时，即90α=时，22sin pAB α=亦成立 ④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2124p x x =，212y y p =-分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：2220ky py kp --= ()2224212212121222,22444y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2px =则222212121212,,224y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==⑤11AF BF +为定值2p推导：由焦半径公式知，12,22p pAF x BF x =+=+ ()12212121211112224x x p p pp p AF BF x x x x x x ++∴+=+=+++++又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22112424AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故11AF BF +为定值2p.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线()220y px p =>中，设AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ∠=∠ （3）设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、，若P 为11A B 的中点，则PA PB ⊥；②O 为抛物线的顶点，若AO 的延长线交准线于点C ，连接BC ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ，则,,A O C 三点共线. （4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4π的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为()220y px p =>，则焦点F的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，过点,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11A B 、，则有：111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得222p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22304p x px -+= 123x x p ∴+=，代入①式得：336,2p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23y x =-例4、已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）123.A FP FP FP += 222123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2213.D FPFP FP =解析：123P P P 、、在抛物线上，且2132x x x =+，两边同时加上p ，得2132()222p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案：C例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =?解析：由抛物线定义，得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。
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抛物线标准方程及其几何性质
1.经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ）
A ．y 2=4x
B ．x 2=2
1
y C. y 2=4x 或x 2=2
1y D. y 2=4x 或x 2=4y 2.已知抛物线的焦点在直线240x y --=上，则此抛物线的标准方程是
A.x y 162=
B.y x 82-=
C.x y 162=或y x 82-=
D.x y 162=或y x 82= 3.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（ ）
（A ）
（B ）
(C)
(D)
4.已知抛物线的焦点坐标是(0,-3)，则抛物线的标准方程是 A ．
B ．
C ．
D ．
5.抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )
A ．y 2＝－2x
B ．y 2＝－4x
C ．y 2＝2x
D ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x 6.已知抛物线上一点M （1，m ）到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为_________. 7.抛物线y = -2x 2的准线方程是( )
A .x = -2
1
B .x =2
1 C. y =8
1 D. y = -8
1 8.抛物线的准线方程是 A. B
C =-2
D =-4
9.抛物线
的准线方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
22y px =
10.抛物线的准线方程是 （ ）
(A) （B ）y ＝2 （C ）
（D ）y=4
11.抛物线02
12=+x y 的准线方程为 （ ） A ．41
=x B ．41-=x C ．81=x D ．8
1-=x 12.抛物线2y ax =的焦点坐标为( ) A ．1(0,)a
B ．(0,)4a
C ．1(0,)4a
D ．1
(,0)4a
13.抛物线
1
2x m
y =的焦点坐标是
14.函数
的焦点坐标为 （ ）
A ．
B ．（1，0）
C ．
D ．
15.抛物线y 2=4x 的焦点坐标为
A ．(-1，0)
B ．(1，0)
C ．(2，0)
D ．(-2，0) 16.抛物线y 2= -8x 的焦点到准线的距离是 17.抛物线
的焦点到准线的距离是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
18.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线
焦点的距离是( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
19.抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )
A ．20
B ．8
C ．22
D ．24
20.抛物线的准线方程是，则a 的值为
A. B.－ C.8 D.－8 21.设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( ) A ．4 B ．4或－4C ．－2 D ．2或－2
22.若抛物线上一点到其焦点的距离为8，则点的坐标为 A ．
B ．
C ．
D ．
23.抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，±62
B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫74，±72
C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫94，±32
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫52，±102 24.已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(,2)M m -到焦点P 的距离为4，则m 的值为 ( ) A.4± B.2- C. 2-或4- D.2±
25.设直线42-=x y 与抛物线x y 42=交于B A ,两点（点A 在第一象限）. 求B A ,两点的坐标.。