Laplace方程边值问题的积分方程方法
拉普拉斯方程、水平集方法等
拉普拉斯方程（Laplace's equation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。
定义三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：上面的方程常常简写作：或其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：Δφ = 0其中Δ称为拉普拉斯算子.拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得φ在D的边界上等于某给定的函数。
为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。
从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
这种非常有用的性质称为叠加原理。
可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
二维拉普拉斯方程狄利克雷边界条件（u(r=2)=0、u(r=4)=4sin(5*θ)）下的环形拉普拉斯方程（r=2、R=4）图形两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：解析函数解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。
拉普拉斯(Laplace)方程
1
在静电学里我们知道，真空中的Gauss定律的微分形式是
div−→E
=
1 ε0
ρ(x,
y,
z),
(1.3)
其中−→E (x, y, z)是静电场的电场强度，ε0是真空中的介电常数，ρ(x, y, z)是电荷密度。注
意到静电场是无旋的，即
∇ × −→E = 0 (等价地，curl−→E = 0),
(1.4)
+
∂2u ∂y2
=
−
F
(x, T
y)
.
(1.15)
(1.15)式就是二维的Poisson方程。 类似地，从第四章的讨论中，我们也可以看到当研究稳定状态的热传导问题时，也
会导致Poisson方程。特别地，在没有热源的情况下，就得到Laplace方程。
实例四：复变函数论中的解析函数 由复变函数理论知，一个解析函数的实部和虚部分别满足二维的Laplace方程。
程(1.1)(或(1.2))， 在Ω上 连 续 ， 并 且 在Γ上 的 任 一 点 沿 着Γ的 单 位 外 法 向 量n的 方 向 导
数
∂u ∂n
存在，并且满足
∂u ∂n
Γ
=
g.
(1.17)
边界条件(1.17)通常称为第:::二::类:::边:::界::条:::件::，也称为:N::e:u:m:::a:n:n::边::界:::条:::件::。
可得三维空间中的:L:a:p::l:a:c:e:方:::程::
u = 0.
(1.7)
实例二：静态引力场的引力势
导 出Laplace方 程 的 另 一 个 著 名 实 例 来 自 牛 顿 的 万 有 引 力 理 论 。 由 牛 顿 的 万 有 引
用laplace变换求解微分方程
用laplace变换求解微分方程Laplace变换是求解微分方程的重要工具之一。
它将微分方程转换为代数方程，进而利用代数方法进行求解。
下面将介绍Laplace变换的定义、性质和用法，并以一个例子来说明如何用Laplace变换求解微分方程。
一、Laplace变换的定义和性质Laplace变换将一个函数f(t)转换为另一个函数F(s)，表示如下：F(s) = L[f(t)] = ∫_0^∞e^(-st)f(t) dt其中，s是复数变量，f(t)是一定条件下的函数。
Laplace变换具有以下性质：1. 线性性：若f(t)和g(t)是两个函数，a和b是常数，则有L[af(t)+bg(t)] = aL[f(t)]+bL[g(t)]。
2. 移位性：若F(s)是函数f(t)的Laplace变换，则有L[e^(at)f(t)] = F(s-a)。
3. 导数定理：若f(t)的Laplace变换为F(s)，则f'(t)的Laplace变换为sF(s)-f(0)。
4. 积分定理：若f(t)的Laplace变换为F(s)，则∫_0^t f(t) dt的Laplace变换为1/(sF(s))。
二、Laplace变换的用法1. 用Laplace变换求解微分方程：将微分方程转换为代数方程进行求解。
具体而言，可将微分方程左右两边同时进行Laplace变换，然后利用Laplace变换的性质进行消元求解。
2. 利用Laplace变换求解初值问题：即给定f(0)和f'(0)的初值条件下，求解微分方程的解。
可将初值条件施加于代数方程中，通过消元得到解F(s)，再对其进行反演Laplace变换即可得到解f(t)。
三、例题解析求解微分方程y''+2y'+y = t, y(0)=0, y'(0)=1。
1. 进行Laplace变换：对两边同时进行Laplace变换，得到(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)) +2(sY(s)-y(0)) + Y(s) = 1/s^2化简得到：Y(s) = 1/(s^2+2s+1) + s/(s^2+2s+1)2. 分解代数式：将分母因式分解，得到Y(s) = 1/[(s+1)^2] + s/[(s+1)^2]3. 反演Laplace变换：分别对两项进行反演Laplace变换，得到y(t) = t*e^(-t)因此，原微分方程的通解为y(t) = c1*e^(-t) + c2*t*e^(-t)，带入初值条件y(0)=0和y'(0)=1可得到c1=0和c2=1，因此，原微分方程的解为y(t) = t*e^(-t)。
解二维LAPLACE方程DIRICHLET问题直接边界积分方程的GALERKIN..
摘要Laplace方程是最典型，最简单但应用广泛的椭圆型偏微分方程。
用边界元法解边值问题，由不同的边界归化方法可以得到不同的边界积分方程，数值求解边界积分方程也有好几种方法。
本文考虑用Green公式和基本解推导得出直接边界积分方程来求解二维Laplace方程的Dirichlet问题，该直接边界积分方程是第一类Fredholm积分方程。
对二维问题，一般的带对数积分核第一类Fredholm积分方程并不总是唯一可解的，特别是对外边值问题，解在无穷远处的形态有很大的影响。
人们在用直接边界元方法进行计算时，并不刻意去考虑积分方程的可解性，但可解性的问题是不能回避的，这涉及到原问题的解与边界积分方程的解的等价性问题。
事实上，对内边值问题，第一类Fredholm直接边界积分方程的可解性条件是自然得到满足的，本文对此做了验证。
对外边值问题，考虑到二维Dirichlet 问题的解应当在无穷远处有界，故解的边界积分表达式要做修正，对积分方程的解要有约束，这样去解边界积分方程得出的解才等同于原问题的解。
一般来说，直接边界积分方程可以很方便的用配点法求解，还未见有实际用Galerkin边界元来解的报道。
本文采用Galerkin边界元方法求解直接边界积分方程，是为了验证这两种方法的效率和精度，且Galerkin法易于进行收敛性分析。
Galerkin 边界元方法是把积分方程转化为等价的边界变分方程，经用边界元离散后，通过求解线性代数方程组和计算解的离散的积分表达式求得原问题的数值解，该方法需要在边界上计算重积分。
本文推出了第一重积分的解析计算公式，对外层积分则采用高斯数值积分。
对外边值问题，第一类Fredholm积分方程的解要附加在边界上积分为零的条件，本文采用Lagrange乘子放松这个约束，求解扩展的变分方程时，可同时得出解在无穷远的值。
本文采用常单元和线性元这两种离散方式，分别用Fortran90编写了计算程序，对误差与边界元的数量的关系做了数值实验。
具有吸附和非线性边值条件的p-laplace方程
具有吸附和非线性边值条件的p-laplace方程
来描述
p-Laplace方程是一个有趣而有用的数学方程，它提供了一种解决不同类型问题的通用方法。
p-Laplace方程通常应用于小波和数据降维应用，也可用于解决具有吸附和非线性边
值条件的问题。
p-Laplace方程的数学表达式是u_p (x) = div (P)，其中P是微分向量积分变量，P(x) =
|∇u(x)|^p-2 ∇u(x)。
p-Laplace方程的好处在于它包含了一个可调的参数p，这可以用来控
制边界条件的形式和不同的实现情况。
上述的p-Laplace方程也可以用来表达不同种类的方程，例如非线性边值问题和吸附问题。
例如，对于一个具有非线性边值条件的多元方程组，我们可以利用p-Laplace方程来解决：u_p [x] = div (P (x))，其中P (x) = |∇u(x)|^p-2 ∇u(x)，∇u(x)表示梯度算子，这样就可以利
用具有不同边界条件的p-Laplace方程来求解。
此外，p-Laplace方程还可以用于解决吸附方程。
在这种情况下，p-Laplace方程的一般形
式可以写成：|∇u(x)|^p-2 ∇u(x) = |f(x)|^p，其中f (x)代表吸附系数。
这个方程可以帮助我们求解复杂的吸附问题，例如是否存在可以克服吸附的有效解决方案。
总而言之，p-Laplace方程是一个有趣而强大的数学方程，它可以用于处理不同类型的问题，特别适用于具有吸附和非线性边值条件的问题。
它可以帮助我们更好地理解问题，并得出有效解决方案。
二维laplace方程dirichlet问题直接边界积分方程的galerkin解法
二维laplace方程dirichlet问题直接边界积分方程的galerkin解法二维Laplace方程是一个非常典型的偏微分方程，在实际工程领域中应用非常广泛。
其中，Dirichlet问题是一种典型的边界条件，在许多实际问题中常常需要使用直接边界积分方程的Galerkin解法来求解。
Galerkin方法是一种常用的数值求解偏微分方程的方法，它通过将方程的解表示成一组特殊函数的线性组合，然后通过求解一组线性方程组来求解问题。
当然，在求解二维Laplace方程时，我们需要先将方程转化为边界积分方程，然后再运用Galerkin方法求解。
下面是二维Laplace方程Dirichlet问题直接边界积分方程的Galerkin解法的具体步骤：第一步，将二维Laplace方程转化为边界积分方程。
对于Dirichlet问题，我们可以通过定义边界上的势函数来将Laplace方程转化为边界积分方程。
具体来说，我们可以写出边界上的势函数u(x)：u(x) = ∫ f(y)G(x,y)ds(y)其中，f(y)是边界上的已知函数，G(x,y)是方程的格林函数，s(y)是边界上的曲面元素。
利用Green第一恒等式可以证明，该势函数u(x)满足Laplace方程，且在边界上满足给定的Dirichlet条件，即u(x) = f(x)。
第二步，选择基函数。
为了应用Galerkin方法求解问题，我们需要选择一组特殊函数作为基函数。
一般来说，我们可以选择分段线性函数、分段多项式函数或者N次样条函数等作为基函数。
第三步，确定权函数。
在Galerkin方法中，我们需要定义一个权函数作为线性组合的系数。
对于二维Laplace方程的边界积分方程，我们可以选择δ函数（Dirac函数）作为权函数，即：∫ w(x)u(x)dm(x) = ∫ w(x)∫ f(y)G(x,y)ds(y)dm(x)其中，w(x)是δ函数，m(x)是边界的度量，即曲面元素。
拉普拉斯方程的格林函数法
则 u(M 0)u (M ) n(4整r 1 M 理M 课0 件v)d S
19
2v0，in
令G(M,M0)41rM1M0 v, 其中调和函数v满足v4r1MM0
则 u(M0)u(M)G ndS.
称 G ( M ,M 0 ) 为 三 维 L a p l a c e 方 程 狄 氏 问 题 的 格 林 函 数 。 这 种 由 格 林 函 数 或 其 导 数 的 积 分 来 表 示 解 的 方 法 称 为 格 林 函 数 法 。
的 值 来 表 示 。
2） 若 M0为 外 或 边 界 上 的 点 ， 类 似 推 导 有
u(M)nrM 1M0
1 rMM0
u ndS 24uu(0 (M ， M00 M ))， ， 0在 M M 00在 在 外 上 内
整理课件
13
3 ） 若 u C 2 ( ) C 1 ( ) ， 且 2 u = F , 我 们 可 以 得 到 类 似 公 式
取 v1,则 可 得 牛 曼 问 题 u n=f有 解 的 必 要 条 件 是 fdS0
整理课件
14
（3）平均值公式
定 理 ： 设 函 数 u(M )在 区 域 内 调 和 的 ， M 0(x0,y0,z0)为 其 中 任 一 点 ，
Ka表 示 以 M 0(x0,y0,z0)为 中 心 ， 以 a为 半 径 且 完 全 落 在 内 部 的 球 面 ，
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15
（4）Laplace方程解的唯一性问题
定 理 ： 狄 氏 问 题 在 C 2 ( )C 1 ( ) 内 解 唯 一 ， 牛 曼 问 题 除 相 差 一 个
常 数 外 解 也 是 唯 一 确 定 的 。
证明：
设 u1,u2为 上 述 两 类 问 题 的 解 ， 则 它 们 的 差 vu1u2必 是 原 问 题 的 满 足 零 边 界 条 件 的 解 ， 即 对 于
积分变换_(Laplace)课件与习题
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
复变函数与积分变换第8章Laplace变换
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复数函数与积分变换
14.计算以下积分.
15.求以下卷积.
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复数函数与积分变换
16.利用卷积定理证明 17.利用卷积定理证明
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18.试求以下积分方程的解.
19.设在原处质量为m的一质点在t=0时，在x方向上受到冲击力kδ(t)
的作用，其中k为常数，假定质点的初速度为零，求其运动规律.
从上面例子可以看出，Laplace变换存在的条件要比Fourier变换存在的条 件弱得多,下面讨论Laplace变换的存在问题.
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复数函数与积分变换
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定义8.2设函数f(t)在实变数t≥0上有定义，假设存在两个常数M>0及σ>0, 对于一切t都有
成立，即f(t)的增长速度不超过指数函数，那么称f(t)为指数级函数，σ 为其增长指数.
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复数函数与积分变换
(2) 原函数的微分性质
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这个性质使f(t)的微分方程转为F(s)的代数方程，因此它对分析线性系统有 着重要作用.现在利用它推算一些函数的Laplace变换. 例8.9利用Laplace变换的性质求f(t)=cos kt的Laplace变换。
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复数函数与积分变换
该公式也称为Laplace反演公式，右端的积分称为Laplace反演积分,这里的 积分路径是平行虚轴的任一直线Re s=c.
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复数函数与积分变换
定理8.4
例8.19求
的Laplace逆变换.
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复数函数与积分变换
例8.20 此题也可用留数理论来做.
第四章 Laplace方程的格林函数法
第四章 Laplace方程的格林函数法第四章laplace方程的格林函数法在第二、三两章，系统介绍了求解数学物理方程的三种常用方法―分离变量法、行波法与积分变换法，本章来介绍laplace方程的格林函数法。
先讨论此方程解的一些重要性质，在建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立laplace方程第一边值问题解的积分表达式。
§4.1laplace方程边值问题的提法在第一章，从无源静电场的电位原产及稳恒温度场的温度原产两个问题推论出来了三维laplace方程2u2u2uuu2220xyz2做为叙述平衡和均衡等物理现象的laplace方程，它无法加初始条件。
至于边界条件，例如第一章所述的三种类型，应用领域得较多的就是如下两种边值问题。
（1）第一边值问题在空间(x,y,z)中某一个区域?的边界?上给定了连续函数f，要求这样一个函数u(x,y,z)，它在闭域（或记作?）上连续，在?内有二阶连续偏导数且满足laplace方程，在?上与已知函数f相重合，即u?（4.1）?f第一边值问题也称为狄利克莱（dirichlet）问题，或简称狄氏问题，§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题。
1laplace方程的连续解，也就是所，具有二阶连续偏导数并且满足laplace方程的连续函数，称为调和函数。
所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域?内找一个调和函数，它在边界?上的值为已知。
（2）第二边值问题在某扁平的闭合曲面?上得出连续函数f，建议找寻这样一个函数u(x,y,z)，它在?内部的区域?中就是调和函数，在上连续，在?上任一点处法向导数u存有，并且等同于未知函数f?n在该点的值：unf（4.2）这里n就是?的外法向矢量。
第二边值问题也称纽曼（neumann）问题。
以上两个问题都就是在边界?上取值某些边界条件，在区域内部建议满足用户laplace 方程的求解，这样的问题称作内问题。
在应用中我们还会遇到dirichlet问题和neumann问题的另一种提法。
拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用总结归纳
精心整理目录引言 (1)1 拉普拉斯变换以及性质 (1)1.1拉普拉斯变换的定义 (1)1.2拉普拉斯变换的性质 (1)2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3)3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (3)3.1初值问题与边值问题 (3)3.2常系数与变系数常微分方程 (4)3.3含 函数的常微分方程 (5)3.4常微分方程组 (6)3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (6)3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (9)4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (10)4.1齐次与非齐次偏微分方程 (10)4.2有界与无界问题 (11)5 综合比较，归纳总结 (14)结束语 (15)参考文献 (15)英文摘要 (21)致谢 (16)拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班学生岳艳林指导老师韩新华摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。
关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。
为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。
第四章格林函数法课件
特点：除 M0(x0,y0,z0)点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。
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2
二维Laplace方程的基本解：
1
1
u(x,y)ln ln
rM M 0
(xx0)2(yy0)2
特点：除 M0(x0, y0) 点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。 问题：基本解是否为整个区域内的解？
n
n
从而得证
1
1 1 u (M )
Ò u (M 0) 4
[u (M ) ( )
nrM M 0 rM M 0
]d S n
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8
4 调和函数的基本性质
性质1：设 u ( x, y , z ) 在有界区域 内为调和函数，且在
上有一阶连续偏导数，则
Ò
u n
dS
0
证：令 v 1 将 u , v 代入第二Green公式即可。
uv
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11
证明：用反证法
若在 内有 u v ，即 uv0 ，而在边界上 uv0 ， 说明 u v 在内部可能取最大值。
推论2：狄利克莱问题 的解唯一。
u0, u f
(x, y,z)
证明：设 u 1 和 u 2 均为该问题的解，则 u u1 u2 满足
由极值原理， u 0
u0, u 0
于是
r rMM0
r2 MM0
2
乙 u n(rM 1 M 0)d S1 2 u d S1 24 2u4 u
乙 rM 1M0 u ndS1 u ndS4 u n
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7
代入上式，得
Ò [u( 1)1u]dS4 u4 u0
p-Laplacian算子多点边值问题正解的存在性
首 先给出 件： 。 条 （） Ｈ ∑ ＜ （ 化起 文中 １ 为简 见， 均以∑ 代替∑ ）（ ∈ｃ［， × ０∞ ， ，）； ； ） Ｈ 厂 （ １ ［，）［ ∞ ） ０］ ０
ｒ１ ｒ ｒ１ ｒ
（）￡ ｃ［１ ［∞）Ｊ （口））＜ ， （ｏｒｒｓ０ 当 述３ 件 立 边 Ｈ口） （，，，） 。 Ｊ（ｄｄ ∞ Ｊ 。（∈ ０ ］０ ， 。ｒｒｓ 靠 Ｊ（ｄｄ ． 上 条 成 时 值 ））＞ ａ
（ （ （） ） 十ａ ｔ ￡ ＝０ ｔ ） （ ， ） （ ０＜ｚ ） ＜１ （） １
Ｍ（ ） ， Ｍ １ ０ ＝０ （ ＝
ｏ Ｍ ￡） ｔ （ ＞０ ｉ
（） ２
式中： （） ｌ ， ； ＜ ＜… ＜ 一＜１ ≥０ ，， ｍ一２ 当Ｐ＝ ，（Ｍ ＝ （），ｙ ＝ｌ ｘｐ＞１０＜ １ 一 ２ ； ，＝１２ …， ． ２ｆｔ ） ｆｕ￣Ｔ ， － ｔ
子 Ｔ， 使得
全 连续 ， 满足 ≠ Ｔ ， ∈Ｏ 则 下述 结论 成立 ： 且 ｘ戈 Ｄ．
ａ ．若 ｌ ｌ １ １≤ ｌ ｌ， ∈ Ｏ ｒ贝 （ ， ） ． Ｔ １ １ Ｄ ， ０ ｋＴ ＝１ ｉ
收 稿 日期 ：２ ０ 一 Ｏ １ ０ ６ ｌ一３
作 者简 介 ：￣
程（） １ 化为
Ｍ ＋ａ ｔ Ｍ ＝０ ” （ ） （ ０＜ｔ ） ＜１ （） ３
当 函数 厂 满足 超线 性 或次 线性 条件 时 ， 马如 云［证 明 了边值 问题 （ ）（ ） 少存 在一 个 正解 ．本文 作 者 ５ ］ ２ 、３ 至
受 文献 ［ ］ ６ 启发 ， 出边 值问题 （ ） （ ） 给 １ 、２ 存在 多个 正 解 的充 分 条件．
（ ９ ９ ）女 ， 北 荆 州 人 ， 教 ， 用 数 学 专 业 １７ 一 ， 湖 助 应
二维Laplace方程Dirichlet问题的数值解法
２ ８
高 师 理 科 学 刊
第３ Ｏ卷
若 其连续 密度 函数 （是 积分方 程 ）
（ 一 （ ｎｔ ｄ ）： ２（（ ｒ ２ ） ｃ ｙ） ， 一ｆ ） ） ） Ｆ ， ｆ ） （ ） ∈ ’
（） ２
的 则双 位势 解， 层 是内Ｄｉｌ 问 解， （ ）＝２）ｉ 一 ｌ是Ｌ ｌｅ 程的 解． ｉ ｈｔ 题的 其中： ， （ｔ ｎ ｙ ｒ ｅ ｃ ，） ｒ ａａ 方 基本 一 ｐｃ
对 ２ 积 方 ： ２ ， ： 分 子（ ）） ２ （ Ｉ ）山） ∈ ， 于 第 类 分 程 一 一 其中 积 算 （ ： ） Ｕ ｙ （ ， ｒ 由 ｆ ：÷ ＇ Ｉ ｆ） ）
ＮＩ ） ｆ 并且具有连续或者弱奇异核的积分算子是紧算子 … 据 Ｒ ｓ Ｆ ｄｏ （— ：０ ） ， ｉｚ ｒ ｈｌ ｅ — ｅ ｍ定理， ２ 第 类积分方
调和方程是最典型也是最简单的椭圆型偏微分方程 ，又称 Ｌｐａｅ方程．它可以用来描述流体、电磁 ａｌ ｃ 及渗透流 、轴扭 曲等问题．目前在一些具有复杂边界形状的区域中求 出方程的解析解是非常困难的 ．因 ～
此寻求有效简单的数值解法对于求解该方程具有非常重要 的实用价值．用边界元 法求解 Ｌｐ ｃ 边值问 劈 ａ ｌｅ ａ 题 ，降低了计算维数 ，减少 了前处理数据输入 ，特别适用于外问题 ，比有限元精度高．但标准边界元也带
拉普拉斯(Laplace)变换及其应用
2s 1
1
1
1
t
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
S (t=0)
R + UC -
+
Ｕs
-
C
这是一个一阶ＲＣ电路，我们取 电容两端的电压为输出电压，设 开关S闭合前，电路处于零初始状 态，即： uc (0 ) 0 在t=0时，开关S闭合，电路 接入直流电源Us。则根据KVL 定理，有：
u R uc U s
t 0
f ( ) d
p L( p)
1
0
性质3（相似性质） L
pt 性质4（延迟性质） L f ( t t 0 ) e L ( p )
p f ( a t ) L a a 1
性质5（位移性质） L
e
t
f ( t ) L ( p )
st 0
【例2-1】 求单位阶跃函数(Unit Step Function) 1(t)的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信 号，相当一个开关的闭合(或断开)。
在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义 式。
在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作 用信号。它的拉氏式由定义式有：
F (t ) L[2 e
at
at
]
2 s
1 sa
3s 2a s ( s a)
例2-2 求
2s 1 s ( s 1)
的原函数。
解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：
2s 1 s( s 1) A s B s 1 A s B s 1 ( A B) s A s( s 1)
[整理]拉普拉斯方程
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[整理]拉普拉斯方程拉普拉斯方程求助编辑百科名片拉普拉斯方程拉普拉斯方程(Laplace'sequation)，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。
因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。
求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象(一般统称为“保守场”或“有势场”)的性质。
目录拉普拉斯方程(Laplace equation)在数理方程中狄利克雷问题诺伊曼边界条件拉普拉斯方程的解二维拉普拉斯方程解析函数三维情况下二维拉普拉斯方程解析函数在流场中的应用在电磁学中的应用三维拉普拉斯方程基本解格林函数在流场中的应用拉普拉斯人物介绍展开拉普拉斯方程(Laplace equation)在数理方程中狄利克雷问题诺伊曼边界条件拉普拉斯方程的解二维拉普拉斯方程解析函数三维情况下二维拉普拉斯方程解析函数在流场中的应用在电磁学中的应用三维拉普拉斯方程基本解格林函数在流场中的应用拉普拉斯人物介绍展开编辑本段拉普拉斯方程(Laplace equation)拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。
一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。
通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。
若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差?P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为:?p=γ(1/R1+1/R2)式中γ是液体表面张力。
该公式成为拉普拉斯方程。
在数理方程中拉普拉斯方程为:Δu=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中Δ 为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。
利用泊松积分公式求解下列定解问题
利用泊松积分公式求解下列定解问题Using Poisson Integral Formula to Solve the Following Boundary Value Problem泊松积分公式是一种常用的数学工具，用于求解具有特定边界条件的偏微分方程。
在许多科学和工程问题中，我们经常会遇到需要求解定解问题的情况。
本文将介绍如何利用泊松积分公式来解决这些问题，并以一个具体的例子进行说明。
问题的定解形式为：偏微分方程：$\Delta u = f(x, y)$，其中 $\Delta$ 是拉普拉斯算子，$u$ 是未知函数，$f(x,y)$ 是已知函数。
边界条件：$u(x, y) = g(x, y)$，其中 $g(x, y)$ 是已知函数。
我们的目标是求解方程 $\Delta u = f(x, y)$ 在给定边界条件 $u(x, y) = g(x, y)$ 下的解 $u(x, y)$。
首先，我们将问题转化为一个解析函数的问题。
定义新函数 $U(x, y) = u(x, y) - g(x, y)$。
由于$u(x, y) = g(x, y)$ 是边界条件，因此 $U(x, y)$ 在边界上的值为零。
我们现在需要求解 $\Delta U = \Delta u - \Delta g = f(x, y) - \Delta g$。
接下来，利用泊松积分公式，我们可以得到 $U(x, y)$ 的解析表达式：$$U(x, y) = \frac{1}{2\pi}\iint_D \frac{f(\xi, \eta) - \Delta g(\xi, \eta)}{r} ds,$$其中 $D$ 是包含边界的区域，$(\xi, \eta)$ 是 $D$ 中的任意点，$r = \sqrt{(x - \xi)^2 + (y -\eta)^2}$ 是 $(x, y)$ 和 $(\xi, \eta)$ 之间的距离，$ds$ 表示 $D$ 上的面积元素。
三类时滞微积分方程的数值解法
三类时滞微积分方程的数值解法时滞微积分方程是一类具有时滞项的微分方程，在很多科学和工程领域中都有广泛的应用。
由于时滞的存在，这类方程不仅需要求解微分方程，还要考虑时滞对系统动力学行为的影响，因此其数值解法相对复杂。
本文将介绍三类常用的时滞微积分方程数值解法，包括离散化方法、迭代方法和延迟微分方程的数值解法。
首先，我们来介绍离散化方法。
离散化方法是将时滞微积分方程转化为带有离散时滞项的常微分方程，然后利用常规的常微分方程数值解法进行求解。
常用的离散化方法包括Taylor展开法和Laplace变换法。
以Taylor展开法为例，将时滞项展开为泰勒级数，然后将其离散化为差分近似，从而得到离散时滞项。
接下来，可以使用欧拉法、龙格-库塔法等常规常微分方程数值解法求解得到离散化后的方程。
离散化方法简单直观，特别适合处理较简单的时滞微积分方程。
其次，我们来介绍迭代方法。
迭代方法是通过将时滞微积分方程转化为一系列常微分方程，然后利用迭代算法求解。
其中，常用的迭代方法包括Euler迭代法、Adams迭代法和修正Euler迭代法。
以Euler迭代法为例，将时滞项离散化为一系列未知的函数值，然后利用Euler迭代算法依次逼近这些未知函数值，直至收敛为止。
迭代方法相对复杂，但具有更高的数值精度，适用于处理较复杂的时滞微积分方程。
最后，我们来介绍延迟微分方程的数值解法。
延迟微分方程是一种特殊的时滞微积分方程，其时滞项为系统输出在过去某一时刻的值。
常用的延迟微分方程的数值解法包括差分逼近法和双边Laplace变换法。
差分逼近法是将延迟项离散化为差分形式，从而得到一系列未知的函数值，然后使用常规的常微分方程数值解法求解得到延迟微分方程的数值解。
双边Laplace变换法则是通过对延迟微分方程进行Laplace变换，得到一系列代数方程，然后利用数值代数求解方法求解这些方程。
延迟微分方程的数值解法相对复杂，但能够更准确地描述系统的动力学行为。
拉普拉斯积分变换
由位移性质得
L eat
sin kt
k (s a)2
k2
27
5. 延迟性质 若 L f (t) F(s)，又t 0 时 f (t) 0 则对于任一非负实数 τ 有
L f (t τ ) esτ F (s),
或
L1 esτ F (s) f (t τ )
证
L f (t τ )
f (t τ ) est dt
此性质使我们有可能将 f (t)的微分方程转化为F(s)的 代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。
15
例 求函数 f (t) coskt 的拉氏变换。
解 由于
f (0) 1, f (0) 0, f (t) k 2 cos kt
由微分性质有
L k 2 cos kt L f (t) s2 L f (t) sf (0) f (0)
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 Re(s) c 的半平面内，F(s)为解析函数。
8
例3 求正弦函数 f (t) sin kt（k为实数）的拉
氏变换。
解 Lsin kt sin ktestdt 0
e st s2 k2
20
重复应用积分性质可得：
L
t
dt
t
dt
0
0
n次
t 0
f
(t)dt
1 sn
F (s)
此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数 的积分性质：
L
f
(t) t
F (s)ds
s
或
f
(t)
tL1
s
F
(s)ds
拉普拉斯方程积分解
拉普拉斯方程积分解什么是拉普拉斯方程拉普拉斯方程（Laplace’s equation）是一个重要的偏微分方程，常常用于描述电势、温度、流体流动等物理过程。
它的一般形式如下：∇^2ϕ = 0,其中，∇^2表示拉普拉斯算符，ϕ表示待求函数。
拉普拉斯方程的积分解方法拉普拉斯方程的求解方法有很多种，其中一种重要的方法是积分解法。
积分解法基于格林函数的概念，通过求解拉普拉斯方程的格林函数，然后进行积分运算，得到方程的解。
格林函数的定义和性质格林函数是偏微分方程求解中的重要概念，它表示在某个位置施加一个单位源，得到的响应。
对于拉普拉斯方程，其格林函数可以表示为：G(x, x’) = -1/(4π|r - r’|),其中，G(x, x’)表示格林函数，x和x’分别表示两个位置点的坐标，r和r’表示两个位置点的距离。
格林函数的一个重要性质是齐次性，即满足齐次边界条件。
这意味着当待求函数满足齐次边界条件时，拉普拉斯方程的解可以表示为格林函数与边界条件的乘积的积分：ϕ(x) = ∫ G(x, x’)f(x’)dV’,其中，ϕ(x)表示待求函数，f(x’)表示边界条件，dV’表示体积元素。
求解过程要利用积分解法求解拉普拉斯方程，首先需要确定边界条件和格林函数。
对于某个具体的物理问题，边界条件是问题的一部分，可以通过实际情况或给定条件确定。
格林函数的选择要与边界条件相适应，通常需要进行一些数学推导和分析。
确定好边界条件和格林函数后，就可以开始求解了。
求解的过程主要包括以下几个步骤：1.将待求函数表示为格林函数与边界条件的乘积的积分形式。
2.利用格林函数的性质进行积分运算，得到待求函数的表达式。
3.针对具体的边界条件和格林函数形式，进行数值计算或解析求解，得到问题的解。
案例分析下面通过一个简单的例子来说明拉普拉斯方程积分解的具体步骤。
考虑一个二维平面上的拉普拉斯方程问题，边界条件为ϕ(x, y) = g(x, y)，其中g(x, y)为已知函数。
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6
GAOJIAO SHIYE
Laplace 方程边值问题的积分方程方法
◎孙 瑶 张 晨 贾新萍 （ 中国民航大学理学院，天津 300300）
【摘要】本文处理热传导方程第一类边值问题，通过单 层位势表示问题的解，把问题转化为第一类积分方程，由于 形成的积分方程 积 分 核 是 弱 奇 异 的，本 文 通 过 将 积 分 核 的 奇异性进行分离处理问题． 最后，通过几个算例验证了方法 的有效性和稳定性．
{Δu = 0，在 Ω 内， u = f，在 Ω 上，
（ 1）
其中，f ∈ C（ Ω） 是给定的函数． 根据位势理论可知，单
层位势
∫ u（ x）
=－
1 π
φ（ y） ln |
Ω
x －y|
ds（ y） ，x ∈ Ω，
（ 2）
是问题的解，当且仅当 φ ∈ （ Ω） 是下面问题的解
∫ － 1
2π
ψ（ s） ln | γ（ t） － γ（ s） | ds = f（ γ（ t） ） ，t ∈［0，
ds +
2π
ψ（ s） k（ t，s） ds
0
= f（ γ（ t） ） ．
我们记
∫ ( ) ∫ （ Kψ） （ t）
=
－
1 2π
2π
ψ（
0
s）
ln
4sin2 t － s ds +
2π
ψ（ s） k（ t，s） ds．
2
0
下面考虑积分方 程 的 数 值 计 算，我 们 采 用 梯 形 法 则 进
行离散． 首先，插入 2n 个插值节点，tj
【关键词】Laplace 方程； 积分方程； 正则化 【基金项目】国家自然科学基金（ 11501566） ，大学生创 新创业项目（ IECAUC2017033） ．
设 Ω 是简单连通的有界区域，Ω 为边界，假设边界是以
2π 为周期，并且有如下的参数表达式 x = γ（ s） ，s ∈ ［0，
2π］． 考虑如下的边值问题，求解 u 满足
一般情况下，噪声数据的加载方式为 bδ （ i） = （ 1 + δ·
rand（ i） ） b（ i） ，rand（ i） 为分布在［－ 1，1］上的随机数．
例题 1 考虑求解区域 Ω 是半径为 2 的圆，边界条件为 f（ x1 ，x2 ） = x21 + x2 ．
从图形可以看出，随着噪声水平的降低，数值解逼近于
= － 21πln
4sin2 t － s 2
+ k（ t，s） ，
t ≠ s．
由中值定理，当 s → t 时我们利用边界的光滑性可以
求得
limk（ s，t） = － 1 ln | ·γ（ t） | ．
s→t
π
这样我们就把积分方程化为两部分的和，如下式表示
∫ ( ) ∫ －
1 2π
2π
ψ（
0
s）
ln
4sin2 t － s 2
Akj
=
Ｒ| k －j|
+
π n
k（
tk ，tj ）
，k，j
=
0，1，…，2n
－
1，
{ ∑ } Ｒl
=
1 n
（ － 1） l + n－1 1 cos mlπ ，l = 0，…，2n － 1．
2n
m=1 m
n
至此，问题转化为一个线性方程组问题 Ax = b．
其中，bj = f（ γ（ tj ） ） ，j = 0，1，…，2n － 1． 一 般 情 况 下［1，2］，右端数据是带有噪声的 bδ ． 因此，需要考虑摄动方程 Axδ = bδ．
π0
2π］，
·
其中 ψ（ s） = φ（ γ（ s） ） | γ（ s） | ，s ∈［0，2π］． 问题转化
为一个第一类积分方程．
我们把积分核分 成 两 部 分，一 部 分 是 具 有 奇 异 性 的 部
分，另一部分是光滑部分． 也就是做如下处理
( ) －
1 ln | π
γ（ t）
－ γ（ s）
|
数学学习与研究 2019. 13
精确解，这说明本文中的数值算法比较稳定，能够很好地去
除加入的噪声．
图 1 例题 1 中不同噪声水平下数值解与精确解的比较
【参考文献】 ［1］Y Sun． Indirect boundary integral equation method for the Cauchy problem of the Laplace equation［J］． Journal of Scientific Computing，2017（ 2） ： 469 － 498． ［2］A Kirsch． An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems［M］． New York： Springer － Verlag，1996． ［3］贾新萍． Symm 积分方程迭代方法［D］． 天津： 中国 民航大学，2018．
j =0
因此，积分算子 K 的离散形式如下：
∑ [ ] 2n－1
（ Kn ψ） （ t） = ψ（ tj ）
j =0
Ｒj（Байду номын сангаасt）
+
π n
k（
t，tj ）
，
0 ≤ t ≤ 2π．
我们可以把上式写成矩阵的形式如下：
2n －1
∑ （ Kn ψ） （ tk ） = Akj ψ（ tk ） ， j =0
其中，矩阵 A 如下表示［3］：
=
j
π n
，j
=
0，…，2n
－
1． 对光滑部分，我们有
∫ ∑ 2π ψ（ s） k（
0
t，s） ds ≈
π n
2n －1
k（ t，tj ） ψ（ tj ） ，0 ≤ t ≤ 2π．
j =0
对弱 奇 异 部 分，我 们 采 用 三 角 插 值 公 式 Qnψ =
2n －1
∑ψ（ tj ） Lj （ t） ，插值基底为 2n 维空间，