2017-2018学年四川省成都市棠湖中学高二下学期第一次月考数学(文)试题 解析版

绝密★启用前四川省成都市棠湖中学2017-2018学年高二下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．函数的定义域为A．B．C．D．【答案】D【解析】要使函数有意义，则，且,可得且，所以函数的定义域为，故选D.2．同时满足下列三个条件的函数为①在上是增函数；②为上的奇函数；③最小正周期为．A．B．C．D．【答案】A【解析】中，，在上是增函数且为奇函数又是以为最小正周期的函数，三个条件均满足；中，为偶函数且在上是减函数,不满足条件；中，以为最小正周期，不满足条件；中，为偶函数，不满足条件，故选A.3．实轴长为4，虚轴长为2的双曲线的标准方程是A．2214yx-=或2214yx-=B．2214xy-=或2214yx-=C．2214xy-=或2214yx-=D．2214yx-=，或2214xy-=【答案】C【解析】由题意可得： 24{22a b ==，∴21a b ==，∴双曲线的标准方程是2214x y -=或2214y x -= 故选：C4．i 为虚数单位，则()22i -+的虚部是（ ） A ． 4i - B ． 4i C ． 4- D ． 3 【答案】C【解析】由题意可得： ()2244i 134i i -+=--=- ∴()22i -+的虚部是4- 故选：C 5．抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．B ．C ． 4D ． 8【答案】D 【解析】，抛物线的焦点到准线的距离是，故选D.6．如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程为0.70.35y x =+，则表中m 的值为A ． 3B ． 3.5C ． 4.5D ． 2.5 【答案】A【解析】由题意得()()()1113456 4.5, 2.54 4.511444x y m m =+++==+++=+， ∵线性回归方程为0.70.5ˆ3yx =+过样本中心(),x y ，∴()1110.7 4.50.354m +=⨯+， 解得3m =． 选A ． 点睛：回归直线一定经过样本中心(),x y ，是线性回归分析中的重要结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本点中的参数．7．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的离心率为4，则双曲线的渐近线方程为A ． y x =B ． y =C ． 4y x =±D ． 14y x =±【答案】B【解析】∵双曲线C 方程为： 2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）∴双曲线的渐近线方程为y=±b ax 又∵双曲线离心率为4，∴c=4a ，可得因此，双曲线的渐近线方程为y= 故选：B ．8．“”是“”的A ． 充分不必要条件B ． 充要条件C ． 必要不充分条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】得不到，比如无意义，，根据对数函数在定义域上是增函数，则，由于是增函数,可得到，“”是“”的必要不充分条件，故选C.9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”外接球的体积为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由三视图知，几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图，其中平面，，，该“阳马”的外接球即是以为长宽高的长方体的外接球，球的直径就是长方体的对角线，可得 ，该“阳马”外接球的体积为， ，故选A.10．已知,,l m n 为三条不同直线,,,αβγ为三个不同平面,则下列判断正确的是（ ） A ．若//,//m n αα,则//m n B ．若,//,m n αβαβ⊥⊥,则m n ⊥ C ．若,//,//l m m αβαβ=,则//m lD ．若,,,m n l m l n αβαγ==⊥⊥,则l α⊥【答案】C 【解析】试题分析：可采用排除法，A 中平行于同一平面的两条直线可以平行，可以相交，也可m n可以垂直，也可平行，也可以异面，所以B不对，以异面，所以A不对；B中直线,D中可借助三棱柱的三个侧面来说明，直线l可能平行于平面 ，所以D不对，故选C．考点：空间直线与平面的平行与垂直关系．11．若函数在只有一个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，由，得在上递增，由，得减区间是，有极小值，极大值函数在只有一个零点，或，得或，又因为，所以的取值范围是，故选B.【思路点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为，极小值为：一个零点或；两个零点或；三个零点且.12．已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是()A．B．C．D．【答案】D【解析】椭圆的左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，两点关于轴对称，可设四边形是菱形，，将代入抛物线方程，得，，再代入椭圆方程，得，化简整理，得，解之得不合题意，舍去），故答案为.【方法点睛】本题主要考查抛物线的方程及椭圆的几何性质与离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据点在椭圆上可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系，求出离心率．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．直线与圆：交于两点，则________.【答案】【解析】 圆的方程，化为标准方程，所以圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得，，故答案为.14．过抛物线216y x =的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为10，则AB 等于_________. 【答案】28【解析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），椭圆的焦点为F ，由抛物线定义知：|AF |=x 1+4，|BF |=x 2+4， 则|AB |=|AF |+|BF |=x 1+x 2+8， 由中点横坐标12102x x +=，得|AB |=8+20=28． 故答案为：28．15．已知函数，对于任意都有恒成立，则的取值范围是______________. 【答案】【解析】，是奇函数，又在上递增，等价，即，，，，的取值范围是，故答案为.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.16．设函数()ln mf x x x =+，m ∈R ，若对任意b ＞a ＞0，()()2f b f a b a-<-恒成立，则m 的取值范围为________________． 【答案】1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】对任意b ＞a ＞0，()()f b f a b a--＜2恒成立，等价于f （b ）﹣2b ＜f （a ）﹣2a 恒成立； 设h （x ）=f （x ）﹣2x=lnx +mx﹣2x （x ＞0）， 则h （b ）＜h （a ）．∴h （x ）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x ）=1x ﹣2mx﹣2≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m ≥﹣x 2+x=﹣2（x ﹣14）2+18（x ＞0），∴m ≥18；对于m=18，h′（x ）=0仅在x=14时成立；∴m 的取值范围是[18，+∞）．故答案为：[18，+∞）三、解答题17．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆C的方程为1{ 1x y θθ== (θ为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l 的极坐标方程()cos sin m m R ρθρθ+=∈. (Ⅰ)当3m =时，判断直线l 与C 的关系；(Ⅱ)当C 上有且只有一点到直线lC 上到直线l距离为的坐标.【答案】(1)见解析;(2)(2,0)和(0,2).【解析】试题分析：（I ）将曲线方程化成直角坐标方程，计算圆心到直线的距离与圆的半径比较大小得出结论；（II ）由题意可知直线与圆相离，且圆心到直线l 的距离为l 的距离等于l 平行的直线上，求出此直线的参数方程代入圆的方程求出该点对应的参数，得出该点的坐标． 试题解析：(Ⅰ)圆C 的普通方程为：(x -1)2+(y -1) 2=2， 直线l 的直角坐标方程为：x +y -3=0, 圆心(1,1)到直线l的距离为d ==< 所以直线l 与C 相交.(Ⅱ) 直线l 的普通方程为x+y ﹣m=0． ∵C 上有且只有一点到直线l∴直线l 与圆C=∴圆C 上到直线l 的距离等于C （1，1）且与直线l 平行的直线上．∴过圆心C （1，1）且与直线l 平行的直线的参数方程为：12{ 12x t y =-=+（t 为参数）． 将：12{12x t y =-=+（t 为参数）代入圆C 的普通方程得t 2=2，∴t 1t 2=当 0{2x y ==，当t= 2{ 0x y ==．∴C 上到直线l 距离为0，2），（2，0）．18．已知函数f(x)＝ex(ax ＋b)－x2－4x ，曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝4x ＋4．(Ⅰ)求a ，b 的值； (Ⅱ)讨论f(x)的单调性．【答案】(1)a ＝4，b ＝4;(2)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处切线方程为y=4x +4，建立方程，即可求得a ，b 的值； （Ⅱ）利用导数的正负，可得f （x ）的单调性．试题解析：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4，由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8． 从而a ＝4，b ＝4． 由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x ⎛⎫-⎪⎝⎭． 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2．当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0． 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数y ＝f (x )的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； (3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 19．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格:(1)从这5天中任选2天,若选取的是4月1日与4月30日的两组数据,请根据这5天中的另3天的数据,求出关于的线性回归方程(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的两组检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠.(参考公式,)【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据表格中数据及平均数公式可求出与的值,从而可得样本中心点的坐标，进而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，可得关于的回归方程；（2）将分别代入所求得的回归方程，将得到的值与实际值进行比较,看误差是否超过，从而可得(1)中所得的线性回归方程是否可靠.试题解析：(1)由已知中表格得, 4月7日, 4月15日, 4月21日这3天的数据的平均数为,所以,所以y关于x的线性回归方程为,(2)依题意得,当时,;当时,,所以(2)中所得的线性回归方程是可靠的.【方法点晴】本题主要考查线性回归方程求法与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20．如图,四棱锥中,平面为线段上一点,为的中点.(1)证明:(2)求四面体的体积.【答案】(1)见解析.(2).【解析】(1)由已知得,取的中点,连接,由为中点知,即又,即故四边形为平行四边形,于是因为所以.(2)因为平面为的中点,所以到平面的距离为取的中点,连接,由得由得到的距离为,故,所以四面体的体积为21．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ， 2F ，左顶点为A ，上顶点为()0,1B ， 1ABF ∆的面积为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ： ()1y k x =+与椭圆C 相交于不同的两点M ， N ， P 是线段MN 的中点.若经过点2F 的直线m 与直线l 垂直于点Q ，求1PQ FQ ⋅的取值范围. 【答案】（1）2212x y +=；（2）(]0,2【解析】试题分析：（1）由题意可知1b =.()1122a cb -=，由222a b c =+，可求得椭圆方程。