第六章统计量及其抽样分布

设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 X 的一个样本， x 1 , x 2 , , x n 是这一 样本的观测值，称统计量
X 1 n

i 1
n
X
i
(3.2.1)
为样本均值；称统计量
S
2

1 n 1
(X i
i 1
n
X)
2
(3.2.2)
为样本方差。
称统计量
S S
F ( n , m ) 1 F1 ( m , n )
1 F
~ F (n, m )
t 分布
设
X1
与
X2
独立且
X 1 N (0, 1), X 2 ( n ),
2
则称 t
X1 X2 n
的分布为自由度为n的t分布，
记为 t t ( n ).
t分布在n=1,n=10,n=100时的密度函数图象
其样本均值和样本方差分别为
x 1 n

n
xi , s
2
1 n1
则有
i1

n
( xi x ) ,
2
i1
(1) x 与 s 2 相互独立； (2)
( n 1) s
2

2
( n 1)
2
推论6-1 推论6-2
x s n
t ( n 1)
设 x 1 , x 2 , , x m是来自正态总体 N ( 1 , 12 ) 的样本，
分布, 记为 2 2 ( n ).
2

2
分布具有下面的性质：
2 1 分布的可加性
2 2 2 2 2 2 设 1 ~ ( n 1 ) ， 2 ~ ( n 2 ) ，且 1 与 2 独立，则
1 2 ~ ( n1 n 2 )
2 2 2
2 分布的数学期望和方差
t分布性质
(1) T分布的密度函数图形关于y轴对称，在t=0处
密度函数达到极大值；
(2)当n→∞时，T分布的渐近分布为N(0,1) .实际 上当n>30时，就认为近似程度较好；
几个重要结论
定理6-4 设 x 1 , x 2 , , x n 是来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本，
i1
假设总体是连续型分布,密度函数为分f (x),则样本
x 1 , x 2 , x n 的联合密度函数为
f ( x1 , x n ) f ( x1 ) f ( x n )

n
f ( xi )
i1
§6.2 统计量及其分布
统计量
不含有任何未知参数的样本的函数， 称为统计量。
几个常用统计量
则当样本容量n较大时，x 的渐近分布为
N ( , ). n
几个常用的抽样分布
统计量的分布称为抽样分布。
来自正态总体的几个常用统计量的分布，已 有一些重要的结果（人们已经获得这些统计量 的具体的分布密度函数）。下面介绍来自正态 总体的几个常用统计量的分布。
分布
2
设 X 1 , X 2 , , X n 独立同分布与标准正态分布 N (0, 1) 则 2 X 12 X 22 X n2 的分布称为自由度为n的
2 2
独立，则称
F
X1 m X2 n
的分布是自由度为m与n的F分布，记为F F ( m , n ), 其中m称为分子自由度，n称为分母自由度.
F分布密度函数图象
称满足
P { F F ( m , n )}
的数 F ( m , n ) 是自由度为m与n的F分布的 分位数
若F-F(m,n)，则1/F仍服从F分布，即
设总体X是具有分布函数F(x)的随机变量,若
x1 , x 2 , x n
是一组, x n 是一组取自
总体X的容量为n的简单随机样本(简称样本)
样本联合分布函数
F ( x1 , x 2 , , x n ) F ( x1 ) F ( x 2 ) F ( x n )
（1） p的大小如何？
（2） p的范围？ （3） p的大小是否满足设定要求？（ p <5%）
§6.2 总体与样本
总体与个体
在一个统计问题中，我们把研究对象的全体称 为总体。构成总体的每个成员称为个体。 一个总体就是一个分布，其数量指标就是服从 这个分布的随机变量。个体的取值是按一定的规律 分布的。
一般来说，总体的分布是未知的，或分布形式 中含有未知参数。 在统计学中，人们总是通过从 总体中抽取一部分个体，根据获得的样本数据对总 体分布进行推断，而被抽出的部分个体叫做总体的 一个样本。
从总体中抽取有限个个体对总体进行观察的过 程叫做抽样。
样本
从总体中随机抽取n个个体，记其指标值为 x 1 , x 2 , , x n , 称为总体的一个样本，n称为样本容量，样本中的个体 称为样品。
第六章 统计量及其抽样分布
§6.1 §6.2 §6.3
引言 总体与样本 统计量及其分布
§6.1 引言
例1 某公司要采购一批产品，每件产品要么是 正品要么是产品。若设这批产品的次品率为p， 则从该批产品中随机抽取一件，用X表示抽到的 次品数，不难看出X服从0-1分布。但分布中的参 数p未知。 p的大小决定了产品的质量，影响采购 行为的经济效益，对p提出一些问题：
2

1 n 1
(X i
i 1
n
X)
2
为样本标准差；
样本均值的抽样分布
定理6-1
设 x 1 , x 2 , x n 是来自某个总体X的样本，
x 为样本均值。

2
（1）若总体 X
N ( , ),
2
则
x N ( ,
),
2
n
（2）若总体分布未知，且

2
E ( X ) , D( X ) ,
假设总体是离散型分布,分布律为：
P { X x i } p i , i 1, 2 ,
样本 ( x 1 , x 2 , x n ) 的联合分布律为
P { x1 , x 2 , , x n } P { X x1 } P { X x n }

n
P{ X xk }
推论6-3
在推论6-2的记号下，设 1
2
2
2 , 并记
2 2
sw
2
( m 1) s x ( n 1) s y m n2
2
则有
( x y ) (1 2 ) sw 1 m 1 n t ( m n 2 ).
y 1 , y 2 , , y n 是来自正态总体N ( 2 , 22 ) 的样本，
且此两样本相互独立，记
sx
2
m 1
2
1
m
( xi x ) , s y
2 2
2 2
i1
n1
1
n
( yi y ) ,
2
i1
则有
F
sx 1
2
sy 2
F ( m 1, n 1).
样本的二重性
（1）样本是随机变量，记作
X 1 , X 2 , , X n
（2）样本抽取后经观测有确定的观测值，样 本是一组数值，记作 x 1 , x 2 , , x n
简单随机样本: 满足以下两个条件的样本
代表性: 即要求样本的抽取是随机的,每个个体 都有机会被抽到; 独立性: 即要求每次观察的结果既不影响其它 观察结果,也不受别的观察结果的影响.
2
E ( ) n
2
， D ( ) 2n
2
2 3 分布的分位点
对于给定的数 ，且 0 1 ，称满足条件
P{
2
( n )}
2


2

(n)
f ( y ) dy
F 分布
设X1
( m ), X 2 ( n ), X 1 与 X 2