山西省大同二中2014-2015学年高二数学上学期11月月考试卷(含解析)

山西省大同二中2014-2015学年高二上学期11月月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）以下命题中，不正确的个数为（）①||﹣||=|+|是，共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ；③若•=0，•=0，则=；④若{，，}为空间的一个基底，则{+，+，+}构成空间的另一个基底；⑤|（•）•|=||•||•||．A．2 B．3 C．4 D．52．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若=，=，=，则=（）A．+﹣B．﹣+C．﹣++D．﹣+﹣3．（5分）已知，，若∥，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=C．x=3，y=15 D．x=6，y=4．（5分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．若，且分别与，垂直，则向量为（）A．（1，1，1）B．（﹣1，﹣1，﹣1）C．（1，1，1）或（﹣1，﹣1，﹣1）D．（1，﹣1，1）或（﹣1，1，﹣1）5．（5分）已知A（﹣1，0，1），B（0，0，1），C（2，2，2），D（0，0，3），则sin（，）=（）A．﹣B．C．D．﹣6．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=，BB1=1，则AB1与C1B所成角的大小为（）A．60°B．90°C．105°D．75°7．（5分）若平面α的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（）A．cos θ=B．cos θ=C．sin θ=D．sin θ=8．（5分）若A（1，﹣2，1），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形9．（5分）若两个不同平面α，β的法向量分别为=（1，2，﹣1），=（﹣3，﹣6，3），则（）A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确10．（5分）若A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），当||取最小值时，x的值等于（）A．19 B．C．D．11．（5分）如图所示，在四面体P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，那么二面角B﹣AP﹣C的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）如图所示，在直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB=90°，则点D到平面ACE的距离为（）A．B．C．D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），则||=．14．（5分）如图，已知正四面ABCD中，AE=AB，CF=CD，则直线DE和BF所成的角的余弦值为15．（5分）平面α的法向量为（1，0，﹣1），平面β的法向量为（0，﹣1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为．16．（5分）如图所示，已知二面角α﹣l﹣β的平面角为θ（θ∈（0，）），AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB=BC=CD=1，则AD的长为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1．求证：AB1=CA1．18．（12分）已知四边形ABCD的顶点分别是A（3，﹣1，2）、B（1，2，﹣1）、C（﹣1，1，﹣3）、D（3，﹣5，3），求证：四边形ABCD是一个梯形．19．（12分）如图所示，ABCD﹣ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与的关系．（12分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，20．证明：C1C⊥BD；21．（12分）空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求OA与BC夹角的余弦值．22．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）证明AF⊥平面A1ED；（3）求二面角A1﹣ED﹣F的正弦值．山西省大同二中2014-2015学年高二上学期11月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）以下命题中，不正确的个数为（）①||﹣||=|+|是，共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ；③若•=0，•=0，则=；④若{，，}为空间的一个基底，则{+，+，+}构成空间的另一个基底；⑤|（•）•|=||•||•||．A．2 B．3 C．4 D．5考点：命题的真假判断与应用．专题：平面向量及应用．分析：根据向量共线，向量垂直，向量的基本定理，向量的数量积的定义和性质，逐一分析5个命题的真假，最后综合可得答案．解答：解：对于①，||﹣||=|+|是，反向的充要条件，故错误；对于②，若∥，且时，则存在唯一的实数λ，使=λ，故错误；对于③，若•=0，•=0，则，均与垂直，故错误；对于④，若{，，}为空间的一个基底，则，，不共面，则+，+，+也不共面，故{+，+，+}构成空间的另一个基底，故正确；对于⑤，|（•）•|=|（•）|•||=||•||•||•，故错误；即只有命题④正确．故不正确的命题有4个，故选：C点评：本题以命题的真假判断为载体考查了向量共线，向量垂直，向量的基本定理，向量的数量积的定义和性质，难度中档．2．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若=，=，=，则=（）A．+﹣B．﹣+C．﹣++D．﹣+﹣考点：空间向量的加减法．专题：计算题．分析：将向量分解成+，然后将利用相等向量和向量的三角形法则将与化成用、、表示即可．解答：解：=+=﹣+﹣=﹣+﹣故选D．点评：本题主要考查了空间向量的加减法，解题的关键是利用向量的三角形法则，属于基础题．3．（5分）已知，，若∥，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y=C．x=3，y=15 D．x=6，y=考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直．专题：计算题．分析：利用向量共线的充要条件：⇔存在λ使，列出方程组，求出x，y 的值解答：解：∵∴存在λ使∴解得故选D点评：解决向量共线及向量垂直的问题，一般利用向量共线或垂直的充要条件⇔存在λ使；⇔4．（5分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．若，且分别与，垂直，则向量为（）A．（1，1，1）B．（﹣1，﹣1，﹣1）C．（1，1，1）或（﹣1，﹣1，﹣1）D．（1，﹣1，1）或（﹣1，1，﹣1）考点：平面的法向量；空间中的点的坐标；向量的数量积判断向量的共线与垂直．专题：计算题．分析：分别求出向量，，利用向量分别与向量，，垂直，且，设出向量的坐标，解答：解：（1）∵空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）∴=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2），设=（x，y，z），由已知中向量分别与向量，，垂直，且，∴，解得x=y=z=±1．=（1，1，1）或=（﹣1，﹣1，﹣1）故选C点评：本题考查的知识点是向量模的运算及向量垂直的坐标表示，是平面向量的综合题，熟练掌握平面向量模的计算公式，及向量平行和垂直的坐标运算公式是解答本题的关键．5．（5分）已知A（﹣1，0，1），B（0，0，1），C（2，2，2），D（0，0，3），则sin（，）=（）A．﹣B．C．D．﹣考点：空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式、同角三角函数的平方关系即可得出．解答：解：∵，=（﹣2，﹣2，1）．∴=1，=3，=﹣2．∴===﹣．∴==．故选：C．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式、同角三角函数的平方关系，属于基础题．6．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=，BB1=1，则AB1与C1B所成角的大小为（）A．60°B．90°C．105°D．75°考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：取A1B1中点D，连结BD、C1D，矩形AA1B1B中利用三角函数的定义，证出∠B1BD=∠B1AB，可得AB1⊥BD．根据面面垂直的性质和线面垂直的判定，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中证出AB1⊥平面BC1D，从而得出AB1⊥C1B，即AB1与C1B所成角的大小为90°．解答：解：取A1B1中点D，连结BD、C1D，∵矩形AA1B1B中，tan∠B1BD=tan∠B1AB=∴∠B1BD=∠B1AB=90°﹣∠ABD，可得∠B1AB+∠ABD=90°因此AB1⊥BD∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1B1C1⊥平面AA1B1B平面A1B1C1∩平面AA1B1B=A1B1，DC1⊥A1B1∴直线DC1⊥平面AA1B1B，可得DC1⊥AB1∵DC1∩BD=D，∴AB1⊥平面BC1D因此，可得AB1⊥C1B，即AB1与C1B所成角的大小为90°故选：B点评：本题在正三棱柱中求异面直线所成角大小．着重考查了正棱柱的性质、空间垂直位置关系的判断与性质等知识，属于中档题．7．（5分）若平面α的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（）A．cos θ=B．cos θ=C．sin θ=D．sin θ=考点：空间向量的数量积运算．专题：空间向量及应用．分析：直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ=β﹣90°或θ=90°﹣β，由此能求出结果．解答：解：若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ=β﹣90°或θ=90°﹣β，cosβ=，∴sin θ=|cos β|=，故选：D．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量的合理运用．8．（5分）若A（1，﹣2，1），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．解答：解：，，得A为锐角；，得C为锐角；，得B为锐角；所以为锐角三角形故选项为A点评：本题考查向量数量积的应用：据数量积的正负判断角的范围．9．（5分）若两个不同平面α，β的法向量分别为=（1，2，﹣1），=（﹣3，﹣6，3），则（）A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确考点：平面的法向量．专题：空间向量及应用．分析：观察两个向量坐标的数量关系，判断向量平行或垂直即可．解答：解：∵=﹣3，∴∥．故α∥β．故选：A．点评：本题主要考察了空间向量的平行及垂直，是基础题．10．（5分）若A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），当||取最小值时，x的值等于（）A．19 B．C．D．考点：向量的模．专题：计算题．分析：利用向量的坐标公式求出的坐标；利用向量模的坐标公式求出向量的模；通过配方判断出二次函数的最值．解答：解：=（1﹣x，2x﹣3，﹣3x+3），||==求出被开方数的对称轴为x=当时，||取最小值．故选C点评：本题考查向量的坐标公式、考查向量模的坐标公式、考查二次函数的最值与其对称轴有关．11．（5分）如图所示，在四面体P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，那么二面角B﹣AP﹣C的余弦值为（）A．B．C．D．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离．分析：设AB=BC=CA=PC=a．知平面PAC⊥平面ABC，取AC的中点D连接BD，PD，得△PAD 为△PAB在平面PAC的投影．二面角B﹣AP﹣C为α，由投影定理得cosα=．解答：解：设AB=BC=CA=PC=a．知平面PAC⊥平面ABC，取AC的中点D连接BD，PD，知BD⊥AC，故D为B点在平面PAC的投影．而△PAD为△PAB在平面PAC的投影．△PAD的面积为：S==，△PAB中，PA=PB=，AB=a．由余弦定理，解得cos∠APB==．从而sin∠APB=．△PAB的面积为S′==，设二面角B﹣AP﹣C为α，由投影定理得cosα===．故答案为：．点评：本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．（5分）如图所示，在直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB=90°，则点D到平面ACE的距离为（）A．B．C．D．2考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面ACE的距离．解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），E（1，0，0），D（0，﹣1，2），C（0，1，2）．=（0，0，2），=（1，1，0），=（0，2，2），设平面ACE的法向量=（x，y，z），则，令y=1，∴=（﹣1，1，﹣1）．故点D到平面ACE的距离d==．故选：B．点评：本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），则||=．考点：空间向量的数量积运算．专题：空间向量及应用．分析：首先求出=（8，﹣5，13），然后由向量的模的公式求其模．解答：解：∵=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），=（8，﹣5，13），∴||==．故答案为：点评：本题考查了空间向量的坐标运算以及向量模的求法．14．（5分）如图，已知正四面ABCD中，AE=AB，CF=CD，则直线DE和BF所成的角的余弦值为考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；平面向量及应用；空间角．分析：设正四面体的棱长等于1，设向量，，，将向量表示为向量的线性组合，利用正四面体的性质、向量的加减与数量积运算法则，算出cos＜＞=﹣，结合异面直线所成角的定义即可得出直线DE和BF所成的角的余弦值．解答：解：正四面ABCD中，设向量，，，则向量两两夹角为60°，设正四面体的棱长等于1，则，∵△ABD中，AE=AB，∴，同理由CF=CD，可得，∴==，同理可得，∵==∴co s＜＞===﹣，结合异面直线DE和BF所成的角为锐角或直角，可得直线DE和BF所成的角的余弦值为﹣cos＜＞=．故答案为：点评：本题在正四面体中求异面直线所成角的余弦值，着重考查了正四面体的性质、向量的加减与数量积运算、异面直线所成角的定义及其求法等知识，属于中档题．15．（5分）平面α的法向量为（1，0，﹣1），平面β的法向量为（0，﹣1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为或．考点：平面的法向量．专题：空间向量及应用．分析：利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出．解答：解：设平面α的法向量为=（1，0，﹣1），平面β的法向量为=（0，﹣1，1），则cos＜，＞==﹣，∴＜，＞=．∵平面α与平面β所成的角与＜，＞相等或互补，∴α与β所成的角为或．故答案为：或．点评：本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题．16．（5分）如图所示，已知二面角α﹣l﹣β的平面角为θ（θ∈（0，）），AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB=BC=CD=1，则AD的长为．考点：点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离．分析：由=++，利用向量法能求出AD的长．解答：解：因为=++，所以2=（++）2=2+2+2+2•+2•+2•=1+1+1+2cos（π﹣θ）=3﹣2cosθ．所以||=，即AD的长为．故答案为：．点评：本题主要考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1．求证：AB1=CA1．考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：利用向量方法求线段的长度相等．解答：证明以A为原点，AC为x轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系．设B（a，b，0），C（c，0，0），A1（0，0，d），则B1（a，b，d），C1（c，0，d），=（a，b，d），=（c﹣a，﹣b，d），=（﹣c，0，d），由已知=ca﹣a2﹣b2+d2=0，•=﹣c（c﹣a）+d2=0，可得c2=a2+b2．再由两点间距离公式可得：|AB1|2=a2+b2+d2，|CA1|2=c2+d2=a2+b2+d2，∴AB1=CA1．点评：本题主要考查证明线段的相等，方法很多．18．（12分）已知四边形ABCD的顶点分别是A（3，﹣1，2）、B（1，2，﹣1）、C（﹣1，1，﹣3）、D（3，﹣5，3），求证：四边形ABCD是一个梯形．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：空间向量及应用．分析：利用向量的运算法则证明与共线即可．解答：解：∵=（﹣2，3，﹣3），=（3，﹣5，3）﹣（﹣1，1，﹣3）=（4，﹣6，6）=﹣2（﹣2，3，﹣3）=﹣2．∴四边形ABCD是一个梯形．点评：本题考查了利用向量证明梯形的方法，属于基础题．19．（12分）如图所示，ABCD﹣ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与的关系．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：因为ABCD﹣ABEF都是平行四边形，所以连接AE，交于N，M，N分别是AC，AE的中点，所以MN∥CE．解答：解：∵ABCD﹣ABEF都是平行四边形，∵M，N分别是AC，AE的中点，连接AE，交于N，∴MN是△ACE的中位线∴MN∥CE，∴∥．点评：本题考查了空间线线关系的判断；属于基础题．20．（12分）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，证明：C1C⊥BD；考点：直线与平面垂直的性质．专题：证明题．分析：连接A1C1、AC，AC和BD交于点O，连接C1O，证明△C1BC≌△C1DC，证明C1O⊥BD，AC⊥BD，AC∩C1O=O说明BD⊥平面AC1，从而证明C1C⊥BD．解答：证明：连接A1C1、AC，AC和BD交于点O，连接C1O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O∴BD⊥平面AC1，又C1C⊂平面AC1，∴C1C⊥BD．点评：本题是中档题，考查直线与直线垂直，通过证明直线与平面的垂直，实现直线与直线的垂直，考查转化思想．21．（12分）空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求OA与BC夹角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；转化思想．分析：根据已给条件该题可利用数量积的方法求解，要求OA与BC夹角的余弦值，可求与的夹角的余弦值，利用，代入公式向量的夹角公式求解即可．解答：解：=8×6cos60°=24=8×4cos135°=﹣cosθ==所以OA与BC夹角的余弦值为点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及向量的数量积，属于基础题．22．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB：AD：AA1=1：2：4，（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）证明AF⊥平面A1ED；（3）求二面角A1﹣ED﹣F的正弦值．考点：异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（1）在空间坐标系中计算出两个直线的方向向量的坐标，由数量公式即可求出两线夹角的余弦值．（2）在平面中找出两条相交直线来，求出它们的方向向量，研究与向量内积为0即可得到线面垂直的条件．（3）两个平面一个平面的法向量已知，利用向量垂直建立方程求出另一个平面的法向量，然后根据求求二面角的规则求出值即可．解答：解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D （0，2，0），F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，，0）．（1）易得=（0，，1），=（0，2，﹣4）．于是cos＜，＞==．所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为．（2）证明：连接ED，易知=（1，2，1），=（﹣1，，4），=（﹣1，，0），于是=0，=0．因此，AF⊥EA1，AF⊥ED．又EA1∩ED=E，所以AF⊥平面A1ED．（3）设平面EFD的一个法向量为u=（x，y，z），则即不妨令x=1，可得u=（1，2，﹣1）．由（2）可知，为平面A1ED的一个法向量．于是cos＜u，＞==，从而sin＜u，＞=．二面角A1﹣ED﹣F的正弦值是点评：本题考查用向量法求异面直线所成的角，二面角，以及利用向量方法证明线面垂直，利用向量法求异面直线所成的角要注意异面直线所成角的范围与向量所成角的范围的不同．。