函数的定义域值域与最值
函数定义域与值域的确定
函数定义域与值域的确定函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个集合之间的关系。
在函数的定义中，我们常常需要确定其定义域和值域。
定义域指的是输入变量（自变量）的取值范围，而值域则是函数输出变量（因变量）的取值范围。
确定函数的定义域和值域对于理解函数的性质和应用具有重要意义。
本文将介绍确定函数定义域和值域的方法和步骤。
一、确定函数的定义域函数的定义域是指自变量的取值范围，也就是函数能接受的输入的集合。
在确定定义域时，我们需要考虑一些限制条件，如分式中的分母不能为零，根式中的被开方数必须大于等于零等。
1. 对于有理函数，我们首先要求分母不等于零，因为分母为零时函数无定义。
然后解方程找到分子的取值范围，将这两个条件取交集就可以确定函数的定义域。
例如，对于函数f(x) = (x + 1)/(x - 2)，我们首先要求 x - 2 ≠ 0，解得x ≠ 2。
然后考虑分子 x + 1 的取值范围为全体实数。
因此，函数的定义域为 R - {2}。
2. 对于根式函数，我们需要保证被开方数大于等于零，否则函数无定义。
解不等式找到被开方数的取值范围，即可确定定义域。
例如，对于函数g(x) = √(4 - x)，由于被开方数必须大于等于零，解不等式 4 - x ≥ 0，可得x ≤ 4。
因此，函数的定义域为 (-∞, 4]。
3. 对于指数函数和对数函数，我们需要保证指数或对数的底大于零且不等于1，因为这是它们的定义范围。
解不等式找到这些条件的取值范围，即可确定定义域。
例如，对于函数h(x) = log₂(x - 3)，由于对数的底必须大于零且不等于1，解不等式 x - 3 > 0，可得 x > 3。
因此，函数的定义域为 (3,+∞)。
二、确定函数的值域函数的值域是指函数所有可能的输出值组成的集合，也就是函数的取值范围。
确定函数的值域有多种方法，下面介绍两种常用的方法。
1. 利用函数的图像或性质来确定值域。
通过观察函数的图像或性质，我们可以大致确定函数的值域。
【优化方案】高考数学一轮复习 第2章第二节 函数的定义域、值域和最值课件 文 苏教
(5)令 x＝ 5sinθ(－π2≤θ≤π2)，
得 y＝ 5sinθ＋ 5－ 5sinθ2 ＝ 5sinθ＋ 5cosθ＝ 10sin(θ＋π4)． ∵－π2≤θ≤π2，∴－π4≤θ＋π4≤34π.
于是－ 22≤sin(θ＋π4)≤1， 则－ 5≤ 10sin(θ＋π4)≤ 10， 即－ 5≤y≤ 10. ∴所求值域为[－ 5， 10]．
解析：分别画出三个函数 y＝－x＋3，y＝32x＋12， y＝x2－4x＋3 的图象(如图)，得到三个交点 A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．
从图象观察可得函数 f(x)的表达式：
x2－4x＋3x≤0， －x＋30＜x≤1，
f(x)＝
32x＋211＜x≤5， x2－4x＋3x＞5.
f(x)的 图 象 是
∴f(x)的值域为[－52，－2]∪[－32，32]．
【名师点评】 求某个函数的最值或值域时，首 先要仔细、认真地观察其解析式的特征，然后再 选择恰当的方法，一般优先考虑直接法、函数的 单调性法．
互动探究4 例4条件不变，设函数g(x)＝ax－2， x∈[－2，2]，若对于任意的x1∈[－2,2]，总存 在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求实数a 的取值范围．
3．函数值域的主要求法 (1)利用函数的单调性 若y＝f(x)是[a，b]上的单调增(减)函数，则f(a)、 f(b)分别是f(x)在区间[a，b]上的最_小__(_大__)值， 最_大__(_小__) 值． (2)利用配方法
将函数配成一个完全平方式与一个常量和形式， 用此种方法，特别要注意对于x在定义域内的 值是否能使完全平方式取得__零__．__
第二节 函数的定义域、值域和最值
第
二
节
函数的定义域、值域、最值
对于一些单调函数，可以通过求反函数，然后在反函数的定义域内求 最值。
常见函数的最值
一次函数
一次函数的最值出现在端点处 ，其最值为常数项。
二次函数
二次函数的最值出现在顶点处 ，其最值为顶点的纵坐标。
指数函数
指数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷 大或无穷小。
对数函数
对数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷
最值
函数在定义域内的最大值和最小值，是函数在特定条件下达到的极值。
如何在实际问题中灵活运用函数的性质
实际问题建模
将实际问题转化为数学模型，利用函数性质 进行分析和求解。
优化问题解决
利用函数最值性质，解决最优化问题，如最 大利润、最小成本等。
动态规划
利用函数性质进行动态规划，解决多阶段决 策问题。
数据分析
函数的定义域、值域、最值
• 函数的定义域 • 函数的值域 • 函数的最值 • 函数的最值在实际问题中的应用 • 总结与思考
01
函数的定义域
定义域的概念
定义域是函数中自变量x的取值范围， 它决定了函数中x可以取哪些值进行计 算。
定义域是函数存在的前提，没有定义 域的函数是不存在的。
确定定义域的方法
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最短路径问题
确定起点和终点
最短路径问题通常涉及从起点到终点的最短路径寻找。
定义路径函数
路径函数表示从起点到终点的所有可能路径，以及每 条路径的长度。
求解最短路径
通过比较所有可能的路径长度，可以找到最短路径， 即最小化路径函数值的路径。
最佳投资问题
确定投资目标和约束
01
最佳投资问题通常涉及在一定时间内实现最大的投资回报或最
函数值域(最值)
b 与区间 m, n 的位置关系 2a
b b m, n ,则当 a>0 时， f ( ) 是函数的最小值，最大值为 f (m), f (n) 中较大者；当 a<0 2a 2a
b ) 是函数的最大值，最大值为 f (m), f (n) 中较小者。 2a b m, n ,只需比较 f (m), f (n) 的大小即可决定函数的最大（小）值。 2a
5、 y 7、 已知二次函数 f ( x) ax bx 满足 f (1 x) f (1 x) ， 且方程 f ( x) x 有两个相等实根， 若函数 f ( x)
2
在定义域为 [ m, n] 上对应的值域为 [2m, 2n] ，求 m, n 的值。
2 x 2 bx c 8、已知函数 f ( x) (b 0) 的值域为 [1,3] ，求实数 b, c 的值。 x2 1
1
知人善教 培养品质 引发成长动力
四、形如： y
cx d 的值域： ax b b a c a
1、若定义域为 x x 时，其值域为 y y
2、若 x m, n 时，我们把原函数变形为 x 函数的值域。 如：1、求函数 y
二、一次函数在区间上的值域（最值）： 一次函数 y=ax+b(a 0)在区间 m, n 上的最值，只需分别求出 f m , f n ，并比较它们的大小即可。 如：y=3x+2(-1 x 1) 三、二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 在区间 m, n 上的值域(最值)： 首先判定其对称轴 x （1）若 时， f (
知识要点
一、利用常见函数的值域 一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R； 反比例函数 y
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法(含答案)
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y 。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I 1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I 2，I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
定义域和值域的概念
定义域和值域的概念
定义域和值域是数学中的两个重要概念。
定义域（domain）指函数中自变量（变量x）所有可能的取值范围。
通俗地说，定义域表示函数能接受哪些数作为输入。
值域（range）指函数中因变量（变量y）所有可能的取值范围。
通俗地说，值域表示函数输出值的范围。
例如，函数f（x）=x²的定义域为实数集合R，而值域为非负实数集合[0,∞)。
另外，需要注意的是，有些函数并没能取遍其值域上的所有值，这种函数就称为是有限制的。
例子：f（x）=2x+5，定义域为实数集合，值域也为实数集合，但它的值域却被限制在大于等于5的实数集合中。
函数的定义域值域和最值
函数的定义域、值域和最值一、函数的定义域： （一）常见函数定义域：对数函数()10log ≠>=a a y xa 且定义域为),0(+∞。
三角函数x y sin =定义域为R ；x y cos =定义域为R ；x y tan =定义域为},2{Z k k x x ∈+≠ππ。
（二）基本题型：1.已知解析式求定义域： （1）()122log 43++--=x xx x y （2）)4323ln(1)(22+--++-=x x x x x x f 2.同一对应法则两个函数定义域问题：（1）已知()2x f 的定义域为[-1,1]，求()x f 2的定义域。
（2）已知()x f 2的定义域为[-1,1]，求()xf 2log 的定义域。
（3）已知()x f 的定义域为[0,2]，求()()12-=x x f x g 的定义域。
3.与参数有关的函数定义域的求法： （1）已知86)(2++-=m mx mx x f 的定义域为R ，求实数m 的取值范围。
（2）已知x x m x f 421)(⋅++=的定义域为R ，求实数m 的取值范围。
（3）已知函数()()6131)(22+-+-=x a xa x f①若()x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；②若()x f 的定义域为[-2,1]，求实数a 的值。
二、函数的值域及最值： （一）常见函数值域：一次函数)0(≠+=k b kx y 的值域为R 。
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当0>a 时，值域为),44[2+∞-a b ac ；当0<a 时，值域为]44,(2ab ac --∞。
反比例函数()0≠=k xky 的值域为 )0,(-∞),0(+∞。
指数函数xa y =的值域为),0(+∞。
对数函数()10log ≠>=a a y xa 且值域为R 。
正弦函数、余弦函数的值域为[-1,1]；正切函数x y tan =的值域为R 。
数学中的函数定义域与值域
数学中的函数定义域与值域一、函数定义域的概念1.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合。
2.函数定义域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。
3.函数定义域可以是无限的，如f(x) = x^2的定义域为实数集R。
4.函数定义域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的定义域为[-1, 1]。
二、函数值域的概念1.函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。
2.函数值域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。
3.函数值域可以是无限的，如f(x) = x^2的值域为非负实数集[0, +∞)。
4.函数值域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的值域为[-1, 1]。
三、函数定义域与值域的关系1.函数的定义域与值域不一定相同，它们可以是不同的集合。
2.函数的定义域是函数值域的子集，即函数的所有自变量取值都在值域中。
3.函数的值域可以小于、等于或大于定义域，这取决于函数的特性。
四、确定函数定义域的方法1.对于多项式函数，定义域通常为实数集R。
2.对于三角函数，定义域通常为实数集R。
3.对于指数函数和对数函数，定义域通常为正实数集(0, +∞)。
4.对于分式函数，定义域为除数不为零的所有实数。
5.对于绝对值函数，定义域为所有实数。
五、确定函数值域的方法1.对于多项式函数，值域通常为实数集R。
2.对于三角函数，值域通常为闭区间[-1, 1]。
3.对于指数函数，值域为正实数集(0, +∞)。
4.对于对数函数，值域为实数集R。
5.对于分式函数，值域为非零实数集。
6.对于绝对值函数，值域为非负实数集[0, +∞)。
六、函数定义域与值域的应用1.函数的定义域与值域是研究函数性质的基础，如单调性、奇偶性、周期性等。
2.函数的定义域与值域可以帮助我们理解和解决实际问题，如最值问题、方程问题等。
3.函数的定义域与值域可以用来判断函数的合理性和有效性。
4.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合，函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。
高中数学 函数定义域,值域,解析式的求法及最值
课题函数教学目标函数的定义域、值域、最值以及解析式的求法重点、难点函数的最值以及解析式的求法考点及考试要求函数的最值以及解析式的求法教学内容（一）函数值域的概念：函数的值域就是我们通常说的y的范围，它是一个集合{y︱y=2x+1} 值域一定要与函数的定义域联系起来。
（二）函数的值域与最值的联系：注意：（三）常见函数的值域：考题8例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式. 解 （1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+∞).（2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3. 例2（1）求函数f (x )=229)2(1x x x g --的定义域；（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域. 解 （1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即解得-3＜x ＜0或2＜x ＜3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤2. ∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ∴f （t ）=lg 12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x ，①把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1. 2. 求下列函数的定义域： （1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x ).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,25,1120120432x ，x x x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）.例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式. 解 （1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［+∞). （2）设f (x )=ax 2+bx +c(a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3. 例2（1）求函数f (x )=229)2(1xx xg --的定义域；（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域. 解 （1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即解得-3＜x ＜0或2＜x ＜3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤2. ∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］例4 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x（1）画出函数的图象；（2）求f (1),f (-1),f ［f (-1)］的值. 解 （1）分别作出f (x )在x ＞0,x =0, x ＜0段上 的图象，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1,f (-1)=-11- =1,f ［f （-1）］=f （1）=1.1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ∴f （t ）=lg 12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x①把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1. 2. 求下列函数的定义域：（1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x ).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,25,1120120432x ，x x x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）. 一、填空题1.设函数f 1(x )=x 21,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则[]))0072((123f f f = .答案 007212.（2008·安徽文，13）函数f (x )=)1(log 1|21|2---x 的定义域为 .答案 []+∞,3 3.若f (x )=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ,则f (-1)的值为 .答案 3 4.已知f (2211)11xx x x +-=+-，则f(x )的解析式为 . 答案 f (x )=212x x +5.函数f (x )=xx -132 +lg(3x +1)的定义域是 .答案 （-31，1） 6.(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x ,y ∈R ),f (1)=则f (-3)= . 答案 68.已知函数ϕ (x )=f (x )+g (x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数，且ϕ（=16, ϕ (1)=8,则ϕ(x )= .答案 3x +x 5二、解答题9.求函数f (x )=21)|lg(|x x x --的定义域.解 由,11010||2⎩⎨⎧<<-<⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x ，得 ∴-1＜x ＜0. ∴函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域为（-1,0）.10．（1）设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足f (0)=1,且对任意实数a 、,f (a -b )=f (a )-b (2a -b +1),求f (x );（2）函数f (x ) (x ∈(-1,1))满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求f (x ). 解 （1）依题意令a =b =x ,则 f (x -x )=f (x )-x (2x -x +1), 即f (0)=f (x )-x 2-x , 而f (0)=1,∴f (x )=x 2+x +1. （2）以-x 代x ,依题意有 ①2f (-x )-f (x )=lg(1-x ) ②2f (x )-f (-x )=lg(1+x )两式联立消去f (-x )得 3f (x )=lg(1-x )+2lg(1+x ),∴f (x )=31lg(1+x -x 2-x 3)(-1＜x ＜1).。
函数的定义域和值域
函数的定义域和值域函数定义映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:f A B→为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“:f A B→”函数的概念1．定义：如果A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数)(x f和它对应，那么就称B:为从集合A到集合B的f→A一个函数，记作)fy=，(xx∈。
A其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{}A|)(叫做函数的值域。
f∈xx函数与映射的关系与区别相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系;(2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性；区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。
函数的三要素函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它．例 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)例 函数y ＝xx 23与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？练习 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) =2x③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x重点一：函数的定义域各种类型例题分析例 求下列函数的定义域（用区间表示） （1）02)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=；解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≠->-≥-023112012022x x x x x ，解得函数定义域为]2,23()23,1()1,21( .例 当a 取何实数时，函数y =lg(-x 2+ax +2)的定义域为(-1，2)?分析： 可转化为：确定a 值，使关于x 的不等式-x 2+ax +2>0的解集为(-1，2).解： -x 2+ax +2>0⇒x 2-ax -2<0，故由根与系数的关系知a =(-1)+2=1即为所求.练习、求下列函数的定义域(1)()f x =2）y =⑶4)3lg(2++=x x x y ⑷1||142-+-=x x y⑸)1(log 31-=x y ⑹235684xx x y ---=抽象函数定义域【类型一】“已知f(x)，求f(…)”型 例：已知f(x)的定义域是[0，5]，求f(x+1)的定义域。
高一函数定义域和值域讲解
函数定义域、值域求法总结（一）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（二）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C 是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
(6)0x 中x 0≠二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。
函数的定义域、值域--高考数学【解析版】
专题06 函数的定义域、值域函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f (x )＝|x |，x ∈[0,2]与函数f (x )＝|x |，x ∈[－2,0]． 2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 3.常见函数定义域的求法类型x 满足的条件2()nf x (n ∈N *) f (x )≥0 21()n f x (n ∈N *)f (x )有意义 1()f x 与[f (x )]0 f (x )≠0 log a f (x )(a ＞0且a ≠1) f (x )＞0 a f (x )(a ＞0且a ≠1)f (x )有意义 tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 （1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 （7）数形结合法【典型考题解析】热点一 已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（ ）A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)【答案】C 【解析】根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域. 【详解】 因为f (x )＝11x-＋lg(1＋x )， 所以需满足1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得1x >-且1x ≠，所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)， 故选：C【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【答案】B 【解析】 【详解】x 满足2101140x x x +>⎧⎪+≠⎨⎪-≥⎩，即1022x x x >-⎧⎪≠⎨⎪-≤≤⎩. 解得－1<x <0或0<x ≤，选B.【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】 【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________． 【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】 解：因为()11f x x x =-100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃； 故答案为：()(],00,1-∞⋃ 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域． 【答案】[]4,22 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的性质进行求解即可. 【详解】因为()31f x +的定义域为[]1,7，所以17x ≤≤，所以43122x ≤+≤．令31x t +=，则422t ≤≤．即()f t 中，[]4,22t ∈． 故()f x 的定义域为[]4,22．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【答案】D 【解析】 【分析】根据(1)y f x +＝的定义域可知1122x ≤+≤，故21log 22x ≤≤，即可求出答案. 【详解】解：∵函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ∴112x -≤≤，1122x ≤+≤∴函数2(log )y f x ＝中，21log 22x ≤≤ 24x ≤≤所以函数2(log )y f x ＝的定义域为2，]． 故选：D 【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 热点三 求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设()f x =t,则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,从而()F x 的值域就是函数11,,32y t t t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域，由“勾函数”的图象可知，102()3F x ≤≤，故选B ．【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B 【解析】 【分析】求出①②③④中各函数的值域，即可得出合适的选项. 【详解】对于①，因为()12f x ≤≤，则()[]211,3y f x =-∈，①不满足条件；对于②，对于函数()21y f x =-，21x -∈R ，则函数()21y f x =-的值域为[]1,2，②满足条件；对于③，因为()12f x ≤≤，则()[]1,221f x y -∈=，③满足条件； 对于④，因为()12f x ≤≤，()[]11,2f x +∈，则()[]2log 111,2y f x =++∈，④满足条件. 故选：B.【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】令1x t -=，()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，令()21sin sin h t t t t t=+-，根据奇偶性的定义，可判断()h t 的奇偶性，根据奇偶性，可得()h t 在(][2,0)0,2-⋃最大值与最小值之和为0，分析即可得答案. 【详解】由21()[(1)1]sin(1)11f x x x x =---++- 令1x t -=，因为[1,1)(1,3]x ∈-⋃，所以(][2,0)0,2t ∈-⋃；那么()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，(][2,0)0,2t ∈-⋃，令()21sin sin h t t t t t=+-，(][2,0)0,2t ∈-⋃，则()()()()()()2211sin sin sin sin h t t t t t t t h t t t ⎛⎫-=--+--=-+-=- ⎪-⎝⎭，所以()h t 是奇函数可得()h t 的最大值与最小值之和为0， 那么()g t 的最大值与最小值之和为2． 故选：B ．【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313x f x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______． 【答案】{}1,0- 【解析】 【分析】根据指数函数的性质分析()f x 的值域，进而得到()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域即可 【详解】 ∵()11313x f x =-+，()30,x∈+∞， ∴令30x t =>，则()()1112,1333f x g t t ⎛⎫==-∈- ⎪+⎝⎭故函数()()y f x g t ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-， 故答案为：{}1,0-【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【答案】 2 22,2⎡⎤-⎣⎦【解析】 【分析】()f x 1x t -换元后化为二次函数可得最大值，函数24y x x =-2cos ([0,])x θθπ=∈，然后利用两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，再由余弦函数的性质得取值范围． 【详解】(1)1x -t (t ≥0)，所以x =1－t 2.所以y =f (x )=x 1x -－t 2+2t =－t 2+2t +1=－(t －1)2+2.所以当t =1即x =0时，y max =f (x )max =2. (2)由4－x 2≥0，得－2≤x ≤2， 所以设x =2cos θ(θ∈[0，π])，则y =2cos θ244cos θ-θ－2sin θ2()4πθ+，因为5[,]444πππθ+∈， 所以cos ()4πθ+∈2⎡-⎢⎣⎦，所以y ∈[－22]．故答案为：2；[2,2]-．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】(1) 7420x y --=； (2)[]2,3． 【解析】 【分析】对于第一小问，把点()()22f ,代入函数解析式，得切点坐标，通过函数求导，得到过切点的切线的斜率，根据直线的点斜式方程，求切线方程．对于第二小问，解不等式()0f x '>，得函数增区间，解不等式()0f x '<，得函数减区间，结合1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，确定函数单调性，求得最值，进而得值域．(1) 因为()211122f x x x =++，所以()21f x x x '=-，所以()23f =，()724f '=， 故所求切线方程为()7324y x -=-，即7420x y --=． (2)由（1）知()()()2322111x x x x f x x x -++-'==，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦． 令()0f x '>，得12x <≤；令()0f x '<，得112x ≤<．所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,2上单调递增，所以()()min 12f x f ==． 又12128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()23f =，所以()23f x ≤≤，即()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3．热点四 求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B ．[]1,3 C ．[]0,2 D ．[]2,3【答案】A 【解析】 【分析】当1x >时，结合不等式求得其最小值为123a -，当1x ≤时，()()229f x x a a =-+-，根据函数()f x 的最小值为()1f ，列出不等式组，即可求解. 【详解】 当1x >时，22231688883333123x a x a x a a x x x x x+-=++-≥⨯⨯=-， 当且仅当28x x=时，等号成立； 即当1x >时，函数()f x 的最小值为123a -，当1x ≤时，()()222299f x x ax x a a =-+=-+-，要使得函数()f x 的最小值为()1f ，则满足()11102123a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩，解得12a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,2. 故选：A.【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__． 【答案】[1，+∞） 【解析】 【分析】等价于ax 2+2x +1≥0恒成立，再对a 分类讨论得解. 【详解】解：函数()221f x ax x ++R ， 即为ax 2+2x +1≥0恒成立， 若a ＝0，则2x +1≥0不恒成立； 当a ＞0，∆＝4﹣4a ≤0， 解得a ≥1；当a ＜0，ax 2+2x +1≥0不恒成立． 综上可得，a 的取值范围是[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x af x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________. 【答案】2 (,1)-∞- 【解析】 【分析】试题分析：如图，作出函数3()3g x x x =-与直线 2y x =-的图象，它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A O B --，由 2'()33g x x =-，知1x =是函数 ()g x 的极小值点，①当0a =时， 33,0(){2,0x x x f x x x -≤=->，由图象可知()f x 的最大值是 (1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时， ()f x 有最大值(1)2f -=；只有当 1a <-时，332a a a -<-，()f x 无最大值，所以所求 a 的取值范围是(,1)-∞-．【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N【答案】B 【解析】 【分析】利用集合间的基本关系来进行运算即可. 【详解】集合M 表示函数21y x =-2x －1>0，解得12x >.集合N 表示函数2y x 的值域，值域为()0,∞+，故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y ＝x B ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x【答案】D 【解析】 【分析】求出函数lg 10x y =的定义域和值域，对选项逐一判断即可. 【详解】因函数lg 10x y =的定义域和值域均为()0,∞+， 对于A ，y x =的定义域和值域均为R ，故A 错误；对于B ，lg y x =的定义域和值域分别为()0,,R +∞，故B 错误； 对于C ，2y x =的定义域和值域均为R ，故C 错误；对于D ，y x=定义域和值域均为()0,∞+，故D 正确； 故选：D ．3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4 D ．[]0,4【答案】D 【解析】 【分析】分0a =、0a >、0a <讨论即可求解. 【详解】若()f x 的定义域为R ，则当0a =时，()1f x =满足题意；当0a ≠时，20Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得：04a <≤； 当0a <时，无法满足定义域为R ． 综上所述：04a ≤≤，D 正确． 故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（ ）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,4【答案】C 【解析】 【分析】由[]20,1x +∈可求出函数的定义域，由于()2y f x =+的图象是由()y f x =的图象向左平移2个单位得到，所以其值域不变，从而可得答案 【详解】令[]20,1x +∈得[]2,1x ∈--，即为函数()2y f x =+的定义域， 而将函数()y f x =的图象向左平移2个单位即得()2y f x =+的图象， 故其值域不变． 故选：C ．5．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inxf x x =+在[0,1]上的值域为（ ） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与正弦函数的单调性可得函数()f x 在上单调递增，从而可求()f x 的值域. 【详解】解：易知函数()s 2π2inxf x x =+在[0,1]上单调递增，且(0)1f =，(1)3f =， 所以()f x 在[0,1]上的值域为[1,3]． 故选:B ．6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1] B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)【答案】C 【解析】 【分析】先求出ln ,1y x x =≥的值域，然后确定(12)3,1y a x a x =-+<的值域所包含的集合，利用一次函数性质可得． 【详解】当x ≥1时，f (x )=ln x ，其值域为[0，+∞)，那么当x <1时，f (x )=(1﹣2a )x +3a 的值域包括(﹣∞，0)， ∴1﹣2a >0，且f (1)=(1﹣2a )+3a ≥0， 解得：12a <，且a ≥﹣1. 故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得2sin 102x π-≥，然后利用正弦函数的性质求解即可【详解】 由题意，得2sin 102x π-≥，1sin22x π≥， 所以522,Z 626k x k k πππππ≤+≤≤+∈， 解得1544,Z 33k x k k +≤≤+∈，所以函数的定义域为()154,4Z 33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：B8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3 B ．4C ．6D ．与m 值有关【答案】C 【解析】 【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解. 【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++， 设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞， 所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--， 所以()g x 为奇函数， 所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（ ）A 2B 3C ．32D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 记9t x π=+，()()33sin 2f x h t t t ==+，由三角函数的性质即可求出()g x 的最大值. 【详解】 记9t x π=+，则()()33sin sin sin 32f x h t t t t t π⎛⎫==++= ⎪⎝⎭， 所以()3sin 3,36h t t π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭， 33π>，所以()()f f x 3故选：B.10．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到()f x 为偶函数，由0x ≥时，()12cos f x x x x =+-，利用导数求得函数的的单调区间，进而求得函数的最小值. 【详解】由题意，函数()12cos f x x x x =+-的定义域为R ，关于原点对称，且满足()()()1122cos cos f x x x x x x x f x -=-+---=+-=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，()12cos f x x x x =+-， 可得()1sin 11022f x x xx=≥'+>，()f x 在单调递增，又由()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-单调递减，[)0,∞+单调递增， 所以()()min 01f x f ==-. 故选：C. 二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数定义域为(4,2)-，A 选项错误；利用定义证明函数(1)=-y f x 是偶函数，B 选项正确；函数()f x 在区间[)1,2-上是增函数，故C 选项错误；可以证明f (x )的图象关于直线1x =-对称，故D 选项正确. 【详解】解：函数()()()()()1222log 2log 4log 24f x x x x x ⎡⎤=--+=--+⎣⎦， 由20,40x x ->+>可得42x -<<，故函数定义域为(4,2)-，A 选项错误；()()()21log 33y f x x x ⎡⎤=-=--+⎣⎦的定义域为()3,3-，设()()()2log 33,g x x x ⎡⎤=--+⎣⎦所以()()()()2log 33,g x x x g x ⎡⎤-=-+-+=⎣⎦即()1y f x =-是偶函数，B 选项正确；()()()()222log 24log 28f x x x x x ⎡⎤=--+=---+⎣⎦()22log 19x ⎡⎤=--++⎣⎦()212log 19x ⎡⎤=-++⎣⎦，当[)1,2x ∈-时，()219t x =-++是减函数，外层12log y t =也是减函数，所以函数()f x 在区间[)1,2-上是增函数，故C 选项错误；由()()()()22log 42=f x x x f x ⎡⎤--=-+-⎣⎦，可得f (x )的图象关于直线1x =-对称，故D 选项正确. 故选：BD 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____． 【答案】 2 (][)2,e 22,--+∞【解析】【分析】根据(e)3(0)f f =-可解得b 的值，代入分段函数，结合对数函数及指数函数的值域求解分段函数的值域即可. 【详解】由(e)3(0)f f =-得13(1)b +=-⨯-，即2b =，即函数()ln 2,1e 2,1xx x f x x +>⎧=⎨-≤⎩, 当1x >时，ln 22y x =+>；当1x ≤时，(]e 22,e 2xy =-∈--．故函数()f x 的值域为(][)2,e 22,--+∞．故答案为：2；(][)2,e 22,--+∞.13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121x f x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__． 【答案】 1293,142⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由()f x 是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），代入可求出实数a ；再判断数f （x ）在[1，3]上单调性，即可求出答案. 【详解】解：∵f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 即121x -+-a121x =---a ， 即212xx+-a 121x=---a ， 则2a 121221121212x x xx x x=--=-=----1， 则a 12=， 则f （x ）11212x =+-在[1，3]为减函数， 则f （3）≤f （x ）≤f （1）， 即914≤f （x ）32≤， 即函数的值域为[914，32]，故答案为：12；[914，32] 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02lg 2112x y x x x -=++-的定义域是________．【答案】(3,1)(1,2)--⋃- 【解析】 【分析】要使该函数表达式有意义，只需20x ->，2120x x +->，10x +≠同时成立，解不等式即可求出结果． 【详解】 函数()02lg 2112x y x x x -=++-的解析式有意义，由22012010x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+≠⎩，即2341x x x <⎧⎪-<<⎨⎪≠-⎩，所以31x -<<-或12x -<<， 故该函数的定义域为(3,1)(1,2)--⋃-． 故答案为：(3,1)(1,2)--⋃-15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42x f x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；【答案】1 【解析】 【分析】根据条件得到()()f a f a =-，即()()41log 42xf x m x =+-为偶函数，根据()()f x f x -=列出方程，求出实数m 的值. 【详解】因为()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，所以40x m +>恒成立， 故0m ≥，又因为对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-， 则对于实数a -，都满足()()f a f a -≥， 所以()()f a f a =-，所以()()41log 42x f x m x =+-为偶函数， 从而()()4411log 4log 422x x m x m x -++=+-， 化简得：()()4110x m --=，要想对任意x ，上式均成立，则10m -=，解得：1m =故答案为：116.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1a f x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．【答案】3【解析】【分析】根据已知条件及奇函数的定义求出当0x <时函数的解析式，再利用函数的单调性对a 进行分类讨论，确定单调性即可求解.【详解】由题意可知，因为0x >，所以0x -<， 所以()1a f x x x -=--+， 因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()1a f x f x x x=--=+-. 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3当0a ≤时，由函数的性质知，函数()f x 在[)3,+∞上单调递增；当3x =时，()f x 取得最小值为(3)23a f =+， 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以233a +=，解得3a =（舍）， 当09a <≤时，由函数的性质知，函数()f x 在[)3,+∞上单调递增；当3x =时，()f x 取得最小值为(3)23a f =+， 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以233a +=，解得3a =， 当9a >时，由对勾函数的性质知，函数()f x 在),a ⎡+∞⎣上单调递增；在(a 上单调递减； 当x a =()f x 取得最小值为(11f a a a a ==，因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以213a =，解得1a =（舍）， 综上，实数a 的值为3.故答案为：3.17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞；②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增：④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.【答案】①②【解析】【分析】由分段函数解析式，讨论参数a ，结合二次函数、对数函数的性质研究()f x 的单调性、最值及对应值域，利用函数()f x 与1y =的交点情况判断参数范围.【详解】由2()y x a =+的对称轴x a =-，当1a >-时，则1x a =-<，且(,)a -∞-上递减，(,1)a -上递增，值域为[0,)+∞， 当1a =-时，则(,1)-∞上递减，值域为[0,)+∞，当1a <-时，则1x a =->，(,1)-∞上递减，值域为2((1),)a ++∞，对于ln y x a =+在[1,)+∞上递增，且值域为[,)a +∞，综上，0a ≥时()f x 的值域为[0,)+∞，①正确；当0a ≥时()f x 最小值为0，当0a <时()f x 最小值为a ，②正确；由211|(1)|ln1x x y a y a a ===+>=+=恒成立，故在(0,)+∞上不可能递增，③错误； 要使1f x 有唯一解，当1a <-时，在[1,)+∞上必有一个解，此时只需2(1)1a +≥，即2a ≤-；当1a =-时，在R 上有两个解，不合题设；当1a >-时，在(,)a -∞-上必有一个解，此时()211{1a a +≤>，无解.所以④错误.故答案为：①② 18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__． 【答案】230⎡⎢⎣⎦， 【解析】【分析】将m 分为000m m m =><，， 三种情况讨论：当0m =时，()210f x x - 满足条件；当0m <时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当0m >时，只需二次函数的0∆≥即可，解出m 的取值范围，综上得m 的取值范围.【详解】解：当0m =时，()()22121f x mx m x m x =--+--[0，+∞），满足条件；令()()221g x mx m x m =--+- ，()()0g x ≥当m ＜0时，()g x 的图象开口向下，故f （x ）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m ＞0时，()g x 的图象开口向上，只需()2210mx m x m --+-=的0∆≥，即（m ﹣2）2﹣4m （m ﹣1）≥0， ∴2323m ≤≤，又0m > ，所以230m <≤ 综上，230m ≤≤∴实数m 的取值范围是：230⎡⎢⎣⎦，， 故答案为：230⎡⎢⎣⎦，.。
高一数学求函数解析式定义域与值域的常用方法(含答案)
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
函数的三要素(定义域、值域、对应法则)
函数的三要素函数的三要素是指定义域、值域、对应法则，每个要素里掌握的方向不一样。
定义域从具体函数和抽象函数两个方向去把握，值域掌握求值域的方法有哪些，对应法则也掌握的是方法有哪些。
下面一一介绍。
一、定义域1、具体函数定义域：主要从以下几个方面去掌握：(1)整式函数的定义域是全体实数。
(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。
(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0(4)对数函数是真数大于0(5)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；2、抽象函数的定义域：此部分只需记住2句话即可：（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。
（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。
通俗一句话就是括号里的取值范围一样。
3、实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．命题点1 求具体函数的定义域例1 求下列函数的定义域.(1)y ＝3－12x ； (2)y ＝2x －1－7x ；(3)y ＝(x ＋1)0x ＋2； (4)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. 考点 函数的定义域题点 求具体函数的定义域解 (1)函数y ＝3－12x 的定义域为R . (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，得0≤x ≤17， 所以函数y ＝2x －1－7x 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，17. (3)由于0的零次幂无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，即x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝(x ＋1)0x ＋2的定义域为{}x | x >－2且x ≠－1.(4)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0， 解得－32≤x ＜2，且x ≠0， 所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －32≤x ＜2，且x ≠0.例2 (1)、(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．答案 {x |x ≥2}解析 由log 2x －1≥0，即log 2x ≥log 22，解得x ≥2，满足x >0，所以函数f (x )＝log 2x －1的定义域为{x |x ≥2}．(2)、函数f (x )＝1xln x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4的定义域为________________． 答案 [－4,0)∪(0,1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，x 2－3x ＋2>0，－x 2－3x ＋4≥0，解得－4≤x <0或0<x <1，故函数f (x )的定义域为[－4,0)∪(0,1)． （3）、函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案 (0,1]解析 函数的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，1＋1x >0，1－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－1，－1≤x ≤1，∴0<x ≤1.命题点2 求抽象函数的定义域1、设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域； ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．2、若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1) 答案 A解析 函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1，故选A.命题点3 已知定义域求参数的值或范围例2 (1)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3， 所以a ＋b ＝－32－3＝－92. (2)设f (x )的定义域为[0,1]，要使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有定义，则a 的取值范围为____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 解析 函数f (x －a )＋f (x ＋a )的定义域为[a,1＋a ]∩[－a,1－a ]，当a ≥0时，应有a ≤1－a ，即0≤a ≤12；当a <0时，应有－a ≤1＋a ，即－12≤a <0.所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (4)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,4]解析 由题意知，mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4m ≤0，得0<m ≤4， 综上，m 的取值范围是[0,4]．二、对应法则函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法（构造方程组法）：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．命题角度1 待定系数法求函数解析式例1 已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝2x －1，求f (x )的解析式.解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，ab ＋b ＝－1， ∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1＋ 2.∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－2或f (x )＝－2x ＋1＋ 2.反思感悟 适合用待定系数法求解析式的函数类型，通常为已知的函数类型，如一次函数，二次函数等.跟踪训练 f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )的解析式.考点 求函数的解析式题点 待定系数法求函数解析式解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9， ∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.命题角度2 换元法(或配凑法)求函数解析式例2 (1)设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x 1－x(x ≠1) B.1＋x x －1(x ≠1) C.1－x 1＋x(x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t 1＋t(t ≠－1)， ∴f (t )＝1－t 1＋t (t ≠－1)， 即f (x )＝1－x 1＋x(x ≠－1). (2)若f (2x ＋1)＝6x ＋5，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 换元法求函数解析式解 方法一 设2x ＋1＝t ，则x ＝t －12， ∴f (t )＝6·t －12＋5＝3t ＋2. ∴f (x )＝3x ＋2.方法二 f (2x ＋1)＝6x ＋5＝3(2x ＋1)＋2，∴f (x )＝3x ＋2.反思感悟 对于形如y ＝f (g (x ))的函数，求y ＝f (x )的解析式，通常用换元法，令t ＝g (x )，从中求出(x ＝φ(t ))，然后代入表达式，求出f (t )即得f (x )的表达式.特别注意：换元法要注意新元的范围.跟踪训练 (1)若g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2，则f (x )等于( ) A.4(1－x )2＋1(x ≠1) B.4(1－x )2－1(x ≠1) C.4(1－x )2(x ≠1) D.2(1－x )2－1(x ≠1)答案 B解析 令g (x )＝1－2x ＝t ，则x ＝1－t 2(t ≠1)，代入得f (t )＝4(1－t )2－1(t ≠1)， ∴f (x )＝4(1－x )2－1(x ≠1). (2)若f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 换元法求函数解析式解 方法一 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2.方法二 f (x ＋1)＝(x ＋1－1)2＋4(x ＋1－1)＋1＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)－2，∴f (x )＝x 2＋2x －2.命题角度3 构造方程组求函数解析式例3 若f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 方程组法求函数解析式解 ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，∴联立以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x . 反思感悟 已知关于f (x )与f (－x )的表达式或f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).跟踪训练 已知2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )的表达式.考点 求函数的解析式题点 方程组法求函数解析式解 ∵f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，将原式中的x 与1x互换， 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x，解得f (x )＝23x －x 3(x ≠0). 三、求值域：求值域的方法：（1）分离常数法：适合分子分母都是一次函数（2）反解法（3）配方法（4）不等式法（5）单调性法（6）换元法（7）数形结合法（8）导数法例 求下列函数的值域：(1)y ＝3x 2－x ＋2，x ∈[1,3]；(2)y ＝3x ＋1x －2；(3)y ＝x ＋41－x ；(4)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12.解 (1)(配方法)因为y ＝3x 2－x ＋2＝3⎝⎛⎭⎫x －162＋2312，所以函数y ＝3x 2－x ＋2在[1,3]上单调递增．当x ＝1时，原函数取得最小值4；当x ＝3时，原函数取得最大值26.所以函数y ＝3x 2－x ＋2(x ∈[1,3])的值域为[4,26]．(2)(分离常数法)y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ≠3}．(3)(换元法)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)，所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(4)(均值不等式法)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12， 因为x >12，所以x －12>0， 所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2， 当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号． 所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞.思维升华 配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式求解．。
函数的值域与最值知识点归纳
函数的值域与最值●知识点归纳一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合{|(),}y y f x x A =∈称为这个函数的值域。
2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。
事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。
因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。
最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
记作()max 0y f x =最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。
记作()min 0y f x = 注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ；② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。
二、基本函数的值域一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ； 二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，；当]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为}0/{>y y ； 对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ； 正、余弦:函数的值域][1,1-；正、余切函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。
函数的定义域和值域知识题型总结(含答案)
函数得定义域与值域一、定义域:1。
函数得定义域就就是使函数式得集合、2。
常见得三种题型确定定义域：①已知函数得解析式，就就是、②复合函数f [g（ｘ)]得有关定义域,就要保证内函数g（x）得域就是外函数ｆ (x)得域、③实际应用问题得定义域,就就是要使得有意义得自变量得取值集合、二、值域：１。
函数y＝ｆ（x)中，与自变量x得值得集合、2．常见函数得值域求法,就就是优先考虑，取决于 ,常用得方法有：①观察法;②配方法;③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法;⑦判别式法；⑧有界性法;⑨换元法（又分为法与法)例如:①形如y＝,可采用法;②y＝,可采用法或法;③y=a［f（x）］2＋ｂf (x)＋ｃ,可采用法;④y=ｘ－，可采用法；⑤y＝x－,可采用法;⑥y=可采用法等、典型例题例１、求下列函数得定义域：(１）ｙ＝；（2)y=; （3）y＝、解:（1)由题意得化简得即故函数得定义域为｛x|x〈0且x≠—１}、（2)由题意可得解得故函数得定义域为｛ｘ|—≤x≤且x≠±｝、（3）要使函数有意义，必须有即∴x≥１,故函数得定义域为［１，+∞）、变式训练1：求下列函数得定义域:（1）ｙ=+(x—1）0 ; （2)y=+(５x－4)０； (３)y=+lgcosx;解:（1）由得所以－３〈x〈2且x≠１、故所求函数得定义域为（—3,1）∪（１，２)、（2）由得∴函数得定义域为（３)由,得借助于数轴，解这个不等式组,得函数得定义域为例2、设函数ｙ＝f（x）得定义域为[0，1］，求下列函数得定义域、(1)y=f（3x）； (2）y=f(）;(３)y=f(； (４)ｙ=f（x+a)+f(x－a)、解：（1)０≤3x≤1，故0≤ｘ≤,ｙ=f（3x)得定义域为［0, ］、（2）仿(１）解得定义域为[1，+∞)、(3）由条件,y得定义域就是f与定义域得交集、列出不等式组故ｙ＝f得定义域为、(4）由条件得讨论:①当即０≤a≤时,定义域为[a，1—a］；②当即－≤ａ≤0时，定义域为［-a,1＋ａ］、综上所述：当0≤a≤时,定义域为［a,1－a］;当—≤a≤0时,定义域为［—a，１+ａ］、（0<a＜）得定义域就是（ ) 变式训练2:若函数f（x）得定义域就是［0，1］,则f(x+a)·f（ｘ—a）A、 B、[ａ，１—a］ C、［—a,１+a]D、［0,1］解: B例3、求下列函数得值域：（1)y= (２)y＝x—；（３)y＝、解：(1)方法一（配方法)∵y=1—而∴0〈∴∴值域为、方法二 (判别式法）由y=得(ｙ-1）∵ｙ=1时，1、又∵R,∴必须＝(1-y）2—4y（y-１）≥0、∴∵∴函数得值域为、（2)方法一（单调性法）定义域，函数y=x,y＝-均在上递增,故y≤∴函数得值域为、方法二 (换元法）令=ｔ，则ｔ≥0，且x=∴y=－（t+1)2+1≤(t≥０），∴y∈(—∞，]、（3）由ｙ=得，ｅx=∵ｅx＞０,即＞0，解得－1＜y＜1、∴函数得值域为{y|—1〈y〈1}、变式训练3：求下列函数得值域：(1）y＝; (２）y=｜x|、解：(１）（分离常数法）y=-，∵≠0,∴y≠-、故函数得值域就是｛y｜ｙ∈Ｒ,且ｙ≠-｝、(２)方法一（换元法）∵１－x2≥0,令ｘ=sin,则有y＝｜ｓincｏs|＝｜sｉn２|,故函数值域为［０,］、方法二y=|x|·∴0≤y≤即函数得值域为、例4.若函数f(x）=ｘ2-x＋a得定义域与值域均为［1，b](b＞1）,求ａ、ｂ得值、解：∵f（x)＝（x－1）2＋a-、∴其对称轴为ｘ=1,即［1,b］为f（x)得单调递增区间、∴f(x）min=f(1）=a—=１①f（x)ｍax=f（b)=b２—b+a=b ②由①②解得变式训练4：已知函数f（x）=x2—4ax+2a+６（x∈R)、(1)求函数得值域为［0,＋∞）时得a得值;(2）若函数得值均为非负值，求函数ｆ(a）=2—ａ|a+3|得值域、解：（１)∵函数得值域为［0,+∞),∴Δ=1６a2—４（2ａ＋６)＝02ａ2－a－3=0∴a=-1或a ＝、(２)对一切x∈R，函数值均非负，∴Δ=8（2a2-a－3)≤0-1≤a≤,∴a+３＞０，∴f(a）＝２-a(a+3）=－a2－3a+2＝－(a+)2+（a）、∵二次函数f(a）在上单调递减，∴ｆ（a)min=f＝—，f(a)max=f（-1)=4，∴f（a）得值域为、小结归纳１。
函数的概念(定义域,值域,解析式)
讲解新课：一．函数定义及函数三要素1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
函数的定义域和值域
法二：(单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1
1 1 1 1 －2x≥0，即x≤2，所以y≤f2＝2，即函数的值域是－∞，2.
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[精析考题]
[例3] (2011· 湖南高考)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2 ( ) ＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为 A．[2－ 2，2＋ 2] C．[1,3] B．(2－ 2，2＋ 2) D．(1,3)
意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．
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二、函数的值域
1．在函数概念的三要素中，值域是由 定义域 和 对应关系 所
确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的 作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用． 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为 2 2 4 ac － b 4ac－b {y|y≥ 4a } ；当a＜0时，值域为 {y|y<= 4a } ．
1 即x>－2且x≠0.
[答案]
C
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[精析考题] [例2] 求下列函数的值域，并指出函数有无最值．
1－x2 (1)y＝ ； 1＋x2 4 (2)y＝x＋x(x<0)； (3)f(x)＝x－ 1－2x.
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[自主解答] ∴0<
1－x2 2 2 (1)y＝ ＝ － 1 ，∵ 1 ＋ x ≥ 1， 1＋x2 1＋x2
D．[－3,5]
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解析：由题意可得：
－3≤x＋1≤5， －3≤x－2≤5.
解不等式组可得：－1≤x≤4.
高中数学函数的定义域及值域
高中数学函数的定义域及值域高中数学函数的定义域及值域定义域(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，假如按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A.其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;值域名称定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合常用的求值域的方法(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，(3)函数单调性法，(4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)根本不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法那么、值域是函数构造的三个根本“元件”。
平时数学中，实行“定义域优先”的原那么，无可置疑。
然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的'位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的互相转化)。
假如函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联络函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。
才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，理论证明，假如加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”一样吗?“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。
“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”那么只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。
值域和定义域怎么求
值域和定义域怎么求
要求一个函数的值域，可以通过以下步骤进行：
1. 确定函数的定义域（也称为自变量的取值范围）。
这是由函数的表达式或定义决定的。
例如，对于一个实数函数，它的定义域通常是所有实数集合。
2. 将定义域中的值代入函数的表达式中，得到对应的函数值。
3. 所有可能的函数值的集合即为函数的值域。
可以从这些值中去除重复项。
举个例子：
考虑函数f(x) = x^2 + 1，其中x 是实数。
1. 定义域为所有实数集合，即(-∞, +∞)。
2. 将定义域中的任意实数值x 代入函数的表达式中，得到函数值。
例如，当x = 2 时，f(x) = 2^2 + 1 = 5；当x = -1 时，f(x) = (-1)^2 + 1 = 2。
3. 所有可能的函数值的集合为{f(x): x ∈(-∞, +∞)} = {f(x): x ∈R} = {y ∈R: y ≥1}。
值域为大于等于1 的所有实数。