苏科版八年级数学下册课时作业9.4矩形、菱形、正方形(4)(含答案)
苏科版 八下 9.4矩形、菱形、正方形同步课时训练(word版含答案)
9.4矩形、菱形、正方形同步课时训练一、单选题1.如图,已知矩形纸片ABCD 中,9cm,3cm AD AB ==,将其折叠,使点D 与点B 重合,那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是( )A .4cmB .5cmC .4cm 、D .5cm 、 2.如图,已知△ABC 中,AB =AC ,AD 是∠BAC 的平分线,AE 是∠BAC 的外角平分线,ED ∥AB 交AC 于点G .下列结论:①AD ⊥BC ;②AE ∥BC ;③AE =AG ;④AD 2+AE 2=4AG 2,其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4 3.如图,在四边形ABCD 中,BD 平分ABC ∠,//AD BC ,90C ∠=︒,5AB =,4CD =,则四边形ABCD 的周长是( ).A .18B .20C .22D .24 4.如图,将矩形ABCD 的四个角向内折叠铺平,恰好拼成一个无缝隙无重叠的矩形EFGH ,若EH =5,EF =12,则CD 长为( )A.13 B.12013C.12 D.175.如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的A'处.若∠DBC =24°,则∠A'EB等于()A.66°B.60°C.57°D.48°6.一次数学课上,老师请同学们在一张长为18厘米,宽为16厘米的矩形纸板上,剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形,且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其它两个顶点在矩形的边上,则剪下的等腰三角形的面积为()A.50或40或30 B.50或40 C.50 D.50或30或20 7.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是()A.AB=BE B.DE⊥DC C.∠ADB=90°D.CE⊥DE 8.顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点,所得的四边形是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形9.如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且18AC=,点P在正方形的边上,则满足PE PF+,则的点P的个数是()A .0B .4C .6D .810.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,以△ABC 的各边为边作三个正方形,点G 落在HI 上,若AC +BC =6,空白部分面积为10.5,则AB 的长为( )A .B C .D二、填空题 11.如图,在边长为1的菱形ABCD 中,∠ABC =60°,将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D ',分别连接A 'C ,A 'D ,B 'C ,则A 'C +B 'C 的最小值为_____.12.如图,在矩形ABCD 中,4,3AB AD ==,点E 在AB 上,且1AE =,点P Q 、分别是直线CD AD 、上的两个动点,将AEQ ∆沿EQ 翻折,使点A 落在矩形中的点F 处,连接PF PB 、,则PB PF +的最小值是__________.13.在Rt ABC △中,90ABC ∠=︒,D 为斜边AC 中点,8AC =,则BD =______. 14.在矩形ABCD 中,AB =5,BC =7,点P 是直线BC 一动点,若将△ABP 沿AP 折叠,使点B落在平面上的点E处,连结AE、PE.若P、E、D三点在一直线上,则BP =_________.15.如图,正方形ABCD的边长为4,∠DAC的平分线交DC于点E.若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值是________.16.如图,在菱形ABCD中,AB=∠ABC=60°,点M、N分别是BC、CD上任意一点,点P是BD上一点,连接PM、PN,则PM+PN的最小值为________.三、解答题17.如图所示,AD∥BC,∠BAD=90°,以B为圆心,BC长为半径画弧,与射线AD 相交于点E,连接BE,过C作CF⊥BE于点F.(1)线段BF与图中哪条线段相等?写出来并加以证明:(2)若AB=12,BC=13,P从E沿ED方向运动,Q从C出发向B运动,两点同时出发且速度均为每秒1个单位.①当t=秒时,四边形EPCQ是矩形;②当t=秒时,四边形EPCQ是菱形.18.如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,延长BA至点D,连结DC,过点B作BE⊥DC于点E,F为BC上一点,FC=FE.连结AF,AE.(1)求证:F A =FE .(2)若∠D =60°,BC =10,求△AEF 的周长.19.如图,四边形ABCD 中,∠B=60°,AC=BC ,点E 在AB 上,将CE 绕点C 顺时针旋转60°得CF ,且点F 在AD 上.(1)求证:AF=BE ;(2)若AE=DF ,求证:四边形ABCD 是菱形;(3)若BC=AFCE 的面积.20.如图,在Rt ABC △中,AB AC =,90BAC ∠=︒,O 为BC 的中点.(1)写出点O 到ABC 的三个顶点A ,B ,C 的距离的关系(不要求证明);(2)如果点M ,N 分别在线段AB ,AC 上移动,在移动过程中保持AN BM =,请判断OMN 的形状,并证明你的结论.参考答案1.B2.C3.C4.B5.C6.A7.B8.A9.D10.B1112.-1.13.414.或7﹣15.16.617.(1)BF =AE ,证明见解析;(2)①8,②13【详解】解:(1)BF =AE .理由如下:∵AD ∥BC ,∴∠CBF =∠AEB ,在△BCF 和△EBA ,BFC A CBF AEB BC EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCF ≌△EBA ,∴BF =EA ;(2)EP=t,CQ=t,在Rt△ABE中,AE5,∵EP=CQ,EP∥CQ,∴四边形EPCQ为平行四边形,①当CP⊥AD时,∠CPE=90°,则平行四边形EPCQ为矩形,此时AP=BC=13,即5+t=13,解得t=8,即当t=8时,四边形EPCQ是矩形;②作CH⊥AD于H,如图,当CP=CQ=EP=t,平行四边形EPCQ为菱形,而PH=t+5﹣13=t﹣8,在Rt△PCH中,122+(t﹣8)2=t2,解得t=13,即当t=13,四边形EPCQ是菱形.故答案为:8,13.18.(1)见解析;(2)15【详解】(1)证明:∵BE⊥DC,∴∠EBC+∠ECB=∠CEF+∠BEF=90°,∵FC=FE,∴∠ECB=∠CEF,∴∠EBC=∠BEF,∴BF=FE=FC,在Rt△BAC中,AF是斜边BC上的中线,∴F A=FE;(2)解:∵∠D=60°,∠BAC=90°,∴∠ACD=30°,∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ECF=∠ACD+∠ACB=30°+45°=75°,由(1)得:F A=FE,AF是斜边BC上的中线,∴AF⊥BC,AF=12BC=5,∵FC=FE,∴∠EFC=180°﹣2∠ECF=180°﹣2×75°=30°,∴∠AFE=90°﹣30°=60°,∴△AEF是等边三角形,∴△AEF的周长=3AF=3×5=15.19.(1)见解析;(2)见解析;(3)四边形AFCE的面积=.【详解】(1)证明:∵AC=BC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠ACB=60°.∵∠ECF=60°,∴∠ACB=∠ECF, ∴∠ECB=∠ACF.在△BCE和△ACF中,,,,BC ACECB ACF EC FC∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△BCE≌△ACF(SAS),∴AF=BE.(2)证明:由(1)得∠FAC=∠EBC=∠ACB=60°, ∴AF∥BC.∵AF=BE,AE=DF,∴AD=BC,∴四边形ABCD 是平行四边形.∵AB=BC,∴▱ABCD 是菱形.(3)∵△BCE ≌△ACF,∴四边形AFCE 的面积=△AFC 的面积+△ACE 的面积 =△BEC 的面积+△ACE 的面积=△ABC 的面积,∵△ABC 是一个等边三角形且,∴四边形AFCE 的面积=12×20.(1) OA OB OC ==;(2)等腰直角三角形,见解析 【详解】解:(1)点O 到ABC 的三个顶点A ,B ,C 的距离的关系是B OA O OC ==. (2)OMN 的形状是等腰直角三角形.证明如下:在ABC 中,AB AC =,90BAC ∠=︒,O 为BC 的中点, OA OB OC ∴==,AO 平分BAC ∠,AO BC ⊥, 90AOB ∠=︒∴,45B C ∠=∠=︒,45BAO CAO ∠=∠=︒, CAO B ∠=∠.在BOM 和AON 中,AN BM =,CAO B ∠=∠,OA OB =,()BOM AON SAS ∴△≌△,OM ON ∴=,AON BOM ∠=∠.90AOB BOM AOM ∠=∠+∠=︒,90AON AOM ∴∠+∠=︒,即90MON ∠=︒,OMN ∴是等腰直角三形.。
2024年苏科版八年级下册同步练习9.4矩形、菱形、正方形练习 (新版)苏含答案
2024年苏科版八年级下册同步练习9.4矩形、菱形、正方形练习(新版)苏矩形、菱形、正方形1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )A.对角线互相垂直B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线平分一组对角2.下列判断中正确的是 ( )A.四边相等的四边形是正方形B.四角相等的四边形是正方形C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形3.如图,已知正方形ABCD的边长为3,E为CD边上一点,DE=1.以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,得△ABE',连接EE',则EE'的长等于_______.4.如图,过正方形ABCD的顶点B作直线l,过A、C作l的垂线,垂足分别为E、F.若AE=1,CF=3,则AB的长度为_______.5.如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1、O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是_______.6.(2013.铁岭)如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE、BE.(1)求证:四边形AEBD是矩形;(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形?并说明理由.7.已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是 ( )A.∠D=90° B.AB=CD C.AD=BC D.BC=CD8.如图所示,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④S△AOB=S四边形DEOF中,错误的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.(2013.枣庄)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M为边AD的中点,延长MD至点E,使ME=MC,以DE为边作正方形DEFG,点G在边CD上,则DG的长为 ( )A.3-1 B.3-5C.5+1 D.5-110.(2013.钦州)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是_______.11.已知正方形ABCD,以CD为边作等边△CDE,则∠AED的度数是_______.12.(2013.锦州)如图①,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合,将此三角板绕点A旋转,使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F,连接EF.(1)猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系,并证明你的猜想;(2)在图①中,过点A作AM⊥EF于点M,请直接写出AM和AB的数量关系;(3)如图②.将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC,E、F分别是BC、CD边上的点,∠EAF=12∠BAD,连接EF,过点A作AM⊥EF于点M.试猜想AM与AB之间的数量关系,并证明你的猜想.参考答案1.C 2.D 3.204.105.2 6.略7.D 8.A 9.D 10.10 11.15°或 75° 12.(1) EF=BE+DF.(2)AM=AB; (3)AM=AB.三角形的中位线1.如图,DE是△ABC的中位线,若BC的长为3 cm,则DE的长是 ( )A.2 cm B.1.5 cm C.1.2 cm D.1cm2.如图,小区的一角有一块形状为等腰梯形的空地,为了美化小区,社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池,使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上,则水池的形状一定是( )A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形3.如图,在△ABC中,点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,若△ABC的周长为10 cm,则△DEF的周长是_______cm.4.(2013.宿迁)如图,为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离,在地面上确定点O,分别取OA、OB的中点C、D,量得CD=20 m,则A、B之间的距离是_______m.5.将一块直角三角形纸片ABC折叠,使点A与点C重合,展开后平铺在桌面上(如图所示).若∠C=90°,BC=8 cm,则折痕DE的长度是_______cm.6.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E、F、G分别是AB、CD、AC的中点,试说明△EFG 的形状.7.(2013.河池)一个三角形的周长是36 cm,则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是 ( )A.6 cm B.12 cm C.18 cm D.36 cm8.如图,顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩形,应添加的条件是 ( )A.AB∥DC B.AB=DCC.AC⊥BD D.AC=BD9.(2013.北京)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为_______.10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,若CD=5 cm,则EF=_______cm.11.如图,点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,连接DE、EF、FD,则图中平行四边形的个数为_______.12.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足为N,且AB=6,BC=10,MN=1.5,求△ABC的周长.13.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB与CD不平行,H、G分别是两条对角线BD、AC的中点,求证:GH∥AD,且GH=12(BC-AD).14.如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并说明你的理由.参考答案1.B 2.C 3.5 4.40 5.4 6.略7.C 8.C 9.20 10.5 11.3 12.25 13.14.四边形PQMN 为菱形.分式一 选择1 下列运算正确的是( )A -40=1B (-3)-1=31C (-2m-n )2=4m-nD (a+b )-1=a -1+b -1 2 分式28,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是( ) A 72xyz 2 B 108xyz C 72xyz D 96xyz 23 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是( )A 0.00036B -0.0036C -0.00036D -360004 若分式6522+--x x x 的值为0,则x 的值为( )A 2B -2C 2或-2D 2或35计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1111112x x 的结果是( ) A 1 B x+1 C x x 1+ D 11-x 6 工地调来72人参加挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走,怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走,解决此问题,可设派x 人挖土,其它的人运土,列方程 ①3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72 ④372=-xx 上述所列方程,正确的有( )个A 1B 2C 3D 47 在ma y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中,分式的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 58 若分式方程xa x a x +-=+-321有增根,则a 的值是( ) A -1 B 0 C 1 D 29 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是( ) A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知k b a c c a b c b a =+=+=+,则直线y=kx+2k 一定经过( ) A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限二 填空1 一组按规律排列的式子:()0,,,,41138252≠--ab ab a b a b a b ,其中第7个式子是 第n 个式子是 2 7m =3,7n =5,则72m-n =3 ()2312008410-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-= 4 若2222,2ba b ab a b a ++-=则= 三 化简1 ()d cd b a cab 234322222-•-÷ 2 111122----÷-a a a a a a3 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷--225262x x x x四 解下列各题1 已知b ab a b ab a b a ---+=-2232,311求 的值2 若0<x<1,且xx x x 1,61-=+求 的值五 (5)先化简代数式()()n m n m mn n m n m n m n m -+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+222222,然后在取一组m,n 的值代入求值六 解方程1 12332-=-x x2 1412112-=-++x x x七 2008年5月12日,四川省发生8.0级地震,我校师生积极捐款,已知第一天捐款4800元,第二天捐款6000元,第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人,且两天人均捐款数相等,那么两天共参加捐款的人数是多少?分式(二)一、选择题:1.已知230.5x y z ==,则32x y z x y z +--+的值是( )A .17 B.7 C.1 D.132.一轮船从A 地到B 地需7天,而从B 地到A 地只需5天,则一竹排从B 地漂到A 地需要的天数是( )A .12 B.35 C.24 D.473.已知226a b ab +=,且0a b >>,则a b a b +-的值为( ) A .2 B .2± C .2 D .2±二、填空题:4. 若关于x 的分式方程3232-=--x m x x 无解,则m 的值为__________.5.若分式231-+x x 的值为负数,则x 的取值范围是__________. 6. 已知2242141x y y x y y +-=-+-,则的24y y x ++值为______. 三、解答题:7. 计算: ()3322232n m n m --⋅8. 计算 (1)168422+--x x x x (2)mn n n m m m n n m -+-+--29. 先化简,后求值:222222()()12a a a a a b a ab b a b a b -÷-+--++-,其中2,33a b ==- 10. 解下列分式方程.1412112-=-++x x x11. 计算:(1)1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x (2)4214121111xx x x ++++++-12.已知x 为整数,且918232322-++-++x x x x 为整数,求所有符合条件的x 的值.13.先阅读下面一段文字,然后解答问题:一个批发兼零售的文具店规定:凡一次购买铅笔301支以上(包括301支)可以按批发价付款;购买300支以下(包括300支)只能按零售价付款.现有学生小王购买铅笔,如果给初三年级学生每人买1支,则只能按零售价付款,需用()12-m 元,(m 为正整数,且12-m >100)如果多买60支,则可按批发价付款,同样需用()12-m 元.设初三年级共有x 名学生,则①x 的取值范围是 ;②铅笔的零售价每支应为 元;③批发价每支应为 元.(用含x 、m 的代数式表示).14. A 、B 两地相距20 km ,甲骑车自A 地出发向B 地方向行进30分钟后,乙骑车自B 地出发,以每小时比甲快2倍的速度向A 地驶去,两车在距B 地12 km 的C 地相遇,求甲、乙两人的车速.分式(三)一、填空题1、在有理式22xy ,πx ,11+a ,y x +1,122-m 中属于分式的有 .2、分式33+-x x 的值为0,则x= .3、分式x x 2-和它的倒数都有意义,则x 的取值范围是 .4、当_____=x 时,x --11的值为负数;当x 、y 满足 时,)(3)(2y x y x ++的值为32;5、若分式y x y -3的值为4,则x,y 都扩大两倍后,这个分式的值为6、当x= 时,分式11+x 与11-x 互为相反数.7、若分式方程=-1x m 1-x -11有增根,则m= .8、要使方程=-11x a x -2有正数解,则a 的取值范围是9、+++)2)(1(1 x x )3)(2(1++x x +)2007)(2006(1.....+++x x =_____________10、若=a 3b 4=c 5,则分式222c b a acbc ab +++-=____________二、选择题11、已知m 、n 互为相反数,a 、b 互为倒数,|x|=2,则ab x x nm -++2的值为() A 、2 B 、3 C 、4 D 、512. 下列式子:(1)y x y x y x -=--122;(2)c a ba a c ab --=--;(3)1-=--b a ab ;(4)y x yx y x yx +-=--+-中正确的是 ( )A 、1个B 、2 个C 、3 个D 、4 个13. 下列分式方程有解的是( )A 、++12x 13-x =162-x B 、012=+x x C 、0122=-x D 、111=-x14. 若分式m x x ++212不论m 取何实数总有意义,则m 的取值范围是( )A 、m ≥1B 、m >1C 、m ≤1D 、m <115、晓晓根据下表,作了三个推测:x 1 lO 100 1000 10000…3-x-1x 3 2.1 2.Ol 2.001 2.0001…①3-x-1x (x>0)的值随着x 的增大越来越小;②3-x-1x (x>0)的值有可能等于2;③3-x-1x (x>O)的值随着x 的增大越来越接近于2. 则推测正确的有( ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个16. 已知分式xyy x -+1的值是a ,如果用x 、y 的相反数代入这个分式所得的值为b ,则a 、b 关系( )A 、相等B 、互为相反数C 、互为倒数D 、乘积为-1三、解答题17、化简:[22222a b a ab b -+++2ab ÷(1a +1b )2]·2222a b ab-+.18、当21,23-==b a 时,求⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a ab b a b a ab b a +44的值.19、A 玉米试验田是边长为a 米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分,B 玉米试验田是边长为(a -1)米的正方形,两块试验田的玉米都收获了500千克.(1)那种玉米的单位面积产量高?(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?四、探索题20、观察以下式子:1112122132+→=+>,5527544264+→=+<,3354355555+→=+>, 773722232+→=+<.请你猜想,将一个正分数的分子分母同时加上一个正数,这个分数的变化情况,并证明你的结论.21、甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化,两位采购员的购货方式也不同,其中,甲每次购买1000千克,乙每次用去800元,而不管购买多少饲料.谁的购货方式更合算?22、一个批发兼零售的文具店规定:凡一次购买铅笔300枝以上,(不包括300枝),可以按批发价付款,购买300枝以下,(包括300枝)只能按零售价付款.小明来该店购买铅笔,如果给八年级学生每人购买1枝,那么只能按零售价付款,需用120元,如果多购买60枝,那么可以按批发价付款,同样需要120元,①这个八年级的学生总数在什么范围内?②若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同,那么这个学校八年级学生有多少人?分式(一)参考答案一 CACBC CBBA B二 1 -()n n n ab a b 137201,--, 2 9/5, 3 2, 4 53 三 1 ac 1 , 2 1-a a , 3 32+-x 四 1 提示:将所求式子的分子、分母同时除以ab 。
八年级数学苏科版下册课时练第9单元 《9.4矩形、菱形、正方形 》(含答案解析)
答卷时应注意事项1、拿到试卷,要认真仔细的先填好自己的考生信息。
2、拿到试卷不要提笔就写,先大致的浏览一遍,有多少大题,每个大题里有几个小题,有什么题型,哪些容易,哪些难,做到心里有底;3、审题,每个题目都要多读几遍,不仅要读大题,还要读小题,不放过每一个字,遇到暂时弄不懂题意的题目,手指点读,多读几遍题目,就能理解题意了;容易混乱的地方也应该多读几遍,比如从小到大,从左到右这样的题;4、每个题目做完了以后,把自己的手从试卷上完全移开,好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题;试卷第1页和第2页上下衔接的地方一定要注意,仔细看看有没有遗漏的小题;5、中途遇到真的解决不了的难题,注意安排好时间,先把后面会做的做完,再来重新读答题;6、卷面要清洁,字迹要清工整,非常重要;7、做完的试卷要检查,这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题,检查的时候,用手指点读题目,不要管自己的答案,重新分析题意,所有计算题重新计算,判断题重新判断,填空题重新填空,之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友,你们好!经过两个月的学习,你们一定有不小的收获吧,用你的自信和智慧,认真答题,相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的!课时练9.4矩形菱形正方形一、选择题1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是()A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角线平分一组对角2.如图,E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,且CE=AC,则∠E=()A.90°B.45°C.30°D.22.5°3.如图,将一正方形纸片沿图(1)、(2)的虚线对折,得到图(3),然后沿图(3)中虚线的剪去一个角,展开得平面图形(4),则图(3)的虚线是()A. B. C. D.4.如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD 上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有()A.2对B.3对C.4对D.5对5.如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM 的长为()A.2B.3C.2D.16.下列叙述,错误的是()A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是矩形7.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题.从下列四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD.中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形(如图),现有下列四种选法,你认为其中错误的是()A.①②B.②③C.①③D.②④8.如图,把一张正方形纸对折两次后,沿虚线剪下一角,展开后所得图形一定是()A.三角形B.菱形C.矩形D.正方形9.如图,把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′,边BC与D′C′交于点O,则四边形ABOD′的周长是()A.62B.6C.32D.3+3210.如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD 内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE最小,则这个最小值为()A.3B.23C.26D.6二、填空题11.如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=20°,则∠AED等于.12.把正方形ABCD沿对边中点所在直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE,若AB的长为2,则FM=.13.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过此正方形的顶点B、D 作BF⊥a于点F、DE⊥a于点E,若DE=4,BF=3,则EF的长为____________.14.如图,已知正方形ABCD边长为1,连接AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE=.15.如图,已知正方形ABCD的边长为1,点E在边DC上,AE平分∠DAC,EF⊥AC,点F为垂足,那么FC=.16.如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,∠BDC的平分线DE交BC于点E,点M、点N分别是CD和DE上的动点,连接AM,则当MN+CN的值最小时,AM =.三、解答题17.如图,在正方形ABCD中,BC=2,E是对角线BD上的一点,且BE=AB.求△EBC的面积.18.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.19.如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,BC=4CE.求证:AF⊥FE.20.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.(1)求证:∠ADB=∠CDB;(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.21.如图,正方形ABCD中,AB=3,点E、F分别在BC、CD上,且∠BAE=30°,∠DAF=150.(1)求证:DF+BE=EF;(2)求∠EFC的度数;(3)求△AEF的面积.答案1.C2.D3.D.4.C5.B6.D.7.D8.B.9.A10.B11.65°.12.3.13.7.14.2﹣1.15.2﹣1.16.326.17.解:作EF⊥BC于F,如图所示:则∠EFB=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=2,∠DAB=∠ABC=90°,∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=45°,∴△BEF是等腰直角三角形,∴EF=BF,∵BE=AB,∴BE=BC=2,∴EF=BF=22BE=2,∴△EBC的面积=12BC•EF=12×2×2=2.18.证明:∵四边形ABCD是正方形.∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.又∵AM⊥BE,∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,∴∠MEA=∠AFO.∴△BOE≌△AOF(AAS).∴OE=OF.19.证明:连接AE,设正方形的边长为4a.在Rt△ADF中,AD=4a,DF=2a,据勾股定理得,AF2=AD2+DF2,解得AF2=20a2.在Rt△ABE中,AB=4a,BE=3a,据勾股定理得,AE2=AB2+BE2,解得AE2=25a2.在Rt△ECF中,FC=2a,CE=a,据勾股定理得,EF2=CF2+CE2,解得EF2=5a2.∴AE2=AF2+EF2,∴AF⊥FE.20.证明:(1)∵对角线BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,在△ABD和△CBD中,,∴△ABD≌△CBD(SAS),∴∠ADB=∠CDB;(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°,∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是矩形,∵∠ADB=∠CDB,∴∠ADB=45°∴PM=MD,∴四边形MPND是正方形.21.解:(1)延长EB至G,使BG=DF,连接AG,∵正方形ABCD,∴AB=AD,∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°,∵BG=DF,∴△ABG≌△ADF,∴AG=AF,∵∠BAE=30°,∠DAF=15°,∴∠FAE=∠GAE=45°,∵AE=AE,∴△FAE≌△GAE,∴EF=EG=GB+BE=DF+BE;(2)∵△AGE≌△AFE,∴∠AFE=∠AGE=75°,∵∠DFA=90°﹣∠DAF=75°,∴∠EFC=180°﹣∠DFA﹣∠AFE=180°﹣75°﹣75°=30°,∴∠EFC=30°(3)∵AB=BC=3,∠BAE=30°,∴BE=1,CE=3﹣1,∵∠EFC=30°,∴CF=3﹣3,∴S△CEF=12CE•CF=23﹣3,由(1)知,△ABG≌△ADF,△FAE≌△GAE,∴S△AEF =S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△AEB﹣S△CEF=S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△CEF,S△AEF =12(S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△CEF)=3﹣ 3.。
9.4苏科版八年级数学下册9.2矩形、菱形、正方形——正方形练习及答案
八年级数学(正方形习题训练)一.(填空题,共7小题,每小题5分)1、如图,己知P是正方形ABCD对角线BD上--点,且BP=BC,则∠ACP= 度.2、己知正方形ABCD中,CM=CD, MN丄AC,连接CN,则∠DCN= .第1题图第2题图第3题图第4题图3.如图,以正方形ABCD的边CD为一边,在正方形ABCD内作等边△CDE,BE交AC于点M,则∠AMD= .4.如图,正方形ABCD的边长为2, E为CD的中点,以点A为中心把△ADE顺时针旋转90°,得到△ABF,连接EF,则EF的长等_______________.5.如图,正方形ABCD的边长为a, AE平分∠DAC, EF⊥AC交于F,则EF=_________.第5题图第6题图第7题图6.6.如图,已知正方形的边长为2, △BPC是等边三角形,则△CDP的面积是__________,△BPD的面积是_________________.7.如图,正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,且AE=EF=FA.下列结论:①△ABE≌△ADF;②CE=CF;③∠AEB=75°;④BE+DF=EF;⑤S△ABE+S△ADF=S△CEF,其中正确的是___________.二.(解答题,共4小题,共65分)1.(15分)如图,点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上.,点A、D是x轴上两点,已知四边形ABCD是正方形,则求k的值2.(15分)如图,正方形ABCD中,E是BD上一-点,AE的延长线交CD于F,交BC的延长线于G, M 是FG的中点.(1)求证:①∠1 = ∠2;②EC丄MC.(2)试问当∠1等于多少度时,△ECG为等腰三角形?请说明理由.3.(15分)如图所示,正方形ABCD中,在AD的延长线上取点E、F,使DE=AD, DF=BD,连接BF 分别交CD、CE于H、G。
求证:△GHD是等腰三角形.4.(20分)点E 是正方形ABCD 外一点,点F 在DE 上,且AF=AE=2, ∠EAF=90°, FB=3. (1)求证:△AFD≌△AEB;(2)求∠DEB的度数.(3)求正方形ABCD的面积答案及解析一.(填空题,共7小题)1.22.5°2.22.5°3.120°4.102-5.()a13-6.17.二.(解答题,共4小题)1.2.3.4.。
苏科版数学八年级下册 9.4矩形菱形正方形大题综合练习(含答案解析)
苏科版数学八年级下册9.4矩形菱形正方形大题综合练习1.如图菱形ABCD中,∠ADC=60°,M、N分别为线段AB,BC上两点,且BM=CN,且AN,CM所在直线相交于E.(1)证明△BCM≌△CAN;(2)∠AEM=________°;(3)求证DE平分∠AEC;(4)试猜想AE,CE,DE之间的数量关系并证明.【答案】(1)证明:如图1中,连接AC.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∵∠ADC=60°,∴△ACD,△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠B=∠ACN=60°,在△BCM和△CAN中,{BC=AC∠B=∠ACNBM=CN,∴△BCM≌△CAN(2)60(3)证明:如图2中,作DG⊥AN于G.DH⊥MC交MC的延长线于H.∵∠AEM=60°,∴∠AEC=120°,∵∠DGE=∠H=90°,∴∠GEH+∠GDH=180°,∴∠GDH=∠ADC=60°,∴∠ADG=∠CDH ,在△DGA 和△DHC 中,{∠DGA =∠H =90∘∠ADG =∠CDH DA =DC,∴△DGA ≌△DHC ,∴DG=DH ,∵DG ⊥AN ,DH ⊥MC ,∴∠DEG=∠DEH .∴DE 平分∠AEC .(4)证明:结论:EA+EC=ED .理由如下:如图2中,由(3)可知,∠GED=60°,在Rt △DEG 中,∵∠EDG=30°,∴DE=2EG ,易知△DEG ≌△DEH ,∴EG=EH ,∴EA+EC=EG+AG+EH-CH ,∵△DGA ≌△DHC ,∴GA=CH ,∴EA+EC=2EG=DE ,∴EA+EC=ED.【解析】【解答】解:(2)如图1中,∵△BCM ≌△CAN ,∴∠BCM=∠CAN ,∴AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°.故答案为60.【分析】(1)连接AC,因为∠ADC=60°,利用菱形四边相等的性质,可知△ADC为等边三角形,所以AC=BC ,又因为菱形的对角线平分一组对角,所以∠ACN=60°=∠B,因为BM=CN,所以△BCM≌△CAN;(2)因为∠AEM=∠CEN,对顶角相等,由全等可知∠AEM=∠CEN=∠B=60°;(3)过点D做AE、CM两边的垂线,利用角角边可得到△DHC≌△DGA,可得DH=DG,再用角平分线的性质,到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上;(4)由全等可知EA+EC=2EG,又因为在Rt△中30°的角所对的边等于斜边的一半,所以EA +EC=DE.2.综合:(1)如图1,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15,过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形(2)如图2,在(1)中的四边形纸片AEE'D中,在EE'上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,剪下△AEF,将它平移至△DE'F'的位置,拼成四边形AFF'D.①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.【答案】(1)C(2)解:如图2中,①证明:∵AD=5,S□ABCD=15,∴AE=3.又∵在图2中,EF=4,∴在Rt△AEF中,AF═5.∴AF=AD=5,又∵AF∥DF',AF=DF,∴四边形AFF'D是平行四边形.∴四边形AFF'D是菱形.②解:连接AF',DF,在Rt△DE'F中,∵E'F=E'E﹣EF=5﹣4=1,DE'=3,∴DF═√E′D2+E′F2= √10.在Rt△AEF'中,∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9,AE=3,∴AF'═√AE2+EF′2= √32+92=3 √10【解析】【解答】(1)解:如图1中,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∵BE=CE′,∴AD∥EE′,AD=EE′,∴四边形AEE′D是平行四边形,∵∠AEE′=90°,∴四边形AEE′D是矩形,故选C.【分析】(1)根据矩形的判定方法即可判定;(2)①通过计算证明AF=AD=5,证明四边形AFF′D是平行四边形即可;②连接AF',DF,分别利用勾股定理计算即可;3.如图,正方形ABCD中,AB=4,P是CD边上的动点(P点不与C、D重合),过点P作直线与BC的延长线交于点E,与AD交于点F,且CP=CE,连接DE、BP、BF,设CP═x,△PBF 的面积为S1,△PDE的面积为S2.(1)求证:BP⊥DE.(2)求S1﹣S2关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.(3)分别求当∠PBF=30°和∠PBF=45°时,S1﹣S2的值.【答案】(1)解:如图1中,延长BP交DE于M.∵四边形ABCD是正方形,∴CB=CD,∠BCP=∠DCE=90°,∵CP=CE,∴△BCP≌△DCE,∴∠BCP=∠CDE,∵∠CBP+∠CPB=90°,∠CPB=∠DPM,∴∠CDE+∠DPM=90°,∴∠DMP=90°,∴BP⊥DE.(2)解:由题意S1﹣S2= 12(4+x)•x﹣12•(4﹣x)•x=x2(0<x<4).(3)解:①如图2中,当∠PBF=30°时,∵∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°,∠FDP=90°,∴∠PFD=∠DPF=45°,∴DF=DP,∵AD=CD,∴AF=PC,∵AB=BC,∠A=∠BCP=90°,∴△BAF≌△BCP,∴∠ABF=∠CBP=30°,∴x=PC=BC•tan30°= 4√3,3∴S1﹣S2=x2= 16.3②如图3中,当∠PBF=45°时,在CB上截取CN=CP,理解PN.由①可知△ABF≌△BCP,∴∠ABF=∠CBP,∵∠PBF=45°,∴∠CBP=22.5°,∵∠CNP=∠NBP+∠NPB=45°,∴∠NBP=∠NPB=22.5°,∴BN=PN= √2x,∴√2x+x=4,∴x=4 √2﹣4,∴S1﹣S2=(4 √2﹣4)2=48﹣32 √2.【解析】【分析】(1)首先延长BP交DE于M.然后依据SAS可证明△BCP≌△DCE,依据全等三角形的性质可得到∠BCP=∠CDE,由∠CBP+∠CPB=90°,∠CPB=∠DPM,即可推出∠CDE+∠DPM=90°;(2)根据题意可得到S1-S2=S△PBE-S△PDE,然后依据三角形的面积公式列出函数关系式即可;(3)分当∠PBF=30°和∠PBF=45°两种情形分别求出PC 的长,最后再利用(2)中结论进行计算即可.4.如图,在矩形ABCD 中,BC >AB ,∠BAD 的平分线AF 与BD ,BC 分别交于点E ,F ,点O 是BD 的中点,直线OK ∥AF ,交AD 于点K ,交BC 于点G .(1)求证:△DOK ≌△BOG ;(2)探究线段AB 、AK 、BG 三者之间的关系,并证明你的结论;(3)若KD=KG ,BC=2 √2 ﹣1,求KD 的长度.【答案】(1)证明:∵在矩形ABCD 中,AD ∥BC ,∴∠KDO=∠GBO ,∠DKO=BGO .∵点O 是BD 的中点;∴DO=BO .在△DOK 和△BOG 中, {∠KDO =∠GBO∠DKO =∠BGO DO =BO∴△DOK ≌△BOG (AAS ).(2)解:AB+AK=BG ;证明如下:∵四边形ABCD 是矩形;∴∠BAD=∠ABC=90°,AD ∥BC .又∵AF 平分∠BAD ,∴∠BAF=∠BFA=45°.∴AB=BF .∵OK ∥AF ,AK ∥FG ,∴四边形AFGK 是平行四边形.∴AK=FG .∵BG=BF+FG ;∴BG=AB+AK .(3)解:∵四边形AFGK 是平行四边形.∴AK=FG ,AF=KG又∵△DOK ≌△BOG ,且KD=KG ,∴AF=KG=KD=BG .设AB=a ,则AF=KG=KD=BG= √2 a .∴AK=2 √2 ﹣1﹣ √2 a ,FG=BG ﹣BF= √2 a ﹣a .∴2 √2﹣1﹣√2a= √2a﹣a.解得a=1.∴KD= √2a= √2.【解析】【分析】(1)在矩形ABCD中,AD∥BC,得到∠KDO=∠GBO,∠DKO=BGO,DO=BO,得到△DOK≌△BOG(AAS);(2)四边形ABCD是矩形,得到∠BAD=∠ABC=90°,AD∥BC,又AF平分∠BAD,得到∠BAF=∠BFA=45°,AB=BF,由OK∥AF,AK∥FG,得到四边形AFGK 是平行四边形,得到AK=FG,BG=BF+FG,即BG=AB+AK;(3)四边形AFGK是平行四边形,得到AK=FG,AF=KG,又△DOK≌△BOG,且KD=KG,得到AF=KG=KD=BG,设AB=a,则AF=KG=KD=BG=√2a,得到AK=2√2﹣1-√2a,FG=BG﹣BF=√2a﹣a,解得a=1,得到KD=√2a=√2.5.综合题(1)感知:如图①,四边形ABCD、CEFG均为正方形.易知BE=DG.(2)探究:如图②,四边形ABCD、CEFG均为菱形,且∠A=∠F.求证:BE=DG.(3)如图③,四边形ABCD、CEFG均为菱形,点E在边AD上,点G在AD的延长线上.若AE=3ED,∠A=∠F,△EBC的面积为8,则菱形CEFG的面积为________ .【答案】(1)证明:∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形,∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°,∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD,即∠BCE=∠DCG,在△BCE和△DCG中,{CB=CD∠BCE=∠DCGCE=CG,∴△BCE≌△DCG,∴BE=DG.(2)∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形,∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠A,∠ECG=∠F,∵∠A=∠F,∴∠BCD=∠ECG,∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD,即∠BCE=∠DCG,∴△BCE≌△DCG.,∴BE=DG.(3)20【解析】【解答】解:应用:∵四边形ABCD是菱形,S△EBC=8,∴S△AEB+S△EDC=8,∵AE=3DE,∴S△AEB=3S△EDC,∴S△EDC=6,S△EDC=2,∵△BCE≌△DCG,∴S△DGC=S△EBC=8,∴S△ECG=8+2=10,∴菱形CEFG的面积=2•S△EGC=20,故答案为20.【分析】感知:根据正方形的性质,得到BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°,得到∠BCE=∠DCG,得到△BCE≌△DCG,BE=DG;探究:由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形,得到BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠A,∠ECG=∠F,由∠A=∠F,得到∠BCE=∠DCG,△BCE≌△DCG,BE=DG;应用:由四边形ABCD是菱形,△EBC的面积为8,AE=3DE,得到S△AEB=3S△EDC,得到S△EDC=6,S△EDC=2,由△BCE≌△DCG,得到S△DGC=S△EBC=8,S△ECG=8+2=10,所以菱形CEFG的面积=2•S△EGC=20.6.如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y的正半轴上,点B的坐标为(3,4),一次函x+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E,并且满足OD=BE.点M是线段DE 数y=23上的一个动点.(1)求b的值;(2)连结OM,若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3,求点M的坐标;(3)设点N是x轴上方平面内的一点,以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形,求点N 的坐标.【答案】(1)解:y=23x+b中,令x=0,解得y=b,则D的坐标是(0,b),OD=b,∵OD=BE,∴BE=b,则E的坐标是(3,4﹣b),把E的坐标代入y=23x+b得4﹣b=﹣2+b,解得:b=3(2)解:S四边形OAED= 12(OD+AE)•OA= 12×(3+1)×3=6,∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3,∴S△ODM=1.5.设M的横坐标是a,则12×3a=1.5,解得:a=1,把x=a=1代入y=﹣23x+3得y=﹣23× 43+3= 73.则M的坐标是(1,73)(3)解:当四边形OMDN是菱形时,如图(1),M的纵坐标是32,把y= 32代入y=﹣23x+3,得﹣23x+3= 32,解得:x= 94,则M的坐标是(94,32),则N的坐标是(﹣94,32);当四边形OMND是菱形时,如图(2)OM=OD=3,设M的横坐标是m,则纵坐标是﹣23m+3,则m2+(﹣23m+3)2=9,解得:m= 3613或0(舍去).则M的坐标是(3613,1513).则DM的中点是(1813,2713).则N的坐标是(3613,5413).故N的坐标是(﹣94,32)或(3613,5413).【解析】【分析】(1)首先在一次函数的解析式中令x=0,即可求得D的坐标,则OD的长度即可求得,OD=b,则E的坐标即可利用b表示出来,然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程,求得b的值;(2)首先求得四边形OAED的面积,则△ODM的面积即可求得,设出M的横坐标,根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标,进而求得M的坐标;(3)分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论,四边形OMDN 是菱形时,M是OD的中垂线与DE的交点,M关于OD的对称点就是N;四边形OMND是菱形,OM=OD,M在直角DE上,设出M的坐标,根据OM=OD即可求得M的坐标,则根据ON和DM的中点重合,即可求得N的坐标.7.如图,矩形ABCD中,AD=6,DC=8,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上,AH=2.(1)若DG=6,求AE的长;(2)若DG=2,求证:四边形EFGH是正方形.【答案】(1)解:∵AD=6,AH=2∴DH=AD﹣AH=4∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°∴在Rt△DHG中,HG2=DH2+DG2在Rt△AEH中,HE2=AH2+AE2∵四边形EFGH是菱形∴HG=HE∴DH2+DG2=AH2+AE2即42+62=22+AE2∴AE= =4(2)证明:∵AH=2,DG=2,∴AH=DG,∵四边形EFGH是菱形,∴HG=HE,在Rt△DHG和Rt△AEH中,,∴Rt△DHG≌Rt△AEH(HL),∴∠DHG=∠AEH,∵∠AEH+∠AHE=90°,∴∠DHG+∠AHE=90°,∴∠GHE=90°,∵四边形EFGH是菱形,∴四边形EFGH是正方形【解析】【分析】(1)先根据矩形的性质,利用勾股定理列出表达式:HG2=DH2+DG2,HE2=AH2+AE2,再根据菱形的性质,得到等式DH2+DG2=AH2+AE2,最后计算AE的长;(2)先根据已知条件,用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH,得到∠DHG=∠AEH,因为∠AEH+∠AHE=90°,∠DHG+∠AHE=90°,可得菱形的一个角为90°,进而判定该菱形为正方形.8.如图1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=8,BC=6,点M从点D出发,以每秒2个单位长度的速度向点A运动,同时,点N从点B出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N作NP⊥AD 于点P,连接AC交NP于点Q,连接MQ.设运动时间为t秒.(1)AM=________,AP=________.(用含t的代数式表示)(2)当四边形ANCP为平行四边形时,求t的值(3)如图2,将△AQM沿AD翻折,得△AKM,是否存在某时刻t,①使四边形AQMK为为菱形,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由②使四边形AQMK为正方形,则AC等于.【答案】(1)8﹣2t;2+t(2)解:∵四边形ANCP为平行四边形时,CN=AP,∴6﹣t=8﹣(6﹣t),解得t=2(3)解:①存在时刻t=1,使四边形AQMK为菱形.理由如下:∵NP⊥AD,QP=PK,∴当PM=PA时有四边形AQMK为菱形,∴6﹣t﹣2t=8﹣(6﹣t),解得t=1,②要使四边形AQMK为正方形.∵∠ADC=90°,∴∠CAD=45°.∴四边形AQMK为正方形,则CD=AD,∵AD=8,∴CD=8,∴AC=8 √2.【解析】【解答】解:(1)如图1.∵DM=2t,∴AM=AD﹣DM=8﹣2t.∵在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,NP⊥AD于点P,∴四边形CNPD为矩形,∴DP=CN=BC﹣BN=6﹣t,∴AP=AD﹣DP=8﹣(6﹣t)=2+t;故答案为:8﹣2t,2+t.【分析】(1)由DM=2t,根据AM=AD﹣DM即可求出AM=8﹣2t;先证明四边形CNPD为矩形,得出DP=CN=6﹣t,则AP=AD﹣DP=2+t;(2)根据四边形ANCP为平行四边形时,可得6﹣t=8﹣(6﹣t),解方程即可;(3)①由NP⊥AD,QP=PK,可得当PM=PA时有四边形AQMK为菱形,列出方程6﹣t﹣2t=8﹣(6﹣t),求解即可,②要使四边形AQMK为正方形,由∠ADC=90°,可得∠CAD=45°,所以四边形AQMK为正方形,则CD=AD,由AD=8,可得CD=8,利用勾股定理求得AC即可.9.已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=2和x=4上,O为坐标原点,直线x=2分别与x轴和OC边交于D、E,直线x=4分别与x轴和AB边的交于点F、G.(1)如图,在点A、C移动的过程中,若点B在x轴上,①直线AC是否会经过一个定点,若是,请直接写出定点的坐标;若否,请说明理由.②▱OABC是否可以形成矩形?如果可以,请求出矩形OABC的面积;若否,请说明理由.③四边形AECG是否可以形成菱形?如果可以,请求出菱形AECG的面积;若否,请说明理由.(2)在点A 、C 移动的过程中,若点B 不在x 轴上,且当▱OABC 为正方形时,直接写出点C 的坐标.【答案】(1)解:①是,经过定点(3,0).理由如下:如图1中,连接AC 交OB 于K .∵四边形OABC 是平行四边形,∴OK=KB ,BC ∥OA ,BC=OA ,∴∠CBF=∠AOD ,在△DOA 和△FBC 中,{∠ODA =∠CFB =90°∠AOD =∠CBF OA =BC,∴△DOA ≌△FBC ,∴OD=FB=2,∴OB=6,∵OK=KB ,∴OK=3,∴K (3,0),∴直线AC 经过定点K (3,0).②可以.利用如下:当∠OCB=90°时,四边形OABC 是矩形,由(1)可知△DOA ≌△FBC ,∴OD=BF=2,∵∠OCF+∠FCB=90°,∠FCB+∠CBF=90°,∴∠OCF=∠CBF,∵∠CFO=∠CFB,∴△CFO∽△BFC,∴CFBF = OFCF,∴CF2= 4CF,∴CF=2 √2,∴S矩形OABC=2•S△OBC=2× 12× 6×2√2=12 √2.③可以.理由如下:如图3中,易知当OE=EC=AE时,四边形AECG是菱形.由(1)可知,△DOA≌△FBC,∴AD=CF,∵DE= 12CF,设DE=x,则AD=CF=2x,OE=AE=3x,在Rt△ADE中,∵OE2=OD2+DE2,∴9x2=x2+4,∴x= √22,∴AE= 3√22,∴S菱形AECG=AE•DF= 3√22×2=3 √2(2)解:如图4中,当四边形OABC是正方形时,易证△DOA≌△FCO,∴OD=CF=2,∴点C坐标(4,2),根据对称性C′(4,﹣2)时,也满足条件.综上所述,点C坐标为(4,2)或(4,﹣2)【解析】【分析】(1)①是,经过定点(3,0).如图1中,连接AC交OB于K,只要证明OD=FB=2,推出OB=6,即可解决问题.②当∠OCB=90°时,四边形OABC是矩形,由(1)可知△DOA≌△FBC,推出OD=BF=2,由△CFO∽△BFC,可得CFBF = OFCF,由此即可解决问题.③可以.如图3中,易知当OE=EC=AE时,四边形AECG是菱形.由(1)可知,△DOA≌△FBC,推出AD=CF,易知DE= 12CF,设DE=x,则AD=CF=2x,OE=AE=3x,在Rt△ADE中,根据OE2=OD2+DE2,列出方程即可解决问题.(2)如图4中,当四边形OABC是正方形时,易证△DOA≌△FCO,推出OD=CF=2,推出点C坐标(4,2),根据对称性C′(4,﹣2)时,也满足条件.10.如图1,在平面直角坐标系中,正方形ABCO的顶点C、A分别在x、y轴上,A(0,6)、E(0,2),点H、F分别在边AB、OC上,以H、E、F为顶点作菱形EFGH(1)当H(﹣2,6)时,求证:四边形EFGH为正方形(2)若F(﹣5,0),求点G的坐标(3)如图2,点Q为对角线BO上一动点,D为边OA上一点,DQ⊥CQ,点Q从点B出发,沿BO方向移动.若移动的路径长为3,直接写出CD的中点M移动的路径长为________.【答案】(1)证明:如图1中,∵E(0,2),H(﹣2,6),∴OE=AH=2,∵四边形ABCO是正方形,∴∠HAE=∠EOF=90°,∵四边形EFGH是菱形,∴EH=EF,在Rt△AHE和Rt△OEF中,{AH=EOHE=EF,∴Rt△AHE≌△Rt△OEF,∴∠AEH=∠EFO,∵∠EFO+∠FEO=90°,∴∠AEH+∠FEO=90°,∴∠HEF=90°,∴四边形EFGH是正方形(2)解:如图1中,连接GE、FH交于点K.∵F(﹣5,0),E(0,2),∴OF=5,OE=2,EA=4,∵HE=EF,∴52+22=42+AH2,∴AH= √13,∴H(﹣√13,6),∵四边形EFGH是菱形,∴HK=KF,KE=KG,设G(m,n),则有m+02= −5−√132,n+22= 6+02,∴m=﹣5﹣√13,n=4,∴G(﹣5﹣√13,4)(3)3√22【解析】【解答】(3)解:如图2中,如图2中,作MN⊥CO于M.∵MN∥OD,CM=MD,∴CN=ON,∴MN垂直平分线段CO,∴点M在线段OC的垂直平分线上运动,如图3中,易知当点Q与B重合时,点M与BD的中点N重合,当BQ=3时,作EQ⊥BC于E,延长EQ交OA于F,延长OM交BC于H,连接NM(线段MN的长即为点M的运动轨迹的长),∵QC=QD,∠CEQ=∠QFD,易证∠ECQ=∠FQD,∴△EQC≌△FDQ,∴EQ=DF=BE= 3√22,CE=OF=6﹣3√22,∴DO=6﹣3 √2,∵CM=DM,∠CMH=∠OMD,∠CHM=∠DOM,∴△HMC≌△OMD,∴OM=HM,CH=OD=6﹣3 √2,BH=3 √2,∵ON=NB,∴MN= 12BH= 3√22,∴点M的运动的路径的长为3√22.故答案为3√2.2【分析】(1)只要证明Rt△AHE≌△Rt△OEF,推出∠AEH=∠EFO,由∠EFO+∠FEO=90°,推出∠AEH+∠FEO=90°,推出∠HEF=90°,即可解决问题.(2)如图1中,连接GE、FH交于点K.首先求出点H的坐标,设G(m,n),根据中点坐标公式,列出方程组即可解决问题.(3)如图2中,作MN⊥CO于M.由MN∥OD,CM=MD,推出CN=ON,推出MN 垂直平分线段CO,推出点M在线段OC的垂直平分线上运动,如图3中,易知当点Q与B 重合时,点M与BD的中点N重合,当BQ=3时,作EQ⊥BC于E,延长EQ交OA于F,延长OM交BC于H,连接NM(线段MN的长即为点M的运动轨迹的长),想办法求出BH 的长,即可利用三角形的中位线定理解决问题.11.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB, AC上的一动点,且满足BP=AQ,D 是BC的中点.(1)求证:△PDQ是等腰直角三角形.(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.【答案】(1)证明:连接AD.∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,∵∠BDP+∠ADP=90°,∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,∴△PDQ为等腰直角三角形(2)解:当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:由(1)知△ABD为等腰直角三角形,当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,∴四边形APDQ为矩形,AB,∴四边形APDQ为正方形又∵DP=AP= 12【解析】【分析】连接AD,根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC,从而证明△BPD≌△AQD,得到PD=QD,∠ADQ=∠BDP,则△PDQ是等腰三角形;由∠BDP+∠ADP=90°,得出∠ADP+∠ADQ=90°,得到△PDQ是直角三角形,从而证出△PDQ是等腰直角三角形;若四边形APDQ是正方形,则DP⊥AB,得到P点是AB的中点.12.如图,在等边三角形ABC中,点D是BC边的中点,以AD为边作等边三角形ADE.(1)求∠CAE的度数;(2)取AB边的中点F,连结CF、CE,试证明四边形AFCE是矩形.【答案】(1)解:在等边三角形ABC中,∵点D是BC边的中点,∴∠DAC=30°.又∵△ADE为等边三角形,∴∠DAE=60°.∴∠CAE=∠DAE-∠DAC=30°(2)解:由(1)知,∠EAF=90°,由F为AB的中点知,∠CFA=90°,∴CF∥EA.在等边三角形ABC中,CF=AD.在等边三角形ADE中,AD=EA.∴CF=EA.∴四边形AFCE为平行四边形.又∵∠CFA=90°,∴四边形AFCE为矩形.【解析】【分析】根据等边三角形三线合一的特点,易求得∠DAC=30°,则∠CAE=∠DAE-∠DAC.先证明四边形AECF是平行四边形,然后根据∠CFA=∠FAE=90°,由矩形的定义判定四边形AFCE是矩形.13.如图,以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF,请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形?(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?(3)当△ABC满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在?【答案】(1)解:四边形ADEF是平行四边形.理由:∵△ABD,△EBC都是等边三角形.∴AD=BD=AB,BC=BE=EC∠DBA=∠EBC=60°∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA.∴∠DBE=∠ABC.在△DBE和△ABC中∵BD=BA∠DBE=∠ABCBE=BC,∴△DBE≌△ABC.∴DE=AC.又∵△ACF是等边三角形,∴AC=AF.∴DE=AF.同理可证:AD=EF,∴四边形ADEF平行四边形(2)解:∵四边形ADEF是矩形,∴∠FAD=90°.∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°.∴∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形(3)解:当∠BAC=60°时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在.理由如下:若∠BAC=60°,则∠DAF=360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣60°﹣60°﹣60°=180°.此时,点A、D、E、F四点共线,∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在【解析】【分析】可先证明△DBE≌△ABC ,又∵△ACF是等边三角形,∴AC=AF.∴DE=AF,同理可得AD=EF,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可证四边形ADEF是平行四边形;若四边形ADEF是矩形,则∠DAF=90°,又有∠BAD=∠FAC=60°,可得∠BAC=150°,故∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形;根据∠BAC=60°时,∠DAF=180°,此时D、A、F三点在同一条直线上,A,D,E,F为顶点的四边形就不存在.14.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB的中点,点E在边BC上,AE=BE,点M是AE的中点,联结CM,点G在线段CM上,作∠GDN=∠AEB交边BC于N.(1)如图2,当点G和点M重合时,求证:四边形DMEN是菱形;(2)证明:如图1,当点G和点M、C不重合时,求证:DG=DN.【答案】(1)证明:如图2中,∵AM=ME.AD=DB,∴DM∥BE,∴∠GDN+∠DNE=180°,∵∠GDN=∠AEB,∴∠AEB+∠DNE=180°,∴AE∥DN,∴四边形DMEN是平行四边形,∵DM== BE,EM== AE,AE=BE,∴DM=EM,∴四边形DMEN是菱形(2)证明:如图1中,取BE的中点F,连接DM、DF.由(1)可知四边形EMDF是菱形,∴∠AEB=∠MDF,DM=DF,∴∠GDN=∠AEB,∴∠MDF=∠GDN,∴∠MDG=∠FDN,∵∠DFN=∠AEB=∠MCE+∠CME,∠GMD=∠EMD+∠CME,、在Rt△ACE中,∵AM=ME,∴CM=ME,∴∠MCE=∠CEM=∠EMD,∴∠DMG=∠DFN,∴△DMG≌△DFN,∴DG=DN【解析】【分析】(1)如图2中,首先证明四边形DMEN是平行四边形,再证明ME=MD 即可证明.(2)如图1中,取BE的中点F,连接DM、DF.只要证明△DMG≌△DFN即可.15.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,分别延长OB,OD到点E,F,使BE=DF,顺次连接A、E、C、F各点.(1)求证:∠FAD=∠EAB.(2)若∠ADC=130°,要使四边形AECF是正方形,求∠FAD的度数.【答案】(1)证明:∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴AD=AB,∠ADB=∠ABD,∴∠ADF=∠ABE,在△FAD与△EAB中,∴△FAD≌△EAB(SAS),∴∠FAD=∠EAB;(2)解:∵四边形AECF对角线互相垂直平分,∴只要∠EAF=90°即得四边形BFDE是正方形,∵∠ADC=130°,∴∠DAB=180°﹣130°=50°∴∠FAD+∠EAB=40°,∵∠FAD=∠EAB,∴∠FAD= ×40°=20°【解析】【分析】(1)由题意易证∠ADF=∠ABE,又因为DF=EB,AD=AB,于是可△FAD≌△EAB,;(2)由已知可得四边形AECF对角线互相垂直平分,只要∠EAF=90°即得四边形AECF是正方形,由∠FAD=∠EAB,再证得∠DAB=50°,可得∠FAD+∠EAB=40°,于是∠FAD= 1×40°=20°.216.某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD 为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.(1)观察猜想如图1,当点D在线段BC上时,①BC与CF的位置关系为:________,②BC,DC,CF之间的数量关系为:________;(将结论直接写在横线上)(2)数学思考如图2,当点D在线段CB的延长线上时,(1)中的①,②结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.(3)拓展延伸如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2,CD=BC,请直接写出GE的长.【答案】(1)垂直;BC=CF+CD(2)解:CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.理由如下:∵正方形ADEF中,AD=AF,∵∠BAC=∠DAF=90°,∴∠BAD=∠CAF,在△DAB与△FAC中,{AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC,∴△DAB≌△FAC(SAS),∴∠ABD=∠ACF,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=45°.∴∠ABD=180°﹣45°=135°,∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°,∴CF⊥BC.∵CD=DB+BC,DB=CF,∴CD=CF+BC .(3)解:过A 作AH ⊥BC 于H ,过E 作EM ⊥BD 于M ,EN ⊥CF 于N ,如图3所示:∵∠BAC=90°,AB=AC ,∴BC= √2 AB=2 √2 ,AH= 12 BC= √2 ,∴CD= 14 BC= √22 ,CH= 12 BC= √2 ,∴DH= 3√22 ,由(2)证得BC ⊥CF ,CF=BD= 5√22 ,∵四边形ADEF 是正方形,∴AD=DE ,∠ADE=90°,∵BC ⊥CF ,EM ⊥BD ,EN ⊥CF ,∴四边形CMEN 是矩形,∴NE=CM ,EM=CN ,∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°,∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,∴∠ADH=∠DEM ,在△ADH 与△DEM 中, {∠ADH =∠DEM∠AHD =∠DMEAD =DE, ∴△ADH ≌△DEM (AAS ),∴EM=DH= 3√22 ,DM=AH= √2 ,∴CN=EM= 3√22 ,EN=CM= 3√22 ,∵∠ABC=45°,∴∠BGC=45°,∴△BCG 是等腰直角三角形,∴CG=BC=2 √2 ,∴GN=CG ﹣CN= √22 , ∴EG= √GN 2+EN 2 = (√22)(3√22)= √5 . 【解析】【解答】解:(1)①正方形ADEF 中,AD=AF ,∵∠BAC=∠DAF=90°,∴∠BAD=∠CAF ,在△DAB 与△FAC 中, {AD =AF∠BAD =∠CAFAB =AC,∴△DAB ≌△FAC (SAS ),∴∠B=∠ACF ,∴∠ACB+∠ACF=90°,即BC ⊥CF ;故答案为:垂直;②△DAB ≌△FAC ,∴CF=BD ,∵BC=BD+CD ,∴BC=CF+CD ;故答案为:BC=CF+CD ;【分析】(1)①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB ≌△FAC ,根据全等三角形的性质即可得到结论;②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ,根据全等三角形的性质得到CF=BD ,∠ACF=∠ABD ,根据余角的性质即可得到结论;(2)根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB ≌△FAC ,根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论.(3)根据等腰直角三角形的性质得到BC= √2 AB=2 √2 ,AH= 12 BC= √2 ,求得DH= 3√22 ,根据正方形的性质得到AD=DE ,∠ADE=90°,根据矩形的性质得到NE=CM ,EM=CN ,由角的性质得到∠ADH=∠DEM ,根据全等三角形的性质得到EM=DH= 3√22 ,DM=AH= √2 ,等量代换得到CN=EM= 3√22 ,EN=CM= 3√22,根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=2 √2 ,根据勾股定理即可得到结论.17.如图,四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,AO=CO ,BO=DO ,且∠ABC+∠ADC=180°.(1)求证:四边形ABCD 是矩形.(2)DF ⊥AC ,若∠ADF :∠FDC=3:2,则∠BDF 的度数是多少?【答案】(1)证明:∵AO=CO ,BO=DO ,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是矩形(2)解:∵∠ADC=90°,∠ADF:∠FDC=3:2,∴∠FDC=36°,∵DF⊥AC,∴∠DCO=90°﹣36°=54°,∵四边形ABCD是矩形,∴CO=OD,∴∠ODC=∠DCO=54°,∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°.【分析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形,求出∠ABC=90°,【解析】根据矩形的判定得出即可;(2)求出∠FDC的度数,根据三角形内角和定理求出∠DCO,根据矩形的性质得出OD=OC,求出∠CDO,即可求出答案.18.如图①,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PE=PA,PE交CD于F.(1)求证:PC=PE;(2)求∠CPE的度数;(3)如图②,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其它条件不变,若∠ABC=65°,则∠CPE=________度.【答案】(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,在△ABP和△CBP中,{AB=BC∠ABP=∠CBPPB=PB,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PA=PE,∴PC=PE(2)解:由(1)知,△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP,∵PA=PE,∴∠PAE=∠PEA,∴∠CPB=∠AEP,∵∠AEP+∠PEB=180°,∴∠PEB+∠PCB=180°,∴∠ABC+∠EPC=180°,∵∠ABC=90°,∴∠EPC=90°(3)115°【解析】【解答】(3)∠EPC=115°,理由:在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP,在△ABP和△CBP中,{AB=BC∠ABP=∠CBPPB=PB,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴∠BAP=∠BCP,∵PA=PE,∴∠DAP=∠DCP,∴∠PAE=∠PEA,∴∠CPB=∠AEP,∵∠AEP+∠PEB=180°,∴∠PEB+∠PCB=180°,∴∠ABC+∠EPC=180°.∴∠CPE=180°-∠ABC=180°-65°=115°【分析】(1)根据正方形的性质得到△ABP≌△CBP,得到对应边相等,得到PC=PE;(2)由(1)知△ABP≌△CBP,得到对应边对应角相等,根据等边对等角和两直线平行同旁内角互补,求出∠CPE的度数;(3)根据菱形的性质,得到△ABP≌△CBP,得到得到对应边对应角相等,根据等边对等角和两直线平行同旁内角互补,求出∠CPE的度数.19.实践探究,解决问题如图1,△ABC中,AD为BC边上的中线,则S△ABD=S△ACD.(1)在图2中,E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点,且AB=4,AD=8,则S阴影=________;(2)在图3中,E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点,则S阴影和S平行四边形ABCD 之间满足的关系式为________;(3)在图4中,E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点,则S阴影和S四边形ABCD之间还满足(2)中的关系式吗?若满足,请予以证明,若不满足,说明理由.解决问题:(4)在图5中,E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点,并且图中阴影部分的面积为20平方米,求图中四个小三角形的面积和(即S1+S2+S3+S4的值).【答案】(1)16(2)S阴影=12S平行四边形ABCD(3)解:满足(2)中的关系式,理由如下:连接BD,由图1得S△EBD= 12 S△ABD同理S△BDF= 12S△BDC∴S四边形EBFD=S△EBD+S△BDF= 12S四边形ABCD(4)解:设四边形的空白区域分别为a,b,c,d 由上述性质可以得出:a+S2+S3= 12S△ACD①,c+S1+S4= 12S△ACB②,b+S2+S1= 12S△ABD③,d+S4+S3= 12S△ACD④,①+②+③+④得,a+S2+S3+c+S1+S4+b+S2+S1+d+S4+S3=S四边形ABCD⑤而S四边形ABCD=a+b+c+d+S1+S2+S3+S4+S阴影⑥所以联立⑤⑥得S1+S2+S3+S4=S阴影=20平方米.【解析】【解答】解:(1)∵E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点,且AB=4,AD=8,∴S阴影= 12×8×4=16,故答案为:16;(2)∵E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点,∴S阴影= 12S平行四边形ABCD;故答案为:S阴影= 12S平行四边形ABCD;【分析】(1)由矩形的性质容易得出结果;(2)由平行四边形的性质容易得出结果;(3)连接BD,由题意得出S△EBD= 12 S△ABD同理S△BDF= 12S△BDC,即可得出结论;(4)设四边形的空白区域分别为a,b,c,d,由(3)可以得出:a+S2+S3= 12S△ACD①,c+S1+S4= 12S△ACB②,b+S2+S1= 12S△ABD③,d+S4+S3= 12S△ACD④,进一步得出结论即可.20.如图,E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴AF∥EC,∵BE=DF,∴AF=EC,∴四边形AECF是平行四边形.(2)解:∵四边形AECF是菱形,如图所示:∴AE=EC,∴∠1=∠2,∵∠3=90°﹣∠2,∠4=90°﹣∠1,∴∠3=∠4,∴AE=BE,∴BE=AE=CE= 12BC=5.【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质得出对边平行且相等,结合已知,可证出AECF是平行四边形;(2)利用菱形的邻边相等的性质,可证出BE=AE=CE= 12BC=5.。
2020-2021学年苏科版八年级下册数学 9.4矩形、菱形、正方形 同步测试(含解析)
9.4矩形、菱形、正方形同步测试一.选择题1.下列说法正确的是)A.有一个角是直角的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直的矩形是正方形C.有一组邻边相等的菱形是正方形D.各边都相等的四边形是正方形2.已知四边形ABCD是平行四边形,下列说法正确的有()①当AB=BC时,它是矩形②AC⊥BD时,它是菱形③当∠ABC=90°时,它是菱形④当AC=BD时,它是正方形A.①②B.②C.②④D.③④3.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且∠AOD=120°.过点A作AE⊥BD于点E,则BE:ED等于()A.1:3B.1:4C.2:3D.2:54.如图,菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点F,连接DF.当∠BAD =100°时,则∠CDF=()A.15°B.30°C.40°D.50°5.如图,四边形ABCD为菱形,A、B两点的坐标分别是,B(0,1),点C、D在坐标轴上,则菱形ABCD的周长等于()A.2B.4C.8D.166.如图,在四边形ABCD中,分别过点A,点C作对角线BD的平行线,再分别过点B,点D 作对角线AC的平行线,这四条直线依次相交于点F,G,H,E,若四边形FGHE为菱形,则四边形ABCD具有的性质是()A.AB=CD B.∠BAD=∠ACD C.AC⊥BD D.AC=BD7.如图,将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,若两个三角形重叠部分的面积为1cm2,则它移动的距离AA′等于()A.0.5 cm B.1 cm C.1.5 cm D.2 cm8.如图,矩形ABCD中,点E在BC上,且AE平分∠BAC,AE=CE,BE=2,则矩形ABCD 的面积为()A.24B.24C.12D.129.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,延长BC到点F,使CF=BC,连接AF,DF,AF分别交CD,BD于点G,O,则下列结论错误的是()A.四边形ACFD是平行四边形B.BD2+FD2=BF2C.OE=BDD.面积关系:S△GEO=S△ADO10.如图,在正方形有ABCD中,E是AB上的动点(不与A、B重合),连接DE,点A关于DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH,那么的值为()A.1B.C.D.2二.填空题11.一个正方形的对角线长为2,则其面积为.12.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE,设AC=12,BD =16,则OE的长为.13.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,H为BC中点,AC=6,BD=8,则线段OH的长为.14.如图,AC是菱形ABCD的对角线,P是AC上的一个动点,过点P分别作AB和BC的垂线,垂足分别是点F和E,若菱形的周长是12cm,面积是6cm2,则PE+PF的值是cm.15.如图,在正方形ABCD中,点M、N为边BC和CD上的动点(不含端点),∠MAN=45°,下列四个结论:①当MN=MC时,则∠BAM=22.5°;②2∠AMN﹣∠MNC=90°;③△MNC的周长不变;④∠AMN﹣∠AMB=60°.其中正确结论的序号是.三.解答题16.如图,已知四边形ABCD是矩形,点E在对角线AC上,点F在边CD上(点F与点C、D 不重合),BE⊥EF,且∠ABE+∠CEF=45°.求证:四边形ABCD是正方形.17.如图,已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,且∠1=∠2.(1)求证:▱ABCD是菱形.(2)F为AD上一点,连接BF交AC于E,且AE=AF,若AF=3,AB=5,求AO的长.18.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,延长BC到点F,使得CF=BE,连接DF,(1)求证:四边形AEFD是矩形;(2)连接OE,若AB=13,OE=,求AE的长.参考答案1.B2.B3.A4.B5.C6.D7.B8.C9.C10.B11.212.1013.2.514.215.①②③16.证明:如图,作EM⊥BC于点M,∵四边形ABCD是矩形,∴AB⊥BC,∴EM∥AB,∴∠ABE=∠BEM,∠BAC=∠CEM,∵∠ABE+∠CEF=45°,∴∠BEM+∠CEF=45°,∵BE⊥EF,∴∠CEM=45°=∠BAC,∴∠BAC=∠ACB=45°,∴AB=BC,∴矩形ABCD是正方形.17.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠2=∠ACB,∵∠1=∠2,∴∠1=∠ACB,∴AB=CB,∴▱ABCD是菱形.(2)解:由(1)得:▱ABCD是菱形,∴BC=AB=5,AO=CO,∵AD∥BC,∴∠AFE=∠CBE,∵AE=AF=3,∴∠AFE=∠AEF,又∵∠AEF=∠CEB,∴∠CBE=∠CEB,∴CE=BC=5,∴AC=AE+CE=3+5=8,∴AO=AC=4.18.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC且AD=BC,∵BE=CF,∴BC=EF,∴AD=EF,∵AD∥EF,∴四边形AEFD是平行四边形,∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°,∴四边形AEFD是矩形;(2)解:∵四边形ABCD是菱形,AB=13,∴BC=AB=13,AC⊥BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD,∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∴OE=AC=OA=2,AC=2OE=4,∴OB===3,∴BD=2OB=6,∵菱形ABCD的面积=BD×AC=BC×AE,即×6×4=13×AE,解得:AE=12.。
苏科版数学八年级下册第九章 9.4 矩形、菱形、正方形(选择、填空题)专练(详细答案)
9.4 矩形、菱形、正方形(选择、填空题)一.选择题1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对边相等B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直2.如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH等于()A.B.C.5 D.43.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),D 是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为()A.(3,1)B.(3,)C.(3,)D.(3,2)4.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为()A.B.C.D.5.如图,矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上,且a∥b,∠1=60°,则∠2的度数为()A.30°B.45°C.60°D.75°6.如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是()A .4.8B .5C .6D .7.27.如图,矩形ABCD 与菱形EFGH 的对角线均交于点O ,且EG ∥BC ,将矩形折叠,使点C 与点O 重合,折痕MN 恰好过点G 若AB=,EF=2,∠H=120°,则DN 的长为( ) A .B .C .﹣D .2﹣8.如图,矩形ABCD 中,O 为AC 中点,过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ,连结BF 交AC 于点M ,连结DE 、BO .若∠COB=60°,FO=FC ,则下列结论:①FB 垂直平分OC ;②△EOB ≌△CMB ;③DE=EF ;④S △AOE :S △BCM =2:3.其中正确结论的个数是( )A .4个B .3个C .2个D .1个9.如图,在矩形ABCD 中,AD=6,AE ⊥BD ,垂足为E ,ED=3BE ,点P 、Q 分别在BD ,AD 上,则AP +PQ 的最小值为( ) A .2B .C .2D .310.有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S 1,S 2,则S 1:S 2等于( )A .1:B .1:2C .2:3D .4:911.如图,正方形ABCD 的边长为9,将正方形折叠,使顶点D 落在BC 边上的点E 处,折痕为GH .若BE :EC=2:1,则线段CH 的长是( ) A .3B .4C .5D .612.如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是()A.1或9 B.3或5 C.4或6 D.3或613.如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD 上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有()A.2对B.3对C.4对D.5对14.如图,有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG,其中E点在AD上.若∠ECD=35°,∠AEF=15°,则∠B的度数为何?()A.50 B.55 C.70 D.7515.如图,面积为24的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中E、F、G 分别在AB、BC、FD上.若BF=,则小正方形的周长为()A.B.C.D.16.如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论:=13S ①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若=,则3S△EDH,其中结论正确的有()△DHCA.1个 B.2个 C.3个 D.4个二.填空题17.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE=.18.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E为AD的中点,若OE=3,则菱形ABCD的周长为.19.如图,已知菱形ABCD的边长2,∠A=60°,点E、F分别在边AB、AD上,若将△AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则EF=.20.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,点E、F分别在边AB、BC上,△BEF 与△GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,且点G在边AD上.若EG⊥AC,AB=6,则FG的长为.21.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连结AE,如果∠ADB=30°,则∠E=度.22.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE=度.23.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边CD、BC上,且DC=3DE=3a.将矩形沿直线EF折叠,使点C恰好落在AD边上的点P处,则FP=.24.如图,正方形ABCD的边长为2,对角线AC、BD相交于点O,E是OC 的中点,连接BE,过点A作AM⊥BE于点M,交BD于点F,则FM的长为.25.如图,菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2,则菱形的边长为cm.26.如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上,以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2,再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3,以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是.27.如图,在平面内,四边形ABCD和BEFG均为正方形,则AG:DF:CE=.28.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,M为斜边AB上一动点,过M作MD⊥AC,过M作ME⊥CB于点E,则线段DE的最小值为.29.如图,正方形ABCD边长为3,连接AC,AE平分∠CAD,交BC的延长线于点E,FA⊥AE,交CB延长线于点F,则EF的长为.30.如图,在正方形ABCD中,点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,F,Q都在对角线BD上,且四边形MNPQ和AEFG均为正方形,则的值等于.答案与解析一.选择题1.(2016•莆田)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对边相等B.对角相等C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直【分析】由菱形的性质可得:菱形的对角线互相平分且垂直;而平行四边形的对角线互相平分;则可求得答案.【解答】解:∵菱形具有的性质:对边相等,对角相等,对角线互相平分,对角线互相垂直;平行四边形具有的性质:对边相等,对角相等,对角线互相平分;∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是:对角线互相垂直.故选D.【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质.注意菱形的对角线互相平分且垂直.2.(2016•枣庄)如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH等于()A.B.C.5 D.4【分析】根据菱形性质求出AO=4,OB=3,∠AOB=90°,根据勾股定理求出AB,再根据菱形的面积公式求出即可.【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∴AO=OC,BO=OD,AC⊥BD,∵AC=8,DB=6,∴AO=4,OB=3,∠AOB=90°,由勾股定理得:AB==5,=,∵S菱形ABCD∴,∴DH=,故选A.【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用,能根据菱形的性质得出S菱=是解此题的关键.形ABCD3.(2016•苏州)矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为()A.(3,1)B.(3,)C.(3,)D.(3,2)【分析】如图,作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小,先求出直线CH解析式,再求出直线CH与AB的交点即可解决问题.【解答】解:如图,作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.∵D(,0),A(3,0),∴H(,0),∴直线CH解析式为y=﹣x+4,∴x=3时,y=,∴点E坐标(3,)故选:B.【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识,解题的关键是利用轴对称找到点E位置,学会利用一次函数解决交点问题,属于中考常考题型.4.(2016•威海)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为()A.B.C.D.【分析】连接BF,根据三角形的面积公式求出BH,得到BF,根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°,根据勾股定理求出答案.【解答】解:连接BF,∵BC=6,点E为BC的中点,∴BE=3,又∵AB=4,∴AE==5,∴BH=,则BF=,∵FE=BE=EC,∴∠BFC=90°,∴CF==.故选:D.【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质,掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等是解题的关键.5.(2016•海南)如图,矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上,且a∥b,∠1=60°,则∠2的度数为()A.30°B.45°C.60°D.75°【分析】首先过点D作DE∥a,由∠1=60°,可求得∠3的度数,易得∠ADC=∠2+∠3,继而求得答案.【解答】解:过点D作DE∥a,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ADC=90°,∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°,∵a∥b,∴DE∥a∥b,∴∠4=∠3=30°,∠2=∠5,∴∠2=90°﹣30°=60°.故选C.【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.6.(2016•宜宾)如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是()A.4.8 B.5 C.6 D.7.2【分析】首先连接OP,由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8,可求得OA=OD=5,=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF求得答案.△AOD的面积,然后由S△AOD【解答】解:连接OP,∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8,=AB•BC=48,OA=OC,OB=OD,AC=BD=10,∴S矩形ABCD∴OA=OD=5,=S矩形ABCD=24,∴S△ACD=S△ACD=12,∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=×5×PE+×5×PF=(PE+PF)=12,∵S△AOD解得:PE+PF=4.8.故选:A.【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键.7.(2016•资阳)如图,矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O,且EG∥BC,将矩形折叠,使点C与点O重合,折痕MN恰好过点G若AB=,EF=2,∠H=120°,则DN的长为()A.B. C.﹣D.2﹣【分析】延长EG交DC于P点,连接GC、FH,则△GCP为直角三角形,证明四边形OGCM为菱形,则可证CG=OM=CM=OG=,由勾股定理求得GP的值,再由梯形的中位线定理CM+DN=2GP,即可得出答案.【解答】解:延长EG交DC于P点,连接GC、FH;如图所示:则CP=DP=CD=,△GCP为直角三角形,∵四边形EFGH是菱形,∠EHG=120°,∴GH=EF=2,∠OHG=60°,EG⊥FH,∴OG=GH•sin60°=2×=,由折叠的性质得:CG=OG=,OM=CM,∠MOG=∠MCG,∴PG==,∵OG∥CM,∴∠MOG+∠OMC=180°,∴∠MCG+∠OMC=180°,∴OM∥CG,∴四边形OGCM为平行四边形,∵OM=CM,∴四边形OGCM为菱形,∴CM=OG=,根据题意得:PG 是梯形MCDN 的中位线,∴DN +CM=2PG=,∴DN=﹣; 故选:C .【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中位线定理、三角函数等知识;熟练掌握菱形和矩形的性质,由梯形中位线定理得出结果是解决问题的关键.8.(2016•眉山)如图,矩形ABCD 中,O 为AC 中点,过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ,连结BF 交AC 于点M ,连结DE 、BO .若∠COB=60°,FO=FC ,则下列结论:①FB 垂直平分OC ;②△EOB ≌△CMB ;③DE=EF ;④S △AOE :S △BCM =2:3.其中正确结论的个数是( )A .4个B .3个C .2个D .1个【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论;②在△EOB 和△CMB 中,对应直角边不相等;③可证明∠CDE=∠DFE ;④可通过面积转化进行解答.【解答】解:①∵矩形ABCD 中,O 为AC 中点,∴OB=OC ,∵∠COB=60°,∴△OBC 是等边三角形,∴OB=BC,∵FO=FC,∴FB垂直平分OC,故①正确;②∵△BOC为等边三角形,FO=FC,∴BO⊥EF,BF⊥OC,∴∠CMB=∠EOB=90°,但BO≠BM,故②错误;③易知△ADE≌△CBF,∠1=∠2=∠3=30°,∴∠ADE=∠CBF=30°,∠BEO=60°,∴∠CDE=60°,∠DFE=∠BEO=60°,∴∠CDE=∠DFE,∴DE=EF,故③正确;④易知△AOE≌△COF,∴S△AOE=S△COF,∵S△COF=2S△CMF,∴S△AOE :S△BCM=2S△CMF:S△BCM=,∵∠FCO=30°,∴FM=,BM=CM,∴=,∴S△AOE :S△BCM=2:3,故④正确;所以其中正确结论的个数为3个;故选B【点评】本题综合性比较强,既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质,又考查了全等三角形的性质和判定,及线段垂直平分线的性质,内容虽多,但不复杂;看似一个选择题,其实相当于四个证明题,属于常考题型.9.(2016•雅安)如图,在矩形ABCD中,AD=6,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE,点P、Q分别在BD,AD上,则AP+PQ的最小值为()A.2B.C.2D.3【分析】在Rt△ABE中,利用三角形相似可求得AE、DE的长,设A点关于BD 的对称点A′,连接A′D,可证明△ADA′为等边三角形,当PQ⊥AD时,则PQ最小,所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小,从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长,可得出答案..【解答】解:设BE=x,则DE=3x,∵四边形ABCD为矩形,且AE⊥BD,∴△ABE∽△DAE,∴AE2=BE•DE,即AE2=3x2,∴AE=x,在Rt△ADE中,由勾股定理可得AD2=AE2+DE2,即62=(x)2+(3x)2,解得x=,∴AE=3,DE=3,如图,设A点关于BD的对称点为A′,连接A′D,PA′,则A′A=2AE=6=AD,AD=A′D=6,∴△AA′D是等边三角形,∵PA=PA′,∴当A′、P、Q三点在一条线上时,A′P+PQ最小,又垂线段最短可知当PQ⊥AD时,A′P+PQ最小,∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3,故选D.【点评】本题主要考查轴对称的应用,利用最小值的常规解法确定出A的对称点,从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键,利用条件证明△A′DA是等边三角形,借助几何图形的性质可以减少复杂的计算.10.(2016•南宁)有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S1,S2,则S1:S2等于()A.1:B.1:2 C.2:3 D.4:9【分析】设小正方形的边长为x,再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系,然后进行计算即可得出答案.【解答】解:设小正方形的边长为x,根据图形可得:∵=,∴=,∴=,∴S1=S正方形ABCD,∴S1=x2,∵=,∴=,∴S2=S正方形ABCD,∴S2=x2,∴S1:S2=x2:x2=4:9;故选D.【点评】此题考查了正方形的性质,用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式,关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系.11.(2016•毕节市)如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D 落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE:EC=2:1,则线段CH的长是()A.3 B.4 C.5 D.6【分析】根据折叠可得DH=EH,在直角△CEH中,设CH=x,则DH=EH=9﹣x,根据BE:EC=2:1可得CE=3,可以根据勾股定理列出方程,从而解出CH的长.【解答】解:设CH=x,则DH=EH=9﹣x,∵BE:EC=2:1,BC=9,∴CE=BC=3,∴在Rt△ECH中,EH2=EC2+CH2,即(9﹣x)2=32+x2,解得:x=4,即CH=4.故选(B).【点评】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换,折叠问题其实质是轴对称变换.在直角三角形中,利用勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键.12.(2016•徐州)如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是()A.1或9 B.3或5 C.4或6 D.3或6【分析】根据题意列方程,即可得到结论.【解答】解:如图,∵若直线AB将它分成面积相等的两部分,∴(6+9+x)×9﹣x•(9﹣x)=×(62+92+x2)﹣6×3,解得x=3,或x=6,故选D.【点评】本题考查了正方形的性质,图形的面积的计算,准确分识别图形是解题的关键.13.(2016•陕西)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对【分析】可以判断△ABD≌△BCD,△MDO≌△M′BO,△NOD≌△N′OB,△MON ≌△M′ON′.由此即可得出答案.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD=CB=AD,∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°,AD∥BC,在△ABD和△BCD中,,∴△ABD≌△BCD,∵AD∥BC,∴∠MDO=∠M′BO,在△MOD和△M′OB中,,∴△MDO≌△M′BO,同理可证△NOD≌△N′OB,∴△MON≌△M′ON′,∴全等三角形一共有4对.故选C.【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法,属于基础题,中考常考题型.14.(2016•台湾)如图,有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG,其中E点在AD上.若∠ECD=35°,∠AEF=15°,则∠B的度数为何?()A.50 B.55 C.70 D.75【分析】由平角的定义求出∠CED的度数,由三角形内角和定理求出∠D的度数,再由平行四边形的对角相等即可得出结果.【解答】解:∵四边形CEFG是正方形,∴∠CEF=90°,∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°,∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°,∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠B=∠D=70°(平行四边形对角相等).故选C.【点评】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识;熟练掌握平行四边形和正方形的性质,由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键.15.(2016•呼和浩特)如图,面积为24的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中E、F、G分别在AB、BC、FD上.若BF=,则小正方形的周长为()A.B.C.D.【分析】先利用勾股定理求出DF,再根据△BEF∽△CFD,得=求出EF即可解决问题.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,面积为24,∴BC=CD=2,∠B=∠C=90°,∵四边形EFGH是正方形,∴∠EFG=90°,∵∠EFB+∠DFC=90°,∠BEF+∠EFB=90°,∴∠BEF=∠DFC,∵∠EBF=∠C=90°,∴△BEF∽△CFD,∴=,∵BF=,CF=,DF==,∴=,∴EF=,∴正方形EFGH的周长为.故选C.【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形,利用相似三角形的性质解决问题,属于中考常考题型.16.(2016•昆明)如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论:=13S ①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若=,则3S△EDH,其中结论正确的有()△DHCA.1个 B.2个 C.3个 D.4个【分析】①根据题意可知∠ACD=45°,则GF=FC,则EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF;②由SAS证明△EHF≌△DHC,得到∠HEF=∠HDC,从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°;③同②证明△EHF≌△DHC即可;④若=,则AE=2BE,可以证明△EGH≌△DFH,则∠EHG=∠DHF且EH=DH,则∠DHE=90°,△EHD为等腰直角三角形,过H点作HM垂直于CD于M点,设HM=x,则DM=5x,DH=x,CD=6x,则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2.【解答】解:①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD,∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°,∴△CFG为等腰直角三角形,∴GF=FC,∵EG=EF﹣GF,DF=CD﹣FC,∴EG=DF,故①正确;②∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD,在△EHF和△DHC中,,∴△EHF≌△DHC(SAS),∴∠HEF=∠HDC,∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°,故②正确;③∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD,在△EHF和△DHC中,,∴△EHF≌△DHC(SAS),故③正确;④∵=,∴AE=2BE,∵△CFG为等腰直角三角形,H为CG的中点,∴FH=GH,∠FHG=90°,∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD,在△EGH和△DFH中,,∴△EGH≌△DFH(SAS),∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,∴△EHD为等腰直角三角形,过H点作HM垂直于CD于M点,如图所示:设HM=x,则DM=5x,DH=x,CD=6x,=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2,则S△DHC=13S△DHC,故④正确;∴3S△EDH故选:D.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.二.填空题(共14小题)17.(2016•内江)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE=.【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD,OB=OD=BD=3,OA=OC=AC=4,再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5,然后利用面积法计算OE的长.【解答】解:∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,OB=OD=BD=3,OA=OC=AC=4,在Rt△OBC中,∵OB=3,OC=4,∴BC==5,∵OE⊥BC,∴OE•BC=OB•OC,∴OE==.故答案为.【点评】本题考查了菱形的性质:菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.也考查了勾股定理和三角形面积公式.18.(2016•扬州)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E为AD的中点,若OE=3,则菱形ABCD的周长为24.【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD,AB=BC=CD=DA,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长,结合菱形的周长公式即可得出结论.【解答】解:∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,AB=BC=CD=DA,∴△AOD为直角三角形.∵OE=3,且点E为线段AD的中点,∴AD=2OE=6.C菱形ABCD=4AD=4×6=24.故答案为:24.【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质,解题的关键是求出AD=6.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据菱形的性质找出对角线互相垂直,再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键.19.(2016•盐城)如图,已知菱形ABCD的边长2,∠A=60°,点E、F分别在边AB、AD上,若将△AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则EF=.【分析】延长CD,过点F作FM⊥CD于点M,连接GB、BD,作FH⊥AE交于点H,由菱形的性质和已知条件得出∠MFD=30°,设MD=x,则DF=2x,FM=x,得出MG=x+1,由勾股定理得出(x+1)2+(x)2=(2﹣2x)2,解方程得出DF=0.6,AF=1.4,求出AH=AF=0.7,FH=,证明△DCB是等边三角形,得出BG⊥CD,由勾股定理求出BG=,设BE=y,则GE=2﹣y,由勾股定理得出()2+y2=(2﹣y)2,解方程求出y=0.25,得出AE、EH,再由勾股定理求出EF即可.【解答】解:延长CD,过点F作FM⊥CD于点M,连接GB、BD,作FH⊥AE交于点H,如图所示:∵∠A=60°,四边形ABCD是菱形,∴∠MDF=60°,∴∠MFD=30°,设MD=x,则DF=2x,FM=x,∵DG=1,∴MG=x+1,∴(x+1)2+(x)2=(2﹣2x)2,解得:x=0.3,∴DF=0.6,AF=1.4,∴AH=AF=0.7,FH=AF•sin∠A=1.4×=,∵CD=BC,∠C=60°,∴△DCB是等边三角形,∵G是CD的中点,∴BG⊥CD,∵BC=2,GC=1,∴BG=,设BE=y,则GE=2﹣y,∴()2+y2=(2﹣y)2,解得:y=0.25,∴AE=1.75,∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05,∴EF===.故答案为:.【点评】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,难度较大,运用勾股定理得出方程是解决问题的关键.20.(2016•哈尔滨)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,点E、F分别在边AB、BC上,△BEF与△GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,且点G在边AD上.若EG⊥AC,AB=6,则FG的长为3.【分析】首先证明△ABC,△ADC都是等边三角形,再证明FG是菱形的高,根=BC•FG即可解决问题.据2•S△ABC【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴AB=BC=CD=AD,∠CAB=∠CAD=60°,∴△ABC,△ACD是等边三角形,∵EG⊥AC,∴∠AEG=∠AGE=30°,∵∠B=∠EGF=60°,∴∠AGF=90°,∴FG⊥BC,=BC•FG,∴2•S△ABC∴2××(6)2=6•FG,∴FG=3.故答案为3.【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、翻折变换、菱形的面积等知识,记住菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半,属于中考常考题型.21.(2016•巴中)如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连结AE,如果∠ADB=30°,则∠E=15度.【分析】连接AC,由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE,知∠E=∠CAE,而∠ADB=∠CAD=30°,可得∠E度数.【解答】解:连接AC,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BE,AC=BD,且∠ADB=∠CAD=30°,∴∠E=∠DAE,又∵BD=CE,∴CE=CA,∴∠E=∠CAE,∵∠CAD=∠CAE+∠DAE,∴∠E+∠E=30°,即∠E=15°,故答案为:15.【点评】本题主要考查矩形性质,熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键.22.(2016•包头)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE=22.5度.【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形,求出∠OAB,∠OAE即可.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OA=OC,OB=OD,∴OA=OB═OC,∴∠OAD=∠ODA,∠OAB=∠OBA,∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD,∵∠EAC=2∠CAD,∴∠EAO=∠AOE,∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°,∴∠AOE=45°,∴∠OAB=∠OBA==67.5°,∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°.故答案为22.5°.【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口,属于中考常考题型.23.(2016•黄冈)如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边CD、BC上,且DC=3DE=3a.将矩形沿直线EF折叠,使点C恰好落在AD边上的点P处,则FP= 2a.【分析】作FM⊥AD于M,则MF=DC=3a,由矩形的性质得出∠C=∠D=90°.由折叠的性质得出PE=CE=2a=2DE,∠EPF=∠C=90°,求出∠DPE=30°,得出∠MPF=60°,在Rt△MPF中,由三角函数求出FP即可.【解答】解:作FM⊥AD于M,如图所示:则MF=DC=3a,∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°.∵DC=3DE=3a,∴CE=2a,由折叠的性质得:PE=CE=2a=2DE,∠EPF=∠C=90°,∴∠DPE=30°,∴∠MPF=180°﹣90°﹣30°=60°,在Rt△MPF中,∵sin∠MPF=,∴FP===2a;故答案为:2a.【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角函数等知识;熟练掌握折叠和矩形的性质,求出∠DPE=30°是解决问题的关键.24.(2016•湖北襄阳)如图,正方形ABCD的边长为2,对角线AC、BD相交于点O,E是OC的中点,连接BE,过点A作AM⊥BE于点M,交BD于点F,则FM的长为.【分析】先根据ASA判定△AFO≌△BEO,并根据勾股定理求得BE的长,再判定△BFM∽△BEO,最后根据对应边成比例,列出比例式求解即可.【解答】解:∵正方形ABCD∴AO=BO,∠AOF=∠BOE=90°∵AM⊥BE,∠AFO=∠BFM∴∠FAO=∠EBO在△AFO和△BEO中∴△AFO≌△BEO(ASA)∴FO=EO∵正方形ABCD的边长为2,E是OC的中点∴FO=EO=1=BF,BO=2∴直角三角形BOE中,BE==由∠FBM=∠EBO,∠FMB=∠EOB,可得△BFM∽△BEO∴,即∴FM=故答案为:【点评】本题主要考查了正方形,解决问题的关键的掌握全等三角形和相似三角形的判定与性质.解题时注意:正方形的对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.25.(2016•南京)如图,菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2,则菱形的边长为13cm.【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可.【解答】解:因为正方形AECF的面积为50cm2,所以AC=cm,因为菱形ABCD的面积为120cm2,所以BD=cm,所以菱形的边长=cm.故答案为:13.【点评】此题考查正方形的性质,关键是根据正方形和菱形的面积进行解答.26.(2016•聊城)如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上,以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2,再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3,以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是(21008,0).【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标,找出这些坐标的之间的规律,然后根据规律计算出点B2016的坐标.【解答】解:∵正方形OA1B1C1边长为1,∴OB1=,∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边,∴OB2=2,∴B2点坐标为(0,2),同理可知OB3=2,∴B3点坐标为(﹣2,2),同理可知OB4=4,B4点坐标为(﹣4,0),B5点坐标为(﹣4,﹣4),B6点坐标为(0,﹣8),B7(8,﹣8),B8(16,0)B9(16,16),B10(0,32),由规律可以发现,每经过8次作图后,点的坐标符号与第一次坐标符号相同,每次正方形的边长变为原来的倍,∵2016÷8=252∴B2016的纵横坐标符号与点B8的相同,横坐标为正值,纵坐标是0,∴B2016的坐标为(21008,0).故答案为:(21008,0).【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点,解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后,点的坐标符号与第一次坐标符号相同,每次正方形的边长变为原来的倍.27.(2016•安徽自主招生)如图,在平面内,四边形ABCD和BEFG均为正方形,则AG:DF:CE=1::1.【分析】连接BD、BF,可证明△ABG∽△DBF,可求得AG:DF,连接CE,可证明△ABG≌△CBE,可求得AG=CE,可求得答案.【解答】解:连接BD、BF和CE,∵四边形ABCD和BEFG均为正方形,∴==,且∠ABD=∠GBF=45°,∴∠ABG+∠GBD=∠GBD+∠DBF,∴∠ABG=∠GBD,∴△ABG∽△DBF,∴,又∴AB=BC,BG=BE,∠ABC=∠GBE=90°,∴∠AGB+∠GBC=∠GBC+∠CBE,∴∠AGB=∠CBE,在△ABG和△CBE中∴△ABG≌△CBE(SAS),∴AG=CE,∴AG:CE=1:1,∴AG:DF:CE=1::1,故答案为:1::1.【点评】本题主要考查相似三角形和全等三角形的判定和性质,构造全等或相似三角形是解题的关键.28.(2016•湖北校级自主招生)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,M为斜边AB上一动点,过M作MD⊥AC,过M作ME⊥CB于点E,则线段DE 的最小值为.【分析】连接CM,先证明四边形CDME是矩形,得出DE=CM,再由三角形的面积关系求出CM的最小值,即可得出结果.【解答】解:连接CM,如图所示:∵MD⊥AC,ME⊥CB,∴∠MDC=∠MEC=90°,∵∠C=90°,∴四边形CDME是矩形,∴DE=CM,∵∠C=90°,BC=3,AC=4,∴AB===5,当CM⊥AB时,CM最短,此时△ABC的面积=AB•CM=BC•AC,∴CM的最小值==,∴线段DE的最小值为;故答案为:.【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法;熟练掌握矩形的判定与性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.29.(2016•丹东)如图,正方形ABCD边长为3,连接AC,AE平分∠CAD,交BC的延长线于点E,FA⊥AE,交CB延长线于点F,则EF的长为6.【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长,由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E,易得CE=CA,由FA⊥AE,可得∠FAC=∠F,易得CF=AC,可得EF的长.【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,且边长为3,∴AC=3,∵AE平分∠CAD,∴∠CAE=∠DAE,∵AD∥CE,∴∠DAE=∠E,∴∠CAE=∠E,∴CE=CA=3,∵FA⊥AE,∴∠FAC+∠CAE=90°,∠F+∠E=90°,∴∠FAC=∠F,∴CF=AC=3,∴EF=CF+CE=3=6,故答案为:6.【点评】本题主要考查了正方形的性质,角平分线的性质等,利用等角对等边是解答此题的关键.30.(2016•天津)如图,在正方形ABCD中,点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,F,Q都在对角线BD上,且四边形MNPQ和AEFG均为正方形,则的值等于.【分析】根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°,四边形MNPQ和AEFG均为正方形,推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形,于是得到FE=BE=AE=AB,BM=MN=QM,同理DQ=MQ,即可得到结论.【解答】解:在正方形ABCD中,∵∠ABD=∠CBD=45°,∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形,∴∠BEF=∠AEF=90°,∠BMN=∠QMN=90°,∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形,∴FE=BE=AE=AB,BM=MN=QM。
苏科版数学八年级下册第九章 9.4 矩形、菱形、正方形(解答题)专练(详细答案)
9.4 矩形、菱形、正方形(解答题)1.如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB=4,点E、F分别是BC、AD的中点.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)当四边形AECF为菱形时,求出该菱形的面积.2.如图,四边形ABCD是菱形,CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD交AD 的延长线于点F,求证:DF=BE.3.如图,将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开,得到△ACD,再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置,若平移开始后点D′未到达点B时,A′C′交CD于E,D′C′交CB于点F,连接EF,当四边形EDD′F为菱形时,试探究△A′DE的形状,并判断△A′DE与△EFC′是否全等?请说明理由.4.已知:如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为边CD、AD的中点,连接AE,CF,求证:△ADE≌△CDF.5.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.6.如图,把△EFP放置在菱形ABCD中,使得顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,已知EP=FP=6,EF=6,∠BAD=60°,且AB>6.(1)求∠EPF的大小;(2)若AP=10,求AE+AF的值;(3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值.7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AC,AB的中点,BF∥CE交DE 的延长线于点F.(1)求证:四边形ECBF是平行四边形;(2)当∠A=30°时,求证:四边形ECBF是菱形.8.如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C,BD平分∠ABF,且交AE于点D,AC与BD相交于点O,连接CD(1)求∠AOD的度数;(2)求证:四边形ABCD是菱形.9.如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.求证:(1)∠CEB=∠CBE;(2)四边形BCED是菱形.10.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的中点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC.求证:四边形ADCF是菱形.11.如图,在四边形ABCF中,∠ACB=90°,点E是AB边的中点,点F恰是点E 关于AC所在直线的对称点.(1)证明:四边形CFAE为菱形;(2)连接EF交AC于点O,若BC=10,求线段OF的长.12.如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于一点P,连接AP并延长交BC于点E,连接EF.(1)四边形ABEF是;(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(直接填写结果)(2)AE,BF相交于点O,若四边形ABEF的周长为40,BF=10,则AE的长为,∠ABC=°.(直接填写结果)13.如图,AC是矩形ABCD的对角线,过AC的中点O作EF⊥AC,交BC于点E,交AD于点F,连接AE,CF.(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)若AB=,∠DCF=30°,求四边形AECF的面积.(结果保留根号)14.如图,已知BD是矩形ABCD的对角线.(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD、BC于E、F(保留作图痕迹,不写作法和证明).(2)连结BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形?请说明理由.15.如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积.16.如图,矩形ABCD中,延长AB至E,延长CD至F,BE=DF,连接EF,与BC、AD分别相交于P、Q两点.(1)求证:CP=AQ;(2)若BP=1,PQ=2,∠AEF=45°,求矩形ABCD的面积.17.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AB=AO,求∠ABD的度数.18.已知:如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,点F在边BC上,且BE=CF,EF⊥DF,求证:BF=CD.19.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时,求DM的长;(2)连接BN,当DM=1时,求△ABN的面积;(3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.20.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC,AE∥BD.求证:四边形AODE是矩形.21.如图,将平行四边形ABCD的边AB延长到点E,使BE=AB,连接DE,交边BC于点F.(1)求证:△BEF≌△CDF;(2)连接BD、CE,若∠BFD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形.22.阅读下面材料:在数学课上,老师请同学思考如下问题:如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?小敏在思考问题是,有如下思路:连接AC.结合小敏的思路作答(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由;参考小敏思考问题方法解决一下问题:(2)如图2,在(1)的条件下,若连接AC,BD.①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形,写出结论并证明;②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,直接写出结论.23.如图,点P在矩形ABCD的对角线AC上,且不与点A,C重合,过点P分别作边AB,AD的平行线,交两组对边于点E,F和G,H.(1)求证:△PHC≌△CFP;(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形,并直接写出它们面积之间的关系.24.已知,如图,正方形ABCD中,E为BC边上一点,F为BA延长线上一点,且CE=AF.连接DE、DF.求证:DE=DF.25.如图,在正方形ABCD中,点E(与点B、C不重合)是BC边上一点,将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF,过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G,连接CF.(1)求证:△ABE≌△EGF;=2S△ECF,求BE.(2)若AB=2,S△ABE26.已知:如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ 于点P.(1)求证:AP=BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.27.在平面直角坐标系中,点O为原点,点A的坐标为(﹣6,0).如图1,正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上,点C在第二象限.现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG.(1)如图2,若α=60°,OE=OA,求直线EF的函数表达式.(2)若α为锐角,tanα=,当AE取得最小值时,求正方形OEFG的面积.(3)当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时,直线AE与直线FG相交于点P,△OEP的其中两边之比能否为:1?若能,求点P的坐标;若不能,试说明理由28.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.(1)已知EO=,求正方形ABCD的边长;(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.29.如图,四边形ABCD是正方形,点E是BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证:AE=EF.30.如图,在正方形ABCD中,E是边AB的中点,F是边BC的中点,连结CE、DF.求证:CE=DF.答案与解析1.(2016•安顺)如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB=4,点E、F分别是BC、AD的中点.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)当四边形AECF为菱形时,求出该菱形的面积.【分析】第(1)问要证明三角形全等,由平行四边形的性质,很容易用SAS证全等.第(2)要求菱形的面积,在第(1)问的基础上很快知道△ABE为等边三角形.这样菱形的高就可求了,用面积公式可求得.【解答】(1)证明:∵在▱ABCD中,AB=CD,∴BC=AD,∠ABC=∠CDA.又∵BE=EC=BC,AF=DF=AD,∴BE=DF.∴△ABE≌△CDF.(2)解:∵四边形AECF为菱形,∴AE=EC.又∵点E是边BC的中点,∴BE=EC,即BE=AE.又BC=2AB=4,∴AB=BC=BE,∴AB=BE=AE,即△ABE为等边三角形,▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=,∴菱形AECF的面积为2.【点评】考查了全等三角形,四边形的知识以及逻辑推理能力.(1)用SAS证全等;(2)若四边形AECF为菱形,则AE=EC=BE=AB,所以△ABE为等边三角形.2.(2016•广安)如图,四边形ABCD是菱形,CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,求证:DF=BE.【分析】连接AC,根据菱形的性质可得AC平分∠DAE,CD=BC,再根据角平分线的性质可得CE=FC,然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE,即可得出DF=BE.【解答】证明:连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AC平分∠DAE,CD=BC,∵CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE=FC,∠CFD=∠CEB=90°.在Rt△CDF与Rt△CBE中,,∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL),∴DF=BE.【点评】此题考查了菱形的性质,角平分线的性质,关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.同时考查了全等三角形的判定与性质.3.(2016•荆州)如图,将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开,得到△ACD,再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置,若平移开始后点D′未到达点B时,A′C′交CD于E,D′C′交CB于点F,连接EF,当四边形EDD′F为菱形时,试探究△A′DE的形状,并判断△A′DE与△EFC′是否全等?请说明理由.【分析】当四边形EDD′F为菱形时,△A′DE是等腰三角形,△A′DE≌△EFC′.先证明CD=DA=DB,得到∠DAC=∠DCA,由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状.由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D,∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE,再根据A′D=DE=EF即可证明.【解答】解:当四边形EDD′F为菱形时,△A′DE是等腰三角形,△A′DE≌△EFC′.理由:∵△BCA是直角三角形,∠ACB=90°,AD=DB,∴CD=DA=DB,∴∠DAC=∠DCA,∵A′C′∥AC,∴∠DA′E=∠A,∠DEA′=∠DCA,∴∠DA′E=∠DEA′,∴DA′=DE,∴△A′DE是等腰三角形.∵四边形DEFD′是菱形,∴EF=DE=DA′,EF∥DD′,∴∠C′EF=∠DA′E,∠EFC′=∠C′D′A′,∵CD∥C′D′,∴∠A′DE=∠A′D′C′=∠EFC′,在△A′DE和△EFC′中,,∴△A′DE≌△EFC′.【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,属于中考常考题型.4.(2016•淮安)已知:如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为边CD、AD的中点,连接AE,CF,求证:△ADE≌△CDF.【分析】由菱形的性质得出AD=CD,由中点的定义证出DE=DF,由SAS证明△ADE ≌△CDF即可.【解答】证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,∵点E、F分别为边CD、AD的中点,∴AD=2DF,CD=2DE,∴DE=DF,在△ADE和△CDF中,,∴△ADE≌△CDF(SAS).【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质;熟练掌握菱形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.5.(2016•苏州)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D 作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.【分析】(1)根据平行四边形的判定证明即可;(2)利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AC⊥BD,∴AE∥CD,∠AOB=90°,∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,∴∠AOB=∠EDB,∴DE∥AC,∴四边形ACDE是平行四边形;(2)解:∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,∴AO=4,DO=3,AD=CD=5,∵四边形ACDE是平行四边形,∴AE=CD=5,DE=AC=8,∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.【点评】此题考查平行四边形的性质和判定问题,关键是根据平行四边形的判定解答即可.6.(2016•枣庄)如图,把△EFP放置在菱形ABCD中,使得顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,已知EP=FP=6,EF=6,∠BAD=60°,且AB>6.(1)求∠EPF的大小;(2)若AP=10,求AE+AF的值;(3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动,请直接写出AP长的最大值和最小值.【分析】(1)根据锐角三角函数求出∠FPG,最后求出∠EPF.(2)先判断出Rt△PME≌Rt△PNF,再根据锐角三角函数求解即可,(3)根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值.【解答】解:(1)过点P作PG⊥EF于点G,如图1所示.∵PE=PF=6,EF=6,∴FG=EG=3,∠FPG=∠EPG=∠EPF.在Rt△FPG中,sin∠FPG===,∴∠FPG=60°,∴∠EPF=120°.(2)过点P作PM⊥AB于点M,作PN⊥AD于点N,如图2所示.∵AC为菱形ABCD的对角线,∴∠DAC=∠BAC,AM=AN,PM=PN.在Rt△PME和Rt△PNF中,PM=PN,PE=PF,∴Rt△PME≌Rt△PNF,∴ME=NF.又AP=10,∠PAM=∠DAB=30°,∴AM=AN=APcos30°=10×=5,∴AE+AF=(AM+ME)+(AN﹣NF)=AM+AN=10.(3)如图,当△EFP的三个顶点分别在AB,AD,AC上运动,点P在P′,P之间运动,∴P′O=PO=3,AO=9,∴AP的最大值为12,AP的最小值为6,【点评】此题是菱形的性质题,主要考查了菱形的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数,解本题的关键是作出辅助线.7.(2016•三明)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AC,AB的中点,BF∥CE交DE的延长线于点F.(1)求证:四边形ECBF是平行四边形;(2)当∠A=30°时,求证:四边形ECBF是菱形.【分析】(1)利用平行四边形的判定证明即可;(2)利用菱形的判定证明即可.【解答】证明:(1)∵D,E分别为边AC,AB的中点,∴DE∥BC,即EF∥BC.又∵BF∥CE,∴四边形ECBF是平行四边形.(2)∵∠ACB=90°,∠A=30°,E为AB的中点,∴CB=AB,CE=AB.∴CB=CE.又由(1)知,四边形ECBF是平行四边形,∴四边形ECBF是菱形.【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质,利用平行四边形的判定以及菱形的判定是解题关键.8.(2016•抚顺)如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C,BD平分∠ABF,且交AE于点D,AC与BD相交于点O,连接CD(1)求∠AOD的度数;(2)求证:四边形ABCD是菱形.【分析】(1)首先根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,然后根据平行线的性质得到∠DAB+∠CBA=180°,从而得到∠BAC+∠ABD=(∠DAB+∠ABC)=×180°=90°,得到答案∠AOD=90°;(2)根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠BCA,根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,求出∠BAC=∠ACB,∠ABD=∠ADB,根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD,根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形,即可得出答案.【解答】解:(1)∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线,∴∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,∵AE∥BF,∴∠DAB+∠CBA,=180°,∴∠BAC+∠ABD=(∠DAB+∠ABC)=×180°=90°,∴∠AOD=90°;(2)证明:∵AE∥BF,∴∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠BCA,∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线,∴∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,∴∠BAC=∠ACB,∠ABD=∠ADB,∴AB=BC,AB=AD∴AD=BC,∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AD=AB,∴四边形ABCD是菱形.【点评】本题考查了等腰三角形的性质,平行四边形的判定,菱形的判定的应用,能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键.9.(2016•沈阳)如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.求证:(1)∠CEB=∠CBE;(2)四边形BCED是菱形.【分析】(1)欲证明∠CEB=∠CBE,只要证明∠CEB=∠ABD,∠CBE=∠ABD即可.(2)先证明四边形CEDB是平行四边形,再根据BC=BD即可判定.【解答】证明;(1)∵△ABC≌△ABD,∴∠ABC=∠ABD,∵CE∥BD,∴∠CEB=∠DBE,∴∠CEB=∠CBE.(2))∵△ABC≌△ABD,∴BC=BD,∵∠CEB=∠CBE,∴CE=CB,∵CE∥BD,∴四边形CEDB是平行四边形,∵BC=BD,∴四边形CEDB是菱形.【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键,记住平行四边形、菱形的判定方法,属于中考常考题型.10.(2016•聊城)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的中点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC.求证:四边形ADCF是菱形.【分析】先证明△AEF≌△CED,推出四边形ADCF是平行四边形,再证明△AED ≌△ABD,推出DF⊥AC,由此即可证明.【解答】证明:∵AF∥CD,∴∠AFE=∠CDE,在△AFE和△CDE中,,∴△AEF≌△CED.∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.由题意知,AE=AB,∠EAD=∠BAD,AD=AD,∴△AED≌△ABD.∴∠AED=∠B=90°,即DF⊥AC.∴四边形ADCF是菱形.【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,属于基础题,中考常考题型.11.(2016•德阳)如图,在四边形ABCF中,∠ACB=90°,点E是AB边的中点,点F恰是点E关于AC所在直线的对称点.(1)证明:四边形CFAE为菱形;(2)连接EF交AC于点O,若BC=10,求线段OF的长.【分析】(1)根据直角三角形的性质得到CE=AB=EA,根据轴对称的性质得到AE=AF,CE=CF,得到CE=EA=AF=CF,根据菱形的判定定理证明结论;(2)根据菱形的性质得到OA=OC,OE=OF,根据三角形中位线定理求出OE,得到答案.【解答】(1)证明:∵∠ACB=90°,点E是AB边的中点,∴CE=AB=EA,∵点F是点E关于AC所在直线的对称点,∴AE=AF,CE=CF,∴CE=EA=AF=CF,∴四边形CFAE为菱形;(2)解:∵四边形CFAE为菱形;∴OA=OC,OE=OF,∴OE=BC=5,∴OF=5.【点评】本题考查的是菱形的判定和性质、轴对称的性质,掌握四条边相等的四边形是菱形、菱形的对角线垂直且互相平分是解题的关键.12.(2016•梅州)如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于一点P,连接AP并延长交BC于点E,连接EF.(1)四边形ABEF是菱形;(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(直接填写结果)(2)AE,BF相交于点O,若四边形ABEF的周长为40,BF=10,则AE的长为10,∠ABC=120°.(直接填写结果)【分析】(1)先证明△AEB≌△AEF,推出∠EAB=∠EAF,由AD∥BC,推出∠EAF=∠AEB=∠EAB,得到BE=AB=AF,由此即可证明.(2)根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形,由此即可解决问题.【解答】解:(1)在△AEB和△AEF中,,∴△AEB≌△AEF,∴∠EAB=∠EAF,∵AD∥BC,∴∠EAF=∠AEB=∠EAB,∴BE=AB=AF.∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形∵AB=AF,∴四边形ABEF是菱形.故答案为菱形.(2)∵四边形ABEF是菱形,∴AE⊥BF,BO=OF=5,∠ABO=∠EBO,∵AB=10,∴AB=2BO,∵∠AOB=90°∴∠BA0=30°,∠ABO=60°,∴AO=BO=5,∠ABC=2∠ABO=120°.故答案为,120.【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识,解题的关键是全等三角形的证明,想到利用特殊三角形解决问题,属于中考常考题型.13.(2016•贺州)如图,AC是矩形ABCD的对角线,过AC的中点O作EF⊥AC,交BC于点E,交AD于点F,连接AE,CF.(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)若AB=,∠DCF=30°,求四边形AECF的面积.(结果保留根号)【分析】(1)由过AC的中点O作EF⊥AC,根据线段垂直平分线的性质,可得AF=CF,AE=CE,OA=OC,然后由四边形ABCD是矩形,易证得△AOF≌△COE,则可得AF=CE,继而证得结论;(2)由四边形ABCD是矩形,易求得CD的长,然后利用三角函数求得CF的长,继而求得答案.【解答】(1)证明:∵O是AC的中点,且EF⊥AC,∴AF=CF,AE=CE,OA=OC,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠AFO=∠CEO,在△AOF和△COE中,,∴△AOF≌△COE(AAS),∴AF=CE,∴AF=CF=CE=AE,∴四边形AECF是菱形;(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=,在Rt△CDF中,cos∠DCF=,∠DCF=30°,∴CF==2,∵四边形AECF是菱形,∴CE=CF=2,∴四边形AECF是的面积为:EC•AB=2.【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识.注意证得△AOF≌△COE是关键.14.(2016•衢州)如图,已知BD是矩形ABCD的对角线.(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD、BC于E、F(保留作图痕迹,不写作法和证明).(2)连结BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形?请说明理由.【分析】(1)分别以B、D为圆心,比BD的一半长为半径画弧,交于两点,确定出垂直平分线即可;(2)连接BE,DF,四边形BEDF为菱形,理由为:由EF垂直平分BD,得到BE=DE,∠DEF=∠BEF,再由AD与BC平行,得到一对内错角相等,等量代换及等角对等边得到BE=BF,再由BF=DF,等量代换得到四条边相等,即可得证.【解答】解:(1)如图所示,EF为所求直线;(2)四边形BEDF为菱形,理由为:证明:∵EF垂直平分BD,∴BE=DE,∠DEF=∠BEF,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE,∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF,∵BF=DF,∴BE=ED=DF=BF,∴四边形BEDF为菱形.【点评】此题考查了矩形的性质,菱形的判定,以及作图﹣基本作图,熟练掌握性质及判定是解本题的关键.15.(2016•扬州)如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积.【分析】(1)首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD,AD∥BC,∠ANF=90°,∠CME=90°,易得AN=CM,可得△ANF≌△CME(ASA),由平行四边形的判定定理可得结论;(2)由AB=6,AC=10,可得BC=8,设CE=x,则EM=8﹣x,CM=10﹣6=4,在Rt △CEM中,利用勾股定理可解得x,由平行四边形的面积公式可得结果.【解答】(1)证明:∵折叠,∴AM=AB,CN=CD,∠FNC=∠D=90°,∠AME=∠B=90°,∴∠ANF=90°,∠CME=90°,∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,AD∥BC,∴AM=CN,∴AM﹣MN=CN﹣MN,即AN=CM,在△ANF和△CME中,,∴△ANF≌△CME(ASA),∴AF=CE,又∵AF∥CE,∴四边形AECF是平行四边形;(2)解:∵AB=6,AC=10,∴BC=8,设CE=x,则EM=8﹣x,CM=10﹣6=4,在Rt△CEM中,(8﹣x)2+42=x2,解得:x=5,∴四边形AECF的面积的面积为:EC•AB=5×6=30.【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等,综合运用各定理是解答此题的关键.16.(2016•遵义)如图,矩形ABCD中,延长AB至E,延长CD至F,BE=DF,连接EF,与BC、AD分别相交于P、Q两点.(1)求证:CP=AQ;(2)若BP=1,PQ=2,∠AEF=45°,求矩形ABCD的面积.【分析】(1)由矩形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC,证出∠E=∠F,AE=CF,由ASA证明△CFP≌△AEQ,即可得出结论;(2)证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形,得出BE=BP=1,AQ=AE,求出PE=BP=,得出EQ=PE+PQ=3,由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3,求出AB=AE﹣BE=2,DQ=BP=1,得出AD=AQ+DQ=4,即可求出矩形ABCD 的面积.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC,∴∠E=∠F,∵BE=DF,∴AE=CF,在△CFP和△AEQ中,,∴△CFP≌△AEQ(ASA),∴CP=AQ;(2)解:∵AD∥BC,∴∠PBE=∠A=90°,∵∠AEF=45°,∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形,∴BE=BP=1,AQ=AE,∴PE=BP=,∴EQ=PE+PQ=+2=3,∴AQ=AE=3,∴AB=AE﹣BE=2,∵CP=AQ,AD=BC,∴DQ=BP=1,∴AD=AQ+DQ=3+1=4,∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8.【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握矩形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.17.(2016•广州)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AB=AO,求∠ABD的度数.【分析】首先证明OA=OB,再证明△ABO是等边三角形即可解决问题.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,∴AO=OB,∵AB=AO,∴AB=AO=BO,∴△ABO是等边三角形,∴∠ABD=60°.【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识,熟练掌握矩形的性质是解题的关键,属于基础题,中考常考题型.18.(2016•岳阳)已知:如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,点F在边BC上,且BE=CF,EF⊥DF,求证:BF=CD.【分析】由四边形ABCD为矩形,得到四个角为直角,再由EF与FD垂直,利用平角定义得到一对角互余,利用同角的余角相等得到一对角相等,利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等,利用全等三角形对应边相等即可得证.【解答】证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,∵EF⊥DF,∴∠EFD=90°,∴∠EFB+∠CFD=90°,∵∠EFB+∠BEF=90°,∴∠BEF=∠CFD,在△BEF和△CFD中,,∴△BEF≌△CFD(ASA),∴BF=CD.【点评】此题考查了矩形的性质,以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握矩形的性质是解本题的关键.19.(2016•福州)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时,求DM的长;(2)连接BN,当DM=1时,求△ABN的面积;(3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.【分析】(1)由折叠性质得∠MAN=∠DAM,证出∠DAM=∠MAN=∠NAB,由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可;(2)延长MN交AB延长线于点Q,由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ,由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1,得出∠MAQ=∠AMQ,证出MQ=AQ,设NQ=x,则AQ=MQ=1+x,证出∠ANQ=90°,在Rt△ANQ中,由勾股定理得出方程,解方程求出NQ=4,AQ=5,即可求出△ABN的面积;(3)过点A作AH⊥BF于点H,证明△ABH∽△BFC,得出对应边成比例=,得出当点N、H重合(即AH=AN)时,AH最大,BH最小,CF最小,DF最大,此时点M、F重合,B、N、M三点共线,由折叠性质得:AD=AH,由AAS证明△ABH≌△BFC,得出CF=BH,由勾股定理求出BH,得出CF,即可得出结果.【解答】解:(1)由折叠性质得:△ANM≌△ADM,∴∠MAN=∠DAM,∵AN平分∠MAB,∠MAN=∠NAB,∴∠DAM=∠MAN=∠NAB,∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∴∠DAM=30°,∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=;(2)延长MN交AB延长线于点Q,如图1所示:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥DC,∴∠DMA=∠MAQ,由折叠性质得:△ANM≌△ADM,∴∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1,∴∠MAQ=∠AMQ,∴MQ=AQ,设NQ=x,则AQ=MQ=1+x,∵∠ANM=90°,∴∠ANQ=90°,在Rt△ANQ中,由勾股定理得:AQ2=AN2+NQ2,∴(x+1)2=32+x2,解得:x=4,∴NQ=4,AQ=5,∵AB=4,AQ=5,=S△NAQ=×AN•NQ=××3×4=;∴S△NAB(3)过点A作AH⊥BF于点H,如图2所示:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥DC,∴∠HBA=∠BFC,∵∠AHB=∠BCF=90°,∴△ABH∽△BFC,∴=,∵AH≤AN=3,AB=4,∴当点N、H重合(即AH=AN)时,AH最大,BH最小,CF最小,DF最大,此时点M、F重合,B、N、M三点共线,如图3所示:由折叠性质得:AD=AH,∵AD=BC,∴AH=BC,在△ABH和△BFC中,,∴△ABH≌△BFC(AAS),∴CF=BH,由勾股定理得:BH===,∴CF=,∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣.【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识;本题综合性强,难度较大,熟练掌握矩形和折叠的性质,证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键.20.(2016•吉林)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC,AE∥BD.求证:四边形AODE是矩形.【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD,再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形,由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形.【解答】证明:∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴∠AOD=90°,∵DE∥AC,AE∥BD,∴四边形AODE为平行四边形,∴四边形AODE是矩形.【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质,还考查了平行四边形的判定,掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.21.(2016•南通)如图,将▱ABCD的边AB延长到点E,使BE=AB,连接DE,交边BC于点F.(1)求证:△BEF≌△CDF;(2)连接BD、CE,若∠BFD=2∠A,求证:四边形BECD是矩形.【分析】(1)先根据平行四边形的性质得出AB=CD,AB∥CD,再由BE=AB得出BE=CD,根据平行线的性质得出∠BEF=∠CDF,∠EBF=∠DCF,进而可得出结论;(2)根据平行四边形的性质可得AB∥CD,AB=CD,∠A=∠DCB,再由AB=BE,可得CD=EB,进而可判定四边形BECD是平行四边形,然后再证明BC=DE即可得到四边形BECD是矩形【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∵AB=CD,AB∥CD.∵BE=AB,∴BE=CD.∵AB∥CD,∴∠BEF=∠CDF,∠EBF=∠DCF,在△BEF与△CDF中,∵,∴△BEF≌△CDF(ASA);(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∠A=∠DCB,∵AB=BE,∴CD=EB,∴四边形BECD是平行四边形,∴BF=CF,EF=DF,∵∠BFD=2∠A,∴∠BFD=2∠DCF,∴∠DCF=∠FDC,∴DF=CF,∴DE=BC,∴四边形BECD是矩形.【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质,关键是掌握平行四边形的对边相等;对角相等;对角线互相平分.22.(2016•兰州)阅读下面材料:在数学课上,老师请同学思考如下问题:如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?小敏在思考问题是,有如下思路:连接AC.结合小敏的思路作答(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由;参考小敏思考问题方法解决一下问题:(2)如图2,在(1)的条件下,若连接AC,BD.①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形,写出结论并证明;②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,直接写出结论.【分析】(1)如图2,连接AC,根据三角形中位线的性质得到EF∥AC,EF=AC,然后根据平行四边形判定定理即可得到结论;(2)由(1)知,四边形EFGH是平行四边形,且FG=BD,HG=AC,于是得到当AC=BD时,FG=HG,即可得到结论;(3)根据平行线的性质得到GH⊥BD,GH⊥GF,于是得到∠HGF=90°,根据矩形的判定定理即可得到结论.【解答】解:(1)是平行四边形,证明:如图2,连接AC,∵E是AB的中点,F是BC的中点,∴EF∥AC,EF=AC,同理HG∥AC,HG=AC,综上可得:EF∥HG,EF=HG,故四边形EFGH是平行四边形;(2)AC=BD.理由如下:由(1)知,四边形EFGH是平行四边形,且FG=BD,HG=AC,∴当AC=BD时,FG=HG,∴平行四边形EFGH是菱形,(3)当AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形;理由如下:同(2)得:四边形EFGH是平行四边形,∵AC⊥BD,GH∥AC,∴GH⊥BD,∴GH⊥GF,∴∠HGF=90°,∴四边形EFGH为矩形.【点评】此题主要考查了中点四边形,关键是掌握三角形中位线定理,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.23.(2016•台州)如图,点P在矩形ABCD的对角线AC上,且不与点A,C重合,过点P分别作边AB,AD的平行线,交两组对边于点E,F和G,H.(1)求证:△PHC≌△CFP;(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形,并直接写出它们面积之间的关系.【分析】(1)由矩形的性质得出对边平行,再根据平行线的性质得出相等的角,结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP;(2)由矩形的性质找出∠D=∠B=90°,再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH 和四边形PFBG都是矩形,通过角的正切值,在直角三角形中表示出直角边的关系,利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等.【解答】证明:(1)∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CD,AD∥BC.∵PF∥AB,∴PF∥CD,∴∠CPF=∠PCH.。
【苏科版】八年级下数学:9.4《矩形、菱形、正方形(4)》参考教案
A、三角形B、矩形
C、菱形D、梯形
3.画一个菱形,使它的两条对角线长分别是4cm和2cm.
提炼总结:
证明一个四边形是菱形的方法有:
(1)
(2)先证明是平行四边形,再证法正确的是()
证明:∵AD∥BC,∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC,
∴OA=OC,∠AOE=∠COF.
∴ΔAOE≌ΔCOF.∴OE=OF.
∴四边形AFCE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
展示交流:
1.下列条件中,能判定四边形是菱形的是()
A、对角线垂直B、两对角线相等
C、两对线互相平分D、两对角线互相垂直平分
课题
9.4矩形、菱形、正方形(4)
自主空间
教学目标
掌握菱形的判别条件并能应用于菱形的判定,在操作和观察、分析过程中发展主动探究习惯和初步的审美意识,进一步了解和体会说理的基本方法
教学重、难点
菱形的判定定理的综合应用
教学流程
预习导航
问题:
我们知道,菱形的四条边相等,对角线互相垂直。反之,如果一个四边形的四条边相等,或一个平行四边形的对角线互相垂直,那么这个四边形是不是菱形呢?
1.如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,判断四边形ABCD的形状并说明理由.
证明:∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
∴ ABCD是菱形
合作探究
2.如图,平行四边形ABCD中,AC⊥BD,判断四边形ABCD的形状并说明理由.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
A、菱形的对角线相等
2020-2021学年 苏科版八年级数学下册9.4矩形、菱形、正方形优生辅导训练
2020-2021年度苏科版八年级数学下册9.4矩形、菱形、正方形优生辅导训练(附答案)1.下列说法正确的是)A.有一个角是直角的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直的矩形是正方形C.有一组邻边相等的菱形是正方形D.各边都相等的四边形是正方形2.已知四边形ABCD是平行四边形,下列说法正确的有()①当AB=BC时,它是矩形②AC⊥BD时,它是菱形③当∠ABC=90°时,它是菱形④当AC=BD时,它是正方形A.①②B.②C.②④D.③④3.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,对角线BD的垂直平分线分别与AD,BC边交于点E、F,则四边形BFDE的面积为()A.B.C.D.4.如图,矩形ABCD中,AB=2,点E在边AD上,EB平分∠AEC,∠DCE=45°,则AE 长()A.B.2﹣2C.2﹣D.25.下列性质中,菱形具有而矩形不一定具有的是()A.对角线相等B.对角线垂直C.邻边垂直D.邻角互补6.如图,在长方形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于点E,连接ED,若ED=5,EC=3,则长方形的周长为()A.20B.22C.24D.267.如图,长方形ABCD中,AD=BC=6,AB=CD=10.点E为射线DC上的一个动点,△ADE与△AD′E关于直线AE对称,当△AD′B为直角三角形时,DE的长为()A.2或8B.或18C.或2D.2或188.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且∠AOD=120°.过点A作AE⊥BD 于点E,则BE:ED等于()A.1:3B.1:4C.2:3D.2:59.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点M是边AB上一点(不与点A,B重合),作ME⊥AC于点E,MF⊥BC于点F,若点P是EF的中点,则CP 的最小值是()A.1.2B.1.5C.2.4D.2.510.如图,在正方形ABCD中,AB=2,P是AD边上的动点,PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,则PE+PF的值为()A.4B.2C.D.211.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点C作CE⊥CA,交BD的延长线于点E,若AB=2,BC=4,则DE的长为.12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,以AB为边作正方形ABDE,连接CE,则∠AEC=.13.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,E,H分别为AB,BC的中点,G,F分别为线段HD,CE的中点.若线段FG的长为2,则AB的长为.14.在长方形ABCD中,AB=,BC=4,CE=CF,延长AB至点E,连接CE,CF平分∠ECD,则BE=.15.如图,四边形ABCD是一个正方形,E是BC延长线上的一点,且AC=EC,则∠DAE =.16.为了迎接2021年春节,李师傅计划改造一个长为6m,宽为4m的矩形花池ABCD,如图,他将画线工具固定在一根4m木棍EF的中点P处.画线时,使点E,F都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周.若将点P所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花,则种植年花的区域的面积是m2.17.如图,四边形ABCD是正方形,AE⊥BE于点E,且AE=5,BE=12,则阴影部分的面积是.18.如图,在边长为4的正方形ABCD中,动点E,F分别在CD,BC上移动,CF=DE,AE和DF交于点P,则线段CP的最小值是.19.Rt△ABC中,∠C=90°,点D是斜边AB的中点,若CD=2,则AB=.20.如图,四边形ABCD是长方形,F是DA延长线上一点,CF交AB于点E,G是CF上一点,且∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F.若∠ECB=20°,则∠ACD的度数是.21.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别过A、D两点作AO、DO 的垂线,两垂线交于点E.(1)求证:四边形AODE是矩形;(2)若四边形AODE的面积为12,AD=5,求四边形AODE的周长.22.在矩形纸片ABCD中,AB=2,BC=6,点M是边BC上的一点.(1)如图1,在边CD上取一点N,将纸片沿直线MN折叠,使点C落在边AD上,记为点P.若DP=1,求CN的长;(2)如图2,在边AD上取一点N,将纸片沿直线MN折叠,当点C′与点A重合时,求DN的长.23.已知:如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点.(1)求证:△ABM≌△DCM;(2)当AB:AD的值为多少时,四边形MENF是正方形?请说明理由.24.如图,在菱形ABCD中,E为对角线BD上一点,且AE=DE,连接CE.(1)求证:CE=DE.(2)当BE=2,CE=1时,求菱形的边长.25.如图,在平行四边形ABCD中,P是AB上一点(不与点A,B重合),CP=CD,过点P作PQ⊥CP,交AD于点Q,连接CQ,∠BPC=∠AQP.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)当AP=3,AD=9时,求AQ和CQ的长.26.如图,过△ABC边AC的中点O,作OE⊥AC,交AB于点E,过点A作AD∥BC,与BO的延长线交于点D,连接CD,CE,若CE平分∠ACB,CE⊥BO于点F.(1)求证:①OC=BC;②四边形ABCD是矩形;(2)若BC=3,求DE的长.27.如图,正方形ABCD中,点P是对角线AC上一点,连接PB,边作PE⊥PB交AD边于于点E,且点E不与点A,D重合,作PM⊥AD,PN⊥AB,垂足分别为点M和N.(1)求证:PM=PN;(2)求证:EM=BN.28.如图,已知四边形ABCD为正方形,AB=4,点E为对角线AC上一动点,连接DE、过点E作EF⊥DE.交BC点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.(1)求证:矩形DEFG是正方形;(2)探究:CE+CG的值是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.参考答案1.解:A、有一个角是直角的平行四边形是矩形,此选项错误,不符合题意;B、对角线互相垂直的矩形是正方形,此选项正确,符合题意;C、有一组邻边相等的菱形还是菱形,此选项错误,不符合题意;D、四条边都相等的四边形是菱形,此选项错误,不符合题意.故选:B.2.解:①若AB=BC,则▱ABCD是菱形,选项说法错误;②若AC⊥BD,则▱ABCD是菱形,选项说法正确;③若∠ABC=90°,则▱ABCD是矩形,选项说法错误;④若AC=BD,则▱ABCD是矩形,选项说法错误;故选:B.3.解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DEO=∠BFO,∠EDO=∠FBO,∵对角线BD的垂直平分线分别与AD,BC边交于点E、F,∴BO=DO,EF⊥BD,∴△DEO≌△BFO(AAS),∴EO=FO,∵BO=DO,∴四边形BEDF是平行四边形,∵EF⊥BD,∴平行四边形BEDF是菱形,∴BE=DE,∵AB=5,AD=12,∠A=90°,∴BD=13,设DE=x,则AE=12﹣x,在Rt△AEB中,AB2+AE2=BE2,即52+(12﹣x)2=x2,∴x=,∴BE=DE=,在Rt△BEO中,OE=,∴EF=2EO=,∴菱形BEDF的面积=,故选:A.4.解:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=2,∠A=∠D=∠DCB=90°,∵∠DCE=45°,∴DE=DC=2,∴EC=2,∵∠DCE=45°,∴∠DEC=45°,∵EB平分∠AEC,∴∠AEC=∠AEC=,∴∠BEC=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,∴∠AEB=∠BEC,∴BC=CE=2,∴AD=BC=2,∴AE=AD﹣DE=2﹣2,故选:B.5.解:∵菱形的对角线互相垂直,但矩形的对角线不一定垂直,∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直,故选:B.6.解:∵四边形ABCD是长方形,∴∠B=∠C=90°,AB=DC,∵ED=5,EC=3,∴DC===4,则AB=4,∵AE平分∠BAD交BC于点E,∴∠BAE=∠DAE,∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE=4,∴长方形的周长为:2×(4+4+3)=22.故选:B.7.解:分两种情况讨论:①当E点在线段DC上时,∵△AD'E≌△ADE,∴∠AD'E=∠D=90°,∵∠AD'B=90°,∴∠AD'B+∠AD'E=180°,∴B、D'、E三点共线,∵,AD'=AD,∴BE=AB=10,∵,∴DE=D'E=10﹣8=2;②当E点在线段DC的延长线上时,如下图,∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°,∴∠CBE=∠BAD″,在△ABD″和△BEC中,∵,∴△ABD″≌△BEC(ASA),∴BE=AB=10,∵,∴DE=D″E=BD''+BE=8+10=18.综上所知,DE=2或18.故选:D.8.解:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OD,∵∠AOD=120°,∴∠AOB=180°﹣120°=60°,∴△AOB为等边三角形,∵AE⊥BD,∴BE=OE=OB,∴ED=3BE,∴=,故选:A.9.解:连接CM,如图所示:∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB===5,∵ME⊥AC,MF⊥BC,∠ACB=90°,∴四边形CEMF是矩形,∴EF=CM,∵点P是EF的中点,∴CP=EF,当CM⊥AB时,CM最短,此时EF也最小,则CP最小,∵△ABC的面积=AB×CM=AC×BC,∴CM===2.4,∴CP=EF=CM=1.2,故选:A.10.解:在正方形ABCD中,OA⊥OB,∠OAD=45°,∵PE⊥AC,PF⊥BD,∴四边形OEPF为矩形,△AEP是等腰直角三角形,∴PF=OE,PE=AE,∴PE+PF=AE+OE=OA,∵正方形ABCD的边长为2,∴OA=AC==.故选:C.11.解:如图,过点D作DH⊥AC于H,∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∵AB=2,BC=4,∴AC===2,∴OD=OC=,∵S△ADC=×AD×DC=×AC×DH,∴2×4=2×DH,∴DH=,∴OH===,∴HC=﹣=,∵CE⊥CA,DH⊥CA,∴CE∥DH,∴DE=.12.解:如图1,当正方形ABDE在AB的右侧时,∵AB=AC,∠BAC=40°,∴AC=AE,∠CAE=50°,∴∠AEC=65°;如图2,当正方形ABDE在AB的左侧时,∵AB=AC,∠BAC=40°,∴AC=AE,∠CAE=130°,∴∠AEC=25°,综上所述:∠AEC=25°或65°,故答案为:25°或65°.13.解:如图,连接CG并延长,交AD于点M,连接EM,∵四边形ABCD为菱形,∠B=60°,∴AD∥BC,∴∠A=120°,∠MGD=∠CGH,∵点G为HD的中点,∴HG=DG,∵∠MGD=∠CGH,∴△MGD≌△CGH(ASA),∴MG=CG,MD=CH=BC=AD,∴点G为MC的中点,点M为AD的中点,∵F,G分别为CE和CM的中点,∴FG是△CEM的中位线,∴FG=EM,∴EM=2FG=4,∵E,M分别为AB和AD的中点,∴AE=AM,∵∠A=120°,∴EM=AE=4,∴AE=4,∴AB=2AE=8.故答案为:8.14.解:如图,延长CF,BA交于点G,连接EF,过点F作FH⊥CE于H,过点E作EM ⊥CF于M,∵四边形ABCD是矩形,且AB=,BC=4,∴AB∥CD,AB=CD=,∠D=∠ABC=∠CBE=90°,∴∠DCF=∠G,∵CF平分∠ECD,∴∠DCF=∠FCE,FH=DF,∴∠G=∠ECF,∴EC=EG,∴∠ECG是等腰三角形,∴CM=MG,∵CE=CF,∴△ECF是等腰三角形,∵EM⊥CF,FH⊥CE,∴EM和FH是等腰三角形腰上的高,∴EM=FH=DF,∴Rt△CDF≌Rt△CME(HL),∴CM=CD=,∴CG=5,Rt△CBG中,BG===3,设BE=x,则EC=EG=3+x,Rt△CBE中,(3+x)2=x2+42,解得:x=,∴BE=.故答案为:.15.解:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACB=45°,AD∥BC,∵AC=EC,∴∠E=∠CAE,∵∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E,∴∠E=∠ACB=22.5°,∵AD∥BC,∴∠DAE=∠E=22.5°.故答案为:22.5°.16.解:连接BP,如图,由题意可知BP为Rt△BEF的斜边中线,∵EF=4m,∴BP=2m,∵AB=DC=4m,BC=AD=6m,∴点P的运动轨迹为四个圆心分别在点A,B,C,D,半径为2m的四分之一圆,以及BC和AD上的一段线段.长为6m,宽为4m的矩形花池ABCD的面积为6×4=24(m2).∴种植年花的区域的面积是:24﹣π×22=(24﹣4π)(m2).故答案为:(24﹣4π).17.解:在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AE=5,BE=12,由勾股定理得:AB==13,∴正方形的面积是13×13=169,∵△AEB的面积是AE×BE=×5×12=30,∴阴影部分的面积是169﹣30=139,故答案为:139.18.解:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°.在△ADE和△DCF中,,∴△ADE≌△DCF(SAS).∴AE=DF,∠DAE=∠CDF,∵∠CDF+∠ADF=90°,∴∠DAE+∠ADF=90°.∴AE⊥DF,∴点P的路径是一段以AD为直径的弧,如图,设AD的中点为Q,连接QC交弧于点P,此时CP的长度最小,在Rt△QDC中,QC===2,∴CP=QC﹣QP=2﹣2,故答案为2﹣2.19.解:在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点,CD=2,∴AB=2CD=2×2=4,故答案为:4.20.解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠DCB=90°,∴∠F=∠ECB=20°,∴∠GAF=∠F=20°,∴∠ACG=∠AGC=∠GAF+∠F=2∠F=40°,∴∠ACB=∠ACG+∠ECB=60°,∴∠ACD=90°﹣60°=30°,故答案为:30°.21.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴∠AOD=90°,∵EA⊥AO,DE⊥DO,∴∠EAO=∠DOA=90°,∴四边形AODE是矩形;(2)解:由(1)知,四边形AODE是矩形,∴∠AED=90°,OA=DE,OD=AE,∵四边形AODE的面积为12,∴OA•OD=12,在Rt△AOD中,根据勾股定理,得OA2+OD2=AD2=25,∴(OA+OD)2=OA2+2OA•OD+OD2=25+24=49,∴OA+OD=7,∴四边形AODE的周长为2(OA+OD)=14.22.解:(1)矩形ABCD中,AB=DC=2,AD=BC=6,∠BAC=∠ABC=∠BCD=∠CDA =90°,设CN=x,则DN=CD﹣CN=2﹣x,由折叠可得,PN=CN=x,在Rt△PDN中,DP2+DN2=PN2,即12+(2﹣x)2=x2,解得:x=,∴CN=;(2)当点C'与点A重合时,设DN=y,则AN=AD﹣DN=6﹣y,由折叠可得,D'N=DN=y,AD'=CD=2,∠AD'N=∠CDA=90°,在Rt△AD'N中,AD'2+D'N2=AN2,即22+y2=(6﹣y)2,解得:y=,∴DN=.23.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠A=∠D=90°,∵M为AD中点,∴AM=DM,在△ABM和△DCM,,∴△ABM≌△DCM(SAS);(2)解:当AB:AD=1:2时,四边形MENF是正方形,理由:当四边形MENF是正方形时,则∠EMF=90°,∵△ABM≌△DCM,∴∠AMB=∠DMC=45°,∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形,∴AM=DM=AB,∴AD=2AB,即当AB:AD=1:2时,四边形MENF是正方形.24.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABE=∠CBE,AB=CB,在△ABE和△CBE中,,∴△ABE≌△CBE(SAS),∴AE=CE,∵AE=DE,∴CE=DE;(2)解:如图,连接AC交BD于H,∵四边形ABCD是菱形,∴AH⊥BD,BH=DH,AH=CH,∵CE=DE=AE=1,∴BD=BE+DE=2+1=3,∴BH=BD=,EH=BE﹣BH=2﹣=,在Rt△AHE中,由勾股定理得:AH===,在Rt△AHB中,由勾股定理得:AB===,∴菱形的边长为.25.(1)证明:∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP,∠BPC=∠AQP,∴∠CPQ=∠A,∵PQ⊥CP,∴∠A=∠CPQ=90°,∴平行四边形ABCD是矩形;(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠CPQ=90°,在Rt△CDQ和Rt△CPQ中,,∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL),∴DQ=PQ,设AQ=x,则DQ=PQ=12﹣x,在Rt△APQ中,AQ2+AP2=PQ2,∴x2+32=(9﹣x)2,解得:x=4,∴AQ的长是4.设CD=AB=CP=y,则PB=y﹣3,在Rt△PCB中,根据勾股定理列方程,求出y=15.在Rt△CDQ中,CQ==5.26.(1)证明:①∵CE平分∠ACB,∴∠OCE=∠BCE,∵BO⊥CE,∴∠CFO=∠CFB=90°,在△OCF与△BCF中,,∴△OCF≌△BCF(ASA),∴OC=BC;②∵点O是AC的中点,∴OA=OC,∵AD∥BC,∴∠DAO=∠BCO,∠ADO=∠CBO,在△OAD与△OCB中,,∴△OAD≌△OCB(ASA),∴AD=BC,∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵OE⊥AC,∴∠EOC=90°,在△OCE与△BCE中,,∴△OCE≌△BCE(SAS),∴∠EBC=∠EOC=90°,∴四边形ABCD是矩形;(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=3,∠DAB=90°,AC=BD,∴OB=OC,∵OC=BC,∴OC=OB=BC,∴△OBC是等边三角形,∴∠OCB=60°,∴∠ECB=OCB=30°,∵∠EBC=90°,∴EB=EC,∵BE2+BC2=EC2,BC=3,∴EB=,EC=2,∵OE⊥AC,OA=OC,∴EC=EA=2,在Rt△ADE中,∠DAB=90°,∴DE===.27.证明:(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AC平分∠BAD,又∵PM⊥AD,PN⊥AB,∴PM=PN.(2)∵PM⊥AD,PN⊥AB,∠MAN=90°,PM=PN,∴四边形PMAN为正方形,∴∠MPN=90°,即∠MPE+∠EPN=90°.∵PE⊥PB,∴∠EPN+∠NPB=90°,∴∠MPE=∠NPB.∵PM⊥AD,PN⊥AB,∴∠PME=∠PNB=90°.在△PME和△PNB中,,∴△PME≌△PNB(ASA),∴EM=BN.28.解:(1)如图所示,过E作EM⊥BC于M点,过E作EN⊥CD于N点,∵正方形ABCD,∴∠BCD=90°,∠ECN=45°,∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°,且NE=NC,∴四边形EMCN为正方形,∵四边形DEFG是矩形,∴EM=EN,∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°,∴∠DEN=∠MEF,又∠DNE=∠FME=90°,在△DEN和△FEM中,,∴△DEN≌△FEM(ASA),∴ED=EF,∴矩形DEFG为正方形,(2)CE+CG的值为定值,理由如下:∵矩形DEFG为正方形,∴DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°,∵四边形ABCD是正方形,∵AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE=∠CDG,在△ADE和△CDG中,,∴△ADE≌△CDG(SAS),∴AE=CG,∴AC=AE+CE=AB=×4=8,∴CE+CG=8是定值.。
2020-2021学年 苏科版八年级数学下册9.4 矩形、菱形、正方形 课时练习
八年级数学9.4《矩形、菱形、正方形》课时练习一、选择题:1、下列关于矩形的说法中,正确的是()A.对角线相等的四边形是矩形B.矩形的对角线相等且互相平分C.对角线互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线互相垂直且平分2、如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,OH=4,则菱形ABCD的面积为()A.72 B.24 C.48 D.963、如图,菱形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,若EF=5,则菱形ABCD的周长为()A.20 B.30 C.40 D.504、如图,已知平行四边形ABCD,下列条件:①AC=BD;②AB=AD;③∠1=∠2;④AB⊥BC 中,能说明平行四边形ABCD是矩形的有().A.①④B.②④C.③④D.②③5、如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是()A.20 B.24 C.40 D.486、已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是()A.∠A=∠BB.∠A=∠CC.AC=BDD.AB⊥BC7、如图,在平面直角坐标系中,O是菱形ABCD对角线BD的中点,AD∥x轴且AD=4,∠A=60°,将菱形ABCD绕点O旋转,使点D落在x轴上,则旋转后点C的对应点的坐标是()A.(0,23)B.(2,﹣4)C.(23,0)D.(0,23)或(0,﹣23)8、如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于E、F,连接PB、PD.若AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为()A.10 B.12 C.16 D.18二、填空题:9、如图是一个平行四边形的活动框架,若改变框架的形状,则∠α也随之变化.那么可以判断当∠α是度时,这个平行四边形是矩形.10、菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的周长是。
11、如图,已知在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,连接AC,BD,AC与BD交于点O,若AO=BO,AD=3,AB=2,则四边形ABCD的面积为。
苏科版八年级下册数学9.4.4矩形、菱形、正方形试题
9.4.4矩形、菱形、正方形1、基础夯实单项选择题:1.在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(﹣2,0),C(0,﹣2),D(2,0),则以这四个点为顶点的四边形ABCD是()A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形答案:B知识点:坐标与图形性质;菱形的判定解析:解答:画出草图,求得各边的长,再根据特殊四边形的判定方法判断.在平面直角坐标系中画出图后,可发现这个四边形的对角线互相平分,先判断为平行四边形,对角线还垂直,那么这样的平行四边形应是菱形.分析:动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点.2.用两个全等的等边三角形,可以拼成下列哪种图形()A、矩形B、菱形C、正方形D、等腰梯形答案:B知识点:等边三角形的性质;菱形的判定解析:解答:由题可知,得到的四边形的四条边也相等,得到的图形是菱形.由于两个等边三角形的边长都相等,则得到的四边形的四条边也相等,即是菱形.故选B.分析:本题利用了菱形的概念:四边相等的四边形是菱形.3.如图,下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为()①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.A、①③B、②③C、③④D、①②③答案:A知识点:菱形的判定;平行四边形的性质解答:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据菱形的判定:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形可知:①,③正确.故选A.分析:本题考查菱形的判定,即对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人们将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带别在胸前,如图所示.红丝带重叠部分形成的图形是()A、正方形B、等腰梯形C、菱形D、矩形答案:C知识点:菱形的判定解析:解答:首先可判断重叠部分为平行四边形,且两条彩带宽度相同;再由平行四边形的面积可得邻边相等,则重叠部分为菱形.解:过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,因为两条彩带宽度相同,所以AB∥CD,AD∥BC,AE=AF.∴四边形ABCD是平行四边形.∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF.又AE=AF.∴BC=CD,∴四边形ABCD是菱形.故选C.分析:本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形.5.在同一平面内,用两个边长为a的等边三角形纸片(纸片不能裁剪)可以拼成的四边形是()A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形知识点:等边三角形的性质;菱形的判定解析:解答:用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形,它的四条边长都为a,根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形.根据题意得,拼成的四边形四边相等,则是菱形.故选B.分析:此题主要考查了等边三角形的性质,菱形的定义.6.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是()A、等腰梯形B、正方形C、矩形D、菱形答案:D知识点:等边三角形的性质;菱形的判定解析:解答:由于两个等边三角形的边长都相等,则得到的四边形的四条边也相等,即是菱形.由题意可得:得到的四边形的四条边相等,即是菱形.故选D.分析:本题利用了菱形的概念:四边相等的四边形是菱形.7.汶川地震后,吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”,号召市民为四川受灾的人们祈福.人们将绿丝带剪成小段,并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前,如图所示,绿丝带重叠部分形成的图形是()A、正方形B、等腰梯形C、菱形D、矩形答案:C知识点:菱形的判定解析:解答:首先可判断重叠部分为平行四边形,且两条丝带宽度相同;再由平行四边形的面积可得邻边相等,则重叠部分为菱形.解:过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,因为两条彩带宽度相同,所以AB∥CD,AD∥BC,AE=AF.∴四边形ABCD是平行四边形.∵S▱ABCD=BC•AE=CD•A F.又AE=AF.∴BC=CD,∴四边形ABCD是菱形.分析:本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形.8.能判定一个四边形是菱形的条件是()A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分答案:D知识点:菱形的判定解析:解答:根据菱形的判定方法:对角线互相垂直平分来判断即可.菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.只有D能判定为是菱形,故选D.分析:本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定.9.四边形的四边长顺次为a、b、c、d,且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad,则此四边形一定是()A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形答案:C知识点:菱形的判定;平方的非负性解析:解答:本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad,得到(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣d)2+(a﹣d)2=0,从而得出a=b=c=d,∴四边形一定是菱形.解:整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad,2(a2+b2+c2+d2)=2(ab+bc+cd+ad),)∴(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣d)2+(a﹣d)2=0,由非负数的性质可知:(a﹣b)=0,(b﹣c)=0,(c﹣d)=0,(a﹣d)=0,∴a=b=c=d,∴四边形一定是菱形,故选C.分析:此题主要考查了菱形的判定,关键是整理配方式子,还利用了非负数的性质.10.如图所示,圆O的弦AB垂直平分半径OC,则四边形OACB()A、是正方形B、是长方形C、是菱形D、以上答案都不对答案:C知识点:垂径定理;菱形的判定解析:解答:根据垂径定理和特殊四边形的判定方法求解.由垂径定理知,OC垂直平分AB,即OC与AB互相垂直平分,所以四边形OACB是菱形.故选C.分析:本题综合考查了垂径定理和菱形的判定方法.2、能力提升非选择题(共5道)1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是_________(只填一个你认为正确的即可).答案:AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD知识点:菱形的判定解析:解答:根据平行四边形的性质和菱形的性质,可添加:AC⊥BD或AB=BC,或BC=CD,或CD=DA,或AB=AD.四边形ABCD的对角线互相平分,则四边形ABCD为平行四边形,再依据:一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形,可添加:AC⊥BD或AB=BC,或BC=CD,或CD=DA,或AB=AD(答案不唯一)分析:本题考查平行四边形及菱形的判定.菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.2.如图,如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是_________.答案:AB=AD或AC⊥BD知识点:菱形的判定解析:解答:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.∴可添加:AB=AD或AC⊥BD.因为一组邻边相等的平行四边形是菱形,对角线互相垂直平分的四边形是菱形,那么可添加的条件是:AB=AD 或AC⊥BD.分析:本题考查菱形的判定,答案不唯一.3.如图,平行四边形ABCD中,AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线,根据现有的图形,请添加一个条件,使四边形AECF为菱形,则添加的一个条件可以是_________.(只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”和“线”)答案:AC⊥EF或AF=CF等知识点:菱形的判定;平行四边形的性质;角平分线的性质解析:解答:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形,由平行四边形的性质知,对角线互相平分,又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,可得:当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形.解:则添加的一个条件可以是:AC⊥EF.证明:∵AD∥BC,∴∠FAD=∠AFB,∵AF是∠BAD的平分线,∴∠BAF=FAD,∴∠BAF=∠AFB,∴AB=BF,同理ED=CD,∵AD=BC,AB=CD,∴AE=CF,又∵AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形,∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,则添加的一个条件可以是:AC⊥EF.分析:本题考查了菱形的判定,利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解,答案不唯一.4.在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,从(1)AB=CD;(2)AB∥CD;(3)OA=OC;(4)OB=OD;(5)AC⊥BD;(6)AC平分∠BAD这六个条件中,选取三个推出四边形ABCD 是菱形.如(1)(2)(5)⇒ABCD是菱形,再写出符合要求的两个:_________⇒ABCD是菱形;_________⇒ABCD是菱形.答案:(1)(2)(6)⇒ABCD是菱形;(3)(4)(5)或者(3)(4)(6)⇒ABCD是菱形.知识点:菱形的判定解析:解答:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.解:(1)(2)(6)⇒ABCD是菱形.先由(1)(2)得出四边形是平行四边形,再由(6)和(2)得出∠DAC=∠DCA,由等角对等边得AD=CD,所以平行四边形是菱形.(3)(4)(5)⇒ABCD是菱形.由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形.(3)(4)(6)⇒ABCD是菱形.由(3)(4)得出四边形是平行四边形,再由(6)得出∠DAC=∠DCA,由等角对等边得AD=CD,所以平行四边形是菱形.分析:本题考查菱形的判定.5.若四边形ABCD是平行四边形,请补充条件_________(写一个即可),使四边形ABCD是菱形.答案:AB=BC或者AC⊥BD知识点:菱形的判定解析:解答:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.据此判断即可.解:因为一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直平分的四边形是菱形.可补充条件:AB=BC或AC⊥BD.分析:主要考查了菱形的特性.菱形的特性:菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直平分,且每一条对角线平分一组对角.3、个性创新选答题(共1-3个)1.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连接AD,在AD的延长线上取一点E,连接BE,CE.(1)求证:△ABE≌△ACE;(2)当AE与AD满足什么数量关系时,四边形ABEC是菱形?并说明理由.分析:本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理,比较容易.解答:由题意可知三角形三线合一,结合SAS可得△ABE≌△ACE.四边形ABEC相邻两边AB=AC,只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件,当AE=2AD(或AD=DE或DE=AE)时,根据对角线互相平分,可得四边形是平行四边形.(1)证明:∵AB=AC,点D为BC的中点,∴∠BAE=∠CAE,∵AE=AE∴△ABE≌△ACE(SAS).(2)解:当AE=2AD(或AD=DE或DE=AE)时,四边形ABEC是菱形理由如下:∵AE=2AD,∴AD=DE,又∵点D为BC中点,∴BD=CD,∴四边形ABEC为平行四边形,∵AB=AC,∴四边形ABEC为菱形.2.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,连接DE、BF、BD.(1)求证:△ADE≌△CBF.(2)若AD⊥BD,则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论.分析:本题主要考查了全等三角形的判定,平行四边形的性质和菱形的判定等知识点.解答:(1)根据题中已知条件不难得出,AD=BC,∠A=∠C,E、F分别为边AB、CD的中点,那么AE=CF,这样就具备了全等三角形判定中的SAS,由此可得出△AED≌△CFB.(2)直角三角形ADB中,DE是斜边上的中线,因此DE=BE,又由DE=BF,FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形.(1)证明:在平行四边形ABCD中,∠A=∠C,AD=BC,∵E、F分别为AB、CD的中点,∴AE=CF.在△AED和△CFB中,∴△AED≌△CFB(SAS);(2)解:若AD⊥BD,则四边形BFDE是菱形.证明:∵AD⊥BD,∴△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°.∵E是AB的中点,∴DE=AB=BE.由题意可知EB∥DF且EB=DF,∴四边形BFDE是平行四边形.∴四边形BFDE是菱形.3.如图,已知点D在△ABC的BC边上,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.(1)求证:AE=DF;(2)若AD平分∠BAC,试判断四边形AEDF的形状,并说明理由.解答:(1)利用AAS推出△ADE≌△DAF,再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF;(2)先根据已知中的两组平行线,可证四边形DEFA是平行四边形,再利用AD是角平分线,结合AE∥DF,易证∠DAF=∠FDA,利用等角对等边,可得AF=DF,从而可证平行四边形AEDF 实菱形.证明:(1)∵DE∥AC,∠ADE=∠DAF,同理∠DAE=∠FDA,∵AD=DA,∴△ADE≌△DAF,∴AE=DF;(2)若AD平分∠BAC,四边形AEDF是菱形,∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形,∴∠DAF=∠FDA.∴AF=DF.∴平行四边形AEDF为菱形.分析:考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况.4、其他题型(自由添加)1.已知:如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点,求证:四边形BCDE是菱形.分析:此题主要考查菱形的判定,综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质.解答:由题意易得DE=BE,再证四边形BCDE是平行四边形,即证四边形BCDE是菱形.证明:∵AD⊥BD,∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点,∴BE=AB,DE=AB (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),∴∠EDB=∠EBD,∵CB=CD,∴∠CDB=∠CBD,∵AB∥CD,∴∠EBD=∠CDB,∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD,∵BD=BD,∴△EBD≌△CBD (ASA ),∴BE=BC,∴CB=CD=BE=DE,∴菱形BCDE.(四边相等的四边形是菱形)2.如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M.(1)求证:△ABC≌△DCB;(2)过点C作CN∥BD,过点B作BN∥AC,CN与BN交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系,并证明你的结论.分析:此题主要考查全等三角形和菱形的判定.解答:(1)由SSS可证△ABC≌△DCB;(2)BN=CN,可先证明四边形BMCN是平行四边形,由(1)知,∠MBC=∠MCB,可得BM=CM,于是就有四边形BMCN是菱形,则BN=CN.(1)证明:如图,在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,AC=DB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB;(2)解:据已知有BN=CN.证明如下:∵CN∥BD,BN∥AC,∴四边形BMCN是平行四边形,由(1)知,∠MBC=∠MCB,∴BM=CM(等角对等边),∴四边形BMCN是菱形,。
八年级数学下册 第9章 9.4 矩形、菱形、正方形同步练习(含解析)苏科版(2021学年)
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第9章9.4矩形、菱形、正方形一、单选题(共12题;共24分)1、下面说法中,正确的是()A、有一个角是直角的四边形是矩形ﻫB、两条对角线相等的四边形是矩形ﻫC、两条对角线互相垂直的四边形是矩形ﻫD、四个角都是直角的四边形是矩形2、在▱ABCD中增加下列条件中的一个,这个四边形就是矩形,则增加的条件是()A、对角线互相平分ﻫB、AB=BCC、∠A+∠C=180°D、AB= AC3、检查一个门框是矩形的方法是()A、测量两条对角线是否相等ﻫB、测量有三个角是直角ﻫC、测量两条对角线是否互相平分D、测量两条对角线是否互相垂直4、在下列所给出的4个图形中,对角线一定互相垂直的是()A、长方形B、平行四边形C、菱形D、直角梯形5、如图,矩形ABCD对角线相交于点O, ∠AOB=60°,AB=4,则AC的为( )ﻫA、4B、8ﻫC、4D、106、如图,菱形ABCD中,∠BAD=120°.若△ABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是( )ﻫA、25B、20C、15ﻫD、107、如图,以正方形ABCD的一边向形外作等边△ABE,BD与EC交于点F,则∠AFD等于( )ﻫA、60°ﻫB、50°ﻫC、45°ﻫD、40°8、如图,将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形,E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上,且都是某个小正方形的顶点,若四边形EFGH的面积为1,则矩形ABCD的面积为()A、2B、3C、ﻫD、9、如图,在矩形ABCD中,若AC=2AB,则∠AOB的大小是( )A、30°B、45°C、60°D、90°10、如图,四边形ABCD的四边相等,且面积为120cm2, 对角线AC=24cm,则四边形A BCD的周长为( )A、52cmﻫB、40cmﻫC、39cmD、26cm11、在直线L上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4, 则S1+2S2+2S3+S4=( )A、5ﻫB、4ﻫC、6ﻫD、1012、八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中,经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,则该直线l的解析式为()A、B、y= x+C、D、二、填空题(共6题;共7分)13、如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,△AOD是正三角形,AD=4,则平行四边形ABCD的面积为________.14、如图,两条宽度为1的带子,相交成∠α,那么重叠部分(阴影部分)的面积是________.15、如图,BF平行于正方形ABCD的对角线AC,点E在BF上,且AE=AC,CF∥AE,则∠BCF的度数为________.16、在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D,则四边形ABCD是________.17、一组邻边相等的________是正方形,有一个角是________角的菱形是正方形.18、如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E点,若∠ADC=130°,ﻫ则∠AOE=________.ﻫ三、解答题(共5题;共25分)19、如图,△ABC中,∠C=90°,∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E、F.问四边形CFDE是正方形吗?请说明理由.20、如图所示,在Rt△ABC中,CF为直角的平分线,FD⊥CA于D,FE⊥BC于E,则四边形CDFE是怎样的四边形,为什么?21、如图所示,四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的.求证:四边形EFGH 是正方形.22、如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD、EC . 若BD=CD,求证:四边形ADCE是矩形.ﻫ23、正方形的边长为2,建立合适的直角坐标系,写出各个顶点的坐标.答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】矩形的判定【解析】【解答】解:A、有一个直角的平行四边形是矩形,故错误;B、两条对角线相等的平行四边形是矩形,故错误;ﻫC、两条对角线互相垂直的四边形可能是梯形等,故错误;D、四个角都是直角的四边形是矩形,正确,ﻫ故选D.【分析】利用矩形的判定定理及矩形的定义进行判断后即可确定本题的答案.2、【答案】C【考点】矩形的判定ﻫ【解析】【解答】解:根据矩形的判定(有一个角是直角的平行四边形是矩形) 可得∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°故∠B=∠C=90°增加的条件是∠A+∠C=180°.故选C.【分析】根据矩形的判定(有一个角是直角的平行四边形是矩形).3、【答案】B【考点】矩形的判定【解析】【解答】解:∵有三个角是直角的四边形是矩形,∴检查一个门框是矩形的方法是:测量有三个角是直角.ﻫ∵对角线相等的平行四边形是矩形,ﻫ∴检查一个门框是矩形的另一个方法是:先测得门框的两组对边是否分别相等,再测其对角线的是否相等.故选B.ﻫ【分析】由对角线相等的平行四边形是矩形与有三个角是直角的四边形是矩形,可求得答案.4、【答案】C【考点】平行四边形的性质,菱形的性质,矩形的性质,直角梯形【解析】【解答】解:菱形的对角线互相垂直,而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂直.故选:C.ﻫ【分析】根据菱形的对角线互相垂直即可判断.5、【答案】B【考点】等边三角形的判定与性质,矩形的性质ﻫ【解析】【解答】∵矩形ABCD,∴AC=BD,AC=2OA=2OBﻫ∵∠AOB=60度,ﻫ∴△AOB是等边三角形,ﻫ∴OA=AB=4,ﻫ则AC=2OA=8.故选B。
苏科版八年级下册9.4菱形、矩形、正方形提优训练(有答案)
八下9.4菱形、矩形、正方形提优训练姓名:___________班级:___________考号:___________一、选择题1.下列命题正确的是()A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形2.如图,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为()A. 1B. √2C. 4−2√2D. 3√2−43.如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,则四边形ABCD应具备的条件是()A. 一组对边平行而另一组对边不平行B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直4.如图,菱形ABCD的周长为32,∠C=120°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E、F,连接EF,则△AEF的面积是()A. 8B. 8√3C. 12√3D. 16√35.如图,依次连结第一个菱形各边的中点得到一个矩形,再依次连结矩形各边的中点得到第二个菱形,按此方法继续下去.已知第一个菱形的面积为1,则第4个菱形的面积是()A. 164B. 132C. 116D. 146.如图,矩形ABCD中,AB=10,AD=4,点E从D向C以每秒1个单位的速度运动,以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG.同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动,当点F落在直线MN上,设运动的时间为t,则t的值为()A. 1B. 103C. 4D. 1437.如图所示,将一张长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠(G在CD边上,不与C,D重合,F在BC边上,不与B,C重合),使得C点落在长方形ABCD内部的E处,FH平分∠BFE,则∠GFH的度数α满足()A. 90°<α<180°B. α=90°C. 0°<α<90°D. α随着折痕的变化而变化二、填空题8.如图,在正方形纸片ABCD中,EF//AB,M,N是线段EF的两个动点,且MN=13EF,若把该正方形纸片卷成一个圆柱,使点A与点B重合,若底面圆的直径为6cm,则正方形纸片上M,N两点间的距离是______cm.9.已知菱形的周长为4√5,两条对角线的和为6,则菱形的面积为__________.10.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若ΔCEF的周长为18,则OF的长为________.11.如图,将正方形纸片ABCD沿BE翻折,使点C落在点F处,若∠DEF=30°,则∠ABF的度数为____________.12.如图,在菱形ABCD中,AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的高AE为______cm.13.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120∘,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B、D重合),折痕为EF,若DG=2,BG=6,则BE的长为_______.14.如图,正方形ABCD的边长为2,正方形AEFG的边长为2√2,点B在线段DG上,则BE的长为__________.三、解答题15.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E点,延长BC至F点使CF=BE,连接AF,DE,DF.(1)求证:四边形AEFD是矩形;(2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长.16.准备一张矩形纸片,按如图操作:将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的M点,将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的N点.(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;(2)若四边形BFDE是菱形,求∠ABE的大小.17.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N.(1)请你判断OM和ON的数量关系,并说明理由;(2)过点D作DE//AC交BC的延长线于点E,当AB=4,AC=6时,求△BDE的周长.18.如图,在矩形OABC中,O为直角坐标系的原点,A、C两点的坐标分别为(a,0)、(0,b),且(a−3)2+√b2−10b+25=0.(1)直接写出点B的坐标;(2)若过点C的直线CD交AB与点D,且把矩形OABC的周长分为1:3两部分,求直线CD的解析式.答案和解析1.D解:A.对角线相等的四边形不一定是矩形,故此选项错误;B.对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,故此选项错误;C.对角线互相垂直且相等,但不互相平分的四边形不是菱形、矩形、正方形,因为这三种四边形的对角线都互相平分,故此选项错误;D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,故此选项正确.2.C解:在正方形ABCD中,∠ABD=∠ADB=45°,∵∠BAE=22.5°,∴∠DAE=90°−∠BAE=90°−22.5°=67.5°,在△ADE中,∠AED=180°−45°−67.5°=67.5°,∴∠DAE=∠AED,∴AD=DE=4,∵正方形的边长为4,∴BD=4√2,∴BE=BD−DE=4√2−4,∵EF⊥AB,∠ABD=45°,∴△BEF是等腰直角三角形,∴EF=√22BE=√22×(4√2−4)=4−2√2.3.D解:要使四边形EHGF是矩形,应添加条件是对角线互相垂直,理由是:连接AC、BD交于点O,根据三角形的中位线定理得:EF//AC,EF=12AC,AC,GH//AC,GH=12∴EF//GH,EF=GH,∴四边形EFGH是平行四边形,∴EF//AC,EH//BD,∵BD⊥AC,∴EH⊥EF,∴∠HEF=90°,∴平行四边形EFGH是矩形.4.C解:∵菱形ABCD的周长为32,∴BC=CD=AB=AD=8,∵∠C=120°,∴∠B=60°,∠D=60°,∴△ABC和△ACD都为等边三角形,∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠EAC=30°,∠FAC=30°,CE=BE=4,CF=FD=4,∴∠EAF=60°,AE=√3CE=4√3,AF=√3CF=4√3,∴△AEF为等边三角形,∴△AEF的面积=√3×(4√3)2=12√3.45.A解:∵第一个菱形的面积为1,∴第二个菱形的面积为原来的,第三个菱形的面积为,依此类推,第n个菱形的面积为,当n=4时,则第4个菱形的面积为.6.D解:过点F作FH⊥CD,交直线CD于点Q,则∠EHF=90°,如图所示:∵四边形ABCD为矩形,∴∠ADE=90°,∴∠ADE=∠EHF,∵在正方形AEFG中,∠AEF=90°,AE=EF,∴∠AED+∠HEF=90°,∵∠HEF+∠EFH=90°,∴∠AED=∠EFH,在△ADE和△EHF中,{∠ADE=∠EHF ∠AED=∠EFHAE=EF,∴△ADE≌△EHF(AAS),∴AD=EH=4,由题意得:t+2t=4+10,解得:t=143,7.B解:如图,∵△GFE是由△GFC沿GF折叠,∴∠1=∠3=12∠CFE,∵FH平分∠BFE,∴∠2=∠4=12∠EFB,∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴∠1+∠2=90°,即∠GFH=90°.8.2π解:根据题意得:EF=AD=BC,MN=EF,∵把该正方形纸片卷成一个圆柱,使点A与点D重合,底面圆的直径为6cm,∴底面周长为6πcm,即EF=6πcm,则MN=6π3=2πcm.9.4解:如图,四边形ABCD是菱形,AC+BD=6,AB=√5,AC⊥BD,AO=12AC,BO=12BD,∴AO+BO=3,∴AO2+BO2=AB2,(AO+BO)2=9,即AO2+BO2=5,AO2+2AO⋅BO+BO2=9,∴2AO⋅BO=4,∴菱形的面积=12AC⋅BD=2AO⋅BO=4,10.72解:∵CE=5,△CEF的周长为18,∴CF+EF=18−5=13,∵F为DE的中点,∴DF=EF,∵∠BCD=90°,∴CF=12DE,∴EF=CF=12DE=6.5,∴DE=2EF=13,∴CD=√DE2−CE2=√132−52=12,∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD=12,O为BD的中点,∴OF是△BDE的中位线,∴OF=12(BC−CE)=12(12−5)=72.11.60°解:补全正方形如图,由翻折的性质得,∠BEF=∠BEC,∠EBF=∠EBC,∵∠DEF=30°,∴∠BEC=12(180°−∠DEF)=12(180°−30°)=75°,∴∠EBC=90°−∠BEC=90°−75°=15°,∴∠ABF=90°−∠EBF−∠EBC,=90°−15°−15°,=60°.12.245解:∵四边形ABCD是菱形,∴AC、BD互相垂直平分,∴BO=12BD=12×8=4(cm),CO=12AC=12×6=3(cm),在△BCO中,由勾股定理,可得BC=√BO2+CO2=√42+32=5(cm)∵AE⊥BC,∴AE⋅BC=AC⋅BO,∴AE=AC⋅BOBC =6×45=245(cm),即菱形ABCD的高AE为245cm.13.145解:作EH⊥BD于H,由折叠的性质可知,EG=EA,由题意得,BD=DG+BG=8,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB,∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°,∴△ABD为等边三角形,∴AB=BD=8,设BE=x,则EG=AE=8−x,在Rt△EHB中,BH=12x,EH=√32x,在Rt△EHG中,EG2=EH2+GH2,即(8−x)2=(√32x)2+(6−12x)2,解得,x=145,即BE=145,14.√2+√6解:过点A作AP⊥BD交BD于点P,∵ABCD和AEFG为正方形,∴在△DAG和△BAE中,{AD=AB∠DAG=∠BAE AE=AG,∴△DAG≌△BAE(SAS),∴DG=BE,∵∠APD=90°,∴AP=DP=√2,∵AG=2√2,∴PG=√AG2−PA2=√6,∴DG=DP+PG=√2+√6∵DG=BE,∴BE=√2+√6.15.(1)证明:∵CF=BE,∴CF+EC=BE+EC.即EF=BC.∵在▱ABCD中,AD//BC且AD=BC,∴AD//EF且AD=EF.∴四边形AEFD是平行四边形.∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°.∴四边形AEFD是矩形;(2)解:∵四边形AEFD是矩形,DE=8,∴AF=DE=8.∵AB=6,BF=10,∴AB2+AF2=62+82=100=BF2.∴∠BAF=90°.∵AE⊥BF,∴△ABF的面积=12AB⋅AF=12BF⋅AE.∴AE=AB⋅AFBF =6×810=245.16.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠C=90°,AB=CD,AB//CD,∴∠ABD=∠CDB,∴∠EBD=12∠ABD=∠FDB,∴EB//DF,∵ED//BF,∴四边形BFDE为平行四边形.(2)解:∵四边形BFDE为菱形,∴∠EBD=∠FBD,又∵∠ABE=∠EBD,∴∠ABE=∠EBD=∠FBD,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∴∠ABE=30°.17.解:(1)OM=ON,∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,AD//BC,∴∠MAO=∠NCO,在△OAM和△OCN中,{∠MAO=∠NCOOA=OC∠MOA=∠NOC,∴△OAM≌△OCN(ASA),∴OM=ON.(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AD=BC=AB=4,∴B0=√AB2−AO2=√42−(6÷2)2=√7,∴BD=2BO=2×√7=2√7,∵DE//AC,AD//CE,∴四边形ACED是平行四边形,∴DE=AC=6,CE=AD=4,∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+AC+(BC+CE)=2√7+6+(4+4)=14+2√7.即△BDE的周长是14+2√7.18.解:(1)由(a−3)2+√b2−10b+25=0.可知(a−3)2+|b−5|=0,∴a=3,b=5,∵矩形OABC中,O为直角坐标系的原点,A、C两点的坐标分别为(a,0)、(0,b),即A(3,0),C(0,5);∴B(3,5),(2)∵过点C的直线CD交AB边于点D,且把矩形OABC的周长分为1:3两部分,OC=AB>BD,OA=BC,则一定有CB+BD CO+OA+AB−BD = 13,即3+BD 13−BD =13,解得BD =1,∴AD =AB −BD =5−1=4,即D 点的坐标为(3,4),设直线CD 的关系式为y =kx +b ,且经过(0,5)和(3,4)得,{b =53k +b =4, 解得{b =5k =−13,即直线CD 的关系式为:y =− 13x +5.。
专题9.4 矩形、菱形、正方形(第4课时)八年级数学下册同步备课系列(苏科版)
A1FCE是不是菱形?为什么? D
D1
A
A1
C
C1
B
B1
四边 形
四条边都相等
菱形
平行四边 形
பைடு நூலகம்
3 44
3
对角线互相垂直的平行 四边形是菱形
5
┍
5 5
5
有四条边相等的四边形是菱形.
例4 已知:如图9-28,在四边形ABCD中,AD//BC,
对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.
求证:四边形AFCE是菱形.
证明:∵AD//BC,
∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC, ∴OA=OC,∠AOE=∠COF. ∴△AOE≌△COF. ∴OE=OF. ∴四边形AFCE是平行四边形(对角线互相平分的四边形
第9章
苏科版八年级下学期 课件
中心对称图形——平行四边形
9.4矩形、菱形、正方形
第4课时
操作:如图,BO是等腰三角
形ABC的底边AC上的中线,画 出△ABC关于点O对称的图形.
A
B
O
D
C
图中的四边形有什么特点?
定义:
有一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形.
注:菱形是特殊的平行四边形,
它具有平行四边形的一切性质.
2
2
(菱形的对角线互相垂直平
分)BO AB2 AO2 132 122 5.
∴ BD 2BO 10.
∴BM 3BD 30. (菱形的对角线互相平分)
B、M之间的距离是30cm.
探究活动
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 数学语言
∵四边形ABCD是平行四边形 AB=AD
八年级数学下册9、4矩形菱形正方形9、4、1矩形及其性质习题新版苏科版
(2)如图③,若四边形ABCD是平行四边形(AB<BC),在BC 边上取一点E,使BE=AB,作∠AEF=∠ABE,交AD于 点F,则EA=EF是否成立?若成立,请说明理由.
解:EA=EF成立.理由如下: ∵BA=BE,∴∠BAE=∠AEB. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC. ∴∠ABE+∠BAD=180°. ∴∠ABE+∠BAE+∠FAE=180°. ∵∠AEF=∠ABE,∠AEB+∠AEF+∠FEC=180°, ∴∠FEC=∠FAE.∵AD∥BC,∴∠FEC=∠AFE, ∴∠FAE=∠AFE.∴EA=EF.
7 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O, 点E是BC上一点,且AB=BE,∠1=15°,则∠2= ____3_0在BC上,AE=AD, DF⊥AE,垂足为F. (1)求证DF=AB; 证明:在矩形ABCD中,∠B=90°, AD∥BC,∴∠AEB=∠DAF. ∵DF⊥AE,∴∠DFA=90°.∴∠DFA=∠B. 又∵AD=EA,∴△ADF≌△EAB(AAS). ∴DF=AB.
AB=CD, ∴△ABE≌△CDF(AAS).∴AE=CF.
(2)如图②,当∠ADB=30°时,连接 AF,CE,在不添加任 何辅助线的情况下,请直接写出图②中的四个三角形,使 写出的每个三角形的面积都等于矩形 ABCD 面积的18. 解:△ABE,△CDF,△BCE, △ADF.
11 如图①,在矩形ABCD(AB<BC)的BC边上取一点E,使 BE=AB,作∠AEF=90°,交AD于点F,易证EA= EF.
(2)若∠FDC=30°,且AB=4,求AD的长. 解:易知∠DAF+∠FDA=90°, ∠FDC+∠FDA=90°, ∴∠DAF=∠FDC=30°.∴AD=2DF. 又∵DF=AB, ∴AD=2AB=2×4=8.
苏科版八年级下册9.4《矩形、菱形、正方形》课时练习题
八年级数学9.4《矩形、菱形、正方形》课时练习一、选择题:1、矩形是具有而平行四边形不一定具有的性质是()①对边平行且相等;②对角线互相平分;③对角相等④对角线相等;⑤4个角都是90°;⑥轴对称图形A. ①②③B. ①②④⑤⑥C. ④⑤⑥D.②④⑥2、如图所示,是一块电脑屏幕上出现的矩形色块图,由6个颜色不同的正方形组成,设中间最小的一个正方形边长为1,则这个矩形的面积为( )A. 143B. 108C. 120D.1603、下列命题中,错误的是()A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的平行四边形是矩形C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形D.内错角相等4、有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S1,S2,则S1:S2等于()A.1:B.1:2 C.2:3 D.4:95、矩形ABCD的面积为48,一条边AB的长为6,矩形的对角线BD的长为()A. 10B. 8C. 12D.6√26、如图,自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD,E为垂足,延长EC到F,使CF=BD,连结AF,则∠BAF的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.25°7、如图,已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°,对角线AC、BD相交于点O,点E在AB上,且BE=BO,则∠EOA=( )A.35°B.45°C.50°D.25°8、如图所示,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.)若AB=6,BC=8,则四边形OCED的面积为()A. 24B. 48C. 12√3D.16√29、如图,矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上,且a∥b,∠1=60°,则∠2的度数为()A.30°B.45° C.60° D.75°10、如图,大正方形网格是由25个边长为1的小正方形组成,把图中阴影部分剪下来,用剪下来的阴影部分拼成一个正方形,那么新正方形的边长是( )A. 2B. 3C. √5D.2√211、如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点,矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4,那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A.125B.65C.245D.不确定12、如图,面积为24的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中E、F、G分别在AB、BC、FD上.若BF=,则小正方形的周长为()A.B.C.D.二、填空题:13、如图,在菱形ABCD中,对角线AC=4,∠BAD=120°,则菱形ABCD的周长为.14、矩形的一条边长为3cm,另一边长为4cm,则它的对角线为,它的面积为。
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第9课时矩形、菱形、正方形(4)
1.下列命题中正确的是( )
A.对角线相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形2.如图,若要使平行四边形ABCD成为菱形,则需要添加的条件是( )
A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD
3.如果□ABCD满足条件_______(填写一个合适的条件),那么它的对角线AC、BD就互相垂直.
4.如图所示,DE是□ABCD的∠ADC的平分线,EF∥AD,交DC于F.则四边形AEFD 的形状是_______.
5.如图,□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB AO=2,OB=1,则AC、BD的位置关系是_______,四边形ABCD是菱形的理由是_______.
6.如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BD相交于点O,与BC相交于点N,连接BM、DN.
(1)求证:四边形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8.求MD的长.
7.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直,则下列条件能判定
四边形ABCD为菱形的是( )
A.BA=BC
B.AC、BD互相平分
C.AC=BD
D.AB∥CD
8.用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABCD是菱形的依据是( ) A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.四边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
9.如图,两条笔直的公路l1、l2相交于点O,村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D.已知AB=BC=CD=DA=5公里,村庄C到公路l1的距离为4公里,则村庄C到公路l2的距离是( )
A.3公里B.4公里C.5公里D.6公里
10.如图,在△ABC中,点E、D、F分别在边AB、BC、CA上,且DE∥CA,DF∥BA,下列四种说法:①四边形AEDF是平行四边形;②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF 是矩形;③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形,其中,正确的有_______(填写序号).
11.(2013.潍坊)如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件_______,使ABCD成为菱形(只需添加一个即可).
12.(2013.乌鲁木齐)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分别与BC、CD交于E、F,EH⊥AB于H,连接FH.求证:四边形CFHE是菱形.
13.如图,在□ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过A点作AG
∥DB交CB的延长线于点G.
(1)求证:DE∥BF;
(2)若∠G=90°,那么四边形DEBF是菱形吗?请证明你的结论.
参考答案
1.D2.C 3.答案不唯一4.菱形5.垂直对角线互相垂直的平行四边形是菱形6.(1)略(2)5
7.B 8.B9.B10.①②③④11.本题答案不唯一
12.略13.(1)略(2)四边形DEBF是菱形。