三角形与全等三角形
全等三角形与三角形全等的判定(SSS)知识点
====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源-于-网-络-收-集 12.1 全等三角形一、全等形：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示．说明：如果两个或两个以上的图形全等，那么这些图形放在一起就能完全重合。
这里的重合包括两层含义：一是形状相同，二是大小相等，二者缺一不可。
二、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，•重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．全等用符号用“≌”表 示．如△ABC 与△DEF 全等，则可表示为△ABC ≌△DEFA B C D E F B(E)注意：1、对应边与对边，对应角与对角的区别。
对应边、对应角是对两个三角形而言的，对边、对角是对同一个三角形的边和角的关系而言的。
2、在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置时，这样容易写出对应边、对应角。
3、由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律：（1）有公共边的，•公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）三、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
说明：1、因为全等三角形能够完全重合，所以对应边上的中线、高线和对应角的角平分线也相等，全等三角形的周长相等，面积相等。
很多情况下，全等三角形的性质可以用来证明线段或角相等。
2、全等三角形有传递性，若△ABC 与△DEF 全等，△DEF 与△MNP 全等，则△ABC 与△MNP 也全等。
三角形全等的判定（SSS ）一、判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS ”）．二、判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．三、例题：如图所示，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架，求证△ABD ≌△ACD ．证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD在△ABD 和△ACD 中,,.AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACD （SSS ）．。
中考数学考点专题复习 三角形与全等三角形
剖析
先看一个事实，如图，将等腰△ABC 的底边 BC 延长线上的任一点和顶 点 A 相连，所得的△DAB 和△DAC 无疑是不全等的，由此可知，有两边及 其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等．因此， 在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟．
正解 证明：∵EB＝EC，∴∠3＝∠4.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝ ∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.在△AEB和△AEC中， ∵EB＝EC，∠1＝∠2，AB＝AC，∴△AEB≌△AEC(SAS)， ∴∠BAE＝∠CAE
的长可能是下列哪个值( B )
A．11
B．5 C．2 D．1
(2)(2015·巴中)若 a，b，c 为三角形的三边，且 a，b 满足 a2－9＋(b－
2)2＝0，则第三边 c 的取值范围是 1＜c＜5
．
【点评】 三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最 短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确 定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.
[对应训练] 1．(1)(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第 三边的长可能是( )B A．5 B．10 C．11 D．12
(2)(2014·淮安)若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可 以为___4_．(只需填一个整数)
【例2】 (1)(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的 直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌 面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么 ∠AFE＝( ) D
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．(2015·柳州)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB 的是( D )
八年级数学三角形与全等三角形知识点大全
八年级数学三角形知识点归纳一、与三角形有关的线段1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形2、等边三角形：三边都相等的三角形3、等腰三角形：有两条边相等的三角形4、不等边三角形：三边都不相等的三角形5、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角6、三角形分类：不等边三角形等腰三角形：底边与腰不等的等腰三角形等边三角形7、三角形两边之与大于第三边，两边之差小于第三边注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之与大于第三边，则可说明能组成三角形2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之与3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A与它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线11、三角形的稳定性，四边形没有稳定性二、与三角形有关的角1、三角形内角与定理：三角形三个内角的与等于180度。
证明方法：利用平行线性质2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的与4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角5、三角形的外角与为360度6、等腰三角形两个底角相等三、多边形及其内角与1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形2、N边形：如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。
3、内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角4、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角5、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线6、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形7、多边形的内角与：n边形内角与等于（n-2）*1808、多边形的外角与：360度注：有些题，利用外角与，能提升解题速度9、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n 边形分成n-2个△注：探索题型中，一定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲目背诵答案10、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，n边形共有对角线23)-n(n条。
第16讲 三角形与全等三角形
B.线段CD是△ABC的AB边上的高线
C.线段AD是△ABC的BC边上的高线
D.线段AD是△ABC的AC边上的高线
2.(2022凉山)下列长度的三条线段能组成三角形的是(
A.3,4,8
B.5,6,11
C.5,6,10
D.5,5,10
3.(2022广东)下列图形中有稳定性的是(
直角顶点
条高相交于
;钝角三角形的三条高相交于三角形的
外部
中线
三角形的三条中线相交于 一点 ,这个交点叫做三角形的重
相等
心,每一条中线都将三角形分成面积
的两部分
角平
分线
三角形的三条角平分线相交于 一点 ,这个交点是三角形的
内心 ,这个点到三边的距离
相等
定义 连接三角形两边 中点 的线段叫做三角形的中位线
(1)在证明两个三角形全等时,多注意观察图形,充分挖掘题目中的隐含条件,如有些对应边、角的
条件常常通过公共角(或边)、对顶角、平行、互余(或互补)、角(或线段)的和差等条件间接给出.
(2)在证明线段或角相等时,常寻找线段或角是否在两个三角形中,若在两个三角形中,可尝试证明
全等解决问题;证明两三角形边上的中线、高或对应角的角平分线相等,也可通过证全等三角形获
识点也为证明等腰三角形、三角形全等或相似提供必要的角相等的条件,注意综合图形中该隐含
条件的挖掘.
2.几个常见结论
(1)如图①所示,BD 与 CD 为△ABC 一内角与一外角的平分线,则有结论∠D= ∠A;
(2)如图②所示,BE 与 CE 为△ABC 两外角的平分线,则有结论∠E=90°- ∠A;
已知两角→找任意一边→ASA 或 AAS
全等三角形的重要意义及其应用——三角形学习方案二
全等三角形的重要意义及其应用——三角形学习方案二。
全等三角形的重要意义：
1.全等三角形是数学中最基本和最重要的概念之一。
全等三角形的研究是三角形学习的核心，也是建立在三角形学习基础之上的。
2.全等三角形的研究可以帮助学生进一步了解三角形的性质、特征和规律，掌握三角形的分类和判定方法，提高数学思维能力和解决问题的能力。
3.全等三角形的研究也可以帮助学生认识到三角形的基本概念和几何学基本原理，这些基本概念和原理对于后续数学学习和其他学科的学习都具有重要的作用。
全等三角形的应用：
1.在测量工程中，全等三角形可以用于求解长度、角度和面积等量值。
通过全等三角形的基本理论，可以快速且准确地确定不可直接测量的物理量。
2.在建筑工程和城市规划领域中，全等三角形的基本原理也是很重要的。
通过分析和应用全等三角形的基本原理，可以预测建筑物和城市中的各种形状和结构的稳定性，确保它们能够在各种情况下各自保持平衡和稳定。
3.在机械制造、航空航天和船舶工程等领域中，全等三角形
也是很重要的。
在这些领域中，人们需要准确地计算和设计各种机件和结构，而全等三角形的基本原理可以帮助人们快速计算、确定和设计这些结构。
全等三角形是三角形学习和数学学科中最基本的概念之一。
通过研究和应用全等三角形，不仅可以帮助学生加深对三角形的认识和理解，还能让他们更好地掌握数学思维方法和解决问题的能力。
同时，全等三角形也被广泛地应用于各个领域，为我们的生活和工作提供了良好的支持和帮助。
三角形的相似与全等
三角形的相似与全等在数学中，三角形是一种常见的几何形状。
在三角形中，相似性和全等性是两个重要的概念。
本文将深入研究三角形的相似性和全等性，并探讨它们的性质和应用。
一、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
两个三角形相似的条件如下：1. 对应的角度相等：两个三角形的对应角度相等，即对应角度的度数相同。
2. 对应边的比例相等：两个三角形中对应边的长度的比例保持一致。
根据相似三角形的定义，我们可以得出以下结论：1. 相似三角形的对应边的比例相等。
如果两个三角形相似，即三个角度分别相等，那么它们的对应边的长度之比也相等。
2. 相似三角形的对应角度相等。
如果两个三角形的对应边的长度之比相等，那么它们的三个角度分别相等。
相似三角形的应用非常广泛。
我们可以利用相似三角形的性质来解决各种实际问题，例如测量高楼的高度、设计图像的放大和缩小等。
二、全等三角形全等三角形是指具有相同形状和相同尺寸的三角形。
两个三角形全等的条件如下：1. 三个对应的角度相等：两个三角形的三个对应角度的度数完全相同。
2. 三个对应的边的长度相等：两个三角形的三个对应边的长度完全相同。
全等三角形的性质和应用如下：1. 全等三角形的对应边的长度相等。
如果两个三角形全等，那么它们的对应边的长度一定完全相等。
2. 全等三角形的对应角度相等。
如果两个三角形全等，那么它们的三个对应角度的度数也相等。
全等三角形在几何证明中具有重要的作用。
我们可以利用全等三角形的性质来证明几何命题，解决各种几何问题。
三、相似三角形与全等三角形的区别相似三角形和全等三角形之间存在一些重要的区别：1. 尺寸不同：相似三角形具有相同形状但尺寸不同，而全等三角形具有相同形状和相同尺寸。
2. 条件不同：相似三角形的条件是对应角度相等和对应边的比例相等，而全等三角形的条件是对应角度和对应边的长度都完全相等。
3. 性质不同：相似三角形的性质是对应边的比例相等，全等三角形的性质是对应边的长度相等。
三角形的相似与全等
三角形的相似与全等相似与全等是几何学中三角形重要的概念之一。
通过研究三角形的相似与全等性质，可以帮助我们解决各种问题，例如测量未知长度、计算面积、进行几何证明等等。
本文将介绍相似与全等的定义、性质和应用，并通过几个例子来说明它们在实际问题中的用途。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
换句话说，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似的。
具体来说，如果三角形ABC与三角形DEF有以下对应关系：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么我们可以写作三角形ABC ∼三角形DEF。
相似三角形具有一些重要性质：1. 边比例关系：对应边的长度之比相等。
即，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么我们可以记作∆ABC ∼ ∆DEF，并且称这个比例关系为三角形的边比例关系。
2. 高比例关系：对应高的长度之比也相等。
即，如果h₁/h₂ =h₃/h₄ = h₅/h₆，其中h₁、h₂、h₃、h₄、h₅、h₆分别是三角形ABC和DEF的高，那么我们也可以记作∆ABC ∼ ∆DEF，并且称这个比例关系为三角形的高比例关系。
3. 面积比例关系：对应面积之比等于边比例关系的平方。
即，如果S₁/S₂ = AB²/DE² = AC²/DF² = BC²/EF²，其中S₁和S₂分别是三角形ABC和DEF的面积，那么我们可以推断∆ABC ∼ ∆DEF，并且称这个比例关系为三角形的面积比例关系。
二、全等三角形的定义和性质全等三角形是指具有相同大小和形状的三角形。
换句话说，如果两个三角形的对应边长和对应角度都相等，那么它们就是全等的。
具体来说，如果三角形ABC与三角形DEF满足以下对应关系：AB = DE，BC = EF，AC = DF，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么我们可以写作三角形ABC ≌三角形DEF。
相似三角形和全等三角形
相似三角形和全等三角形相似三角形和全等三角形是初中数学中的重要知识点，本文将分别介绍相似三角形和全等三角形的定义、性质以及应用。
一、相似三角形1. 定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
即两个三角形的对应角度相等，但对应边长不相等。
2. 性质相似三角形有一些重要的性质：(1) 相似三角形的对应边成比例。
(2) 相似三角形的对应高线、中线、角平分线也成比例。
(3) 相似三角形的面积成比例的平方。
(4) 相似三角形的周长成比例。
(5) 相似三角形的内角和相等。
3. 应用相似三角形在实际应用中有着广泛的用途。
比如：(1) 制图时，可以利用相似三角形的性质，根据已知图形的大小比例绘制出所需图形。
(2) 在建筑工程中，可以通过相似三角形的性质，测量出高度、距离等。
(3) 在计算机图形学中，利用相似三角形的性质，可以将一个图形放大或缩小。
二、全等三角形1. 定义全等三角形是指具有相同大小和形状的三角形。
即两个三角形的对应边长相等，对应角度也相等。
2. 性质全等三角形有一些重要的性质：(1) 全等三角形的对应角度相等。
(2) 全等三角形的对应边相等。
(3) 全等三角形的对应高线、中线、角平分线也相等。
(4) 全等三角形的面积相等。
(5) 全等三角形的周长相等。
3. 应用全等三角形在实际应用中也有着广泛的用途。
比如：(1) 在建筑工程中，可以利用全等三角形的性质，确定角度、距离等。
(2) 在制图时，可以利用全等三角形的性质，绘制出所需图形。
(3) 在计算机图形学中，利用全等三角形的性质，可以进行图形变换，如旋转、平移等。
相似三角形和全等三角形在数学和实际应用中有着广泛的用途。
掌握它们的定义、性质和应用，对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。
三角形的相似与全等
三角形的相似与全等三角形是几何学中最基本的图形之一，具有丰富的性质和定理。
在研究三角形时，相似与全等是两个重要的概念。
本文将分析和探讨三角形的相似与全等的定义、判定条件以及相关的性质和定理。
一、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
为了判断两个三角形是否相似，我们需要满足以下条件：1. AA相似定理：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
即，如果∠A1 = ∠A2 且∠B1 = ∠B2，则△ABC ∼△A'B'C'。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边分别成比例，则这两个三角形相似。
即，如果AB/ A'B' = BC / B'C' = AC / A'C'，则△ABC ∼△A'B'C'。
3. SAS相似定理：如果两个三角形的两个相邻边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。
即，如果AB/ A'B' = AC / A'C' 且∠A =∠A'，则△ABC ∼△A'B'C'。
相似三角形具有以下性质和定理：1. 两个相似三角形的对应边长之比等于它们对应角的正弦值之比。
2. 相似三角形的高、中线、角平分线、垂线等也相似。
3. 相似三角形的面积之比等于它们的对应边长之比的平方。
二、全等三角形全等三角形是指具有相同形状和相同大小的三角形。
为了判断两个三角形是否全等，我们需要满足以下条件：1. SSS全等定理：如果两个三角形的对应边分别相等，则这两个三角形全等。
即，如果AB = A'B'，BC = B'C'，AC = A'C'，则△ABC ≌△A'B'C'。
2. SAS全等定理：如果两个三角形的两个相邻边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
即，如果AB = A'B'，AC = A'C'，∠A = ∠A'，则△ABC ≌△A'B'C'。
全等三角形和相似三角形
全等三角形和相似三角形
1.全等三角形：
-定义：如果两个三角形的对应边相等，对应角也相等，那么这两个三角形就称为全等三角形。
换言之，两个三角形经过平移、旋转或翻折后能完全重合，我们就称它们全等。
-符号表示：通常用“≌”表示全等，例如△ABC≌△DEF。
-判定方法：主要有SSS（三条边对应相等）、SAS（两边夹一角对应相等）、ASA（两角夹一边对应相等）和AAS（两角及其中一角的对边对应相等）四种判定方法。
2.相似三角形：
-定义：如果两个三角形的对应角相等，而且对应边成比例（即长度比相同），那么这两个三角形就称为相似三角形。
-符号表示：通常用“∽”表示相似，例如△ABC∽△DEF。
-判定方法：主要有AAA（三个角对应相等）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边对应成比例但不等长，因为全等三角形也是一种特殊的相似三角形）三种判定方法。
-相似三角形的性质：对应高的比等于对应边的比；对应中线的比等于对应边的比；对应角平分线的比也等于对应边的比；周长比等于对应边的比；面积比等于对应边的比的平方。
全等三角形强调的是形状和大小完全相同，而相似三角形强调的是形状相同但大小不一定相同，两者之间的关系是全等三角形是相似三角形的一种特殊情况，当相似比为1时，相似三角形就变成了全等三角形。
三角形及全等三角形知识点总结
三角形及全等三角形知识点总结
三角形是我们初中数学学习中的重要内容之一。
在数学中，三
角形是由三条边以及夹角组成的图形。
本文将对三角形以及全等三
角形的相关知识进行总结。
一、三角形的定义和性质
1. 定义：三角形是由三条线段组成的图形，每个线段都称为三
角形的边，而它的端点则称为三角形的顶点。
2. 性质：
a. 三角形的内角和等于180度：一个三角形的三个内角之和等于180度。
b. 外角性质：三角形的一个内角的补角为另外两个角的外角。
c. 内角和外角之间的关系：一个三角形的三个内角和三个外角之和都是360度。
二、三角形的分类
根据三角形的边长以及角度的不同，三角形可以分为以下几种类型。
1. 根据边长分类：
a. 等边三角形：三条边都相等的三角形。
b. 等腰三角形：两条边相等的三角形。
c. 普通三角形：三条边都不相等的三角形。
2. 根据角度分类：
a. 直角三角形：一个内角为90度的三角形。
b. 钝角三角形：一个内角大于90度的三角形。
c. 锐角三角形：三个内角都小于90度的三角形。
三、全等三角形的概念和判定条件
全等三角形是指有相同大小和形状的三角形。
两个三角形全等的条件是：
1. SSS判定条件：两个三角形的三条边分别对应相等。
2. SAS判定条件：两个三角形的两条边和夹角分别对应相等。
三角形和全等三角形
总复习第19课时
§三角形和全等三角形
1、三角形的主要线段及其性质：
三角形的角平分线（内心：内切圆圆心）、中线（重心：把中线分成一比二两段）、高线（垂心）。
2、三角形性质
边：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。
角：三个内角和为180°；一个外角等于不相邻内角和；一个外角大于一个不相邻的内角；大角对大边。
3、全等三角形的性质与判定：
①全等三角形的对应边相等，对应角相等；其它对应线段相等；
②两边夹角，两角夹边，两角对边，三边对应相等，则两三角形全等。
练习：
1、已知：在⊿ABC中，∠BAC=98°，∠C=32°，BD是高，BE是角平分
线。
求：∠EBC和∠DBE的大小。
2、已知：BD、CE是⊿ABC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长
线上，CG=AB，求证：AG⊥AF。
3、已知点D、E、F分别在等边⊿ABC的各边上，且AD=BE=CF，AE、BF、CD
两两相交于点M、N、P。
求证：⊿MNP是正三角形。
4、已知正三角形ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且BD=AE，CD和
BE相交于点O，DF⊥BE，垂足为F，求证：OD=2OF。
5、已知：AD、BE、CF是⊿ABC的角平分线，交点为O，OG⊥BC，求证：∠
BOD=∠COG。
6、已知：ABC中，AB>AC,AD是角平分线，P为AD上一点，求证：AB-
AC>PB-PC。
三角形全等的判定
1. 全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。
2. 全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
3. 全等三角形判定3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
4. 全等三角形判定4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
5. 全等三角形判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
典型例题知识点一：全等三角形判定1例1：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）DF＝BE；（4）AD∥BC。
请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。
解答过程：已知：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，AD＝CB，AE＝CF，DF＝BE。
求证：AD∥BC。
知识点二：全等三角形判定2（2）由（1）知△OAB≌△OCD∴AB＝CD例3：已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，求证：AD∥BC，AD＝BC综上：AD∥BC，AD＝BC例4：（1）在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，这两个三角形全等吗？（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B ＝∠B，这两个三角形全等吗？。
解答过程：（1）全等；（2）不全等。
解题后的思考：有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位置进行判断：（1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“SAS”时，这两个三角形全等；（2）当两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”时，这两个三角形不一定全等。
在证明题中尤其要注意这一点。
知识点三：全等三角形判定3 例5：如图，BE⊥AE，CF⊥AE，ME＝MF。
求证：AM是△ABC的中线。
解答过程：∵BE⊥AE，CF ⊥AE∴∠BEM＝∠CFM＝90°在△BME和△CMF中，解题后的思考：要证明AM是△ABC的中线，需要证明M是BC的中点，因此，转化为证明BM＝CM，结合已知条件，应考虑证明与这两条相等线段有关的可能全等的两个三角形，结合题目中已有的条件和能够求出的相等关系，选择正确的判定方法来解决相关问题。
三角形的相似与全等判断
三角形的相似与全等判断相似和全等是几何学中常用的两个概念，它们可以帮助我们判断和比较不同三角形之间的关系。
在本文中，我们将讨论相似和全等三角形的判断方法和应用。
一、相似三角形的判断相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
判断两个三角形是否相似，我们需满足以下条件之一：1. AA相似定理当两个三角形的两个对角分别相等时，这两个三角形是相似的。
即若两个三角形的某一角分别相等，并且另外一个角也分别相等，则这两个三角形是相似的。
2. SSS相似定理当两个三角形的对应边的长度成比例时，这两个三角形是相似的。
即若三角形的三边长度两两成比例，则这两个三角形是相似的。
3. SAS相似定理当两个三角形的某一对边对应成比例，并且这两个边间夹角分别相等时，这两个三角形是相似的。
有了上述相似三角形的判断定理，我们可以通过已知条件判断两个三角形是否相似，并进一步推导出其它未知边长或角度的关系。
二、全等三角形的判断全等三角形是指具有相同形状和尺寸的三角形。
判断两个三角形是否全等，我们需满足以下条件之一：1. SSS全等定理当两个三角形的三个对应边长相等时，这两个三角形是全等的。
2. SAS全等定理当两个三角形的其中一个对边和对应角度相等，并且两个对应边的夹角也相等时，这两个三角形是全等的。
3. ASA全等定理当两个三角形的其中两个对边和夹角对应相等时，这两个三角形是全等的。
通过全等三角形的判断定理，我们可以判断两个三角形之间是否完全相同，从而可以确定其它未知边长或角度的值。
在实际应用中，相似和全等三角形的概念经常用于测量、构造和解决几何问题，并在建筑学、工程学以及导航等领域得到广泛应用。
了解和掌握相似和全等三角形的判断方法，可以帮助我们更好地理解和运用几何知识。
综上所述，相似和全等是两个基本的三角形关系概念。
通过相似三角形的判断我们可以推导出未知边长和角度的关系，而全等三角形的判断则能确保两个三角形在形状和尺寸上完全相同。
三角形、三角形相似及全等
三角形、三角形相似及全等一、三角形的边例1：①3、4、x 为三角形的三边，求x 的取值范围。
②3、4、x 为直角三角形的三边，求x 的取值。
③3、4、x 为等腰三角形的三边，求x 的取值。
例2：a 、b 、c 为三角形的三边，它们存在如下关系：a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc=0，请问三角形为什么三角形？并说明理由。
课堂练习1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ） A ．1cm ，2cm ，4 cm B ．8 cm ，6cm ，4cm C ．12 cm ，5 cm ，6 cm D ．2 cm ，3 cm ，6 cm2.若线段AB=6，线段DC=2，线段AC= a ，则（ ） A ．a =8 B ．a =4 C ．a =4或8 D ．4＜a<83.等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，则此三角形的周长是（ ） A ．15cm B ．20cm C ．25 cm D ．20 cm 或25 cm4．已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，则它的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．若3，m ，5为三角形三边，化简：()()8222---m m二、三角形的角例1：三角形的三个角的比值为1：2：3，求三角形三个角的度数及三角形的三边比。
例2：△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 32sin 30B A +=（），则△ABC 是（ ）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形三、三角形的线（一）角平分线：过三角形的顶点引一条射线，把这个角分成二等分，这条线就叫做三角形的角平分线。
角平分线上的点到三角形的两边相等。
例1：如图，OE 是∠AOB 的平分线，CD ∥OB 交OA 于C ，交OE 于D ， ∠ACD=50o ，则 ∠CDE 的度数是 课堂练习1．已知：如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，且D 为AC 的中点，DE ∥BC 交AB 于点E ，若BC=4，则EB 长为______.2．已知△ABC 中，∠B=∠C ，D 为BA 延长线上的点，AM 是∠CAD 的平分线，求证：AM ∥BC.（二）中线、高、垂直平分线（1）三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． （2）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（3）线段的垂直平分线：垂直并平分这条线段的线叫做这条线段的垂直平分线。
三角形的相似与全等
三角形的相似与全等相似和全等是几何学中用来描述和比较形状的概念。
在三角形中，相似和全等可以帮助我们判断三角形的属性和关系。
本文将详细介绍三角形的相似与全等。
1. 相似三角形：相似三角形是指形状相似但大小不同的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应的角度相等，而对应的边的比例相等。
根据相似三角形的性质，我们可以推导出以下几个重要的结论：1.1 边比例定理：如果两个三角形的对应边的比例相等，那么它们是相似的。
设两个三角形ABC和DEF，若满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么三角形ABC与三角形DEF相似。
1.2 角的对应关系：相似三角形中，对应角是相等的。
设两个相似三角形ABC和DEF，若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么三角形ABC与三角形DEF 相似。
1.3 边长比例与角度：对于相似三角形，两个对应边的比例等于其对应角度的正弦、余弦或正切值。
例如，若三角形ABC与三角形DEF相似，且边长比例为AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，且sinA/sinD = sinB/sinE = sinC/sinF。
2. 全等三角形：全等三角形是指形状和大小完全相同的三角形。
两个三角形全等的条件是它们的所有对应边和对应角均相等。
对于全等三角形，我们可以得出以下几个重要的结论：2.1 SSS判定法：如果两个三角形的三边对应相等，那么它们是全等的。
即若AB = DE，AC = DF，BC = EF，那么三角形ABC与三角形DEF全等。
2.2 SAS判定法：如果两个三角形的两边和夹角对应相等，那么它们是全等的。
即若AB = DE，∠A = ∠D，BC = EF，那么三角形ABC与三角形DEF全等。
2.3 ASA判定法：如果两个三角形的两角和夹边对应相等，那么它们是全等的。
即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，AC = DF，那么三角形ABC与三角形DEF全等。
中考考点突破之三角形与全等三角形
中考考点突破之三角形与全等三角形考点精讲1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。
2.探索并证明三角形的内角和定理。
掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
证明三角形的任意两边之和大于第三边。
3.了解三角形重心的概念考点解读考点1：与三角形有关的边①三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．②角平分线：（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）③中线：（1）将三角形的面积等分（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半④高：锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部考点2：与三角形有关的角（1）内角和定理：①三角形的内角和等180°；②推论：直角三角形的两锐角互余.（2）外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.考点3：全等三角形①全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．(3)全等三角形的周长等、面积等．②三角形全等的判定角角全(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS ,ASA 和AAS .考点突破1．（2021春•宛城区期末）下列关于三角形的分类，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021秋•濮阳期末）如图，在△BCD 中，CD 边上的高是（ ）A ．BDB ．ADC ．AFD ．CD3．（2021秋•河口区期末）如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，S △ABC ＝4平方厘米，则S △BEF 的值为（ ）A．2平方厘米B．1平方厘米C．平方厘米D．平方厘米4．（2021秋•天津期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．两直线平行，内错角相等D．三角形具有稳定性5．（2020秋•永嘉县校级期末）三角形的重心是三角形三条（）的交点．A．中线B．高C．角平分线D．垂直平分线6．（2021秋•铜官区期末）已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（）A．大于零B．等于零C．小于零D．不能确定7．（2021秋•长垣市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠ABC＝60°．若BF是△ABC 的高，与角平分线AE相交于点O，则∠EOF的度数为（）A．130°B．70°C．110°D．100°8．（2021秋•滑县期末）将一副三角板按如图所示放置，则∠BFD的度数为（）A．105°B．95°C．85°D．75°9．（2021•河南模拟）在3×3的正方形方格中，∠1和∠2的位置和大小分别如图所示，则∠1+∠2＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°10．（2021秋•武陟县月考）图中以AB为边的三角形共有个．11．（2021秋•涧西区校级期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多2，AB+AC＝8，则AC的长为．12．（2021•吉林四模）如图，AD是△ABC的中线，G是AD上的一点，且AG＝2GD，连接BG，若S△ABC＝12，则S△ABG为．13．（2021秋•公安县期末）空调外机安装在墙壁上时，一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上，这种方法是利用了三角形的．14．（2020秋•新安县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，G是△ABC的重心，AB＝8，则GC的长是．15．（2021春•卧龙区期末）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线，（1）下列结论：①BF＝AF，②∠BAE＝∠CAE，③S△ABF＝S△ABC，④∠C与∠CAD互余，其中错误的是（只填序号）．（2）若∠C＝62°，∠B＝30°，求∠DAE的度数．16．（2021春•新蔡县期末）如图，△ABC正好可以放在长方形内，要测出△ABC的面积，现有一把刻度尺，你能做到吗？说出你是怎样做的．17．（2021秋•内乡县期末）教材呈现：华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2：如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，求证：．证明：连结ED．结论应用：如图②，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F，过点F作FG⊥BC，垂足为点G，则BG：BC＝．。
全等三角形与三角形专项练习(含答案)
全等三角形与三角形专项练习规律：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
一、专项练习1.如图，在中，是∠ ABC 的平分线，，垂足为。
求证：。
2.如图， // ， // ，求证：。
3.如图，四点共线，，，，。
求证：。
4.如图，在中，，。
为延长线上一点，点在上，，连接和。
求证：。
5.如图，分别是外角和的平分线，它们交于点。
求证：为的平分线。
6 .如图，在中，，，为上任意一点。
求证：。
7.如图，是的边上的点，且，，是的中线。
求证：。
二、全等三角形综合复习（一）选择题：1.根据下列条件，能画出唯一的是 ( )A. ，，B.，，C. ，，D. ，2.能使两个直角三角形全等的条件是 ( )A.两直角边对应相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.斜边相等3.如图，，，交于点，下列不正确的是 ( )A. B.C. 不全等于D.是等腰三角形4.如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④。
其中能使的条件有 ( )A. 4 个B.3 个C. 2 个D.1 个5.如图，已知，，，则等于 ( )A. B. C. D.无法确定（二）填空题：6.如图，已知，，是上的两点，且，若，，则 ____________ ；7.如图，在中，，的平分线交于点，且，，则点到的距离等于__________ ；8.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，为折痕，则的大小为 _________ ；9.如图，点在同一条直线上， // ， // ，且，若，，则 ___________ ；10.如图，在等腰中，，，平分交于，于，若，则的周长等于 ____________ ；（三）解答题11/如图，，，为上一点，，，交延长线于点。
求证：。
12.如图，为等边三角形，点分别在上，且，与交于点。
求的度数。
参考答案1.思路分析：直接证明比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明且。
也可以看成将“转移”到。
那么在哪里呢？角的对称性提示我们将延长交于，则构造了△ FBD ，可以通过证明三角形全等来证明∠ 2= ∠ DFB ，可以由三角形外角定理得∠ DFB= ∠ 1+ ∠ C 。
全等三角形、三角形全等的判定
教学课题 全等三角形、三角形全等的判定教学目标1.掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用其性质和判定解决简单问题；2. 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题；教学重难点重点：全等三角形的概念和性质以及判定；难点：全等三角形性质和判定定理的灵活应用，强调书写格式；知识点一：全等三角形的认识与性质1.全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形。
2.全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形。
相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角； 全等多边形的对应边、对应角分别相等；如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E 。
这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”。
A'B'C'D'E'EDCBA3.全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形。
全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等；4.全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。
能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”；5.全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等。
6.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边常是对应边； （4）有公共角的，公共角常是对应角； （5）有对顶角的，对顶角常是对应角；（6）两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)；要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键。
全等三角形与三角形全等的判定
全等三角形与三角形全等的判定学习目标：(1) 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素.(2) 探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式.内容解读：一、全等三角形1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2．全等形的性质：（1）形状相同．（2）大小相等．3．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．4．全等三角形的表示：（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．（2）如图，和全等，记作．通常对应顶点字母写在对应位置上．5．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．*（2）全等三角形的面积相等．6．全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换．二、全等三角形的判定1、下面是探究两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的部分条件时，两个三角形是否全等的过程.(1) 满足一个条件(2) 满足两个条件(3) 满足三个条件2、SSS、SAS、ASA、AAS公理.3、适当总结证明方法.(1)证明线段相等的方法①证明两条线段所在的两个三角形全等.②利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(2)证明角相等的方法①利用平行线的性质进行证明.②证明两个角所在的两个三角形全等.③利用角平分线的判定进行证明.(3)证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法.可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义进行证明.三、例题解读：1．如图，已知，，，指出其他的对应边和对应角．解：对应角为和．对应边为和、和，和．说明：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．2．如图，，且、是对应边，下面四个结论中不正确的是（）．A．和的面积相等B．和的周长相等C．D．，且答案： C 说明：关键是找准对应边、角．3．已知：如图，，试找出对应边、对应角．分析：（1）利用“运动法”来找：连结，将沿翻折180°得到．（2）利用对应字母来找．（3）全等三角形，有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角．解：对应角：和，和，和．对应边：和，和，和．4．已知：如图，，，．求证：．证明：即在和中（SSS）思考：还能得到什么结论（相等关系）？5．已知：如图，，．求证：．证明：连结．在中（SSS）即可得（全等三角形对应角相等）说明：（1）连结公共边是一种常用的辅助线；（2）原则是尽量不拆分待证元素．6．已知：如图，，．求证：．证明：在和中(SAS)说明：若线段AB是公共边，则在三角形全等的判定条件里写成AB=AB或AB=BA都行，因为线段没有方向。
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考点跟踪突破18 三角形与全等三角形
一、选择题
1．(2016·岳阳)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( D ) A ．2 cm ，3 cm ，5 cm B ．7 cm ，4 cm ，2 cm C ．3 cm ，4 cm ，8 cm D ．3 cm ，3 cm ，4 cm
2．(2016·贵港)在△ABC 中，若∠A ＝95°，∠B ＝40°，则∠C 的度数为( C ) A ．35° B ．40° C ．45° D ．50°
3．(2016·金华)如图，已知∠ABC ＝∠BAD ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是( A )
A ．AC ＝BD
B ．∠CAB ＝∠DBA
C ．∠C ＝∠
D D ．BC ＝AD
,第3题图) ,第4题图)
4．(2015·义乌)如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB ＝AD ，BC ＝DC.将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC ，这样就有∠QAE ＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( D )
A ．SAS
B ．ASA
C ．AAS
D ．SSS
5．(2015·柳州)如图，G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且AG ＝CE ，AE ⊥EF ，AE ＝EF ，现有如下结论：
①BE ＝ GE ；②△AGE ≌△ECF ；③∠FCD ＝45°；④△GBE ∽△ECH. 其中，正确的结论有( B )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
点拨：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠DCB ＝90°，AB ＝BC ，∵AG ＝CE ，∴BG ＝BE ，由勾股定理得：BE ＝
2
2
GE ，∴①错误；∵BG ＝BE ，∠B ＝90°，∴∠BGE ＝∠BEG ＝45°，∴∠AGE ＝135°，∴∠GAE ＋∠AEG ＝45°，∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝90°，∵∠BEG ＝45°，∴∠AEG ＋∠FEC ＝45°，∴∠GAE ＝∠FEC ，在△GAE 和△CEF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AG ＝CE ，∠GAE ＝∠CEF ，EA ＝EF ，∴△GAE ≌△
CEF(SAS )，∴②正确；∴∠AGE ＝∠ECF ＝135°，∴∠FCD ＝135°－90°＝45°，∴③正确；
∵∠BGE ＝∠BEG ＝45°，∠AEG ＋∠FEC ＝45°，∴∠FEC ＜45°，∴△GBE 和△ECH 不相似，
∴④错误；即正确的有2个．故选B
二、填空题
6．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B ＝__120°__．
,第6题图) ,第7题图) 7．(2016·遵义)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝__35__度．
8．(2016·南京)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中所有正确结论的序号是__①②③__．
,第8题图) ,第9题图) 9．(2016·贺州)如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD交于点O，则∠AOB的度数为__120°__．
10．(2016·大庆)如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为__4n－3__．
点拨：第①是1个三角形，1＝4×1－3；第②是5个三角形，5＝4×2－3；第③是9个三角形，9＝4×3－3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n－3.
三、解答题
11．(2016·河北)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D 在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．
(1)证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝FC＋CE，即BC＝EF，
在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝DE ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，
∴△ABC ≌△DEF(SSS )
(2)AB ∥DE ，AC ∥DF.理由：∵△ABC ≌△DEF ，∴∠ABC ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠DFE ，∴AB ∥DE ，AC ∥DF
12．(2016·宜昌)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A 步行到达B 处的过程中，通过隔离带的空隙O ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB ∥OH ∥CD ，相邻两平行线间的距离相等，AC ，BD 相交于O ，OD ⊥CD ，垂足为D ，已知AB ＝20米，请根据上述信息求标语CD 的长度．
解：∵AB ∥CD ，∴∠ABO ＝∠CDO ，∵OD ⊥CD ，∴∠CDO ＝90°，∴∠ABO ＝90°，即OB ⊥AB ，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD ＝OB ，在△ABO 和△CDO 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠ABO ＝∠CDO ，OB ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ，∴
△ABO ≌△CDO(ASA )，∴CD ＝AB ＝20(米)
13．(2016·咸宁)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
已知：如图，∠AOC ＝∠BOC ，点P 在OC 上．___PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为点D ，E__．求证：___PD ＝PE__
证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°，在△PDO 和△PEO 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠PDO ＝∠PEO ，∠AOC ＝∠BOC ，OP ＝OP ，
∴△PDO ≌△PEO(AAS )，∴PD ＝PE
14．(导学号：01262028)(2016·绍兴)如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．
(1)若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，AB ＝AD ＝2 cm ，BC ＝5 cm ，如图，量得第四根木条CD ＝5 cm ，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由．
(2)若固定一根木条AB 不动，AB ＝2 cm ，量得木条CD ＝5 cm ，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上；当点C 移到AB 的延长线上时，点A ，C ，D 能构成周长为30 cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．
解：(1)相等．理由：连接AC ，在△ACD 和△ACB 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧AC ＝AC ，AD ＝AB ，CD ＝CB ，
∴△ACD ≌△ACB(SSS )， ∴∠D ＝∠B
(2)设AD ＝x ，BC ＝y ，当点C 在点D 右侧时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝y ＋5，x ＋（y ＋2）＋5＝30，解得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝13，y ＝10，当
点C 在点D 左侧时， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋5＋2，x ＋（y ＋2）＋5＝30，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝8，
y ＝15，此时AC ＝17，CD ＝5，AD ＝8，5
＋8＜17，即无法构成三角形，∴AD ＝13 cm ，BC ＝10 cm。