精选上海市建平中学2018-2019学年高三上学期期中考试数学试题
上海市建平中学2018学年高一上学期期中考试数学试题 002
建平中学2018学年第一学期期中考试高一数学试题一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. 设集合{}{}1,2,3,4|2P Q x x ==≤，则P Q = .2. 集合{}1,2,3的真子集的个数为 .3.不等式1012x x-≥-的解集是 . 4.设:,:13x m x αβ>≤<，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是 .5．已知,,a b c 是实数，写出命题“若0a b c ++=，则,,a b c 中至少有两个负数”的等假命题： .6.若0,0,321a b a b >>+=，则ab 的最大值是 .7.设全集{}21,|1,|5401U R A x B x x x x ⎧⎫⎪⎪==<=-+>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，则()U A C B = . 8.已知正数,x y 满足111x y+=，则49x y +的最小值为 . 9.若不等式11ax x >-的解集为()1,2，则实数a 的值是 . 10.关于x 的不等式组10ax x a <⎧⎨-<⎩的解集不是空集，则实数a 的取值范围为 . 11.若{}2|0,A x mx x m m R =++=∈，且A R =∅，则实数m 的取值范围为 .12.用[]M A 表示非空集合A 中的元素个数，记[][][][][][][][],,M A M B M A M B A B M B M A M A M B ⎧-≥⎪-=⎨-<⎪⎩，若{}{}21,2,3,|23A B x x x a ==--=，且1A B -=，则实数a 的取值范围为 . 二、选择题：（每小题4分，共16分）13.如果0a b <<，那么下列不等式恒成立的是 A. 11a b < B. 2ab b < C.2ab a -<- D. 11a b-<- 14.已知,a b R +∈，则22"1"a b +<是"1"ab a b +>+的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15.不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是A. (][),13,-∞+∞B. ()(),13,-∞+∞C. []1,3D. ()1,316.在下列条件中：①240b ac -≥；②0ac >；③0ab <且0ac >；④240b ac -≥，0,0b c a a<>中能成为“使二次方程20ax bx c ++=的两根为正数”的必要非充分条件是 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分8分） 解不等式组：251320x x x ⎧≥⎪+⎨⎪+-≥⎩18.（本题满分8分）设全集,U R =集合{}1|1,|2.2x A x x a B x x +⎧⎫=-<=≤⎨⎬-⎩⎭ （1）求集合B ；（2）若()U A C B ⊆，求实数a 的取值范围.19.（本题满分10分）某化工厂生产某种产品，当年产量在150吨至250吨时，每年的生产成本y 万元与年产量x 吨之间的关系可可近似地表示为21304000.10y x x =-+ （1）若每年的生产总成本不超过2000万元，求年产量x 的取值范围；（2）求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨的最低成本.20.（本题满分10分）已知{}{}2|13,|680M x x N x x x =<<=-+≤. （1）设全集U R =，定义集合运算∆，使()U M N M C N ∆=，求M N ∆和N M ∆；（2）若{}|2H x x a =-≤，按（1）的运算定义求：()H M H ∆∆.21.（本题满分12分）已知函数()22f x ax x c =-+，且()0f x >的解集是1|.x x a ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭ （1）求()2f 的最小值及()2f 取最小值时()f x 的解析式；（2）在()2f 取得最小值时，若对于任意的()()2,42x f x m x >+≥-恒成立，求实数m 的取值范围.。
2019届上海市高三上学期期中数学试卷【含答案及解析】
2019届上海市高三上学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 函数f（x）=4 x ﹣1的反函数f ﹣1 （x）=___________ ．2. 设集合A={5，log 2 （a+3）}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A ∪ B=___________ ．3. 若tanα=3，则的值等于___________ ．4. 函数f（x）= 的定义域为___________ ．5. 已知直线l经过点且方向向量为（2，﹣1），则原点O到直线l的距离为___________ ．6. 若自然数n满足C 6 n =20，则行列式 =___________ ．7. 已知关于x的方程（） x = 有一个正根，则实数a的取值范围是___________ ．8. 已知数列，则a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +…+a 99 +a100 =___________ ．9. 已知P（x，y）是双曲线 =1上任意一点，F 1 是双曲线的左焦点，O是坐标原点，则的最小值是 ____________________ ．10. 等比数列{a n }首项为sinα，公比为cosα，若（a 1 +a 2 +…+a n ）=﹣，则α= ___________________________________ ．11. 已知下列命题：①若＜0，则与的夹角为钝角；②a，b ∈ C，则“ab ∈ R”是“a，b互为共轭复数”的必要非充分条件；③一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为；④若n为正奇数，则6 n + + +…+ 被8除的余数是5，其中正确的序号是___________ ．12. 在一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器中放满水，再把容器倾斜倒出水，此时圆柱体的母线与水平面所成角的大小是___________ ．13. 已知数列{a n }、{b n }的通项公式分布为a n =（﹣1） n﹣1 a﹣1，b n =（﹣1）n ，切对于一切的正整数n，恒有a n ＜b n 成立，则实数a的取值范围是_________ ．14. （文）在数列{a n }中，a 1 =2，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线y=x﹣上，则 =___________ ．15. 已知△ ABC 中，若sinA=m，sinB=n，当m、n满足条件___________ 时（只需写出满意的一个条件），cosC具有唯一确定的值．16. （文）已知△ ABC 中，cosA=a，sinB= ，当a满足条件___________ 时，cosC具有唯一确定的值．二、选择题17. 抛物线x 2 =4y的焦点坐标为（）A．（1，0）________ B．（﹣1，0）________ C．（0，1）________ D．（0，﹣1）18. 已知，，若k为满足的整数，则使△ ABC 是直角三角形的k的个数为（）A．7________ B．4________ C．3________ D．219. 已知a 2 +c 2 ﹣ac﹣3=0，则c+2a的最大值是（）A．2 ________ B．2 ________ C．2 ________ D．320. （文）已知a 2 + c 2 ﹣3=0，则c+2a的最大值是（）A．2 ________ B．2 ________ C．2 ________ D．321. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x ∈ R恒成立；④存在三个点A（x 1 ，f（x 1 ）），B（x 2 ，f（x 2 ）），C（x 3 ，f（x 3 ）），使得△ ABC 为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．1________ B．2________ C．3________ D．4三、解答题22. 已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ ABC=90° ，AD ∥ BC ，SA=AB=BC=2，AD=1，SA ⊥ 底面ABCD．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）（理）求SC与平面SAB所成角的大小（文）求异面直线SC与AD所成角的大小．23. 已知△ ABC 中，cosB= ，边c=12 ．（1）若函数y=3cos 2 x+sin 2 x﹣2 sinxcosx，当x=C时取得最小值，求变a，b的长；（2）若sin（A﹣B）= ，求sinA的值和边a的长．24. 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y= ．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．25. 已知数列{a n }的前n项和S n =﹣a n ﹣（） n﹣1 +2（n ∈ N * ），数列{b n }满足b n =2 n •a n（1）求a 1（2）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（3）设c n =log 2 ，数列{ }的前n项和为T n ，求满足T n ＜（n∈ N * ）的n的最大值．26. 已知两个函数f 1 （x）=ln（|x﹣a|+2），f 2 （x）=ln（|x﹣2a+1|+1），a ∈ R．（1）若a=0，求使得f 1 （x）=f 2 （x）的x的值；（2）若|f 1 （x）﹣f 2 （x）|=f 1 （x）﹣f 2 （x）对于任意的实数x ∈ R恒成立，求实数a的取值范围；（3）求函数F（x）= ﹣的值域．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。
2018届上海市建平中学高三上学期期中考试数学试题(3)
上海市建平中学2018届高三上学期期中考试数学试题2017.11一.填空题1. 函数f (x) Tog2(x—3)的定义域是 ___________x _12. 若集合A ={x| 0}，则C R A二 ________x_33. 函数f (x)二sinx的零点是_________4 J!4. 已知二是第二象限角且cos ，则sin(二-')二__________5 42 1T5. 在扇形OAB中，中心角• AOB二幺，若弧AB的长为2二，则扇形OAB的面积为36. 函数y =sin(2x ')的单调递增区间为______________47. 函数f(x) =2cos2x sin2 x -1，x • ［0「］的值域为___________28. 函数f(x) =As in •‘X ( A .0，u >0 )在［0,二］上至少取到一次振幅，则频率的最小值为_________9. 已知函数f (x)满足：对任意a,b R，a中b，都有af (a) bf (b) af (b) bf (a)，则不等式f(|x|) ■ f(2x 1)的解集为______________Q *10. 若关于x的不等式x -axcos二x・4一0对任意N成立，则实数a的取值范围是11. 设函数f (x)、g(x)的定义域均为R，若对任意x1,x^ R，且x1：：：x2，具有f (x1^l f (x2)，则称函数f (x)为R上的单调非减函数，给出以下命题：①若f(x)关于点(a,0)和直线x=b( b=a)对称，则f (x)为周期函数，且2(b - a)是f(x)的一个周期；②若f(x)是周期函数，且关于直线X二a对称，则f(x)必关于无穷多条直线对称；③若f(x)是单调非减函数，且关于无穷多个点中心对称，则f(x)的图像是一条直线；④若f(x)是单调非减函数，且关于无穷多条平行于y轴的直线对称，则f (x)是常值函数；以上命题中，所有真命题的序号是___________12. 已知a1、a2、a3、a°与d、b?、R、是8个不同的实数，若方程|x—a1||x—a2||x—a3||x—a4|=|x—b1||x—b2||x— b3「|x — b4| 有有限多个解，则此方程的解最多有_________ 个3选择题13.将函数y =sin2x 的图像向左平移 二个单位，得到函数（）的图像4A. y =sin2xB. y=cos2xC. y =—sin 2xD. y = —cos2x14. 下列函数在其定义域上既是奇函数，又是增函数的是（15.下列关于充分必要条件的判断中，错误的是（）A. “ x • （0,二）”是“ sinx • — - 2 ”的充分条件2sin xB. “ a b _2 ”是“ ab _1 ”的必要条件 1C. “ x 0 ”是“ X • — _ 2 ”的充要条件xD. “ a 0， b • 0 ”是“ a b 2一 ab ”的非充分非必要条件16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆 汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中， 甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时, 消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速 80千米/小时, 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油三.解答题（1） 若cosB讨，求b 的值；（2） 若a =讦3，求 ABC 的面积的最大值A. y = lg(x . x -1)B.C.y =7^7 22-12D. y =2x1-2"17.在 ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为 cos A 二VHHI F ，1x 118.设函数 f(x)=4 -1 ( x_0 )的反函数为 f —(x), g(x^log 4(3x 1). (1 )求 f "(x)；(2)若函数h(x) =2g(x) - f 」(x)的图像与直线y =a 有公共点，求实数 a 的取值范围19.某工程队共有500人，要建造一段6000米的高速公路，工程需要把 500人分成两组, 甲组的任务是完成一段 4000米的软土地带，乙组的任务是完成剩下的 2000米的硬土地带, 据测算，软、硬土地每米的工程量是 30工(工为计量单位)和 40工.(1 )若平均分配两组的人数，分别计算两组完工的时间，并求出此时全队的筑路工期； (2 )如何分配两组的人数会使得全队的筑路工期最短？20.已知函数 f (x) = x | x 「a | bx ， a,b R .(1 )若a=0，判断f (x)的奇偶性，并说明理由; (2 )若b=0，求f(x)在［1,3］上的最小值;f (x) f (x) - g(x) 21.给定函数 f(x)、g(x)，定义 F(f(x),g(x)) .l g(x) f(x)<g(x)/、"口f (x)+g(x) + | f (x)—g(x) |(1)证明:F(f(x),g(x))：(2 )若 f(x) =si n2x-cosx ， g(x) =si n2x cosx ，证明：F (f (x), g(x))是周期函数; (3)若 f(x)=A t Si n “X ，in 2x ， A=0，- - 0 , i =1,2，证明：f (x) • g(x)是周期函数的充要条件是为有理数.(3)若 b0， 且 f(x)二a 2b 2有三个不同实根,十的取值范围.填空题三.解答题精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
上海市浦东新区建平中学2018届高三上学期10月月考数学试卷+Word版含答案
绝密★启用前上海市浦东新区建平中学2018届高三上学期10月月考数学试题一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共20分）.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|x≥0}，则A∩B= ．2．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的定义域为．3．（5分）当x＞0时，函数f（x）=x+x﹣1的值域为．4．（5分）“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．5．（5分）若函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，则f﹣1（3）= ．6．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}，B={t|at﹣1=0}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为．7．（5分）已知函数f（x）=lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值集合为．8．（5分）已知不等式≤1的解集为A，若1∉A，则实数a的取值范围是．9．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，若f（a）＞f（2a﹣1），则实数a的取值范围是．10．（5分）若集合A={x|x2+4x+a=0}，集合B={t|函数f（x）=4x2﹣8x+t（4﹣t）至多有一个零点}，则A∪B的元素之和的函数关系式f（a）= ．11．（5分）当m＞0时，方程（mx﹣1）2﹣=m在x∈[0，1]上有且只有一个实根，则实数m的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）=，记函数g（x）=f（x）﹣t，若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则实数a的取值范围是．二、选择题13．（5分）下列函数中，与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），给出下列命题：①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（x）至少有三个零点；③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]．则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题17．已知U=R，P={x|＞a}，Q={x|x2﹣3x≤10}．（1）若a=1，求（∁U P）∩Q；（2）若P∩Q=P，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=+（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）解不等式f（x）≥．19．某城市要建造一个边长为2km的正方形市民休闲OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，过对边OA上一点M的区域OABD内作一次函数y=kx+m（k＞0）的图象，与线段DB 交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区．（1）写出函数关系式m=f（k）；（2）设点P的横坐标为t，将四边形MABN的面积S表示关于t的函数S=g（t），并求S的最大值．。
上海市2018-2019学年建平中学高一上学期数学期中考试
2018-2019学年度建平中学高一年级期中考数学试卷一. 填空题1. 已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,4,6}A =，则U A =ð2. 不等式102x x -<+的解集为 3. 已知集合{1,0,2}A =-，2{1}B a =+，若B A ，则实数a 的值为4. 用列举法写出集合2{|1,,||1}A y y x x x ==-∈≤=Z5. 已知不等式20x ax b -+≤的解集为[2,3]，则a b +=6. 命题“如果0a ≠，那么20a >”的逆否命题为7. 已知集合{(,)|1,}A x y y x x ==+∈R ，{(,)|3,}B x y y x x ==-∈R ，则A B =8. 已知“1x >”是“x a ≥”的充分非必要条件，则a 的取值范围是9. 已知集合{||1|1}A x x =-≤，{|2}B x ax ==，若A B A = ，则实数a 的取值集合为10. 已知集合2{|(2)(2)0,}x x x x a x --+=∈R 中的所有元素之和为2，则实数a 的取值集 合为11. 已知正实数x 、y 满足1x y +=，则141y x y -+的最小值是12. 若不等式()x a x y +≤+对任意0x >，0y >恒成立，则a 的取值范围是二. 选择题13. “1x >”是“11x<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件14. 设a 、b ∈R ，a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 11a b< B. 22a b > C. 2a ab > D. 33a b > 15. 设集合{|10}P m m =-<≤，2{|210Q m mx mx =+-<对任意x ∈R 恒成立}，则P 与Q 的关系是（ ）A. P Q B. Q P C. P Q = D. P Q =∅16. 已知集合{1,2,3,,}A n =⋅⋅⋅()n ∈*N ，集合12{,,,}k B j j j =⋅⋅⋅(2,)k k ≥∈*N 是集合A 的子集，若121m j j j n ≤<<⋅⋅⋅<≤且1i i j j m +-≥(1,2,,1)i k =⋅⋅⋅-，满足集合B 的个数记为()n k m ⊕，则7(32)⊕=（ ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12三. 解答题17. 已知x 、y 是实数，求证：22222x y x y +≥+-.18. 已知全集U =R ，集合2{|120}A x x x =--<，421{|,}x B y y x x+==∈R ， 求A B ，()U A B ð.19. 已知命题p ：关于x 的一元二次方程2|2|0x m -+-=有两个不相等的实数根，命题q ：关于x 的一元二次方程2|1||3|0x mx a a -+++-=对于任意实数a 都没有实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.20. 已知集合2{|20}A x x x =--≥，集合22{|(1)210,}B x m x mx m =-+-<∈R .（1）当2m =时，求集合A R ð和集合B ；（2）若集合B Z 为单元素集，求实数m 的取值集合；（3）若集合()A B Z 的元素个数为n ()n ∈*N 个，求实数m 的取值集合.21. 已知集合P 的元素个数为3n ()n ∈*N 个且元素为正整数，将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，即P A B C = ，A B =∅ ，A C =∅ ，B C =∅ ，其中12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，12{,,,}n B b b b =⋅⋅⋅，12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅. 若集合A 、B 、C 中的元素满足12n c c c <<⋅⋅⋅<，k k k a b c +=，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称集合P 为“完美集合”.（1）若集合{1,2,3}P =，{1,2,3,4,5,6}Q =，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合{1,,3,4,5,6}P x =为“完美集合”，求正整数x 的值；（3）设集合{|13,2,}P x x n n n =≤≤≥∈*N ，① 证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是4n k =或41n k =+()k ∈*N ；② 判断当4n =时，集合P 是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C ，如果不是，请说明理由.2018-2019学年度建平中学高一年级期中考数学试卷2018.11参考答案一. 填空题1. {1,3,5}；2. (2,1)- ；3. 1±；4. {1,0}-；5. 11；6. 如果20a ≤，则0a = ；7. {(1,2)}；8. 1a ≤；9. {0}[1,)+∞ ； 10. {0}(1,)+∞ ； 11.12； 12. 4a ≥； 二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. B三. 解答题17. 22(1)(1)0x y -+-≥. 18. (3,4)A =-，[2,)B =+∞，(,2)U B =-∞ð，[2,4)A B = ，()(,4)U A B =-∞ ð.19.（1）(1,5)-；（2）命题q ：44m -<<，∴范围为(4,1][4,5)-- .20.（1）(1,2)A =-R ð，1(,)(1,)3B =-∞+∞ ；（2）{0}；（3）略.21.（1）P 是，Q 不是；（2）7、9、11；（3）略.。
上海市建平中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
上海市建平中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ．14 B ．12C ．1D ．2 2． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．6103515++B ．610+35+14C ．6103515++D ．4103515++【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．3． 已知x ，y 满足时，z=x ﹣y 的最大值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．0D ．24． 四面体ABCD 中,截面 PQMN 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．AC BD =C.AC PQMN D ．异面直线PM 与BD 所成的角为455． 设集合{}|22A x R x =∈-≤≤，{}|10B x x =-≥，则()R AB =ð（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤<C. {}|21x x -≤≤D. {}|22x x -≤≤ 【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.6． 设0＜a ＜1，实数x ，y 满足，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知数列｛n a ｝满足nn n a 2728-+=（*∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ） A ．211 B ．227 C ． 32259 D ．32435 8． 满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x x f e e =C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 9． 集合{}1,2,3的真子集共有（ ）A ．个B ．个C ．个D ．个 10．已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 11．为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知C B A ,,三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C 社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）A ．48B ．36C ．24D ．18【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 12．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) ABC D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设全集______.14．已知关于的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，则关于的不等式210bx ax ++>的解集 为___________.15．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）间的关系为0ektP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了 消除27.1%的污染物，则需要___________小时.【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用. 16．已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a = . 三、解答题（本大共6小题，共70分。
上海市建平中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
上海市建平中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 若集合,则= ( )ABC D2． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 3． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．04． 已知集合A={x ∈Z|（x+1）（x ﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x ＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|﹣1≤x ＜2} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1，2}D ．{﹣1，1}5． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（ ）A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 6． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.7． 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）A.18B.12C.9D.0【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.8． 已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-9． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如右图所示，则 f （0）的值为（ ） A.32-B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用. 10．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A．12+B．12 C. 34 D ．0 11．已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．12．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1-<mB ．10<<mC ．1>mD ．1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．14．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积12S c =， 则边c 的最小值为_______．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．15．已知,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2(2)()f x f x ->的解集为________．【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 16．三角形ABC中，2,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为 .三、解答题（本大共6小题，共70分。
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三(上)12月月考数学试卷(A卷)
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）12月月考数学试卷（A卷）试题数：21.满分：01.（填空题.3分）双曲线 x 23−y 2=1 的焦距为___ ．2.（填空题.3分）已知集合M={x|-2≤x -1≤2}.N={x|x=2k-1.k∈N *}.则M∩N=___ ．3.（填空题.3分）设{a n }是等差数列.且a 1=3.a 2+a 5=36.则{a n }的通项公式为___ ．4.（填空题.3分）若复数z 满足 |i 1+2i1z | =0.其中i 是虚数单位.则z 的虚部为___ ．5.（填空题.3分）函数f （x ）= √log 12(x −1)−1 的定义域为___ ．6.（填空题.3分）（x 2+ 2x ）5的展开式中x 4的系数为___ ．7.（填空题.3分）已知α.β为锐角.如tanα= 43.cos （α+β）= √55.则tanβ=___ ．8.（填空题.3分）在上海进口博览会期间.要从编号为1.2.3.….8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作.则选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为___ （结果用分数表示）9.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy 中.A 为直线l ：y=2x 上在第一象限内的点.B （5.0）.以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.则点A 的横坐标为___ ． 10.（填空题.3分）设函数f （x ）=（x-2）2sin （x-2）+3在区间[-1.5]的最大值和最小值分别为M.m.则M+m=___ ．11.（填空题.3分）若实数a 是实数1+2b 与1-2b 的等比中项.则 8ab|a|+2|b| 的最大值为___ ． 12.（填空题.3分）已知函数f （x ）= {|x |，x ≤mx 2−2mx +2m ，x ＞m （m ＞0）.若存在实数b.使得函数g （x ）=f （x ）-b 有3个零点.则实数m 的取值范围是___ ．13.（单选题.3分）已知直线n 在平面α内.直线m 不在平面α内.则“m || n”是“m‖α”的（ ） A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.（单选题.3分）△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c．若△ABC的面积为a2+b2−c24.则C=（）A. π2B. π3C. π4D. π615.（单选题.3分）下面的四个命题中.真命题的个数是（）① 向量a . b⃗ . c .若a‖ b⃗且b⃗ || c .则a || c；② 向量a . b⃗ . c .若a• b⃗ = b⃗• c .则a = c；③ 复数z1.z2.若|z1-z2|=2.则（z1-z2）2=4；④ 公比为q等比数列{a n}.令b1=a1+a2+a3+a4.b2=a5+a6+a7+a8.….b n=a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n.….则数列{b n}（n∈N*）是公比为q4的等比数列．A.0B.1C.2D.316.（单选题.3分）已知向量a . b⃗ .满足同| a |=1.| b⃗ |=2.若对任意模为2的向量c .均有| a• c |+| b⃗• c|≤2 √7 .则向量a . b⃗的夹角的取值范围是（）A.[0. π3]B.[ π3 . 2π3]C.[ π6 . 2π3]D.[0. 2π3]17.（问答题.0分）设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π3．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移π2个单位长度得到.求y=g（x）的单调增区间．18.（问答题.0分）如图.在三棱锥P-ABC中.AB=BC=2 √2 .PA=PB=PC=AC=4.O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M 在棱BC 上.且 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .求直线PM 与平面PAC 所成角的大小（结果用反三角表示）19.（问答题.0分）如图.已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1.2）.过点Q （0.1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A.B ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点.直线PA 交y 轴于M.直线PB 交y 轴于N ． OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μ NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求证：λ+μ为定值．20.（问答题.0分）已知两个城市A.B 相距100km.现计划在两城市之间合建一个垃圾处理厂.垃圾处理厂计划在以AB 为直径的半圆弧 AB̂ 上选择一点C 建造（不能选在点A.B 上）.其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关.对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和.记C 点到城A 的距离为x （单位是km ）.建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比.比例系数为100；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比.比例系数为k.当垃圾处理厂建在 AB ̂ 上距离A 城20公里处时.对城A 和城B 的总影响度为 35128 ． （1）将y 表示成x 的函数；（2）求当垃圾处理厂到A.B 两城市距离之和最大时的总影响度y 的值；（3）求垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度的最小值.并求出此时x 的值．（结算结果均用精确值表示）21.（问答题.0分）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知对任意的n∈N *.点（n.S n ）均在函数y=b x +r （b ＞0且b≠1.b.r 均为常数）的图象上． （1）求r 的值；（2）当b=2时.记b n = n+14a n（n∈N *）.求数列{b n }的前n 项和T n ；（3）数列{c n }满足.c 1=1.c n+1-c n =2（a n+1-a n ）（n∈N *）.若 12 ＜ cn c m＜2对m.n∈N *恒成立.求实数b 的取值范围．2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）12月月考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）双曲线x23−y2=1的焦距为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：根据题意.由双曲线的标准方程可得a、b的值.由双曲线的几何性质计算可得c的值.由焦距的定义即可得答案．【解答】：解：根据题意.双曲线x 23−y2=1 .其中a2=3.b2=1.则c= √a2+b2 =2.则其焦距2c=4；故答案为：4．【点评】：本题考查双曲线的标准方程.关键是利用双曲线的几何性质求出c的值．2.（填空题.3分）已知集合M={x|-2≤x-1≤2}.N={x|x=2k-1.k∈N*}.则M∩N=___ ．【正确答案】：[1]{1.3}【解析】：可看出集合N表示正奇数的集合.从而解出集合M.然后进行交集的运算即可．【解答】：解：M={x|-1≤x≤3}.N是正奇数的集合；∴M∩N={1.3}．故答案为：{1.3}．【点评】：考查描述法、列举法的定义.以及交集的概念及运算．3.（填空题.3分）设{a n}是等差数列.且a1=3.a2+a5=36.则{a n}的通项公式为___ ．【正确答案】：[1]a n=6n-3【解析】：利用等差数列通项公式列出方程组.求出a1=3.d=6.由此能求出{a n}的通项公式．【解答】：解：∵{a n }是等差数列.且a 1=3.a 2+a 5=36. ∴ {a 1=3a 1+d +a 1+4d =36 . 解得a 1=3.d=6.∴a n =a 1+（n-1）d=3+（n-1）×6=6n-3． ∴{a n }的通项公式为a n =6n-3． 故答案为：a n =6n-3．【点评】：本题考查等差数列的通项公式的求法.考查等差数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．4.（填空题.3分）若复数z 满足 |i 1+2i1z | =0.其中i 是虚数单位.则z 的虚部为___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：由已知可得zi-1-2i=0.变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：由 |i 1+2i1z | =0.得zi-1-2i=0.∴z=1+2ii=(1−2i )(−i )−i 2=−2−i .∴z 的虚部为-1． 故答案为：-1．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.是基础题． 5.（填空题.3分）函数f （x ）= √log 12(x −1)−1 的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（1. 32 ]【解析】：利用开偶次方被开方数非负列出不等式.然后求解即可．【解答】：解：函数f （x ）= √log 12(x −1)−1 有意义.可得： log 12(x −1)−1≥0 .可得0 ≤x −1≤12.解得1 ＜x ≤32 ．函数的定义域为：（1. 32 ]． 故答案为：（1. 32 ]．【点评】：本题考查函数的定义域的求法.对数不等式的解法.考查计算能力． 6.（填空题.3分）（x 2+ 2x ）5的展开式中x 4的系数为___ ． 【正确答案】：[1]40【解析】：运用二项展开式的通项可得结果．【解答】：解：根据题意得.T r+1= ∁5r （x 2）5-r （ 2x ）r = ∁5r 2r x10-3r 令10-3r=4.得r=2∴（x 2+ 2x ）5的展开式中x 4的系数为 ∁52 22=40；故答案为40．【点评】：本题考查二项式定理的简单应用．7.（填空题.3分）已知α.β为锐角.如tanα= 43 .cos （α+β）= √55 .则tanβ=___ ． 【正确答案】：[1] 211【解析】：由已知求得sin （α+β）.进一步求得tan （α+β）.再由tanβ=tan[（α+β）-α].展开两角差的正切求解．【解答】：解：∵α.β为锐角.∵0＜α+β＜π. 又cos （α+β）= √55.∴sin （α+β）= 2√55. 则tan （α+β）=sin (α+β)cos (α+β)=2 ．∵tanα= 43 .∴tanβ=tan[（α+β）-α]= tan (α+β)−tanα1+tan (α+β)tanα = 2−431+2×43=211 ．故答案为： 211 ．【点评】：本题考查三角函数的化简求值.考查诱导公式的应用.是基础题．8.（填空题.3分）在上海进口博览会期间.要从编号为1.2.3.….8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作.则选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为___ （结果用分数表示）【正确答案】：[1] 128【解析】：先求出基本事件总数n= C 83=56.选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列包含的基本事件有2个.由此能求出选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率．【解答】：解：在上海进口博览会期间.要从编号为1.2.3.….8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作.基本事件总数n= C 83=56.选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列包含的基本事件有2个. 分别为：（1.4.7）.（2.5.8）.∴选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为p= 256=128 ． 故答案为： 128 ．【点评】：本题考查概率的求法.考查等差数列、古典概型等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．9.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy 中.A 为直线l ：y=2x 上在第一象限内的点.B （5.0）.以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.则点A 的横坐标为___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：设A （a.2a ）.a ＞0.求出C 的坐标.得到圆C 的方程.联立直线方程与圆的方程.求得D 的坐标.结合 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0求得a 值得答案．【解答】：解：设A （a.2a ）.a ＞0. ∵B （5.0）.∴C （a+52 .a ）. 则圆C 的方程为（x-5）（x-a ）+y （y-2a ）=0． 联立 {y =2x(x −5)(x −a )+y (y −2a )=0.解得D （1.2）．∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−a ，−2a)•(−a−32，2−a) =a2−2a−152+2a 2−4a =0 ．解得：a=3或a=-1． 又a ＞0.∴a=3． 即A 的横坐标为3． 故答案为：3．【点评】：本题考查平面向量的数量积运算.考查圆的方程的求法.是中档题．10.（填空题.3分）设函数f （x ）=（x-2）2sin （x-2）+3在区间[-1.5]的最大值和最小值分别为M.m.则M+m=___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：通过换元以及函数的奇偶性求出M+m 的值即可．【解答】：解：设x-2=t.则t∈[-3.3]. 故f （x ）=g （t ）=t 2sint+3.t∈[-3.3]. 函数y=g （t ）-3是奇函数. 最大值和最小值的和是0. 故M-3+m-3=0. 故M+m=6. 故答案为：6．【点评】：本题考查了函数的奇偶性问题.考查函数最值以及转化思想.换元思想.是一道常规题． 11.（填空题.3分）若实数a 是实数1+2b 与1-2b 的等比中项.则 8ab|a|+2|b| 的最大值为___ ． 【正确答案】：[1] √2【解析】：由a 是1+2b 与1-2b 的等比中项得到4|ab|≤1.再由基本不等式法求得．【解答】：解：a 是1+2b 与1-2b 的等比中项.则a 2=1-4b 2⇒a 2+4b 2=1≥4|ab|． ∴|ab|≤ 14 ．∵a 2+4b 2=（|a|+2|b|）2-4|ab|=1． ∴ 8ab |a|+2|b| = √1+4|ab|≤√1+4|ab|=4 √4(ab )21+4|ab| =4 √44|ab|+(1ab)2 =4 √4(1|ab|+2)2−4∵|ab|≤ 14 . ∴ 1|ab| ≥4. ∴ 8ab|a|+2|b| ≤4 √4(1|ab|+2)2−4≤4 √432 = √2 .故答案为： √2 ．【点评】：本题考查等比中项以及不等式法求最值问题.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．12.（填空题.3分）已知函数f （x ）= {|x |，x ≤mx 2−2mx +2m ，x ＞m （m ＞0）.若存在实数b.使得函数g （x ）=f （x ）-b 有3个零点.则实数m 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（1.+∞）【解析】：由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=b有3个不同的交点.通过x≤m的图象.可得x＞0时.f（x）不单调.可得|m|＞m2-2m2+2m.（m＞0）.解不等式即可得到m的范围．【解答】：解：存在实数b.使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根.即为函数y=f（x）的图象和直线y=b有3个不同的交点.即有x＞0时.f（x）不单调.可得|m|＞m2-2m2+2m.（m＞0）.即有m2＞m.解得m＞1．故答案为：（1.+∞）．【点评】：本题考查函数方程的转化思想.根的个数转化为交点个数.画出函数f（x）的图象是解题的关键.属于中档题．13.（单选题.3分）已知直线n在平面α内.直线m不在平面α内.则“m || n”是“m‖α”的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【正确答案】：B【解析】：由线面平行的性质定理可得“m || n”是“m‖α”的充分条件.由线线.线面关系.可得“m || n”是“m‖α”的不必要条件.即可得解【解答】：解：由线面平行的性质定理有：直线n在平面α内.直线m不在平面α内.若“m || n”则“m‖α”即“m || n”是“m‖α”的充分条件.直线n在平面α内.直线m不在平面α内.若“m‖α”则“m || n”或“m、n异面“则“m‖α”即“m || n”是“m‖α”的不必要条件.即“m || n”是“m‖α”的充分非必要条件.故选：B．【点评】：本题考查了线面平行的性质定理、线线.线面关系.属简单题．14.（单选题.3分）△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c．若△ABC的面积为a2+b2−c24.则C=（）A. π2B. π3C. π4D. π6【正确答案】：C【解析】：推导出S△ABC= 12absinC = a2+b2−c24.从而sinC= a2+b2−c22ab=cosC.由此能求出结果．【解答】：解：∵△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c．△ABC的面积为a2+b2−c24.∴S△ABC= 12absinC = a2+b2−c24.∴sinC= a2+b2−c22ab=cosC.∵0＜C＜π.∴C= π4．故选：C．【点评】：本题考查三角形内角的求法.考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．15.（单选题.3分）下面的四个命题中.真命题的个数是（）① 向量a . b⃗ . c .若a‖ b⃗且b⃗ || c .则a || c；② 向量a . b⃗ . c .若a• b⃗ = b⃗• c .则a = c；③ 复数z1.z2.若|z1-z2|=2.则（z1-z2）2=4；④ 公比为q等比数列{a n}.令b1=a1+a2+a3+a4.b2=a5+a6+a7+a8.….b n=a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n.….则数列{b n}（n∈N*）是公比为q4的等比数列．A.0B.1C.2D.3【正确答案】：B【解析】：举例说明① ② ③ 错误；由等比数列的定义说明④ 正确．【解答】：解：当a=0⃗时.由a‖ b⃗且b⃗ || c .不一定有a || c .故① 为假命题；当a与b⃗ . b⃗与c夹角相等且|a|=|c|时.有a• b⃗ = b⃗• c .故② 为假命题；z1=0.z2=2i.满足|z1-z2|=2.但（z1-z2）2=-4.故③ 为假命题；公比为q等比数列{a n}.令b1=a1+a2+a3+a4.b2=a5+a6+a7+a8.….b n=a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n.….则b nb n−1=a4n−3+a4n−2+a4n−1+a4na4n−7+a4n−6+a4n−5+a4n−4= a1q4n−4+a1q4n−3+a1q4n−2+a1q4n−1a1q4n−8+a1q4n−7+a1q4n−6+a1q4n−5=q4.数列{b n}（n∈N*）是公比为q4的等比数列.故④ 为真命题．∴真命题的个数是1个．故选：B．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用.考查向量共线及向量数量积的概念.考查复数与等比数列的基础知识.是中档题．16.（单选题.3分）已知向量a . b⃗ .满足同| a |=1.| b⃗ |=2.若对任意模为2的向量c .均有| a• c |+| b⃗• c|≤2 √7 .则向量a . b⃗的夹角的取值范围是（）A.[0. π3]B.[ π3 . 2π3]C.[ π6 . 2π3]D.[0. 2π3]【正确答案】：B【解析】：根据向量不等式得到|a+b⃗|≤√7 .平方得到a•b⃗≤1 .代入数据计算得到cosα≤12.再求出向量a . b⃗的夹角的取值范围．【解答】：解：由|a|=1，|b⃗|=2 .若对任意模为 2 的向量c .均有|a•c|+|b⃗•c|≤2√7 . 则|(a+b⃗)•c|≤|(a+b⃗)|•|c|≤|a•c|+|b⃗•c|≤2√7 .∴ |(a+b⃗)|•2≤2√7，|a+b⃗|≤√7 .平方得到 a⃗⃗⃗ 2+ b⃗2+2 a•b⃗≤7.即a•b⃗≤1.即cosα≤ 12.同时|（a - b⃗）• c|≤|（a - b⃗）|•| c|≤|| a• c + b⃗• c|≤2 √7 .∴|（a - b⃗）|•2≤2 √7 .即| a - b⃗|≤ √7 .平方得到 a⃗⃗⃗ 2+ b⃗2-2 a•b⃗≤7.即a•b⃗≥-1.即cosα≥- 12.综上- 12≤cosα≤ 12.即π3≤α≤ 2π3.∴向量a . b⃗的夹角的取值范围[ π3 . 2π3]．故选：B．【点评】：本题主要考查平面向量数量积的应用.根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系.综台性较强.难度较大．17.（问答题.0分）设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π3．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移π2个单位长度得到.求y=g（x）的单调增区间．【正确答案】：【解析】：（1）先将函数化简为f（x）= √2 sin（2ωx+ π4）.再由2π2ω=2π3.可得答案．（2）根据g（x）=f（x- π2）先求出解析式.再求单调区间．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx= sin2ωx+cos2ωx+2=√2sin(2ωx+π4)+2依题意得2π2ω=2π3.故ω的值为32．（Ⅱ）依题意得：g(x)=√2sin[3(x−π2)+π4]+2=√2sin(3x−5π4)+2由2kπ−π2≤3x−5π4≤2kπ+π2(k∈Z)解得23kπ+π4≤x≤23kπ+7π12(k∈Z)故y=g（x）的单调增区间为：[23kπ+π4，23kπ+7π12](k∈Z)．【点评】：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法．做这种题首先要将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式再做题．18.（问答题.0分）如图.在三棱锥P-ABC 中.AB=BC=2 √2 .PA=PB=PC=AC=4.O 为AC 的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上.且 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 BC⃗⃗⃗⃗⃗ .求直线PM 与平面PAC 所成角的大小（结果用反三角表示）【正确答案】：【解析】：（1）推导出PO⊥AC .BO⊥AC .AB⊥BC .PO⊥BO .由此能证明PO⊥平面ABC ．（2）以O 为原点.OB 为x 轴.OC 为y 轴.OP 为z 轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能求出直线PM 与平面PAC 所成角的大小．【解答】：证明：（1）∵在三棱锥P-ABC 中.AB=BC=2 √2 . PA=PB=PC=AC=4.O 为AC 的中点．∴PO⊥AC .BO⊥AC .AC 2=AB 2+BC 2.PO= √16−4 =2 √3 . ∴AB⊥BC .∴AO=BO=CO=2. ∴BO 2+PO 2=PB 2.∴PO⊥BO . ∵AC∩BO=O .∴PO⊥平面ABC ．（2）以O 为原点.OB 为x 轴.OC 为y 轴.OP 为z 轴. 建立空间直角坐标系.点M 在棱BC 上.且 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 BC⃗⃗⃗⃗⃗ . 则P （0.0.2 √3 ）.M （ 43，23 .0）.A （0.-2.0）. C （0.2.0）.PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 43，23 .-2 √3 ）.平面PAC 的法向量 n ⃗ =（1.0.0）.设直线PM 与平面PAC 所成角为θ. 则sinθ= |PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||n ⃗ |•|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 43√1289 = √24． ∴直线PM 与平面PAC 所成角的大小为arcsin √24 ．【点评】：本题考查线面垂直的证明.考查线面角的大小的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．19.（问答题.0分）如图.已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1.2）.过点Q （0.1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A.B ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点.直线PA 交y 轴于M.直线PB 交y 轴于N ． OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μ NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求证：λ+μ为定值．【正确答案】：【解析】：（1）将P 代入抛物线方程.即可求得p 的值.设直线AB 的方程.代入抛物线方程.由△＞0.即可求得k 的取值范围；（2）根据向量的共线定理即可求得λ=1-y M .μ=1-y N .求得直线PA 的方程.令x=0.求得M 点坐标.同理求得N 点坐标.根据韦达定理和向量的坐标表示.即可求得λ+μ为定值．【解答】：解：（1）抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1.2）.∴4=2p .解得p=2. 设过点（0.1）的直线方程为y=kx+1.A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）； 联立方程组可得 {y 2=4xy =kx +1 .消y 可得k 2x 2+（2k-4）x+1=0. ∴△=（2k-4）2-4k 2＞0.且k≠0解得k ＜1. 故直线l 的斜率的取值范围（-∞.0）∪（0.1）； （2）证明：设点M （0.y M ）.N （0.y N ）. 则 MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1-y M ）. OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1）； 因为 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以1=λ（1-y M ）.故λ= 11−y M.同理μ= 11−yN. 直线PA 的方程为y-2= 2−y11−x 1（x-1）=2−y 11−y 124（x-1）= 42−y 1（x-1）.令x=0.得y M =2y 12+y 1.同理可得y N =2y 22+y 2. 因为λ+μ= 11−y M+ 11−y N= 2+y12−y 1+ 2+y22−y 2= 8−2y 1y 2(2−y1)(2−y 2)= 8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k (x 1+x 2)+k 2x 1x 2 = 8−2[k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1]1−k (x 1+x 2)+k 2x 1x 2 = 8−2(1+4−2kk+1)1−4−2kk+1=2. 即有λ+μ为定值．【点评】：本题考查抛物线的方程.直线与抛物线的位置关系.考查韦达定理的应用.考查转化思想.计算能力.属于中档题．20.（问答题.0分）已知两个城市A.B 相距100km.现计划在两城市之间合建一个垃圾处理厂.垃圾处理厂计划在以AB 为直径的半圆弧 AB̂ 上选择一点C 建造（不能选在点A.B 上）.其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关.对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和.记C 点到城A 的距离为x （单位是km ）.建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比.比例系数为100；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比.比例系数为k.当垃圾处理厂建在 AB ̂ 上距离A 城20公里处时.对城A 和城B 的总影响度为 35128 ． （1）将y 表示成x 的函数；（2）求当垃圾处理厂到A.B 两城市距离之和最大时的总影响度y 的值；（3）求垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度的最小值.并求出此时x 的值．（结算结果均用精确值表示）【正确答案】：【解析】：（1）先求出k 的值.再得出解析式；（2）根据三角函数求出距离和的最大值对应的x 的值.再计算影响度； （3）利用导数判断函数的单调性.从而得出y 的最小值及对应的x 的值．【解答】：解：（1）由圆的性质可知BC 2=AB 2-AC 2=10000-x 2. ∴y=100x 2 + k10000−x 2. 把（20. 35128 ）代入上式得： 14 + k9600 = 35128 ． 解得k=225．∴y= 100x 2 + 22510000−x 2 （0＜x ＜100）．（2）设∠BAC=α.则AC=100cosα.BC=100sinα.∴垃圾处理厂到A.B 两城市距离之和为100（sinα+cosα）=100 √2 sin （α+ π4 ）. ∴当α= π4 时.垃圾处理厂到A.B 两城市距离之和最大.此时x=AC=50 √2 . ∴y= 1005000 + 2255000 =0.065．（3）y′=- 200x 3 + 450x(104−x 2)2 = −200(104−x 2)2+450x 4x 3(104−x 2)2. 令y′=0得：3x 2=2（104-x 2）.解得x=20 √10 ． ∴当0＜x ＜20 √10 时.y′＜0.当20 √10 ＜x ＜100时.y′＞0. ∴当x=20 √10 .y 取得最小值.最小值为 1004000 + 2256000 =0.0625．【点评】：本题主要考查函数模型的建立和应用.考查函数最值的计算.属于中档题．21.（问答题.0分）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知对任意的n∈N *.点（n.S n ）均在函数y=b x +r （b ＞0且b≠1.b.r 均为常数）的图象上． （1）求r 的值；（2）当b=2时.记b n = n+14a n（n∈N *）.求数列{b n }的前n 项和T n ；（3）数列{c n }满足.c 1=1.c n+1-c n =2（a n+1-a n ）（n∈N *）.若 12 ＜ cn c m＜2对m.n∈N *恒成立.求实数b 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由等比数列的定义和数列的递推式.解方程可得r 的值；（2）a n =2n-1.b n = n+14a n=（n+1）•（ 12 ）n+1.由数列的错位相减法求和.结合等比数列的求和公式.计算可得所求和；（3）运用数列恒等式可得c n =c 1+（c 2-c 1）+（c 3-c 2）+…+（c n -c n-1）.结合数列不等式恒成立.讨论公比b 与1的关系.解不等式可得所求b 的范围．【解答】：解：（1）等比数列{a n }的公比设为q. 对任意的n∈N *.点（n.S n ）均在函数y=b x +r 的图象上. 即S n =b n +r.可得a 1=S 1=b+r.a 2=S 2-S 1=b 2+r-b-r=b 2-b. a 3=S 3-S 2=b 3+r-b 2-r=b 3-b 2.则公比为b.即有b （b+r ）=b 2-b.解得r=-1； （2）当b=2时.可得公比为2.首项为2-1=1. 即a n =2n-1.b n = n+14a n=（n+1）•（ 12 ）n+1.前n 项和T n =2•（ 12 ）2+3•（ 12 ）3+…+（n+1）•（ 12 ）n+1. 可得 12 T n =2•（ 12 ）3+3•（ 12 ）4+…+（n+1）•（ 12 ）n+2.相减可得 12 T n = 12 +（ 12 ）3+（ 12 ）4+…+（ 12 ）n+1-（n+1）•（ 12 ）n+2= 12 + 18(1−12n−1)1−12-（n+1）•（ 12 ）n+2.化简可得T n = 32 -（n+3）•（ 12 ）n+1；（3）数列{c n}满足.c1=1.c n+1-c n=2（a n+1-a n）. 可得c n=c1+（c2-c1）+（c3-c2）+…+（c n-c n-1）=1+2（a2-a1+a3-a2+…+a n-a n-1）=1+2（a n-a1）=1+2（b-1）（b n-1-1）.由于b＞0且b≠1.若b＞1可得c n递增.且无界.1 2＜c nc m＜2对m.n∈N*恒成立.可得0＜b＜1.考虑n很大.m=1可得12＜1-2（b-1）＜2.解得12＜b＜1．【点评】：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用.考查数列恒等式和数列的错位相减法求和.以及不等式恒成立问题解法.考查运算能力.属于中档题．。
2018-2019学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．“”是“”成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由题意得“”，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．【考点】充分不必要条件的判定．2．若实数a、b满足条件，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A、，时，有成立，故A错误；对于B、，时，有成立，故B错误；对于C、，时，有成立，故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若，必有成立，则D正确；故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．3．设集合，对任意恒成立，则P与Q的关系是A．B．C．D．【答案】C【解析】先分别求出集合P，Q，由此能求出P与Q的关系．【详解】集合，对任意恒成立，当m=0时，-1<0,满足题意，当时，结合二次函数的性质得到．与Q的关系是．故选：C．【点睛】本题考查集合的关系的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知集合2，3，，集合是集合A的子集，若且2，，，满足集合B的个数记为，则A．9B．10C．11D．12【答案】B【解析】根据和，可得，，，集合2，3，4，5，6，；集合，满足集合B的个数列罗列出来，可得答案．【详解】由题意可得，，，那么集合2，3，4，5，6，；集合，，满足集合B的个数列罗列出来，可得：3，，3，，3，，4，，4，；5，，4，，4，，5，，5，，故选：B．【点睛】本题考查子集与真子集，并且即时定义新的集合，主要考查学生的阅读理解能力．二、填空题5．设全集2，3，4，5，，集合4，，则______．【答案】3，【解析】根据补集的定义写出 A.【详解】全集2，3，4，5，，集合4，，则3，．故答案为：3，．【点睛】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．6．不等式的解集为______．【答案】【解析】不等式等价于，根据一元二次不等式的解集的特征，可以断定原不等式的解集为.7．已知集合0，，，若，则实数a的值为______．【答案】【解析】先假设，得，；，；，；取补集得结果．【详解】若，则，；，；，；，．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点集合的包含关系应用，难度不大，属于基础题．8．用列举法写出集合______【答案】【解析】由及即可求出，0，或1，从而得出，或1，进而得出y的值，从而得出集合A．【详解】，且；，0，或1；，或1；，或0；．故答案为：．【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及绝对值不等式的解法．9．已知不等式的解集为，则______【答案】11【解析】利用不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系求出a、b的值．【详解】不等式的解集为，方程的实数根为2和3，，，；．故答案为：11．【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．10．命题“如果，那么”的逆否命题为______．【答案】若，则【解析】根据逆否命题的定义，即把结论和条件的否定后作为逆否命题的条件和结论即可．【详解】原命题“如果，那么”，其逆否命题为：“若，则”．故答案为：若，则．【点睛】本题考查的知识点是逆否命题的定义，需要正确写出对条件的结论的否定，这是关键和易出错的地方．11．已知集合，，，则______．【答案】【解析】根据交集定义得．【详解】．故答案为：．【点睛】此题考查了交集及其运算，需要注意此题是点集，是基础题．12．若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围为______．【答案】【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则，则，故答案为：【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．13．已知集合，，若，则实数a的取值集合为______【答案】【解析】分为，和两种情况讨论，取并集得结论．【详解】，，，，，，，，故实数a的取值集合为．故答案为：．【点睛】本题考查了集合的化简与集合的运算的应用，注意不要漏掉，属于基础题．14．已知集合中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为______．【答案】或【解析】推导出的解为或无解，由此能求出实数a的取值集合．【详解】集合中的所有元素之和为2，已经确定2是其中的元素，的解为或无解，或，解得．实数a的取值集合为或．故答案为：或．【点睛】本题考查实数的取值集合的求法，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．已知正实数x，y满足，则的最小值是______【答案】【解析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16．若不等式对任意，恒成立，则a的取值范围是______．【答案】【解析】不等式，，，，令，可得：利用导数研究其单调性极值最值即可得出．【详解】不等式，，，，令，可得：．．函数在，可知：时函数取得最大值，．.不等式对任意，恒成立，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题17．已知x，y是实数，求证：．【答案】见解析【解析】利用综合法，证明不等式即可．【详解】因为，可得，，可得，所以．【点睛】本题考查不等式的证明，综合法的应用，是基本知识的考查.18．已知全集，集合，，求，．【答案】，【解析】先求出A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．【详解】；；；；，；．【点睛】考查描述法表示集合的定义，，以及交集、并集和补集的运算．19．已知命题p：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根．若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【解析】由题意可得判别式大于0，由绝对值不等式的解法可得m的范围；考虑命题q真，运用绝对值不等式的性质和判别式小于0，解不等式可得m的范围，由p，q一真一假，解不等式即可得到所求范围．【详解】命题p：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解得；命题q：关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根，可得，由，可得无实数解，可得，即，命题p和命题q中有且只有一个为真命题，可得或，即有或．【点睛】本题考查二次方程和二次不等式的解法，注意运用判别式和绝对值不等式的性质，考查化简运算能力，属于基础题．20．已知集合，集合当时，求集合和集合B；若集合为单元素集，求实数m的取值集合；若集合的元素个数为个，求实数m的取值集合【答案】（1），；（2）；（3）【解析】（1）m＝2时，化简集合A，B，即可得集合∁R A和集合B；（2）集合B∩Z为单元素集，所以集合B中有且只有一个整数，而0∈B，所以抛物线y＝（1﹣m2）x2+2mx ﹣1的开口向上，且与x轴的两个交点都在[﹣1，1]内，据此列式可得m＝0；（3）因为A＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），（A∩B）∩Z中由n个元素，所以1﹣m2＞0，即﹣1＜m＜1；A∩B中至少有3或﹣2中的一个，由此列式可得．【详解】集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，集合{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}＝{x|[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＜0}A＝{x|﹣1＜x＜2}；（1）当m＝2时，集合∁R集合B ＝{x |﹣1＜x ＜}；（2）因为集合B ∩Z 为单元素集，且0∈B ，所以，解得m ＝0，当m ＝0时，经验证，满足题意．故实数m 的取值集合为{0}（3）集合（A ∩B ）∩Z 的元素个数为n （n ∈N）个，A ∩B 中至少有3或﹣2中的一个，所以令f （x ）＝（1﹣m 2）x 2+2mx ﹣1，依题意有或，解得﹣1＜m ＜﹣或＜m ＜1∴【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算属难题．21．已知集合P 的元素个数为个且元素为正整数，将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，即，，，，其中，，若集合A 、B 、C 中的元素满足，，，2，，则称集合P 为“完美集合”．若集合2，，2，3，4，5，，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；已知集合x ，3，4，5，为“完美集合”，求正整数x 的值；【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)讨论集合A 与集合B ，根据完美集合的概念知集合C ，根据a k +b k =c k ,可依次判断集合P 与Q 是否为完美集合；（2）讨论集合AB,根据完美集合的定义，建立等式求x 的值.【详解】（1）集合P ＝2，为“完美集合”，令A ＝{1}，B ＝{2}，C ＝{3}．则集合A 、B 、C 中的元素满足a k +b k ＝c k ，集合Q ＝2，3，4，5，不是“完美集合”，若集合Q 为“完美集合”，则C 中元素最小为3，若C 的最小元素为3，则a 1+b 1＝1+2＝3，a 2+b 2＝4+5＝c 2＝6不可能成立，若C 的最小元素为4，则a 1+b 1＝1+3＝4，a 2+b 2＝2+5＝c 2＝6不可能成立，若C 的最小元素为5，则a 1+b 1＝1+4＝5，a 2+b 2＝2+3＝c 2＝6不可能成立，综上可得集合Q ＝{1,2，3，4，5，6}不是“完美集合”（2）由（1）可得x ≠2，若A ＝{1，3}，4∈B ，则5∈C，6∈B ，x ＝3+6＝9∈C 满足“完美集合”的定义；若A ＝{1，3}，5∈B ，则6∈C，5∈B ，x ＝3+5＝8∈C 满足“完美集合”的定义；【点睛】这个题目考查了集合的新概念型问题，关键是读懂题意，按照题目所给的定义求解.。
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三(上)期中数学试卷-教师用卷
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是()A. 1x2+1>1y2+1B. ln(x2+1)>ln(y2+1)C. sin x>sin yD. x3>y3【答案】D【解析】解：∵实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，∴x>y，A.取x=2，y=−1，不成立；B.取x=0，y=−1，不成立C.取x=π，y=−π，不成立；D.由于y=x3在R上单调递增，因此正确故选：D．实数x，y满足a x<a y(0<a<1)，可得x>y，对于A.B.C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增，即可判断出正误．本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．2.已知点A(−2,0)、B(3,0)，动点P(x,y)满足PA⋅PB=x2，则点P的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】解：∵动点P(x,y)满足PA⋅PB=x2，∴(−2−x,−y)⋅(3−x,−y)=x2，∴(−2−x)(3−x)+y2=x2，解得y2=x+6．∴点P的轨迹方程是抛物线．故选：D．由题意知(−2−x,y)⋅(3−x,y)=x2，化简可得点P的轨迹．本题考查点的轨迹方程，解题时要注意公式的灵活运用．3.已知数列{a n}是公比为q(q≠1)的等比数列，则数列：①{2a n}；②{a n2}；③{1a n2}；④{a n a n+1}；⑤{a n+a n+1}；等比数列的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】解：数列{a n}是公比为q(q≠1)的等比数列，则①2a n+12a n=2a n+1−a n，不是等比数列；②a n +12a n2=q 2；③{1a n2}是公比为1q 2的等比数列；④{a n a n +1}是公比为q 2的等比数列；⑤{a n +a n +1}不一定是等比数列，例如(−1)n ．综上：等比数列的个数为3． 故选：B ．利用等比数列的定义通项公式即可得出．本题考查了等比数列的定义通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4. 设函数f 1(x )=x 2，f 2(x )=2(x −x 2)，f 3(x )=13|sin2πx |，a i =i99，i =0，1，2，…，99.记I k =|f k (a 1)−f k (a 0)|+|f k (a 2)−f k (a 1)丨+⋯+|f k (a 99)−f k (a 98)|，k =1，2，3，则( ) A. I 1<I 2<I 3 B. I 2<I 1<I 3 C. I 1<I 3<I 2 D. I 3<I 2<I 1 【答案】B【解析】解：由|(i99)2−(i−199)2|=199×2i−199，故I 1=199(199+399+599+⋯+2×99−199)=199×99299=1，由2|i99−i−199−(i 99)2+(i−199)2|=2×199|99−(2i−1)99|，故I 2=2×199×58(98+0)2×99=9899×10099<1，I 3=1[||sin2π⋅1|−|sin2π⋅0||+||sin2π⋅2|−|sin2π⋅1||+⋯+||sin2π⋅99|−|sin2π⋅9899||] =13(2sin2π⋅2599−2sin2π⋅7499)>1，故I 2<I 1<I 3， 故选：B ．根据记I k =|f k (a 1)−f k (a 0)|+|f k (a 2)−f k (a 1)丨+⋯+|f k (a 99)−f k (a 98)|，分别求出I 1，I 2，I 3与1的关系，继而得到答案本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 设函数f (x )= π(x 2−5)x ≥1cos x x <1，则f (f (2))=______【答案】−1【解析】解：∵函数f (x )= π(x 2−5)x ≥1cos x x <1， ∴f (2)=π(4−5)=−π，f (f (2))=f (−π)=cos(−π)=cos π=−1． 故答案为：−1．推导出f (2)=π(4−5)=−π，从而f (f (2))=f (−π)=cos(−π)=cos π，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.在各项为实数的等比数列{a n}中，a5+8a2=0，则公比q的值为______【答案】−2【解析】解：∵a5+8a2=0，∴a2q3+8a2=0，即q3=−8，解得q=−2．故答案为：−2．由等比数列的性质知q3=−8，从而解得．本题考查了等比数列的性质，属于基础题．7.若m=(1,2)，n=(−2,1)，p=(cosα,sinα)，m⋅p=3n⋅p，则tanα=______【答案】7【解析】解：因为m⋅p=(1,2)⋅(cosα,sinα)=cosα+2sinα，3n⋅p=3(−2,1)⋅(cosα,sinα)=−6cosα+3sinα，∴cosα+2sinα=−6cosα+3sinα，∴sinα=7cosα，tanα=7，故答案为：7．利用向量的数量积和三角函数同角公式可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算.属基础题．8.设集合A={x|x2−2x≥0}，B={x|2x−1≤1}，则(∁R A)∩B=______【答案】(0,1]【解析】解：集合A={x|x2−2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，集合B={x|2x−1≤1}={x|x−1≤0}={x|x≤1}，∴∁R A={x|0<x<2}，∴(∁R A)∩B={x|0<x≤1}=(0,1]．故答案为：(0,1]．化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．9.某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是______【答案】80【解析】解：分步进行：第一步：从5个家庭中选出4个家庭，有C54=5种；第二步：从选出的4个家庭的每个家庭的父母亲中选出1位来，有C21×C21×C21×C21= 16；根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：5×16=80．故答案为：80．用分步计数原理：①从5个家庭中选4个家庭；②从每个家庭中选出1个.然后相乘可得．本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．10.从原点O向圆x2+y2−12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为______．【答案】2π【解析】解：把圆的方程化为标准方程为：x2+(y−6)2=9，得到圆心C的坐标为(0,6)，圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90∘，且AC=BC=3，OC=6，则∠AOB=∠BOC+∠AOC=60∘，所以∠ACB=120∘，所以该圆夹在两条切线间的劣弧长l=120∘π×3180∘=2π．故答案为：2π把圆的方程化为标准方程后，找出圆心C的坐标和圆的半径r，根据AC与BC为圆的半径等于3，OC的长度等于6，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半得到角AOB 等于2×30∘，然后根据四边形的内角和定理求出角BCA的度数，然后由角BCA的度数和圆的半径，利用弧长公式即可求出该圆夹在两条切线间的劣弧长．此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，掌握直角三角形的性质，灵活运用弧长公式化简求值，是一道综合题．11.已知数列{a n}的前n项和S n满足：对于任意m，n∈N∗，都有S n+S m=S n+m+2mn，若a1=1，则a2018=______【答案】−4033【解析】解：根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，又由a1=1，即S1=a1=1，则有S n+1=S n+1+2n，变形可得：S n+1−S n=1−2n，则a2018=S2018−S2017=1−2×2017=−4033；故答案为：−4033．根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，用特殊值法分析：令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，变形可得S n+1−S n=1−2n，再令n=2018计算可得答案．本题考查数列的递推公式，注意特殊值法分析数列的递推公式，属于中档题．12.已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)=x3−1；当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)；当x>12时，f(x+12)=f(x−12)，则f(6)=______．【答案】2【解析】解：∵当x>12时，f(x+12)=f(x−12)，∴当x>12时，f(x+1)=f(x)，即周期为1．∴f(6)=f(1)，∵当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)，∴f(1)=−f(−1)，∵当x<0时，f(x)=x3−1，∴f(−1)=−2，∴f(1)=−f(−1)=2，∴f(6)=2；故答案为：2求得函数的周期为1，再利用当−1≤x≤1时，f(−x)=−f(x)，得到f(1)=−f(−1)，当x<0时，f(x)=x3−1，得到f(−1)=−2，即可得出结论．本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，若实数a满足f(log2|a−1|)>f(−2)，则a的取值范围是______【答案】(3,34)∪(54,5)【解析】解：根据题意，f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(−∞,0]上单调递增，则f(x)在[0,+∞)上为减函数，则f(log2|a−1|)>f(−2)⇒f(|log2|a−1||)>f(2)⇒|log2|a−1||<2⇒−2<log2|a−1|<2，变形可得：14<|a−1|<4，解可得：−3<a<34或54<x<5；即不等式的解集为(−3,34)∪(54,5)；故答案为：(−3,34)∪(54,5)．根据题意，分析可得f(x)在[0,+∞)上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得f(log2|a−1|)>f(−2)可以转化为−2<log2|a−1|<2，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数在[0,+∞)上的单调性，属于基础题．14.在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6ab cos C，则tan C1tan B−tan C1tan A=______【答案】4【解析】解：在锐角三角形ABC中，∵a2+b2=6ab cos C=6ab⋅a2+b2−c22ab，∴c2=23(a2+b2).则tan C1tan B−tan C1tan A=tan Ctan A+tan Ctan B=tan C(1tan A+1tan B)=sin Ccos C⋅(cos Asin A+cos Bsin B)=sin Ccos C⋅sin(A+B) sin A sin B =sin C⋅sin Csin A sin B cos C=c2ab⋅a2+b2−c2=2c2a+b−c=4，故答案为：4．由题意利用余弦定理可得c2=23(a2+b2)，再利用行列式的运算、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查余弦定理、同角三角函数的基本关系，行列式的运算，属于中档题．15.已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c}，则a2+b2+7a+c(其中a+c≠0)的取值范围为______．【答案】(−∞,−6]∪[6,+∞)【解析】解：根据关于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c}，可得a>0，对应的二次函数的图象的对称轴为x=−1a=c，△=4−4ab=0，∴ac=−1，ab=1，∴c=−1a ，b=1a．则a2+b2+7a+c =(a−b)2+9a−b=(a−b)+9a−b，当a−b>0时，由基本不等式求得(a−b)+9a−b≥6，当a−b<0时，由基本不等式求得−(a−b)−9a−b ≥6，即(a−b)+9a−b≤−6故a2+b2+7a+c(其中a+c≠0)的取值范围为：(−∞,−6]∪[6,+∞)，故答案为：(−∞,−6]∪[6,+∞)．由条件利用二次函数的性质可得ac=−1，ab=1，再根据则a2+b2+7a+c =(a−b)+9a−b，利用基本不等式求得它的范围．本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，属于中档题．16.若定义域均为D的三个函数f(x)，g(x)，ℎ(x)满足条件：对任意x∈D，点(x,g(x)与点(x,ℎ(x)都关于点(x,f(x)对称，则称ℎ(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”.已知g(x)=1−x2，f(x)=2x+b，ℎ(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”，且ℎ(x)≥g(x)恒成立，则实数b的取值范围是______．【答案】[+∞)【解析】解：解：∵x∈D，点(x,g(x))与点(x,ℎ(x))都关于点(x,f(x))对称，∴g(x)+ℎ(x)=2f(x)，∵ℎ(x)≥g(x)恒成立，∴2f(x)=g(x)+ℎ(x)≥g(x)+g(x)=2g(x)，即f(x)≥g(x)恒成立，作出g(x)和f(x)的图象，若ℎ(x)≥g(x)恒成立，则ℎ(x)在直线f(x)的上方，即g(x)在直线f(x)的下方，则直线f(x)的截距b>0，且原点到直线y=2x+b的距离d≥1，d=22+1=5≥1⇒b≥5或b≤−5(舍去)即实数b的取值范围是[5,+∞)，根据对称函数的定义，结合ℎ(x)≥g(x)恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可．本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，BC //AD ，AB ⊥BC ，∠ADC =45∘，PA ⊥平面ABCD ，AB =AP =1，AD =3．(1)求异面直线PB 与CD 所成角的大小； (2)求点D 到平面PBC 的距离．【答案】解：(1)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则P (0,0，1)，B (1,0，0)，C (1,2，0)D (0，3，0)， ∴PB =(1,0，−1)，CD =(−1,1，0)，……(3分) 设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cos θ=|PB ⋅CD ||PB|⋅|CD |=12，……(6分)所以异面直线PB 与CD 所成角大小为π3.……(7分)(2)设平面PBC 的一个法向量为n =(x ,y ，z )，PB =(1,0，−1)，BC =(0,2，0)，CD =(−1,1，0)， 则 n ⋅PB =x −z =0n ⋅BC =2y =0，取x =1，得n=(1,0，1)，……(4分) ∴点D 到平面PBC 的距离d =|n ⋅CD ||n |=22.……(7分) 【解析】(1)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB 与CD 所成角大小．(2)求出平面PBC 的一个法向量，利用向量法能求出点D 到平面PBC 的距离．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18. 设函数f (x )=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0<ω<3，已知f (π6)=0．(Ⅰ)求ω；(Ⅱ)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y =g (x )的图象，求g (x )在[−π4,3π4]上的最小值．【答案】解：(Ⅰ)函数f (x )=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)=sin ωx cos π6−cos ωx sin π6−sin(π2−ωx )=3sin ωx −3cos ωx = 3sin(ωx −π3)，又f (π6)= 3sin(π6ω−π3)=0， ∴π6ω−π3=kπ，k ∈Z ，解得ω=6k+2，又0<ω<3，∴ω=2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=3sin(2x−π3)，将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=3sin(x−π3)的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到y=x+π4−π3)的图象，∴函数y=g(x)=3sin(x−π12)；当x∈[−π4,3π4]时，x−π12∈[−π3,2π3]，∴sin(x−π12)∈[−32,1]，∴当x=−π4时，g(x)取得最小值是−32×3=−32．【解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化函数f(x)为正弦型函数，根据f(π6)=0求出ω的值；(Ⅱ)写出f(x)解析式，利用平移法则写出g(x)的解析式，求出x∈[−π4,3π4]时g(x)的最小值．本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．19.某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P(即直线与曲线相切)，如图所示.若曲线段MPN是函数y=ax图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．(1)求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；(2)若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．【答案】解：(1)由题意得M(1,8)，则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为y=8x，(4分)又得N(10,45)，所以定义域为[1,10].…(6分)(2)P(p,8p )，设AB：y−8p=k(x−p)由y−8p=k(x−p)y=8x得kpx2+(8−kp2)x−8p=0，△=(8−kp2)2+32kp2=(kp2+8)2=0，…(8分)∴kp2+8=0，∴k=−8p ，得直线AB方程为y−8p=−8p(x−p)，…(10分)得A(0,16p)、B(2p,0)，故点P为AB线段的中点，由2p−16p =2⋅p2−8p>0即p2−8>0…(12分)得p>2时，OA<OB，所以，当22<p≤10时，经点A至P路程最近.(14分)【解析】(1)由题意得M(1,8)，则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为y=8x，可得其定义域；(2)P(p,8p )，设AB：y−8p=k(x−p)与y=8x联立求出A，B的坐标，即可求出最短长度p的取值范围．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．20.对于函数f(x)=11−x，定义f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f[f n(x)](n∈N∗)，已知偶函数g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(1)=0，当x>0且x≠1时，g(x)=f2018(x)．(1)求f2(x)，f3(x)，f4(x)，f2018(x)；(2)求出函数y=g(x)的解析式；(3)若存在实数a、b(a<b)，使得函数g(x)在[a,b]上的值域为[mb,ma]，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)因为函数f(x)=11−x，定义f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f[f n(x)](n∈N∗)，f1(x)=11−x，f2(x)=f[f1(x)]=11−1=x−1x，(x≠0且x≠1)，f3(x)=f[f2(x)]=11−x−1=x，(x≠0且x≠1)，f4(x)=f[f3(x)]=11−x，(x≠0且x≠1)，故对任意的n∈N⋅，有f3n+i(x)=f i(x)(i=2,3，4)，于是f2018(x)=f3×672+2=f2(x)=1−1x，(x≠0且x≠1)；(2)当x>0且x≠1时，g(x)=f2018(x)=1−1x，又g(1)=0，由g(x)为偶函数，当x<0时，−x>0，g(x)=g(−x)=1+1x，可得g(x)=1+1x,x<01−1x,x>0；(3)由于y=g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，又a<b，mb<ma，可知a与b同号，且m<0，进而g(x)在[a,b]递减，且a<b<0，当a，b∈(0,1)时，g(x)=1−1x为增函数，故1−1a=mb1−1b=ma，即m=a−1ab=b−1ab，得a−1=b−1，即a=b，与a<b矛盾，∴此时a，b不存在；函数y=g(x)的图象，如图所示.由题意，有g(a)=1+1a=mag(b)=1+1b=mb，故a，b是方程1+1x=mx的两个不相等的负实数根，即方程mx2−x−1=0在(−∞,0)上有两个不相等的实根，于是△=1+4m>0a+b=1m<0ab=−1m>0，解得−14<m<0．综合上述，得实数m的取值范围为(−14,0)．【解析】(1)根据函数关系代入计算进行求解即可；(2)由偶函数的定义，计算可得所求解析式；(3)根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可．本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的应用，考查分类讨论思想方法、运算和推理能力，属于中档题．21.对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j−a i,i<j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m−a k=t(m,k∈N∗,m>k)，必有a m+1−a k+1=t”，则称数列具有性质P(t)．(1)若数列{a n}满足a n=2n n≤22n−5n≥3，判断数列{a n}是否具有性质P(2)？是否具有性质P(4)？说明理由；(2)求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P(0)”的必要不充分条件；(3)已知{b n}是各项均为正整数的数列，且{b n}既具有性质P(2)，又具有性质P(5)，求证：存在正整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+K，…是等差数列．【答案】解：(1)∵a n=2n n≤2 2n−5n≥3，a2−a1=2，但a3−a2=−1≠2，数列{a n}不具有性质P(2)；同理可得，数列{a n}具有性质P(4)．(2)证明：(不充分性)对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={−1,0，1}是有限集，但是由于a2−a1=0，a3−a2=1，所以不具有性质P(0)；(必要性)因为数列{a n}具有性质P(0)，所以一定存在一组最小的且m>k，满足a m−a k=0，即a m=a k由性质P(0)的含义可得a m+1=a k+1，a m+2=a k+2，…，a2m−k−1=a m−1，a2m−k=a m，…所以数列{a n}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：a k，a k+1，…，a m−1为一个周期中的各项，所以数列{a n}中最多有m−1个不同的项，所以T最多有C m−12个元素，即T是有限集；(3)证明：因为数列{b n}具有性质P(2)，数列{b n}具有性质P(5)，所以存在M′、N′，使得，，其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质P(2)，P(5)的含义可得，，，若，则取，可得；若N {{'}}'/>，则取，可得．记，则对于b M，有b M+p−b M=2，b M+q−b M=5，显然p≠q，由性质P(2)，P(5)的含义可得，b M+p+k−b M+k=2，b N+q+k−b N+k=5，所以b M+qp−b M=(b M+qp−b M+(q−1)p)+(b M+(q−1)p−b M+(q−2)p)+⋯+(b M+p−b M)=2qb M+qp−b M=(b M+pq−b M+(p−1)q)+(b M+(p−1)q−b M+(p−2)q)+⋯+(b M+q−b M)=5p所以b M+qp=b M+2q=b M+5p．所以2q=5p，又p，q是满足b M+p−b M=2，b M+q−b M=5的最小的正整数，所以q=5，p=2，b M+2−b M=2，b M+5−b M=5，所以，b M+2+k−b M+k=2，b M+5+k−b M+k=5，所以，b M+2k=b M+2(k−1)+2=⋯=b M+2k，b M+5k=b M+5(k−1)+5=⋯=b M+5k，取N=M+5，若k是偶数，则b N+k=b N+k；若k是奇数，则b N+k=b N+5+(k−5)=b N+5+(k−5)=b N+5+(k−5)=b N+k，所以，b N+k=b N+k，所以b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是公差为1的等差数列【解析】(1)由a n=2n n≤22n−5n≥3，可得a2−a1=2，但a3−a2=−1≠2，数列{a n}不具有性质P(2)；同理可判断数列{a n}具有性质P(4)；(2)举例“周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={−1,0，1}是有限集，利用新定义可证数列{a n}不具有性质P(0)，即不充分性成立；再证明其必要性即可；(3)依题意，数列{b n}是各项为正整数的数列，且{b n}既具有性质P(2)，又具有性质P(5)，可证得存在整数N，使得b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是等差数列．本题考查数列递推式的应用，考查充分、必要条件的判定，考查推理与论证能力，属于难题．。
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三年级月考数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三年级第一学期10月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1—6每题4分，第7—12每题5分） 1、在等差数列{}n a 中，若1684=+a a ，则该数列前11项和=11S ________。
【答案】88【考点】等差数列的前n 项和【难度】基础【分析】由1611184=+=+a a a a ，则()8821111111=+⨯=a a S2、公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且16113=a a ，则=162log a ________。
【答案】5【考点】等比数列的通项公式【难度】基础【分析】由16113=a a ，则()()16221031231=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯a a ，则11=a ，由11=a ，则3216=a ，则5log 162=a3、已知⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，53sin =α，则=-)4tan(πα________。
【答案】7-【考点】正切的两角和差公式【难度】基础【分析】由⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，53sin =α，则43-tan =α，则7-)4tan(=-πα4、若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是________。
【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,3131,【考点】用行列式解一元二次方程组【难度】基础【分析】关于x 、y 的二元一次方程组由⎩⎨⎧=+-=-4)12(3-y x m y mx 有唯一一组解，则01121≠--=m m D ，则⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈,3131,m5、已知双曲线的方程为1322=-y x ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为________。
【答案】1【考点】双曲线的标准方程【难度】基础【分析】由()0,2c，渐近线x y 33=则此双曲线的焦点到渐近线的距离为1 6、当函数)20(cos 3sin π≤≤-=x x x y 取得最大值时，=x ________。
数学---上海市浦东新区建平中学2018届高三(上)10月月考试卷(解析版)
上海市浦东新区建平中学2018届高三（上）10月月考数学试卷一、填空题1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|x≥0}，则A∩B=．2．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的定义域为．3．（5分）当x＞0时，函数f（x）=x+x﹣1的值域为．4．（5分）“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．5．（5分）若函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，则f﹣1（3）=．6．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}，B={t|at﹣1=0}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为．7．（5分）已知函数f（x）=lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值集合为．8．（5分）已知不等式≤1的解集为A，若1∉A，则实数a的取值范围是．9．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，若f（a）＞f（2a﹣1），则实数a的取值范围是．10．（5分）若集合A={x|x2+4x+a=0}，集合B={t|函数f（x）=4x2﹣8x+t（4﹣t）至多有一个零点}，则A∪B的元素之和的函数关系式f（a）=．11．（5分）当m＞0时，方程（mx﹣1）2﹣=m在x∈[0，1]上有且只有一个实根，则实数m的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）=，记函数g（x）=f（x）﹣t，若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则实数a的取值范围是．二、选择题13．（5分）下列函数中，与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m （）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），给出下列命题：①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（x）至少有三个零点；③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]．则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题17．已知U=R，P={x|＞a}，Q={x|x2﹣3x≤10}．（1）若a=1，求（∁U P）∩Q；（2）若P∩Q=P，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=+（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）解不等式f（x）≥．19．某城市要建造一个边长为2km的正方形市民休闲OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，过对边OA上一点M的区域OABD内作一次函数y=kx+m（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区．（1）写出函数关系式m=f（k）；（2）设点P的横坐标为t，将四边形MABN的面积S表示关于t的函数S=g（t），并求S的最大值．20．设函数f（x）=|4x﹣a•2x+4|+a•2x，其中a∈R．（1）当a＜0时，求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）若a=5，求函数f（x）的值域并写出函数f（x）的单调区间；（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），若函数g（x）的最大值为5，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=log n x（n＞0，n≠1）．（1）若f（x1x2）=10，求f（x12）+f（x22）的值；（2）设g（x）=f（），当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求m与n的值；（3）当n=3时，记h（x）=f﹣1（x）+（m＞0），如果对于区间[﹣1，0]上的任意三个实数r，s，t，都存在以h（r）、h（s）、h（t）为边长的三角形，求实数m的取值范围．【参考答案】一、填空题1．[0，1）【解析】集合A={x|x＜1}，B={x|x≥0}，则A∩B={x|0≤x＜1}=[0，1）．故答案为：[0，1）．2．（1，+∞）【解析】对数函数f（x）=log2（x﹣1）中，x﹣1＞0，解得x＞1；∴f（x）的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．3．[2，+∞）【解析】∵x＞0，∴f（x）=x+x﹣1=x+．当且仅当x=1时，上式“=”成立．∴函数f（x）=x+x﹣1的值域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．4．a＜1【解析】若“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则a＜1，故答案为：a＜1．5．1【解析】∵函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，故x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣x﹣2=﹣f（x），即f（x）=x+2，若f﹣1（3）=a，则f（a）=3，当a＜0时，f（a）=a﹣2=3，即a=5（舍去）当a＞0时，f（a）=a+2=3，即a=1，故f﹣1（3）=1，故答案为：16．{0，，1}【解析】∵集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}={x|1≤x≤2}={1，2}，B={t|at﹣1=0}，A∪B=A，∴B⊆A，当a=0时，B=∅，成立；当a≠0时，B={}，∵B⊆A，∴=1或，解得a=1或a=，∴实数a的取值集合为{0，，1}．故答案为：{0，，1}．7．（，1]【解析】a=0时，函数f（x）=lg（﹣4x+5），应满足﹣4x+5＞0，解得x＜，不满足题意；a＞0时，由题意知，解得＜a≤1；a＜0时，由题意知，此时无解；综上，函数f（x）=lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，实数a的取值集合是（，1]．故答案为：（，1]．8．（0，1]【解析】∵≤1，∴≤0，∴或，解得：0＜x＜a，而1∉A，故a∈（0，1]，故答案为：（0，1]．9．（，1）【解析】根据题意，函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，分析可得f（﹣x）=f（x），即函数f（x）为偶函数，又由当x＞0时，y=ln（1+|x|）=ln（1+x）和y=﹣都是增函数，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，若f（a）＞f（2a﹣1），则有|a|＞|2a﹣1|，变形可得：a2＞4a2﹣4a+1，解可得＜a＜1，即a的取值范围是（，1）；故答案为：（，1）．10．【解析】集合A={x|x2+4x+A=0}，集合B={t|函数f（x）=4x2﹣8x+t（4﹣t）至多有一个零点}={t|64﹣16t（4﹣t）≤0}={t|t=2}={2}，△=16﹣4a，a＞4时，△＜0，方程x2+4x+a=0无解，A=∅；f（a）=2；a=4时，△=0，方程x2+4x+a=0有一解﹣2，A={﹣2}；f（a）=﹣2+2=0；a=﹣12时，△=64，方程x2+4x+a=0有两解﹣6和2，A={2，﹣6}；f（a）=2﹣6=﹣4；a∈（﹣∞，﹣12）∪（﹣12，4）时，△=16﹣4a，方程x2+4x+a=0有两解﹣2﹣和﹣2+，A={﹣2﹣，﹣2+}；f（a）=（﹣2﹣）+（﹣2+）+2=2∴函数f（a）=．故答案为：．11．（0，1]∪[3，+∞）【解析】根据题意，令f（x）=m2x2﹣2mx﹣+1﹣m，有f（0）=1﹣m，f（1）=m2﹣3m，若方程（mx﹣1）2﹣=m在x∈[0，1]上有且只有一个实根，即函数f（x）在区间[0，1]上有且只有一个零点，有f（0）f（1）=（1﹣m）（m2﹣3m）≤0，又由m为正实数，则（1﹣m）（m2﹣3m）≤0⇒（1﹣m）（m﹣3）≤0，解可得0＜m≤1或m≥3，即m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故答案为：（0，1]∪[3，+∞）．12．（，）【解析】若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则函数y=f（x）与y=t有四个交点，即|x|=t，x≤a，与x2﹣4ax+4a=t各有两个解，故a≥t＞0，且a2﹣4a2+4a＞t＞0且解得：a∈（，），故答案为：（，）二、选择题13．D【解析】函数y=10lg x的定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），对于A，定义域是（﹣∞，+∞），值域是[0，+∞），A错．对于B，定义域是（﹣∞，+∞），值域是（﹣∞，+∞），B错．对于C，定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），C错．对于D，定义域是（0，+∞），值域是（0，+∞），与题干函数定义域和值域相同．故D对．故选D．14．C【解析】命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．15．B【解析】设函数f（x）=ax2+bx+c在x1处取的最大值，在x2处取的最小值，0≤x1≤1，0≤x2≤1，且x1≠x2，∴M=f（x1）=ax12+bx1+c，m=f（x2）=ax22+bx2+c，∴M﹣m=ax12+bx1+c﹣ax22﹣bx2﹣c=a（x12﹣x22）+b（x1﹣x2），∴与a，b有关，但与c无关，故选：B16．B【解析】①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则满足f（﹣x）=f（x）且f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）=0故①正确；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（﹣1）=f（1）=﹣f（1），即f（1）=0，则f（﹣1）=f（1）=0，且f（0）=0，则f（x）至少有三个零点，0，1，﹣1；故②正确，③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数错误，只要函数f（x）是一对一函数即可，与函数是否单调没有关系；故③错误，④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]，错误．比如函数f（x）=x，（﹣1≤x≤0或1≤x≤2）则函数的值域为[﹣1，0]∪[1，2]，故正确的命题个数为2个，故选：B三、解答题17．解：（1）当a=1时，U=R，P={x|＞1}={x|0＜x＜1}，Q={x|x2﹣3x≤10}={x|﹣2≤x≤5}．C U P={x|x≤0或x≥1}，∴（∁U P）∩Q={x|﹣2≤x≤0或1≤x≤5}．（2）∵P={x|＞a}，Q={x|﹣2≤x≤5}，P∩Q=P，∴P⊆Q，当x＞0时，P={x|0＜x＜}，由P⊆Q，得a，当x≤0时，P⊆Q不成立．综上，实数a的取值范围是[，+∞）．18．解：（1）f（x）为奇函数．理由：函数f（x）=+，即为f（x）=，定义域为{x|x≠0}，由f（﹣x）===﹣f（x），则f（x）为奇函数；（2）f（x）≥，即为+≥，即有≥，可得0＜2x﹣1≤3，解得1＜2x≤4，解得0＜x≤2，则原不等式的解集为（0，2]．19．解：（1）函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣m=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×m=0，解得m=﹣；（2）设点P的横坐标为t，则0＜t＜1，∴点P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+），其中0＜t＜1；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣；即S的最大值是4﹣．20．解：（1）当a＜0时，f（x）=4x﹣a•2x+4+a•2x=4x+4，∴4x=y﹣4，y＞4，∴x=log4（y﹣4），∴y=log4（x﹣4），∴f﹣1（x）=log4（x﹣4），x＞4（2）当a=5时，f（x）=|4x﹣5•2x+4|+5•2x，设2x=t，则4x﹣5•2x+4=t2﹣5t+4，当t2﹣5t+4＜0时，解得0＜t＜4，当t2﹣5t+4≥0时，解得t＞4，∴f（t）=|t2﹣5t+4|+5t=，当t≥4时，f（t）在（0，1）和（4，+∞）上单调递增，则4＜f（t）≤5或f（t）≥20，当1＜t＜4时，f（t）=﹣t2+10t﹣4=﹣（t﹣5）2+21，∴f（t）在（1，4）上单调递增，∴f（1）＜f（t）＜f（4），∴5＜f（t）＜20，综上所述f（x）的值域为（4，+∞），函数f（x）的单调区间为（﹣∞，+∞），（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），设2x=t，则1≤t≤4，∴g（t）=，当a≤0时，g（t）==t+，在[1，2]上单调递减，在（2，4]上单调递增，∴g（t）max=max{g（1），g（5）}∵g（1）=5，g（4）=5，∴函数g（t）的最大值为5，即当a≤0时，满足函数g（x）的最大值为5，当a＞0时，由t2﹣at+4≥0，即a≤t+，则由（2）可得y=t+，在[1，2]上单调递减，在（2，4]上单调递增，∴（t+）min=2+=4，∴当0＜a≤4时，g（t）==t+，故可知满足函数g（x）的最大值为5，当a＞4时，g（t）==﹣（t+）+2a，∵y=﹣（t+），在[1，2]上单调递增，在（2，4]上单调递减，∴y max=﹣（2+）+2a=﹣4+2a，此时满足函数g（t）的最大值为5，综上所述当a∈（﹣∞，4]时，函数满足函数g（x）的最大值为521．解：（1）若f（x1x2）=10，则log n x1x2=10，则f（x12）+f（x22）=log n x12+log n x22=log n x12x22=log n（x1x2）2=2log n x1x2=20．（2）g（x）=f（）=log n=log n（）=log n（1+），则y=1+在（1，+∞）上为减函数，∵当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），∴m=1，n＞1，则函数g（x）在（m，n）上为减函数，则g（n）=1，即log n（1+）=1，得1+=n，即=n﹣1，的（n﹣1）2=2，得n﹣1=±，则n=1或n=1﹣（舍）．（3）当n=3时，记h（x）=f﹣1（x）+=3x+，（m＞0），∵﹣1≤x≤0，∴设t=3x，则≤t≤1，即y=t+，（≤t≤1），由题意得在≤t≤1上恒有2y min＞y max即可．①当0＜m≤时，函数h（x）在[，1]上递增，y max=1+m，y min=3m+．由2y min＞y max得6m+＞1+m，即5m＞，得m＞．此时＜m≤．②当＜m≤时，h（x）在[，]上递减，在[，1]上递增，y max=max{3m+.1+m}=1+m，y max=3m+，y min=2，由2y min＞y max得4＞1+m，得．此时＜m≤．③当＜m＜1时，h（x）在[，]上递减，在[，1]上递增，y max=max{3m+.1+m}=3m+，y min=2，由2y min＞y max得4＞3m+，得＜m＜．此时＜m＜1 ④当m≥1时，h（x）在[，1]上递减，y max=3m+，y min=m+1，由2y min＞y max得2m+2＞3m+，得m＜．此时1≤m＜，综上＜m＜．。
上海市建平中学2019-2020学年2020届高三第一学期数学期中考试卷(简答)
建平中学高三期中数学卷2019.11一. 填空题1. 设函数()f x A ，R 为全体实数集，则A =R ð2. 若复数1z ，2z 满足112i z =+，234i z =+（i 是虚数单位），则12||z z ⋅=3. 在二项式51)x 的展开式中，展开式的系数和为4. 双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是340y x -=， 那么双曲线的方程 是5. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，4d =，则2lim1n n S n →∞=+ 6. 已知函数34()log (2)f xx =+，则方程1()4f x -=的解x =7. 行列式sin 4cos 35x x 的最大值为 8. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为9. 某学生选择物理、化学、地理三门学科参加等级考，已知每门学科考A +得70分，考A 得67分，考B +得64分，该生每门学科均不低于64分，则其总分至少为207分的概率为10. 已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a = 11. 已知a r 、b r 、2c r 是平面内三个单位向量，若a b ⊥r r ，则|4|2|32|a c a b c +++-r r r r r 的最小值是12. 已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤， 则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的 取值范围是二. 选择题13. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值可能是（ ）A. 0B. 2π C. π D. 2π 14. 设x ∈R ， 则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ）条件A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充要D. 既不充分也不必要15. 已知椭圆的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，[0,2)θπ∈，则该椭圆的焦点坐标为（ ）A. (0,B. (2,0)±C. (D. (1,0)±16. 数列{}n a 为1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、...，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面的所有项1、1、2，再添加2的后继数4，于是41a =，51a =，62a =，74a =，接下来再复制前面的所有项1、1、2、1、1、2、4，再添加8，...，如此继续，则2019a =（ ）A. 16B. 4C. 2D. 1三. 解答题17. 如图，在Rt △ABC 中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点，现将Rt △ABC以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=. （1）求该圆锥的全面积（即表面积）；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2b c a +=，5sin 7sin c B a C =.（1）求cos B 的值；（2）设()sin()f x x B =+，解不等式1()2f x ≥.19. 某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工2m 人（60150m <<，且m 为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润a 千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润2a 千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费.（1）设公司裁员人数为x ，写出公司获得的经济效益y （千元）关于x 的函数（经济效益=在职人员创利总额—被裁员工生活费）；（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？20. 如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，左顶点为(4,0)A -，经过点(2,3)，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，(3,0)Q -，证明：对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥恒成立；（3）若过点作直线的平行线交椭圆C 于点M ，求||||||AD AE OM +的最小值.21. 设数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将两个数列的偏差距离定义为[{},{}]n n M a b ，其中1122[{},{}]||||||n n m m M a b a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-.（1）求数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离；（2）设A 为满足递推关系+11+=1n n na a a -的所有数列{}n a 的集合，{}nb 和{}nc 为A 中的两个 元素，且项数均为m ，若12b =，13c =，{}n b 和{}n c 的偏差距离小于2020，求m 最大值；（3）记S 是所有8项数列{|18,0n n a n a ≤≤=或1}的集合，T S ⊆，且T 中任何两个元素的偏差距离大于或等于4，证明：T 中的元素个数小于或等于16.参考答案一. 填空题1. {|11}x x -<<2.3. 324. 221916x y -= 5. 2 6. 1 7. 5 8.439.427 10. 1 11. 12. 21(0,]2019二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）12π；（2）. 18.（1）12-；（2）[2,2]26k k ππππ-+，k ∈Z . 19.（1）(100)(2)20,00.6(1002)(2)20,0.6x m x x x m y x m x x m x m +--<≤⎧=⎨+--<≤⎩；（2）30m -.20.（1）2211612x y +=；（2）证明略；（3）21.（1）6；（2）3461；（3）证明略.。
上海市建平中学2018-2019学年高三上学期期中考试数学试题(精编含解析)
得 ＜|a﹣1|＜4， 解得：﹣3＜a＜ 或 ＜x＜5， 即不等式的解集为（﹣3， ）∪（ ，5）； 故答案为：（﹣3， ）∪（ ，5）．
第二步：从选出的 4 个家庭的每个家庭的父母亲中选出 1 位来，有 × × × =16； 根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：5×16=80． 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于简单题.有关计数原理的综合问题，往往是两个原理 交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中 要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏， 这样才能提高准确率.
【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理、同角三角函数的基本关系，行列式的运算，属于中档题．
11.已知关于 x 的一元二次不等式 ax2+2x+b＞0 的解集为{x|x≠c}，则 值范围为_____． 【答案】（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞） 【解析】 【分析】
（其中 a+c≠0）的取
由条件利用二次函数的性质可得 ac=﹣1，ab=1, 即 c=-b 将
【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用.
3.若
，则 tanα=_____
【答案】7
【解析】 【分析】 由向量的数量积坐标公式计算整理即可得到答案. 【详解】由数量积公式得 = +2 ， =-2 + ， 即 +2 =3（-2 + ）， 整理得 7 = ， 即 tanα=7， 故答案为：7. 【点睛】本题考查向量数量积坐标公式的应用.
上海市建平中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题解析点睛版(18页)
上海市建平中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题一.填空题1.双曲线22:13x C y -=的焦距是________【答案】4 【解析】 【分析】直接利用焦距公式得到答案.详解】双曲线22:13x C y -=，2224,2c a b c =+==焦距为24c =故答案为：4 【点睛】本题考查了双曲线的焦距，属于简单题.2.已知集合{|212}M x x =-??，*{|21,}N x x k k ==-∈N ，则M N =________【答案】{1,3} 【解析】 【分析】先计算集合{|13}M x x =-＃，{1,3,5...}N =，再计算交集得到答案. 【详解】{|212}{|13}M x x x x =-??-＃*{|21,}{1,3,5...}N x x k k ==-∈=N{1,3}M N?故答案为：{1,3}【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题型.3.设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．【【答案】63n a n =- 【解析】 【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=Q ，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用. 4.若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________【答案】1- 【解析】 【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部.【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1- 故答案为：1-【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.5.函数()f x =的定义域为________ 【答案】3(1,]2 【解析】【分析】函数定义域需要满足1210log (1)10x x ->⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得答案.【详解】()f x =1210log (1)10x x ->⎧⎪⎨--≥⎪⎩ 解得312x <≤ 故答案为：3(1,]2【点睛】本题考查了函数的定义域，没有考虑周全是容易发生的错误.6.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 项的系数为_______．【答案】40 【解析】 【分析】根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数。
上海市2018-2019学年建平中学高三上学期数学期中考试(解析版)
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷一.填空题1．（3分）设函数，则f（f（2））=2．（3分）在各项为实数的等比数列{a n}中，a5+8a2=0，则公比q的值为3．（3分）若，，，，则tanα= 4．（3分）设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|2x﹣1≤1}，则（∁R A）∩B=5．（3分）某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是6．（3分）从原点O向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为．7．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：对于任意m，n∈N*，都有S n+S m=S n+2mn，若a1=1，则a2018=+m8．（3分）已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣），则f（6）=．9．（3分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满足f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2），则a的取值范围是10．（3分）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6abcosC，则=11．（3分）已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，则（其中a+c≠0）的取值范围为．12．（3分）若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是．二.选择题13．（3分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y314．（3分）已知点A（﹣2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线15．（3分）已知数列{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，则数列：①{2an}；②{a n2}；③；④{a n a n+1}；⑤{a n+a n+1}；等比数列的个数为（）A．2B．3C．4D．516．（3分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k （a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1三.解答题17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3．（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；（2）求点D到平面PBC的距离．18．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．19．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．20．对于函数，定义f1（x）=f（x），f n（x）=f[f n（x）]（n∈N*），+1已知偶函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0，当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）．（1）求f2（x），f3（x），f4（x），f2018（x）；（2）求出函数y=g（x）的解析式；（3）若存在实数a、b（a＜b），使得函数g（x）在[a，b]上的值域为[mb，ma]，求实数m的取值范围．21．对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m﹣a k=t（m，k∈N*，m＞k），必有a m+1﹣a k+1=t”，则称数列具有性质P（t）．（1）若数列{a n}满足，判断数列{a n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？说明理由；（2）求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（3）已知{b n}是各项均为正整数的数列，且{b n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在正整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+K，…是等差数列．2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）设函数，则f（f（2））=﹣1【分析】推导出f（2）=π（4﹣5）=﹣π，从而f（f（2））=f（﹣π）=cos（﹣π）=cosπ，由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（2）=π（4﹣5）=﹣π，f（f（2））=f（﹣π）=cos（﹣π）=cosπ=﹣1．故答案为：﹣1．2．（3分）在各项为实数的等比数列{a n}中，a5+8a2=0，则公比q的值为﹣2【分析】由等比数列的性质知q3=﹣8，从而解得．【解答】解：∵a5+8a2=0，∴a2q3+8a2=0，即q3=﹣8，解得q=﹣2．故答案为：﹣2．3．（3分）若，，，，则tanα= 7【分析】利用向量的数量积和三角函数同角公式可得．【解答】解：因为•=（1，2）•（cosα，sinα）=cosα+2sinα，3•=3（﹣2，1）•（cosα，sinα）=﹣6cosα+3sinα，∴cosα+2sinα=﹣6cosα+3sinα，∴sinα=7cosα，tanα=7，故答案为：7．4．（3分）设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|2x﹣1≤1}，则（∁R A）∩B=（0，1] 【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，集合B={x|2x﹣1≤1}={x|x﹣1≤0}={x|x≤1}，∴∁R A={x|0＜x＜2}，∴（∁R A）∩B={x|0＜x≤1}=（0，1]．故答案为：（0，1]．5．（3分）某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是80【分析】用分步计数原理：①从5个家庭中选4个家庭；②从每个家庭中选出1个．然后相乘可得．【解答】解：分步进行：第一步：从5个家庭中选出4个家庭，有C=5种；第二步：从选出的4个家庭的每个家庭的父母亲中选出1位来，有C×C×C×C=16；根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：5×16=80．故答案为：80．6．（3分）从原点O向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为2π．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心C的坐标和圆的半径r，根据AC 与BC为圆的半径等于3，OC的长度等于6，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半得到角AOB等于2×30°，然后根据四边形的内角和定理求出角BCA 的度数，然后由角BCA的度数和圆的半径，利用弧长公式即可求出该圆夹在两条切线间的劣弧长．【解答】解：把圆的方程化为标准方程为：x2+（y﹣6）2=9，得到圆心C的坐标为（0，6），圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90°，且AC=BC=3，OC=6，则∠AOB=∠BOC+∠AOC=60°，所以∠ACB=120°，所以该圆夹在两条切线间的劣弧长l==2π．故答案为：2π7．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：对于任意m，n∈N*，都有S n+S m=S n+m+2mn，若a1=1，则a2018=﹣4033【分析】根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，用特殊值法分析：令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，变形可得S n+1﹣S n=1﹣2n，再令n=2018计算可得答案．【解答】解：根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，又由a1=1，即S1=a1=1，则有S n+1=S n+1+2n，变形可得：S n+1﹣S n=1﹣2n，则a2018=S2018﹣S2017=1﹣2×2017=﹣4033；故答案为：﹣4033．8．（3分）已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣），则f（6）= 2．【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2；故答案为：29．（3分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满足f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2），则a的取值范围是（3，）∪（，5）【分析】根据题意，分析可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2）可以转化为﹣2＜log2|a﹣1|＜2，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，则f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2）⇒f（|log2|a﹣1||）＞f（2）⇒|log2|a﹣1||＜2⇒﹣2＜log2|a﹣1|＜2，变形可得：＜|a﹣1|＜4，解可得：﹣3＜a＜或＜x＜5；即不等式的解集为（﹣3，）∪（，5）；故答案为：（﹣3，）∪（，5）．10．（3分）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6abcosC，则=4【分析】由题意利用余弦定理可得c2=（a2+b2），再利用行列式的运算、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：在锐角三角形ABC中，∵a2+b2=6abcosC=6ab•，∴c2=（a2+b2）．则=+=tanC（+）=•（+）=•====4，故答案为：4．11．（3分）已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，则（其中a+c≠0）的取值范围为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1，再根据则=（a﹣b）+，利用基本不等式求得它的范围．【解答】解：根据关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，可得a＞0，对应的二次函数的图象的对称轴为x=﹣=c，△=4﹣4ab=0，∴ac=﹣1，ab=1，∴c=﹣，b=．则==（a﹣b）+，当a﹣b＞0时，由基本不等式求得（a﹣b）+≥6，当a﹣b＜0时，由基本不等式求得﹣（a﹣b）﹣≥6，即（a﹣b）+≤﹣6故（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．12．（3分）若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是[，+∞）．【分析】根据对称函数的定义，结合h（x）≥g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：解：∵x∈D，点（x，g（x））与点（x，h（x））都关于点（x，f（x））对称，∴g（x）+h（x）=2f（x），∵h（x）≥g（x）恒成立，∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）≥g（x）恒成立，作出g（x）和f（x）的图象，若h（x）≥g（x）恒成立，则h（x）在直线f（x）的上方，即g（x）在直线f（x）的下方，则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=2x+b的距离d≥1，d=⇒b≥或b（舍去）即实数b的取值范围是[，+∞），二.选择题13．（3分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y3【分析】实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），可得x＞y，对于A．B．C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增，即可判断出正误．【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．取x=2，y=﹣1，不成立；B．取x=0，y=﹣1，不成立C．取x=π，y=﹣π，不成立；D．由于y=x3在R上单调递增，因此正确故选：D．14．（3分）已知点A（﹣2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】由题意知（﹣2﹣x，y）•（3﹣x，y）=x2，化简可得点P的轨迹．【解答】解：∵动点P（x，y）满足，∴（﹣2﹣x，﹣y）•（3﹣x，﹣y）=x2，∴（﹣2﹣x）（3﹣x）+y2=x2，解得y2=x+6．∴点P的轨迹方程是抛物线．故选：D．15．（3分）已知数列{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，则数列：①{2an}；②{a n2}；③；④{a n a n+1}；⑤{a n+a n+1}；等比数列的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用等比数列的定义通项公式即可得出．【解答】解：数列{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，则①=，不是等比数列；②=q2；③是公比为的等比数列；④{a n a n+1}是公比为q2的等比数列；}不一定是等比数列，例如（﹣1）n．⑤{a n+a n+1综上：等比数列的个数为3．故选：B．16．（3分）设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k （a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A．I1＜I2＜I3B．I2＜I1＜I3C．I1＜I3＜I2D．I3＜I2＜I1【分析】根据记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k （a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案【解答】解：由，故==1，由，故×=×＜1，+=，故I2＜I1＜I3，故选：B．三.解答题17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3．（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；（2）求点D 到平面PBC 的距离．【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB 与CD 所成角大小．（2）求出平面PBC 的一个法向量，利用向量法能求出点D 到平面PBC 的距离． 【解答】解：（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则P （0，0，1），B （1，0，0），C （1，2，0）D （0，3，0），∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，0），……（3分）设异面直线PB 与CD 所成角为θ，则cosθ==，……（6分）所以异面直线PB 与CD 所成角大小为．……（7分）（2）设平面PBC 的一个法向量为=（x ，y ，z ），=（1，0，﹣1），=（0，2，0），=（﹣1，1，0），则，取x=1，得=（1，0，1），……（4分）∴点D 到平面PBC 的距离d==．……（7分）18．设函数f （x ）=sin （ωx ﹣）+sin （ωx ﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，]时g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），又f（）=sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．19．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．【分析】（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为，可得其定义域；（2），设与联立求出A，B的坐标，即可求出最短长度p的取值范围．【解答】解：（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为，（4分）又得，所以定义域为[1，10]．…（6分）（2），设由得kpx2+（8﹣kp2）x﹣8p=0，△=（8﹣kp2）2+32kp2=（kp2+8）2=0，…（8分）∴kp2+8=0，∴，得直线AB方程为，…（10分）得，故点P为AB线段的中点，由即p2﹣8＞0…（12分）得时，OA＜OB，所以，当时，经点A至P路程最近．（14分）20．对于函数，定义f1（x）=f（x），f n（x）=f[f n（x）]（n∈N*），+1已知偶函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0，当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）．（1）求f2（x），f3（x），f4（x），f2018（x）；（2）求出函数y=g（x）的解析式；（3）若存在实数a、b（a＜b），使得函数g（x）在[a，b]上的值域为[mb，ma]，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据函数关系代入计算进行求解即可；（2）由偶函数的定义，计算可得所求解析式；（3）根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可．【解答】解：（1）因为函数，（x）=f[f n（x）]（n∈N*），f1（x）=，定义f1（x）=f（x），f n+1f2（x）=f[f1（x）]==，（x≠0且x≠1），f3（x）=f[f2（x）]==x，（x≠0且x≠1），f4（x）=f[f3（x）]=，（x≠0且x≠1），（x）=f i（x）（i=2，3，4），故对任意的n∈N•，有f3n+i=f2（x）=1﹣，（x≠0且x≠1）；于是f2018（x）=f3×672+2（2）当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）=1﹣，又g（1）=0，由g（x）为偶函数，当x＜0时，﹣x＞0，g（x）=g（﹣x）=1+，可得g（x）=；（3）由于y=g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又a＜b，mb＜ma，可知a与b同号，且m＜0，进而g（x）在[a，b]递减，且a＜b＜0，当a，b∈（0，1）时，g（x）=1﹣为增函数，故，即m==，得a﹣1=b﹣1，即a=b，与a＜b矛盾，∴此时a，b不存在；函数y=g（x）的图象，如图所示．由题意，有，故a，b是方程1+=mx的两个不相等的负实数根，即方程mx2﹣x﹣1=0在（﹣∞，0）上有两个不相等的实根，于是，解得﹣＜m＜0．综合上述，得实数m的取值范围为（﹣，0）．21．对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m﹣a k=t（m，k∈N*，m＞k），必有a m+1﹣a k+1=t”，则称数列具有性质P（t）．（1）若数列{a n}满足，判断数列{a n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？说明理由；（2）求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（3）已知{b n}是各项均为正整数的数列，且{b n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在正整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+K，…是等差数列．【分析】（1）由，可得a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{a n}不具有性质P（2）；同理可判断数列{a n}具有性质P（4）；（2）举例“周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，利用新定义可证数列{a n}不具有性质P（0），即不充分性成立；再证明其必要性即可；（3）依题意，数列{b n}是各项为正整数的数列，且{b n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），可证得存在整数N，使得b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是等差数列．【解答】解：（1）∵，a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{a n}不具有性质P（2）；同理可得，数列{a n}具有性质P（4）．（2）证明：（不充分性）对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，但是由于a2﹣a1=0，a3﹣a2=1，所以不具有性质P（0）；（必要性）因为数列{a n}具有性质P（0），所以一定存在一组最小的且m＞k，满足a m﹣a k=0，即a m=a k由性质P（0）的含义可得a m+1=a k+1，a m+2=a k+2，…，a2m﹣k﹣1=a m﹣1，a2m﹣k=a m，…所以数列{a n}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：a k，a k+1，…，a m﹣1为一个周期中的各项，所以数列{a n}中最多有m﹣1个不同的项，所以T 最多有个元素，即T 是有限集；（3）证明：因为数列{b n }具有性质P （2），数列{b n }具有性质P （5）， 所以存在M′、N′，使得b M'+p ﹣b M '=2，b N'+q ﹣b N '=5， 其中p ，q 分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质P （2），P （5）的含义可得，b M'+p +k ﹣b M'+k =2，b N'+q +k ﹣b N'+k =5， 若M'＜N'，则取k=N'﹣M'，可得b N'+p ﹣b N '=2； 若M'＞N'，则取k=M'﹣N'，可得b M'+q ﹣b M '=5．记M=max {M'，N'}，则对于b M ，有b M +p ﹣b M =2，b M +q ﹣b M =5，显然p ≠q ， 由性质P （2），P （5）的含义可得，b M +p +k ﹣b M +k =2，b N +q +k ﹣b N +k =5， 所以b M +qp ﹣b M =（b M +qp ﹣b M +（q ﹣1）p ）+（b M +（q ﹣1）p ﹣b M +（q ﹣2）p ） +…+（b M +p ﹣b M ）=2qb M +qp ﹣b M =（b M +pq ﹣b M +（p ﹣1）q ）+ （b M +（p ﹣1）q ﹣b M +（p ﹣2）q ）+…+（b M +q ﹣b M ）=5p 所以b M +qp =b M +2q=b M +5p ． 所以2q=5p ，又p ，q 是满足b M +p ﹣b M =2，b M +q ﹣b M =5的最小的正整数， 所以q=5，p=2，b M +2﹣b M =2，b M +5﹣b M =5， 所以，b M +2+k ﹣b M +k =2，b M +5+k ﹣b M +k =5，所以，b M +2k =b M +2（k ﹣1）+2=…=b M +2k ，b M +5k =b M +5（k ﹣1）+5=…=b M +5k ， 取N=M +5，若k 是偶数，则b N +k =b N +k ；若k 是奇数，则b N +k =b N +5+（k ﹣5）=b N +5+（k ﹣5）=b N +5+（k ﹣5）=b N +k ， 所以，b N +k =b N +k ，所以b N ，b N +1，b N +2，…，b N +k ，…是公差为1的等差数列。
上海市建平中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
上海市建平中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.“”是“”成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若，则，则成立，即充分性成立，若当时，成立，但不成立，即必要性不成立，即“”是“”成立的充分不必要条件，故选：A．根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.若实数a、b满足条件，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A、，时，有成立，故A错误；对于B、，时，有成立，故B错误；对于C、，时，有成立，故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若，必有成立，则D正确；故选：D．根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．3.设集合，对任意恒成立，则P与Q的关系是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：集合，对任意恒成立，．与Q的关系是．故选：C．先分别求出集合P，Q，由此能求出P与Q的关系．本题考查集合的关系的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知集合2，3，，集合是集合A的子集，若且2，，，满足集合B的个数记为，则A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【解析】解：由题意可得，，，那么集合2，3，4，5，6，；集合，，满足集合B的个数列罗出来，可得：3，，3，，3，，4，，4，；5，，4，，4，，5，，5，，故选：B．根据和，可得，，，集合2，3，4，5，6，；集合，满足集合B的个数列罗出来，可得答案．本题考查子集与真子集，并且即时定义新的集合，主要考查学生的阅读理解能力．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.设全集2，3，4，5，，集合4，，则______．【答案】3，【解析】解：全集2，3，4，5，，集合4，，则3，．故答案为：3，．根据补集的定义写出 A.本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．6.不等式的解集为______．【答案】【解析】解：，，解得：，故不等式的解集是，故答案为：．问题转化为，求出不等式的解集即可．解分式不等式的方法是：移项，通分化不等式为，再转化为整式不等式，然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解．7.已知集合0，，，若，则实数a的值为______．【答案】【解析】解：若，则，；，；，；，．故答案为：．先假设，得，；，；，；取补集得结果．本题考查的知识点集合的包含关系应用，难度不大，属于基础题．8.用列举法写出集合______【答案】【解析】解：，且；，0，或1；，或1；，或0；．故答案为：．由及即可求出，0，或1，从而得出，或1，进而得出y的值，从而得出集合A．考查描述法、列举法的定义，以及绝对值不等式的解法．9.已知不等式的解集为，则______【答案】11【解析】解：不等式的解集为，方程的实数根为2和3，，，；．故答案为：11．利用不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系求出a、b的值．本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．10.命题“如果，那么”的逆否命题为______．【答案】若，则【解析】解：原命题“如果，那么”，其逆否命题为：“若，则”．故答案为：若，则．根据逆否命题的定义，即把结论和条件的否定后作为逆否命题的条件和结论即可．本题考查的知识点是逆否命题的定义，需要正确写出对条件的结论的否定，这是关键和易出错的地方．11.已知集合，，，则______．【答案】【解析】解：．故答案为：．根据交集定义得，．此题考查了交集及其运算，需要注意此题是点集，是基础题．12.若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围为______．【答案】【解析】解：若“”是“”的充分不必要条件，则，故答案为：根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．13.已知集合，，若，则实数a的取值集合为______【答案】．【解析】解：，，，，，，，，故实数a的取值集合为．故答案为：．分为，和两种情况讨论，取并集得结论．本题考查了集合的化简与集合的运算的应用，注意不要漏掉，属于基础题．14.已知集合中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为______．【答案】或【解析】解：集合中的所有元素之和为2，的解为或无解，或，解得．实数a的取值集合为或．故答案为：或．推导出的解为或无解，由此能求出实数a的取值集合．本题考查实数的取值集合的求法，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.已知正实数x，y满足，则的最小值是______【答案】【解析】解：正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换16.若不等式对任意，恒成立，则a的取值范围是______．【答案】【解析】解：不等式，，，，令，可得：．．可知：时函数取得最大值，．．．不等式对任意，恒成立，的取值范围是．故答案为：．不等式，，，，令，可得：利用导数研究其单调性极值最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知x，y是实数，求证：．【答案】证明：因为，可得，，可得，所以．【解析】利用综合法，证明不等式即可．本题考查不等式的证明，综合法的应用，是基本知识的考查．18.已知全集，集合，，求，．【答案】解：；；；；，；．【解析】先求出A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．考查描述法表示集合的定义，，以及交集、并集和补集的运算．19.已知命题p：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根．若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．【答案】解：命题p：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解得；命题q：关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根，可得，由，可得无实数解，可得，即，命题p和命题q中有且只有一个为真命题，可得或或或，即有或．【解析】由题意可得判别式大于0，由绝对值不等式的解法可得m的范围；考虑命题q真，运用绝对值不等式的性质和判别式小于0，解不等式可得m的范围，由p，q一真一假，解不等式即可得到所求范围．本题考查二次方程和二次不等式的解法，注意运用判别式和绝对值不等式的性质，考查化简运算能力，属于基础题．20.已知集合，集合当时，求集合和集合B；若集合为单元素集，求实数m的取值集合；若集合的元素个数为个，求实数m的取值集合【答案】解：集合或，集合当时，集合；集合；因为集合为单元素集，且，所以，解得，当时，经验证，满足题意．故实数m的取值集合为因为集合A中只有2个整数0，1；B中一定含整数0，所以当时，；当时，B中有且只有两个整数0，1，解得：所以实数m的取值集合为【解析】时，化简集合A，B，即可得集合和集合B；集合为单元素集，所以集合B中有且只有一个整数，而，所以抛物线的开口向上，且与x轴的两个交点都在内，据此列式可得；因为A中只有2个整数0和1，所以的元素个数为1或2，当时，元素只能是0，所以抛物线开口向上且与x轴的两个交点在内，列式可得；当时，元素只能是0和1，抛物线的开口向上，与x轴的两个交点分别在和内，列式解得：本题考查了交、并、补集的混合运算属难题．21.已知集合P的元素个数为个且元素为正整数，将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即，，，，其中，，若集合A、B、C中的元素满足，，，2，，则称集合P为“完美集合”．若集合2，，2，3，4，5，，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；已知集合x，3，4，5，为“完美集合”，求正整数x的值；设集合证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是或判断当时，集合P是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C；如果不是，请说明理由．【答案】解：（1）集合P=为“完美集合”，令A=，B=，C=．则集合A、B、C中的元素满足a k+b k=c k，集合Q=不是“完美集合”，若集合Q为“完美集合”，则C中元素最小为3，若C的最小元素为3，则a1+b1=1+2=3，a2+b2=4+5=c2=6不可能成立，若C的最小元素为4，则a1+b1=1+3=4，a2+b2=2+5=c2=6不可能成立，若C的最小元素为5，则a1+b1=1+4=5，a2+b2=2+3=c2=6不可能成立，综上可得集合Q=不是“完美集合”（2）由（1）可得x≠2，若A={1，3}，4B，则5C，6B，x=3+6=9C满足“完美集合”的定义；若A={1，3}，5B，则6C，5B，x=3+5=8C满足“完美集合”的定义；【解析】讨论集合A与集合B，根据完美集合的概念知集合C，根据a k+b k=c k．建立等式求x的值本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．设全集∪＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，则∁U A＝．2．不等式＜0的解集是．3．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{a2+1}，若B⊄A，则实数a的值为．4．用列举法写出集合A＝{y|y＝x2﹣1，x∈Z，|x|≤1}＝5．已知不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2，3]，则a+b＝6．命题“如果a≠0，那么a2＞0”的逆否命题为．7．已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，B＝{（x，y）|y＝3﹣x．x∈R}，则A∩B＝．8．若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a的取值范围为．9．已知集合A＝{x||x﹣1|≤1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，则实数a的取值集合为10．已知集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为．11．已知正实数x，y满足x+y＝1，则﹣的最小值是12．若不等式x+4≤a（x+y）对任意x＞0，y＞0恒成立，则a的取值范围是．二、选择题13．“x＞1”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．若实数a、b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．＜B．a2＞b2C．ab＞b2D．a3＞b315．设集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+2mx﹣1＜0}对任意x∈R恒成立，则P与Q的关系是（）A．P⊄Q B．Q⊄P C．P＝Q D．P∩Q＝∅16．已知集合A＝{1，2，3，…n）（n∈N*}，集合B＝{j1，j2，…j k）（k≥2，k∈N*）是集合A的子集，若1≤j1＜j2＜…＜j m≤n且j i+1﹣j i≥m（i＝1，2，……，k﹣1），满足集合B的个数记为n（k⊕m），则7（3⊕2）＝（）A．9B．10C．11D．12三、解答题17．已知x，y是实数，求证：x2+y2≥2x+2y﹣2．18．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣12＜0}，B＝{y|y＝，x∈R}，求A∩B，A∪（∁U B）．19．已知命题p：关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|＝0有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|＝0对于任意实数a都没有实数根．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．20．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，集合B＝{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}．（1）当m＝2时，求集合∁R A和集合B；（2）若集合B∩Z为单元素集，求实数m的取值集合；（3）若集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，求实数m的取值集合．21．已知集合P的元素个数为3n（n∈N*）个且元素为正整数，将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即P＝A∪B∪C，A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，其中A＝{a1，a2，…，a n}，B＝{b1，b2，…b n}，C＝{c1，c2，…，c n}．若集合A、B、C中的元素满足c1＜c2＜…＜c n，a k+b k＝c k，k＝1，2，…n，则称集合P为“完美集合”．（1）若集合P＝{1，2，3}，Q＝{1，2，3，4，5，6}，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合P＝{1，x，3，4，5，6}为“完美集合”，求正整数x的值；（3）设集合P＝{x|1≤x≤3n，n≥2，n∈N*}①证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n＝4k或n＝4k+1（k∈N*）②判断当n＝4时，集合P是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C；如果不是，请说明理由．2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试卷解析一、填空题1．【解答】解：全集∪＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，则∁U A＝{1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．2．【解答】解：∵＜0，∴（x﹣1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜1，故不等式的解集是（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．3．【解答】解：若B⊂A，则①a2+1＝﹣1，a∈∅；②a2+1＝0，a∈∅；③a2+1＝2，a＝±1；∵B⊄A，∴a≠±1．故答案为：a≠±1．4．【解答】解：∵|x|≤1，且x∈Z；∴x＝﹣1，0，或1；∴x2＝0，或1；∴y＝﹣1，或0；∴A＝{﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．5．【解答】解：不等式x2﹣ax+b≤0的解集为[2，3]，∴方程x2﹣ax+b＝0的实数根为2和3，∴，a＝5，b＝6；∴a+b＝11．故答案为：11．6．【解答】解：原命题“如果a≠0，那么a2＞0”，∴其逆否命题为：“若a2≤0，则a＝0”．故答案为：若a2≤0，则a＝0．7．【解答】解：A∩B＝{（x，y）|}＝{（1，2）}．故答案为：{（1，2）}．8．【解答】解：若“x＞1”是“x≥a”的充分不必要条件，则a≤1，故答案为：a≤19．【解答】解：A＝{x|0≤x≤2}，①B＝∅，a＝0，②B≠∅，B＝{}，0＜≤2，≥，∴a≥1，故实数a的取值集合为[1，+∞）∪{0}．故答案为：[1，+∞）∪{0}．10．【解答】解：∵集合{x|（x﹣2）（x2﹣2x+a）＝0，x∈R}中的所有元素之和为2，∴x2﹣2x+a＝0的解为x＝0或无解，∴a＝0或Δ＝4﹣4a＜0，解得a＞1．∴实数a的取值集合为{a|a＝0或a＞1}．故答案为：{a|a＝0或a＞1}．11．【解答】解：正实数x，y满足x+y＝1，则﹣＝＝＝（）[x+（y+1）]﹣4＝（5+）﹣4＝当且仅当且x+y＝1即y＝，x＝时取得最小值是/故答案为：12．【解答】解：∵不等式x+4≤a（x+y），x＞0，y＞0，∴a≥＝，令＝t＞0，可得：f（t）＝．f′（t）＝＝＝．可知：t＝时函数f（t）取得最大值，＝4．f（0）＝0．∴0＜f（t）≤4．∵不等式x+4≤a（x+y）对任意x＞0，y＞0恒成立，∴a的取值范围是a≥4．故答案为：[4，+∞）．二、选择题13．【解答】解：若x＞1，则0＜，则成立，即充分性成立，若当x＜0时，成立，但x＞1不成立，即必要性不成立，即“x＞1”是“”成立的充分不必要条件，故选：A．14．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、a＝1，b＝﹣1时，有＞成立，故A错误；对于B、a＝1，b＝﹣2时，有a2＜b2成立，故B错误；对于C、a＝1，b＝﹣2时，有ab＜b2成立，故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若a＞b，必有a3＞b3成立，则D正确；故选：D．15．【解答】解：∵集合P＝{m|﹣1＜m≤0}，Q＝{m|mx2+2mx﹣1＜0}对任意x∈R恒成立，∴Q＝{m|﹣1＜m≤0}．∴P与Q的关系是P＝Q．故选：C．16．【解答】解：由题意可得n＝7，k＝3，m＝2，那么集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}；集合B＝{j1，j2，j3}，1≤j1＜j2≤7，j i+1﹣j i≥2满足集合B的个数列罗出来，可得：{1，3，5}，{1，3，6}，{1，3，7}，{1，4，6}，{1，4，7}；{1，5，7}，{2，4，6}，{2，4，7}，{2，5，7}，{3，5，7}，故选：B．三、解答题17．【解答】证明：因为x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，可得x2≥2x﹣1，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2≥0，可得y2≥2y﹣1，所以x2+y2≥2x+2y﹣2．18．【解答】解：A＝{x|﹣3＜x＜4}；∵x4+1≥2x2；∴；∴B＝{y|y≥2}；∴A∩B＝[2，4），∁U B＝{y|y＜2}；∴A∪（∁U B）＝（﹣∞，4）．19．【解答】解：（1）命题p：关于x的一元二次方程x2﹣2x+|m﹣2|＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＝12﹣4|m﹣2|＞0，解得﹣1＜m＜5；（2）命题q：关于x的一元二次方程x2﹣mx+|a+1|+|a﹣3|＝0对于任意实数a都没有实数根，可得﹣x2+mx＝|a+1|+|a﹣3|，由|a+1|+|a﹣3|≥|a+1﹣a+3|＝4，可得﹣x2+mx﹣4≥0无实数解，可得Δ＝m2﹣16＜0，即﹣4＜m＜4，命题p和命题q中有且只有一个为真命题，可得或，即有4≤m＜5或﹣4＜m≤﹣1．20．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，集合{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}＝{x|[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＜0}（1）当m＝2时，集合∁R A＝{x|﹣1＜x＜2}；集合B＝{x|x＞1或x＜}；（2）因为集合B∩Z为单元素集，且0∈B，所以，解得m＝0，当m＝0时，经验证，满足题意．故实数m的取值集合为{0}（3）集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N*）个，等价于（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0在（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）上有整数解，所以令f（x）＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1，依题意有1﹣m2≤0或或，解得m＜﹣或m＞0．21．【解答】解：（1）将P分为集合{1}、{2}、{3}，满足条件，是完美集合．将Q分成3个，每个中有两个元素，若为完美集合，则a1+b1＝c1、a2+b2＝c2，Q中所有元素之和为21，21÷2＝c1+c2＝10.5，不符合要求；（2）若集合A＝{1，4}，B＝{3，5}，根据完美集合的概念知集合C＝{6，7}，若集合A＝{1，5}，B＝{3，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{4，11}，若集合A＝{1，3}，B＝{4，6}，根据完并集合的概念知集合C＝{5，9}，故x的一个可能值为7，9，11中任一个；（3）①证明：P中所有元素之和为1+2+…+3n＝＝a1+b1+c1+a2+b2+c2+…+a n+b n+c n＝2（c1+c2+…+c n﹣1+c n），∵c n＝3n，∴＝c1+c2+…+c n﹣1+3n，∴＝c1+c2+…+c n﹣1，等号右边为正整数，则等式左边9n（n﹣1）可以被4整除，∴n＝4k或n﹣1＝4k，即n＝4k或n＝4k+1；②p是完美集合，A＝{1，4，3，2}，B＝{6，5，8，10}，C＝{7，9，11，12}或A＝{1，2，4，3}，B＝{5，8，7，9}，C＝{6，10，11，12}或A＝{2，4，3，1}，B＝{6，5，7，11}，C＝{8，9，10，12}．。
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上海市建平中学2019—2019 学年度高三第一学期期中考试数学试题（理科）2019.11.12一、填空题：本题有 14 小题，每小题 4 分，共 56 分1．已知集合 U 1，2, 3, 4, 5 , A 2，4 ，B4，5 ，则 AC U B2．函数 y x 2 的递减区间为3．已知 zC ，且 f ( z) z 1，则 f (i)x, x 0 z 14．函数 yyx 2 , x 的反函数是5．已知圆的极坐标方程为2sin，则圆心的极坐标为x 2 4t6．已知直线 l 的方程为1 ，则直线 l 的斜率为y 3t7．设函数 y a xb(a 0, a 1) 的图象过点 1, 2 ，函数 y log b ( xa)(b 0, b 1) 的图像过点 0 , 2 ,则 a b 等于8．若不等式 x 1 1 a 的解集非空，则整数 a 的最小值是9．函数 y a 1 x (a 0， a 1) 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 mx ny 1 0 上，则 m 2 n 的最小值为10．已知关于 x 的方程lg (x 2 2x 11) t 1 0 有实数解，则实数 t 的范围是11．已知 f (x)(2a 1)x 4a x 1 ,) 上的减函数，那么 a 的取值范围是log a x是 (12xx 1 x) 02019 2019．若关于 的方程 f (2008x) f ( a恰有 个根，且所有根的和为，则实数 a 的值 为．13．已知函数 f ( x)1 x，规定：anmf ( 1) f ( 2) f ( 3)f (m) (n, m N ) ，xn nn n且 S n m a 1m a 2m a n m (n, m N ) ，则 S 20102010 的值是14．若存在实数a R ，使得不等式 x x ab 0 对于任意的 x [0,1] 都成立，则实数 b 的取值范围是二、选择题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分15．不等式1 1的解集是（）A ． ( x 2B ． (2,, 2) ) C ． (0, 2) D ． ( ,0) (2, )16．若 y f ( x) 是定义在 R 上的函数，则 “f (0) 0 ”是 “y f ( x) 是奇函数 ”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．满足方程 f (x) x 的根 x 0 称为函数 yf (x) 的不动点，设函数 y f (x) ， y g(x) 都有不动点，则 下列陈述正确的是（）A ． y f ( g(x)) 与 yf (x) 具有相同数目的不动点B ． y f ( g(x)) 一定有不动点C ． yf (g( x)) 与 y g( x) 具有相同数目的不动点D ． y f (g( x)) 可以无不动点18．函数f1x 1 x ， f2 x 1 | x | ， f3 x 1 x ， f4 x 1 | x | 的图像分别是点集C1，C2，C3，C4，这些图像关于直线x = 0 的对称曲线分别是点集D1，D2，D3，D4，现给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）① D1 D2 ② D1∪ D3 = D 2∪ D4 ③ D4 D3 ④ D1∩ D 3 = D2∩ D4A．① ③B．① ②C．② ④D．③ ④三、解答题：（本题共有 5 道大题，满分78 分），解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（本题满分14 分）本题共 2 小题，第 1 小题6 分，第 2 小题8 分已知关于t 的方程t 2 2t a 0 一个根为 1 3i ． a R（ 1）求方程的另一个根及实数 a 的值；（ 2）若x a m2 3m 6 在x (0, ) 上恒成立，试求实数m 的取值范围．x20．（本题满分14分）本题共 2 小题，第 1 小题 7 分，第2 小题 7 分如图在长方体 ABCD －A1B1C1 D1 中，AD 1 ，AB= 2 ，点E 是棱AB 上的动点．AA 1（ 1）若异面直线AD1与EC所成角为600，试确定此时动点 E 的位置；（ 2）求三棱锥C－DED1的体积． D1 C1A1B1D CA E B21．（本题满分 16 分）本题共 2 小题，第 1 小题 8 分，第 2 小题 8 分某投资公司计划投资 A 、 B 两种金融产品，根据市场调查与预测， A 产品的利润 y 与投资量 x 成正 比例，其关系如图 1， B 产品的利润 y 与投资量 x 的算术平方根成正比例，其关系如图 2，（注：利润与投 资量单位：万元）（ 1）分别将 A 、 B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（ 2）该公司已有 10 万元资金，并全部投入 A 、 B 两种产品中，问：怎样分配这10 万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？yy0.3 2.4 0.21.6o11.5 xo49x图 1图 222．（本题满分 16 分）本题共 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分已 知 函 数 f xlog 1 x 1 ， 当 点 P ( x 0， y 0 ) 在 y f (x)的 图 像 上 移 动 时 ， 点2Q (x 0t 1 在函数 yg(x) 的图像上移动。
2018-2019学年建平中学高三开学考数学试卷含答案
建平中学高三数学开学考2018.09.06一. 填空题1. 若复数(1i)(i)a 是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为2. 已知集合2{|(1)()0,}x x x x a x --+=∈R 中的所有元素之和为1，则实数a 的取值集合为3. 已知()f x 函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，32()f x x x =-，则当0x >时，()f x 的解析式为4. 已知△ABC 中，点A 、B 、C 的坐标依次是(2,1)A -、(3,2)B 、(3,1)C --，BC 边上 的高为AD ，则D 的坐标是5. 集合2541{|()1}2xx A x -+=≥，2{|2(2)0}B x x a x a =--+≤，若B A ⊆，则实数a 的取 值范围为6. 若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为7. 已知数列{}n a 的通项公式为|13|n a n =-，那么满足119102k k k a a a ++++⋅⋅⋅+=的整数k 的个数为8. 已知整数以按如下规律排成一列：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)，(3,1)，(1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1)，⋅⋅⋅，则第60个数对是9. 已知函数()sin()6f x x πω=+（0ω>），若函数()f x 图像上的一个对称中心到对称轴 的距离的最小值为3π，则ω的值为 10. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种 分解中，两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当p q ⨯（p q ≤且 *,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()p f n q =，如3(12)4f =，关于函数()f n 有下列叙述：①1(7)7f =；②3(24)8f =；③4(28)7f =；④9(144)16f =，其中正 确的序号为11. 已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，若对于任意的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点，则a 的取值范围是12. 设函数11()()21x f x x x =++，O 为坐标原点，n A 为函数()y f x =图像上横坐标为n （*n ∈N ）的点，向量n OA 与向量(1,0)i =的夹角为n θ，则满足 125tan tan tan 3n θθθ++⋅⋅⋅+<的最大整数n 的值为二. 选择题13. 若a 、b 为实数，则()0ab a b -<成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 110a b << B. 110b a << C. 11a b < D. 11b a< 14. 若非空集合A 、B 、C 满足A B C =，且B 不是A 的子集，则（ ）A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”的必要条件15.在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为 11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为 （ ）A. B. 11[,)52 C. 1(5 D. 16. 对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意*n ∈N ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M ，那么下列命题正确的是（ ） A. 若{}n a M ，则数列{}n a 各项均大于或等于M B. 若{}n a M ，则22{}n a M C. 若{}n a M ，{}n b M ，则{}2n n a b M + D. 若{}n a M ，则{21}21n a M ++三. 解答题17. 设有两个命题：①“关于x 的不等式22(1)0x a x a +-+>的解集是R ”；②“函数22()(21)f x a a =++是R 上的减函数”，若命题①和②中至少有一个是真命题，求实数a 的取值范围.18. 设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.（1）若关于x 的不等式()1f x ≥在区间(,)a +∞上恒成立，求a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值.19. 如图所示，在三棱锥P ABC -中，PD ⊥平面ABC ，且垂足D 在棱AC 上，AB BC ==，1AD =，3CD =，PD =（1）证明：△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.20. 如图，直线220x y -+=经过椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左顶点A 和上顶点D ， 椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS 、BS 与直线10:3l x = 分别交于M 、N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN 的长度的最小值；（3）当线段MN 的长度的最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得△TSB 的面积为15？若存在， 确定点T 的个数，若不存在，请说明理由.21. 已知集合2{|20,}A x x x x =--≤∈Z ，集合2{|lg(8)1}B x x x =++=，集合{|,,}C x x ab a A b B ==∈∈.（1）用列举法表示集合C ；（2）设集合C 的含n 个元素所有子集为n C ，记有限集合M 的所有元素和为()S M ，求12()()()n S C S C S C ++⋅⋅⋅+的值；（3）已知集合P 、Q 是集合C 的两个不同子集，若P 不是Q 的子集，且Q 不是P 的子集，求所有不同的有序集合对(,)P Q 的个数(,)n P Q .参考答案一. 填空题1. 12. 1{0}(,)4+∞3. 32()f x x x =--(0)x >4. (1,1)5. 32(1,]7 6. (5,7) 7. 2 8. (5,7) 9. 3210. ①③ 11. (0,1) 12. 3 12. 11tan ()2(1)n n n n θ=++，分组求和，1152()213n n S n =--<+，解得3n ≤.二. 选择题13. B 14. B 15. D 16. D三. 解答题 17. 若①为真，则1a <-或13a >，若②为真，则102a -<<， 综上，11(,1)(,0)(,)23a ∈-∞--+∞. 18.（1）62(,][,)a ；（2）2min 22,0()32,0a a f x aa . 19.（1）BD =PB =BC =，PC =222PB BC PC +=，得证； （2）等体积法，26APBC P ABC A PBC V V h ，∴sin A PBC h AP θ-==. 20.（1）22141x y +=；（2）83；（3）即点T 到直线SB 2个. 21.（1）{1,1,2,2,4,0}C；（2）5(112240)2128； （3）666643322702.。
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上海市2018-2019学年建平中学高三上学期数学期中考试一.填空题1.设函数，则f（f（2））=_____【答案】-1【解析】【分析】先计算f(2)=,然后将代入解析式即可得结果.【详解】，f(2)=f（f（2））=f()=cos()=cos.故答案为：-1.【点睛】本题考查分段函数值的求法，注意需将自变量代入相应的解析式即可.2.在各项为实数的等比数列{a n}中，a5+8a2=0，则公比q的值为_____【答案】-2【解析】【分析】由等比数列的通项可得a5=-8a2=a2，计算可得公比q的值.【详解】在等比数列{a n}中，∵a5=-8a2，∴=q3=-8，∴q=-2,即公比q的值为-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用.3.若，则tanα=_____【答案】7【解析】【分析】由向量的数量积坐标公式计算整理即可得到答案.【详解】由数量积公式得=+2，=-2+，即+2=3（-2+），整理得7=，即tanα=7，故答案为：7.【点睛】本题考查向量数量积坐标公式的应用.4.设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|2x﹣1≤1}，则（∁R A）∩B=_____【答案】（0，1]【解析】【分析】解出集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．【详解】集合A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，集合B={x|2x﹣1≤1}={x|x﹣1≤0}={x|x≤1}，∴∁R A={x|0＜x＜2}，∴（∁R A）∩B={x|0＜x≤1}=（0，1]．故答案为：（0，1]．【点睛】本题考查集合的交集并集的运算.5.某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是_____【答案】80【解析】【分析】用分步计数原理①从5个家庭中选4个家庭；②从每个家庭中选出1个,然后相乘可得．【详解】分步进行：第一步：从5个家庭中选出4个家庭，有=5种；第二步：从选出的4个家庭的每个家庭的父母亲中选出1位来，有×××=16；根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：5×16=80．故答案为：80．【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于简单题.有关计数原理的综合问题，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.6.从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为__________．【答案】【解析】把圆的方程化为标准方程为，得到圆心的坐标为，圆的半径，由圆切线的性质可知，，且，则，，该圆夹在两条切线间的劣弧长，故答案为.7.已知数列{a n}的前n项和S n满足：对于任意m，n∈N*，都有S n+S m=S n+m+2mn，若a1=1，则a2018=_____【答案】﹣4033【解析】【分析】根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，用特殊值法分析：令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，变形可得S n+1﹣S n=1﹣2n，再令n=2018计算可得答案．【详解】根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，又由a1=1，即S1=a1=1，则有S n+1=S n+1+2n，变形可得：S n+1﹣S n=1﹣2n，则a2018=S2018﹣S2017=1﹣2×2017=﹣4033；故答案为：﹣4033．【点睛】本题考查数列的递推公式，注意特殊值法分析数列的递推公式，属于中档题．8.已知函数的定义域为，当时，;当时，；当时，．则__________．【答案】【解析】当时，，所以当时，，故；当时，，所以；当时，，所以，故．故填.9.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满足f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2），则a的取值范围是_____【答案】【解析】【分析】由题可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合函数的奇偶性可将f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2）转化为﹣2＜log2|a ﹣1|＜2，解不等式可得a的取值范围.【详解】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，∴f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2）⇒f（|log2|a﹣1||）＞f（2）⇒|log2|a﹣1||＜2⇒﹣2＜log2|a﹣1|＜2，得＜|a﹣1|＜4，解得：﹣3＜a＜或＜x＜5，即不等式的解集为（﹣3，）∪（，5）；故答案为：（﹣3，）∪（，5）．【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题，其中利用函数的基本性质，将不等式转化f（|log2|a﹣1||）＞f（2）是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.10.在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6abcosC，则 =_____【答案】4【解析】【分析】由题意利用余弦定理可得c2=（a2+b2），再利用行列式的运算、同角三角函数的基本关系，正弦定理即可求得答案．【详解】在锐角三角形ABC中，∵a2+b2=6abcosC=6ab•，∴c2=（a2+b2），则=+=tanC（+）=•（+）=====4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理、同角三角函数的基本关系，行列式的运算，属于中档题．11.已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，则（其中a+c≠0）的取值范围为_____．【答案】（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b将转为（a﹣b）+，利用基本不等式求得它的范围．【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a＞0，二次函数的对称轴为x==c，△=4﹣4ab=0，∴ac=﹣1，ab=1，∴c=，b=，即c=-b,则==（a﹣b）+，当a﹣b＞0时，由基本不等式求得（a﹣b）+≥6，当a﹣b＜0时，由基本不等式求得﹣（a﹣b）﹣≥6，即（a﹣b）+≤﹣6,故（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.12.若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据对称函数的定义，结合h（x）≥g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可【详解】∵x∈D，点（x，g（x））与点（x，h（x））都关于点（x，f（x））对称，∴g（x）+h（x）=2f（x），∵h（x）≥g（x）恒成立，∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）≥g（x）恒成立，作出g（x）和f（x）的图象，则g（x）在直线f（x）的下方或重合，则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=2x+b的距离d≥1，d=⇒b≥或（舍去）即实数b的取值范围是[，+∞），故答案为：.【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二.选择题13.已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A. ＞B. ln（x2＋1）＞ln（y2＋1）C. sin x＞sin yD. x3＞y3【答案】D【解析】试题分析：由得:若令满足但有:所以选项A、B、C均不正确，故选D．考点：函数的单调性．14.已知点A（﹣2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】利用向量的数量积坐标公式计算化简可得点P的轨迹．【详解】∵动点P（x，y）满足，∴（﹣2﹣x，﹣y）•（3﹣x，﹣y）=x2，∴（﹣2﹣x）（3﹣x）+y2=x2，解得y2=x+6，∴点P的轨迹是抛物线．故选：D．【点睛】本题考查利用直接法求动点的轨迹问题.15.已知数列{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，则数列：①{2an}；②{a n2}；③；④{a n a n+1}；⑤{a n+a n+1}；等比数列的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的定义和通项公式逐项进行检验即可得出．【详解】数列{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，则①，不是等比数列；②=q2，故{a n2}是等比数列；③是公比为的等比数列；④{a n a n+1}是公比为q2的等比数列；⑤{a n+a n+1}不一定是等比数列，例如a n=（﹣1）n，综上等比数列的个数为3．故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式的应用.16.设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A. I1＜I2＜I3B. I2＜I1＜I3C. I1＜I3＜I2D. I3＜I2＜I1【答案】B【解析】【分析】根据I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案.【详解】由，故==1，由，故=<1，=>1，故I2＜I1＜I3，故选：B．【点睛】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．三.解答题17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3．（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；（2）求点D到平面PBC的距离．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线PB与CD所成角大小．（2）求出平面PBC的一个法向量，利用向量法的距离公式求点D到平面PBC的距离．【详解】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，0），设异面直线PB与CD所成角为θ，则cosθ=,所以异面直线PB与CD所成角大小为．（2）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），=（1，0，﹣1），=（0，2，0），=（﹣1，1，0），则，取x=1，得=（1，0，1），∴点D到平面PBC的距离d=．【点睛】本题主要考查了空间向量在求解角和距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．求线线角的步骤：①确定空间两条直线的方向向量；②求两个向量夹角的余弦值；③比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；④确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时即为两直线的夹角，当向量夹角为钝角时两直线的夹角为向量夹角的补角．18.设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.19.某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P 的横坐标为p．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得M（1，8），则a=8，即得曲线段的函数关系式，可得其定义域；（2）由函数关系式设点P坐标，设直线AB方程，将直线方程与曲线方程联立求出A，B坐标，即可求出最短长度p的取值范围【详解】（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为，又得，所以定义域为[1，10]．（2），设AB:由得kpx2+（8﹣kp2）x﹣8p=0，△=（8﹣kp2）2+32kp2=（kp2+8）2=0，∴kp2+8=0，∴，得直线AB方程为，得,B(2p,0)，故点P为AB线段的中点，由即p2﹣8＞0,得时，OA＜OB，所以，当时，经点A至P路程最近．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．20.对于函数，定义f1（x）=f（x），f n+1（x）=f[f n（x）]（n∈N*），已知偶函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0，当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）．（1）求f2（x），f3（x），f4（x），f2018（x）；（2）求出函数y=g（x）的解析式；（3）若存在实数a、b（a＜b），使得函数g（x）在[a，b]上的值域为[mb，ma]，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）g（x）=；（3）（﹣，0）.【解析】【分析】（1）根据函数关系代入计算进行求解即可；（2）由偶函数的定义，计算可得所求解析式；（3）根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可．【详解】（1）因为函数定义f1（x）=f（x），f n+1（x）=f[f n（x）]（n∈N*），f1（x）=，f2（x）=f[f1（x）]= =，（x≠0且x≠1），f3（x）=f[f2（x）]= =x，（x≠0且x≠1），f4（x）=f[f3（x）]= ，（x≠0且x≠1），故对任意的n∈N•，有f3n+i（x）=f i（x）（i=2，3，4），于是f2018（x）=f3×672+2=f2（x）=1﹣，（x≠0且x≠1）；（2）当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）=1﹣，又g（1）=0，由g（x）为偶函数，当x＜0时，﹣x＞0，g（x）=g（﹣x）=1+，可得g（x）=；（3）由于y=g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又a＜b，mb＜ma，可知a与b同号，且m＜0，进而g（x）在[a，b]递减，且a＜b＜0，当a，b∈（0，1）时，g（x）=1﹣为增函数，故，即m==，得a﹣1=b﹣1，即a=b，与a＜b矛盾，∴此时a，b不存在；函数y=g（x）的图象，如图所示．由题意，有，故a，b是方程1+=mx的两个不相等的负实数根，即方程mx2﹣x﹣1=0在（﹣∞，0）上有两个不相等的实根，于是，解得﹣＜m＜0．综合上述，得实数m的取值范围为（﹣，0）．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的应用，考查分类讨论思想方法、运算和推理能力，属于中档题．21.对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m﹣a k=t（m，k∈N*，m＞k），必有a m+1﹣a k+1=t”，则称数列具有性质P（t）．（1）若数列{a n}满足，判断数列{a n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？说明理由；（2）求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（3）已知{b n}是各项均为正整数的数列，且{b n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在正整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+K，…是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）由，可得a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{a n}不具有性质P（2）；同理可判断数列{a n}具有性质P（4）；（2）举例“周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，利用新定义可证数列{a n}不具有性质P（0），即不充分性成立；再证明其必要性即可；（3）依题意，数列{b n}是各项为正整数的数列，且{b n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），可证得存在整数N，使得b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是等差数列．【详解】（1）∵，a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{a n}不具有性质P（2）；同理可得，数列{a n}具有性质P（4）．（2）证明：（不充分性）对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，但是由于a2﹣a1=0，a3﹣a2=1，所以不具有性质P（0）；（必要性）因为数列{a n}具有性质P（0），所以一定存在一组最小的且m＞k，满足a m﹣a k=0，即a m=a k由性质P（0）的含义可得a m+1=a k+1，a m+2=a k+2，…，a2m﹣k﹣1=a m﹣1，a2m﹣k=a m，…所以数列{a n}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：a k，a k+1，…，a m﹣1为一个周期中的各项，所以数列{a n}中最多有m﹣1个不同的项，所以T最多有个元素，即T是有限集；（3）证明：因为数列{b n}具有性质P（2），数列{b n}具有性质P（5），所以存在M′、N′，使得b M'+p﹣b M'=2，b N'+q﹣b N'=5，其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质P（2），P（5）的含义可得，b M'+p+k﹣b M'+k=2，b N'+q+k﹣b N'+k=5，若M'＜N'，则取k=N'﹣M'，可得b N'+p﹣b N'=2；若M'＞N'，则取k=M'﹣N'，可得b M'+q﹣b M'=5．记M=max{M'，N'}，则对于b M，有b M+p﹣b M=2，b M+q﹣b M=5，显然p≠q，由性质P（2），P（5）的含义可得，b M+p+k﹣b M+k=2，b N+q+k﹣b N+k=5，所以b M+qp﹣b M=（b M+qp﹣b M+（q﹣1）p）+（b M+（q﹣1）p﹣b M+（q﹣2）p）+…+（b M+p﹣b M）=2qb M+qp﹣b M=（b M+pq﹣b M+（p﹣1）q）+（b M+（p﹣1）q﹣b M+（p﹣2）q）+…+（b M+q﹣b M）=5p所以b M+qp=b M+2q=b M+5p．所以2q=5p，又p，q是满足b M+p﹣b M=2，b M+q﹣b M=5的最小的正整数，所以q=5，p=2，b M+2﹣b M=2，b M+5﹣b M=5，所以，b M+2+k﹣b M+k=2，b M+5+k﹣b M+k=5，所以，b M+2k=b M+2（k﹣1）+2=…=b M+2k，b M+5k=b M+5（k﹣1）+5=…=b M+5k，取N=M+5，若k是偶数，则b N+k=b N+k；若k是奇数，则b N+k=b N+5+（k﹣5）=b N+5+（k﹣5）=b N+5+（k﹣5）=b N+k，所以，b N+k=b N+k，所以b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是公差为1的等差数列【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查充分、必要条件的判定，考查推理与论证能力，属于难题．。